几何证明-直角三角形
直角三角形的证明方法
直角三角形的证明方法
证明直角三角形
直角三角形是几何学上常见的几何概念，被广泛应用于数学计算、建筑施工等
方面，经常会被人们当作判断两条直线是否相交的依据。
那么我们如何证明一个三角形是直角三角形呢？
一、直角三角形的定义
1.直角三角形又称正角三角形，是由三条线段组成的三角形，其中有一个内角
等于90°，其余两个内角小于90°。
2.直角三角形满足勾股定理：对角线长平方等于其他两边长度的平方之和，即：a2+b2=c2。
二、垂直定理证明直角三角形
1.垂直定理：在平面内，两条平行直线上的任意一点的垂线段，与两条平行直
线相联合，则构成的四边形中有两个内角乃是直角。
2.当直角三角形的两条直角直线垂直且相交时，相交点即为这两条直线相联合
时所构成的四边形的一角。
而另一角正是符合垂直定理的另一个直角，因此该三角形乃是直角三角形。
三、正弦定理证明直角三角形
1.正弦定理：任一三角形的内角的正弦与两边的比值是一定的，其锐角的正弦
与两条腰的比值等于1。
2.当直角三角形的一个内角等于90°，其余两个内角小于90°时，其锐角的
正弦与两边的比值就是1，满足正弦定理，该三角形乃是直角三角形。
总之，通过垂直定理和正弦定理可以证明三角形是直角三角形，从而使用这些
理论和定理，我们便可以判断两条直线是否相交，或绘制一个准确的直角三角形。
初中几何证明方法
初中几何证明方法
1. 直角三角形定理证明：利用勾股定理证明直角三角形的特征。
2. 等边三角形定理证明：通过三条边全等证明三角形的三个角都是60度。
3. 同位角证明：沿着一组平行线切割两条平行线，证明同位角相等。
4. 对顶角证明：利用两组平行线切割一条横线，证明对顶角相等。
5. 三角形内角和定理证明：通过将三角形分解成三个直角三角形，证明三角形的内角和为180度。
6. 圆的面积公式证明：通过四个等腰直角三角形的组合和排列得出圆的面积公式。
7. 相似三角形定理证明：通过两个三角形的对应角相等，证明两个三角形相似。
8. 等腰三角形定理证明：通过证明两个底角相等，证明等腰三角形的另外两条边相等。
9. 正方形定理证明：通过证明正方形的四个角都是直角且四条边相等，证明正方形的特征。
10. 角平分线定理证明：利用角平分线将一个角分成两个相等的角，证明相邻的角互补且对顶角相等。
专题四 几何证明
5．如图，∠C ＝90°，A M ＝C M ，M P ⊥A B 于点 P .
求证：B P 2＝B C 2＋A P 2.
证明：如图，连接 B M 则 B C 2＋C M 2＝B M 2， B P 2＋PM 2＝B M 2 ∴B C 2＋C M 2－P M 2＝B P 2. 又∵C M ＝A M ， ∴C M 2－P M 2＝A M 2－P M 2＝A P 2 ∴B C 2＋A P 2＝B P 2.
16．如图，A C 为矩形 A B C D 的对角线，将边 A B 沿 A E 折 叠，使点 B 落在 A C 上的点 M 处，将边 C D 沿 C F 折叠， 使点 D 落在 A C 上的点 N 处． (1)求证：四边形 A E C F 是平行四边形； (2)若 A B ＝6，A C ＝10，求四边形 A E C F
8．如图，在▱A B C D 中，分别以 A B 、C D 为边向▱A B C D 内
部作等边△A B E 、等边△C D F.求证：四边形 A E C F 是平
行四边形．
证明：∵A D ＝B C ， ∠E B C ＝∠A B C －60° ＝∠AD C －60°＝∠AD F D C ＝D F＝BE ＝AB ∴△AD F ≌△C BE ∴AF ＝C E ∵AE＝BC ，FC ＝D C ∴AE ＝FC ∴四边形 A E C F 是平行四边形
PPT课程
主讲老师:
专题
专题四 几何证明
一、直角三角形的证明
1．如图，已知在△A B C 中，C D ⊥A B 于点 D ，A C ＝20，B C ＝15，D B ＝9. (1)求 C D 和 A B 的长； (2)求证：∠A C B ＝90°.
(1)解：C D ＝ B C 2－D B 2＝ 152－92＝12 A D ＝ A C 2－C D 2＝ 202－122＝16 AB＝AD ＋D B＝16＋9＝25 (2)证明：∵A B 2＝252＝625， A C 2＋B C 2＝202＋152＝625 ∴A B 2＝A C 2＋B C 2 ∴∠AC B ＝90°
三角形的求证方法
三角形的求证方法三角形是几何学中最基本的图形之一，它具有独特的性质和特点。
在数学中，我们经常需要对三角形进行求证，以验证某些性质或定理是否成立。
本文将介绍一些常见的三角形求证方法。
一、等边三角形的求证方法等边三角形是指三条边的长度相等的三角形。
我们可以使用以下方法对等边三角形进行求证。
1. 边长相等的证明：等边三角形的定义是三条边的长度相等，因此我们只需要证明三条边的长度相等即可。
可以通过测量三条边的长度来证明它们相等。
2. 角度相等的证明：等边三角形的三个角度都是60度，因此我们只需要证明三个角度都是60度即可。
可以使用角度求和定理来证明。
等腰三角形是指两条边的长度相等的三角形。
我们可以使用以下方法对等腰三角形进行求证。
1. 边长相等的证明：等腰三角形的定义是两条边的长度相等，因此我们只需要证明两条边的长度相等即可。
可以通过测量两条边的长度来证明它们相等。
2. 底角相等的证明：等腰三角形的两个底角相等，因此我们只需要证明两个底角相等即可。
可以使用角度求和定理来证明。
三、直角三角形的求证方法直角三角形是指其中一个角为90度的三角形。
我们可以使用以下方法对直角三角形进行求证。
1. 边长关系的证明：直角三角形的两个直角边的长度满足勾股定理，即a² + b² = c²，其中a和b为直角边的长度，c为斜边的长度。
可以通过测量三条边的长度来验证勾股定理是否成立。
2. 角度关系的证明：直角三角形的一个角为90度，另外两个角度的和为90度。
可以使用角度求和定理来证明。
四、等边角三角形的求证方法等边角三角形是指三个角度相等的三角形。
我们可以使用以下方法对等边角三角形进行求证。
1. 角度相等的证明：等边角三角形的三个角度都相等，因此我们只需要证明三个角度都相等即可。
可以使用角度求和定理来证明。
2. 边长关系的证明：等边角三角形的三条边的长度满足边长关系，即a = b = c，其中a、b、c为三条边的长度。
直角三角形-几何证明
精锐教育学科教师辅导讲义二、直角三角形的性质思考与归纳1：在任意一个直角三角形中，除直角之外，另外两个锐角有什么关系？为什么？直角三角形性质定理1：直角三角形的两个锐角互余。
思考与归纳2：猜一猜——量一量——证一证——命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
直角三角形性质定理2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
例题：（1）在直角三角形中，有一个锐角为520，那么另一个锐角度数为；（2）在Rt△ABC中，∠C=900，∠A -∠B =300，那么∠A= ，∠B= ；（3）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=900，CD是斜边AB上的高，那么，与∠B互余的角有，与∠A互余的角有，与∠B相等的角有，∠A相等的角有。
（4）如果另上题中的∠A=45o，思考：各个锐角是多少度。
各条线段之间有什么等量关系。
课堂练习：1、在△ABC 中， ∠ACB=90 °，CE 是AB 边上的中线，那么与CE 相等的线段有______ ___， 与∠A 相等的角有____ _____，若∠A=35°，那么∠ECB= _________。
2、在直角三角形中，斜边及其中线之和为6，那么该三角形的斜边长为___ ____。
3、如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，且DE=DF 。
求证：AB=AC 。
4、在中，分别为的中点，连。
则下列结论中不一定正确的是 A ．B ．C ．D ．拓展练习：如图，Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，角平分线AE 交CD 于H ，EF ⊥AB 于F 。
则下列结论中不正确的是（ ）A ．∠ACD=∠B B ．CH=CE=EFC ．CH=HD D ．AC=AFEDC ABHF巩固练习：1、已知：如图，AB=AC ，∠A=40°，AB 的垂直平分线MN 交AC 于D ，则∠DBC=______。
2、如图，在△ABC 中，AC=8cm ，ED 垂直平分AB ，如果△EBC 的周长是14cm ，那么BC•的长度为_________。
证明三角形是直角三角形的方法
证明三角形是直角三角形的方法1. 认识直角三角形直角三角形的定义很简单：它有一个角是90度。
这个角叫做直角，其它两个角都是锐角，角度总和正好是180度。
咱们平常见的那个“L”形，不就是直角三角形吗？2. 使用勾股定理勾股定理是证明一个三角形是否为直角三角形的经典方法。
这个定理说，直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
公式是这样的：(a^2 + b^2 = c^2)，其中(c) 是斜边。
2.1 实际操作假如你有一个三角形，测量三边的长度，然后把两个短边的平方加起来，看是否等于最长边的平方。
比如，你的三角形边长分别是3, 4和5，你就计算 (3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25)，再看看 (5^2 = 25)，两者相等，那么这个三角形就是直角三角形。
2.2 特殊情况有时，长边可能不是你一开始就能测量到的情况，这时候可以用其它方法，比如测量角度。
不过，这种情况下，勾股定理仍然是最直接的方法。
3. 利用三角函数对于那些学过一点三角函数的朋友来说，可以用三角函数来验证。
主要用的是正弦、余弦函数。
特别是余弦定理，当你知道三角形的角度和两边时，能迅速判断一个角是否是直角。
3.1 余弦定理余弦定理的公式是：(c^2 = a^2 + b^2 2ab cdot cos(C))。
当角 (C) 是90度时，(cos(C)) 为0，这样公式就简化成了勾股定理。
这样，你就可以用余弦定理来验证三角形是否是直角三角形。
3.2 使用直角测量工具在实际操作中，利用直角三角板或者量角器也是个好办法。
直角三角板本身就是已经设定好角度的工具，如果你的三角形能够与这个直角三角板对齐，那么它就是直角三角形。
4. 用几何方法验证有时候，我们可以通过几何图形来验证直角三角形的特性。
比如利用圆的性质，若一个三角形的一个角为直角，那么这个三角形的三点都在一个半圆上。
4.1 圆周角定理圆周角定理告诉我们，一个角如果在半圆上，那这个角一定是直角。
直角三角形的判定和性质
等腰直角三角形的面积可以通 过其直角边计算，面积=1/2 * a * a = 1/2 * a^2。
30°-60°-90°的直角三角形
30°-60°-90°的直角三角形是具有30°和60°锐角的直角三角形，其中30° 角所对的直角边等于斜边的一半，即c=2a，其中c为斜边，a为30°角所 对的直角边。
直角三角形中的三个角满足三角形内角和定理，即三角形的 三个内角之和等于180度。
直角三角形中的边长关系
直角三角形中，斜边是直角边中最长的一边，且斜边上的 中线等于斜边的一半。
在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方，即勾 股定理。
直角三角形的中线性质
直角三角形中，斜边上的中线长度等于斜边长度的一半。 直角三角形的中线性质还包括，中线与直角相对的边平行且等于该边的一半。
04
直角三角形的应用
在几何图形中的应用
01
勾股定理
勾股定理是直角三角形的一个重要性质，在几何学中广泛应用于解决与
直角三角形相关的问题。
02
等腰直角三角形
等腰直角三角形是一种特殊的直角三角形，其两腰相等，且一个角为90
度。在几何图形中，等腰直角三角形
直角三角形的判定和性质
目 录
• 直角三角形的定义 • 直角三角形的判定 • 直角三角形的性质 • 直角三角形的应用 • 直角三角形的特殊情况
01
直角三角形的定义
定义
01
直角三角形是有一个角为90度的 三角形。
02
在直角三角形中，斜边是最长的 一边，两个锐角的角度之和为90 度。
直角三角形的表示方法
运动学
在描述物体的运动轨迹时，我们经常需要使用直角三角形来计算角度、速度和加速度等物 理量。例如，在抛体运动中，我们可以使用直角三角形来计算物体的射程和仰角。
几何证明定理
几何证明定理一、引言几何证明定理是数学中的重要部分，它通过运用几何定律和相关推理，来证明一些几何关系和性质的结论。
这些证明过程通常包含了一系列推理和步骤，因此，几何证明的过程需要逻辑清晰、严谨，并且要经过合理的论证和推理。
在本文中，我们将详细讨论一个典型的几何定理：直角三角形的勾股定理（Pythagorean theorem）。
我们将通过几何证明的过程来证明这个定理，并分析证明过程中所使用的各种几何定律和推理。
本文旨在通过对具体定理的证明过程的分析，帮助读者更好地理解和应用几何定理和证明方法。
二、勾股定理的几何证明勾股定理是古希腊数学家毕达哥拉斯提出的一个重要定理，它表明在直角三角形中，直角边的平方等于其他两条边的平方和。
即在一个直角三角形ABC中，若AB为直角边，AC和BC为其他两条边，则有AB² = AC² + BC²。
下面，我们将通过一系列几何推理和证明，来验证这个定理。
1. 假设在平面直角坐标系中，设点A(0,0)、B(a,0)和C(0,b)。
其中，a和b分别表示直角三角形的直角边的长度。
2. 首先，我们计算向量AB和AC的模长，即向量AB的长度为√((a-0)² + (0-0)²) = √a² = a，向量AC的长度为√((0-0)² + (b-0)²) = √b² = b。
3. 然后，利用向量的平行四边形法则，我们可以得到向量AC的平方等于向量AB的平方加上向量BC的平方。
具体地，向量AC的平方表示为AC² = (a-0)² + (b-0)² = a² + b²。
4. 同样地，我们计算向量BC的模长，即向量BC的长度为√((0-a)² + (b-0)²) = √((-a)² + b²) = √(a² + b²)。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
直角三角形全等的判定与直角三角形的性质
【知识精要】
直角三角形全等的判定
1、如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等（简记为H.L ）
2、三角形全等的判定方法：S.S.S, S.A.S, A.S.A, A.A.S, 在直角三角形中仍可用 直角三角形的性质
1、直角三角形的两个锐角互余
2、在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半
3、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半
4、在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。
直角三角形中常用的辅助线
1、斜边的中线
2、斜边的高
3、等腰三角形底边中线或地边上的高构造直角三角形。
【精解名题】
例1、有两条高相等的锐角三角形是等腰三角形。
例2、如图，在△ABC 中，AE 平分∠BAC ，DE 垂直平分BC 于点D ，EF ⊥AC ，交AC 的延长线于点F 。
求证：AB=AC+2CF.
提示：联结EB 、EC ，作EG ⊥AB 于点G 。
例3、如图，在正方形ABCD 中，E 为AD 的中点，F 是BA 延长线上的一点，AF=2
1AB 。
求证：（1）DF=BE （2）DF ⊥BE
例4、如图，在锐角△ABC中，∠ABC=2∠C，AD⊥BC于点D，E为AC中点，ED的延长线交AB的延长线于点F .
求证：BF=BD
例5、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、E在AB上，AD=AC，BE=BC。
求证：∠DCE=45°
例6、如图，已知AB=AC，∠A=120°，MN垂直平分AB，交BC于点M，求证：CM=2BM
提示：联结AM
例7、如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AD//BC，BD=BC。
求证：∠DCA=∠DBC
提示：作AE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F
例8、如图，，已知△ABC的高BD、CE相交于点O，M、N分别为BC、AO的中点。
求证：MN 垂直平分DE。
提示：联结DM、EM、DN、EN
【巩固练习】
1、判断（错的用“×”表示，对的用“√”表示，如果正确，请说出判定方法）
（1）两条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等（），（）（2）一条直角边、一个锐角分别对应相等的两个直角三角形全等。
（），（）（3）一个锐角及斜边对影响等的两个直角三角形全等（），（）（4）一条直角边及斜边对应相等的两个直角三角形全等（），（）（5）如果一个直角三角形的两条边分别与另一个直角三角形的
两边相等，那么这两个直角三角形全等（），（）（1）√SAS （2）×（3）√AAS （4）√HL （5）×
2、如图，已知AD垂直平分BE于点C，AB=DE。
求证：AB//DE
3如图，在等腰△ABC中，AC=BC，过点C作直线l的，AD⊥l，BE⊥l于点E，且AD=CE。
求证：∠ACB=90°
4、如图，已知∠B=∠E=90°，AB=AE ，AF 垂直平分CD ，求证：BC=ED 。
提示：联结AC 、AD
5、如图，已知AD//BC ，AB ⊥BC ，E 为AB 上一点，DE 平分∠ADC ，CE 平分∠BCD ，求证：AD+BC=DC 。
提示：作EF ⊥DC 于点F
6、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，M 是AB 的中点，E 、F 分别是AC 、BC 延长线上的点，且CE=CF=
AB 2
1，求∠EMF 的度数。
答：45°，提示：联结MC
7、如图，已知AE、BD相交于点C，AB=AC，DC=DE,F、G、H分别是AD、BC、CE的中点，求证：FG=FH
提示：联结AG、DH
8、如图，已知AB=BC，AD=AC，AB⊥BC，△ABC与△ADC的面积相等，且AC//BD，求∠ADC 的度数。
答：75°，提示：作BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F
9、如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，求BE的长与AC的长之比。
3:4
【拓展提高】
1、如图（1），在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，过点A作直线l，B、C两点在AE的同侧，
BD⊥l于点D，CE⊥l于点E（BD＜CE）
（1）求证：BD+CE=DE
（2）若直线l绕点A旋转到图（2）的位置时（BD>CE），其余条件不变，问（1）中的结论成立吗？为什么？
（3）若直线l绕点A旋转到图（3）的位置时，（B、C两点在l的异侧），问（1）中的结论成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请指出BD、CE与DE三条线段的数量关系，并证明。
图（1）图（2）图（3）
（1）提示：由证明△ABD≌△CAE可得结论成立
（2）成立
（3）DE=|BD-EC| 证明略
2、如图<1>，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，以AB为一边向外作等边△ABD，AE⊥BD于点E，AE与CD交于点M
（1）线段DM与线段BC有怎样的数量关系？请证明；
（2）若△ABC与△ABD在AB的同侧时，CD的延长线与AE的延长线交于点M。
①请在图<2>中画出△ABD和点M；②线段DM和BC仍然有（1）中的数量关系吗？为什么？
图<1> 图<2>
答案：(1)BC=2DM 证明略(2)仍成立
【家庭作业】
1、填空
（1）如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，写出图中相等的锐角:____________。
（2）如图2，在△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，写出图形相等的线段：____________。
（3）如图3，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠BAC，交BC于点D，若AD=6cm，则BC=_________cm
（4）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2AC，则∠A=__________。
（5）在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，∠A=30°，BD=1，则AD=_____________。
图1 图2 图3
2、选择
（1）如果三角形的三个内角度数之比为1:2:3，那么这个三角形是（ ）
A 、锐角三角形
B 、钝角三角形
C 、直角三角形
D 、不能确定
（2）如图4，在△ABC 中，∠BAC=90°，D 是AB 的中点，有下列结论：①∠A=∠1；②∠2=∠3；③∠2=2∠A ；④∠B=2∠A ，其中正确的有（ ）个
A 、1
B 、2
C 、3
D 、4
（3）如图5，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD 是AB 上的高，下列判断中，错误的是（ ）
A 、BC D
B 21= B 、B ∠=∠2
11 C 、BD AB 4= D 、AD=2CD （4）如图6，在Rt △ABC 中，CM 是斜边AB 上的中线，CH 是斜边AB 上的高，如果AH=HM ，那么图中的∠1、∠2、∠3、∠4中等于30°的角有（ ）
A 、∠1
B 、∠1和∠2
C 、∠1、∠2、∠3
D 、∠1、∠2、∠3、∠4
图4 图5 图6
3、如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CE 为AB 边上的中线，CD 为AB 边上的高，∠A=48°，求∠DCE 的度数。
4、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，D 是AB 的中点，延长AC 到点E ，使CE=AD 。
求证：∠A=2∠E
5、如图，在△ABC 中，∠C=2∠B ，AD ⊥AB ，求证BD=2AC
6、如图，已知三角形ABC 是等边三角形，BC AD 2
1=
，AD CD ⊥，求证AD//BC
7、如图，在Rt △ABC 中，∠A=90°，DE 垂直平分BC ，交AC 于点D ，交BC 于点E ，且DE=DA ，求证：AC=3AD
8、如图，在四边形ABCD 中∠ABC=∠ADC=90°，对角线AC 、BD 相交于点O ，M 、N 分别是AC 、BD 的中点。
（1）求证：MN ⊥BD ；（2）若∠BAC=15°，AC=10㎝，OB=OM ，求MN 的长。
9、已知等腰三角形的顶角等于150°，腰长为6㎝，求腰上的高。
答案：1、（1）∠A=∠BCD ，∠B=∠ACD （2）AD=BD=CD （3）9 （4）60° （5）3
2、（1）C （2）A （3）D （4）D
3、6°
4、提示：联结CD
5、提示：取BD 中点E ，联结AE
6、略
7、提示：联结BD
8、（1）提示：联结BM 、DM （2）cm MN 2
5 9、3cm。