电路分析基础 第10章 拉氏变换及其应用
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高数第10章 拉普拉斯变换PPT课件
一
拉氏逆变换的定义：若
F(s) estf(t)dt存在，则称 0
F (s) 为 f (t) 的拉氏变换，记为
L[f(t)]F(s)
此时也称 f (t) 为 F (s) 的拉氏逆变换，记为
L1[F(s)]f(t)
2.若L1[F(s)]f(t) ，则
(1) L 1[F (s) ]etf(t)
(2) L 1[esF(s) ]f(t) ( 0)
f( t) L 1 [4 s 3 ] 4 L 1 [ s] 3 L 1 [2] s 2 4 s 2 42 s 2 4
4co2st3sin2t 2
（4） 由性质及表（序号13，14），得：
f(t)L1[
s2
(s1)3 ]L1[ 2 2]
s2 s1
(s1)2 3
24
s1
3
L1[
2 ]L1[ 2 ]
y
y
1
1
0
x
0a
b
x
2. 狄拉克函数
定义：设
0
(t)
1
0
t0 0t
t
当 0 时，函数序列 的极限(t)lim(t) 称为 0
狄拉克函数或单位脉冲函数，记为 函数。
由此可见， ( t ) 是这样一个函数：
(t)
0
t 0 t 0
( t ) 的图形如图所示。
1
0
t
显然，对任何 0 ，有
s 3 A (s 2 ) B (s 1 ) 令 s1，得 A2，又令s2，得 B1。所以
F(s) 2 1 s1 s2
于是，
f( t) L 1 [ F ( s ) ] L 1 [2 ] L 1 [1] 2 e t e 2 t s 1 s 2
《拉氏变换详解》课件
积分性质
积分性质
若 $f(t)$ 的拉普拉斯变换为 $F(s)$， 则 $int_{0}^{infty} f(t) dt$ 的拉普拉 斯变换为 $- frac{1}{s} F(s)$。
应用
积分性质在求解初值问题和极值问题 时非常有用，可以方便地得到原函数 的表达式。
微分性质
微分性质
若 $f(t)$ 的拉普拉斯变换为 $F(s)$，则 $f^{(n)}(t)$ 的拉普拉斯变换为 $s^{n} F(s) - s^{n-1} f(0-) - s^{n-2} f'(0-) - ldots - f^{(n-1)}(0-)$。
卷积定理
总结词
卷积定理是拉普拉斯变换的一个重要特性， 它描述了函数与其导数之间的卷积关系。
详细描述
卷积定理表明，对于任意实数t，如果函数 f(t)与其导数f'(t)的拉普拉斯变换都存在，则 它们之间的卷积结果等于零。这个定理在信 号处理、控制系统等领域有着广泛的应用， 可以帮助我们更好地理解和分析函数的性质
，再通过反变换得到 (y(t))。
控制系统的稳定性分析
总结词
通过拉普拉斯变换，可以分析控制系统的稳定性，为系 统设计和优化提供依据。
详细描述
对于线性时不变控制系统，通过拉普拉斯变换，可以将 其转化为传递函数的形式。根据传递函数的极点和零点 分布，可以判断系统的稳定性。如果所有极点都在复平 面的左半部分，则系统是稳定的。如果极点在右半部分 或等于零，则系统是不稳定的。此外，系统的动态性能 也可以通过传递函数的极点和零点分布进行分析和优化 。
03
动态行为。
2023
PART 02
拉普拉斯变换的应用
REPORTING
在微分方程中的应用
laplace变换的原理和方法
其中 a 1， a 2 ， a n 及 b 0， b1 b m 均为实数，
A ( s ) ( s s 1 )( s s 2 ) ( s s n ) s i ( i 1, , n ) 是 A ( s ) 0 的根。
1、 A ( s ) 0 无重根 F (s) C1 s s1 C2 s s2 Ci s si Cn s sn
e
( s j ) t
) dt
1
2 j s j
[
1
s j
]
s
2 2
余弦函数
通理可得： F ( s ) L [cos t ] s s
2 2
6、单位脉冲函数
0 f (t ) (t ) t 0 t 0
(t )
且有
'
一般地，有 F
(n)
( s ) L [( t ) f ( t )], Re( s ) c
n
（3）积分性质
设 L [ f ( t )] F ( s )，则有 L [ f ( t ) dt ]
0 t
1 s
F (s)
t t t
L [ dt
dt
n
f ( t ) dt ]
m
C m 1 ( s s1 )
m 1
C1 s s1
C m 1 s s m 1
Cn s sn
C m 1 , C n 的计算同单根部分，
C 1 , C m 的计算公式：
C m lim ( s s 1 )
电路元件 拉氏变换
电路元件拉氏变换拉氏变换是电路分析中常用的数学工具，用于描述电路元件在时域和频域之间的转换关系。
本文将介绍拉氏变换的基本概念、性质和应用，以及在电路分析中的具体应用案例。
一、拉氏变换的基本概念和性质1. 拉氏变换的定义拉氏变换是一种将时域函数转换为复频域函数的数学工具。
对于一个时域函数f(t)，其拉氏变换F(s)定义为：F(s) = L{f(t)} = ∫[0,∞) e^(-st) f(t) dt其中，s是复变量，表示频域的频率。
2. 拉氏变换的性质拉氏变换具有线性性质，即对于任意常数a和b，有：L{af(t) + bg(t)} = aF(s) + bG(s)其中，F(s)和G(s)分别是f(t)和g(t)的拉氏变换。
拉氏变换还具有平移性质、尺度性质、微分性质、积分性质等。
这些性质使得我们可以通过拉氏变换来简化复杂的电路分析问题。
二、拉氏变换在电路分析中的应用1. 线性电路分析拉氏变换在线性电路的分析中起到了至关重要的作用。
通过将电路中的电压和电流信号进行拉氏变换，可以将微分方程转化为代数方程，从而简化电路分析的过程。
例如，对于一个RC电路，可以通过拉氏变换将微分方程转化为代数方程，进而求解电路的响应。
2. 信号处理拉氏变换在信号处理领域也有广泛的应用。
通过将信号进行拉氏变换，可以将时域的信号转化为频域的信号，从而分析信号的频谱特性。
例如，在音频处理中，可以通过拉氏变换将声音信号转化为频域信号，进而进行音频滤波、降噪等处理。
3. 控制系统分析拉氏变换在控制系统的分析与设计中也起到了重要的作用。
通过将控制系统的微分方程进行拉氏变换，可以得到系统的传递函数，进而分析系统的稳定性、频率响应等特性。
例如，在机器人控制系统中，可以通过拉氏变换分析系统的动态响应，从而设计合适的控制策略。
三、拉氏变换的应用案例以一个简单的RL电路为例，分析其拉氏变换在电路分析中的应用。
假设电路中的电压源为v(t)，电感为L，电阻为R。
拉普拉斯变换在电路分析中的应用S域分析法
60 K1 2. 4 ( s j 3)(s j 3) s 4 K2 K3 60 2127 ( s 4)(s j 3) s j 3 60 2 127 ( s 4)(s j 3) s j 3
i(t ) [2.4e4t 4 cos(3t 127)] (t )
Us s/R I ( s ) H ( s )U ( s ) s s 1 / RC
K1
U S C Us , K2 RC 1 R(1 RC )
16
网络函数的性质
如果N为线性时不变网络，则：
17
§12-5 线性时不变电路的叠加公式
S域下的叠加原理：
Xm(s)为施加于电路的第m个外施独立电压或电流 源激励的拉氏变换；Hem为s的函数，表明第m个 外施激励及其响应的关系，即网络函数；λ(0-)为 电路内部第n个状态变量在t=0时之值，即uc(0-)或 者iL(0-)的值，Hin为s的函数，表明第n个内部初始 状态等效电源及其响应的关系。
(3) I ( s ) K3 K1 K2 ( s 4) ( s j 3) ( s j 3)
i (t ) L1[ I ( s)] (2.4e 4t 2127e j 3t 2 127e j 3t ) (t ) (2.4e 4t 2e j (3t 127) 2e j 3t 127 ) (t ) [2.4e 4t 4 cos(3t 127)] (t )
作业
下册P222 12-7，12-12，12-18
20
动态电路的相量分析法和 s域分析法
第十二章
拉普拉斯变换在电路分析中的应用 （ S域分析法）
1
§12-1 拉普拉斯变换及其几个基本性质
一般线性电路的动态分析-拉氏变换法
适用范围讨论
线性时不变系统
拉氏变换特别适用于线性时不变系统的 分析，如RC、RL和RLC电路等。
稳定性分析
通过拉氏变换可以方便地分析系统的 稳定性，判断系统是否稳定以及稳定
的程度。
初始值问题和边值问题
拉氏变换适用于求解具有初始值或边 值条件的微分方程，如电路中的初始 条件和边界条件等。
频率响应分析
06 拉氏变换法优缺点及适用 范围讨论
优点总结
简化计算
拉氏变换能将时域微分方程转换 为复频域的代数方程，从而大大 简化了计算过程。
方便系统分析
通过拉氏变换，可以方便地分析 系统的频率响应、稳定性以及暂 态和稳态性能。
适用于线性时不变系统
拉氏变换特别适用于线性时不变 系统的分析，这类系统在工程实 际中非常常见。
拉氏变换可以用于分析系统的频率响 应特性，如幅频特性和相频特性等。
07 结论与展望
研究成果总结
提出了基于拉氏变换法的一般线性电路动态分析方法，该方法能够有效地解决线性电路在时域分析中 的困难，通过变换将时域问题转化为频域问题进行处理。
通过对实际电路进行建模和仿真，验证了所提方法的有效性和准确性，结果表明该方法具有较高的计算 精度和效率。
缺点分析
收敛性限制
拉氏变换要求函数在实数轴上绝对可积，这限制了其应用范围。对于某些不满足绝对可积条件的 函数，可能需要采用其他方法进行分析。
无法直接处理非线性问题
拉氏变换是一种线性变换方法，对于非线性问题无法直接处理，需要采用其他方法进行分析。
无法直接处理时变系统
对于时变系统，拉氏变换无法直接应用，需要采用其他方法进行分析。
一般线性电路的动态分析-拉氏变 换法
目录
拉氏变换详解ppt课件
a
0
a
令t / a , 则原式 f ( )e
0
sa
ad aF (as)
9
(8)卷积定理 两个原函数的卷积的拉氏变换等于两个象函 数的乘积。 t 即 L[ f (t ) f ( )d ] F ( s) Nhomakorabea ( s)
0 1 2 1 2
证明： L[ f1 (t ) f 2 ( )d ] [ f1 (t ) f 2 ( )d ]e dt
原函数之和的拉氏变换等于各原函数的拉 氏变换之和。 (2)微分性质 若 L[ f (t )] F ( s) ，则有 L[ f (t )] sF (s) f (0) f(0)为原函数f(t) 在t=0时的初始值。
3
证：根据拉氏变换的定义有
L[ f (t )] f (t )e dt s f (t )e dt f (t )e
st st 0 0
st 0
sF ( s) f (0)
原函数二阶导数的拉氏变换
L[ f (t )] sL[ f (t )] f (0) s[ sF ( s) f (0)] f (0) s 2 F ( s) sf (0) f (0)
14
2. 拉式反变换——部分分式展开式的求法
M (s) b0 s b1s bm1s bm F ( s) n (m n) n 1 D(s) s a1s an1s an
m
m1
（1）情况一:F(s) 有不同极点,这时,F(s) 总能展开成如下简单的部分分式之和
f (t ) L [ F ( s)] t 1 e
0
a
令t / a , 则原式 f ( )e
0
sa
ad aF (as)
9
(8)卷积定理 两个原函数的卷积的拉氏变换等于两个象函 数的乘积。 t 即 L[ f (t ) f ( )d ] F ( s) Nhomakorabea ( s)
0 1 2 1 2
证明： L[ f1 (t ) f 2 ( )d ] [ f1 (t ) f 2 ( )d ]e dt
原函数之和的拉氏变换等于各原函数的拉 氏变换之和。 (2)微分性质 若 L[ f (t )] F ( s) ，则有 L[ f (t )] sF (s) f (0) f(0)为原函数f(t) 在t=0时的初始值。
3
证：根据拉氏变换的定义有
L[ f (t )] f (t )e dt s f (t )e dt f (t )e
st st 0 0
st 0
sF ( s) f (0)
原函数二阶导数的拉氏变换
L[ f (t )] sL[ f (t )] f (0) s[ sF ( s) f (0)] f (0) s 2 F ( s) sf (0) f (0)
14
2. 拉式反变换——部分分式展开式的求法
M (s) b0 s b1s bm1s bm F ( s) n (m n) n 1 D(s) s a1s an1s an
m
m1
（1）情况一:F(s) 有不同极点,这时,F(s) 总能展开成如下简单的部分分式之和
f (t ) L [ F ( s)] t 1 e
拉氏变换
拉氏变换的基本性质及其应用举例
一、拉氏变换的性质
(1)线性定理：拉氏变换是线性变换，即：
(2)卷积定理：
称为、的卷积，记为
(3)乘积定理：设、的拉氏变换为、，则：的拉氏变换为：
(4)导数定理：
如果：
则：
(5)不定积分定理：
(6)象的导数定理：
(7)象的积分定理：设的象为,且积分收敛，则：
(8)相似定理：设，则：
(9)位移定理：
(10)延迟定理：设，则：
二、用拉氏变换求解常微分方程及积分方程举例
例1、求解初值问题：
解：对方程两端作拉普拉斯变换：
即：
将上式两端反演，即：
从例1中可得出运用拉普拉斯变换求解微分方程，积分方程的步骤可归纳为：
(1)对方程施行拉普拉斯变换，这变换把初始条件一同考虑。
(2)从变换后的方程中解出象函数。
(3)对求出的象函数进行反演，原函数就是原方程的解。
例2 求解交流RL电路的方程：
解：对方程两边作拉普拉斯变换
将上式两端反演得：
由卷积定理得：
所得结果第一部分代表一个稳定的(幅度不变的)振荡，第二部分则是随时间而衰减的．例3 求解
解：对该方程施行拉普拉斯变换后得：
记
将上式反演，设：
则
则由卷积定理得：
而：
例4 求解方程组：
解：对方程组施行拉氏变换得：
记：
两式相加减得：
将上方程组反演：
例5 求解积分方程
解：对方程两端施行拉氏变换
即：
进行反演：
例6 用拉普拉斯变换求积分：
解：当
进：对积分进行拉普拉斯变换
反演得：
当
时，作变换。
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达式直接求出
11
11
s (1 esT / 2 ) s (1 es )
f (t) (t) (t 1) (t 2) (t 3)
(1)k (t k)
k0
F(s) L
f (t)
( 1) k e ks
k0
1 s
1 s
1 1 es
等比（ es）级数
6. 拉氏逆变换 (Inversion of Laplace Transform)
2. 反变换
f (t ) 1
2 j
j
F
(
s
)e
st
ds
j
简写为：f (t)
L1[F (s)]
对应关系：f (t) F(s)
3.常用函数的拉氏变换
L[eat (t )] 1
sa L[ (t)] 1
s
L[ (t)] = 1
sin(t) (t) s2 2
cos(t) (t)
s
s2 2
uLd
为
电
感
中
电流的初 Nhomakorabea值
UL (s)
u( 1 L
)
(
0
)
Ls
Ls
UL (s) iL (0 )
Ls
s
时域平移性质 设：L[ f (t)] F (S)
L[ f (t t0 ) (t t0 )] est0 F ( S ) est0为延迟因子
f(t)(t)
f(t-t0)(t-t0)
f(t)(t-t0)
F1 ( S )
例 设周期函数T=2S，求其象函数F(s)。
f(t)
解 方法一 ：第一个周期可描述为
1 01 方法二
...
t(s) 2
则
：利用其表
f1(t) (t) (t
L[ f1(t )] F1(s)
：L[
f
(t
)]
1
1 e sT
1)
1 s
(1 s
1 es s
1 esT / 2 ) s
t
f
(
)
d
F(s) s
f (1) (0 ) s
式中 :
f (1) (0 )
0 f ( )d
是积分的初始值 。
例
已知设电U感L (的s)电 流L 与uL电，压求时电域感方电程流为的iL变换L1式。t uLd，
解：
式 中 ：iL (0 )
1 L
u( 1) L
(0
)
IL (s)
L
1 L
t
长除
以下均假设满足 m < n。
F(S)
am S m am1S m1 a0 bn S n bn1S n1 b0
N(S) D( S )
首先令F(s)的分母为零 即：D(s) = 0
求出 n个根 pi (i =1,2, …, n)； 当s等于任何一个根时，F(s)等于无穷大；
T
T
f(t) A
A tε(t) A (t T T )ε(t T )
T
T
T
A tε(t) A (t T )ε(t T ) Aε(t T )
T
T
F(s) L
f (t)
A T
1 s2
A T
1 s2
eTS
A 1 eTS s
S域平移性质
设：L[ f (t )] F (S ) L[et f (t )] F (S )
N(s) s D(s) 2s 2
k1
N( D(
p1 ) p1 )
|
p1
1
j
s 2s 2
| s p1 1 j
1 2
j
k2
N( D(
p2 ) p2 )
| p2
1
j
s 2s 2 |s p1 1 j
1 2
解 由时域方程
iC
C
duC dt
iC IC(s), uC UC(s)
IC (s) C[sUC (s) uC (0 )]
时域积分性质
设：L[ f (t)] F (S )
L[ t f ( )d ] 1 F(S)
0
S
例 L[t (t)] L[ t (t)dt] 1 1
0
SS
L
第10章 拉氏变换及其应用 Laplace Transform & Applications
1. 正变换
F(s) f (t)estdt 0
简写为：F(s) L[ f (t)]
F(s)称为象函数，用大写字母表示, 如I(s)，U(s)。
f(t )称为原函数，用小写字母表示，如 i(t ), u(t )。
F(S)
N(S) D( S )
am S m bn S n
am1S m1 a0 bn1S n1 b0
当m < n时 ，F(s)为真分式；直接进行分解。
当m≥n时，F(s)为假分式，先用多项式长除法 将F(s)分解为多项式与真分式之和的形式。
例
设
F(s)
s2 s2
2 s
2s 1 s2 s
例 求eat tε(t )的象函数。
解
tε(t )
1 s2
eat tε(t )
(s
1 a)2
5. 周期函数的拉氏变换
若周期函数f (t) = f (t+T )满足收敛条件， 则拉氏变换存在：
设f1(t)为f (t)的第一个周的函数
且 L[ f1(t)] F1(S)
则：L[ f (t)]
1 1 eST
t t0
t
t
t0
例
f(t)
1
f (t) (t) (t T)
例
Tt
F (S) 1 1 eTS SS
已知单个三角波形f (t)如图所示，求f (t)的象函数F(s)。
f (t) A t[ (t) (t T )]
T
? F ( S )
A( T
1 S2
e TS S2
)
f (t ) A tε(t) A tε(t T )
方法二 应用洛比达法则
N(S)
ki
lim
s pi
D(S )
所以：
k1
4S 2S
5 5
S 2
3
N ( pi ) D( pi )
k2
4S 2S
5 5
S 3
7
例
F(s)
解 方法一
s2
s 2s
，求原函数f (t)。 2
p1,2 1 j 复根
s2 2s 2 (s 1 j)( s 1 j) 0
tn (t)
n! s n1
4. 基本性质及应用
时域微分性质
设L[ f (t)] F(s)
L[df (t)] sF (s) dt
f (0
)
例 L[cos t (t)] L[ 1 d (sin t (t))] dt
1
s
s2
2
0
s2
s
2
例 已知电容中的电流和两端的电压参考方
向相关联，求电容电流的拉氏变换。
所以称这些根为F(s)的极点。
根据极点的不同特点，F(s)的分解方法也不同。
1) F(s)的极点仅为单根
例: F(S)
4S 5 S2 5S
6
(S
4S 5 2)(S
3)
-K31 S2
K7 2 S3
p1 2, p2 3
K1
4S 5 S3
S 2
3
K2
4S 5 S2
S 3
7
得：f (t ) （ 3e2t 7e3t） (t )