材料力学课件-第六章-弯曲应力
切应力沿截面高度呈抛物线分布 最大切应力发生在中性轴
h2
b2 b2
y
max
3 FS 2 A
Page29
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
Fs
翼缘 S z ( ) ( H 2 h2 ) 8 1 t1 ( H h) 2 Fs ( H h) ( ) 4Iz b 2 2 t 2 h2 2 腹板 S z ( ) ( H h ) ( y ) 8 2 2 Fs ( y) [b( H 2 h2 ) t 2 ( h2 4 y 2 )] 8 I z t2
A
ydA 0
中性轴位置： 中性轴过截面形心
中性轴
A
y dA M
E
A
y 2 dA M
A
z
定义
确定中性层 的曲率半径
Iz
y 2 dA
y
M EI z
Page10
1
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS c,max
结 论： y
y
E
1
横截面：上宽度变宽， 下宽度变窄。
内部变形
Page6
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
推论：
M
M
中性层
一侧伸长，一侧缩短
变形过程中横截面绕中性轴相对转动
中性层
存在既不伸长，也不缩短的面
Page7
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
二、弯曲正应力一般公式 1. 几何方面
FS (y) y z
一般梁横截面窄而高；
假设(y)的 分布形式
y
假设横截面上各点：//截面侧边 并沿截面宽度方向均匀分布
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BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
利用分离体平衡来求横截面上的切应力
M+dM (y) FS dx FS F1 b dx dA F2 y z
Page24
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
§6-4 梁的强度条件
一、梁危险点处的应力状态
矩形截面梁:
C ,max C ,max
a
C
a
max
z
b
b
max
c
y
t ,max
c
t ,max
危险点：a, c 点处: 单向应力； b 点处: 纯剪切
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假设内部变形 建立几何方程
Page5
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
一、实验观测与假设
观察外部现象：
观察结果：
仍为直线
横线：
仍与纵线正交 两横线相对转动
纵线： 1、平面假设： 变形后，横截面仍为平面， 且仍与纵线正交 2、单向受力假设： 梁内各纵向纤维仅受轴向应力
变为曲线 上缩短，下伸长
h2
b2 b2
y
b h 2 y 2 4
2
bh3 Iz 12
l
l
最大切应力发生在中性轴
max
3 FS 2 A
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3FS 4 y2 ( y) 1 2 2bh h
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
截面翘曲与非纯弯推广
梁强度问题的分析步骤： 1、内力分析——确定危险截面
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
上一讲回顾
对称弯曲切应力：
FS S z ( ) (y ) Izb
h2
C
y
FS
z O
max
3FS 4 y 2 矩形截面梁： ( y) 1 2 2bh h
ERIALS
l
弯曲切应力沿横截面的分布规律： FS S z ( ) (y ) F h2 Izb
S
截面静矩与惯性矩
C
y
z
O
h 1h Sz ( ) b y y 2 2 2
max
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
第六章
§6-1 引言
弯 曲 应 力
§6-2 弯曲正应力 §6-3 §6-4 §6-5 §6-6 弯曲切应力 梁的强度条件 梁的合理强度设计 双对称截面梁的非对称弯曲
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BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
§6-1 引 言
F
(1)
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
薄壁截面梁:
C ,max
d
z
1
1
O
a max
C
a
b
max
1
t ,max
b
max
1
y
1
1
c
d
t ,max
c
y
C ,max
危险点： a 点处: 纯剪切 b 点处: , 联合作用
c , d 点处: 单向应力
M
F1
dA
x方向平衡： F1 ( y ) b dx F2
F2 F1 ( y) b dx
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BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
公式推导过程
F1
F2 F1 ( y) b dx
dA
My Iz
b/2 h0/2
b/2
翼缘
腹板：//腹板侧边，均匀分布。 翼缘：//翼缘侧边，均匀分布。 分析方法：分离体平衡 F S ( ) ( y) S z Iz b 翼缘：
FS ( h0 h) 4Iz
F1 F2 tdx
h/2 h/2
腹板 C z
h0/2
( y)
腹板：
My 正应力公式： ( y ) Iz
max
M Wz
（Wz －抗弯截面系数）
应用条件： max p
，对称弯曲 , 纯弯与非纯弯
Page13
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
例：简支梁受均布载荷作用，若分别采用截面面积
相等的实心圆截面和空心圆截面求梁的最大正应力
F
若梁的横截面积相同 (1)，(2)两种情况那种 情况对梁承载有利？
(2)
Page2
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
对称弯曲：
Page3
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
梁弯曲时横截面上的应力
M M
Fs
弯曲正应力 M 弯曲切应力 FS
FS dA dA
My Iz
应力分布
M EI z
最大弯曲正应力 max
t,max
Mymax M Iz I z / ymax
Iz y
max
M Wz
定义 Wz
抗弯截面系数
Page11
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
典型截面的惯性矩与抗弯截面系数 ( d
b
中性层
考察线段ab的变形： 变形前： ab dx d
d
y a’
a b
中性轴
变形后： ab ( y )d
z
ab ab yd
yd y dx d
几何方程
Page8
b’
y
dx
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
•切应力利用纯弯正应力公式推导 •纯弯正应力公式依据平截面假设 •切应力非均匀分布引起截面翘曲
O
•平截面假设不再严格成立矛盾解法 •但当l »h时，纯弯正应力公式用于横力 弯曲仍然相当精确
max
Page22
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
二、工字形薄壁梁的弯曲切应力
工字形梁的弯曲切应力
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BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
二、梁的强度条件
• 弯曲正应力强度条件：
max
M W [ ] z max
c
d
t ,max
max：最大弯曲正应力 [] ：材料单向应力许用应力
C ,max
•弯曲切应力强度条件：
max
FS Sz ,max [ ] I z max
a
b
max
max ： 最大弯曲切应力
[] ： 材料纯剪切许用应力
• ,联合作用强度条件（详见第9章强度理论）
1
1
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BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
三、梁强度条件的选用
细长非薄壁梁： max max
M F1 Iz
ydA
z
ydA S ( )
z y
MS z ( ) F1 Iz
( M dM ) Sz ( ) F2 Iz
dM S z ( ) ( y) I z b dx
dM FS dx
FS Sz ( ) ( y) Iz b
y
( y)
FS 2 [b( h0 h2 ) ( h2 4 y 2 )] 8I z
h2
b2 b2
y
max
3 FS 2 A
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MECHANICS OF MATERIALS
Fs
翼缘 S z ( ) ( H 2 h2 ) 8 1 t1 ( H h) 2 Fs ( H h) ( ) 4Iz b 2 2 t 2 h2 2 腹板 S z ( ) ( H h ) ( y ) 8 2 2 Fs ( y) [b( H 2 h2 ) t 2 ( h2 4 y 2 )] 8 I z t2
A
ydA 0
中性轴位置： 中性轴过截面形心
中性轴
A
y dA M
E
A
y 2 dA M
A
z
定义
确定中性层 的曲率半径
Iz
y 2 dA
y
M EI z
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1
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MECHANICS OF MATERIALS c,max
结 论： y
y
E
1
横截面：上宽度变宽， 下宽度变窄。
内部变形
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MECHANICS OF MATERIALS
推论：
M
M
中性层
一侧伸长，一侧缩短
变形过程中横截面绕中性轴相对转动
中性层
存在既不伸长，也不缩短的面
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MECHANICS OF MATERIALS
二、弯曲正应力一般公式 1. 几何方面
FS (y) y z
一般梁横截面窄而高；
假设(y)的 分布形式
y
假设横截面上各点：//截面侧边 并沿截面宽度方向均匀分布
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MECHANICS OF MATERIALS
利用分离体平衡来求横截面上的切应力
M+dM (y) FS dx FS F1 b dx dA F2 y z
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MECHANICS OF MATERIALS
§6-4 梁的强度条件
一、梁危险点处的应力状态
矩形截面梁:
C ,max C ,max
a
C
a
max
z
b
b
max
c
y
t ,max
c
t ,max
危险点：a, c 点处: 单向应力； b 点处: 纯剪切
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假设内部变形 建立几何方程
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MECHANICS OF MATERIALS
一、实验观测与假设
观察外部现象：
观察结果：
仍为直线
横线：
仍与纵线正交 两横线相对转动
纵线： 1、平面假设： 变形后，横截面仍为平面， 且仍与纵线正交 2、单向受力假设： 梁内各纵向纤维仅受轴向应力
变为曲线 上缩短，下伸长
h2
b2 b2
y
b h 2 y 2 4
2
bh3 Iz 12
l
l
最大切应力发生在中性轴
max
3 FS 2 A
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3FS 4 y2 ( y) 1 2 2bh h
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MECHANICS OF MATERIALS
截面翘曲与非纯弯推广
梁强度问题的分析步骤： 1、内力分析——确定危险截面
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MECHANICS OF MATERIALS
上一讲回顾
对称弯曲切应力：
FS S z ( ) (y ) Izb
h2
C
y
FS
z O
max
3FS 4 y 2 矩形截面梁： ( y) 1 2 2bh h
ERIALS
l
弯曲切应力沿横截面的分布规律： FS S z ( ) (y ) F h2 Izb
S
截面静矩与惯性矩
C
y
z
O
h 1h Sz ( ) b y y 2 2 2
max
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MECHANICS OF MATERIALS
第六章
§6-1 引言
弯 曲 应 力
§6-2 弯曲正应力 §6-3 §6-4 §6-5 §6-6 弯曲切应力 梁的强度条件 梁的合理强度设计 双对称截面梁的非对称弯曲
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MECHANICS OF MATERIALS
§6-1 引 言
F
(1)
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MECHANICS OF MATERIALS
薄壁截面梁:
C ,max
d
z
1
1
O
a max
C
a
b
max
1
t ,max
b
max
1
y
1
1
c
d
t ,max
c
y
C ,max
危险点： a 点处: 纯剪切 b 点处: , 联合作用
c , d 点处: 单向应力
M
F1
dA
x方向平衡： F1 ( y ) b dx F2
F2 F1 ( y) b dx
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MECHANICS OF MATERIALS
公式推导过程
F1
F2 F1 ( y) b dx
dA
My Iz
b/2 h0/2
b/2
翼缘
腹板：//腹板侧边，均匀分布。 翼缘：//翼缘侧边，均匀分布。 分析方法：分离体平衡 F S ( ) ( y) S z Iz b 翼缘：
FS ( h0 h) 4Iz
F1 F2 tdx
h/2 h/2
腹板 C z
h0/2
( y)
腹板：
My 正应力公式： ( y ) Iz
max
M Wz
（Wz －抗弯截面系数）
应用条件： max p
，对称弯曲 , 纯弯与非纯弯
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MECHANICS OF MATERIALS
例：简支梁受均布载荷作用，若分别采用截面面积
相等的实心圆截面和空心圆截面求梁的最大正应力
F
若梁的横截面积相同 (1)，(2)两种情况那种 情况对梁承载有利？
(2)
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MECHANICS OF MATERIALS
对称弯曲：
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MECHANICS OF MATERIALS
梁弯曲时横截面上的应力
M M
Fs
弯曲正应力 M 弯曲切应力 FS
FS dA dA
My Iz
应力分布
M EI z
最大弯曲正应力 max
t,max
Mymax M Iz I z / ymax
Iz y
max
M Wz
定义 Wz
抗弯截面系数
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MECHANICS OF MATERIALS
典型截面的惯性矩与抗弯截面系数 ( d
b
中性层
考察线段ab的变形： 变形前： ab dx d
d
y a’
a b
中性轴
变形后： ab ( y )d
z
ab ab yd
yd y dx d
几何方程
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b’
y
dx
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MECHANICS OF MATERIALS
•切应力利用纯弯正应力公式推导 •纯弯正应力公式依据平截面假设 •切应力非均匀分布引起截面翘曲
O
•平截面假设不再严格成立矛盾解法 •但当l »h时，纯弯正应力公式用于横力 弯曲仍然相当精确
max
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MECHANICS OF MATERIALS
二、工字形薄壁梁的弯曲切应力
工字形梁的弯曲切应力
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MECHANICS OF MATERIALS
二、梁的强度条件
• 弯曲正应力强度条件：
max
M W [ ] z max
c
d
t ,max
max：最大弯曲正应力 [] ：材料单向应力许用应力
C ,max
•弯曲切应力强度条件：
max
FS Sz ,max [ ] I z max
a
b
max
max ： 最大弯曲切应力
[] ： 材料纯剪切许用应力
• ,联合作用强度条件（详见第9章强度理论）
1
1
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MECHANICS OF MATERIALS
三、梁强度条件的选用
细长非薄壁梁： max max
M F1 Iz
ydA
z
ydA S ( )
z y
MS z ( ) F1 Iz
( M dM ) Sz ( ) F2 Iz
dM S z ( ) ( y) I z b dx
dM FS dx
FS Sz ( ) ( y) Iz b
y
( y)
FS 2 [b( h0 h2 ) ( h2 4 y 2 )] 8I z
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材料力学弯曲应力_图文
§5-3 横力弯曲时的正应力
例题6-1
q=60kN/m
A
1m
FAY
C
l = 3m
FS 90kN
120
1.C 截面上K点正应力 2.C 截面上最大正应力
B
x
180
K
30 3.全梁上最大正应力 z 4.已知E=200GPa，
FBY
C 截面的曲率半径ρ y
解：1. 求支反力
x 90kN M
x
（压应力）
目录
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
正应力分布
z
M
C
zzy
x
dA σ
y
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
常见截面的 IZ 和 WZ
圆截面 空心圆截面
矩形截面 空心矩形截面
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
横力弯曲
6-2
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
横力弯曲正应力公式
弹性力学精确分析表明 ，当跨度 l 与横截面高度 h 之比 l / h > 5 （细长梁）时 ，纯弯曲正应力公式对于横 力弯曲近似成立。 横力弯曲最大正应力
§5-3 横力弯曲时的正应力
q=60kN/m
A
1m
FAY
C
l = 3m
FS 90kN
120
2. C 截面最大正应力
B
x
180
K
30 C 截面弯矩 z
FBY
y
C 截面惯性矩
x 90kN M
x
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
q=60kN/m
A
1m
FAY
C
l = 3m
材料力学06(第六章 弯曲应力)分析
F / 4 2 103 mm 134 mm
30 MPa 5493104 mm4
F 24.6 kN
因此梁的强度由截面B上的最大拉应力控制
[F] 19.2 kN
§6-3 梁横截面上的切应力•梁的切应力强度条件
Ⅰ、梁横截面上的切应力
分离体的平衡
横截面上切应力 分布规律的假设
横截面上弯曲切 应力的计算公式
二.工字形截面梁 1、腹板上的切应力
h
d
y
d
O
y b
O
' A*
y dA
FS
S
* z
Izd
S
* z
bd
2
h
d
d 2
h 2
d
2
y2
腹板与翼缘交界处
max
min
FS Izd
bd
h d
max O
中性轴处
max
FS
S
* z,m
ax
Izd
y
min
FS
bd
h
d
d
h
d
2
I z d 2
160 MPa 148 MPa
2
Ⅲ 梁的正应力强度条件
max 材料的许用弯曲正应力
中性轴为横截面对称轴的等直梁
M max
Wz
拉、压强度不相等的铸铁等脆性材料制成的梁
为充分发挥材料的强度，最合理的设计为
t,max
M max yt,max Iz
[
t]
c,max
M max yc,max Iz
Myc,max Iz
典型截面的惯性矩与抗弯截面系数 ( d D)
b
材料力学——弯曲应力
公式推导
线应变的变化规律 与纤维到中性层的距离成正比。
从横截面上看： 点离开中性轴越远，该点的线应变越大。
2、物理关系
当σ<σP时 虎克定律
E
E
y
y
弯曲正应力的分布规律 a、与点到中性轴的距离成正比； 沿截面高度 线性分布； b、沿截面宽度 均匀分布； c、正弯矩作用下， 上压下拉； d、危险点的位置， 离开中性轴最远处.
M max ymax IZ
x
67.5 103 90 103 5.832 105
104.17MPa
6、已知E=200GPa，C 截面的曲率半径ρ q=60KN/m A FAY B 1m C 3m FBY
M C 60kN m
I z 5.832 105 m 4
M EI
4 103 88 103 46.1MPa 6 7.64 10
9KN
4KN
C截面应力计算
A FA
M 1m
C 1m
B
1m FB
C截面应力分布 应用公式
t ,max
My Iz
2.5KNm
2.5 103 88 103 28.8MPa 6 7.64 10
Fb Fa
C截面： max M C Fb3 62.5 160 32 46.4MPa d W 3
zC
2
0.13
32
（5）结论 轮轴满足强度条件
一简支梁受力如图所示。已知 [ ] 12MPa ，空心圆截面 的内外径之比 一倍，比值不变，则载荷 q 可增加到多大？ q=0.5KN/m A B
反映了截面的几何形状、尺寸对强度的影响
最大弯曲正应力计算公式
材料力学第六章
§6-1 一、多跨静定梁 3．求解变形：
其它平面弯曲构件的内力与变形
1)宜采用叠加法；
2)先求主梁的变形： 在自身载荷及中间铰处次梁作用力的共同作用 下变形。
3)再求次梁的变形： 主梁变形引起次梁的刚性转动；
简化成简支梁或外伸梁的次梁在自身载荷作用 下的变形；
§6-1
其它平面弯曲构件的内力与变形
a
Fz
B
a
Fy y
10
解：外力沿形心主轴分解： F F y F cosa A点最大拉应力(B点最大压应力) F F sina z F y l | y A | Fz l | z A | sA 60.7 MPa Iz Iy
§6-4
开口薄壁杆的弯曲切应力与弯曲中心
一、产生平面弯曲的条件
)
F
§6-1
a A
F B
其它平面弯曲构件的内力与变形
y
x Fa A B
b
C
F
C
例6-3 作图示刚架内力图，并求A截面的 转角、水平和铅垂位移(抗弯刚度为EI)。 2)求A点转角、水平和铅垂位移： 再将AB刚化，BC解除刚化，F由 A点简化到B点 Fab q B " ( ) EI 2 在B点产生qB"、 Fab xB"为 x B " ( ) 2 EI BC变形引 q A " q B " Fab ( ) EI 2 起A点刚性 Fab ( ) 转动产生的 x A " x B " 2 EI2 qA"、xA"、 Fa b y A " q B "a ( ) yA " EI
y、z为形心主轴，F平行y轴，通过弯心A； Fx 0 ：FN 2 FN1 t 'tdx 0 * * * * F S M z dMM ( M d M ) S M S d M S z z z z zz z z z z Qy FN 2 y d A s d A y d A t t ' 1 A AA I z I z dx I z t I zII t zz
材料力学第6章弯曲应力
图6.5
页 退出
材料力学
出版社 理工分社
例6.1如图6.6所示，矩形截面悬臂梁受集中力和集中力偶作用。试求Ⅰ—Ⅰ 截面和固定端Ⅱ—Ⅱ截面上A，B，C，D ４点处的正应力。
图6.6
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材料力学
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解矩形截面对中性轴的惯性矩为 对于Ⅰ—Ⅰ截面，弯矩MⅠ=20 kN·m，根据式(6.2)，各点正应力分别为
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材料力学
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(1)变形几何关系 弯曲变形前和变形后的梁段分别表示于图6.4(a)和(b)。以梁横截面的对称 轴为y轴且向下为正(见图6.4(c))。以中性轴为z轴，但中性轴的位置尚待确 定。在中性轴尚未确定之前，x轴只能暂时认为是通过原点的横截面的法 线。根据弯曲平面假设，变形前相距为dx的两个横截面，变形后各自绕中性 轴相对旋转了一个角度dθ ，且仍然保持为平面。这就使得距中性层为y的纵 向纤维bb的长度变为
式中积分
是横截面对y轴和z轴的惯性积。由于y轴是横截面的对
称轴，必然有Iyz=0(见附录)。所以式(g)是自然满足的。 将式(b)代入式(e)，得
式中积分∫Ay2dA=Iz是横截面对z轴(中性轴)的惯性矩。于是式(h)改写为 式中 ——梁轴线变形后的曲率。
页 退出
材料力学
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式(6.1)表明，EIz越大，则曲率 越小，故EIz称为梁的抗弯刚度。从式 (6.1)和式(b)中消去 ，得
而对于变截面梁，虽然是等截面梁但中性轴不是横截面对称轴的梁，在计算 最大弯曲正应力时不能只注意弯矩数值最大的截面，应综合考虑My/Iz的值 (参看例6.5和例6.8)。
页 退出
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引用记号
材料力学第六章弯曲应力
但相应的最大弯矩值变为
Fl ql2
M max
4
8
375 kN m 13 kN m 388 kN m
而危险截面上的最大正应力变为
max
388103 N m 2342106 m3
165.7106
Pa
165.7
MPa
显然，梁的自重引起的最大正应力仅为
165.7 160 MPa 5.7 MPa
<2>. 相邻横向线mm和nn，在梁弯曲后仍为直线，只是
相对旋转了一个角度，且与弧线aa和bb保持正交。
根据表面变形情况，并设想梁的侧面上的横向线mm和 nn是梁的横截面与侧表面的交线，可作出如下推论(假设)：
平面假设 梁在纯弯曲时，其原来的横截面仍保持为平面， 只是绕垂直于弯曲平面(纵向平面)的某一轴转动，转动后 的横截面与梁弯曲后的轴线保持正交。
力的值max为
max
M ym a x Iz
M
Iz ymax
M Wz
式中，Wz为截面的几何性质，称为弯曲截面系数（对Z轴）
(section modulus in bending)，其单位为m3。
b
h d
o
z
o
z
y
y
中性轴 z 不是横截面的对称轴时(参见图c)，其横截面 上最大拉应力值和最大压应力值为
A
r
(b)
M z
y d A E
A
r
y2 d A EI z M
A
r
(c)
由于式(a)，(b)中的
E
r
不可能等于零，因而该两式要求：
1. 横截面对于中性轴 z 的静矩等于零，A y d A 0 ；显
材料力学弯曲切应力ppt课件
m
F*
B N2 n
dFs
FN*2
FN*1
dM Iz
S
* z
3 求纵截面 AB1 上的切应力 ’
S dFs 1 dM *
b dx bI z dx z
Fs
S
* z
bI z
z x
y
A1
FN*1
m
B1 dFs
A
n
bm
dx
B FN*2 n
Fs
S
* z
bI z
4 横截面上距中性轴为任意 y 的点，其切应力 的计 算公式。
*
z max [ ]
I zb
式中 ：[] 为材料在横力弯曲时的许用切应力。
S* z max
为中性轴任一边的半个横截面面积对中性轴的静矩
F S s,max
*
z max [ ]
I zb
在选择梁的截面时，通常先按正应力选出截面， 再按切应力进行强度校核。
例题3 ： 简支梁受均布荷载作用，其荷载集度 q 3.6 kN m
Fs,max 所在的横截面上，而且一般说是位于该截面的中性轴上。 全梁各横截面中最大切应力可统一表达为
S Fsmax
* z max
max
Izb
S Fsmax
* z max
max
Izb
S* z max
—— 中性轴一侧的横截面面积对中性轴的静矩
b —— 横截面在中性轴处的宽度
Fs max —— 全梁的最大剪力
q
m
C
E
G
H D
m
l 2
l
Fs 图 F
M图
ql 2
ql 2 8
E
τ max
F*
B N2 n
dFs
FN*2
FN*1
dM Iz
S
* z
3 求纵截面 AB1 上的切应力 ’
S dFs 1 dM *
b dx bI z dx z
Fs
S
* z
bI z
z x
y
A1
FN*1
m
B1 dFs
A
n
bm
dx
B FN*2 n
Fs
S
* z
bI z
4 横截面上距中性轴为任意 y 的点，其切应力 的计 算公式。
*
z max [ ]
I zb
式中 ：[] 为材料在横力弯曲时的许用切应力。
S* z max
为中性轴任一边的半个横截面面积对中性轴的静矩
F S s,max
*
z max [ ]
I zb
在选择梁的截面时，通常先按正应力选出截面， 再按切应力进行强度校核。
例题3 ： 简支梁受均布荷载作用，其荷载集度 q 3.6 kN m
Fs,max 所在的横截面上，而且一般说是位于该截面的中性轴上。 全梁各横截面中最大切应力可统一表达为
S Fsmax
* z max
max
Izb
S Fsmax
* z max
max
Izb
S* z max
—— 中性轴一侧的横截面面积对中性轴的静矩
b —— 横截面在中性轴处的宽度
Fs max —— 全梁的最大剪力
q
m
C
E
G
H D
m
l 2
l
Fs 图 F
M图
ql 2
ql 2 8
E
τ max
弯曲应力-材料力学
弯曲应力的计算方法
根据材料力学的基本原理，弯曲应力 的计算公式为：σ=M/Wz，其中σ为 弯曲应力，M为弯曲力矩，Wz为截面 对中性轴的抗弯截面系数。
另外，根据不同的弯曲形式和受力情 况，还可以采用其他计算公式来求解 弯曲应力，如均布载荷下的简支梁、 集中载荷下的悬臂梁等。
弯曲应力的计算方法
根据材料力学的基本原理，弯曲应力 的计算公式为：σ=M/Wz，其中σ为 弯曲应力，M为弯曲力矩，Wz为截面 对中性轴的抗弯截面系数。
弯曲应力可能导致材料发生弯曲变形，影响结构的稳定性和精度。
弯曲应力对材料刚度的影响
弯曲应力对材料的刚度有影响，材料的刚度随着弯曲应力的增大而 减小。
弯曲应力与剪切应力的关系
1 2
剪切应力在弯曲应力中的作用
在弯曲过程中，剪切应力会在材料截面的边缘产 生，它与弯曲应力相互作用，影响梁的承载能力 和稳定性。
弯曲应力
材料的韧性和强度都会影响其弯曲应力的大小和分布。韧性好的材料能够更好地分散和 吸收弯曲应力，而高强度的材料则能够承受更大的弯曲应力而不发生断裂。
材料韧性、强度与弯曲应力的关系
韧性
是指材料在受到外力作用时吸收能量的能力。韧性好的材料能够吸收更多的能量，从而 减少因弯曲应力而产生的脆性断裂。
强度
剪切应力的分布
剪切应力在材料截面的边缘最大，向中性轴方向 逐渐减小。
3
剪切应力和弯曲应力的关系
剪切应力和弯曲应力共同作用，影响梁的承载能 力和稳定性，在设计时需要考虑两者的相互作用。
弯曲应力与剪切应力的关系
1 2
剪切应力在弯曲应力中的作用
在弯曲过程中，剪切应力会在材料截面的边缘产 生，它与弯曲应力相互作用，影响梁的承载能力 和稳定性。
第六章弯曲应力
? 中性轴的位置
中性层的曲率半径r
3. 静力学关系
statics relation
M
z
FN
A dFN
σdA
A
O
x
M y
A dM y
zσdA
A
y
M z
A dM z
yσdA
A
凹入一侧的受压应力，凸出的一侧受拉应力
应用公式时，一般将 My 以绝对值代入. 根据梁变形的情况直接
按强度要求设计梁时，主要是依据梁的正应力强度条件
σmax M max [σ] Wz
一、降低梁的最大弯矩值
1.合理地布置梁的荷载
F
F
l
Fl/4
l/4
l/2 l/4
Fl/8
2.合理地设置支座位置
q
q
l
ql2/2
a
a
l
0.0214ql2
当两端支座分别向跨中移动a=0.207l 时，最大弯矩减小.
二、增大Wz
deformation geometric relationship
physical relationship
static relationship
Examine the deformation， 变
then propose the hypothesis 形
几
何
关
Distribution regularity
z
0.8a2 a2
π D12 4
2a22
0.8 1.6a22 ,a2
1.05D1
Wz4 4.57Wz1
工字形截面与框形截面类似.
2.合理的放置
W1 h W2 b
《材料力学弯曲》课件
定义方式
弯曲应变通常用曲率半径的变化量与原始曲率半径的比值来表示，即 ΔR/R。其中 ΔR 是曲率半径的变化量，R 是原始曲率半径。
弯曲应变的计算
应变计法
通过在物体上粘贴应变片 ，并利用应变计测量应变 值，从而计算出弯曲应变 。
有限元分析法
利用有限元分析软件，建 立物体的有限元模型，通 过模拟受力情况下的变形 过程，计算出弯曲应变。
实验法
通过实验测试物体的弯曲 变形，利用相关公式计算 出弯曲应变。
弯曲应变的分布
应变分布图
通过绘制应变分布图，可以直观地了 解物体在弯曲变形过程中应变的大小 和分布情况。
应变集中
应变梯度
在弯曲变形过程中，物体不同部位上 的应变大小和方向可能不同，形成应 变梯度。
在物体受力点附近区域，应变会集中 增大，可能导致材料疲劳或断裂。
材料力学的重要性
总结词
材料力学在工程设计和实践中具有重要意义。
详细描述
在工程设计和实践中，材料力学是必不可少的学科之一。通过对材料力学的研究 ，工程师可以更好地理解材料的性能，预测其在各种工况下的行为，从而设计出 更加安全、可靠、经济的工程结构。
材料力学的基本假设
总结词
材料力学基于一系列基本假设，这些假设简 化了问题的复杂性，使得分析更为简便。
学习目标
01
02
03
04
掌握材料力学的基本概念、原 理和分析方法。
理解弯曲问题的特点和解决方 法。
能够运用所学知识解决简单的 弯曲问题。
培养分析问题和解决问题的能 力，提高力学素养。
02
材料力学基础
材料力学的定义
总结词
材料力学是一门研究材料在各种 力和力矩作用下的行为的学科。
弯曲应变通常用曲率半径的变化量与原始曲率半径的比值来表示，即 ΔR/R。其中 ΔR 是曲率半径的变化量，R 是原始曲率半径。
弯曲应变的计算
应变计法
通过在物体上粘贴应变片 ，并利用应变计测量应变 值，从而计算出弯曲应变 。
有限元分析法
利用有限元分析软件，建 立物体的有限元模型，通 过模拟受力情况下的变形 过程，计算出弯曲应变。
实验法
通过实验测试物体的弯曲 变形，利用相关公式计算 出弯曲应变。
弯曲应变的分布
应变分布图
通过绘制应变分布图，可以直观地了 解物体在弯曲变形过程中应变的大小 和分布情况。
应变集中
应变梯度
在弯曲变形过程中，物体不同部位上 的应变大小和方向可能不同，形成应 变梯度。
在物体受力点附近区域，应变会集中 增大，可能导致材料疲劳或断裂。
材料力学的重要性
总结词
材料力学在工程设计和实践中具有重要意义。
详细描述
在工程设计和实践中，材料力学是必不可少的学科之一。通过对材料力学的研究 ，工程师可以更好地理解材料的性能，预测其在各种工况下的行为，从而设计出 更加安全、可靠、经济的工程结构。
材料力学的基本假设
总结词
材料力学基于一系列基本假设，这些假设简 化了问题的复杂性，使得分析更为简便。
学习目标
01
02
03
04
掌握材料力学的基本概念、原 理和分析方法。
理解弯曲问题的特点和解决方 法。
能够运用所学知识解决简单的 弯曲问题。
培养分析问题和解决问题的能 力，提高力学素养。
02
材料力学基础
材料力学的定义
总结词
材料力学是一门研究材料在各种 力和力矩作用下的行为的学科。