高数极限与函数等价代换公式
高数重要定理(高数上下)
4.如果欲证等式，则再应用介值定理即可证明；如果欲证不等式，
则继续取绝对值放大、缩小即可证明.
1．水平渐近线
若 xli→m∞ f (x)= A ( 或 xl→im+∞ f (x)= A或 xl→im−∞ f (x)= A),则 y = A是曲线
y= f (x)的一条水平渐近线．
2．垂直（竖直、铅直）渐近线
g(x) (3) 已知lim f (x)g(x)= A，lim f (x)=∞，
则limg(x)=0.
1.连续函数的和，差，积，商（分母不为零）及复合仍连续. 2.初等函数在其定义区间内处处连续. 3.闭区间上连续函数的性质
(1)最值性:若 f (x)在[a,b]上连续, 则 f (x)在[a,b]上必有最大值
（1）高阶：若lim α ( x) = 0，记为α ( x) = ο[β ( x)]; β ( x)
（2）低阶：若lim α ( x) = ∞，记为β ( x) = ο[α ( x)]; β ( x)
（3）同阶： 若lim α ( x) = C ≠ 0,记为α ( x) = O[β ( x)]; β ( x)
(ln
x).
(4) ∫ f (
x)
dx x
=
2∫
f
(
x)d(
x ).
(5) ∫ f (cos x)sin xdx = −∫ f (cos x) d (cos x).
(6)
∫
f
⎛ ⎜⎝
1 x
⎞ ⎟⎠
dx x2
=
−∫
f
⎛ ⎜⎝
1 x
⎞⎟⎠d
⎛ ⎜⎝
1 x
⎞⎟⎠.
定积分的性质：
(1)
a
高数公式(精简版)
高数公式集萃一、极限重要公式（1）0sin lim 1x xx→= （2）()10lim 1x x x e →+= （3）)1n a o >=（4）1n = （5）lim arctan 2x x π→∞=（6）lim tan 2x arc x π→−∞=−（7） （8）lim arc cot 0x x →∞=lim arc cot x x π→−∞= （9）lim 0xx e →−∞=（10） （11）lim x x e →+∞=∞0lim 1xx x +→= 二、常用等价无穷小关系（0x →）（1）sin x x （2）tan x x （3）arcsin x x （4）arctan x x （5）211cos 2x x − （6）()ln 1x x + （7） （8） （9）1x e − x a 1ln x a x − ()11x x ∂+−∂三、导数的四则运算法则（1） （2）()u v u v ′′±=±′()uv u v uv ′′′=+ （3）2u u v u v v ′′′−⎛⎞=⎜⎟⎝⎠v 四、基本导数公式⑴() ⑵0c ′=1x xμμμ−= ⑶()sin cos x x ′=⑷()cos sin x x ′=− ⑸()2tan sec x x ′= ⑹()2cot csc x x ′=− x ⑼()xxe ′⑺()sec sec tan x x ′=⋅x ⑻()csc csc cot x x ′=−⋅e=⑽() ⑾()ln xxaa′=a 1ln x x ′= ⑿()1log ln x a x a′=⒀()arcsin x ′=⒁()arccos x ′= ⒂()21arctan 1x x ′=+ ⒃()21arc cot 1x x′=−+（17）′=五、微分运算法则⑴ ⑵ ⑶()d u v du dv ±=±()d cu cdu =()d uv vdu udv =+ ⑷2u vdu udvd v v −⎛⎞=⎜⎟⎝⎠六、微分公式与微分运算法则⑴ ⑵ ⑶()0d c =()1d xxdx μμμ−=()sin cos d x xd =x x x⑷ ⑸ ⑹()cos sin d x xd =−()2tan sec d x xd =()2cot csc d x xd =−x x x ⑺ ⑻ ⑼()sec sec tan d x x xd =⋅()csc csc cot d x x xd =−⋅()xxd e e dx =⑽ ⑾()ln x x d a a adx =()1ln d x dx x =⑿()1log ln x a d dx x a=⒀()arcsin d x =⒁()arccos d x = ⒂()21arctan 1d x dx x =+ ⒃()21arc cot 1d x dx x =−+ 七、下列常用凑微分公式八、中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
极限的代换公式
极限的代换公式
极限的代换公式是数学中常用的一种方法，用于解决函数在某一点的极限问题。
它是基于函数的局部性质和函数的连续性原理，通过代换使得原函数可以化简为更容易处理的形式。
在极限的代换公式中，我们可以假设函数在某一点的极限存在，并通过一系列的代换来求得这个极限的值。
例如，当我们需要求函数
f(x)在x=a处的极限时，可以将x-a代换为t，那么当x趋近于a时，t也趋近于0。
这样一来，原来的函数f(x)可以转化为一个新的函数f(t)，并且我们可以通过对f(t)的处理来求得f(x)在x=a处的极限。
通过极限的代换公式，我们可以解决一些常见的极限问题，例如求多项式函数、指数函数、对数函数等在某一点的极限。
通过代换，我们可以将原函数转化为更简单的形式，从而更容易求得极限的值。
在极限的代换公式中，我们需要注意一些细节。
首先，我们需要确保代换后的新函数与原函数在极限点附近有相同的性质。
其次，我们需要注意代换后的函数是否在极限点附近有定义。
最后，我们需要注意代换是否涉及到不可解的情况，例如除以0或开根号等。
总的来说，极限的代换公式是一种常用且有效的数学工具，可以帮助我们解决一些复杂的极限问题。
通过合理的代换，我们可以将原函数转化为更简单的形式，从而更容易求得极限的值。
但是在使用代换时，我们需要注意一些细节，确保代换的正确性和有效性。
只
有在合适的情况下，极限的代换公式才能发挥出它的优势，帮助我们解决数学问题。
高等数学等价无穷小的几个常用公式
高等数学等价无穷小的几个常用公式在高等数学中，等价无穷小是很常见的概念。
等价无穷小是指当自变量趋于某一特定值时，函数和它的无穷小表达式之间的关系。
在本文中，我们将介绍高等数学中几个常用的等价无穷小公式及其应用。
一、等价无穷小的定义在函数f(x)中，当x趋于a时，如果存在一个函数g(x)，满足当x 趋于a时，f(x)与g(x)的差趋于0，那么我们称g(x)是f(x)在x趋于a时的等价无穷小。
使用符号记作f(x)≈g(x)。
二、常用的等价无穷小公式1. 当x趋于0时，有以下等价无穷小公式：- sin(x)≈x- tan(x)≈x- arcsin(x)≈x- arctan(x)≈x- ln(1+x)≈x- e^x-1≈x2. 当x趋于无穷大时，有以下等价无穷小公式：- e^x-1≈x- ln(1+x)≈x- sin(x)≈x- tan(x)≈x- arcsin(x)≈x- arctan(x)≈x三、等价无穷小的应用等价无穷小的公式在高等数学中有广泛的应用，特别是在极限计算中。
通过将函数替换为与其等价的无穷小形式，可以简化复杂的计算过程。
举个例子来说明，我们来计算lim(x→0) (sin(x)/x)。
由于sin(x)在x趋于0时与x是等价无穷小，因此可以将sin(x)替换为x。
这样，我们的极限计算就变成了lim(x→0) (x/x)，结果为1。
四、高等数学等价无穷小的注意事项在使用等价无穷小公式时，需要注意以下几个问题：1. 应该选择与原函数在某一特定点附近具有相同性质的等价无穷小。
2. 当使用等价无穷小公式进行计算时，需要满足等价无穷小的定义，即两个函数的差趋于0。
3. 在实际应用中，需要结合具体问题进行思考，是否适用等价无穷小公式。
综上所述，等价无穷小是高等数学中的重要概念，可以简化复杂的计算过程。
通过掌握常用的等价无穷小公式，我们可以更加高效地进行极限计算，并且在实际问题中能够灵活运用。
希望本文对您理解和应用等价无穷小有所帮助。
高数函数极限方法总结
高数函数极限方法总结
9、收敛数列的性质
1.收敛数列与其子数列收敛同一个数 2、（极限存在性定理）单调递增有上 界函数收敛，单调递减有下界函数收敛 。（证明） 利用每项数列趋于同一数方程求解。（ 求出极限）
高数函数极限方法总结
17、对数恒等式、幂指函数
lim f ( x ) g ( x)
高数函数极限方法总结
18、利用Taylor公式求极限
泰勒展开式公式 (含有e的x次方的时候 ，尤 其是含有正余弦的加减的时候要特别注意E
高数函数极限方法总结
那么常数A就叫做函数f(x)当x→x。时的极限。
高数函数极限方法总结
14、函数的连续性
高数函数极限方法总结
15、特殊型
x的x次方 快于 x！ 快于 指数函数 快于 幂数函 数 快于 对数函数 （画图也能看出速率的快慢） 当x趋近无穷的时候 他们的比值的极限一眼就能看 出来了
等比等差数列公式应用
（对付数列极限） （q绝对值符号要小于1）
高数函数极限方法总结
10、无穷小和无穷大的性质：
无穷小与有界函数的处理办法 尤其对正余旋的复杂函数与其他函数相乘的形式
相同极限条件下 1.有限个无穷小的和是无穷小，无限个不一定 2.无穷小与有界函数的乘积是无穷小 3.有限个、无限个无穷小的乘积是无穷小
4.有限个无穷大之积是无穷大 5.无穷大与有界函数之和是无穷大，之积不一定 6.同号无穷大之和是无穷大
一.如果数列{Xn},{Yn}及{Zn}满足下列条件： （1）从某项起，即当n>n。，其中n。∈N，有Yn≤Xn≤Zn。 (n=n。+1，n。+2
高数 极限计算 泰勒公式
高数极限计算泰勒公式
高数中的极限计算是指当一个函数的变量趋近于特定值或者无穷时，函数值接近于某一特定值的概念，极限计算用于求解一些模糊不定的函数表达式、不可解的不定积分及确定非线性微分方程的问题，极限计算的最经典方法就是泰勒公式。
泰勒公式（Taylor’s theorem）是一种可以用来求解复杂函数的极限计算方法，它是一种连续函数的一阶无穷近似，也就是可以将一个函数f(x)无穷近似等价于函数Rn(x)，这个无穷近似的函数Rn(x)可以用如下方式来表示：
Rn(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+f'''(a)(x-
a)^3/3!+....+f^(n)(a)(x-a)^n/n!
其中a为函数f(x)的某一点，Rn(x)是f(x)的后n项泰勒展开式，当n趋向无穷的时候，Rn(x)接近f(x)的极限，而这就可以用来求解复杂函数的极限。
高数常用等价无穷小
常用等价无穷小
常用等价无穷小替换规定：可用于乘、除。
加、减在一定情况下仍然可用，下文将给出加、减等价代换的公式
● 当x →0时 乘除
1. Sinx=x 推广 ：sin 狗=狗
2. arcsinx=x arcsin 狗=狗
3. tanx=x tan 狗=狗
4. arctanx=x arctan 狗=狗
5. ln （1+x ）=x ln(1+狗)=狗
6. e x −1=x e 狗−1=狗
7. （1+x ）a -1=ax （1+x ）a
-1=a 狗
8. 1-cosx=12x 2 1-cos 狗=12狗2 注：“狗”代表任意数，例如：x+3、x n 等等
● 当x →0时 加减
1. X+sinx=2x x+arcsinx=2x
2. x-sinx=16x 3 x-arcsinx =-16
x 3 3. 1-cos =12x 2
注：1、之所以能如此代换，是因为在泰勒展开式中，有以下的展开式。
2、在极限的计算中，要抓大头（即极限趋向于0速度越快的一项，可以忽略不计），所以计算+法时，省略去x 后的高阶无穷小；--法计算时，由于x 项被减去，所以得到x 3。
这也正是书本上描述，加减法要慎重使用的原因
当x 0时
sinx=x - 1
x3+0(x3)0(x3)表示佩亚诺余项
6
Arcsinx= x+1
x3+0(x3)
6
Tanx= x+1
x3+0(x3)
3
Arctanx= x-1
x3+0(x3)
3
x2+0(x2)
Cosx= 1-1
2。
极限等价公式
极限等价公式
极限等价是数学中一个重要的概念，它是指当函数f(x)的值接近极限而不会
发生变化时，我们可以称函数f(x)的x的极限为相等的，简称“极限等价”，即
极限L＝非极限f(x)。
极限等价这一概念在微积分中发挥着重要作用，其主要应用有以下几类：
第一类是在定义不同函数下拉取相应极限，以求出极限等价表达式；第二类
是在函数连续性中，把函数f(x)的极限和f(x)的结果代入极限等价表达式，求出
最终的结果；第三类是在求定积分时，把函数f(x)及其极限分别代入极限等价表
达式，结合积分的性质和现实条件来求取积分的最终解。
极限等价这一概念有着复杂而又深刻的数学内涵，不仅仅是让学生们掌握数学
的基础和思想，更重要的是能够让他们对“极限等价”有更深刻的理解，从而达到在高级应用中正确使用极限等价这一概念，从而保证更准确、更有效的分析数学问题。
综上所述，极限等价是数学中一个根深蒂固的概念，它追溯到定义、函数连续
性以及求定积分的基础，是一种高科技的数学方法，可以帮助社会研究复杂的问题，推动社会技术的进步。