16.1 计数原理I—乘法原理
模块开始
子模块1
子模块2
解:根据乘法原理:共要测试 3×7=21 次.
模块结束
例3、 630的不同正约数有多少个? 解: 630=2×32×5×7 630的正约数可表示为 2a×3b×5c×7d 形式
走到B出口,有几种不同的行走线路?
先由AC: 2条路径，
再由CB: 3条路径.
A
C
B
Hale Waihona Puke 答:从A到B有 2×3=6 种不同的行走线路。
问题2：多项式 (a1+a2+„+a10)(b1+b2+„+b15) 展开后
出现多少个单项？ 答:展开后有 10×15=150 个单项。
二、乘法原理
如果完成一件事需要n个步骤, 做第 1 步有 m1 种不同方法, 做第 2 步有 m2种不同方法, „ , 做第 n 步有 mn 种不同方法, 那么完成这件事共有:
ex2、某农场要在4种不同类型的土地上,试验4种(设为A、
B、C、D)不同品种的小麦.共有多少种不同的试验方案?
解法1:(土地选种子)第1步,第1块地从4个品种中选1种小麦进行 种植试验,有4种方案； 第2步,第2块地从余下3个品种中选1种小麦进行种植试验,有3 种方案； 第3步,第3块地从余下2个品种中选1种小麦进行种植试验,有2种 方案； 第4步,第4块地从余下1个品种中选1种小麦进行种植试验,1种方案. 答:共有4×3×2×1=24种不同的试验方案.
N =m1 m2 mn
种不同的方法.
二、乘法原理
“分步”理解: 1、仅完成第 k 步工作时,整件事不能完成； 2、当且仅当
n 个步骤工作都经历时,整件事算完成.
“
分步乘法”原理的图示模型:完成从P到Q工作 第n步 第1步 第2步 …… Q P …… mn种 m种 m种
1 2
三、例题和练习
A 、B 组
ex3、在一种两位的编码方式中,规定第一位用阿拉伯数
字0~9,第二位用某小写26个英文字母.这种编码方式共
产生多少种不同的编码?
ex 4、 如 果 一 个 正 整 数 n 可 分 解 成 n = p 1 p 2 p 3 ， 其 中 p 1、 p 2、 p 3 均 为 互 不 相 同 的 素 数 ， 、 、 为 正 整 数 ， 那 么 n的 不 同 正 约 数 共 有 多 少 个 ？
例1、某厂生产的手机为了在款式上能适应更多顾客的需求,
为统一的机芯设计了 2 种不同外形,同时每种外形又有 3 种不同色彩的外壳.
该厂这种手机共可设计多少种不同款式?
解:根据乘法原理:这种手机可设计 手机: 机芯 1种 外形 2种
1×2×3=6 种不同款式.
外壳 色彩 3种
例2、如图的程序模块中,一条执行路径就
教学目标：
1、通过实例分析,学习和掌握计数原理I----乘法原理． 2、掌握解决计数问题的最基本方法:“枚举法”, 会用“枚举法”以及乘法原理进行计数．
教学重点与难点：
教学重点：乘法原理． 教学难点：分步理解．
教学方法：启发． 教学手段：多媒体辅助教学．
一、引入
问题1：某绿地如图,某人由A入口进入绿地,顺着道路
其中a { 0， ，b { 0，， }，c { 0， ，d { 0， 1} 1 2 1} 1}
a、b、c、d 的不同取值，可得到630的不同正约数。
∴
630的不同正约数有：
N =2 3 2 2=24 （个）
ex1、某服装厂为学校设计了 4 种式样的上衣, 3 种式样的裤子,若取其中的一件上衣和一条裤子配成 校服,则可以有多少种不同式样的校服?
第3个空格0~9这10个数字之一,有10种设定方案 第4个空格0~9这10个数字之一,有10种设定方案 第5个空格0~9这10个数字之一,有10种设定方案 第6个空格0~9这10个数字之一,有10种设定方案 ∴共有26×105种不同设定密码方法.
小结: 1、乘法原理； 2、分步思想。
作业:练习册P37
解:n的正约数中,其中的 p1指数 可取 0,1,2,…,共+1个, p2的指数 可取 0,1,2,…, 共 +1 个,
p3的指数 可取 0,1,2,…, 共 +1 个,
∴n
的不同正约数共有 (+1) (+1)( +1) 个.
ex5、注册一个网络免费邮箱 ,其中设定个人的密码可 以用0~9的数字,也可以用26个大(或小)写英文字母组成 的一个6~32个字符 (不能空格)作为个人邮箱的密码. 假设某人想设定一个6位密码,且开头用一个英文大写字 母,后五位都用数字,则共有多少种不同设定密码方法? 解:6位密码可用6个空格代替, 26 10 10 10 10 10 第1个空格26种设定方案 第2个空格0~9这10个数字之一,有10种设定方案
上海教育版高中数学三上16.1《技术原理1--乘法原理》word教案
乘法原理教材分析：乘法原理中的乘法并不是我常的乘法式和乘法用，而是利用乘法的原理去解决生活中的。
乘法原理具有一定的律性，如果完成一件事需要n 个步，做第一步有 m1 种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法⋯⋯，做第n 步有mn中不同的方法。
21世纪教育网教学目：1、了解什么是乘法原理，并用乘法原理解决生活中的2、能正确判定乘法原理。
21 世纪教育网3、激学生学数学的趣，培养学生的新意和新精神教学重点：正确熟的运用乘法原理。
目制定的思想[来1．目具体化、明确化，从学生出，具有性和可行性，同便于上操作，便于和及反。
21 世纪教育网2．堂教学体能力立意]3．寓德育教育于教学之中。
教学方法1．采用以疑探究的引方式，激学生的求知欲望，提高学生的学趣和学极性。
2．把乘法原理概念及其用乘法原理解决作主，学生思，以疑——感知——概括——运用教学程序，充分遵循学生的知律，使学生能利地掌握重点，突破点，提高能力。
3．在堂教学中，引学生体会知的生展程，持启式，鼓励学生充分地、口、手，极参与到教学中来，充分体了学生的主性原。
21世纪教育网4．在充分尊重教材的前提下，融教材、想一想于教学程中，增了由浅入深、各不相同却又密相关的目，学生利掌握心知造了有利条件。
5．改言身教的方式，利用算机助教学手段行教学，增大教学的容量和直性，提高教学效率和教学量。
教学程：一、入新，板1、出示例1：从甲城到乙城有 3 条不同的道路，从乙城到丙城有 4 条不同的道路，那么从甲城乙城到丙城共有多少条不同的道路？21世纪教育网2、生共同分析意，利用段帮助分析3、列式解答：解：4×3=12（条）二、通解决例 1 出乘法原理。
投影出示乘法原理纪教育网]如果完成一件事情需要几个步，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2 种不同的方法，⋯⋯做第 n 步有 mn 种不同的方法，那么完成件事情共有：N=m1×m2×⋯⋯ ×mn 种不同的方法。
计数原理知识点
计数原理知识点
计数原理是组合数学中的基本概念之一，用于计算某个事件发生的可能性。
其核心思想是将复杂的问题拆解为若干个简单的子问题，然后通过对这些子问题进行计数来得到最终的答案。
计数原理包括三个基本概念：乘法原理、加法原理和排列组合。
1. 乘法原理：当一个事件可以分成多个独立的步骤时，可以通过将每个步骤的可能性相乘得到最终结果的总可能性。
例如，在一次实验中，如果第一个步骤有m种可能性，第二个步骤
有n种可能性，那么整个实验的可能性就是m乘以n。
这个原理也可以推广到更多步骤的情况。
2. 加法原理：当一个事件可以通过多种不同的方式实现时，可以通过将每种方式的可能性相加得到最终结果的总可能性。
例如，在一个实验中，如果第一个步骤有m种可能性，第二个
步骤有n种可能性，而这两个步骤不能同时发生，那么整个实验的可能性就是m加上n。
3. 排列组合：当从一个集合中选择元素进行排列或组合时，可以使用排列和组合的方法进行计数。
- 排列是指在选择元素时考虑元素的顺序。
当从n个元素中选
择r个元素进行排列时，可以使用排列数P(n,r) = n! / (n-r)!来
计算不同排列的总数，其中n!表示n的阶乘。
- 组合是指在选择元素时不考虑元素的顺序。
当从n个元素中
选择r个元素进行组合时，可以使用组合数C(n,r) = n! / (r!(n-
r)!)来计算不同组合的总数。
通过灵活应用乘法原理、加法原理和排列组合，可以解决各种不同的计数问题，例如生日问题、抽签问题、排队问题等。
计数原理不仅在组合数学中有广泛的应用，也被应用于统计学、概率论等领域。
两个基本计数原理加法原理和乘法原理
两个基本计数原理加法原理和乘法原理两个基本计数原理：加法原理和乘法原理在我们日常生活和数学学习中，计数是一项非常重要的活动。
当我们需要计算完成某件事情的方法数时，就会用到两个基本的计数原理：加法原理和乘法原理。
这两个原理看似简单，但却在解决各种计数问题时发挥着关键作用。
先来说说加法原理。
加法原理指的是，如果完成一件事情有 n 类不同的方式，在第一类方式中有 m₁种不同的方法，在第二类方式中有m₂种不同的方法，……，在第 n 类方式中有 mₙ 种不同的方法，那么完成这件事情共有 N ＝ m₁＋ m₂＋… ＋ mₙ 种不同的方法。
举个简单的例子，假如你要从A 地去B 地，有两种交通方式可选，一是坐火车，有 3 趟不同的车次；二是坐汽车，有 2 趟不同的班车。
那么你从 A 地去 B 地一共有 3 ＋ 2 ＝ 5 种选择。
再比如，你周末想出去玩，有三个选择：去公园散步、去商场购物或者去电影院看电影。
去公园散步有 2 条不同的路线，去商场购物有 3 家不同的商场可去，去电影院看电影有 5 部不同的影片可选择。
那么你周末出去玩的方式就有 2 ＋ 3 ＋ 5 ＝ 10 种。
加法原理的核心在于“分类”，每一类方法都是相互独立的，彼此之间没有交叉和重叠，最终将每一类的方法数相加就能得到总的方法数。
接下来谈谈乘法原理。
乘法原理是说，如果完成一件事情需要 n 个步骤，做第一步有 m₁种不同的方法，做第二步有 m₂种不同的方法，……，做第 n 步有 mₙ 种不同的方法，那么完成这件事情共有 N ＝ m₁ × m₂ × … × mₙ 种不同的方法。
比如说，你要从你的家去一个朋友家，需要先坐公交车到地铁站，有 4 路公交车可选择；然后再从地铁站坐地铁到朋友家附近的站点，有 3 条地铁线路可选择；最后从地铁站走到朋友家，有 2 条不同的路可走。
那么你去朋友家的路线就有 4 × 3 × 2 ＝ 24 种。
(精品计数原理基本知识点
(精品计数原理基本知识点计数原理是离散数学中的一个重要分支，用于研究计数和排列组合问题。
它在实际应用中有着广泛的应用，例如密码学、组合优化、统计学等领域。
以下是关于计数原理的基本知识点：1.乘法原理：乘法原理用于计算多个独立事件同时发生的总数。
根据乘法原理，若事件A发生的可能性为m种，事件B发生的可能性为n种，则事件A和B 同时发生的可能性为m×n种。
2.加法原理：加法原理用于计算两个或多个事件分别发生的总数。
根据加法原理，若事件A发生的可能性为m种，事件B发生的可能性为n种，则事件A或B发生的可能性为m+n种。
3.排列：排列是指从一组对象中选择一部分进行排列的方式。
如果有n个对象要排列，只选取其中的k个进行排列，那么排列的可能性总数可以表示为P(n,k)。
排列的计算公式为：P(n,k)=n!/(n-k)!4.组合：组合是指从一组对象中选择一部分对象，不考虑其顺序的方式。
如果有n个对象要选择，只选取其中的k个进行组合，那么组合的可能性总数可以表示为C(n,k)。
组合的计算公式为：C(n,k)=n!/(k!*(n-k)!)5.递推关系：递推关系是计数原理中常用的一种思维方法。
通过建立递推关系，可以从已知的计数问题推导出更复杂的计数问题的解。
例如，在排列和组合中可以使用递推关系快速计算出较大规模的情况。
6.容斥原理：容斥原理用于计算多个集合的交集和并集的大小。
根据容斥原理，若存在n个集合A_1、A_2、..、A_n，那么它们的并集的大小为：A_1∪A_2∪...∪A_n，=Σ，A_i，-Σ，A_i∩A_j，+Σ，A_i∩A_j∩A_k，-...+(-1)^(n-1)，A_1∩A_2∩...∩A_n7.应用举例：计数原理的应用举例有很多，例如密码学中的密码破解问题，通过计算排列或组合的可能性来确定破解密码的策略。
另外，在组合优化问题中，例如旅行商问题(TSP)、集合覆盖问题等，也可以使用计数原理来计算问题的解。
小学数学乘法与除法的基本原理
小学数学乘法与除法的基本原理在小学数学中，乘法和除法是非常基础且重要的运算。
理解它们的基本原理对于学生建立数学思维和解决问题至关重要。
本文将详细介绍小学数学中乘法和除法的基本原理，帮助学生更好地掌握这两个运算。
一、乘法的基本原理乘法是一种将两个或多个数相乘的运算。
其基本原理是将一个数与另一个数相等分解的结果相加。
比如，计算3 × 4，可以将3分解为1+1+1，然后将4个1相加，结果为12。
在小学数学中，学生需要通过掌握乘法表，并了解乘法的交换律、结合律和分配律，来运用乘法进行快速计算。
交换律：对于任意两个数a和b，a × b = b × a。
这意味着两个数相乘的结果与它们的顺序无关，例如2 × 3 = 3 × 2。
结合律：对于任意三个数a、b和c，(a × b) × c = a × (b × c)。
这意味着连续进行乘法运算时，可以先计算任意两个数的乘积，再将结果与第三个数相乘，结果将是相同的。
分配律：对于任意三个数a、b和c，a × (b + c) = a × b + a × c。
这意味着在进行乘法和加法运算时，可以先计算任意两个数的乘积，再将结果相加，结果将是相同的。
通过理解和灵活运用这些乘法的基本原理，学生可以更快速地解决数学问题，提高计算效率。
二、除法的基本原理除法是一种将一个数分成若干等份的运算。
其基本原理是通过反复减去相同的数，直到得到一个小于或等于被除数的余数为止。
比如，计算12 ÷ 3，可以反复减去3，直到得到的余数小于3为止，计算过程如下：12 - 3 = 99 - 3 = 66 - 3 = 3当余数小于被除数时，结果即为商，即12 ÷ 3 = 4。
在小学数学中，学生需要通过掌握除法的基本原理，了解除法的性质和应用，来进行有效的除法计算。
整除性质：当被除数可以被除数整除时，除法的结果为整数，否则为小数。
1计数原理(乘法原理与加法原理)
一种方法 ，不能一步完成，而要逐步完成这n个步骤，
缺一不可，这件事才能完成。 2）每一步都是独立的，且连续的。
3）关键要确定一个分步的方法。
核心思想：必须是按顺序通过每一个步骤才能算完成 这件事。
二、乘法原理的应用
例1、某厂生产的手机为了在款式上能适应更多的顾客 的需求，为统一的机芯设计了2种不同的外形，同 时每种外形又有3种不同色彩的外壳及4种不同的 屏幕背景灯光，问这种手机共可设计多少种不同 款式？
例4、1、由数字1，2，3，4，5所组成的
（1）无重复数字的三位数
（2）无重复数字的五位数
（3）三位数 2、由数字0，1，2，3，4可组成 （1）无重复数字的三位数 （2）无重复数字的五位数
练习：
1）4本不同的书，全部分给3个人，共有
不同的分法。
种
2）10个空位，5个人去坐，有
3）由1到9这9个数字能组成 字的三位数？其中有 能组成 能组成
种坐法。
个没有重复数
个能被5整除；
个四位数偶数。 个四位数奇数。 Nhomakorabea4)有一元人民币3张,五元人民币1张,十元人民币 2张,共可以组成 种币值.
思考： 用四种不同的颜色给下图涂色，要求相邻的 区域颜色不一样，共有多少不同的涂色方法？
引例：上海浦江两岸有南浦、杨浦、徐浦 和卢浦4座大桥，另外还有3条公路隧道、 2条地铁隧道和1条观光隧道。从浦西到浦 东过江有几种走法？
二、计数原理2——加法原理
如果完成一件事有n类办法，在第1类办法中有m
1
种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，
……，在第n类办法中有mn种不同的方法，则完成
ex: 如图,该电路从A到B共有多少条不同的线路可通电？
高三数学新教材
4.3数学期望和方差
4.4正态分布
*专题五线性回归
5.1直接观察法
5.2最小二乘法
高三文科拓展目录
专题一线性规划
1.1线性规划问题
1.2线性规划的可行域
1.3线性规划的解
*专题二优选与统筹
2.1二分法
2.2 0.618法
2.3统筹规划
专题三投影与画图
3.1空间图形的平面图
*3.2轴测图
3.3三视图
专题四统计案例
4.1抽样调查案例
4.2平均数与中位数的正确应用
*专题五数学与文化艺术
5.1数学与音乐
5.2数学与美术
5.3数学与文学
15.5几何体的体积
15.6球面距离
第16章排列组合和二项式定理
16.1计数原理I——乘法原理
16.2排列
16.3计数原理II——加法原理
16.4组合
16.5二项式定理
高三第二学期
第17章概率论初步
17.1古典概型
17.2频率和概率
第18章基本统计方法
18.1总体和样本
18.2抽样技术
18.3统计估计
专题二参数方程与极坐标方程
2.1曲线的参数方程
2.2直线和圆锥曲线的参数方程
2.2（1）直线的参数方程
2.2（2）圆锥曲线的参数方程（其中抛物线参数方程打*号，为不考的内容）
2.3极坐标方程
专题三空间向量及其应用
3.1空间向量
3.2空间向量的坐标表示
3.3空间直线的方向向量和平面的法向量
3.4空间向量在度量问题中的应用
18.4实例分析
*18.5概率统计实验
高三理科拓展目录
乘法和除法的基本原理
乘法和除法的基本原理乘法和除法是我们日常生活中经常使用的数学运算，它们有着重要的作用，不仅在数学学科中应用广泛，也在其他学科和实际生活中有着重要的应用价值。
本文将介绍乘法和除法的基本原理及其应用的几个方面。
一、乘法的基本原理乘法是一种将两个或多个数值相加的运算，其基本原理是将两个数值进行相加，得到它们的乘积。
乘法的符号为"×"，用于表示两个或多个数值之间的相乘关系。
例如，2×3=6，表示2和3相乘，得到结果6。
在乘法中，有一些特殊的性质和规律需要我们注意。
首先，乘法具有交换律，即a×b=b×a。
这意味着两个数值相乘的结果不会因为它们的顺序而改变。
例如，2×3=3×2=6。
其次，乘法具有结合律，即a×(b×c)=(a×b)×c。
这意味着当进行多个数值相乘时，它们的相对顺序不会改变乘积的结果。
例如，2×(3×4)=(2×3)×4=24。
乘法还与加法有着密切的联系。
乘法可以看作是多次进行加法运算的简化形式。
例如，2×3可以理解为2+2+2。
这种将乘法转化为加法的思想在数学推导和计算中具有重要的意义。
二、除法的基本原理除法是乘法的逆运算，其基本原理是将一个被除数分成若干个等分，得到每一份的数值，即商。
除法的符号为"÷"或"/"，用于表示被除数和除数之间的相除关系。
例如，6÷2=3，表示6除以2，得到结果3。
在除法中，同样有一些特殊的性质和规律需要我们注意。
首先，除法不满足交换律，即a÷b≠b÷a。
这意味着两个数值的相除结果会因为它们的顺序而改变。
例如，6÷2≠2÷6。
其次，除法具有结合律，即(a÷b)÷c=a÷(b÷c)。
计数原理
（3）从2,3,5,7,11中任取两个数相乘（4）从2,3,5,7,11中任取两个数相除
（5）20位同学互通一次电话（6）20位同学互通一封信
（7）以圆上的10个点为端点作弦（8）以圆上的10个点中的某一点为起点，作过另一个点的射线
说明：分类和分步计数原理:
有5个不同大小的红球，4个不同大小的绿球，3个不同大小的白球。
（1）任取3个不同颜色的小球，有多少种不同的取法？
（2）任取1个颜色的小球，有多少种不同的取法？
（3）任取2个不同颜色的小球，有多少种不同的取法？
3、红、黄、蓝三面小旗，从上到下挂在绳子上表示不同的信号，每次可挂一面、两面或三面，不同顺序表示不同信号，问有多少种不同的信号？
（9）有10个车站，共需要多少种车票？（10）有10个车站，共需要多少种不同的票价？
排列数计算公式
1、 。
2、当时， 记作，读作。
注：（1）规定： 。
（2）常有： ， 。
3、用阶乘计算 。
证明： 。
课堂例题：
1、计算：1）计算： 2）求证：
3）解方程： 4)若 ，求
5)
2、用1，2，3可以组成的数字不重复的三位偶数共有个
（有公共边）的区域不同色，那么共有不同的涂色方法多少种？
课堂归纳：
排列
问题1：某航空公司在甲乙丙丁四个城市中每两个城市之间都开辟了直达航线，需要准备多少种不同的单程飞机票？
问题2：从1，2，3，4这四个不同的数字中选出3个数字，组成没有重复数字的三位数，这样的三位数共有多少个？
由问题1、问题2可总结：
（5）三男两两不相邻；（6）男女生必须相间；
16.1计数原理-乘法原理
16.1 计数原理I ——乘法原理一、教学内容分析本节是涉及计数问题的基本原理之一，也是推导排列、组合数的依据，所以较少单独应用，多与后面即将学习的加法原理结合起来综合应用二、教学目标设计1.掌握乘法原理的内容；2.能够熟练运用该原理解决一些实际应用问题.三、教学重点及难点掌握乘法原理的核心：分步；分步时注意避免重复及遗漏.四、教学用具准备多媒体设备五、教学流程设计生活中的实例导入→引出乘法原理→分析乘法原理→乘法原理的应用→方法小结→作业六、教学过程设计一、 导入导入1：课本P49实例：“行走线路”导入2：某校学生午餐的选择有两大类：⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩面条饺子面食可供选择的种类馒头锅贴,⎧⎪⎨⎪⎩白米饭大米可供选择的种类大米粥蛋炒饭.学生每人选择两类中的各一种用餐，那么该校学生的午餐选择共有多少种？分析：第一步，选面食，共有4种选择；第二步，选大米，有3种选择.所有选择如下：面条——白米饭；面条——大米粥；面条——蛋炒饭； 饺子——白米饭；饺子——大米粥；饺子——蛋炒饭； 馒头——白米饭；馒头——大米粥；馒头——蛋炒饭； 锅贴——白米饭；锅贴——大米粥；锅贴——蛋炒饭.所以共有12种选择.由导入1、导入2可总结如下：(1) 这两个问题都是分两个步骤完成；(2) 方法总数只要把每个步骤的方法数相乘即可.这就是我们要学习的一个基本原理二、乘法原理乘法原理的内容：课本P49如果完成一件事需要n 个步骤，第一步有1m 种不同的方法，第二步有2m 种不同的方法，……，第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有123n N m m m m =⋅⋅⋅种不同的方法.三、乘法原理分析乘法原理的核心：分步.四、乘法原理的应用1、课本P49例1~例32、例3的改编：（1）540的不同正偶数约数有多少个？分析：正偶数约数必须含因数2，则{1,2}a ∈，即a 有2种选择，所以540的不同正偶数约数有24216N =⨯⨯=个.（2）540的不同的末位数是0的正约数有多少个？分析：末位是0的正约数必须含因数2、5，则{1,2}a ∈，{1}c ∈即a 有2种选择，c 有1种选择，所以540的不同的末位是0的正约数有2418N =⨯⨯=个.3、 巩固与提高4名运动员争夺3项冠军，则冠军获得者的可能情形有多少种？分析：第一项冠军获得者有4种可能性，第二项冠军获得者也有4种可能性，第三项冠军获得者还是有4种可能性，由乘法原理，冠军获得者的可能情形有44464N=⨯⨯=种.4、巩固练习：P50 16.1五、方法小结在乘法原理的应用中，首先要正确分清做一件事的步骤，其次要搞清楚每一个步骤的方法数.六、作业习题册相应部分七、教学设计说明：本教学设计紧扣课本，同时作了以下安排：（1）导入部分在课本实例的基础上增加一个实例，让学生对乘法原理有一个感性认识；（2）在应用部分，对例3进行了改编，不仅加大了容量，也增加了灵活性，能引起学生进一步探讨的兴趣，实现了源于课本而高于课本的目标；在完成课本例题分析的基础上，增加一道练习题，增进学生对乘法原理更深刻的认识.。