安徽省蚌埠市2017-2018学年高一下学期期末考试数学试题(PDF版)
８ 设 ｘ ， ｙ 满足约束条件 ｙ ≥０ ｘ ≥０ Ｂ ［－ ３ ， ２ ］ Ａ ［－ ３ ， ０ ］
{
３ ｘ ＋ ２ ｙ － ６ ≤０ ， ＝ ｘ － ｙ 则ｚ 的取值范围是 Ｃ ［ ０ ， ２ ］ Ｄ ［ ０ ， ３ ］
９ 某企业里工人的工资与其生产利润满足线性相关关系， ０ ０名工人的工资 ｙ （ 现统计了 １ 元） ＾ ＝ ８ ０ （ ｘ ＋ ５ ０ ， 与其生产利润 ｘ 千元） 的数据， 建立了 ｙ 关于 ｘ 的回归直线方程为 ｙ 则下列说法 正确的是 Ａ 工人甲的生产利润为 １ ０ ０ ０元， ３ ０元 则甲的工资为 １ Ｂ 生产利润提高 １ ０ ０ ０元， ０元 则预计工资约提高 ８ Ｃ 生产利润提高 １ ０ ０ ０元， ３ ０元 则预计工资约提高 １ Ｄ 工人乙的工资为 ２ １ ０元， ０ ０ ０元 则乙的生产利润为 ２ １ ０ 阅读右边的程序框图， 运行相应的程序， 则输出 Ｓ 的值为 Ａ ８ Ｃ ２ ６ ４ ５ Ｂ １ ８ Ｄ ８ ０ ３ ５
ａ ａ ， ａ ｝ 求数列｛ 的通项公式 １＞ ２ ｎ
蚌埠市高一数学试卷第４ 页（共４页）
０ １ ７ —２ ０ １ ８学年度第二学期期末学业水平监测 蚌埠市 ２
高一数学参考答案及评分标准
（ ０分） 一、 选择题： 每小题 ５分， 共６ 题㊀号 答㊀案 １ Ｄ ２ Ｃ ３ Ｂ ４ Ｄ ５ Ａ ６ Ｄ ７ Ａ ８ Ｂ ９ Ｂ １ ０ Ｃ １ １ Ａ １ ２ Ｃ
２ ２ （ ２分） 本小题满分 １ ａ ｝ １ 已知数列｛ 满足 ａ ｎ １＝
（ １ ） ａ ａ ＝ １ （ ｎ ） ， ａ ｝ ａ ｝ 若｜ ∈Ｎ 且ｎ ≥２ 数列｛ 为递增数列， 求数列｛ 的通项公式； ｎ－ ｎ － １｜ ２ ｎ － １ ｎ （ ２ ） ａ ａ ＝ ｎ （ ｎ ） ， ａ ｝ ａ ｝ 若｜ ∈Ｎ 且ｎ ≥２ 数列｛ 为递增数列， 数列｛ 为递减数列， 且 ｎ－ ｎ － １｜ ２ ｎ － １ ２ ｎ
（ ０分） 二、 填空题： 每小题 ５分， 共２ ７ ３ １ ０ １ ３ ㊀㊀㊀㊀１ ｍ＞ ｐ ＞ ｎ ㊀㊀㊀㊀１ ５ 槡 ㊀㊀㊀㊀１ ４ ６ ４ ３ ８ １ ０ 三、 解答题： １ ７ （ ０分） 本题满分 １ ３ １ 槡 （ １ ） ｆ （ ｘ ）＝ ３ ｓ ｉ ｎ ２ ｘ ＋ ｃ ｏ ｓ ２ ｘ ＝ ２ （ ｘ ＋ ｃ ｏ ｓ ２ ｘ ） ｓ ｉ ｎ ２ 解： 由条件得， 槡 ２ ２ π ＝ ２ ｓ ｉ ｎ （ ２ ｘ ＋ ） ， ………………………………………………… ３分 ６ ２ π （ ｘ ） ……………………………………………… ５分 的最小正周期为 ＝ π 所以 ｆ ２ π π π π ２ π （ ２ ） ｘ ＋ ≤ ……………………………………… ６分 因为 － ≤ｘ ≤ ， 所以 － ≤２ ６ ４ ６ ６ ３ π π ｘ ＋ ＝ 时， ｆ （ ｘ ） ；……………………………………………… ８分 的最大值为 ２ 当２ ６ ２ π π ｘ ＋ ＝－ 时， ｆ （ ｘ ） １ ……………………………………… １ ０分 当２ 的最小值为 － ６ ６ １ ８ （ ２分） 本题满分 １ ｘ ， ｙ ） １ ， １ ） ， （ １ ， ２ ） ， （ １ ， ３ ） ， （ １ ， ４ ） ， 解： 以有序实数对（ 表示掷骰子的点数的结果， 则有 （ （ １ ， ５ ） ， （ １ ， ６ ） ， （ ２ ， １ ） ， （ ２ ， ２ ） ， （ ２ ， ３ ） ， （ ２ ， ４ ） ， （ ２ ， ５ ） ， （ ２ ， ６ ） ， （ ３ ， １ ） ， （ ３ ， ２ ） ， （ ３ ， ３ ） ， ３ ， ４ ） ， （ ３ ， ５ ） ， （ ３ ， ６ ） ， （ ４ ， １ ） ， （ ４ ， ２ ） ， （ ４ ， ３ ） ， （ ４ ， ４ ） ， （ ４ ， ５ ） ， （ ４ ， ６ ） ， （ ５ ， １ ） ， （ ５ ， ２ ） ， （ ５ ， ３ ） ， （ ５ ， ４ ） ， （ ５ ， ５ ） ， （ ５ ， ６ ） ， （ ６ ， １ ） ， （ ６ ， ２ ） ， （ ６ ， ３ ） ， （ ６ ， ４ ） ， （ ６ ， ５ ） ， （ ６ ， ６ ） ， ６种可 （ 共３ 能的结果 …………………………………………………………………………… ３分 ｜ ｘ － ｙ ｜ ＞ １ １ ， ３ ） ， （ １ ， ４ ） ， （ １ ， ５ ） ， （ １ ， ６ ） ， （ ２ ， ４ ） ， （ ２ ， ５ ） ， （ ２ ， ６ ） ， （ ３ ， １ ） ， 的可能结果有 （ （ ３ ， ５ ） ， （ ３ ， ６ ） ， （ ４ ， １ ） ， （ ４ ， ２ ） ， （ ４ ， ６ ） ， （ ５ ， １ ） ， （ ５ ， ２ ） ， （ ５ ， ３ ） ， （ ６ ， １ ） ， （ ６ ， ２ ） ， （ ６ ， ３ ） ， （ ６ ， ４ ） ， ２ ０ ５ ０种， （ Ａ ）＝ ＝ ，………………………………………………………… ６分 共２ 则Ｐ ３ ６ ９ １ ２ ｙ １ ， ＋ 的可能结果有（ １ ， １ ） ， （ １ ， ２ ） ， （ ２ ， １ ） ， （ ２ ， ２ ） ， （ ３ ， １ ） ， （ ３ ， ２ ） ， 由ｘ ≤ｘ ＋ 得ｙ ≤ｘ ｘ （ ３ ， ３ ） ， （ ４ ， １ ） ， （ ４ ， ２ ） ， （ ４ ， ３ ） ， （ ４ ， ４ ） ， （ ５ ， １ ） ， （ ５ ， ２ ） ， （ ５ ， ３ ） ， （ ５ ， ４ ） ， （ ５ ， ５ ） ， （ ６ ， １ ） ， 蚌埠市高一数学参考答案第１ 页（共３页）
４ 已知△Ａ Ｂ Ｃ中， ， Ｂ ， Ｃ的对边分别为 ａ ， ｂ ， ｃ ， ʒ Ｂ ʒ Ｃ＝ ３ ʒ ２ ʒ １ ， ʒ ｂ ʒ ｃ ＝ 角Ａ 若Ａ 则ａ Ａ ３ ʒ ２ ʒ １ Ｂ ３ ʒ２ １ 槡ʒ Ｃ ３ ʒ２ １ 槡 槡ʒ Ｄ ２ ʒ３ １ 槡ʒ
５ 一次选拔运动员， ｃ ｍ ） 测得 ７名选手的身高（ 单位： 分布茎叶图如图， 已知 ７人的平均身高为 １ ７ ７ ｃ ｍ ， ， 有一名选手的身高记录不清楚， 其末位数记为 ｘ 则ｘ 的值是
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高一数学
５ ０分， ２ ０分钟． 本试卷分第Ⅰ卷（ 选择题） 和第Ⅱ卷（ 非选择题） 两部分， 共１ 考试时间 １
０分） 第Ⅰ卷（ 选择题， 共６
２小题， ０分 在每小题给出的 Ａ ， Ｂ ， Ｃ ， Ｄ的四个选项中， 一、 选择题： 本大题共 １ 每小题 ５分， 共６ 只 有一个选项是符合题目要求的， 请将正确答案的字母代号涂到答题卡上 ， ｂ ， ｃ ＜ ｂ ， １ 已知实数 ａ 满足 ａ 且ｃ ≠０ 则下列不等式一定成立的是 Ａ １ １ ＞ ａ ｂ
蚌埠市高一数学试卷第３ 页（共４页）
２ ０ （ ２分） 本小题满分 １ Ｂ Ｃ中， ， Ｂ ， Ｃ的对边分别为 ａ ， ｂ ， ｃ ， ｃ ｏ ｓ Ｂ＝ （ ３ ｃ － ｂ ） ｃ ｏ ｓ Ａ 在△Ａ 角Ａ 且ａ （ １ ） ｉ ｎ Ａ ； 求ｓ （ ２ ） ＝ ２ ２ ， Ｂ Ｃ的面积为槡 ２ ， ＋ ｃ 若ａ 且△Ａ 求ｂ 的值 槡
（ １ ） ０分的学生为 “ ， ０ ０ ０名学 若体育成绩大于或等于 ７ 体育良好 ” 已知该校高一年级有 １ 生， 试估计该校高一年级学生“ 体育良好” 的人数； （ ２ ） 用样本估计总体的思想， 试估计该校高一年级学生达标测试的平均分； （ ３ ） ， ｂ ， ｃ ， ６ ０ ， ７ ０ ） ， ｂ ７ ０ ， ８ ０ ） ， 假 设 甲、 乙、 丙三人的体育成绩分别为 ａ 且 ａ ∈［ ∈［ ２ ｃ ８ ０ ， ９ ０ ） ， ， ｂ ， ｃ ∈［ 当三人的体育成绩方差 ｓ 最小时， 写出 ａ 的所有可能取值 （ 不要求 证明）
２分） ２ １ （ 本小题满分 １ ８ ０ ０平方米的矩形地 某农业科研单位打算开发一个生态渔业养殖项目， 准备购置一块 １ 中间挖成三个矩形池塘养鱼， 挖出的泥土堆在池塘四周形成基围（ 阴影部分所示 ） 种植 块， ʒ ｂ ＝ １ ʒ ２ 桑树， 鱼塘周围的基围宽均为 ２米， 如图所示， 池塘所占面积为 Ｓ 平方米， 其中 ａ （ １ ） ， ｙ ； 试用 ｘ 表示 Ｓ （ ２ ） ， ｙ 若要使 Ｓ 最大， 则ｘ 的值分别为多少？
０分） 第Ⅱ卷（ 非选择题， 共９
０分 请将答案直接填在答题卡上 二、 填空题： 本大题共 ４小题， 每小题 ５分， 共２ １ ２ π π １ ３ 已知 ｃ ｏ ｓ （ － ）＝ ， ｏ ｓ （ ２ α 则ｃ α＋ ）＝ ６ ４ ３
２ １ ４ 设 ａ＞１ ， ｏ ｇ ａ ＋１ ） ， ｎ＝ｌ ｏ ｇ ａ＋１ ） ， ｐ＝ｌ ｏ ｇ ２ ａ ） ， ， ｎ ， ｐ的 大 小 关 系 是 记 ｍ ＝ｌ 则ｍ ａ（ ａ（ ａ（
２ ２ Ｂ ａ ＜ ｂ
Ｃ ａ ｃ ＜ ｂ ｃ
ａ ｂ Ｄ ２＜ ２ ｃ ｃ
２ 等差数列｛ ａ ｝ ３ ， ａ ７ ， 满足 ａ 则其前 ５项和 Ｓ ｎ ２＝ ４＝ ５＝ Ａ ９ Ｂ １ ５ Ｃ ２ ５ Ｄ ５ ０
３ 某校高一年级有男生 ４ ０ ０人， ０ ０人， 女生 ３ 为了调查高一学生对于高二时文理分科的意向， ５人的样本， 拟随机抽取 ３ 则应抽取的男生人数为 Ａ ２ ５ Ｂ ２ ０ Ｃ １ ５ Ｄ １ ０
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２分） １ ８ （ 本小题满分 １ ， 若令事件 Ａ为 ｜ ｘ －ｙ ｜ ＞ １ ， 掷甲， 乙两颗骰子， 甲出现的点数为 ｘ 乙出现的点数为 ｙ 事件 ２ Ｂ为 ｘ ｙ １ ， （ Ａ ）＋ Ｐ （ Ｂ ） ≤ｘ ＋ 求Ｐ 的值， 并判断事件 Ａ和事件 Ｂ是否为互斥事件
１ ９ （ ２分） 本小题满分 １ ０名学生的测试成 某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试， 现从中随机抽取 ４ ４ ０ ， ５ ０ ） ， ［ ５ ０ ， ６ ０ ） ， ［ ６ ０ ， ７ ０ ） ， ［ ７ ０ ， ８ ０ ） ， ［ ８ ０ ， ９ ０ ） ， ［ ９ ０ ， １ ０ ０ ］ 绩， 整理数据并按分数段［ 进行 分组 已知测试分数均为整数， 现用每组区间的中点值代替该组中的每个数据， 则得到体 ： 育成绩的折线图如下
安徽省蚌埠市2017-2018学年高二下学期期末考试数学(理)试题-含答案
蚌埠市2017—2018学年度第二学期期末学业水平监测高二数学（理科）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的A ，B ，C ，D 的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的字母代号涂到答题卡上.1.已知i 为虚数单位，复数z 满足(12)43i z i +=+，则复数z 对应的点位于复平面内的（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2.“指数函数是增函数，函数()2xf x =是指数函数，所以函数()2xf x =是增函数”，以上推理（ ）A ．大前提不正确B ．小前提不正确C ．结论不正确D ．正确 3.曲线()2xf x x e =-在点(0,(0))f 处的切线方程是（ ）A ．10x y -+=B ．10x y --=C ． 0x y -=D ．210x y --= 4.已知回归方程21y x =-，则该方程在样本(3,4)处的残差为（ ） A ．5 B ．2 C ．1 D ．-1 5.用数学归纳法证明不等式“11113(2)12224n n n n ++⋅⋅⋅+>>++”的过程中，归纳递推由n k =到1n k =+时，不等式的左边（ ）A ．增加了一项12(1)k +B ．增加了两项11212(1)k k +++ C ．增加了两项11212(1)k k +++，又减少了一项11k + D ．增加了一项12(1)k +，又减少了一项11k +6.从1，2，3，4，5中不放回地依次选取2个数，记事件A =“第一次取到的是奇数”，事件B = “第二次取到的是奇数”，则(|)P B A =（ ） A ．12 B ．25 C ．310 D ．157.已知a ，b ，c 均为正实数，则a b ，b c ，ca的值（ ） A ．都大于1 B ．都小于1C ．至多有一个不小于1D ．至少有一个不小于18.某小区有1000户居民，各户每月的用电量近似服从正态分布(300,100)N ，则用电量在320度以上的居民户数估计约为（ ）【参考数据：若随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，则()0.6827P μσξμσ-<≤+≈，(22)0.9545P μσξμσ-<≤+≈，(33)0.9973P μσξμσ-<≤+≈.】A ．17B ．23C ．34D ．469.设'()f x 是函数()f x 的导函数，'()y f x =的图象如图所示，则()y f x =的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ． 10.下列等式中，错误的是（ ）A ．11(1)m m n n n A A +++= B ．!(2)!(1)n n n n =--C ．!m mn nA C n = D ．11m mn nA A n m+=- 11.将3颗相同的红色小球和2颗相同的黑色小球装入四个不同盒子，每个盒子至少1颗，不同的分装方案种数为（ ）A ．40B ．28C ．24D ．1612.若存在1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得不等式22ln 30x x x mx +-+≥成立，则实数m 的最大值为（ ）A ．132e e +- B ．32e e++ C ．4 D ．21e - 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案直接填在答题卡上.13.计算：1()xex dx +=⎰ ．14.2018年春季，世界各地相继出现流感疫情，这已经成为全球性的公共卫生问题.为了考察某种流感疫苗的效果，某实验室随机抽取100只健康小鼠进行试验，得到如下列联表：参照附表，在犯错误的概率最多不超过 的前提下，可认为“注射疫苗”与“感染流感”有关系．【参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++.】x -的展开式中二项式系数之和为64，则展开式中x 的系数为 （用数字作答）.16.已知从2开始的连续偶数蛇形排列成宝塔形的数表，第一行为2，第二行为4，6，第三行为12，10，8，第四行为14，16，18，20，…，如图所示，在该数表中位于第i 行、第j 行的数记为ij a ，如3,210a =，5,424a =.若2018ij a =，则i j += ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必做题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选做题，考生根据要求作答. （一）必做题：每小题12分，共60分.17.已知a ，b+≥18.如图1，已知PAB ∆中，PA PB ⊥，点P 在斜边AB 上的射影为点H .（Ⅰ）求证：222111PH PA PB=+； （Ⅱ）如图2，已知三棱锥P ABC -中，侧棱PA ，PB ，PC 两两互相垂直，点P 在底面ABC 内的射影为点H .类比（Ⅰ）中的结论，猜想三棱锥P ABC -中PH 与PA ，PB ，PC 的关系，并证明.19.小王每天自己开车上班，他在路上所用的时间X （分钟）与道路的拥堵情况有关.小王在一年中随机记录了200次上班在路上所用的时间，其频数统计如下表，用频率近似代替概率.（Ⅱ）若小王一周上班5天，每天的道路拥堵情况彼此独立，设一周内上班在路上所用时间不超过()E X 的天数为Y ，求Y 的分布列及数学期望.20.我市物价监督部门为调研某公司新开发上市的一种产品销售价格的合理性，对该公司的产品的销售与价格进行了统计分析，得到如下数据和散点图：图（1）为x y -散点图，图（2）为x z -散点图.（Ⅰ）根据散点图判断y 与x ，z 与x 哪一对具有较强的线性相关性（不必证明）； （Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果和参考数据，建立y 关于x 的回归方程（线性回归方程中的斜率和截距均保留两位有效数字）；（Ⅲ）定价为多少时，年销售额的预报值最大？（注：年销售额=定价⨯年销售） 参考数据：35x =，455y =，11.55z =，621()1750ii x x =-=∑，621()776840i i y y =-=∑，61()()34580iii x x y y =--=-∑，61()()175.5iii x x zz =--=-∑，61()()3465.2i i i y y z z =--=∑，参考公式：61621()()()iii ii x x y y b x x ==--=-∑∑，a y bx =-.21.函数()1xf x e x =--，()(cos 1)xg x e ax x x =++.（Ⅰ）求函数()f x 的极值；（Ⅱ）若1a >-，证明：当(0,1)x ∈时，()1g x >.（二）选做题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为：24x y αα⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线2C 的极坐标方程为()3R πθρ=∈.（Ⅰ）求1C 的极坐标方程和2C 的直角坐标方程； （Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()6R πθρ=∈，设2C 与1C 的交点为O ，M ，3C 与1C 的交点为O ，N ，求OMN ∆的面积. 23.【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()21f x x a x =-+-. （Ⅰ）当1a =时，解不等式()2f x ≥； （Ⅱ）求证：1()2f x a ≥-.蚌埠市2017—2018学年度第二学期期末学业水平监测高二数学（理科）参考答案一、选择题1-5 DABDC 6-10 ADBCC 11、12：BA二、填空题13. 12e -14. 0.05 15. 4860 16. 72 三、解答题17.解：方法一：因为a ，b≥≥+≥方法二：=(a b =-=0=≥.≥方法三：===，因为a ，b 均为正实数，a b +≥，≥=+≥18.（Ⅰ）由条件得，1122PA PB AB PH ⋅=⋅，所以PA PBAB PH⋅=， 由勾股定理，222PA PB AB +=，所以22222PA PB PA PB PH ⋅+=，所以 2222222111PA PB PH PA PB PA PB +==+⋅. （Ⅱ）猜想：22221111PH PA PB PC=++. 证明如下：连接AH 延长交BC 于M 点，连接PM ， 因为PA PB ⊥，PA PC ⊥，PB PC P =点，所以PA ⊥平面PBC ，又PM ⊂平面PBC ，得PA PM ⊥， PH ⊥平面ABC ，AM ⊂平面ABC ，则PH AM ⊥.在直角三角形APM 中，由（Ⅰ）中结论，222111PH PA PM=+. PA ⊥平面PBC ，则PA BC ⊥，又PH ⊥平面ABC ，所以PH BC ⊥，而PHPA P =点，PH ⊂平面PAM ，所以BC ⊥平面APM ，BC PM ⊥.又PB PC ⊥，由（Ⅰ）中结论，得222111PM PC PB=+. 所以22221111PH PA PB PC =++.19.（Ⅰ）1(15)4P X ==，1(20)4P X ==，3(25)10P X ==，1(30)5P X ==， X 的分布列为所以()1520254410E X =⨯+⨯+⨯3054+⨯=. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，每天上班在路上所用时间不超过89()4E X =的概率为111442+=， 依题意，1(5,)2YB ，分布列为55511()()()2232kk k k C P Y k C -===，0,1,2,3,4,5k =，()522E Y =⨯=. 20.（Ⅰ）由散点图知，z 与x 具有的线性相关性较强.（Ⅱ）由条件，得61621()()175.50.101750()iii ii x x zz b x x ==---==≈--∑∑，11.55(0.10)3515.0515a z bx =-=--⨯=≈，所以0.1015z x =-+，又2ln z y =，得2ln 0.1015y x =-+， 故y 关于x 的回归方程为0.10152x y e-+=.（Ⅲ）设年销售额为P 元，令0.10152()x P f x x y xe-+===，(0,)x ∈+∞，0.10152'()(10.05)x f x x e-+=-，令'()0f x >，得020x <<；令'()0f x <，得20x >，则()f x 在(0,20)单调递增，在(20,)+∞单调递减，在20x =取得最大值， 因此，定价为20元/kg 时，年销售额的预报值最大.21.（Ⅰ）函数()1xf x e x =--的定义域为(,)-∞+∞，'()1xf x e =-，由'()0f x <得0x <，'()0f x >得0x >，所以函数()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增，函数()f x 有极小值(0)0f =，无极大值.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，10x e x --≥，当且仅当0x =时等号成立， 而(0,1)x ∈，所以10x e x -->，即11x e x >+>，所以111x e x <+， 要证明()(cos 1)1xg x e ax x x =++>，只需证明1cos 1x ax x x e++>， 而111xe x <+，故只要证明1cos 11ax x x x ++>+，即证cos 01xax x x x ++>+， 又(0,1)x ∈，所以只要证明1cos 01a x x ++>+. 令1()cos 1h x a x x =+++，(0,1)x ∈，1a >-，则21'()sin 0(1)h x x x =--<+， 所以()h x 在(0,1)上单调递减，1()(1)cos12h x h a >=++1cos 1032a a π>++=+>，即1cos 01a x x ++>+， 所以证得()1g x >.22.（Ⅰ）消去参数α，曲线1C 的普通方程为22(2)(4)20x y -+-=，即22480x y x y +--=，把cos x ρθ=，sin y ρθ=代入方程得24cos 8sin 0ρρθρθ--=，所以1C 的极坐标方程为4cos 8sin ρθθ=+.直线2C 的直角坐标方程为y =.（Ⅱ）设11(,)M ρθ，22(,)N ρθ，分别将13πθ=，26πθ=代入4cos 8sin ρθθ=+，得12ρ=+24ρ=+ 则OMN ∆的面积为121211sin()(2(422ρρθθ-=⨯+⨯+sin 86π⨯=+23.（Ⅰ）当1a =时，不等式()2f x ≥，即1212x x -+-≥， 当12x <时，不等式可化为1122x x -+-≥，解得0x ≤，所以0x ≤， 当112x ≤≤时，不等式可化为1212x x -+-≥，解得2x ≥，所以无解， 当1x >时，不等式可化为1212x x -+-≥，解得43x ≥，所以43x ≥，综上可知，不等式()2f x ≥的解集为4(,0],3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭. （Ⅱ）1()2122f x x a x x a x =-+-=-+-1122x a x x =-+-+- 1122x a x a x x ≥-+-=-+- 1122a x x a ≥-+-=-.。
安徽省蚌埠市高一下学期期末数学试卷
安徽省蚌埠市高一下学期期末数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高一下·黑龙江期末) 设 , ，若，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2020高一上·石景山期末) 中学生在家务劳动中能更密切地与家人接触交流，也可缓解压力、休息大脑．经调查，某校学生有的学生认为自己参与家务劳动能使家庭关系更融洽，的学生认为自己是否参与家务劳动对家庭关系无影响．现为了调查学生参加家务劳动时长情况，决定在两类同学中利用分层抽样的方法抽取100名同学参与调查，那么需要抽取认为自己参与家务劳动能使家庭关系更融洽的同学的个数是（）A . 30B . 70C . 80D . 1003. （2分） (2015高二下·铜陵期中) 已知△ABC的三边长为a，b，c，则下列命题中真命题是（）A . “a2+b2＞c2”是“△ABC为锐角三角形”的充要条件B . “a2+b2＜c2”是“△ABC为钝角三角形”的必要不充分条件C . “a3+b3=c3”是“△ABC为锐角三角形”的既不充分也不必要条件D . “ + = ”是“△ABC为钝角三角形”的充分不必要条件4. （2分） (2018高一下·江津期末) 一船以每小时 km的速度向东行驶，船在A处看到一灯塔B在北偏东60°，行驶4小时后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°，这时船与灯塔的距离为（）A . 60kmB . kmC . kmD . 30km5. （2分） (2016高一上·尼勒克期中) 下列各式：① =a；②（a2﹣3a+3）0=1③ = ．其中正确的个数是（）A . 0B . 1C . 2D . 36. （2分） (2016高一上·呼和浩特期中) 三个数70.3 ， 0.37 ，㏑0.3，的大小顺序是（）A . 70.3 ， 0.37 ，㏑0.3B . 70.3 ，㏑0.3，0.37C . 0.37 ， 70.3 ，㏑0.3D . ㏑0.3，70.3 ， 0.37 ，7. （2分）已知等差数列的前n项和为,则等于（）A . －90B . －27C . －25D . －238. （2分）(2018·呼和浩特模拟) 下面程序框图的算术思路源于《几何原本》中的“辗转相除法”（如图），若输入，则输出的为（）A .B .C .D .9. （2分）在长度为3的线段上随机分成两段，则其中一段的长度大于2的概率为（）A .B .C .D .10. （2分）下列命题中正确的是（）A . 若a，b，c是等差数列，则log2a，log2b，log2c是等比数列B . 若a，b，c是等比数列，则log2a，log2b，log2c是等差数列C . 若a，b，c是等差数列，则2a ， 2b ， 2c是等比数列D . 若a，b，c是等比数列，则2a ， 2b ， 2c是等差数列11. （2分）设集合M={x|﹣1≤x＜2}，N={x|log2x＞0}，则M∪N=（）A . [﹣1，+∞）B . （1，+∞）C . （﹣1，2）D . （0，2）12. （2分） (2019高三上·葫芦岛月考) 函数的图象大致为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）设m，n分别是先后抛掷两枚骰子所得的点数，则在先后两次出现的点数中有4的条件下，使方程x2+mx+n=0有两个不相等实根的概率为________．14. （1分） (2016高二上·大连开学考) 已知直线kx﹣y+1﹣k=0恒过定点A，若点A在直线mx+ny﹣1=0（m，n＞0）上，则的最小值为________．15. （1分） (2018高二上·沭阳月考) 已知，，，…，，则 ________.16. （1分）(2018·全国Ⅰ卷理) 记为数列的前n项的和，若，则 =________.三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分）某班级参加学校三个社团的人员分布如表：社团围棋戏剧足球人数10m n已知从这些同学中任取一人，得到是参加围棋社团的同学的概率为．（1）求从中任抽一人，抽出的是参加戏剧社团或足球社团的同学的概率；（2）若从中任抽一人，抽出的是参加围棋社团或足球社团的同学的概率为，求m和n的值．18. （10分）(2017·南阳模拟) 观察下列三角形数表：假设第n行的第二个数为，（1）归纳出an+1与an的关系式，并求出an的通项公式；（2）设anbn=1（n≥2），求证：b2+b3+…+bn＜2．19. （10分） (2016高二上·湖北期中) 在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知函数f（x）=sin（3x+B）+cos（3x+B）是偶函数，且b=f（）．（1）求b．（2）若a= ，求角C．20. （5分） (2017高二下·彭州期中) 如图为某校语言类专业N名毕业生的综合测评成绩（百分制）分布直方图，已知80～90分数段的学员数为21人．（Ⅰ）求该专业毕业总人数N和90～95分数段内的人数n；（Ⅱ）现欲将90～95分数段内的n名人分配到几所学校，从中安排2人到甲学校去，若n人中仅有两名男生，求安排结果至少有一名男生的概率．21. （10分） (2016高一下·上栗期中) 某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形的休闲区A1B1C1D1（阴影部分）和环公园人行道组成．已知休闲区A1B1C1D1的面积为4000平方米，人行道的宽分别为4米和10米．（1）若设休闲区的长A1B1=x米，求公园ABCD所占面积S关于x的函数S（x）的解析式；（2）要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？22. （10分）(2013·大纲卷理) 已知函数．（1）若x≥0时，f（x）≤0，求λ的最小值；（2）设数列{an}的通项an=1+ ．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、第11 页共11 页。
安徽省蚌埠市2017-2018学年高一上学期招生考试数学试题 Word版含答案
安徽省蚌埠市2017-2018学年高一上学期招生考试数学试题一、选择题：（每小题5分，共50分） 1、=)2015sin(π（ ）A. 1-B.1C. 0D. 232、函数32tanxy =的周期是（ ） A 、π6 B 、3π C 、32π D 、23π3、下列不等式中，正确的是（ ）A 、sin1500cos1200＞0 B 、cos1500tan1200＞0 C 、sin1500tan1200＞0 D 、tan1500tan1200＜0 4、扇形的周长为16，圆心角是2弧度，则扇形的面积是（ ） A .16 B.32π C. 16π D.32 5、下列四式不能化简为AD 的是（ ）A ．BC CD AB ）＋＋（ B ．）＋）＋（＋（CM BC MB AD C ． D ．6．设→a ，→b 为不共线向量，−→−AB ＝→a +2→b ,−→−BC ＝－4→a －→b ,−→−CD ＝－5→a －3→b ,则下列关系式中正确的是 （ ）A .−→−AD ＝−→−BC B. −→−AD ＝－2−→−BC C.−→−AD ＝－−→−BC D. −→−AD ＝2−→−BC7、要得到函数2sin 2y x =的图象，只需要将函数2cos2y x x -的图象（ ） A. 向右平移6π个单位 B. 向左平移12π个单位 C. 向左平移6π个单位 D. 向右平移12π个单位8. 函数sin 22x xy =的图像的一条对称轴方程是 （ ）A ．53x π=-B ．x =53πC ．x =113π D ．3x π=-9、已知O 、A 、B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →＝，则OC →等于( )A ．－OA →＋2OB → B ．2OA →－OB →C ．23OA →－13OB →D ．－13OA →＋23OB →10．函数）（]2,0[|sin |2sin )(π∈+=x x x x f 的图象与直线k y =有且仅有两个不同的交点,则k 的取值范围是( )A ．]1,1[-B ．)3,1(C ．)3,0()0,1( -D ． ]3,1[ 二、填空题：（每小题5分，共20分）11．若),4,3(=AB Ａ点的坐标为（－２，－１），则Ｂ点的坐标为 ．12、若3)tan(=-απ, 则ααααcos sin cos sin -+=13、求值：)10tan 31(50sin 00+⋅=14．已知不等式()2cos 04442x x x f x m =--≤对于任意的 566x ππ-≤≤恒成立，则实数m 的取值范围是 三、解答题：（本大题共6小题，共80分）． 15.（本小题12分）已知α为第四象限角，53cos =α. （1）求αsin 的值； （2）求)4tan(πα+的值.16. （本小题12分）如图，在平行四边形ABCD 中，AC BD ,相交于点O ，M 为BO 中点. 设向量a AB =，b AD =.试用,表示BD和AM 。
安徽蚌埠2018-2019高一下学期期末考试数学试题
则 Ａ＝｛（１，１），（２，２），（３，３），（４，４）｝……………………………………………… ４分
事件 Ａ由 ４个基本事件组成，故所求概率 Ｐ（Ａ）＝１４６＝１４………………………… ６分
（２）设“甲获胜”为事件 Ｂ，“乙获胜”为事件 Ｃ
则 Ｂ＝｛（２，１），（３，１），（３，２），（４，１），（４，２），（４，３）｝
＝ａｎ２＋ｂｎ，∴ｂｎ＋１
＝２ａｎｂｎ ａｎ＋ｂｎ
＝ａ ａｎ ｎｂ＋１ｎ，即
ａｎ＋１ｂｎ＋１ ＝ａｎｂｎ
∴ａｎｂｎ
＝ａ１ｂ１
＝４ ∴ｂｎ
＝４ ａｎ
………………………………………………………
２分
( ) ∴ａｎ＋１＝１２
ａｎ
＋４ ａｎ
( ) ( ) ∴ａｎ＋１＋２＝１２
ａｎ
＋４＋４ ａｂ
，ａｎ＋１ －２＝１ ２
ａｎ
－４＋４ ａｎ
( ) ∴ｃｎ＋１
＝ａｎ＋１ ａｎ＋１
＋２ ａｎ ＝
－２ ａｎ
＋４＋４ ａｎ
－４＋ａ４ｎ
＝
ａｎ ａｎ
＋２ －２
２
＝ｃ２ｎ
………………………………………
４分
∴ｃｎ ＝ｃ２ｎ－１ ＝ｃ２ｎ２－２ ＝…
＝ｃ２ｎ－１ １
＝（－３）２ｎ－１
＝３２ｎ－１
……………………………………
６分
（２）由（１）知：ｄｎ＝ｎｌｏｇ３ｃｎ＋１＝ｎ·２ｎ …………………………………………………… ８分
Ｃ＝｛（１，２），（１，３），（２，３），（１，４），（２，４），（３，４）｝………………………………… ９分
∴Ｐ（Ｂ）＝Ｐ（Ｃ）＝１６６＝３ ８
即甲获胜的概率是 ３ ８，乙获胜的概率也是 ３８，所以这样规定公平．……………… １２分
安徽省蚌埠市高一数学下学期期末考试试题(扫描版)
蚌埠市２０１６—２０１７学年度第二学期期末学业水平监测高一数学参考答案及评分标准一、选择题：（每小题５分，共６０分）题号１２３４５６７８９１０１１１２答案ＡＤＣＣＢＡＢＣＤＣＡＤ二、填空题：（每小题５分，共２０分）４＞６４槡３２三、解答题：（本题满分１０分）（Ⅰ）由ｔａｎ（α－π４）＝ｔａｎα－１１＋ｔａｎα＝１３，解得ｔａｎα＝２．５分…… … … … … … … … … … … … …（Ⅱ）ｓｉｎ２α＝２ｓｉｎαｃｏｓα＝２ｓｉｎαｃｏｓαｓｉｎ２α＋ｃｏｓ２α＝２ｔａｎαｔａｎ２α＋１＝４５．１０分………………………………（利用同角三角函数关系分别求出ｓｉｎα＝槡２５５，ｃｏｓα＝槡５５，计算出结果也可给分）（本题满分１２分）解：设从甲、乙两个盒子中各取１个球，其数字分别为ｘ，ｙ，用（ｘ，ｙ）表示抽取结果，则所有可能的结果有１６种，即（１，１），（１，２），（１，３），（１，４），（２，１），（２，２），（２，３），（２，４），（３，１），（３，２），（３，３），（３，４），（４，１），（４，２），（４，３），（４，４）．４分…… … … … … … … … … … … … … …（Ⅰ）设“甲盒取出的球的标号小于乙盒取出的球的标号”为事件Ａ，则Ａ＝｛（１，２），（１，３），（１，４），（２，３），（２，４），（３，４）｝，事件Ａ由６个基本事件组成，故所求概率Ｐ（Ａ）＝６１６＝３８．８分…… … … … … … … … … … … … … … … … … … … …（Ⅱ）设“取出的两个球的标号的数字之和能被３整除”为事件Ｂ，则Ｂ＝｛（１，２），（２，１），（２，４），（４，２），（３，３）｝，事件Ｂ由５个基本事件组成，故所求概率Ｐ（Ｂ）＝５１６．１２分…… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …（本题满分１２分）（Ⅰ）不等式ｆ（ｘ）＜０的解集为（１，２），则关于ｘ的方程ｘ２＋ａ（ａ－４）ｘ＋ｂ＝０两根为１，２，则－ａ（ａ－４）＝１＋２ｂ{＝１×２，解得ａ＝１ｂ{＝２或ａ＝３ｂ{＝２．６分…… … … … … … … … … … … … … …）页２共（页１第案答考参学数一高市埠蚌（Ⅱ）ｆ（１）＝１＋ａ（ａ－４）＋ｂ，由对任意实数ａ，ａ２－４ａ＋（１＋ｂ）＞０恒成立，所以Δ＝１６－４（１＋ｂ）＜０，解得ｂ＞３．１２分……………………………………………（本题满分１２分）（Ⅰ）由频率分布直方图，０２×１００１×１０３，可知这次知识竞赛优秀率的估计值为３０％．４分…… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …（Ⅱ）这次知识竞赛的学生的平均成绩的估计值为４５１＋５５１＋６５２＋７５３＋８５２＋９５×１＝７２．８分…… … … …（Ⅲ）这次知识竞赛的学生成绩的中位数估计值为７０＋１３×１０＝２２０３．１２分……………（本题满分１２分）（Ⅰ）由条件知，２（ｃｏｓＡｓｉｎＡ＋ｃｏｓＣｓｉｎＣ）＝１ｓｉｎＡ＋１ｓｉｎＣ，化简得２（ｓｉｎＡｃｏｓＣ＋ｃｏｓＡｓｉｎＣ）＝ｓｉｎＡ＋ｓｉｎＣ，即２ｓｉｎ（Ａ＋Ｃ）＝ｓｉｎＡ＋ｓｉｎＣ，由Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝π，知ｓｉｎ（Ａ＋Ｃ）＝ｓｉｎ（π－Ｂ）＝ｓｉｎＢ，从而２ｓｉｎＢ＝ｓｉｎＡ＋ｓｉｎＣ，由正弦定理可得，ａ＋ｃ＝２ｂ．６分…… … … … … … … … … … … … … … … … … … … …（Ⅱ）由（Ⅰ）知，ｂ＝ａ＋ｃ２，由余弦定理，可得ｃｏｓＢ＝ａ２＋ｃ２－ｂ２２ａｃ＝ａ２＋ｃ２－（ａ＋ｃ２）２２ａｃ＝３８（ｃａ＋ａｃ）－１４≥１２，当且仅当ａ＝ｃ时等号成立，所以Ｂ≤π３．１２分…………………………………………………………………（本题满分１２分）（Ⅰ）由题意，ａｎ＝ａ＋（ｎ－１）ｂ，ｂｎ＝ｂ·ａｎ－１，则由ａ１＜ｂ１＜ａ２＜ｂ２＜ａ３可得ａ＜ｂ＜ａ＋ｂ＜ａｂ＜ａ＋２ｂ，而ａ，ｂ均为正整数，由ｂ＜ａｂ，知ａ＞１，由ａｂ＜ａ＋２ｂ＜３ｂ，知ａ＜３，所以ａ＝２．４分…… … … … … … … … … … … … … … … …（Ⅱ）由ａｍ＋１＝ｂｎ，得２＋（ｍ－１）ｂ＋１＝ｂ·２ｎ－１，化简得３＝ｂ（２ｎ－１－ｍ＋１），因为ｍ，ｎ∈Ｎ，所以２ｎ－１－ｍ＋１为正数，而ｂ＞ａ＝２，ｂ为正整数，可得２ｎ－１－ｍ＋１＝１，且ｂ＝３．７分…… … … … … … … … … … … … … … … … … … …（Ⅲ）ａｎ＝２＋３（ｎ－１）＝３ｎ－１，ｂｎ＝３·２ｎ－１，ｃｎ＝ａｎ－８ｂｎ＝３ｎ－９３·２ｎ－１＝ｎ－３２ｎ－１，ｃｎ＋１－ｃｎ＝ｎ－２２ｎ－ｎ－３２ｎ－１＝４－ｎ２ｎ，当１≤ｎ≤３时，ｃｎ＋１＞ｃｎ；当ｎ＝４时，ｃｎ＋１＝ｃｎ；当ｎ≥５时，ｃｎ＋１＜ｃｎ，即ｃ１＜ｃ２＜ｃ３＜ｃ４＝ｃ５＞ｃ６＞…，所以最大项为ｃ４＝ｃ５＝１８．１２分……………………（其它解法请根据以上评分标准酌情赋分））页２共（页２第案答考参学数一高市埠蚌。
安徽省蚌埠市2018-2019学年高一下学期期末数学试题(解析版)word
蚌埠市2018-2019 学年度第二学期期末学业水平监测高一数学本试卷分第I卷（选择题）和第R卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟. 第I卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的A，B、C、D 的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请在答题卷上将正确答案的字母代号涂黑.1.设a b ，则下列结论正确的是（）A. a a bB. a bC. a 1b 1D. | a | | b |2. 为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）A. 简单随机抽样B. 按性别分层抽样C. 按学段分层抽样D. 系统抽样3.执行下面的程序框图，则输出的q的值为（）2 化，阱2s乙C. x 甲x 乙，舜2 ：包22 也，s甲2s乙5. sin15 cos15()1 A. 21 B..2JC.22A. x甲2 上，阱2B . D.开始电2,则（）D. 154。
、冷，方差分别为舜2,A. 10B. 344.某次运动会甲、乙两名射击运动员成绩如右图所示,C.36甲、乙的平均数分别为为6.在区间［1,4］内随机取一个实数 a,使得关于x 的方程x 24x 2a0有实数根的概率为（）2—的最小值为b2A.一51 B.-3C.2 D.— 3x 27.不等式一 x 32的解集是（A. ( , 8] B.[8,)C. ( , 8][ 3,)D.(,8](3,A. 8B. 9C. 10D. 11y 的统计数据如下表:9.某产品的广告费用x 与销售额 8.已知正实数a,b 满足a 2b根据上表可得回归方程bx ?中的I?为9.4 ,据此模型预报广告费用为6万元时销售额为A. 63.6万元B. 65.5万元C. 67.7万元D. 72.0万元10 .数列a n 满足a 12,an1 a n",贝 U a2019(1 a nA. 3B.D. 211 .各项均为实数的等比数列 {a n }前n 项之和记为S n ，若S 10 10,S 3070,则S 4O 等于A. 150B. -200C. 150或-200D. -50或40012.在 VABC 中，角 A, BC 所对的边分别为a, b, c,且?^足a sin B J3bcosA,若a 4,则VABC周长的最大值为（A. 9B. 10C. 11D. 12第R 卷(非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卷相应位置x y 013 .已知x, y 满足 x y 4,则z 2x y 的最大值为 .x 114 .VABC 中，AB 5, AC 8, A —,则 BC315 .已知不等式ax 25x c 0 解集为(2,3),则a c .216 .已知数列｛a n ｝的首项a i 1 ,其前n 项和为0 ,且S n &〔 n 2n p ,若⑶｝单调递增，则P 的取值范围是 ______________ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出说明文字、演算式、证明步骤17 .已知 sin 2cos 0(1)求 tan2 ；(2)求3sinco S 的值.sin 3cos18 .已知等差数列 a n 满足：a 5 9(1)求数列 an 的通项公式；，一，1 “一,(2)求数列 ------------ 刖n 项和为a n a n 119 .在甲、乙两个盒子中分别装有标号为球被取出的可能性相等.(1)求取出的两个球上标号为相同数字的概率; (2)若两人分别从甲、乙两个盒子中各摸出 20.某高中为了选拔学生参加“全国 生的成绩作为样本，并根据他们的初 相同则为平局)，这样规定公平吗? 1个球，每个（1）求频率分布直方图中a的值;（2）根据频率分布直方图，估计这次初赛成绩的平均数、(1)求snB;sinC(2)若AD求BD的长.2018-2019学更变百，^饕I末学，平监叫人I本试卷分第I卷（选择题）和第R卷（非.题）两部4共1 150分，考试.第I 卷^^^^J04■一、选择题：本大题共12小题，每小题■分，共60.在每小山■的A 1、组距（分）21.VABC中，D是边BC上的点, 满足BAD 90 DAC 30 , BD 3CD .22.已知数列b n ,满足a i 1, b 4, a。
天一大联考2017-2018学年高一年级期末考试(安徽版)数学(解析版)
天一大联考2017—2018学年高一年级期末考试(安徽版)一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. （）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：将角度制转化为弧度制即可.详解：由角度制与弧度制的转化公式可知：.本题选择B选项.点睛：本题主要考查角度值转化为弧度制的方法，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2. 下列选项中,与向量垂直的单位向量为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由题意逐一考查所给的选项即可.详解：逐一考查所给的选项：，选项A错误；，选项B错误；，选项C错误；，且，选项D正确；本题选择D选项.点睛：本题主要考查向量垂直的充分必要条件，单位向量的概念及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3. 某高校大一新生中,来自东部地区的学生有2400人、中部地区学生有1600人、西部地区学生有1000人.从中选取100人作样本调研饮食习惯,为保证调研结果相对准确,下列判断正确的有（）①用分层抽样的方法分别抽取东部地区学生48人、中部地区学生32人、西部地区学生20人；②用简单随机抽样的方法从新生中选出100人；③西部地区学生小刘被选中的概率为；④中部地区学生小张被选中的概率为A. ①④B. ①③C. ②④D. ②③【答案】B【解析】分析：由题意逐一考查所给的说法是否正确即可.详解：逐一考查所给的说法：①由分层抽样的概念可知，取东部地区学生48人、中部地区学生32人、西部地区学生20人，题中的说法正确；②新生的人数较多，不适合用简单随机抽样的方法抽取人数，题中的说法错误；③西部地区学生小刘被选中的概率为，题中的说法正确；④中部地区学生小张被选中的概率为，题中的说法错误；综上可得，正确的说法是①③.本题选择B选项.点睛：本题主要考查分层抽样的概念，简单随机抽样的特征，古典概型概率公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4. 将小王6次数学考试成绩制成茎叶图如图所示,则这些数据的中位数是（）A. 81B. 83C. 无中位数D. 84.5【答案】D【解析】分析：由题意结合茎叶图首先写出所有数据，然后求解中位数即可.详解：由茎叶图可知，小王6次数学考试的成绩为：，则这些数据的中位数是.本题选择D选项.点睛：茎叶图的绘制需注意：(1)“叶”的位置只有一个数字，而“茎”的位置的数字位数一般不需要统一；(2)重复出现的数据要重复记录，不能遗漏，特别是“叶”的位置的数据．5. 一个盒子中装有红、黄、蓝三种颜色的球各5个,从中任取3个球.事件甲：3个球都不是红球；事件乙：3个球不都是红球；事件丙：3个球都是红球；事件丁：3个球中至少有1个红球，则下列选项中两个事件互斥而不对立的是（）A. 甲和乙B. 甲和丙C. 乙和丙D. 乙和丁【答案】B【解析】分析：由题意逐一考查事件之间的关系即可.详解：由题意逐一考查所给的两个事件之间的关系：A.甲和乙既不互斥也不对立；B.甲和丙互斥而不对立；C.乙和丙互斥且对立；D.乙和丁既不互斥也不对立；本题选择B选项.点睛：“互斥事件”与“对立事件”的区别：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件.6. 已知在边长为2的正方形内，有一月牙形图形，向正方形内随机地投射100个点，恰好有15个点落在了月牙形图形内，则该月牙形图形的面积大约是（）A. 3.4B. 0.3C. 0.6D. 0.15【答案】C【解析】分析：由题意结合蒙特卡洛模拟的方法整理计算即可求得最终结果.详解：设该月牙形图形的面积大约是，由题意结合蒙特卡洛模拟方法可知：，解得：.本题选择C选项.点睛：本题主要考查几何概型的应用，古典概型的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7. 若锐角满足，则（）A. B. C. D. 3【答案】A【解析】分析：由题意结合三角函数的性质整理计算即可求得最终结果.详解：由同角三角函数基本关系可知：结合题意可得：.本题选择A选项.点睛：本题主要考查切化弦的方法，二倍角公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8. 已知满足 (其中是常数)，则的形状一定是（）A. 正三角形B. 钝角三角形C. 等腰三角形D. 直角三角形【答案】C【解析】分析：由题意结合向量的运算法则和平面几何的结论确定△ABC的形状即可.详解：如图所示，在边(或取延长线)上取点，使得，在边(或取延长线)上取点，使得，由题意结合平面向量的运算法则可知：，，而，据此可得：，从而：，结合平面几何知识可知：，而，故.即△ABC为等腰三角形.本题选择C选项.点睛：用平面向量解决平面几何问题时，有两种方法：基向量法和坐标系法，利用基向量的时候需要针对具体的题目选择合适的基向量，建立平面直角坐标系时一般利用已知的垂直关系，或使较多的点落在坐标轴上，这样便于迅速解题．9. 如图所示的程序框图，若输入的的值为，则输出（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由题意结合流程图分类讨论输出的值即可.详解：结合流程图分类讨论：若，则，输出值，若，则，输出值，即输出值为：.本题选择D选项.点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．(3)按照题目的要求完成解答并验证．10. 函数在区间上的所有零点之和等于（）A. -2B. 0C. 3D. 2【答案】C【解析】分析：首先确定函数的零点，然后求解零点之和即可.详解：函数的零点满足：，解得：，取可得函数在区间上的零点为：，则所有零点之和为.本题选择C选项.点睛：本题主要考查三角函数的性质，函数零点的定义及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11. 设非零向量夹角为，若，且不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由题意首先利用平面向量数量积的运算法则进行化简，然后结合一次函数的性质整理计算即可求得最终结果. 详解：不等式等价于：，即，①其中，，将其代入①式整理可得：，由于是非零向量，故：恒成立，将其看作关于的一次不等式恒成立的问题，由于，故：，解得：；且：，解得：；综上可得，实数的取值范围为.本题选择A选项.点睛：本题主要考查平面向量数量积的运算法则，恒成立问题的处理，函数思想的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12.A. B. C. D. 1【答案】A【解析】分析：由题意结合切化弦公式和两角和差正余弦公式整理计算即可求得最终结果.详解：由题意可得：.点睛：本题主要考查两角和差正余弦公式，二倍角公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分13. 从这十个自然数中任选一个数，该数为质数的概率为__________．【答案】0.4【解析】分析：由题意结合古典概型计算公式整理计算即可求得最终结果.详解：由质数的定义可知：这十个自然数中的质数有：等4个数，结合古典概型计算公式可知该数为质数的概率为.点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.14. 数据，，…，的平均数是3，方差是1，则数据，，…，的平均数和方差之和是__________．【答案】3【解析】分析：由题意结合平均数、方差的性质整理计算即可求得最终结果.详解：由题意结合平均数和方差的性质可知：数据，，…，的平均数为：，方差为：，则平均数和方差之和是.点睛：本题主要考查均值的性质、方差的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15. 下图是出租汽车计价器的程序框图，其中表示乘车里程(单位：)，表示应支付的出租汽车费用(单位：元).有下列表述：①在里程不超过的情况下，出租车费为8元；②若乘车，需支付出租车费20元；③乘车的出租车费为④乘车与出租车费的关系如图所示：则正确表述的序号是__________．【答案】①②【解析】分析：结合流程图逐一考查所给的说法是否正确即可.详解：逐一考查所给的说法：①在里程不超过的情况下，，则，即出租车费为8元，该说法正确；②由流程图可知，超出的部分的计费方式为向上取整后每公里元，若乘车，，需支付出租车费为：元，该说法正确.当乘车里程为和时，出租车车费均为元，据此可知说法③④错误.综上可得，正确表述的序号是①②.点睛：本题主要考查流程图知识的应用，生活实际问题解决方案的选择等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16. 如图为函数的部分图象，对于任意的，，若，都有，则等于__________．【答案】【解析】分析：由题意结合三角函数的性质和函数图象的对称性整理计算即可求得最终结果.详解：由三角函数的最大值可知，不妨设，则，由三角函数的性质可知：，则：，则，结合，故.点睛：本题主要考查三角函数图象的对称性，诱导公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 已知向量，.(1)若实数满足，求的值；(2)若，求实数的值.【答案】（1）2；（2）【解析】分析：(1)由题意得，据此求解关于m,n的方程组有所以.(2)由题意可得，，结合向量平行的充分必要条件得到关于的方程，解方程可知.详解：(1)由题意得所以解得所以.(2)，，·因为，所以解得.点睛：本题主要考查平面向量的坐标运算，向量平行的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18. 某企业根据供销合同生产某种型号零件10万件，规定：零件长度(单位：毫米)在区间内，则为一等品；若长度在或内，则为二等品；否则为不合格产品.现从生产出的零件中随机抽取100件作样本，其长度数据的频率分布直方图如图所示.(1)试估计该样本的平均数；(2)根据合同，企业生产的每件一等品可获利10元，每件二等品可获利8元，每件不合格产品亏损6元，若用样本估计总体，试估算该企业生产这批零件所获得的利润.【答案】（1）100.68；（2）68万元【解析】分析：(1)由频率分布直方图结合平均数计算公式可估计该样本的平均数为100.68.(2)由题意知，一等品的频率为0.38，二等品的频率为0.48，不合格产品的频率为0.14.据此可估计该企业生产这批零件所获得的利润为万元.详解：(1)由频率分布直方图可得各组的频率分别为0.02，0.18，0.38，0.30，0.10，0.02.平均数估计值是.(2)由题意知，一等品的频率为0.38，二等品的频率为0.48，不合格产品的频率为0.14.用样本估计总体，一等品约有3.8万件，二等品约有4.8万件，不合格产品约有1.4万件.故该企业生产这批零件预计可获利润万元.点睛：频率分布直方图问题需要注意：在频率分布直方图中，小矩形的高表示，而不是频率；利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.19. 某中学每周定期举办一次数学沙龙，前5周每周参加沙龙的人数如下表：周序号参加人数(1)假设与线性相关，求关于的回归直线方程；（2）根据(1)中的方程预测第8周参加数学沙龙的人数.附：对于线性相关的一组数据，其回归方程为.其中，.【答案】（1）；（2）33【解析】分析：(1)由题意结合回归方程计算公式可得，，则线性回归方程为.(2)利用(1)中求得的回归方程结合回归方程的预测作用可得第8周参加数学沙龙的人数预计为33人.详解：(1)，，所以关于的回归直线方程是.(2)当时，由回归方程可得，即第8周参加数学沙龙的人数预计为33人.点睛：一是回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义．二是根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值．20. 函数的最小正周期为，点为其图象上一个最高点.（1）求的解析式；（2）将函数图象上所有点都向左平移个单位，得到函数的图象，求在区间上的值域【答案】（1）；（2）【解析】分析：(1)由最小正周期公式可得.由最大值可知，结合三角函数的性质可得，则. (2)由题意得，结合三角函数的性质可知函数在区间上的值域为.详解：(1)因为最小正周期为，得，.点为其图象上一个最高点，得，，又因为，所以.所以.(2)由题意得，当时，.因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，且，，，所以在区间上的值域为.点睛：本题主要考查三角函数解析式的求解，函数的平移变换，三角函数值域的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.21. 甲乙两人玩卡片游戏：他们手里都拿着分别标有数字1,2,3,4,5,6的6张卡片，各自从自己的卡片中随机抽出1张，规定两人谁抽出的卡片上的数字大，谁就获胜，数字相同则为平局.(1)求甲获胜的概率.(2)现已知他们都抽出了标有数字6的卡片，为了分出胜负，他们决定从手里剩下的卡片中再各自随机抽出1张，若他们这次抽出的卡片上数字之和为偶数，则甲获胜，否则乙获胜.请问：这个规则公平吗，为什么？【答案】（1）；（2）见解析【解析】分析：(1)由题意列出所有可能的事件，结合古典概型计算公式可知甲获胜的概率为.(2)由古典概型计算公式可知甲获胜的概率为，则乙获胜的概率为，则这个规则不公平.详解：(1)两人各自从自己的卡片中随机抽出一张，所有可能的结果为：，，，共36种，其中事件“甲获胜”包含的结果为：，有15种.所以甲获胜的概率为.(2)两人各自从于里剩下的卡片中随机抽出一张，所有可能的结果为：，共25种.其中卡片上的数字之和为偶数的结果为：，共13种.根据规则，甲获胜的概率为，则乙获胜的概率为，所以这个规则不公平.点睛：本题主要考查古典概型计算公式及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.22. 如图所示，扇形中，，，矩形内接于扇形.点为的中点，设，矩形的面积为.（1）若，求；（2）求的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】分析：(1)设与，分别交于，两点，由几何关系可得，.由矩形面积公式可得，结合三角函数的性质可知时，.(2)结合(1)中矩形的面积表达式可知当时，取得最大值.详解：(1)如图所示，设与，分别交于，两点，由已知得，.，，所以.故，所以，当时，.(2)因为，所以，当且仅当，即时，取得最大值.点睛：本题主要考查三角函数的应用，三角函数的性质，利用三角函数求最值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.。
安徽省蚌埠市2017-2018学年高二下学期期末考试数学(理)试题
蚌埠市2017—2018学年度第二学期期末学业水平监测高二数学（理科）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的A ，B ，C ，D 的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的字母代号涂到答题卡上.1.已知i 为虚数单位，复数z 满足(12)43i z i +=+，则复数z 对应的点位于复平面内的（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2.“指数函数是增函数，函数()2xf x =是指数函数，所以函数()2xf x =是增函数”，以上推理（ ）A ．大前提不正确B ．小前提不正确C ．结论不正确D ．正确 3.曲线()2xf x x e =-在点(0,(0))f 处的切线方程是（ ）A ．10x y -+=B ．10x y --=C ． 0x y -=D ．210x y --= 4.已知回归方程$21y x =-，则该方程在样本(3,4)处的残差为（ ） A ．5 B ．2 C ．1 D ．-1 5.用数学归纳法证明不等式“11113(2)12224n n n n ++⋅⋅⋅+>>++”的过程中，归纳递推由n k =到1n k =+时，不等式的左边（ ）A ．增加了一项12(1)k +B ．增加了两项11212(1)k k +++ C ．增加了两项11212(1)k k +++，又减少了一项11k + D ．增加了一项12(1)k +，又减少了一项11k +6.从1，2，3，4，5中不放回地依次选取2个数，记事件A =“第一次取到的是奇数”，事件B = “第二次取到的是奇数”，则(|)P B A =（ ）A ．12 B ．25 C ．310 D ．157.已知a ，b ，c 均为正实数，则a b ，b c ，ca的值（ ）A ．都大于1B ．都小于1C ．至多有一个不小于1D ．至少有一个不小于18.某小区有1000户居民，各户每月的用电量近似服从正态分布(300,100)N ，则用电量在320度以上的居民户数估计约为（ ）【参考数据：若随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，则()0.6827P μσξμσ-<≤+≈，(22)0.9545P μσξμσ-<≤+≈，(33)0.9973P μσξμσ-<≤+≈.】A ．17B ．23C ．34D ．469.设'()f x 是函数()f x 的导函数，'()y f x =的图象如图所示，则()y f x =的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ． 10.下列等式中，错误的是（ ）A ．11(1)m m n n n A A +++= B ．!(2)!(1)n n n n =--C ．!m mn nA C n = D ．11m mn nA A n m+=- 11.将3颗相同的红色小球和2颗相同的黑色小球装入四个不同盒子，每个盒子至少1颗，不同的分装方案种数为（ ）A ．40B ．28C ．24D ．1612.若存在1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得不等式22ln 30x x x mx +-+≥成立，则实数m 的最大值为（ ）A ．132e e +- B ．32e e++ C ．4 D ．21e - 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案直接填在答题卡上.13.计算：1()x e x dx +=⎰．14.2018年春季，世界各地相继出现流感疫情，这已经成为全球性的公共卫生问题.为了考察某种流感疫苗的效果，某实验室随机抽取100只健康小鼠进行试验，得到如下列联表：参照附表，在犯错误的概率最多不超过 的前提下，可认为“注射疫苗”与“感染流感”有关系．【参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++.】15.已知多项式(23)nx -的展开式中二项式系数之和为64，则展开式中2x 的系数为 （用数字作答）.16.已知从2开始的连续偶数蛇形排列成宝塔形的数表，第一行为2，第二行为4，6，第三行为12，10，8，第四行为14，16，18，20，…，如图所示，在该数表中位于第i 行、第j 行的数记为ij a ，如3,210a =，5,424a =.若2018ij a =，则i j += ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必做题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选做题，考生根据要求作答. （一）必做题：每小题12分，共60分.17.已知a ，b 均为正实数，求证：a b a b+≥+. 18.如图1，已知PAB ∆中，PA PB ⊥，点P 在斜边AB 上的射影为点H .（Ⅰ）求证：222111PH PA PB =+； （Ⅱ）如图2，已知三棱锥P ABC -中，侧棱PA ，PB ，PC 两两互相垂直，点P 在底面ABC 内的射影为点H .类比（Ⅰ）中的结论，猜想三棱锥P ABC -中PH 与PA ，PB ，PC 的关系，并证明.19.小王每天自己开车上班，他在路上所用的时间X （分钟）与道路的拥堵情况有关.小王在一年中随机记录了200次上班在路上所用的时间，其频数统计如下表，用频率近似代替概率.X （分钟）15 20 25 30 频数（次）50506040（Ⅰ）求小王上班在路上所用时间的数学期望()E X ；（Ⅱ）若小王一周上班5天，每天的道路拥堵情况彼此独立，设一周内上班在路上所用时间不超过()E X 的天数为Y ，求Y 的分布列及数学期望.20.我市物价监督部门为调研某公司新开发上市的一种产品销售价格的合理性，对该公司的产品的销售与价格进行了统计分析，得到如下数据和散点图：定价x（元/kg）10 20 30 40 50 60年销售()y kg1150 643 424 262 165 862lnz y=14.1 12.9 12.1 11.1 10.2 8.9图（1）为x y-散点图，图（2）为x z-散点图.（Ⅰ）根据散点图判断y与x，z与x哪一对具有较强的线性相关性（不必证明）；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果和参考数据，建立y关于x的回归方程（线性回归方程中的斜率和截距均保留两位有效数字）；（Ⅲ）定价为多少时，年销售额的预报值最大？（注：年销售额=定价⨯年销售）参考数据：35x=，455y=，11.55z=，621()1750iix x=-=∑，621()776840iiy y=-=∑，61()()34580i iix x y y=--=-∑，61()()175.5i iix x z z=--=-∑，61()()3465.2i iiy y z z=--=∑，参考公式：61621()()()i iiiix x y ybx x==--=-∑∑$，$a y bx=-$.21.函数()1xf x e x=--，()(cos1)xg x e ax x x=++.（Ⅰ）求函数()f x的极值；（Ⅱ）若1a>-，证明：当(0,1)x∈时，()1g x>.（二）选做题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为：24x y αα⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线2C 的极坐标方程为()3R πθρ=∈.（Ⅰ）求1C 的极坐标方程和2C 的直角坐标方程； （Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()6R πθρ=∈，设2C 与1C 的交点为O ，M ，3C 与1C 的交点为O ，N ，求OMN ∆的面积. 23.【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()21f x x a x =-+-. （Ⅰ）当1a =时，解不等式()2f x ≥；（Ⅱ）求证：1()2f x a ≥-.蚌埠市2017—2018学年度第二学期期末学业水平监测高二数学（理科）参考答案一、选择题1-5: DABDC 6-10: ADBCC 11、12：BA二、填空题13. 12e -14. 0.05 15. 4860 16. 72 三、解答题17.解：方法一：因为a ，b≥≥≥≥方法二：=(a b =-=20=≥.≥方法三：===，因为a ，b 均为正实数，a b +≥，≥=≥18.（Ⅰ）由条件得，1122PA PB AB PH ⋅=⋅，所以PA PBAB PH⋅=， 由勾股定理，222PA PB AB +=，所以22222PA PB PA PB PH ⋅+=，所以 2222222111PA PB PH PA PB PA PB+==+⋅. （Ⅱ）猜想：22221111PH PA PB PC=++. 证明如下：连接AH 延长交BC 于M 点，连接PM ， 因为PA PB ⊥，PA PC ⊥，PB PC P =I 点，所以PA ⊥平面PBC ，又PM ⊂平面PBC ，得PA PM ⊥， PH ⊥平面ABC ，AM ⊂平面ABC ，则PH AM ⊥.在直角三角形APM 中，由（Ⅰ）中结论，222111PH PA PM=+. PA ⊥平面PBC ，则PA BC ⊥，又PH ⊥平面ABC ，所以PH BC ⊥，而PH PA P =I 点，PH ⊂平面PAM ，所以BC ⊥平面APM ，BC PM ⊥. 又PB PC ⊥，由（Ⅰ）中结论，得222111PM PC PB=+. 所以22221111PH PA PB PC =++.19.（Ⅰ）1(15)4P X ==，1(20)4P X ==，3(25)10P X ==，1(30)5P X ==， X 的分布列为X15202530P14 14 310 15所以113()1520254410E X =⨯+⨯+⨯1893054+⨯=. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，每天上班在路上所用时间不超过89()4E X =的概率为111442+=， 依题意，1(5,)2Y B :，分布列为55511()()()2232kk k k C P Y k C -===，0,1,2,3,4,5k =，()522E Y =⨯=. 20.（Ⅰ）由散点图知，z 与x 具有的线性相关性较强.（Ⅱ）由条件，得61621()()175.50.101750()iii ii x x zz bx x ==---==≈--∑∑$，$11.55(0.10)3515.0515az bx =-=--⨯=≈$，所以0.1015z x =-+$， 又2ln z y =，得$2ln 0.1015y x =-+，故y 关于x 的回归方程为$0.10152x y e -+=.（Ⅲ）设年销售额为P 元，令$0.10152()x P f x x y xe -+===，(0,)x ∈+∞，0.10152'()(10.05)x f x x e-+=-，令'()0f x >，得020x <<；令'()0f x <，得20x >，则()f x 在(0,20)单调递增，在(20,)+∞单调递减，在20x =取得最大值， 因此，定价为20元/kg 时，年销售额的预报值最大.21.（Ⅰ）函数()1xf x e x =--的定义域为(,)-∞+∞，'()1xf x e =-，由'()0f x <得0x <，'()0f x >得0x >，所以函数()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增，函数()f x 有极小值(0)0f =，无极大值.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，10x e x --≥，当且仅当0x =时等号成立，而(0,1)x ∈，所以10x e x -->，即11x e x >+>，所以111xe x <+， 要证明()(cos 1)1xg x e ax x x =++>，只需证明1cos 1x ax x x e++>，而111x e x <+，故只要证明1cos 11ax x x x ++>+，即证cos 01x ax x x x ++>+， 又(0,1)x ∈，所以只要证明1cos 01a x x ++>+.令1()cos 1h x a x x =+++，(0,1)x ∈，1a >-，则21'()sin 0(1)h x x x =--<+， 所以()h x 在(0,1)上单调递减，1()(1)cos12h x h a >=++1cos 1032a a π>++=+>，即1cos 01a x x ++>+， 所以证得()1g x >.22.（Ⅰ）消去参数α，曲线1C 的普通方程为22(2)(4)20x y -+-=， 即22480x y x y +--=，把cos x ρθ=，sin y ρθ=代入方程得24cos 8sin 0ρρθρθ--=，所以1C 的极坐标方程为4cos 8sin ρθθ=+.直线2C 的直角坐标方程为y =. （Ⅱ）设11(,)M ρθ，22(,)N ρθ，分别将13πθ=，26πθ=代入4cos 8sin ρθθ=+，得12ρ=+，24ρ=+ 则OMN ∆的面积为121211sin()(2(422ρρθθ-=⨯+⨯+sin 86π⨯=+23.（Ⅰ）当1a =时，不等式()2f x ≥，即1212x x -+-≥， 当12x <时，不等式可化为1122x x -+-≥，解得0x ≤，所以0x ≤， 当112x ≤≤时，不等式可化为1212x x -+-≥，解得2x ≥，所以无解， 当1x >时，不等式可化为1212x x -+-≥，解得43x ≥，所以43x ≥，11 综上可知，不等式()2f x ≥的解集为4(,0],3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭U . （Ⅱ）1()2122f x x a x x a x =-+-=-+-1122x a x x =-+-+-1122x a x a x x ≥-+-=-+-1122a x x a ≥-+-=-.。
安徽省蚌埠市2017-2018学年高一下学期期末数学试卷 Word版含解析
2017-2018学年安徽省蚌埠市高一（下）期末数学试卷一、选择题1．数列1，2，5，10，17，…的一个通项公式是（）A．n2﹣2n+2 B．C．2n﹣1 D．2n﹣12．在区间[0，10]中任意取一个数，则它与4之和大于10的概率为（）A．B．C．D．3．在△ABC中，a=，b=，B=45°，则A等于（）A．30°B．60°C．60°或120°D．30°或150°4．已知x＞0，y＞0，且2x+y=1，则的最小值为（）A．3 B．2+3C．3+2D．2﹣35．如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员得分情况的茎叶图，从此图可看出甲、乙两人得分的中位数为（）A．31，26 B．26，23 C．36，26 D．31，236．如果点P在平面区域内，则z=2x﹣3y的最小值为（）A．﹣7 B．﹣6 C．﹣2 D．﹣11A．（2.5，2）B．（2.5，3.5）C．（3.5，2.5）D．（3.5，2）8．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足﹣=1，则数列{a n}的公差是（）A．B．1 C．2 D．39．在各项都为正数的等比数列{a n}中，首项a1=3，前三项和为21，则a3+a4+a5=（）A．33 B．72 C．84 D．18910．阅读图的程序框图，该程序运行后输出的k的值为（）A．5 B．6 C．7 D．811．对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，如图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20，25）上为一等品，在区间[15，20）和[25，30）上为二等品，在区间[10，15）和[30，35]上为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是（）A．0.09 B．0.20 C．0.25 D．0.4512．设等差数列{a n}满足：=1，公差d∈（﹣1，0）．若当且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，则首项a1取值范围是（）A．（，）B．（，）C．[，] D．[，]二、填空题．13．不等式≤1的解集是．14．已知数列{a n}中，a n+1=2a n，a3=8，则数列{log2a n}的前n项和等于．15．当时，函数的最小值为．16．在△ABC中，若A=，AB=6，AC=3，点D在BC的边上且AD=BD，则AD=．三、解答题．17．已知tanx=，求下列各式的值：（Ⅰ）tan（+x）；（Ⅱ）．18．已知集合A={x|x2﹣2x﹣8＜0}，B={x|x2+2x﹣3＞0}，C={x|x2﹣3ax+2a2＜0}（Ⅰ）求集合A，B；（Ⅱ）若C⊆（A∩B），求实数a的取值范围．19．某化工企业2007年底投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．（1）求该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用y（万元）；（2）问为使该企业的年平均污水处理费用最低，该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备？20．“端午节”小长假期间，某旅游社共组织1000名游客，分三批到青岛、海南旅游．为了（Ⅰ）现用分层抽样的方法在所有游客中抽取50名幸运者，问第三批应该抽取多少人？（Ⅱ）已知y≥136，z≥133，求第三批参加旅游的游客中到青岛的比到海南的多的概率？21．在△ABC中，a+b=10，cosC是方程2x2﹣3x﹣2=0的一个根，求：（Ⅰ）cosC的值；（Ⅱ）△ABC周长的最小值．22．已知数列{a n}中，a1=3，前项和S n=（n+1）（a n+1）﹣1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列的前项和为T n，是否存在实数M，使得T n≤M对一切正整数都成立？若存在，求出M的最小值；若不存在，请说明理由．2017-2018学年安徽省蚌埠市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．数列1，2，5，10，17，…的一个通项公式是（）A．n2﹣2n+2 B．C．2n﹣1 D．2n﹣1【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】设此数列为{a n}，则a1=1，a2﹣a1=1，a3﹣a2=3，a4﹣a3=5，a5﹣a4=7，…．利用“累加求和”方法与等差数列的求和公式即可得出．【解答】解：设此数列为{a n}，则a1=1，a2﹣a1=1，a3﹣a2=5﹣2=3，a4﹣a3=10﹣5=5，a5﹣a4=17﹣10=7，…．）∴a n=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+（a4﹣a3）+（a5﹣a4）+…（a n﹣a n﹣1=1+1+3+…+（2n﹣3）=1+=n2﹣2n+2．故选：A．2．在区间[0，10]中任意取一个数，则它与4之和大于10的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】所取之数与4之和大于10可得6＜x≤10，长度与10之比即为所求概率．【解答】解：在区间[0，10]中任意取一个数x，则它与4之和大于10的x满足x+4＞10，解得6＜x≤10，∴所求概率为=故选：B3．在△ABC中，a=，b=，B=45°，则A等于（）A．30°B．60°C．60°或120°D．30°或150°【考点】正弦定理．【分析】由正弦定理可得sinA=，再由大边对大角可得A＞B=45°，从而求得A的值．【解答】解：由正弦定理可得=，∴sinA=．∵B=45°，a＞b，再由大边对大角可得A＞B，故B=60°或120°，故选，C．4．已知x＞0，y＞0，且2x+y=1，则的最小值为（）A．3 B．2+3C．3+2D．2﹣3【考点】基本不等式．【分析】根据基本不等式的性质，先把转化为=2+++1，即可到答案．【解答】解：==2+++1≥3+2=3+2，当且仅当x=1﹣，y=﹣1时取等号．故的最小值为3，故选：C5．如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员得分情况的茎叶图，从此图可看出甲、乙两人得分的中位数为（）A．31，26 B．26，23 C．36，26 D．31，23【考点】茎叶图．【分析】根据茎叶图列出甲、乙二人的得分，从而得出他们的中位数．【解答】解：从茎叶图知，甲运动员的得分是12，15，24，25，31，31，36，36，37，39，44，49，50；∴中位数是36．乙运动员的得分是8，13，14，16，23，26，28，33，38，39，51；∴中位数是26．∴甲、乙两名运动员得分的中位数分别是36，26．故选：C．6．如果点P在平面区域内，则z=2x﹣3y的最小值为（）A．﹣7 B．﹣6 C．﹣2 D．﹣1【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：设z=2x﹣3y，则得y=x﹣，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）．平移直线y=x﹣，由图象可知当直线y=x﹣经过点A时，直线y=x﹣的截距最大，此时z最小，由，解得，即A（0，2）．将A（0，2）代入目标函数z=2x﹣3y，得z=0﹣3×2=﹣6．∴目标函数z=2x﹣3y的最小值是﹣6．故选：B．A．（2.5，2）B．（2.5，3.5）C．（3.5，2.5）D．（3.5，2）【考点】线性回归方程．【分析】先利用数据平均值的公式求出x，y的平均值，以平均值为横、纵坐标的点在回归直线上．【解答】解：∵==3.5，==2，∴线性回归方程y=a+bx所表示的直线必经过点（3.5，2）故选：D．8．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足﹣=1，则数列{a n}的公差是（）A．B．1 C．2 D．3【考点】等差数列的性质．【分析】先用等差数列的求和公式表示出S3和S2，进而根据﹣=，求得d．【解答】解：S3=a1+a2+a3=3a1+3d，S2=a1+a2=2a1+d，∴﹣==1∴d=2故选C9．在各项都为正数的等比数列{a n}中，首项a1=3，前三项和为21，则a3+a4+a5=（）A．33 B．72 C．84 D．189【考点】等比数列的性质．【分析】根据等比数列{a n}中，首项a1=3，前三项和为21，可求得q，根据等比数列的通项公式，分别求得a3，a4和a5代入a3+a4+a5，即可得到答案．【解答】解：在各项都为正数的等比数列{a n}中，首项a1=3，前三项和为21故3+3q+3q2=21，∴q=2，∴a3+a4+a5=（a1+a2+a3）q2=21×22=84故选C．10．阅读图的程序框图，该程序运行后输出的k的值为（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】等比数列的前n项和；循环结构．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变量s，k的值，最后输出k的值，列举出循环的各个情况，不难得到输出结果．【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：循环前：k=0，s=0，每次循环s，k的值及是否循环分别如下第一圈：S=2°＜100，k=1；是第二圈：S=2°+21＜100，k=2；是第三圈：S=2°+21+22＜100，k=3；是第四圈：S=2°+21+22+23＜100，k=4；是第五圈：S=2°+21+22+23+24＜100，k=5；是第六圈：S=2°+21+22+23+24+25＜100，k=6：是第七圈：S=2°+21+22+23+24+25+26＞100，k=6：否满足S＞100，退出循环，此时k值为7故选C11．对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，如图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20，25）上为一等品，在区间[15，20）和[25，30）上为二等品，在区间[10，15）和[30，35]上为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是（）A．0.09 B．0.20 C．0.25 D．0.45【考点】古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图．【分析】根据频率分布直方图，分别求出对应区间[15，20）和[25，30）上的频率即可．【解答】解：由频率分布直方图可知，对应区间[15，20）和[25，30）上的频率分别为0.04×5=0.20和0.05×5=0.25，∴二等品的频率为0.20+0.25=0.45．故从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是0.45．故选：D．12．设等差数列{a n}满足：=1，公差d∈（﹣1，0）．若当且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，则首项a1取值范围是（）A．（，）B．（，）C．[，] D．[，]【考点】等差数列的通项公式．【分析】利用三角函数的倍角公式、积化和差与和差化积公式化简已知的等式，根据公差d 的范围求出公差的值，代入前n项和公式后利用二次函数的对称轴的范围求解首项a1取值范围．【解答】解：由=1，得：，即，由积化和差公式得：，整理得：，∴sin（3d）=﹣1．∵d∈（﹣1，0），∴3d∈（﹣3，0），则3d=，d=﹣．由=．对称轴方程为n=，由题意当且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，∴，解得：．∴首项a1的取值范围是．故选：B．二、填空题．13．不等式≤1的解集是（﹣2，1] ．【考点】其他不等式的解法．【分析】先化简分式不等式，再进行等价转化为一元二次不等式组，由一元二次不等式的解法求出解集．【解答】解：由得，则，所以，解得﹣2＜x≤1，即不等式的解集是（﹣2，1]，故答案为：（﹣2，1]．14．已知数列{a n}中，a n+1=2a n，a3=8，则数列{log2a n}的前n项和等于．【考点】数列的求和．【分析】由已知条件推导出{a n}是首项和公比都是2的等比数列，从而得到，log2a n=n，由此能求出数列{log2a n}的前n项和．【解答】解：∵数列{a n}中，a n+1=2a n，∴=2，∴{a n}是公比为2的等比数列，∵a3=8，∴，解得a1=2，∴，∴log2a n=n，∴数列{log2a n}的前n项和：S n=1+2+3+…+n=．故答案为：．15．当时，函数的最小值为4．【考点】三角函数的最值．【分析】先利用二倍角公式和同角三角函数的基本关系对函数解析式化简整理，然后利用基本不等式求得函数的最小值．【解答】解：==+≥4当且仅当4sin2x=cos2x时等号成立．故答案为；416．在△ABC中，若A=，AB=6，AC=3，点D在BC的边上且AD=BD，则AD=．【考点】正弦定理．【分析】由已知及余弦定理可解得BC的值，由正弦定理可求得sinB，从而可求cosB，过点D作AB的垂线DE，垂足为E，由AD=BD得：cos∠DAE=cosB，即可求得AD的长．【解答】解：∵A=，AB=6，AC=3，∴在△ABC中，由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcos∠BAC=90．∴BC=3，…4分∵在△ABC中，由正弦定理可得：=，∴sinB=，∴cosB=，…8分∵过点D作AB的垂线DE，垂足为E，由AD=BD得：cos∠DAE=cosB，∴Rt△ADE中，AD===．故答案为：．…12分三、解答题．17．已知tanx=，求下列各式的值：（Ⅰ）tan（+x）；（Ⅱ）．【考点】三角函数的化简求值．【分析】（Ⅰ）利用两角和的正切函数化简tan（+x），代入求解即可；（Ⅱ）化为正切函数的形式，代入求解即可．【解答】解：（Ⅰ）tanx=，tan（+x）===3；（Ⅱ）====．18．已知集合A={x|x2﹣2x﹣8＜0}，B={x|x2+2x﹣3＞0}，C={x|x2﹣3ax+2a2＜0}（Ⅰ）求集合A，B；（Ⅱ）若C⊆（A∩B），求实数a的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用．（Ⅰ）通过解集合A，B里的两个一元二次不等式即可得出A={x|﹣2＜x＜4}，B={x|x 【分析】＜﹣3，或x＞1}；（Ⅱ）容易求出A∩B，根据条件C⊆（A∩B），并讨论a的符号：a=0，a＞0，和a＜0，进而便可解出每种情况下的集合C，并可得出每种情况下a的范围，求并集即可得出实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）解x2﹣2x﹣8＜0得，﹣2＜x＜4；解x2+2x﹣3＞0得，x＜﹣3，或x＞1；∴A={x|﹣2＜x＜4}，B={x|x＜﹣3，或x＞1}；（Ⅱ）A∩B={x|1＜x＜4}；∵C⊆（A∩B）；（1）若a=0，C=∅，满足条件；（2）若a＞0，C={x|a＜x＜2a}，则：；∴1≤a≤2；（3）若a＜0，C={x|2a＜x＜a}，不满足条件；∴实数a的取值范围为{a|1≤a≤2，或a=0}．19．某化工企业2007年底投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．（1）求该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用y（万元）；（2）问为使该企业的年平均污水处理费用最低，该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备？【考点】基本不等式在最值问题中的应用；根据实际问题选择函数类型．【分析】（1）根据x年的总费用除以年数x可得到年平均污水处理费用，可得到关系式．（2）将关系式化简为（x＞0），根据均值不等式可求出年平均费用的最低值和对应的年数．【解答】解：（1）由题意可知年平均污水处理费用为：即（x＞0）；（2）由均值不等式得：（万元）当且仅当，即x=10时取到等号答：该企业10年后需要重新更换新设备．20．“端午节”小长假期间，某旅游社共组织1000名游客，分三批到青岛、海南旅游．为了（Ⅰ）现用分层抽样的方法在所有游客中抽取50名幸运者，问第三批应该抽取多少人？（Ⅱ）已知y≥136，z≥133，求第三批参加旅游的游客中到青岛的比到海南的多的概率？【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；分层抽样方法．【分析】（Ⅰ）应用分层抽样中不同的层所占比例求出x值；（Ⅱ）同理求出y+z的值，最后用列举法写出全部基本事件来解决问题．【解答】解：（I）∵=0.21，∴x=210，第三批旅游人数为y+z=1000﹣=280，现用分层抽样的方法在所有游客中抽取50名游客，应在第三批参加旅游的游客中抽取的人数为×280=14（人）．（II）设“第三批参加旅游的游客中到青岛游的人数比到海南游的人数多”为事件A，第三批参加旅游的游客中到青岛游的人数、到海南游的人数记为（y，z），由（I）知y+z=280，且y，z∈N*则基本事件空间包含的基本事件有共12个．事件A包含的基本事件有共7个∴P（A）=．答：第三批参加旅游的游客中到青岛游的人数比到海南游的人数多的概率为．21．在△ABC中，a+b=10，cosC是方程2x2﹣3x﹣2=0的一个根，求：（Ⅰ）cosC的值；（Ⅱ）△ABC周长的最小值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）由cosC是方程2x2﹣3x﹣2=0的一个根可求cosC=﹣．（Ⅱ）由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2ab•（﹣）=（a+b）2﹣ab，由a=5时，及c最小且可求，进而可求△ABC周长的最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵2x2﹣3x﹣2=0，∴x1=2，x2=﹣，…又∵cosC是方程2x2﹣3x﹣2=0的一个根，∴cosC=﹣．…（Ⅱ）由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2ab•（﹣）=（a+b）2﹣ab，即：c2=100﹣a（10﹣a）=（a﹣5）2+75，…当a=5时，c最小且c==5，此时a+b+c=10+5，…∴△ABC周长的最小值为10+5．…22．已知数列{a n}中，a1=3，前项和S n=（n+1）（a n+1）﹣1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列的前项和为T n，是否存在实数M，使得T n≤M对一切正整数都成立？若存在，求出M的最小值；若不存在，请说明理由．【考点】数列的求和．【分析】（1）根据a n+1=S n+1﹣S n，判断得出2a n+1=a n+2+a n，得出数列{a n}为等差数列．由na n+1=（n+1）a n﹣1，可求得a2=2a1﹣1=5，又a1=3可求公差，从而可得a n；（2）使得T n≤M对一切正整数n恒成立，等价于T n的最大值小于等于M，利用裂项相消法可求得T n，进而可求得其最大值；【解答】解：①∵S n=（n+1）（a n+1）﹣1，S n+1=（n+2）（a n+1+1）﹣1，∵a n+1=S n+1﹣S n，∴na n+1=（n+1）a n﹣1 (1)∴（n+1）a n+2=（n+2）a n+1﹣1 (2)（2）﹣（1），得（n+1）a n+2﹣na n+1=（n+2）a n+1﹣（n+1）a n，∴2（n+1）a n+1=（n+1）（a n+2+a n），∴2a n+1=a n+2+a n，∴数列{a n}为等差数列．∵na n+1=（n+1）a n﹣1，得a2=2a1﹣1=5，又a1=3，∴a2﹣a1=2，即公差为2，a n=3+（n﹣1）×2=2n+1；（2）由（1）知a n=2n+1；∴==（﹣）∴T n=（﹣+﹣+…+﹣）=（﹣）＜则要使得T n≤M对一切正整数都成立，只要（T n）max≤M，所以只要M∴存在实数M，使得T n≤M对一切正整数都成立，且M的最小值为2018年8月25日。
安徽省天一大联考2017-2018学年高一数学下学期期末考试试题(含解析)
安徽省天一大联考2017-2018学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. （）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：将角度制转化为弧度制即可.详解：由角度制与弧度制的转化公式可知：.本题选择B选项.点睛：本题主要考查角度值转化为弧度制的方法，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2. 下列选项中,与向量垂直的单位向量为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由题意逐一考查所给的选项即可.详解：逐一考查所给的选项：，选项A错误；，选项B错误；，选项C错误；，且，选项D正确；本题选择D选项.点睛：本题主要考查向量垂直的充分必要条件，单位向量的概念及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3. 某高校大一新生中,来自东部地区的学生有2400人、中部地区学生有1600人、西部地区学生有1000人.从中选取100人作样本调研饮食习惯,为保证调研结果相对准确,下列判断正确的有（）①用分层抽样的方法分别抽取东部地区学生48人、中部地区学生32人、西部地区学生20人；②用简单随机抽样的方法从新生中选出100人；③西部地区学生小刘被选中的概率为；④中部地区学生小张被选中的概率为A. ①④B. ①③C. ②④D. ②③【答案】B【解析】分析：由题意逐一考查所给的说法是否正确即可.详解：逐一考查所给的说法：①由分层抽样的概念可知，取东部地区学生48人、中部地区学生32人、西部地区学生20人，题中的说法正确；②新生的人数较多，不适合用简单随机抽样的方法抽取人数，题中的说法错误；③西部地区学生小刘被选中的概率为，题中的说法正确；④中部地区学生小张被选中的概率为，题中的说法错误；综上可得，正确的说法是①③.本题选择B选项.点睛：本题主要考查分层抽样的概念，简单随机抽样的特征，古典概型概率公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4. 将小王6次数学考试成绩制成茎叶图如图所示,则这些数据的中位数是（）........................A. 81B. 83C. 无中位数D. 84.5【答案】D【解析】分析：由题意结合茎叶图首先写出所有数据，然后求解中位数即可.详解：由茎叶图可知，小王6次数学考试的成绩为：，则这些数据的中位数是.本题选择D选项.点睛：茎叶图的绘制需注意：(1)“叶”的位置只有一个数字，而“茎”的位置的数字位数一般不需要统一；(2)重复出现的数据要重复记录，不能遗漏，特别是“叶”的位置的数据．5. 一个盒子中装有红、黄、蓝三种颜色的球各5个,从中任取3个球.事件甲：3个球都不是红球；事件乙：3个球不都是红球；事件丙：3个球都是红球；事件丁：3个球中至少有1个红球，则下列选项中两个事件互斥而不对立的是（）A. 甲和乙B. 甲和丙C. 乙和丙D. 乙和丁【答案】B【解析】分析：由题意逐一考查事件之间的关系即可.详解：由题意逐一考查所给的两个事件之间的关系：A.甲和乙既不互斥也不对立；B.甲和丙互斥而不对立；C.乙和丙互斥且对立；D.乙和丁既不互斥也不对立；本题选择B选项.点睛：“互斥事件”与“对立事件”的区别：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件.6. 已知在边长为2的正方形内，有一月牙形图形，向正方形内随机地投射100个点，恰好有15个点落在了月牙形图形内，则该月牙形图形的面积大约是（）A. 3.4B. 0.3C. 0.6D. 0.15【答案】C【解析】分析：由题意结合蒙特卡洛模拟的方法整理计算即可求得最终结果.详解：设该月牙形图形的面积大约是，由题意结合蒙特卡洛模拟方法可知：，解得：.本题选择C选项.点睛：本题主要考查几何概型的应用，古典概型的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7. 若锐角满足，则（）A. B. C. D. 3【答案】A【解析】分析：由题意结合三角函数的性质整理计算即可求得最终结果.详解：由同角三角函数基本关系可知：结合题意可得：.本题选择A选项.点睛：本题主要考查切化弦的方法，二倍角公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8. 已知满足 (其中是常数)，则的形状一定是（）A. 正三角形B. 钝角三角形C. 等腰三角形D. 直角三角形【答案】C【解析】分析：由题意结合向量的运算法则和平面几何的结论确定△ABC的形状即可.详解：如图所示，在边(或取延长线)上取点，使得，在边(或取延长线)上取点，使得，由题意结合平面向量的运算法则可知：，，而，据此可得：，从而：，结合平面几何知识可知：，而，故.即△ABC为等腰三角形.本题选择C选项.点睛：用平面向量解决平面几何问题时，有两种方法：基向量法和坐标系法，利用基向量的时候需要针对具体的题目选择合适的基向量，建立平面直角坐标系时一般利用已知的垂直关系，或使较多的点落在坐标轴上，这样便于迅速解题．9. 如图所示的程序框图，若输入的的值为，则输出（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由题意结合流程图分类讨论输出的值即可.详解：结合流程图分类讨论：若，则，输出值，若，则，输出值，即输出值为：.本题选择D选项.点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．(3)按照题目的要求完成解答并验证．10. 函数在区间上的所有零点之和等于（）A. -2B. 0C. 3D. 2【答案】C【解析】分析：首先确定函数的零点，然后求解零点之和即可.详解：函数的零点满足：，解得：，取可得函数在区间上的零点为：，则所有零点之和为.本题选择C选项.点睛：本题主要考查三角函数的性质，函数零点的定义及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11. 设非零向量夹角为，若，且不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由题意首先利用平面向量数量积的运算法则进行化简，然后结合一次函数的性质整理计算即可求得最终结果.详解：不等式等价于：，即，①其中，，将其代入①式整理可得：，由于是非零向量，故：恒成立，将其看作关于的一次不等式恒成立的问题，由于，故：，解得：；且：，解得：；综上可得，实数的取值范围为.本题选择A选项.点睛：本题主要考查平面向量数量积的运算法则，恒成立问题的处理，函数思想的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12.A. B. C. D. 1【答案】A【解析】分析：由题意结合切化弦公式和两角和差正余弦公式整理计算即可求得最终结果.详解：由题意可得：.点睛：本题主要考查两角和差正余弦公式，二倍角公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分13. 从这十个自然数中任选一个数，该数为质数的概率为__________．【答案】0.4【解析】分析：由题意结合古典概型计算公式整理计算即可求得最终结果.详解：由质数的定义可知：这十个自然数中的质数有：等4个数，结合古典概型计算公式可知该数为质数的概率为.点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.14. 数据，，…，的平均数是3，方差是1，则数据，，…，的平均数和方差之和是__________．【答案】3【解析】分析：由题意结合平均数、方差的性质整理计算即可求得最终结果.详解：由题意结合平均数和方差的性质可知：数据，，…，的平均数为：，方差为：，则平均数和方差之和是.点睛：本题主要考查均值的性质、方差的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15. 下图是出租汽车计价器的程序框图，其中表示乘车里程(单位：)，表示应支付的出租汽车费用(单位：元).有下列表述：①在里程不超过的情况下，出租车费为8元；②若乘车，需支付出租车费20元；③乘车的出租车费为④乘车与出租车费的关系如图所示：则正确表述的序号是__________．【答案】①②【解析】分析：结合流程图逐一考查所给的说法是否正确即可.详解：逐一考查所给的说法：①在里程不超过的情况下，，则，即出租车费为8元，该说法正确；②由流程图可知，超出的部分的计费方式为向上取整后每公里元，若乘车，，需支付出租车费为：元，该说法正确.当乘车里程为和时，出租车车费均为元，据此可知说法③④错误.综上可得，正确表述的序号是①②.点睛：本题主要考查流程图知识的应用，生活实际问题解决方案的选择等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16. 如图为函数的部分图象，对于任意的，，若，都有，则等于__________．【答案】【解析】分析：由题意结合三角函数的性质和函数图象的对称性整理计算即可求得最终结果.详解：由三角函数的最大值可知，不妨设，则，由三角函数的性质可知：，则：，则，结合，故.点睛：本题主要考查三角函数图象的对称性，诱导公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 已知向量，.(1)若实数满足，求的值；(2)若，求实数的值.【答案】（1）2；（2）【解析】分析：(1)由题意得，据此求解关于m,n的方程组有所以.(2)由题意可得，，结合向量平行的充分必要条件得到关于的方程，解方程可知.详解：(1)由题意得所以解得所以.(2)，，·因为，所以解得.点睛：本题主要考查平面向量的坐标运算，向量平行的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18. 某企业根据供销合同生产某种型号零件10万件，规定：零件长度(单位：毫米)在区间内，则为一等品；若长度在或内，则为二等品；否则为不合格产品.现从生产出的零件中随机抽取100件作样本，其长度数据的频率分布直方图如图所示.(1)试估计该样本的平均数；(2)根据合同，企业生产的每件一等品可获利10元，每件二等品可获利8元，每件不合格产品亏损6元，若用样本估计总体，试估算该企业生产这批零件所获得的利润.【答案】（1）100.68；（2）68万元【解析】分析：(1)由频率分布直方图结合平均数计算公式可估计该样本的平均数为100.68.(2)由题意知，一等品的频率为0.38，二等品的频率为0.48，不合格产品的频率为0.14.据此可估计该企业生产这批零件所获得的利润为万元.详解：(1)由频率分布直方图可得各组的频率分别为0.02，0.18，0.38，0.30，0.10，0.02. 平均数估计值是.(2)由题意知，一等品的频率为0.38，二等品的频率为0.48，不合格产品的频率为0.14.用样本估计总体，一等品约有3.8万件，二等品约有4.8万件，不合格产品约有1.4万件. 故该企业生产这批零件预计可获利润万元.点睛：频率分布直方图问题需要注意：在频率分布直方图中，小矩形的高表示，而不是频率；利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.19. 某中学每周定期举办一次数学沙龙，前5周每周参加沙龙的人数如下表：周序号参加人数(1)假设与线性相关，求关于的回归直线方程；（2）根据(1)中的方程预测第8周参加数学沙龙的人数.附：对于线性相关的一组数据，其回归方程为.其中，.【答案】（1）；（2）33【解析】分析：(1)由题意结合回归方程计算公式可得，，则线性回归方程为. (2)利用(1)中求得的回归方程结合回归方程的预测作用可得第8周参加数学沙龙的人数预计为33人.详解：(1)，，所以关于的回归直线方程是.(2)当时，由回归方程可得，即第8周参加数学沙龙的人数预计为33人.点睛：一是回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义．二是根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值．20. 函数的最小正周期为，点为其图象上一个最高点.（1）求的解析式；（2）将函数图象上所有点都向左平移个单位，得到函数的图象，求在区间上的值域【答案】（1）；（2）【解析】分析：(1)由最小正周期公式可得.由最大值可知，结合三角函数的性质可得，则.(2)由题意得，结合三角函数的性质可知函数在区间上的值域为.详解：(1)因为最小正周期为，得，.点为其图象上一个最高点，得，，又因为，所以.所以.(2)由题意得，当时，.因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，且，，，所以在区间上的值域为.点睛：本题主要考查三角函数解析式的求解，函数的平移变换，三角函数值域的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.21. 甲乙两人玩卡片游戏：他们手里都拿着分别标有数字1,2,3,4,5,6的6张卡片，各自从自己的卡片中随机抽出1张，规定两人谁抽出的卡片上的数字大，谁就获胜，数字相同则为平局.(1)求甲获胜的概率.(2)现已知他们都抽出了标有数字6的卡片，为了分出胜负，他们决定从手里剩下的卡片中再各自随机抽出1张，若他们这次抽出的卡片上数字之和为偶数，则甲获胜，否则乙获胜.请问：这个规则公平吗，为什么？【答案】（1）；（2）见解析【解析】分析：(1)由题意列出所有可能的事件，结合古典概型计算公式可知甲获胜的概率为.(2)由古典概型计算公式可知甲获胜的概率为，则乙获胜的概率为，则这个规则不公平. 详解：(1)两人各自从自己的卡片中随机抽出一张，所有可能的结果为：，，，共36种，其中事件“甲获胜”包含的结果为：，有15种.所以甲获胜的概率为.(2)两人各自从于里剩下的卡片中随机抽出一张，所有可能的结果为：，共25种.其中卡片上的数字之和为偶数的结果为：，共13种.根据规则，甲获胜的概率为，则乙获胜的概率为，所以这个规则不公平.点睛：本题主要考查古典概型计算公式及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.22. 如图所示，扇形中，，，矩形内接于扇形.点为的中点，设，矩形的面积为.（1）若，求；（2）求的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】分析：(1)设与，分别交于，两点，由几何关系可得，.由矩形面积公式可得，结合三角函数的性质可知时，.(2)结合(1)中矩形的面积表达式可知当时，取得最大值.详解：(1)如图所示，设与，分别交于，两点，由已知得，.，，所以.故，所以，当时，.(2)因为，所以，当且仅当，即时，取得最大值.点睛：本题主要考查三角函数的应用，三角函数的性质，利用三角函数求最值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.。