偏微分方程期末考试试题(06)
偏微分方程数值解期末试题及标准答案
偏微分方程数值解试题(０6B ）参考答案与评分标准信息与计算科学专业一(10分）、设矩阵A 对称，定义)(),(),(21)(n R x x b x Ax x J ∈-=，)()(0x x J λλϕ+=.若0)0('=ϕ，则称称0x 是)(x J 的驻点(或稳定点).矩阵A 对称(不必正定)，求证0x 是)(x J 的驻点的充要条件是:0x 是方程组 b Ax =的解 解: 设n R x ∈0是)(x J 的驻点，对于任意的n R x ∈,令),(2),()()()(2000x Ax x b Ax x J x x J λλλλϕ+-+=+=, （3分)0)0('=ϕ,即对于任意的n R x ∈,0),(0=-x b Ax ,特别取b Ax x -=0，则有0||||),(2000=-=--b Ax b Ax b Ax ，得到b Ax =0． (3分)反之,若n R x ∈0满足b Ax =0,则对于任意的x ,)(),(21)0()1()(00x J x Ax x x J >+==+ϕϕ,因此0x 是)(x J 的最小值点. (４分）评分标准：)(λϕ的展开式3分, 每问3分，推理逻辑性１分二（10分）、 对于两点边值问题:⎪⎩⎪⎨⎧==∈=+-=0)(,0)(),()('b u a u b a x f qu dx du p dx d Lu 其中]),([,0]),,([,0)(min )(]),,([0min ],[1b a H f q b a C q p x p x p b a C p b a x ∈≥∈>=≥∈∈建立与上述两点边值问题等价的变分问题的两种形式：求泛函极小的Ritz 形式和Galerkin 形式的变分方程。
解: 设}0)(),,(|{11=∈=a u b a H u u H E为求解函数空间,检验函数空间．取),(1b a H v E ∈,乘方程两端,积分应用分部积分得到 (３分))().(),(v f fvdx dx quv dxdv dx du p v u a b a ba ==+=⎰⎰,),(1b a H v E ∈∀ 即变分问题的Galerkin 形式. （3分)令⎰-+=-=b a dx fu qu dxdu p u f u u a u J ])([21),(),(21)(22，则变分问题的Ritz 形式为求),(1*b a H u E ∈,使)(m in )(1*u J u J EH u ∈= （4分) 评分标准:空间描述与积分步骤３分，变分方程3分，极小函数及其变分问题４分,三(20分)、对于边值问题⎪⎩⎪⎨⎧-====⨯=∈=∂∂+∂∂====x u u u u G y x y u x u y y x x 1||,0|,1|)1,0()1,0(),(,010102222 (１)建立该边值问题的五点差分格式(五点棱形格式又称正五点格式),推导截断误差的阶。
偏微分方程数值解法试题与答案
一．填空（1553=⨯分）1．若步长趋于零时，差分方程的截断误差0→lmR ，则差分方程的解lm U 趋近于微分方程的解lm u . 此结论_______（错或对）； 2．一阶Sobolev 空间{})(,,),()(21Ω∈''=ΩL f f f y x f H y x关于内积=1),(g f _____________________是Hilbert 空间；3．对非线性（变系数）差分格式，常用 _______系数法讨论差分格式的_______稳定性； 4．写出3x y =在区间]2,1[上的两个一阶广义导数：_________________________________， ________________________________________；5．隐式差分格式关于初值是无条件稳定的. 此结论_______（错或对）。
二．（13分）设有椭圆型方程边值问题用1.0=h 作正方形网格剖分 。
（1）用五点菱形差分格式将微分方程在内点离散化； （2）用截断误差为)(2h O 的差分法将第三边界条件离散化； （3）整理后的差分方程组为 三．（12）给定初值问题xut u ∂∂=∂∂ ， ()10,+=x x u 取时间步长1.0=τ，空间步长2.0=h 。
试合理选用一阶偏心差分格式（最简显格式）, 并以此格式求出解函数),(t x u 在2.0,2.0=-=t x 处的近似值。
1．所选用的差分格式是： 2．计算所求近似值：四．（12分）试讨论差分方程()ha h a r u u r u u k l k l k l k l ττ+-=-+=++++11,1111逼近微分方程0=∂∂+∂∂xu a t u 的截断误差阶R 。
思路一：将r 带入到原式，展开后可得格式是在点（l+1/2,k+1/2）展开的。
思路二：差分格式的用到的四个点刚好是矩形区域的四个顶点，可由此构造中心点的差分格式。
偏微分方程数学考试试题
偏微分方程数学考试试题
1. 求解以下偏微分方程：
a. $ \frac{\partial u}{\partial t} = 3 \frac{\partial u}{\partial x} $
b. $ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = 5 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} $
c. $ \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} $
2. 考虑以下边界条件问题：
$ u(0,t) = 0 $
$ u(1,t) = 2t $
$ u(x,0) = \sin(\pi x) $
求解该问题的解析解。
3. 对于给定的偏微分方程，尝试通过变量分离的方法求解。
证明解的唯一性。
4. 考虑一维热传导方程：$ \frac{\partial u}{\partial t} = \alpha
\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} $
其中 $ \alpha $ 是热扩散系数。
解释在不同参数 $ \alpha $ 下方程的行为和性质。
5. 讨论偏微分方程的数值解法，比较有限差分法和有限元法的优缺点并举例说明。
6. 推导一维波动方程的解，并给出波动方程的初边值问题求解方法。
7. 请给出二阶常系数齐次线性偏微分方程的通解形式，并解释其中
每一个参数的物理意义。
8. 推导热传导方程的一维解，并讨论热源对温度分布的影响。
以上就是本次数学考试试题，请同学们认真作答，加油！。
偏微分试卷
浙江大学2005-2006学年夏季学期《 偏微分方程 》课程期末考试试卷开课学院： 理学院 ，考试形式： 闭卷 ， 允许带__无_____入场 考试时间：2006年7月3日,所需时间：120分钟，任课老师：__ _____ _考生姓名： _____学号： 专业： ________一．(15%) 用特征线方法求解下列初值问题⎩⎨⎧+∞<<∞-==>+∞<<∞-=-+x x x u x x u t x u u u t xx xt tt ,8)0,( ,sin 4)0,(0, ,032二.（20%) 设函数),(t x u 为定解问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=≥==><<=-0)0,( ,43s i n 31)0,( 0 ,0),2( ,1),0(0,20 ,45sin 4x u x x u t t u t u t x x u u t x xx ttππ的解。
(1). 求)(x w w =使得函数w u v -=满足下列形式的定解问题⎪⎩⎪⎨⎧==≥==><<=-)()0,(v ),()0,( 0 ,0),2(v ,0),0(0,20 ,04x x x x v t t t v t x v v t x xx tt ψϕππ 并求出函数)(x ϕ和)(x ψ; (2). 求出原定解问题的解),(t x u 。
三．(25%) 求解下列定解问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤=≥=-=><<=+- 0 ,0)0,( 0 ,0),(),( ,0),0(0,0 ,23sin 2ππππx x u t t u t u t u t x x te u u u x xx xx t四．(20%)已知函数)exp(2x -的Fourier 变换是)4exp(2λπ-。
试用Fourier 变换求解下列初值问题⎩⎨⎧+∞<<∞-=>+∞<<∞-=+-),()0,(0, ,04x x x u t x u u u xx t ϕ 五．（12%) 求解下列半无界定解问题:⎪⎩⎪⎨⎧==≥=>>=-xx u x x u t t u t x u u t x xx tt 2)0,( ,cos )0,(0t , ),0(0,0 ,04 六. (8%) 问: 常数a 取何值时, 定解问题⎪⎩⎪⎨⎧≤≤==≤≤==<<<<=- 0 ,0)2,()0,(20 ,0),( ),0(20 ,0 ,2πππx x u x u t t u t u t x xt u a u xx tt 有解, 试求出该解。
偏微分方程数值解法期末考试题答案
偏微分⽅程数值解法期末考试题答案期末考试试题答案及评分标准学年学期：专业：数学与应⽤数学班级：数学课程：偏微分⽅程数值解法教学⼤纲：《偏微分⽅程数值解法》教学⼤纲（⾃编，2006）使⽤教材：《偏微分⽅程数值解法》教材作者：陆⾦甫、关治出版社：清华⼤学出版社⼀、判断题（每⼩题1分，共10分） 1、（O ） 2、（O ） 3、（X ） 4、（X ） 5、（O ） 6、（O ） 7、（O ） 8、（X ）9、（X ） 10、（O ）⼆、选择题（每⼩题2分，共10分） 11、（D ） 12、（A ） 13、（C ） 14、（B ）15、（C ）三、填空题（每⼩题2分，共20分）16、22222212nx x x +++ 17、A=[4 5 9;23 5 17;11 23 1] 18、y=exp(-t/3)*sin(3*t) 19、help 20、zeros(m,n) 21、inva(A)*b 或者A/b 22、A=sym('[cos(x-y),sin(x+y);exp(x-y),(x-1)^3]')23、22221[()]2()()[()]0a s b s s c s '''-+= 24()i xv e d λλλ+∞-∞25、1(,)(,)j n j n u x t u x t τ+-四、计算题：（每⼩题12分，共36分）26、写成对流⽅程0u ua t x+=（,0x R t ∈>）的有限差分⽅程（两层显⽰格式，⽤第n 层计算第n+1层），并把有限差分⽅程改写为便于计算的迭代格式/h λτ=为⽹格⽐。
解：在点(,)j n x t 处，差分⽅程为110n n n nj jj ju u u u ahτ++--+=（0,1,2,j =±±，0,1,2,n =）（8分）便于计算的形式为11()n n n n j j j j u u a u u λ++=--，/h λτ= （4分）27、写出扩散⽅程22u ua t x=的有限差分⽅程（中⼼差分格式，⽤第n 层计算第n+1层），并把有限差分⽅程改写为便于计算的迭代格式，2/h µτ=为⽹格⽐。
偏微分方程期末考试试题(06)
课程名称：偏微分方程数值解法 课程编号：24014110 适用专业（班级）：数学 共1页 命题人：潘晓丽 教研室主任： 第1页一、（15分）写出三类典型泛定方程并分别说明其名称和特点.二、（10分）求一维波动方程()()()()()22222,,0,0,,0t u u a x t t x u x x u x x ϕψ⎧∂∂=-∞<<+∞>⎪∂∂⎨⎪==⎩的通解. 三、（15分）写出达朗贝尔公式并利用公式求解()()()2,0,,0sin ,0cos tt xx t u a u t x u x xu x x ⎧=>-∞<<+∞⎪=⎨⎪=⎩ 四、（10分）计算积分()32x J x dx -⎰. 五、（15分）设1,1≥≥n m ，证明()()()dx x p x m dx x p x n m n m n m ⎰⎰--=++11111六、（15分）用分离变量法求解()()()()()20,0,0,00,,00,0,,0tt xx t u a u x l t u x u x xu t u l t ⎧-=<<>⎪==⎨⎪==⎩ 七、（10分）解固有值问题()()()''0,''0y y l x l y l y l λ+=-<<⎧⎪⎨-==⎪⎩ 八、（10分）叙述斯图模-刘维尔定理.课程名称：偏微分方程数值解法 课程编号：24014110 适用专业（班级）：数学 共1页 命题人：潘晓丽 教研室主任： 第1页一、解：波动方程：()222,u a u f t x t∂=∆+∂热传导方程：()2,ua u f t x t∂=∆+∂ 位势方程：()u f x ∆= ……………………….5分 其中()12,,,n x x x x =，a 为常数，(),f t x 及()f x 为已知函数，在波动方程及热传导方程中，未知函数u 是时间变量t 和空间坐标变量()12,,,n x x x x =的函数，在位势方程中，未知函数u 是空间坐标变量()12,,,n x x x x =的函数，而与时间t 无关，三类典型方程均为二阶线性偏微分方程。
偏微分方程数值解期末试题及参考答案
《偏微分方程数值解》试卷参考答案与评分标准专业班级信息与计算科学开课系室考试日期 2006.4.14命题教师王子亭偏微分方程数值解试题(06A)参考答案与评分标准信息与计算科学专业一（10分）、设矩阵A 对称正定，定义)(),(),(21)(n R x x b x Ax x J ∈-=，证明下列两个问题等价：(1)求n R x ∈0使 )(min )(0x J x J nRx ∈=;(2)求下列方程组的解：b Ax =解: 设n R x ∈0是)(x J 的最小值点,对于任意的n R x ∈,令),(2),()()()(2000x Ax x b Ax x J x x J λλλλϕ+-+=+=, (3分)因此0=λ是)(λϕ的极小值点,0)0('=ϕ,即对于任意的n R x ∈,0),(0=-x b Ax ,特别取b Ax x -=0,则有0||||),(2000=-=--b Ax b Ax b Ax ,得到b Ax =0. (3分) 反之,若nR x ∈0满足bAx =0,则对于任意的x ,)(),(21)0()1()(00x J x Ax x x J >+==+ϕϕ,因此0x 是)(x J 的最小值点. (4分)评分标准:)(λϕ的表示式3分, 每问3分,推理逻辑性1分二（10分）、 对于两点边值问题：⎪⎩⎪⎨⎧==∈=+-=0)(,0)(),()(b u a u b a x f qu dxdu p dx d Lu 其中]),([,0]),,([,0)(min )(]),,([0min ],[1b a H f q b a C q p x p x p b a C p b a x ∈≥∈>=≥∈∈建立与上述两点边值问题等价的变分问题的两种形式：求泛函极小的Ritz 形式和Galerkin 形式的变分方程。
解: 设}0)()(),,(|{110==∈=b u a u b a H u u H 为求解函数空间,检验函数空间.取),(10b a H v ∈,乘方程两端,积分应用分部积分得到 (3分))().(),(v f fvdx dx quv dxdv dx du pv u a b a ba ==+=⎰⎰,),(10b a H v ∈∀ 即变分问题的Galerkin 形式. (3分)令⎰-+=-=b a dx fu qu dxdup u f u u a u J ])([21),(),(21)(22,则变分问题的Ritz 形式为求),(10*b a H u ∈,使)(min )(1*u J u J H u ∈= (4分)评分标准:空间描述与积分步骤3分,变分方程3分,极小函数及其变分问题4分,三（20分）、对于边值问题⎪⎩⎪⎨⎧=⨯=∈-=∂∂+∂∂∂0|)1,0()1,0(),(,12222G u G y x yux u （1）建立该边值问题的五点差分格式（五点棱形格式又称正五点格式），推导截断误差的阶。
偏微分方程考试题
数学物理方程及数值解 复习提要一、偏微分方程的建立 CH1 典型方程和定解条件 【内容提要】1. 方程的建立(步骤:确定物理量;微元法建立等式;化简得方程)主要方法：微元法； 泛定方程:(1) 波动方程(双曲型)：弦振动方程：222222(,)(,)(),()u x t u x t F a a txρ∂∂==∂∂张力单位长度弦质量 传输线方程：222222222221,00i a LCi a a t x t x νν∂∂∂∂-=-=∂∂∂=∂；， 电磁场方程:22222211,,H E H E t t εμεμ∂∂=∇=∇∂∂22222222221(),με标量函数形式:∂∂∂∂=++∂∂∂=∂u u u z a u a t x y (2) 热传导方程/扩散方程（抛物型）:ρ，其中22u Fa u f f t c ∂=∇+=∂ 导热杆（无热源）222u u a t x ∂∂=∂∂， 导热片（无热源）22222()u u u a t x y ∂∂∂=+∂∂∂ (3) 稳恒方程(椭圆型):Poisson 方程：，2u f ∇= Laplace 方程：，20u ∇=2.定解条件：初始条件及边界条件边界条件(1)第一类边界条件(Dirichlet 条件): 1(,)(,)D u M t f M t ∂=(2) 第二类边界条件(Neumann 条件):2Duf n ∂∂=∂ (3) 第三类边界条件(Robin 条件): 3()Duu f n σ∂∂+=∂ 3.定解问题的提法：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩偏微分方程(泛定方程)定解问题初始条件定解条件边界条件()Cauchy ⎧⎨⎩泛定方程(1)初始问题初始条件 ⎧⎨⎩泛定方程(2)边界问题(第一,二,三)边界条件⎧⎪⎨⎪⎩泛定方程(3)混合问题初始条件边界条件4.线性偏微分方程的基本性质（1）.线性迭加原理212,11,,,,,,,:nnij i ij i n i j i i j iL a b c a b c f x x x x x x ==∂∂=++∂∂∂∑∑其中是算子的函数111(1,2)(),nnni i ii ii i i i i i L u f in L c u c L u c f=====⇒==∑∑∑命题：21110(1,2),,()0,nnii i i i i i i i i i k j u Lu i c u c L c u x x ∞===∂==⇒=∂∂∑∑∑一致敛命收题：(2.) 齐次化原理（冲量原理）Duhamel 原理：设(,,)x t ωτ是方程22222,,(,)(,)0,(,),a x t t x x x f x x t ωτωτωττω⎧∂∂=-∞<<+∞>⎪∂∂⎪⎨∂⎪==-∞<<+∞⎪∂⎩的解，⇒0(,,)d ,()t x t u x t ωττ=⎰是方程22222(,),,0(,0)(,0)0,0,u u a f x t x t tx u x u x x t ⎧∂∂=+-∞<<+∞>⎪∂∂⎪⎨∂⎪==-∞<<+∞⎪∂⎩的解。
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黑龙江科技学院考试试题
课程名称：偏微分方程数值解法 课程编号：24014110适用专业（班级）：数学 命题人：潘晓丽
教研室主任：
、（15分）写出三类典型泛定方程并分别说明其名称和特点
2
2
U
2
U
一、（10分）求一维波动方程
t 2
x 2
，t 0
的通解
x
u x,0 x , u t x,0
三、（15
分）
写出达朗贝尔公式并利用公式求解
u tt a 2
u xx , t 0,
x
u x,0 sinx U t x,0 cosx
四、（10分）计算积分 x 3
J 2 x dx . 五、（15分）设m 1,n
1，证明
六、（15分）用分离变量法求解
2
u tt a U xx 0, 0 x l,t 0
u x,0 0,u t x,0 x u 0,t 0,u l,t 0
八、（10分）叙述斯图模-刘维尔定理.
黑龙江科技学院考试试题答案
七、（10分）解固有值问题
y'' y 0, y' l y' l
第一套 共1页 第1页
n 1
0x m
p n xdx
1
m 1 , m 0 x p n 1 x dx
2
一、解：波动方程：一a2u f t,x
t -
热传导方程：汁a2 u f t,x
位势方程：u f x (5)
其中x X j，x2,L ,x n，a为常数，f t，x及f x为已知函数，在波动方程及热传导方程中，未知函数u是时间变量t和空间坐标变量x x1,x2,L ,x n的函数，在位势方程中，未知函数u是空间坐标变量x 为必,L ,人的函数，而与时间t无关，三类典型方程均为二阶线性偏微分方程。
(15)
二、解：首先判别方程的类型，
a20 ............. 2 分
即此方程在整个全平面上都是双曲型的。
特征方程为：dx $ a2 dt $ 0
2 2 2
dx a dt 0 dx madt 0
x at 特征曲线为G
x at C2
做变量替换，令
x at
x at 由链式法则得u 0
通解u f g f x at g x at ....................... .10 ................................ 分
1 1 x at
.5分、解：u x,t x at x at — d
2 2a x at
1 . 1 x at
u x,t sin x at sin x at cos d
2 2a x at
sin x cosat sin x at
2a
1
sin xcosat cosxsin
at
a sin x at .10分
.15分
四、解：由分部积分法及微分关系x v J v x v J v 1，有
x3J 2x dx x4x 1J 2 dx x4 x 1J 1 4 x31J 1 dx
x3 4 x2J 1dx x3J 1 4 x2 J
'0dx
.5分x3J14X2J08 xJ0dx .8分
8x J14X2J0 x .10分
五、证明：
1
m
n x P n x
0 dx
1 m
x
xp P'n 1x dx .5
分
P n m
x P n
m
x dx x p n 1x
1
1
0 0mx
m 1
P n 1
x dx .10分
1
m 0x P n x dx m 1
P n 1 x dx .15分
移项有1
x m p n x dx
n
P n dx
六、解: 设u
x,t
xT
代入方程组得解固有值问题
X
a2T
..3
分
T n
n 2
n [厂]n
[―]2代入T
l
C n cos^^t
l
1,2,
3
a2T
Dn^ a t
X n x sin
l
..9
分
所以u n x,t [C n cos^-^t D n sinin>x 叠加得原解..6分
1 n 12l 2
-2~2 n a
..13
分
y x A cos x Bsi n x ..... .3 分
将此式代入边界条件, 并消去公因子
，得
Asi n l Bcos l 0
(1)
Asi n l Bcos l 0
为使A,B 不全为0，必须系数行列式
sin l sin l cos l cos l
si n2 1 0
故
n
n 2l ,
2 n
n
2
n
2l
,n 1,2丄…… ….7分
u
x,t
U n x,t
n 1
[C n
n 1
n a cos t l
n a n
D n sin t]sin ——x
l l 代入初值条件u x,0
U n n 1
x,0
C n
sin
^x 0 2l
得系数
U t x,0
D n sin 牛 x
C n 0
所以得原问题的解 1n12l 2 u x,t 厂
n a sinn a
ts in — x n 1 l l .2分 -刘方程，其中k x 1,q x 0, x 1，又题中两端边界条 件都是第二类，故 0,而且有零固有值
0，相应固有函数为y X 1。
当
0时，设 2
0，方程的通解为
七、解：题中方程是斯 D n 丄 n a 2 1
.
xsi n
. dy k x q x y dx
dx
两端点a, b 加五种边界条件之任
的固有值和固有函数有下列重要性质:
类边界条件，这时相应的固有函数为常数。
n 是任意两个不同固有值，则相应的固有函数
y m x 和y - x 在
a, b 上带
权
正交，即有
1、可数性：存在可数无穷多个固有值! P 2PL P n
im
n。
与每一个
固有值相应的线性无关的固有函数有且只有一个。
.4分
2、非负性:
-
0，有零固有值的充要条件是：q x
0，且a,b 两端都不取第
一、
把n 代入（1 ）有
这个方程的一个非零解是 Asi nL 2 A COS -
2
Bcos- 0 2
.n
sin
2 与n 相应固有函数为
Y n x
n n x cos cos 2 2l n x l
cos —
2l
.n
sin - 2 n x sin
2l .10分
八、Sturm-Liouville 定理： 若 k x ,q x x 满足：在a,b 上k x , k' x , x 连续;
当 x a,b 时，k x 0, x 0, q x 0,而a,b 至多是k x 及 x 的一级零点；q x
在a, b 上连续，而在端点至多有一级极点。
则
S-L 固有值问题
x y 0, a
.2分
3、正交性：设
x y m x y n x dx 0 .8分
x是完备的。
.10分
4、固有函数系Y
n。