华中师范大学偏微分方程2015-2016第二学期A卷答案

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湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题文

华中师大一附中2015—2016学年度第二学期期中检测高二年级数学（文科）试题时限：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的 1．已知复数221z i i=--，则z 的共轭复数是 A ．1i - B ．12i + C ．12i - D ．1i +2． “直线10ax y ++=与直线(2)320a x y +--=垂直”是“1a =”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．下列命题中为真命题的是A ．命题“若1>x ，则12>x ”的否命题B ．命题“若1=x ，则022=-+x x ”的否命题C ．命题“若y x >，则||y x >”的逆命题D ．命题“若3tan =x ，则3π=x ”的逆否命题4．函数21ln 2y x x =-的单调减区间为 A ．1(,1]2B ．(0,1]C ．1(,)2+∞D ．(1,)+∞5．已知32()'(1)1f x x x f =-+，'()f x 为()f x 的导函数，则(1)f =A ．1-B ．0C ．1D ．36．已知,a b ∈R ，则下列四个条件中，使b a >成立的必要不充分条件是 A ．1+>b a B ．33b a > C ．a b >D ．1->b a7．若21()ln(2)2f x x b x =++在(1,)-+∞上是单调增函数，则b 的取值范围是 A. [1,)+∞ B. (1,)+∞ C. (,1]-∞- D. (,1)-∞-8．已知()x f x e =，若)(x f 的图象的一条切线l 经过点)0,1(-，则切线l 与x 轴、y 轴所围成的三角形的面积是A ．e 2B ．14C ．12D ．19．已知()f x '为()f x 的导函数，当0x ≠时，()0x f x '⋅<恒成立，对于正数,a b 有：)2(ba f A +=，)(ab f B =，)2(ba abf C +=，则A 、B 、C 的大小关系为A ．CB A ≤≤ B ．BC A ≤≤ C ．A C B ≤≤D ．A B C ≤≤ 10．若关于x 的不等式2)2(92-+≤-x k x 的解集为[a , b ]，且2b a -=，则k = A．2B ．1 CD11．给出下列命题：（1）)2,0(π∈∀x ，sin x x >；（2）∈∃0x R ，使得00sin cos x x +=3）(0,1)x ∀∈，11x e x<-；（4）∈∃0x R ，使得00ln 1x x =-.其中真命题的个数是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．412．已知函数()()()=,ln 24x aa x f x x eg x x e --+=+-，其中e 为自然对数的底数，若存在实数0x ，使00()()3f x g x -=成立，则实数a 的值为A. ln 21--B. ln 21-C. ln 2-D. ln 2二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．已知z ∈C ，且1|22|=--i z ，则||z14．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i = .15．观察下列等式：5323+=，337911=++，1917151343+++=，2725232153++++=…若用类似以上各式的拆分方法，将3m 分拆得到的等式的右边最后一个数是131，则正整数m =_________．16．设函数)(x f 是定义在)0,(-∞上的可导函数，其导函数为)('x f ，且3()'()0f x xf x +<，则不等式3(2016)(2016)8(2)0x f x f +++-<的解集是．三、解答题：本大题共6小题，共70分，其中第17题10分，18至22题每题12分。

华中师大《微分几何》练习题库及答案

《微分几何》练习题库及答案一、单项选择题第一章1．已知(1,0,1)=--a ，(1,2,1)=-b ，则这两个向量的内积⋅a b 为（）．（内积；易；2分钟）A 2B 1-C 0D 12．求过点(1,1,1)P 且与向量(1,0,1)=--a 平行的直线的方程是（）．（直线方程；易；2分钟） A ⎩⎨⎧==1y z x B 1321+==-z yx C 11+==+z y x D ⎩⎨⎧==1z yx3．已知(1,1,1),(1,0,1),(1,1,1)=-=-=a b c ，则混合积为（）．（混合积；较易；2分钟）A 2B 1-C 1D 2-4.已知()(,,)ttt e t e -=r ，则(0)''r 为（）．（导数；易；2分钟）Ａ (１，０，１) Ｂ (-１，０，１) Ｃ (０，１，１) Ｄ (１，０，-１)5．已知()()t t λ'=r r ，λ为常数，则()t r 为（）．（导数；易；2分钟）Ａ t λa Ｂ λa Ｃ t e λa Ｄ e λa上述a 为常向量．6.已知(,)(,,)x y x y xy =r ，求d (1,2)r 为（）．（微分；较易；2分钟）Ａ (d ,d ,d 2d )x y x y + Ｂ (d d ,d d ,0)x y x y +- 第二章7．圆柱螺线(cos ,sin ,)t t t =r 的切线与z 轴（）.(螺线、切向量、夹角；较易、2分钟)Ａ平行Ｂ垂直Ｃ有固定夹角4π Ｄ有固定夹角3π 8．设有平面曲线:()C s =r r ，s 为自然参数，α,β是曲线的基本向量．下列叙述错误的是（）．（伏雷内公式；较易；2分钟）Ａ α为单位向量Ｂ ⊥ααＣ κ=-αβ Ｄ κ=-βα 9．直线的曲率为（）．（曲率；易；2分钟）Ａ –１Ｂ０Ｃ１Ｄ２10．关于平面曲线的曲率:()C s =r r 不正确的是（）．（伏雷内公式；较易；2分钟）Ａ ()()s s κ=αＢ ()()s s κϕ= ，ϕ为()s α的旋转角Ｃ()s κ=-⋅αβＤ ()|()|s s κ=r 11．对于平面曲线，“曲率恒等于０”是“曲线是直线”的（）．（曲率；易；2分钟) Ａ充分不必要条件Ｂ必要不充分条件Ｃ既不充分也不必要条件Ｄ充要条件 12．下列论述不正确的是（）．（基本向量；易；2分钟）Ａ α,β,γ均为单位向量Ｂ ⊥αβ Ｃ ⊥βγ Ｄ //αβ13．对于空间曲线Ｃ，“曲率为零”是“曲线是直线”的（）．（曲率；易；2分钟) A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 既不充分也不必要条件 D 充要条件 14．对于空间曲线C ，“挠率为零”是“曲线是直线”的（）．（挠率；易；2分钟) A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 既不充分也不必要条件 D 充要条件 15．2sin4),cos 1(),sin (ta z t a y t t a x =-=-=在点2π=t 的切线与z 轴关系为（）．（切线方程、夹角；较易；2分钟）Ａ垂直Ｂ平行Ｃ成3π的角Ｄ成4π的角第三章16．椭球面2222221x y z a b c++=的参数表示为（）．（参数表示；易；2分钟）A (,,)(cos cos ,cos sin ,sin )x y z ϕθϕθϕ= B (,,)(cos cos ,cos sin ,sin )x y z a b ϕθϕθϕ= C (,,)(cos cos ,cos sin ,sin )x y z a b c ϕθϕθϕ=D (,,)(cos cos ,sin cos ,sin 2)x y z a b c ϕθϕθθ=17．以下为单叶双曲面2222221x y z a b c+-=的参数表示的是（）．（参数表示；易；2分钟）A (,,)(cosh sin ,cosh cos ,sinh )x y z a u v b u v u =B (,,)(cosh cos ,cosh sin ,sinh )x y z u v u v u =C (,,)(sinh cos ,sinh sin ,cosh )x y z a u v b u v c u =D (,,)(cosh cos ,cosh sin ,sinh )x y z a u v b u v c u =18．以下为双叶双曲面2222221x y z a b c+-=-的参数表示的是（）．（参数表示；易；2分钟）A (,,)(sinh cos ,sinh sin ,cosh )x y z a u vb u vc u =B (,,)(cosh cos ,sinh sin ,cosh )x y z a u v b u v c u =C (,,)(cosh cos ,cosh sin ,sinh )x y z a u v b u v c u =D (,,)(cosh cos ,cosh sin ,sinh )x y z u v u v u =19．以下为椭圆抛物面22222x y z a b+=的参数表示的是（）．（参数表示；易；2分钟）A 2(,,)(cos ,sin ,)2u x y z u vu v = B 2(,,)(cos ,sin ,)2u x y z au v bu v = C 2(,,)(cosh ,sinh ,)2u x y z au v bu v = D (,,)(cos ,sin ,)x y z a v b v v =20．以下为双曲抛物面22222x y z a b-=的参数表示的是（）．（参数表示；易；2分钟）A (,,)(cosh ,sinh ,)x y z a ub u u = B (,,)(cosh ,sinh ,)x y z u u u =C (,,)((),(),2)x y z a u v b u v uv =+-D (,,)(,,)x y z au bv u v =-21．曲面2233(,)(2,,)u v u v u v u v =-+-r 在点(3,5,7)M 的切平面方程为（）．（切平面方程；易；2分钟）A 2135200x y z +-+=B 1834410x y z +--=C 756180x y z +--=D 1853160x y z +-+=22．球面(,)(cos cos ,cos sin ,sin )u v R u v R u v R u =r 的第一基本形式为（）．（第一基本形式；中；2分钟）A 2222(d sin d )R u u v +B 2222(d cosh d )R u u v +C 2222(d sinh d )R u u v +D 2222(d cos d )R u u v +23．正圆柱面(,)(cos ,sin ,)u v R v R v u =r 的第一基本形式为（）．（第一基本形式；中；2分钟）A 22d d u v +B 22d d u v -C 222d d u R v +D 222d d u R v - 24．在第一基本形式为222(d ,d )d sinh d u v u u v =+I 的曲面上，方程为12()u v v v v =≤≤的曲线段的弧长为（）．（弧长；中；2分钟）A 21cosh cosh v v -B 21sinh sinh v v -C 12cosh cosh v v -D 12sinh sinh v v -25．设M 为3R 中的2维2C 正则曲面，则M 的参数曲线网为正交曲线网的充要条件是（）．（坐标网、曲线网；易；2分钟）A 0E =B 0F =C 0G =D 0M = 26．以下正确的是（）．（魏因加尔吞变换；较易；2分钟）A d (d )=n r WB d (d )u =n r WC d (d )u v =n r WD d (d )=-n r W 27．以下正确的是（）．（魏因加尔吞变换；较易；2分钟）A (d ,(δ))(d ,δ)=-I r r II r r WB (d ,(δ))((δ),d )=-I r r I r r W WC (d ,(δ))((d ),δ)=I r r I r r W WD (d ,(δ))((d ),δ)=I r r II r r W W 28．以下正确的是（）．（魏因加尔吞变换；较易；2分钟）A (d ,(δ))(d ,δ)=I r r II r r W B (d ,(δ))((d ),δ)=I r r II r r W W C (d ,(δ))((d ),δ)=-I r r I r r W W D (d ,(δ))((d ),δ)=II r r II r r W W 29．高斯曲率为常数的的曲面叫（）．（高斯曲率；易；2分钟） A 极小曲面 B 球面 C 常高斯曲率曲面 D 平面第四章 30．,___________ijji i jgg =∑．（第一基本形式；易；2分钟） A 1 B 2 C 0 D -131．______j kjl jgδ=∑．（第一基本形式；易；2分钟） A kj g B kl g C ki g D ij g32．________kij Γ=．（克氏符号；较易；2分钟） A 1()2jl ijkl il j il ig g g g u u u ∂∂∂+-∂∂∂∑ B1()2jl ij kl il j il i g g g g u u u ∂∂∂--∂∂∂∑ C 1()2jl ijkl il j il ig g g g u u u ∂∂∂++∂∂∂∑ D1()2jl ijkl il j il i g g g g u u u ∂∂∂-+∂∂∂∑ 33．曲面上直线（如果有的话）的测地曲率等于_____．（测地曲率、测地曲率的几何意义、梅尼埃定理；易；2分钟）A 0B 1C 2D 334．当参数曲线构成正交网时，参数曲线u-曲线的测地曲率为_____．（刘维尔定理、测地曲率；中；4分钟）ABCD35．如果测地线同时为渐进线，则它必为_____．（测地曲率、法曲率、曲率；中；2分钟） A 直线 B 平面曲线 C 抛物线 D 圆柱螺线36．在伪球面(1)K ≡-上，任何测地三角形的内角之和____．（高斯-波涅定理；中；4分钟）A 等于πB 小于πC 大于πD 不能确定 37.若曲线的所有密切平面经过一定点，则此曲线是______。

《推荐》新课标2015-2016学年高二下学期第二次月考数学(理)Word版含答案

数学理第I 卷（36分）一、选择题（每小题3分，共36分）1．曲线2sin y x =在点(0,0)处的切线与直线1x ay +=垂直，则实数a 的值为（）A ．2B ．2-C ．12D ．12-2．下列求导结果正确的是（）A ．x x 21)1(2-='-B ．(cos30)sin 30'=-C ．x x 21])2[ln(=' D ．x x 23)(3=' 3．函数33y x x =-的单调递减区间是()．A ．(－∞，－1)B ．(－1，1)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1)和(1，＋∞)4．32(x)32f x x =-+在区间[－1，1]上的最小值是( )．A ．1B ．－2C ．2D ．－1 5．已知函数x x x f 12)(3-=，若)(x f 在区间)1,2(+m m 上单调递减，则实数m 的取值范围是A ．11≤≤-mB ．11≤<-mC ．11<<-mD ．11<≤-m6．已知函数2(x)f ax c =+，且f '(1)＝2，则a 的值为( ) ．A ．1B ．2C ．－1D ．0 7．已知P, Q 为抛物线22x y =上两点，点P,Q 的横坐标分别为4，-2，过P,Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为( )A. 1B. 3C.-4 D. -8 8．已知3269,x x x abc a b c -+-<<且f(a)=f(b)=f(c)=0，现给出如下结论：①f(0)f(1)>0； ②f(0)f(1)<0； ③f(0)f(3)>0； ④f(0)f(3)<0.其中正确结论的序号是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④9. 若)(x f 的定义域为，2)(>'x f 恒成立，2)1(=-f ，则42)(+>x x f 解集为（）A ．(1,1)-B ．(1)-+∞，C ．(,1)-∞-D ．(,)-∞+∞10．已知直线1y kx =+与曲线3y x ax b =++相切于点(1，3)，则b 的值为( )．A ．3B ．－3C ． 5D ．－5 11. 设函数()x f x xe =，则（）A. 1x =为()f x 的极大值点B.1x =为()f x 的极小值点C. 1x =-为()f x 的极大值点D. 1x =-为()f x 的极小值点[学12. 已知函数33y x x c =-+的图象与x 轴恰有两个公共点，则c ＝( )A. -2或2B. -9或3C. -1或1D. -3或1二、填空题（每小题3分，共16分）13．一质点按规律s ＝2t 3运动，则其在时间段[1，1.1]内的平均速度为 m/s ，在t ＝1时的瞬时速度为 m/s ．14．函数y ＝x 3＋ax 2＋x 在R 上是增函数，则a 的取值范围是．15．如图，曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f '(5)= ．16．已知函数y ＝f (x )的导函数为f ′(x )且f (x )＝x 2f ′(π3)＋sin x ，则f ′(π3)＝________. 三、解答题17．(8分) 已知曲线313y x =, (1) 求曲线在点P(2,f(2))处的切线方程; (2) 求曲线过点P(2,83)的切线方程。

偏微分方程答案

第一章．波动方程§1 方程的导出。

定解条件2．在杆纵向振动时，假设(1)端点固定，(2)端点自由，(3)端点固定在弹性支承上，试分别导出这三种情况下所对应的边界条件。

解：(1)杆的两端被固定在l x x ==,0两点则相应的边界条件为 .0),(,0),0(==t l u t u(2)若l x =为自由端，则杆在l x =的张力x ux E t l T ∂∂=)(),(|lx =等于零，因此相应的边界条件为x u∂∂|lx ==0 同理，若0=x 为自由端，则相应的边界条件为xu∂∂∣00==x (3)若l x =端固定在弹性支承上，而弹性支承固定于某点，且该点离开原来位置的偏移由函数)(t v 给出，则在l x =端支承的伸长为)(),(t v t l u -。

由虎克定律有x uE∂∂∣)](),([t v t l u k lx --== 其中k 为支承的刚度系数。

由此得边界条件)(u xuσ+∂∂∣)(t f l x == 其中E k =σ特别地，若支承固定于一定点上，则,0)(=t v 得边界条件)(u xuσ+∂∂∣0==l x 。

同理，若0=x 端固定在弹性支承上，则得边界条件x uE∂∂∣)](),0([0t v t u k x -== 即 )(u xuσ-∂∂∣).(0t f x -= 3. 试证：圆锥形枢轴的纵振动方程为 2222)1(])1[(t u h x x u h x x E ∂∂-=∂∂-∂∂ρ 其中h 为圆锥的高(如图1)证：如图，不妨设枢轴底面的半径为1，则x 点处截面的半径l 为：hx l -=1 所以截面积2)1()(hx x s -=π。

利用第1题，得])1([)1()(2222xuh x E x t u h x x ∂∂-∂∂=∂∂-ππρ 若E x E =)(为常量，则得2222)1(])1[(tuh x x u h x x E ∂∂-=∂∂-∂∂ρ §2 达朗贝尔公式、波的传抪1. 证明方程()常数011122222 h t uh x a x u h x x ∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂ 的通解可以写成()()xh at x G at x F u -++-=其中F,G 为任意的单变量可微函数,并由此求解它的初值问题:()().,:0x tux u t ψ=∂∂==ϕ 解：令()v u x h =-则()()()⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+-=∂∂-∂∂+=∂∂-x v u x h xu x h xv u xu x h 2,))(()()()()[(2222xv u x h x u x h x u x h x v u x u x h x ∂∂+-=∂∂-+∂∂-+∂∂+-=∂∂-∂∂又 ()2222tv t u x h ∂∂=∂∂-代入原方程，得()()222221tv x h a x v x h ∂∂-=∂∂-即 222221t v a x v ∂∂=∂∂ 由波动方程通解表达式得()()()at x G at x F t x v ++-=,所以 ()()()x h at x G at x F u -++-=为原方程的通解。

2015—2016学年度华师大版八年级数学第二学期期末调研测试卷及答案

2015—2016学年度第二学期期末调研测试八年级数学试题（全卷共五个大题，满分150分，考试时间120分钟）一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑．1．在平面直角坐标系中，点(3,0)P-在A．x轴上B．y轴上C．第三象限D．第四象限2．七名学生的鞋号分别是：20，21，21，22，22，22，23．则这组数据的众数是A．20 B．21 C．22 D．233．在□ABCD中，∠A=2∠B，则∠B的度数是A．30°B．60°C．90°D．120°4．用配方法解方程2890x x-+=时，原方程可变形为A．2(4)9x-=B．2(4)7x-=C．2(4)9x-=-D．2(4)7x-=-5．平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是A．对角线互相平分B．对角线互相垂直C．对角线相等D．对角线互相垂直平分且相等6．某种签字笔的单价为2元，购买这种签字笔x支的总价为y元．则y与x之间的函数关系式为A．错误！未找到引用源。

12y x=-B．12y x=C．2y x=-D．2y x=7．菱形ABCD的周长是20，对角线AC＝8，则菱形ABCD的面积是A．12 B．24 C．40 D．488．己知反比例函数2myx-=（m为常数），当0x>时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是A．m＞0 B．m＞2 C．m＜0 D．m＜29．一辆小轿车匀速从甲地开往乙地，但行至途中汽车出了故障，只好停下修车，修好后，为了按时到达乙地，司机适当加快了匀速行驶的速度．下面能反映小轿车行驶路程S(千米)与时间t(小时)的函数关系的大致图象是A．B．C．D．10题图10．如图，□ABCD 错误！未找到引用源。

中，4=AB ，6=BC 平分线交AD 于点E ，则△CDE 的周长是 A ．6 B ．8 C ．10 D ．1211．已知关于x 的方程2(1)10kx k x +--=，下列说法中正确的是A ．当0k =时，方程无解B ．当1k =-时，方程有两个相等的实数解C ．当1k =时，方程有一个实数解D ．当0k ≠时，方程总有两个不相等的实数解12．如图，点E ，D ，F 分别在△ABC 的边AB ，BC ，AC 上，且DE ∥CA ，DF ∥BA ，下列判断中错误．．的是 A ．四边形AEDF 是平行四边形B ．如果∠BAC =90°，那么四边形AEDF 是矩形 C ．如果AD 平分∠BAC ，那么四边形AEDF 是菱形 D ．如果AD ⊥BC ，那么四边形AEDF 是正方形二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 13．一元二次方程(2)0x x -=的两个实数根中较大的根是．14．某班5名同学进行定点投篮测试，每人投篮10次，投中的次数统计如下：2，6，8，2，10．则这组数据的中位数是．15．如图，点E 是矩形ABCD 内任一点，若3=AB ，4=BC ．则图中阴影部分的面积为．16．已知m 、n 是方程x 2－x －3=0的两个根，则代数式2211122m n m n --+-的值为． 17．如图，正方形ABCD 中，AB=2，AC ，BD 交于点O ．若E ，F 分别是边AB ，BC 上的动点，且OE ⊥OF ，则OEF ∆周长的最小值是．18．如图，函数y x =-与函数4y x=-的图象交于A ，B 两点，过A ，B两点分别作y 轴的垂线，垂足分别为点C ，点D ．则四边形ACBD 的面积为．15题图EABCF12题图D 17题图18题图三、解答题：（本大题2个小题，每小题7分，共14分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡中对应的位置上． 19．解方程：210x x +-=．20．如图，在□ABCD 中，点E ，F 是对角线AC 上的两点，且AE =CF ，连结BE ，DF ．求证：BE ＝DF ．四、解答题：（本大题4个小题，每小题10分，共40分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡中对应的位置上．21．小青在八年级上学期各次数学考试的成绩如下表：（1）求小青该学期平时测验的平均成绩；（2）如果学期的总评成绩是根据右图所示的权重计算，请计算出小青该学期的总评成绩．20题图期中期末60%30%10% 平时21题图22．如图，一次函数2y x =+的图象交x 轴于点A ，且过点B （1，m ）．点Bk ≠0）的图象上．（1）求该反比例函数的解析式；（2）连结OB ，求AOB ∆的面积；并结合图形直接写出当函数值y ＜m 时，该反比例函数的自变量x 的取值范围．23．某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元．每天可以销售48件．为尽快减少库存，商场决定降价促销．（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求每次下调的百分率；（2）经调查，若该商品每降价1元，每天可多销售8件，那么每天要想获得512元的利润，每件应降价多少元？24．阅读下面的例题与解答过程：22题图AOB例．解方程：220x x --=．解：原方程可化为，则220y y --=．解得 12y =，21y =-．当2y =时，，∴2x =±；当1y =-时， ∴原方程的解是：12x =，22x =-．在上面的解答过程中，我们把||x 看成一个整体，用字母y 代替（即换元），使得问题简单化、明朗化，解答过程更清晰．这是解决数学问题中的一种重要方法——换元法．请你仿照上述例题的解答过程，利用换元法解下列方程：（1 （2五、解答题：（本大题2个小题，每小题12分，共24分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡中对应的位置上．25．如图1，在菱形ABCD 中，∠A =60°．点E ，F 分别是边AB ，AD 上的点，且满足DCF BCE ∠=∠，连结EF ．A BD FE M25题图1C（1）若AF =1，求EF 的长；（2）取CE 的中点M ，连结BM ，FM ，BF ．求证：BM FM ⊥；（3）如图2，若点E ，F 分别是边AB ，AD 延长线上的点，其它条件不变，结论BM FM ⊥是否仍然成立（不需证明）．26．如图1，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（—4，4），点B 的坐标为（0，2）．（1）求直线AB 的解析式；（2）以点A 为直角顶点作90CAD ∠=︒，射线AC 交x 轴的负半轴于点C ，射线AD 交y 轴的负半轴于点D ．当CAD ∠绕着点A 旋转时，OC OD -的值是否发生变化，若不变，求出它的值；若变化，求出它的变化范围；（3）如图2，点(4,0)M -和(2,0)N 是x 轴上的两个点，点P 是直线AB 上一点．当PMN ∆是直角三角形时，请求出满足条件的所有点P 的坐标．26题图2AB CDFEM25题图22015－2016学年度第二学期期末调研测试八年级数学试题参考答案及评分意见一、选择题：二、填空题：13．2x =； 14．6； 15．6 ； 16．52- ； 17．2 18．8．三、解答题：19．解：∵1,1,1a b c ===-，…………………………………………………………（1分） ∴224141(1)b ac -=-⨯⨯-5=．………………………………………………（3分）∴x =．即12,x x ==．………………………………………………（7分） 20．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝CD ，AB ∥CD ．………………………………………………………（2分） ∴∠BAC ＝∠DCA ．……………………………………………………………（4分）又∵AE =CF ，…………………………………………………………………（5分） ∴△ABE ≌△CDF ．……………………………………………………………（6分） ∴BE ＝DF ．……………………………………………………………………（7分）四、解答题：21．解：（1）平时测验总成绩为：132105146129512+++=（分）．………………（2分）平时测验平均成绩为：5121284=（分）．…………………………………（4分）答：小青该学期平时测验的平均成绩是128分．…………………………（5分）（2）总评成绩为：12810%13430%13060%⨯+⨯+⨯ =131（分）．…………(9分) 答：小青该学期的总评成绩是131分．……………………………………(10分) 22．解：（1）∵一次函数2y x =+的图象过点B （1，m ），∴m =1＋2=3．………………………………………………………………（1分） ∴点B 的坐标为（1，3）．…………………………………………………（2分）∵点B k ≠0）的图象上，k =3．…………………………………………………………（3分）4分）（2）在2y x =+中，令0y =，则02x =+，得x =－2，∴点A 的坐标为（－2，0），∴OA =2．…………………………………（6分）又∵点B 的坐标为（1，3），∴AOB ∆中OA 边上的高为3．……………………………………………（7分） ∴1232AOB S ∆=⨯⨯=3．……………………………………………………（8分）当函数值y ＜m 时，自变量x 的取值范围是：1x >或0x <．…………（10分）23．解：（1）设每次下调的百分率为x ，…………………………………………………(1分) 由题意，得 240(1)32.4x -=．……………………………………………(3分)解得 120.1, 1.9x x ==．……………………………………………………(4分) 经检验：2 1.9x =不符合题意，故0.1x ==10%．答：每次下调的百分率为10%．……………………………………………(5分) （2）设每件商品降价x 元，则每天多销售8x 件．由题意，得 (4030)(488)512x x --+=．…………………………………(8分) 解得 122x x ==．答：每件应降价2元．………………………………………………………(10分)24．解：（1220y y -=．………………………………………………(１分) 解得 10y =，22y =．………………………………………………………(2分) 当0y =时，，∴0x =；…………………………………………（3分）当2y =时，，∴2x =±；…………………………………………（4分） ∴原方程的解是：10x =，22x =-，32x =．……………………………（5分）（2）原方程可化为，则2440y y -+=．………………………………………（7分）解得 122y y ==．………………………………………………………（8分）1x =-或3x =．………………………………………（9分） ∴原方程的解是：11x =-，23x =．……………………………………（10分）D CABFEMN 25题答图1五、解答题：25．（1）解：∵四边形ABCD 是菱形，∴ AB = AD = BC= DC ，D CBE ∠=∠．………………………………（1分）又∵DCF BCE ∠=∠，∴△CBE ≌△CDF ．…………………………………………………………（2分） ∴BE=DF ．又∵AB =AD ，∴AB －BE =AD －DF ，即AE=AF ．………………………（3分）又∵∠A =60°，∴△AEF 是等边三角形．………………………………（4分） ∴EF =AF ．∵AF =1，∴EF =1．…………………………………………………………（5分）（2）证明：延长BM 交DC 于点N ，连结FN ．（如答图）………………………（6分）∵四边形ABCD 是菱形，∴AB DC //，∴BEM NCM ∠=∠,EBM CNM ∠=∠． ∵点M 是CE 的中点，∴CM=EM ．∴△CMN ≌△EMB ．………………………………………………………（7分） ∴NM=MB ，CN=BE ．又∵AB = DC ．∴DC －CN=AB －BE ，即DN=AE ． ∵AEF ∆是等边三角形，∴60AEF ∠=︒，EF =AE ． ∴120BEF ∠=︒，EF =DN ．∵AB DC //，∴180D A ∠+∠=︒．又∵∠A =60°，∴120D ∠=︒， ∴BEF D ∠=∠．又∵DN=EF ，BE=DF ．∴△FDN ≌△BEF ．………………………………………………………（9分） ∴FN=FB ，又∵NM=MB ，∴MF BM ⊥．…………………………………………（10分）（3）结论MF BM ⊥仍然成立．…………………………………………………（12分） 26．解：（1）设直线AB 的解析式为：(0)y kx b k =+≠．……………………………（1分）∵点(4,4)A -，点(0,2)B 在直线AB 上，∴44,2.k b b -+=⎧⎨=⎩………………………………………………………………（2分）解得3分）∴直线AB 的解析式为：4分）（2）不变．理由如下：……………………………………………………………（5分）过点A 分别作x 轴，y 轴的垂线，垂足分别为E ，F （如答图）．则90AEC AFD ∠=∠=︒．又∵90AEC AFD ∠=∠=︒，CAE DAF ∠=∠，∴AEC ∆≌AFD ∆．…………………………………………………………（6分） ∴EC FD =．…………………………………………………………………（7分） ∴()()OC OD OE EC FD OF -=+--OE OF =+=8．故OC OD -的值不发生变化，值为8………………………………………（8分）（3）①当M 为直角顶点时，点P 的横坐标为－4． ∵点P 在直线AB 上，将4x =-∴点P 的坐标为(4,4)P -．……………………………………………（9分）②当N 为直角顶点时，点P 的横坐标为2．∵点P 在直线AB 上，将2x =∴点P 的坐标为(2,1)P ．……………………………………………（10分） ③当P 为直角顶点时，∵点P 在直线AB 上，可设点P 的坐标为（x ，则2221(4)(2)2MP x x =++-+，2221(2)(2)2NP x x =-+-+，八年级数学期末试题第 11 页（共11页）在Rt PMN ∆中，222MP NP MN +=，MN =6， ∴2222211(4)(2)(2)(2)622x x x x ++-++-+-+=．解得1x =，2x =．综上所述，满足条件的所有点P 的坐标为(4,4)P -或(2,1)P 或1。

2015-2016+学年+第1+学期A卷(参考答案)

2015－2016学年第1学期大学物理I(2)试卷（A 卷）参考答案及评分标准一、选择题（30分，每小题2分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案B A D DCD B B C D 题号 11 12 13 14 15 答案 C A C A C二．计算题(10分)解：（1）20d d 4πs Q E S E S E r ε−⋅===∫∫∫∫G K w w ……………3分 304Q E r r πε−=K K ……………2分（2）20d d 4πr r Q r U E r r ε∞∞−=⋅=∫∫G G ……………3分 04πQ U rε−=……………2分三、计算题(10分)解：建高斯面为同轴半径为r、长为h 的闭合圆柱面。

002S S D dS D rh q h πλ⋅===∑∫∫K K w内……………5分 02λπh h r D =⋅⋅r2D 0πλ= ……………2分 D E ε= 0 2E rλπε=……………3分备注：只评区间在21R r R <<的电场。

四、计算题(10分)……………3分02I B rμπ= 向里……………2分（2） 011||||sin 90dF I dr B I drB =×=K K K ……………3分0101ln 22a ba I I I I ab F dF dr r aμμππ++===∫∫ 向上……………2分五、计算题(10分)解：选取距O 点为l ，长度为dl 的线元θωsin l v =2()sin cos()d v B dl l B dl πεθωθ=×⋅=−K K K l B l d sin 2θω=……………5分∫∫===002202sin 21d sin l Bl l B l d θωθωεε……………3分电动势ε的方向由O 指向A 。

……………2分六、计算题(10分)解：波长33522.8100.30106333(251) 1.29x d D λ−−Δ×××==×−×=埃……………8分或m x 3310533.29108.22−−×=×=Δ……………2分七、计算题(10分)解：（1）暗纹sin a k θλ=±（k =1,2,3，……），k 为暗纹级数可得： sin k a λθ= 65001000110sin 30nm a nm m −===×D ……………5分（2）因为0θ很小，所以302tan 2210中央明纹x f f m a λθ−Δ=≈=×……………3分3110x fm a λ−Δ==×第一级明纹……………2分八、计算题(10分) 解：2191 1.1410()2m mv J −=× ……………2分 212m hcmV A λ=+ A=3.83×10-19(J) (5)分0h A ν= 140577610.Hz ν=×……………3分。

华师大版2015-2016学年度八年级数学下册第一次月考试题及答案

2015-2016 学年八年级 ( 下 ) 数学x 2 9 x 311、当 x__________时，分式分式的值为 0；分式、直角坐标系）12、 1纳米 =10 9 米，用科学记数法表示： 360纳米=_____________ 米( 满分： 120分；考试时间： 120分钟 ) 成绩：一、选择题：（本大题共10小题 ,每小题 3分 ,共30分）1 x13、若分式 14、若方程的值为负数，则 x 的取值范围是__________；3x 2 1、在代数式 3x+ 、、、、、、中，分式有（）） . 6x y 3 1 52 1 23 2ab c mxa b 2 3 有增根，则m 的值为 ___________ ； 2 A 、 4个 B 、 3个a C 、 2个 5 D 、 12 个a5 y x 2 4 2 x2 x 2x x ＋y2、如果分式中的 x 和 y 都扩大为原来的 2 倍，那么分式的值（ 15、函数 y=的自变量的取值范围是 .1 2 x 1A 、扩大 2 倍B 、扩大 4 倍C 、不变D 、缩小 2 倍16、已知点 P （ x ， x+y ）与点 Q （ y+5， x-7）关于 x 轴对称，则点 Q 坐标为______x 1 x yy 2 x 1 x y 2 2 2 23 、下面各分式： , , , ，其中最简分式有（）个。

三、解答题：（）x x 2 x 1 x y2本大题共 2小题 ,共38分 x 2 17、计算：（ 1 、 2 题各 3 分， 3-6 题各 4 分，共18分）A. 4B. 3C. 2D. 1a2 ab a b 4、纳米是一种长度单位， 1纳米 =10 米，已知某种植物花粉的直径约为 35000纳米，那么用科学记数-9 a b 3(2). ( ) b a 2( 1).a b32 3法表示该种花粉的直径为 A 、 3.5× 10 B 、35×10 （）米a2 C 、 3.5×10-9 D 、 3.5× 10-54 -6 5、一件工程甲单独做 a 小时完成，乙单独做 b 小时完成，甲、乙二人合作完成此项工作需要的小时数是（） 1 abA 、 a ＋bB 、C 、D 、 1 1 a b a b6 、A 、 B 两地相距48千米，一艘轮船从 A 地顺流航行至 B 地，又立即从 B 地逆流返回 A 地，共用去 9 小 a b1 1 x7 a 4(4)时，已知水流速度为 4 千米 / 时，若设该轮船在静水中的速度为 x 千米 / 时，则可列方程（） ( 3). (a 3 )2x 6 x 3 2(x 2 9)a 3 2a 6A 、B 、C D48 4896 964848489 4 99 23 69x 4 x 4 4 xxx 4 x 47 、解分式方程 , 分以下四步 , 其中 , 错误的一步是 ( ) x 1 x 1 x 2 1A 、方程两边分式的最简公分母是 (x-1)(x+1)B 、方程两边都乘以 (x-1)(x+1), 得整式方程2(x-1)+3(x+1)=6C 、解这个整式方程 , 得x=1 8、函数 y= 自变量 x 的取值范围是（ A 、 3≥1 且 x ≠3B 、 x ≥1C 、 x ≠3D 、原方程的解为 x=1a 2a 4 1）b a a 2ab b 2 1 1 3 2 2 2 2 ( ＋ ) （ 6 ） ) x - 1（5）÷(a ＋ ) ( a2 4a 4 2 aa 2a 2 ab aa b D 、x>1且 x ≠3 x - 3 9 、在平面直角坐标系中一点 A 到 x 轴的距离为 0，到 y 轴的距离为 1，则 A 点的坐标为（） A 、（ 0,1）或（ 0 ,-1） C 、（ 1， 0）或（-1,0） B 、（ 0,1）或（ 1,0） D 、（-1,0）或（ 0，-1）10 、（ 2012 资阳）如图所示的球形容器上连接着两根导管，容器中盛满了不溶于水的比空气重的某种气体，现在要用向容器中注水的方法来排净里面的气体．水从左导管匀速地注入，气体从右导管排出，那么，容器内剩余气体的体积与注水时间的函数关系的大致图象是（） 18、解方程 :（每小题 5分，共20分）11 x2 x7 9x 4x 51 （ 1 ）、x 2 2 3x 2 3x（ 2 ）、（ 4 ）、 2 3 6 5 1（ 3 ）、填空二、 1 x 1 x x 21x 2 3x x2 x 题（本大题共 6小题 ,每小题 3分 ,共18分）四、应用与实践（共 6小题，34分）2x a x a 的解是正数，求的取值范围。

2015-2016学年湖北省华中师范大学第一附属中学高二上学期期末考试数学(理)试题(解析版)

2015-2016学年湖北省华中师范大学第一附属中学高二上学期期末考试数学（理）试题一、选择题1．方程052422=+-++m y mx y x 表示圆，则实数m 的取值范围是（）A ．141<<mB ．1>mC ．41<mD ．41<m 或1>m 【答案】D【解析】试题分析：根据圆的一般方程表示圆时先列出关于m 的一元二次不等式，解此不等式即可得到m 的取值范围．由于22(4)(2)450m m +--⋅>，即24510m m -+>，解之得1m >或14m <．因此当方程224250x y mx y m ++-+=表示圆时，m 的取值范围是14m <或1m >，故选D ．【考点】1、圆的一般方程；2、一元二次不等式．2．双曲线13622=-y x 的渐近线与圆)0()3(222>=+-r r y x 相切，则=r （） A ．3 B ．2 C ．3 D ．6【答案】A【解析】试题分析：先根据双曲线得到其渐近线的方程，再利用圆心到渐近线的距离等于半径，就可求出r 的值．22163x y -=的渐近线方程是2y =±20y ±=，又圆心是(3,0)，所以由点到直线的距离公式可得r =A ．【考点】1、双曲线；2、双曲线的渐近线；3、直线与圆相切；4、点到直线的距离．3．我校某高一学生为了获得华师一附中荣誉毕业证书，在“体音美2+1+1项目”中学习游泳。

他每次游泳测试达标的概率都为60%，现采用随机模拟的方法估计该同学三次测试恰有两次达标的概率：先由计算器产生0到9之间的整数随机数，指定1，2，3，4表示未达标，5，6，7，8，9，0表示达标；再以每三个随机数为一组，代表三次测试的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数：917 966 891 925 271 932 872 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 507 989据此估计，该同学三次测试恰有两次达标的概率为（）A ．0．50B ．0．40C ．0．43D ．0．48【答案】A【解析】试题分析：显然样本容量是20，即基本事件的总数为20，再从这20组随机数中挑选出符合条件的个数，进而可求出所求事件的频率，据此便可估计出所求事件的概率．因为这20个数据中符合条件的有：917,891,925,872,458,683,257,027,488,730共10个，所以所求事件的概率100.520=，故选A ．试卷第2页，总14页【考点】随机事件的概率．4．如图给出的是计算20161614121+⋅⋅⋅+++的值的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是（）A ．1007≤iB ．1008≤iC ．1008>iD ．1007>i【答案】B【解析】试题分析：由程序框图知第1次运算后12S =，第2次运算后1124S =+，第3次运算后1124S =+16+，第4次运算后S =11112468+++，…，第1008次运算后1111......2462016S =++++，计算完毕，所以程序框图中判断框内应填1008i ≤，故选B ．【考点】程序框图．5．学校在高二年级开设选修课程，其中数学开设了三个不同的班，选课结束后，有四名选修英语的同学要求改修数学，但数学选修班每班至多可接收两名同学，那么安排好这四名同学的方案有（）A ．72种B ．54种C ．36种D ．18种【答案】B【解析】试题分析：由于每班至多可接纳两名同学，所以问题可分为两类：1、将四名学生分到两个班中，首先挑出两个班，有233C =种方法，其次四个学生分平均为两组，有224222C C A ⋅3=种方法，所以安排学生的方法有223318A ⨯⨯=种；2、将四名学生分到三个班，这时需要先将四名学生分成三组，然后再分配，有234336C A ⋅=种，综上共有54安排方案，故选B ．【考点】排列与组合．6．10101010310321021109090)1(9090901C C C C C k k k ++-++-+- 除以88的余数是（）A ．1-B ．1C ．87-D ．87【答案】B【解析】试题分析：可先对原代数进行变形，再结合二项式定理判断展开式中那些项能被88整除，那些不能，进而可求出余数．1223310101011909090...k k k C C C C C -+-++-+10(190)(881)=-=+= 010192810911010101010(88)(88)(88)...(88)...(88)1k k C C C C C -++++++，显然在这个展开式中，前10项中的每一项都能被88整除，因此余数为1，故选B ．【考点】二项式定理．7．设函数2()2f x x x m =-+，m ∈R ．若在区间[]2,4-上随机取一个数x ，()0f x <的概率为23，则m 的值为（） A ．2 B ．2- C ．3 D ．3-【答案】D【解析】试题分析：这是一个几何概型问题．在[]2,4-上任取一个数x 对应事件的总体所构成的区间的长度是4(2)6--=，又因为()f x 的对称轴是1x =，开口向上，所以不妨设()f x 与x 轴的交点是0(1,0)x -和0(1,0)x +，所以使函数()0f x <的事件所构成的区间长度是000(1)(1)2x x x +--=，令02263x =，得02x =，所以()0f x =的二根是011x -=-和013x +=，由韦达定理得3m =-，并且经检验符合题意，故选D ．【考点】1、几何概型；2、二次函数；3、韦达定理．8．下面茎叶图表示的是甲，乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为（）A ．107B ．103C ．51 D ．54 【答案】D【解析】试题分析：由茎叶图可以计算出甲的平均成绩为8988909192905x ++++==甲，由于被污损的数字只能是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9共10个中的一个，经计算当被污损的数字是0,1,2,3,4,5,6,7这8个时甲的平均成绩超过乙的平均成绩，因此所求的概率是84105=，故选D ．【考点】1、茎叶图；2、平均数；3、古典概型．9．若83)(xa x +（0>a ）的展开式中当且仅当第6项系数最大，则实数a 的取值范围是（）A ．245<<aB ．245≤≤aC ．272≤≤aD ．272<<a 【答案】A试卷第4页，总14页【解析】试题分析：展开式的通项公式是4883188r rr r r r r T C x a C x --+==，因为当且仅当第6项的系数最大，所以第六项的系数大于第五项的系数并且大于第七项的系数，即554488556688a C a C a C a C ⎧>⎪⎨>⎪⎩，解之得524a <<，所以实数a 的取值范围是524a <<，故选A ．【考点】1、二项式定理；2、二项式展开式的特定项；3、二项式展开式项的系数．【易错点晴】本题是关于二项式展开式的特定项的问题，属于中等难度问题．特别值得注意的是二项式的展开式中某特定项的系数与该项的二项式系数是两个完全不同的概念，某项的二项式系数是一个组合数，是一个正整数，而该项的系数除组合数之外还包含其他因式中的数字部分，这一点在解题时要特别引起高度重视，否则容易出错．10．正四面体的四个面上分别写有数字0，1，2，3，把两个这样的四面体抛在桌面上，露在外面6个数字为2，0，1，3，0，3的概率为（）A ．91 B ．641 C ．81 D ．161 【答案】C【解析】试题分析：由题知两个正四面体的四个面中朝下的那一个面分别写着数字1或者数字2，由于把两个这样的正四面体抛在桌面上，而每个正四面体上面的数字1或者2其朝下的概率都是14，因此所求的概率为121144p C =⋅⋅18=，故选C ．【考点】古典概型．11．袋中有白球和红球共6个，若从这只袋中任取3个球，则取出的3个球全为同色球的概率的最小值为（）A ．31B ．519C ．101D ．201 【答案】C【解析】试题分析：可以设白球是n 个，红球是6n -个，则应当分三种情况进行讨论：1、当1n =（或5）时，同色球只能是红球（或白球），并且三球都为红球（或白球）的概率是353612C C =；2、当2n =（或4）时，同色球也只能是红球（或白球），并且三球都是红色（或白球）的概率为343615C C =；3、当3n =时，同色球是白球或者红球，并且三球同色的概率为33362110C C =，综上可知三球全为同色的概率的最小值是110，故选C ．【考点】古典概型．【思路点晴】本题是关于古典概型的求概率问题，属于难题．解决本题的基本思路是：首先应先对白球或者红球的个数进行讨论，以便确定那种颜色的球的个数较多，不难发现，应该分为三大类：1、白球多时；2、红球多时；3、白球与红球同样多时．之后再对每一种情况分别求解，最后再经过比较即可得出三个球全为同色球的概率的最小值．12．点A 是椭圆)1(1222>=+a y ax 的上顶点，B 、C 是该椭圆的另外两点，且△ABC 是以点A 为直角顶点的等腰直角三角形，若满足条件的△ABC 只有一个，则椭圆的离心率e 的范围是（）A ．133<≤e B ．330≤<e C ．360≤<e D ．136<≤e 【答案】C 【解析】试题分析：椭圆的离心率的大小反应的是椭圆的扁圆程度，离心率的取值范围是e ∈(0,1)，当0e →时，椭圆越圆，当1e →时，椭圆越扁．由于以A (0,1)为直角顶点的等腰直角三角形有且只有一个，所以,B C 两点必然关于y 轴对称，因为当0e →时椭圆趋近于圆，显然这时存在唯一一对点,B C 关于y 轴对称且与y 轴的负半轴的夹角都是4π，即满足条件的等腰直角三角形有且只有一个，据此可排除,A D 两答案；下面再用特值法排除B 答案，不妨取20,333e ⎛==∈ ⎝⎦，而20,33e ⎛=∉ ⎝⎦，由于当23e =时，可求得5a =，此时显然存在一对点,B C 关于y 轴对称且与y 轴的负半轴的夹角都是4π，即存在这样的等腰直角三角形ABC ，下面证明这样的三角形是唯一的．不妨设点,B C 分别在y 轴的左侧和右侧，如下图所示：并设椭圆与y 轴的交点是()0,1D ，由于,B C 在椭圆上，故可设点(cos ,sin )5C θθ，则AC ==，当s i n θ=-时max 2AC =AC =，也就是当C D →时AC 变大，假设存在第二个等要直角三角形ABC ，则当C D →时，必然点B 远离点D ，在这个过程中AC 在变大，而同时AB 在变小，则,AC AB 由原来的相等就不可能再次相等，也就是不存在第二个等要直角三角形，从而知23e =是符合题意的，这样可排除B 答案，综上所述，故选C ．【考点】1、椭圆的标准方程；2、椭圆的离心率．【思路点晴】本题是椭圆及其离心率的综合问题，属于难题．在解决选择题时，有时应根据题目的不同特点恰当的选择方法，例如有时可选择计算法、排除法、代入法等等，当所求问题不太好直接计算时，切记“小题大做”一味地用计算法，这时不妨从代入法、排除法寻找突破口，本题就是从排除法作为切入点的，通过图形的变化趋势以及离心率试卷第6页，总14页的特殊值，排除不可能的选项，进而得到正确的选项．二、填空题13．=)2(1101011 )5(．【答案】412【解析】试题分析：首先将二进制数1101011(2)化为十进制数，再将化好的十进制数化为五进制数即可得到答案．因为01234561101011(2)12120212021212107=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(10)，十进制的数107化为五进制的数方法是除以5取余然后再倒序写即可，列式如下：所以107(10)412(5)=，从而1101011(2)412(5)=，故答案填：412．【考点】二进制、十进制、五进制之间的转化．14．某单位为了了解用电量y 度与气温x ℃之间的关系，统计了某4天的用电量与当天气温，数据如下表由表中数据可得线性回归方程a bx y+=ˆ中的2-=b ，预测当气温为5℃时，该单位用电量的度数约为度．【答案】50【解析】试题分析：先根据表格算出样本中心点的坐标(,)x y ，代入回归方程后求出a 的值，然后再将5x =代入回归方程即可求得用电量的预测值．由表格数据可得样本中心点的坐标是181310124343864(,)(,)44x y ++-+++=(10,40)=，代入方程可求得60a =，所以当5x =时预测用电量50y =度，故应填：50．【考点】线性回归分析．15．华师一“长飞班”由m 位同学组成，学校专门安排n 位老师作为指导老师，在该班级的一次活动中，每两位同学之间相互向对方提一个问题，每位同学又向每位指导老师各提出一个问题，并且每位指导老师也向全班提出一个问题，以上所有问题互不相同，这样共提出了51个问题，则=+n m ．【答案】9【解析】试题分析：由题先列出关于正整数,m n 的方程，再对,m n 的取值情况进行讨论，以确定.m n 的值，进而得到m n +的值．由题可知学生和老师总共提出的问题数是251m A m n n +⋅+=，(1)(1)51()m m n m -++=*，由于(1)m m -是偶数，从而(1)n m +是奇数，这样,1n m +都为奇数，也就是n 为奇数，m 为偶数，下面对m 的取之进行讨论：当2m =时，由()*式得493n =，不合题意；当4m =时，得395n =，不合题意；当6m =时，得3n =，9m n +=；当8m ≥时，(1)51m m ->，()*式无解；综上9m n +=，故答案应填：9．【考点】1、排列与组合；2、分类讨论的思想方法．【思路点睛】本题是关于排列与组合以及分类讨论的思想方法的综合应用，属于难题．本题的难点有两个，一是正确列出关于,m n 的方程，二是如何正确求解这个二元方程(1)51m m mn n -++=的根．特别是第二个问题学生往往不知如何解答，一般的对于两个未知数的方程可以根据未知数的特点，先对其中的一个进行分类讨论，最终探索出所求的解，使问题得到解决．16．设椭圆11216:221=+y x C 与抛物线x y C 8:22=的一个交点为P （x 0，y 0），定义⎪⎩⎪⎨⎧>-<<=)(1623)0(22)(020x x x x x x x f ，若直线a y =与)(x f y =的图象交于A 、B 两点，且已知定点N （2，0），则△ABN 的周长的范围是．【答案】2083c << 【解析】试题分析：联立方程组222116128x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩可求得043x =或012x =-（舍去），所以4)3()4)3x f x x ⎧<<⎪⎪=>，当403x <<时，由y =变形可得28y x =（403y <<），其图象显然是抛物线28y x =上的一段弧；当43x >时，由y =2211612x y +=（43x >），其图象显然是椭圆2211612x y +=上的一段弧，又点(2,0)N 显然是抛物线的焦点，并且同时也是椭圆的右焦点，不妨设直线y a =与28y x =（403y <<）交于点A ，与2211612x y +=（43x >）交于点B ，由抛物线的性质知AB AN +的长等于点B 到准线2x =-的距离，若设点B 的横坐标为0x ，则02AN AB x +=+，其中0443x <<；又可求得椭圆的右准线是8x =，离心率是12，所以BN =01(8)2x -，所以三角形的周长为000112(8)622c x x x =++-=+，由试卷第8页，总14页0443x <<可得2083c <<，故答案应填：2083c <<．【考点】1、分段函数；2、抛物线及性质；3、椭圆及性质．【思路点睛】本题是一个关于分段函数与抛物线及其性质、椭圆及其性质的综合应用问题，属于难题．解决本题的思路是先求出点P 的坐标，之后将分段函数的图像转化为一段抛物线与一段椭圆，再充分发挥点(2,0)N 是抛物线和椭圆的公共焦点的作用，运用“化曲为直”的思想巧妙的将求三角形的周长的问题转化为求函数001()62g x x =+在4(,4)3上的值域问题，最终使问题得以解决．在这个过程中，熟记抛物线及椭圆的性质是转化问题的关键，同时也是最终能否解决本题的关键．三、解答题17．已知曲线C 的极坐标方程是θρsin 4=，设直线l 的参数方程t t y t x (54253⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=为参数）．（1）将曲线C 的极坐标方程转化为直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 的交点是M ，N ，求||MN ．【答案】（1）2240x y y +-=；（2．【解析】试题分析：（1）先把极坐标方程两边同乘以ρ得到24sin ρρθ=，再运用极坐标与直角坐标的互化公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩以及222x y ρ+=，即可求得曲线c 的直角坐标方程；（2）先将直线l 的参数方程325(45x t t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数)化为普通方程，再根据点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，并结合勾股定理即可求得,M N 两点间的距离．试题解析：（1）θρρsin 42=，∴y y x 422=+即0422=-+y y x（2）直线l 的直角坐标方程为0834=-+y x曲线C 为以P （0，2）为圆心，2为半径的圆，P 到直线l 的距离52=d 568)52(42||2=-=MN 【考点】1、极坐标与直角坐标的互化；2、参数方程及其与普通方程的互化．18．设n n n x a x a x a a x ++++=- 2210)12(展开式中只有第5项的二项式系数最大．（1）求n ；（2）求||||||||210n a a a a ++++ ．【答案】（1）8；（2）6561．【解析】试题分析：（1）根据二项展开式的项数与指数n 的关系，再根据中间项的位置特点，就可以判断出展开式中总共有多少项，从而可以求出指数n 的值；（2）根据（1）式求得的n 值，先写出展开式的通项公式，并判断出奇数项、偶数项的系数的符号，再结合赋值法，也就是令1x =或1x =-代入展开式，即可求得所需要的结果．试题解析：（1）由二项式系数的对称性，8=n（2）|a 0|，|a 1|，|a 2|，…，|a n |即为8)12(+x 展开式中各项的系数在8)12(+x 中令1=x ，∴65613||||||||89210==++++a a a a【考点】1、二项式定理；2、二项展开式的中间项；3、展开式项的系数．19．已知椭圆C: )0(12222>>=+b a by a x 的离心率22=e ，焦距为2．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知椭圆C 与直线0=+-m y x 相交于不同的两点M 、N ，且线段MN 的中点不在圆122=+y x 内，求实数m 的取值范围．【答案】（1）2212x y +=；（2）5m ≤-或3553<≤m ．【解析】试题分析：（1）首先根据椭圆的离心率得出,a c 的关系，再根据焦距求出c 的值，并进一步求出a 的值，然后结合关系式222a b c =+求出b 的值，从而可求出椭圆的方程；（2）先将椭圆的方程与直线的方程进行联立，并令判别式0∆>，再利用韦达定理得出线段MN 的中点坐标，根据该中点在圆内，再得出一个关于m 的不等式，联立这两个关于m 的不等式就可求出m 的取值范围．试题解析：（1）由题意知22==a c e ，22=c ，又222cb a =-，解得2=a ，1=c ，∴22=a ，12=b 故椭圆的方程为1222=+y x （2）联立方程⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-12022y x m y x ，消去y 可得0224322=-++m mx x 则330)22(121622<<-⇒>--=∆m m m设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则3421m x x -=+，3221m y y =+ ∴MN 中点坐标为)3,32(m m - 因为MN 的中点不在圆22y x +1=内，试卷第10页，总14页所以5531)3()32(22≥⇒≥+-m m m 或553-≤m综上，可知5m <≤-或3553<≤m 注：用点差法酌情给分【考点】1、椭圆的方程；2、离心率，焦距；3、韦达定理；4、点与圆的位置关系．20．某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图．（1）若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5．0以下的人数；（2）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在1～50名和951～1000名的学生进行了调查，得到右表中数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0．05的前提下认为视力与学习成绩有关系?（3）在（2）中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人，进一步调查他们良好的护眼习惯，求在这9人中任取3人，恰好有2人的年级名次在1～50名的概率．附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++【答案】（1）820；（2）在犯错误的概率不超过0．05的前提下认为视力与学习成绩有关系；（3）314．【解析】试题分析：（1）先根据频率分布直方图计算出前三组的频率，进而算出前三组各组的频数，从而算出后四组的频数之和，再根据后四组的频数成等差数列，就可求出后四组各组的频数，这样就可以求出100人中视力在5.0以下的频数，由此就可以估计全年级视力在5.0以下的人数；（2）先根据表格中的数据计算出2K 的值，再将其值与3.841进行比较就可知道视力与学习成绩是否有关系；（3）根据（2）中表格提供的数据，先求出这9人中名次在150，和9511000中的人数，再根据古典概型即可求出所需概率．试题解析：（1）设各组的频率为(1,2,3,4,5,6)i f i =，由图可知，第一组有3人，第二组7人，第三组27人，因为后四组的频数成等差数列，所以后四组频数依次为27,24,21,18所以视力在5．0以下的频率为3+7+27+24+21=82人，故全年级视力在5．0以下的人数约为821000820100⨯= （2）22100(4118329)3004.110 3.8415050732773k ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯ 因此在犯错误的概率不超过0．05的前提下认为视力与学习成绩有关系．（Ⅲ）依题意9人中年级名次在1～50名和951～1000名分别有3人和6人，143392316==∴C C C P 【考点】1、频率分布直方图；2、独立性检验；3、分层抽样；4、古典概型． 21．三棱锥BCD A -中，△BCD 、△ACD 均为边长为2的正三角形，侧棱 3=AB ，现对其四个顶点随机贴上写有数字1至8的8个标签中的4个，并记对应的标号为)(ηf η(取值为A 、B 、C 、D ），E 为侧棱AB 上一点．（1）求事件“)()(D f C f +为偶数”的概率p 1；（2）若)(:)(||:||A f B f EA BE =，求二面角A CD E --的平面角θ大于4π的概率p 2．【答案】（1）137p =；（2）2p =956．【解析】试题分析：（1）先求事件事件“()f C ”与事件“()f D ”均为偶数的概率，再求事件“()f C ”与事件“()f D ”均为奇数的概率，进而可求得事件“()()f C f D +”为偶数的概率；（2）先确定当4πθ=时():()f B f A 的值，由此得出当4πθ>时()f B 与()f A 的关系，再对()f B 的取值情况进行讨论，并求出各种情况下与之对应的()f A 的取值的方法数，进而可求出4πθ>时的概率2p 的值．试题解析：（1）用M 1表示“)(C f 和)(D f 均为奇数”，M 2表示“)(C f 和)(D f 均为偶数”由题意知143)(28241==A A M P ，143)(28242==A A M P记“)()(D f C f +”为偶数为事件Q ，则21M M Q += ∴73)()(211=+=M P M P P（2）如图，取CD 中点F ，连结BF 、AF 、EF 因为△BCD 、△ACD 均为边长为2的正三角形试卷第12页，总14页所以CD AF ⊥，CD BF ⊥，因此⊥CD 平面ABF ∴AFE ∠为二面角A CD E --的平面角θ 又AB BF AF ===3，所以3π=∠AFB ，若4πθ=，则1243πππ=-=∠EFB ，此时1312sin 4sin12sin ||||214sin ||||21||||+====∆∆ππππEF BF EF AF S S BE AE BEFAEF所以4πθ>即13)()(+>B f A f当1)(=B f 时，3)(≥A f ，所以)(A f 可取3，4，5，6，7，8共6个值当2)(=B f 时，6)(≥A f ，所以)(A f 可取6，7，8共3个值当3)(≥B f 时，9)(≥A f ，所以)(A f 不存在所以5699282==A P【考点】1、古典概型；2、加法分类原理；3、二面角的平面角．【思路点睛】本题是关于立体几何与古典概型的综合性试题，属于难题．解决问题（1）时，由于“奇数+奇数”=“偶数”，“偶数+偶数”=“偶数”，因此要想到进行分类讨论；对于问题（2）显然难度加大了，解决难点的切入点是先求出当4πθ=时():()f B f A 的值，进而得出4πθ>时():()f B f A 的关系式，然后再进行分类讨论，最终求出所需答案．22．已知中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为23的椭圆C 过点)22,2(．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设B 为椭圆的上顶点，P 、Q 为椭圆C 上异于点B 的任意两点． ⅰ）设P 、Q 两点的连线不经过原点，且直线OP 、PQ 、OQ 的斜率依次成等比数列，求△OPQ 面积的取值范围；ⅱ）当BQ BP ⊥时，若点B 在线段PQ 上的射影为点M ，求点M 的轨迹方程．【答案】（1）2214x y +=；（2）ⅰ）(0,1)；ⅱ）22214()()(1)55x y y +-=≠．【解析】试题分析：（1）首先根据离心率得出,a c 的一个关系式，又知道椭圆经过一个定点，这样得到第二个,a c 的关系式，联立两式即可求出椭圆的方程；（2）ⅰ）先设出直线PQ 的方程y kx m =+及,P Q 坐标，根据2()PQ OP OQ k k k =⋅及韦达定理，可求出k 的值，再根据直线PQ 不过原点且与椭圆交于除B 外的不同的两点，可得2001m m ⎧≠⎪∆>⎨⎪≠⎩，进而得出m 的取值范围，再由弦长公式及点到直线的距离公式即可表示出OPQ S ∆，结合上面得到的m 的范围就可求出OPQ S ∆的范围；ⅱ）仍可设直线PQ 的方程为y kx m =+并设出,P Q 坐标，根据BP BQ ⊥，可求出m 的值，若设(,)M a b ，根据BM PQ ⊥可用,a b 表示出直线PQ 的斜率，进而用,a b 表示出直线PQ 的方程，再由点(,)M a b 在直线PQ 上即可得到,a b 的关系式，从而得到点M 的轨迹方程．试题解析：（1）设椭圆方程为)0(12222>>=+b a b y a x ，由⎩⎨⎧==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=1212122322b a b a a c所以椭圆方程为1422=+y x（2）ⅰ）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），PQ 的方程为m kx y +=，与椭圆方程联立消去y ，得0448)41(222=-+++m kmx x k ，∴221418k km x x +-=+，22214144k m x x +-= 因为直线OP 、PQ 、OQ 的斜率依次成等比数列，所以2212212122211)(k x x m x x km x x k x y x y =+++=⋅即04182222=++-m k m k ，又0≠m ，所以412=k ，即21±=k 由于直线OQ 的斜率存在且不为0及0>∆，得202<<m 且12≠m设d 为点O 到直线l 的距离，则||11||21||212122x x k k m PQ d S OPQ -+⋅+==∆)2(4)(||212221221m m x x x x m -=-+=所以S △OPQ 的面积的范围为（0，1）ⅱ）由BQ BP ⊥得，1112211-=-⋅-x y x y ，即01)(212121=++-+y y y y x x试卷第14页，总14页从而可得0)1(148)1(14)44)(1(22222=-++-⋅-++-+m k kmm k k m k化简，得03252=--m m ，解得1=m （舍）或53-=m设(,)M a b ，因此PQ BM ⊥，所以1PQ ak b =--，将点(,)M a b 代入PQ 方程315a y x b =---，整理得22214()()55a b +-=，由题意知轨迹不过B （0，1）即1b ≠，所以动点M 的轨迹方程为)1()54()51(222≠=-+y y x【考点】1、椭圆的标准方程；2、等比数列；3、点到直线的距离公式；4、三角形面积公式；5、求轨迹方程．【思路点睛】本题是直线与圆锥曲线的综合应用，涉及的知识点多，方法灵活，计算量也较大，对学生的能力要求较高，属于难题．对于（1）题根据离心率以及已知点坐标很容易得出椭圆的标准方程；对于（2）中的ⅰ），解决问题的切入点是直线,,OP PQ OQ 的斜率成等比数列，并由此得到直线PQ 的斜率k ，然后再用m 表示出OPQ S ∆，再由0∆>得出m 的范围，进而可求出OPQ S ∆的取值范围；对于（2）中的ⅱ），主要是利用BP BQ ⊥与BM PQ ⊥得到m 的值及直线PQ 与直线BM 的斜率的关系，并由此可求得点M 的轨迹方程．。

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的解，则u(x,t) 0.
ut u
6uxx ux3 |t0 1 sin
x,
u5
1
x2 , 0
0 x x 1,
1,
Байду номын сангаас
u | x0 0, u | x1 t 4
t 0.
t 0,
证明：反证法，设混合问题有小于零的解 u(x,t), 不妨设存在点 (x0 ,t0 ) Q, 使得 u(x0 ,t0 ) 0. 由于在 = Q 上u 0且u(x,t) C(Q) ，因此 u(x,t) 在Q 内达到负的最小值，设其在(x1,t1) 处达到，则
于是得特征值：
n
(2n 1) 2l
2
,
X
n
(
x)
cos
(2n
1) 2l
x
,
n 1, 2,
.
将 n 代入T 的方程，解得
Tn
(t)
Cn
cos
3(2n 1) 2l
t
Dn
sin
3(2n 1) 2l
t
,
n 1, 2,
.
于是
u( x, t )
n 1
cos
(2n 1) 2l
x
Cn
cos
3(2n 1) t 2l
------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------
华中师范大学 2015 –2016 学年第二学期期末考试试卷答案（A 卷）
课程名称偏微分方程 1 课程编号 47410001 任课教师阮立志、张国
题型基础题计算题解答题证明题总分
分值 20
40
20
20
100
得分
学号：
得分评阅人一、基础题：（共 4 题，每题 5 分，共 20 分）
v(x,t) x 4t ex2t , x ，
故原问题的解为
u(x,t) x 4tet ,
x .
得分评阅人三、解答题：（共 1 题，共 20 分）
用分离变量法求解初边值问题：
utt 9uxx 0,
0 x l, t 0,
ux (0,t) u(l,t) 0,
u
2y x3
u ,
u yy
1 x4
u
2 x2
u
u .
代入方程，得
4 2u 2u -u 0. 在 y 0 即 0 时，我们有
u
u
2 2
1 4 2
u
.
第 1 页(共 3 页)
------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------
|
u
|4
(x0 ) 0 ，而右边u3 (x0 )
0 ，矛盾，因此以上
问题只有零解.
第 3 页(共 3 页)
即
X (x) X (x) 0,
(1)
T(t) 9T (t) 0.
(2)
由边界条件ux ( ,t) u(0,t) 0 推知， X (0) X (l) 0.
(3)
下面解特征值问题(1), (3).
情形 1. 0, 则(1)的通解为：
X (x) c1e x c2e x .
代入边界条件(3)得：c1 c2 0 ，这时特征值问题（1），（3）只有平凡解. 情形 2. 0, 则(1)的通解为：
u | 0
证明：反证法，假设u(x) 不恒等于 0，则 x0 使得u(x0 ) 0 或u(x0 ) 0 . 我们不妨设
u(x0 ) 0 而且为非负最大值(对于u(x0 ) 0 的情形可以类似证明). 因此在这一点处满足，
u xi
(x0 ) 0,
2u xi2
(
x0
)
0
，于是
nu(
x0
)
t 0,
u ( x,
0)
cos
x,
0 x l,
t0
2l
ut (x, 0)
cos 3 2l
x cos 5 2l
x,
0 x l.
解：设解为 u(x,t) X (x)T (t), 则 T ''(t)X (x) 9X (x)T (t) 0,
于是 X (x) T '(t) （常数） X (x) 9T (t)
------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------
ut (x1, t1 ) 0, ux (x1, t1 ) 0, uxx (x1, t1) 0. 于是
ut 6uxx ux3 u5 |(x1,t1) 0,
但
1 x2 0,
这就推出了矛盾，证毕.
2.
证明
Dirichlet
问题
nu
|
u
|4
u
3
,
(x1,, xn ) Rn 只有零解.
学生姓名：
年级：
1.
指出方程ut
x u2 xxxx
xux
0 的阶，并判定它是线性的还是非线性的.
答：四阶线性偏微分方程.
2. 写出方程
uxx 3uyy 5uxy 4uxz uxw +7uyz 2uyw 6uzw 9u 0 的特征二次型.
答：特征二次型是：
D
2 1
51 2
413
14
vtv
2vxx 0, |t0 xex ,
x , t 0, x ,
(1)
由泊松公式可知 (1) 的解为
v(x,t) 1
x y2
e 8t
yey dy ，
2 2 t
而
x y2
e 8t
yey dy 2 2 t x 4t ex2t ，
从而 Cauchy 问题(1)的解为
3
2 2
7 2 3
2 2 4
6 3 4 .
3.
写出
utt u(
x,
25uxx 0)
0,
x,
x ut (x, 0)
,
t
x,
0,
x
关于点(4,
0)
的影响区域.
答：由不等式4 5t x 4 5t, t 0 所确定的角型区域.
4.
写出
Cauchy
问题
uut(t
x,
25uxx 0) x,
解：由于 4x2 y 2 4x2 y 2 0, 所以方程处处是抛物型的.
易知特征方程为：
dy 2y . dx x
解得特征线为：
(x, y)
y x2
c1 .
作特征坐标变换：
y x2
,
y.
则
ux
2y x3
u ,
uy
1 x2
u
u ,
uxx
4y2 x6
u
6 x
y
4
u
,
uxy
2 x3
u
2y x5
Dn
sin
3(2n 1) t 2l
.
由初值条件得
n 1, 2, .
Cn
2 l
l 0
cos
(2n
1) 2l
x
cos
xdx 2l
1, 0,
n 1, n 1,
2l 9
,
4
Dn 3(2n 1)
l (2n 1) x 3
cos
(cos
0
2l
2l
x cos 5 2l
x)dx
2l 15
,
n2 n3
0,
n 1, 4,5, ,
从而，
u(x,t) cos 3t cos x 2l sin 9t cos 3 x 2l sin 15t cos 5 x .
2l 2l 9 2l
2l 15 2l
2l
得分评阅人四、证明题：（共 2 题，每题 10 分，共 20 分）
1. 设 Q {(x,t) | 0 x 1, 0 t T}，证明如果 u(x,t) C 2,1 (Q) C(Q )是混合问题
X (x) c1x c2 . 代入边界条件(3)得：c1 c2 0.这时特征值问题（1），（3）也只有平凡解. 情形 3. 0, 则（1）的通解为：
X (x) c1 cos x c2 sin x.
代入边界条件(3)得
c2 0,
c1 cos l 0.
第 2 页(共 3 页)
2. 求解 Cauchy 问题： ut 2uxx 4ux u 0, x , t 0, u t0 x, x .
解：解：令v x,t u x,text ，则
ut (vt v)ext ，ux (vx v)ext , uxx (vxx 2vx v)ext . 则原问题转化成如下 Cauchy 问题：
0, ut
(
x, 0)
x 2x,