偏微分方程数值解复习题(2013硕士)
偏微分方程数值解期末试题及标准答案
偏微分方程数值解试题(０6B ）参考答案与评分标准信息与计算科学专业一(10分）、设矩阵A 对称，定义)(),(),(21)(n R x x b x Ax x J ∈-=，)()(0x x J λλϕ+=.若0)0('=ϕ，则称称0x 是)(x J 的驻点(或稳定点).矩阵A 对称(不必正定)，求证0x 是)(x J 的驻点的充要条件是:0x 是方程组 b Ax =的解 解: 设n R x ∈0是)(x J 的驻点，对于任意的n R x ∈,令),(2),()()()(2000x Ax x b Ax x J x x J λλλλϕ+-+=+=, （3分)0)0('=ϕ,即对于任意的n R x ∈,0),(0=-x b Ax ,特别取b Ax x -=0，则有0||||),(2000=-=--b Ax b Ax b Ax ，得到b Ax =0． (3分)反之,若n R x ∈0满足b Ax =0,则对于任意的x ,)(),(21)0()1()(00x J x Ax x x J >+==+ϕϕ,因此0x 是)(x J 的最小值点. (４分）评分标准：)(λϕ的展开式3分, 每问3分，推理逻辑性１分二（10分）、 对于两点边值问题:⎪⎩⎪⎨⎧==∈=+-=0)(,0)(),()('b u a u b a x f qu dx du p dx d Lu 其中]),([,0]),,([,0)(min )(]),,([0min ],[1b a H f q b a C q p x p x p b a C p b a x ∈≥∈>=≥∈∈建立与上述两点边值问题等价的变分问题的两种形式：求泛函极小的Ritz 形式和Galerkin 形式的变分方程。
解: 设}0)(),,(|{11=∈=a u b a H u u H E为求解函数空间,检验函数空间．取),(1b a H v E ∈,乘方程两端,积分应用分部积分得到 (３分))().(),(v f fvdx dx quv dxdv dx du p v u a b a ba ==+=⎰⎰,),(1b a H v E ∈∀ 即变分问题的Galerkin 形式. （3分)令⎰-+=-=b a dx fu qu dxdu p u f u u a u J ])([21),(),(21)(22，则变分问题的Ritz 形式为求),(1*b a H u E ∈,使)(m in )(1*u J u J EH u ∈= （4分) 评分标准:空间描述与积分步骤３分，变分方程3分，极小函数及其变分问题４分,三(20分)、对于边值问题⎪⎩⎪⎨⎧-====⨯=∈=∂∂+∂∂====x u u u u G y x y u x u y y x x 1||,0|,1|)1,0()1,0(),(,010102222 (１)建立该边值问题的五点差分格式(五点棱形格式又称正五点格式),推导截断误差的阶。
偏微分方程数值解法试题与答案
一．填空（1553=⨯分）1．若步长趋于零时，差分方程的截断误差0→lmR ，则差分方程的解lm U 趋近于微分方程的解lm u . 此结论_______（错或对）； 2．一阶Sobolev 空间{})(,,),()(21Ω∈''=ΩL f f f y x f H y x关于内积=1),(g f _____________________是Hilbert 空间；3．对非线性（变系数）差分格式，常用 _______系数法讨论差分格式的_______稳定性； 4．写出3x y =在区间]2,1[上的两个一阶广义导数：_________________________________， ________________________________________；5．隐式差分格式关于初值是无条件稳定的. 此结论_______（错或对）。
二．（13分）设有椭圆型方程边值问题用1.0=h 作正方形网格剖分 。
（1）用五点菱形差分格式将微分方程在内点离散化； （2）用截断误差为)(2h O 的差分法将第三边界条件离散化； （3）整理后的差分方程组为 三．（12）给定初值问题xut u ∂∂=∂∂ ， ()10,+=x x u 取时间步长1.0=τ，空间步长2.0=h 。
试合理选用一阶偏心差分格式（最简显格式）, 并以此格式求出解函数),(t x u 在2.0,2.0=-=t x 处的近似值。
1．所选用的差分格式是： 2．计算所求近似值：四．（12分）试讨论差分方程()ha h a r u u r u u k l k l k l k l ττ+-=-+=++++11,1111逼近微分方程0=∂∂+∂∂xu a t u 的截断误差阶R 。
思路一：将r 带入到原式，展开后可得格式是在点（l+1/2,k+1/2）展开的。
思路二：差分格式的用到的四个点刚好是矩形区域的四个顶点，可由此构造中心点的差分格式。
偏微分方程数值解试题参考答案
偏微分方程数值解一（10分）、设矩阵A 对称正定，定义)(),(),(21)(n R x x b x Ax x J ∈-=，证明下列两个问题等价：(1)求n R x ∈0使)(min )(0x J x J n Rx ∈=;(2)求下列方程组的解：b Ax = 解: 设n R x ∈0是)(x J 的最小值点,对于任意的n R x ∈,令),(2),()()()(2000x Ax x b Ax x J x x J λλλλϕ+-+=+=, (3分)因此0=λ是)(λϕ的极小值点,0)0('=ϕ,即对于任意的n R x ∈,0),(0=-x b Ax ,特别取b Ax x -=0,则有0||||),(2000=-=--b Ax b Ax b Ax ,得到b Ax =0. (3分) 反之,若nR x ∈0满足bAx =0,则对于任意的x ,)(),(21)0()1()(00x J x Ax x x J >+==+ϕϕ,因此0x 是)(x J 的最小值点. (4分)评分标准:)(λϕ的表示式3分, 每问3分,推理逻辑性1分二（10分）、对于两点边值问题：⎪⎩⎪⎨⎧==∈=+-=0)(,0)(),()(b u a u b a x f qu dxdu p dx d Lu 其中]),([,0]),,([,0)(min )(]),,([0min ],[1b a H f q b a C q p x p x p b a C p b a x ∈≥∈>=≥∈∈建立与上述两点边值问题等价的变分问题的两种形式：求泛函极小的Ritz 形式和Galerkin 形式的变分方程。
解: 设}0)()(),,(|{11==∈=b u a u b a H u u H 为求解函数空间,检验函数空间.取),(10b a H v ∈,乘方程两端,积分应用分部积分得到 (3分))().(),(v f fvdx dx quv dxdv dx du p v u a b a ba ==+=⎰⎰,),(1b a H v ∈∀ 即变分问题的Galerkin 形式. (3分)令⎰-+=-=b a dx fu qu dxdup u f u u a u J ])([21),(),(21)(22,则变分问题的Ritz 形式为求),(1*b a H u ∈,使)(m in )(10*u J u J H u ∈= (4分) 评分标准:空间描述与积分步骤3分,变分方程3分,极小函数及其变分问题4分,三（20分）、对于边值问题⎪⎩⎪⎨⎧=⨯=∈-=∂∂+∂∂∂0|)1,0()1,0(),(,12222G u G y x yux u （1）建立该边值问题的五点差分格式（五点棱形格式又称正五点格式），推导截断误差的阶。
第十章 偏微分方程数值解3
2 kh 2 2 2 kh 2 kh 1 2ar sin 4a r sin 2 cos 2 2 2 kh 1 4ar(1 ar) sin 2
2
当a>0时，恒有 G ( , k )
2
1 ，格式（10.4.7）不稳定 ；
2
当a<0且ar 1时，G ( , k )
2
1 1 1 1 u n1 2u n 1 u n1 u n1 2u n 1 u n1 a j j j j j j 2 2 2 h h
1 1 a 2 2 u n1 2(1 a 2 2 )u n 1 a 2 2 u n1 j j j 1 1 4u n 2(1 a 2 2 )u n 1 a 2 2 (u n1 u n1 ) j j j j
要求：差分格式，定解条件，区域划分，边值条件的处理；
截断误差阶，稳定性结论
N为正整数。在t = 0上的结点称为边界结点，其余所有属于
c x , 0 t T
内的结点称为内部结点。
10.4.2 一阶双曲方程的差分法
a）迎风格式 ut (xj, tn)用向前差商代替，ux（xj, tn）用向前或向后 差商代替，得
n 1 j
u
或
u
n j
u
n 1 j
期末考试闭卷部分： 1. 第二章 非线性方程求根 ：二分法、迭代法、牛顿法和弦截法 要求：根的存在，公式，收敛性条件的判别 2. 第三章 解线性方程组的直接法：掌握Gauss消元法进行到底 的条件，矩阵三角分解定理的条件和结论，向量和
矩阵的范数，方程组的条件数与病态方程组的求解
3. 第四章 解线性方程组的迭代法：雅可比迭代法，高斯-赛德尔 迭代法；要求：求解公式，收敛条件。
数学偏微分方程的数值解法
数学偏微分方程的数值解法当然可以。
这里是根据标题“数学偏微分方程的数值解法”出的20道试题，包括选择题和填空题，每道题目都有详细的序号介绍：1. 选择题：偏微分方程的数值解法主要适用于哪类方程？A. 常微分方程B. 偏微分方程C. 代数方程D. 差分方程2.填空题：数值解法中常用的一种基础方法是______________。
3.选择题：有限差分法是一种适用于哪种类型的偏微分方程的数值解法？A. 椭圆型B. 抛物型C. 双曲型D. 超越型4.填空题：偏微分方程的数值解法通常要求将空间区域离散化为___ ___________。
5. 选择题：哪种方法适合处理偏微分方程的初始值问题？A. 有限元法B. 有限差分法C. 傅里叶变换法D. 辛普森法则6.填空题：数值解法中，常用的稳定性分析方法包括_____________ _。
7.选择题：对于偏微分方程的边值问题，常用的数值方法是_______ _______。
A. 有限体积法B. 辛普森法则C. 椭圆积分法D. 有限元法8.填空题：描述一种常见的数值解法的收敛性条件______________。
9.选择题：哪种方法在处理时间依赖性偏微分方程时特别有效？A. 隐式方法B. 显式方法C. 中心差分法D. 前进差分法10.填空题：数值解法中的矩阵求解通常利用______________方法。
11.选择题：在有限元法中，通常要对空间区域进行如何划分？A. 正交分解B. 三角剖分C. 曲面划分D. 直角分割12.填空题：有限差分法的精度通常与______________相关。
13.选择题：哪种方法适合处理非线性偏微分方程的数值解？A. 变分法B. 有限元法C. 辛普森法则D. 显式方法14.填空题：对于稳定性的要求，常用的数值方法需要满足_________ _____条件。
15.选择题：哪种方法可以有效地处理多维偏微分方程的数值解？A. 傅里叶变换法B. 辛普森法则C. 多重网格法D. 变分法16.填空题：在求解偏微分方程数值解时，通常需要考虑___________ ___问题。
偏微分方程数值习题解答
偏微分⽅程数值习题解答李微分⽅程数值解习题解答 1-1 如果0)0('=?，则称0x 是)(x J 的驻点（或稳定点）.矩阵A 对称（不必正定），求证0x 是)(x J 的驻点的充要条件是：0x 是⽅程组 b Ax =的解证明:由)(λ?的定义与内积的性线性性质,得),()),((21)()(0000x x b x x x x A x x J λλλλλ?+-++=+=),(2),()(200x Ax x b Ax x J λλ+-+=),(),()(0'x Ax x b Ax λλ?+-=必要性:由0)0('=?,得,对于任何n R x ∈,有0),(0=-x b Ax ,由线性代数结论知,b Ax b Ax ==-00,0充分性: 由b Ax =0,对于任何n R x ∈,0|),(),()0(00'=+-==λλ?x Ax x b Ax即0x 是)(x J 的驻点. §1-2补充: 证明)(x f 的不同的⼴义导数⼏乎处处相等.证明:设)(2I L f ∈,)(,221I L g g ∈为)(x f 的⼴义导数,由⼴义导数的定义可知,对于任意)()(0I C x ∞∈?,有-=ba ba dx x x f dx x x g )()()()('1?? ??-=ba ba dx x x f dx x x g )()()()('2?? 两式相减,得到)(0)()(021I C x g g ba ∞∈?=- 由变分基本引理,21g g -⼏乎处处为零,即21,g g ⼏乎处处相等.补充:证明),(v u a 的连续性条件(1.2.21) 证明: 设'|)(|,|)(|M x q M x p ≤≤,由Schwarz 不等式||||.||||||||.|||||)(||),(|'''''v u M v u M dx quv v pu v u a ba +≤+=?11*||||.||||2v u M ≤,其中},max{'*M M M =习题:1 设)('x f 为)(x f 的⼀阶⼴义导数,试⽤类似的⽅法定义)(x f 的k 阶导数,...2,1(=k ) 解:⼀阶⼴义导数的定义,主要是从经典导数经过分部积分得到的关系式来定义,因此可得到如下定义:对于)()(2I L x f ∈,若有)()(2I L x g ∈,使得对于任意的)(0I C ∞∈?,有 ?-=bak kba dx x x f dx x x g )()()1()()()(??则称)(x f 有k 阶⼴义导数,)(x g 称为)(x f 的k 阶⼴义导数,并记kk dxfd x g =)(注:⾼阶⼴义导数不是通过递推定义的,可能有⾼阶导数⽽没有低阶导数.2.利⽤)(2I L 的完全性证明))()((1I H I H m 是Hilbert 空间.证明:只证)(1I H 的完全性.设}{n f 为)(1I H 的基本列,即0||||||||||||0''01→-+-=-m n m n m n f f f f f f因此知}{},{'n n f f 都是)(2I L 中的基本列(按)(2I L 的范数).由)(2I L 的完全性,存在)(,2I L g f ∈,使0||||,0||||0'0→-→-g f f f n n ,以下证明0||||1→-f f n (关键证明dxdfg =)由Schwarz 不等式,有00||||.|||||)())()((|??f f x x f x f n ba n -≤-?00'''|||||||||)())()((|??f f dx x x g x f n ba n -≤-?对于任意的)()(0I C x ∞∈?,成⽴=∞a ba n n dx x x f dx x x f )()()()(lim ??=∞→ba b a nn dx x x g dx x x f )()()()(lim '??由?-=ba n ba ndx x x f dx x x f )()()()(''??取极限得到dx x x f dx x x g ba ba ??-=)()()()('??即')(f x g =,即)(1I H f ∈,且0||||||||||||0''01→-+-=-f f f f f f n n n故)(1I H 中的基本列是收敛的,)(1I H 是完全的. 3.证明⾮齐次两点边值问题证明:边界条件齐次化令)()(0a x x u -+=βα,则0u u w -=满⾜齐次边界条件.w 满⾜的⽅程为00Lu f Lu Lu Lw -=-=,即w 对应的边值问题为==-=0)(,0)('b w a w Lu f Lw (P) 由定理知,问题P 与下列变分问题等价求)(min )(,**12*1w J w J H C w Ew E ∈=∈其中),(),(21)(0*w Lu f w w a w J --=.⽽Cu u a u Lu u J u u Lu f u u u u a w J +-+=-----=),(),()(~),(),(21)(000000*⽽200)()(),(),(C b u b p u u a u Lu +-=-β从⽽**)()()(~)(C b u b p u Jw J +-=β则关于w 的变分问题P 等价于:求α=∈)(,12*a u H C u使得)(min )()(*1u J u J a u H u α=∈=其中)()(),(),(21)(b u b p u f u u a u J β--=4就边值问题（1.2.28）建⽴虚功原理解:令)(0a x u -+=βα,0u u w -=,则w 满⾜)(,0)('00==-=-=b w a w Lu f Lu Lu Lw等价于:1E H v ∈?0),(),(0=--v Lu f v Lw应⽤分部积分,+-=-=-b a b a b a dx dx dv dx dw p v dx dw p vdx dx du p dx d v dx dw p dx d |)()),((还原u ,)()(),(),(),(),(),(),(),(),(000b v b p v f v u a v u a v Lu v f v u a v Lu f v w a β--=-+-=--于是,边值问题等价于:求α=∈)(,1a u H u ,使得1E H v ∈?,成⽴0)()(),(),(=--b v b p v f v u a β注:形式上与⽤v 去乘⽅程两端,应⽤分部积分得到的相同. 5试建⽴与边值问题等价的变分问题.解:取解函数空间为)(20I H ,对于任意)(20I H v ∈⽤v 乘⽅程两端,应⽤分部积分,得到0),(),(44=-+=-v f u dx ud v f Lu⽽??-==b a b a b a dx dxdvdx u d v dx u d vdx dx u d v dx u d .|),(33334444 dx dxv d dx u d dx dx vd dx u d dx dv dx u d b a b a b a ??=+-=2222222222| 上式为),(][2222v f dx uv dx vd dx u d b a =+?定义dx uv dxvd dx u d v u a ba ][),(2222+=?,为双线性形式.变分问题为:求)(20I H u ∈,)(20I H v ∈?),(),(v f v u a =1-41.⽤Galerkin Ritz -⽅法求边值问题==<<=+-1)1(,0)0(102"u u x x u u 的第n 次近似)(x u n ,基函数n i x i x i ,...,2,1),sin()(==π?解:(1)边界条件齐次化:令x u =0,0u u w -=,则w 满⾜齐次边界条件,且)1(,0)0(20==-=-=w w x x Lu Lu Lw第n 次近似n w 取为∑==n i i i n c w 1,其中),...2,1(n i c i =满⾜的Galerkin Ritz -⽅程为n j x x c a j ni i j i ,...,2,1),(),(21=-=∑= ⼜xd jx ix ij dx x j x i dxx j x i ij dx a j i jij i ?-=+=+=ππππππππ)cos()cos(2)sin()sin()cos()cos()(),(1010210''-+πππjx ix sin sin 21由三⾓函数的正交性,得到≠=+=j i j i i a j i ,0,212),(22π??⽽]1)1[()(2)sin()1(),(3102--=-=-?jj j dx x j x x x x ππ? 于是得到+-=-=为偶数为奇数j j j j a x x c j j j j 0 )1()(8),(),(2232ππ最后得到∑+=-+---+=]21[1233])12(1[)12(])12sin[(8)(n k n k k x k x x u ππ 2.在题1中,⽤0)1(=u 代替右边值条件,)(x u n 是⽤Galerkin Ritz -⽅法求解相应问题的第n 次近似,证明)(x u n 按)1,0(2L 收敛到)(x u ,并估计误差.证明:n u 对应的级数绝对收敛,由}{sin x i π的完全性知极限就是解)(x u ,其误差估计为338nR n π≤3.就边值问题(1.2.28)和基函数),...,2,1()()(n i a x x i i =-=?,写出Galerkin Ritz -⽅程解:边界条件齐次化,取)(0a x u -+=βα,0u u w -=, w 对应的微分⽅程为)(,0)('00==-=-=b w a w Lu f Lu Lu Lw对应的变分⽅程为0),(),(0=--v Lu f v w a)]([)(000a x q dx dpqu dx du p dx d Lu -++-=+-=βαβ+-=-ba b a dx x pv b v b p v dxdp )()()(' 变分⽅程为dx v qu x pv b v b p v f v w a ba ?--+=])([)()(),(),(0'ββ取n i a x x i i ,...,2,1,)()(=-=?,则Galerkin -Ritz ⽅程为∑-++--+=-=ba i ba i i nj j jidxa x x q dx a x i x pb b p fc a )]()[()()()()(),(),(11βαβ?β??+=ba j i j i j i dx q p a ][),(''取1,0,1===f q p ,具体计算1=n , )(1),(11a b dx a ba -==221)(21)()()(21a b a b a b a b d -=---+-=ββ, )(211a b c -=,即解)(2101a x u u -+= 2=n :22111)()(2),(),(),(a b dx a x a a b a ba -=-=-=3222)(34)(4),(a b dx a x a ba -=-=3223222)(31)()()(31)(2)()(a b a b a b a b dxa x ab dx a x d ba b a -=---+-=---+-=??ββββ得到⽅程组为 --=----3221322)(31)(21c )(34)()(a b a b c a b a b a b a b特别取1,0==b a ,有= 31213411121c c求解得到1,21,6131122=-=-=c c c其解为202)(21)(a x a x u u ---+=C h2 椭圆与抛物型⽅程有限元法§1.1 ⽤线性元求下列边值问题的数值解: 10,2sin242"<<=+-x x y y ππ0)1(,0)0('==y y此题改为4/1,0)1()0(,1"====+-h y y y y解: 取2/1=h ,)2,1,0(==j jh x j ,21,y y 为未知数. Galerkin 形式的变分⽅程为),(),(v f v Lu =,其中+-=10210"4),(uvdx vdx u v Lu π,?=1)(2sin 2),(dx x xv v f π⼜dx v u dx v u v u vdx u =+-=-10''10''10'10"|因此dx uv v u v u a )4(),(12''?+=π在单元],[1i i i x x I -=中,应⽤仿射变换(局部坐标)hx x i 1--=ξ节点基函数为)3,2,1(,0,,,1)(111=≤≤-=≤≤-=-=--+i other x x x h x x x x x h x x x i i i i i i i ξξξξ?-+++=++=1022210222222'111)1(41]41[]4[),(1021ξξπξξπ?πd h d hh dxa x x x x取2/1=h ,则计算得124),(211π??+=a122)1(41[),(210221πξξξπ??+-=-+-=?d h h a-+++=10101)1)(2121(2sin )0(2sin [2),(ξξξπξξξπ?d d h h f ??-++=1010)1(4)1(sin 2sin ξξξπξξξπd d hξξξπ?d h f ?+=102)2121(2sin 2),(代数⽅程组为= ),(),(),(),(),(),(212122212111f f y y a a a a 代如求值.取4/1=h ,未知节点值为4321,,,u u u u ,⽅程为4,3,2,1),(),(41==∑=j f ua j i iji应⽤局部坐标ξ表⽰,-+++=10221022])1(41[)41(),(ξξπξξπ??d hh d h h a j j248]88[21022πξξπ+=+=?dξξξπ??d hh a j j ])1(41[),(1021?-+-=++964)1(164212πξξξπ+-=-+-=?d 964),(21π??+-=-j j a系数矩阵为}964,248,964{222πππ+-++-=diag A取1=f ,41)1(),(1010=-+=??ξξξξ?d h d h f j-+++=+10110)1)]((2sin[2)](2sin[2),(ξξξπξξξπd h x h d h x h f j j j -++++=1010)1)](4 41(2sin[21)]44(2sin[42ξξξπξξξπd j d j++?=+++++-+=100110|)]8)1([cos(821]8)1(sin[21]8)1(sin[]8)(sin[21ξππξξπξξξπξπj d j d j j+2.就⾮齐次第三边值条件22'11')()(,)()(βαβα=+=+b u b u a u a u导出有限元⽅程.解:设⽅程为f qu pu Lu =+-='')( 则由),()]()[()()]()[()(),(|),)((''1122'''''v pu a u a v a p b u b v b p v pu v pu v pu b a----=-=αβαβ变分形式为:),(1b a H v ∈?)()()()(),()()()()()()(),(),(1212''a v a p b v b p v f a v a u a p b v b u b p v qu v pu ββαα-+=-++)(),(0b u u a u u N ==记)()()()(),()()()()()()()(),(),(),(1212''a v a p b v b p v f v F a v a u a p b v b u b p v qu v pu v u A ββαα-+=-++=则上述变分形式可表⽰为)(),(v F v u A =设节点基函数为),...,2,1,0)((N j x j =? 则有限元⽅程为),...,1,0()(),(0N j F u A j Ni i j i ==∑=具体计算使⽤标准坐标ξ.。
偏微分方程数值解习题解答案,DOC
第二章?第三章?第四章?第五章?第六章 仅供个人学习参考
隐藏答 案
仅供个人学习参考
隐藏答 案
仅供个人学习参考
隐藏答 案
仅供个人学习参考
第二章习题答案 第二章?第三章?第四章?第五章?第六章?
仅供个人学习参考
仅供个人学习参考
第二章?第三章?第四章?第五章?第六章? 仅供个人学习参考
仅供个人学习参考
仅供个人学习参考
仅供个人学习参考
仅供个人学习参考
仅供个人学习参考
仅供个人学习参考
仅供个人第六章? 仅供个人学习参考
仅供个人学习参考
仅供个人学习参考
仅供个人学习参考
仅供个人学习参考
仅供个人学习参考
仅供个人学习参考
仅供个人学习参考
第二章?第三章?第四章?第五章?第六章? 仅供个人学习参考
仅供个人学习参考
仅供个人学习参考
隐 藏 答 案
仅供个人学习参考
仅供个人学习参考
隐 藏 答 案
仅供个人学习参考
仅供个人学习参考
隐 藏 答 案
仅供个人学习参考
隐 藏 答 案
仅供个人学习参考
仅供个人学习参考
隐 藏 答 案
仅供个人学习参考
隐 藏 答 案
显 示 答 案
仅供个人学习参考
仅供个人学习参考
隐 藏 答 案
仅供个人学习参考
隐 藏 答 案
仅供个人学习参考
仅供个人学习参考
隐 藏 答 案
仅供个人学习参考
偏微分方程考试题
数学物理方程及数值解 复习提要一、偏微分方程的建立 CH1 典型方程和定解条件 【内容提要】1. 方程的建立(步骤:确定物理量;微元法建立等式;化简得方程)主要方法：微元法； 泛定方程:(1) 波动方程(双曲型)：弦振动方程：222222(,)(,)(),()u x t u x t F a a txρ∂∂==∂∂张力单位长度弦质量 传输线方程：222222222221,00i a LCi a a t x t x νν∂∂∂∂-=-=∂∂∂=∂；， 电磁场方程:22222211,,H E H E t t εμεμ∂∂=∇=∇∂∂22222222221(),με标量函数形式:∂∂∂∂=++∂∂∂=∂u u u z a u a t x y (2) 热传导方程/扩散方程（抛物型）:ρ，其中22u Fa u f f t c ∂=∇+=∂ 导热杆（无热源）222u u a t x ∂∂=∂∂， 导热片（无热源）22222()u u u a t x y ∂∂∂=+∂∂∂ (3) 稳恒方程(椭圆型):Poisson 方程：，2u f ∇= Laplace 方程：，20u ∇=2.定解条件：初始条件及边界条件边界条件(1)第一类边界条件(Dirichlet 条件): 1(,)(,)D u M t f M t ∂=(2) 第二类边界条件(Neumann 条件):2Duf n ∂∂=∂ (3) 第三类边界条件(Robin 条件): 3()Duu f n σ∂∂+=∂ 3.定解问题的提法：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩偏微分方程(泛定方程)定解问题初始条件定解条件边界条件()Cauchy ⎧⎨⎩泛定方程(1)初始问题初始条件 ⎧⎨⎩泛定方程(2)边界问题(第一,二,三)边界条件⎧⎪⎨⎪⎩泛定方程(3)混合问题初始条件边界条件4.线性偏微分方程的基本性质（1）.线性迭加原理212,11,,,,,,,:nnij i ij i n i j i i j iL a b c a b c f x x x x x x ==∂∂=++∂∂∂∑∑其中是算子的函数111(1,2)(),nnni i ii ii i i i i i L u f in L c u c L u c f=====⇒==∑∑∑命题：21110(1,2),,()0,nnii i i i i i i i i i k j u Lu i c u c L c u x x ∞===∂==⇒=∂∂∑∑∑一致敛命收题：(2.) 齐次化原理（冲量原理）Duhamel 原理：设(,,)x t ωτ是方程22222,,(,)(,)0,(,),a x t t x x x f x x t ωτωτωττω⎧∂∂=-∞<<+∞>⎪∂∂⎪⎨∂⎪==-∞<<+∞⎪∂⎩的解，⇒0(,,)d ,()t x t u x t ωττ=⎰是方程22222(,),,0(,0)(,0)0,0,u u a f x t x t tx u x u x x t ⎧∂∂=+-∞<<+∞>⎪∂∂⎪⎨∂⎪==-∞<<+∞⎪∂⎩的解。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
偏微分方程数值解期末复习（2012硕士）
一、考题类型
本次试卷共六道题目，题型及其所占比例分别为：填空题20%；计算题80% 二、按章节复习内容
第一章
知识点：Euler法、向前差商、向后差商、中心差商、局部截断误差、整体截断误差、相容性、收敛性、阶、稳定性、显格式、隐格式、线性多步法、第一特征多项式、第二特征多项式、稳定多项式、绝对稳定等；
要求: 熟练一元函数的数值微分公式；会辨认差分格式, 计算线性多步法的局部截断误差和阶;
第二章
知识点：矩形网格、(正则,非正则)内点、边界点、偏向前(向后,中心)差商、五点差分格式、增设虚点法、积分插值法、线性椭圆型差分格式、极值原理、比较定理、五点差分格式的相容、收敛和稳定性等；
要求: 熟练多元函数的数值微分公式；会建立椭圆型方程边值问题的差分格式；计算局部截断误差；了解极值原理讨论格式的收敛性和稳定性;
第四章
知识点：最简显格式、最简隐格式、CN格式、双层加权格式、Richardson 格式、网格比、传播因子法(分离变量法) 、传播因子、传播矩阵、谱半径、von Neumann条件、跳点格式、ADI格式等；
要求: 会建立抛物型方程边值问题的经典差分格式；计算局部截断误差;
会计算格式的传播因子或传播矩阵；会讨论格式的稳定性；
第五章
知识点：依赖区域、左偏心格式、右偏心格式、中心格式、LF格式、LW 格式、Wendroff格式、跳蛙格式、特征线、CFL条件等；
要求: 建立双曲型方程边值问题的差分格式；计算局部截断误差;
会计算格式的传播因子或传播矩阵；讨论格式的稳定性；
第七章
知识点：单元、线性元、线性基、(单元)刚度矩阵、(单元)荷载向量等；
要求: 会用线性元(线性基)建立常微分方程边值问题的有限元格式
三 练习题
1、 试建立Euler 法(向后Euler 法或梯形法)，并讨论格式的局部截断误差和阶。
P4，6，8+课件
2、 已知一个线性二或三步法，试讨论格式的局部截断误差和阶。
P23，25，27+课件+P41
3、用数值微分方法或数值积分方法建立椭圆型方程
22223(,),(,),u u f x y x y x y ∂∂--=∀∈Ω∂∂ :01,01
x y Ω≤≤≤≤ 内点的差分格式。
P69，75+课件
4、构造椭圆型方程第三类边值问题的差分格式. P101 (4)题
5、对于两点边值问题,(,)()0, ()0u qu f x a b u a u b ''-+=∈⎧⎪=⎨⎪=⎩
用等距结点线性元推导有限元方程. 参考P267+P271相关知识点+课件
6、对于椭圆型边值问题00
, (,)[0,][0,], , 0,0y y b x x a u qu f x y a b u c u d u u x x ====⎧⎪-+=∈⨯⎪⎪==⎨⎪∂∂⎪==⎪∂∂⎩ 用三角剖分单元的线性元推导其有限元方程. 参考P276-P298相关知识点+课件
7、 构建一维热传导方程220,(0)u u Lu a a t x
∂∂=-=>∂∂的最简显格式或最简隐格式或6点CN 格式，并分析格式的局部截断误差和稳定性。
P132-135，156+课件
8、设有逼近热传导方程220(0)u u Lu a a const t x ∂∂≡-==>∂∂的带权双层格式
()()1111111122(1)2k k
j j
k k k k k k j j j j j j u u a u u u u u u h
θθτ++++-+-+-⎡⎤=-++--+⎣⎦
其中[0,1]θ∈，试求其截断误差。
并证明当2
1212h a θτ=-时，截断误差的阶最高阶为24()O h τ+。
P135+P165+课件
9、 构建一维热传导方程220,(0)u u Lu a a t x
∂∂=-=>∂∂的显隐交替格式(跳点格式)，并分析格式的稳定性。
P132-135，156+课件
10、对一阶常系数双曲型方程的初值问题
0,0,01,0,(,0)(),01,
u u a t T x a t x u x x x φ∂∂⎧+=<≤<<>⎪∂∂⎨⎪=≤<⎩ 试建立左、右偏心差分格式，并分析格式的局部截断误差和稳定性。
P185，187+课件
11、有逼近双曲型方程组0u u A t x
∂∂+=∂∂的跳蛙格式11110k k k k j j j j u u u u A h τ+-+---+=, 试求其传播矩阵，并讨论格式的稳定性. P197+课件。