第二章 整数规划
运筹学整数规划
运筹学整数规划运筹学是研究在资源有限的条件下，如何进行决策和优化的一门学科。
整数规划是运筹学中的一个重要分支，它解决的是决策变量必须为整数的问题。
整数规划在实际问题中具有广泛的应用，如生产计划、设备配置、选址问题等。
整数规划问题的数学模型可以表示为：max/min c^T xs.t. Ax ≤ bx ≥ 0x ∈ Z其中，c是目标函数的系数矩阵，x是决策变量的向量，A是约束条件的系数矩阵，b是约束条件的向量，Z表示整数集合。
整数规划问题与线性规划问题相似，但整数规划问题的约束条件多了一个整数限制，使得问题的解空间变得更为复杂。
由于整数规划问题的NP-hard性质，求解整数规划问题是一项困难的任务。
求解整数规划问题的常用方法有分支定界法、割平面法和启发式算法等。
分支定界法是一种穷举搜索的方法，它通过将整数规划问题不断分割成更小的子问题，从而逐步搜索解空间，直到找到最优解。
分支定界法对于规模较小的问题比较有效，但对于大规模复杂问题，效率较低。
割平面法是一种通过添加新的约束条件来减少解空间的方法。
它利用线性松弛问题（将整数约束条件放宽为线性约束条件）的解来构造有效的割平面，从而逐步缩小解空间，找到最优解。
割平面法通常比分支定界法更有效，但对于某些问题，可能需要添加大量的割平面才能收敛到最优解。
启发式算法是一种基于经验和启发式搜索的方法。
它通过设置初始解、搜索策略和邻域搜索等步骤，来快速找到近似最优解。
常见的启发式算法有遗传算法、模拟退火算法和禁忌搜索算法等。
启发式算法虽然不能保证找到全局最优解，但能够在可接受的时间内找到较优解。
综上所述，整数规划作为运筹学中的重要分支，解决的是决策变量必须为整数的问题。
整数规划问题具有广泛的应用，但由于其NP-hard性质，求解过程较为困难。
常用的求解方法包括分支定界法、割平面法和启发式算法等。
这些方法各有优劣，根据具体问题的特点选择合适的方法进行求解。
整数规划(运筹学-京航空航天大学,党耀国)(研究生)
23
(5)、解(C)、(D)
剪枝条件：① (C)，[(D)]无可行解
② (C)，[(D)]对应的目标值S S0
③ (C)，[(D)]对应的目标值Sc>S0
且解为整数解，令ScS0
且解为非整数解，令(C)，[(D)] 取代(B) 返回(4) (6)、全部枝剪完，停
min Z bi xi Cij yij
i 1 i 1 j 1 3 3 4
混合整数规划
10
0－1决策变量的应用
可用于相互排斥计划中
例1、运输方式：火车、船。
火车：5X1+4X2 24
船： 7X1+3X2 45
(体积)
(体积)
11
maxZ=20X1 + 10X2 2X1+5X2 13 5X1+4X2 24+MX3 7X1+3X2 45+M(1-X3 ) X1 , X2 0 整数 X3为0或1 当 X3 =0 M>0 火车
运费
问：选择适当地点建仓库，在满足商店需 求条件下，总费用最小。
9
解：设Xi ( i=1,2,3)为是否在 Ai 建仓库 yij ( i=1,2,3, j=1…4)由 i仓库向 j商店运货量
y11 + y21 = d1 y12 + y22 + y32 = d2 y23+ y33 = d3 y14 + y24 + y34 = d4 x1 + x2 + x3= 2 y11 + y12 + y14 a1x1 y21 + y22 + y23 + y24a2x2 y32 + y33 + y34 a3x3 xi 为0－1， yij 0
整数规划
1. 整数规划的基本概念1. 在某些线性规划问题中，变量只有取整数值才有意义，这时约束条件中还需要添加上变量取整数值的限制，这就是整数规划问题。
2. 在整数规划中，如果所有的变量都为非负整数，则称为纯整数规划问题；如果有一部分变量为非负整数，则称之为混合整数规划问题。
在整数规划中，如果变量的取值只限于0和1，这样的变量我们称之为0-1变量。
在纯整数规划和混合整数规划问题中，如果所有的变量都为0-1变量，则称之为0-1规划。
3. 求整数解的线性规划问题，不是用四舍五入法或去尾法对线性规划的非整数解加以处理都能解决的，而要用整数规划的方法（分枝定界法与割平面法）加以解决。
2. 整数规划的应用1. 生产与销售计划问题例1. 某公司用两种原油（A 和B ）混合加工成两种汽油（甲和乙），甲、乙两种汽油含原油A 的最低比例分别为50%和60%，每吨售价分别为4800元和5600，该公司现有原油A 和B 的库存量分别为500吨和1000吨，还可以从市场上买到不超过1500吨的原油A ，不超过500吨时单价为10000元/吨；超过500吨时，超过的部分单价为8000元/吨；超过1000吨时超过的部分单价为6000元/吨。
该公司应如何安排原油的采购和加工。
分析：问题中需要决定如何安排采购：决定原油A 的采购数量 (可设为变量x)如何安排加工：决定原油A 分别用于生产甲、乙产品的数量(可设为变量x11、x12) 决定原油B 分别用于生产甲、乙产品的数量(可设为变量x21、x22)； 共有5个决策变量。
则：x11+x21为甲产品的产量， x12+x22为乙产品的产量。
约束条件资源限制：()()210001 50022211211≤++≤+x x x x x 比例要求：()()4 6.03 5.0221212211111≥+≥+x x x x x x变量非负：x ，x11，x12，x21，x22≥0 目标函数假设目标为利润最大利润=收入－成本，用Z 表示利润额：Z=4800 (x11+x21)+5600 (x12+x22) －C(x) 其中： C(x)为采购原油A 的支出 C(x)的具体形式？()()()⎪⎩⎪⎨⎧≤<-+≤<-+≤=15001000 ,1000600090000001000500 ,50080005000000500,10000x x x x x x x C整理得：()⎪⎩⎪⎨⎧≤<+≤<+≤=15001000 ,600030000001000500 ,80001000000500 ,10000x x x x x x x C建立模型：model :max =4.8*x11+4.8*x21+5.6*x12+5.6*x22-c; x11+x12<x+500; x21+x22<1000; x<1500;0.5*x11-0.5*x21>0; 0.4*x12-0.6*x22>0;c=@if (x#le#500,10*x,@if (x#le#1000,1000+8*x,3000+6*x)); end运用lingo 求解得：Objective value: 5000.000Variable Value Reduced CostX11 0.000000 0.000000 X21 0.000000 1.600000 X12 1500.000 0.000000 X22 1000.000 0.000000 C 9000.000 0.000000 X 1000.000 0.000000第二种解法：模型中的问题约束(1)左端含变量，(3)、(4)不是线性函数，转化为：5001211≤-+x x x06.04.005.05.022122111≥-≥-x x x x目标函数为分段函数，如何处理？ 目标函数的转换将x 分解为三个量x1、x2、x3，分别表示以价格10000/吨、8000/吨、6000/吨购买的原油A 的数量，且 x=x1+x2+x3，则目标函数变为 Z=4800 (x11+x21)+5600 (x12+x22)－(10000x1+8000x2+6000x3) 此时约束条件应增加： (x1－500) ·x2=0，(x2－500) ·x3=0 0≤ x1，x2，x3 ≤500目标函数虽已化为线性函数，但约束条件含非线性等式，如何解决这一问题？ 引入0-1变量 y1、y2、y3⎩⎨⎧=>=0 ,00 ,11x x y ，⎩⎨⎧≤>=500 ,0500 ,12x x y ，⎩⎨⎧≤>=1000 ,01000 ,13x x y则：112500500y x y ≤≤，223500500y x y ≤≤，33500y x ≤综合可得问题的数学模型()()321221221116000800010000 56004800min x x x x x x x Z ---+++=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=≥≤≤≤≤≤≥-≥-≤+≤---+1,0,,0,,,,,,50050050050050006.04.005.05.0100050032132122211211332231122212211122213211211y y y x x x x x x x y x yx y y x y x x x x x x x x x x xmodel :max =4.8*x11+4.8*x21+5.6*x12+5.6*x22-10*x1-8*x2-6*x3; x11+x12-x<500; x21+x22<1000; 0.5*x11-0.5*x21>0; 0.4*x12-0.6*x22>0; x-x1-x2-x3=0; x1-500*y1<0; x2-500*y2<0; x3-500*y3<0; x1-500*y2>0; x2-500*y3>0; @BIN (y1); @BIN (y2); @BIN (y3); endObjective value: 5000.000 Variable Value Reduced CostX11 0.000000 0.000000 X21 0.000000 1.400000 X12 1500.000 0.000000 X22 1000.000 0.000000 X1 500.0000 0.000000X3 0.000000 0.000000X 1000.000 0.000000Y1 1.000000 0.000000Y2 1.000000 2000.000Y3 1.000000 1000.000第三种解法：记x轴上的分点为b1=0, b2=500, b3=1000, b4=1500. 当x属于第1个小区间[b1,b2]时，记x=z1b1+z2b2, z1+z2=1, z1,z2≥0, 因为c(x)在[b1,b2]上是线性函数，所以c(x)= z1c(b1)+z2c(b2)。
第二章 整数规划+答案
故最优解为：X
0010
1 0
0 1
0 0
0 0
，最优值为 14。
0001
6103 0211 1030 5300
5、在今后三年内有五项工程考虑施工，每项工程的期望收入和年度费用（千元）如表所示。假定 每一项已批准的工程要在三年内完成，目标是要选出使总收入达到最大的那些工程。
工程
第1年
费用（千元） 第2年
2 3 14 s. t. 4 2 18
, 0 且为整数
B：X=（3.25,2.5）z=14.75
x2<=3
x2>=4
B1：X=（3,2.67）z=14.33
B2：X=（4,1）z=14
x2<=2
x2>=3
B11：X=（3,2）z=13
B12：X=（2.5,3）z=13.5
所以，最优解为：X=（4,1），最优值为 14。
人
A
B
C
D
E
甲
25
29
31
42
37
乙
39
38
26
20
33
丙
34
27
28
40
32
丁
24
42
36
23
45
解：（1）由于任务数多于人数，所以需要一名假想的人，设为戊。因为工作 E 必须完成，故设戊完
成 E 的时间为 M，其余的假象为 0，建立如下的效率矩阵。
任务
人
A
B
C
D
E
甲
25
29
31
42
37
乙
39
38
解：变换目标函数 max Z=16‐（2 3 5 6 ）
管理运筹学讲义整数规划
管理运筹学讲义整数规划整数规划是管理运筹学中一种重要的优化技术，它在实际问题中具有广泛的应用。
本文将介绍整数规划的基本概念、建模方法以及解决算法，并通过实例展示其在实际问题中的应用。
一、整数规划的基本概念整数规划是线性规划的一种扩展形式，其决策变量被限制为整数。
在实际问题中，往往存在某些变量只能取整数值的约束条件，这时就需要使用整数规划方法进行求解。
与线性规划相比，整数规划的求解难度更大，但可以提供更精确的结果。
二、整数规划的建模方法在进行整数规划建模时，需要确定决策变量、目标函数和约束条件。
1. 决策变量决策变量是问题中需要优化的变量，其取值决定了问题的解。
在整数规划中，决策变量通常表示为整数。
2. 目标函数目标函数是整数规划问题中需要最小化或最大化的目标。
它可以是线性函数或非线性函数，但在整数规划中，通常只考虑线性目标函数。
3. 约束条件约束条件是问题的限制条件，限制了决策变量的取值范围。
在整数规划中，约束条件可以是线性等式或线性不等式。
三、整数规划的解决算法解决整数规划问题的常见算法包括割平面法、分支定界法和动态规划法等。
这些算法通过不断对问题进行优化，逐步逼近最优解。
1. 割平面法割平面法是一种通过添加额外的约束条件来逼近最优解的方法。
它首先求解一个松弛问题，然后根据松弛问题的解加入新的约束条件，直到找到最优解。
2. 分支定界法分支定界法是一种将整数规划问题划分为多个子问题，并对每个子问题进行求解的方法。
它通过不断分支和剪枝来找到最优解。
3. 动态规划法动态规划法是一种通过将问题分解为多个子问题，并通过求解子问题的最优解来求解原始问题的方法。
它采用自底向上的求解方式，将所有可能的决策情况进行组合，得到最优解。
四、整数规划在实际问题中的应用整数规划在实际问题中有着广泛的应用。
以下是一个应用整数规划解决的实际问题示例：某公司生产两种产品A和B，每天的生产时间为8小时。
产品A每单位利润为100元，产品B每单位利润为150元。
第02章 整数规划
必须为 1；当 x j = 0 时只有 y j 为 0 时才有意义，所以（4）式完全可以代替（3）式。
3.2 0 −1型整数规划解法之一（过滤隐枚举法） 解 0 −1型整数规划最容易想到的方法，和一般整数规划的情形一样，就是穷举法，
即检查变量取值为 0 或 1 的每一种组合，比较目标函数值以求得最优解，这就需要检查
5x1 + 4x2 ≤ 24 或 7x1 + 3x2 ≤ 45 。 为了统一在一个问题中，引入 0 − 1 变量 y ，则上述约束条件可改写为：
⎪⎨⎧57xx11
+ +
4x2 3x2
≤ ≤
24 45
+ +
yM (1 −
y)M
⎪⎩ y = 0或1
其中 M 是充分大的数。
约束条件
可改写为
x1 = 0 或 500 ≤ x1 ≤ 800
x2
=
3 2
, min
z
=
3 2
。
若限制整数得： x1 = 1, x2 = 1, min z = 2 。
（ii） 整数规划最优解不能按照实数最优解简单取整而获得。
1.3 求解方法分类：
（i）分枝定界法—可求纯或混合整数线性规划。
（ii）割平面法—可求纯或混合整数线性规划。
（iii）隐枚举法—求解“0-1”整数规划：
第二章 整数规划
§1 概论
1.1 定义
规划中的变量（部分或全部）限制为整数时，称为整数规划。若在线性规划模型中，
变量限制为整数，则称为整数线性规划。目前所流行的求解整数规划的方法，往往只适
用于整数线性规划。目前还没有一种方法能有效地求解一切整数规划。
1.2 整数规划的分类
整数规划ppt课件
可行解的凸组合不一定满足整数要求，因而不一定
仍为可行解）。
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第13页
产生问题：利用对松弛问题的最优解中不符合整
数要求的分量简单地取整，是否能得出整数规划
问题的最优解呢？
2021精选ppt
第14页
3. 对松弛问题的最优解中不符合整数要求的分量简 单地取整，所得到的问题解：
不一定是整数线性规划问题的最优解。
θi
CB XB
b
x1 x2
x3
x4
x5
x6
6 x2 88/23 0 1 4/23 -3/23 0 0
5 x1 72/23 1 0 -3/23 8/23 0 0
-M x6 4 1 0 0 0 -1 1
c j– z j
2021精选ppt
第43页
将 x1 的系数列向量变为单位向量，并计算检验数
cj
5
CB XB
第8页
整数线性规划
松弛问题
n
max( 或 min) z c j x j j1
n
a ij x j ( 或 ， )b i , i 1 ,..., m
j1 x j 0 , j 1 ,..., n
x
1
,...,
x n中部分或全部取整数
n
max( 或 min) z c j x j j1
甚至也不一定是整数线性规划问题的可行解。
2021精选ppt
第15页
例：
mz a 2 xx 0 1 1x 0 2
5 x 1 4 x 2 24
2 x
x
1
1
,
x2
5x
2
0
13
x 1 , x 2 整 数
整数规划知识点总结
整数规划知识点总结一、整数规划基本概念整数规划是指决策变量的取值受到整数限制的线性规划问题。
数学形式可以表示为：\[\min c^Tx\]\[ s.t. Ax \leq b\]\[x\geq0 \]\[x_i \in \{0, 1, 2, ...\}\]其中，c为目标函数系数，x是决策变量，A是约束系数矩阵，b是约束条件的右端向量，决策变量x是整数。
当所有的决策变量都是整数时，称为纯粹整数规划（Pure Integer Programming）。
当部分决策变量为整数，部分为连续变量时，称为混合整数规划（Mixed Integer Programming, MIP）。
二、整数规划解法整数规划问题的求解可以采用分支定界法、割平面法、隐枚举法等不同方法。
下面将对常用的整数规划解法进行简要介绍。
1.分支定界法分支定界法是一种求整数规划解的有效方法，它通过对决策变量进行分支，将整数规划问题不断分解为子问题，然后采用线性规划方法求解子问题。
具体步骤如下：1）求解线性规划松弛问题，得到一个整数解。
2）若解为整数，则成为可行解，否则确定需要分支的决策变量，分为两个子问题。
3）对子问题继续重复上述过程，直到无法再分或求解出整数解为止。
2.割平面法割平面法是在分支定界法的基础上进行改进，它在每一次迭代求解线性规划松弛问题后，引入一些额外的不等式（割平面）来改进松弛问题的界。
这些割平面是通过分析整数规划问题的特性产生的，可以有效提高整数规划问题求解的效率。
3.隐枚举法隐枚举法是一种通过隐藏对决策变量的枚举，将整数规划问题转化为线性规划问题进行求解的方法。
该方法可以高效地求解整数规划问题，是一种常用的整数规划求解算法。
以上是整数规划常用的三种求解方法，通过不同的算法可以解决不同种类的整数规划问题。
三、整数规划应用领域整数规划在实际决策问题中有着广泛的应用，如生产计划、运输调度、项目投资、资源配置等诸多领域。
下面将对整数规划在不同应用领域的具体案例进行介绍。
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②分枝隐枚举法。
(iv)匈牙利法—解决指派问题(“0-1”规划特殊情形)。
(v)蒙特卡洛法—求解各种类型规划。
下面将简要介绍常用得几种求解整数规划得方法。
§2分枝定界法
对有约束条件得最优化问题(其可行解为有限数)得所有可行解空间恰当地进行系统搜索,这就就是分枝与定界内容。通常,把全部可行解空间反复地分割为越来越小得子集,称为分枝;并且对每个子集内得解集计算一个目标下界(对于最小值问题),这称为定界。在每次分枝后,凡就是界限超出已知可行解集目标值得那些子集不再进一步分枝,这样,许多子集可不予考虑,这称剪枝。这就就是分枝定界法得主要思路。
(1)
(2)
就合于上述得要求。这就是因为,由于(2),个中只有一个能取0值,设,代入(1),就只有得约束条件起作用,而别得式子都就是多余得。
3、1、3关于固定费用得问题(Fixed Cost Problem)
在讨论线性规划时,有些问题就是要求使成本为最小。那时总设固定成本为常数,并在线性规划得模型中不必明显列出。但有些固定费用(固定成本)得问题不能用一般线性规划来描述,但可改变为混合整数规划来解决,见下例。
定界,以每个后继问题为一分枝标明求解得结果,与其它问题得解得结果中,找出最优目标函数值最大者作为新得上界。从已符合整数条件得各分支中,找出目标函数值为最大者作为新得下界,若无作用。
第二步:比较与剪枝,各分枝得最优目标函数中若有小于者,则剪掉这枝,即以后不再考虑了。若大于,且不符合整数条件,则重复第一步骤。一直到最后得到为止。得最优整数解。
1o变量全限制为整数时,称纯(完全)整数规划。
2o变量部分限制为整数得,称混合整数规划。
1.2整数规划特点
(i)原线性规划有最优解,当自变量限制为整数后,其整数规划解出现下述情况:
①原线性规划最优解全就是整数,则整数规划最优解与线性规划最优解一致。
②整数规划无可行解。
例1原线性规划为
其最优实数解为:。
分枝定界法可用于解纯整数或混合得整数规划问题。在本世纪六十年代初由Land Doig与Dakin等人提出得。由于这方法灵活且便于用计算机求解,所以现在它已就是解整数规划得重要方法。目前已成功地应用于求解生产进度问题、旅行推销员问题、工厂选址问题、背包问题及分配问题等。
设有最大化得整数规划问题,与它相应得线性规划为问题,从解问题开始,若其最优解不符合得整数条件,那么得最优目标函数必就是得最优目标函数得上界,记作;而得任意可行解得目标函数值将就是得一个下界。分枝定界法就就是将得可行域分成子区域得方法。逐步减小与增大,最终求到。现用下例来说明:
解题时先引入变量
令
、
于就是问题可列写成:
3、1、2相互排斥得约束条件
有两个相互排斥得约束条件
或。
为了统一在一个问题中,引入变量,则上述约束条件可改写为:
其中就是充分大得数。
约束条件
或
可改写为
如果有个互相排斥得约束条件:
为了保证这个约束条件只有一个起作用,我们引入个变量与一个充分大得常数,而下面这一组个约束条件
,
因为4与5之间无整数,故这两个子集得整数解必与原可行集合整数解一致。这一步称为分枝。这两个子集得规划及求解如下:
问题:
最优解为:。
问题:
最优解为:。
再定界:。
(iii)对问题再进行分枝得问题与,它们得最优解为
再定界:,并将剪枝。
(iv)对问题再进行分枝得问题与,它们得最优解为
无可行解。
将剪枝。
于就是可以
规划中得变量(部分或全部)限制为整数时,称为整数规划。若在线性规划模型中,变量限制为整数,则称为整数线性规划。目前所流行得求解整数规划得方法,往往只适用于整数线性规划。目前还没有一种方法能有效地求解一切整数规划。
1.2整数规划得分类
如不加特殊说明,一般指整数线性规划。对于整数线性规划模型大致可分为两类:
§3型整数规划
型整数规划就是整数规划中得特殊情形,它得变量仅取值0或1。这时称为变量,或称二进制变量。仅取值0或1这个条件可由下述约束条件:
,整数
所代替,就是与一般整数规划得约束条件形式一致得。在实际问题中,如果引入变量,就可以把有各种情况需要分别讨论得线性规划问题统一在一个问题中讨论了。我们先介绍引入变量得实际问题,再研究解法。
从以上解题过程可得用分枝定界法求解整数规划(最大化)问题得步骤为:
开始,将要求解得整数规划问题称为问题,将与它相应得线性规划问题称为问题。
(i)解问题可能得到以下情况之一:
(a)没有可行解,这时也没有可行解,则停止.
(b)有最优解,并符合问题得整数条件,得最优解即为得最优解,则停止。
(c)有最优解,但不符合问题得整数条件,记它得目标函数值为。
(ii)用观察法找问题得一个整数可行解,一般可取,试探,求得其目标函数值,并记作。以表示问题得最优目标函数值;这时有
进行迭代。
第一步:分枝,在得最优解中任选一个不符合整数条件得变量,其值为,以表示小于得最大整数。构造两个约束条件
与
将这两个约束条件,分别加入问题,求两个后继规划问题与。不考虑整数条件求解这两个后继问题。
3、1引入变量得实际问题
3、1、1投资场所得选定——相互排斥得计划
例4某公司拟在市东、西、南三区建立门市部。拟议中有7个位置(点)可供选择。规定
在东区。由三个点中至多选两个;
在西区。由两个点中至少选一个;
在南区,由两个点中至少选一个。
如选用点,设备投资估计为元,每年可获利润估计为元,但投资总额不能超过元。问应选择哪几个点可使年利润为最大？
例3求解下述整数规划
解(i)先不考虑整数限制,即解相应得线性规划,得最优解为:
可见它不符合整数条件。这时就是问题得最优目标函数值得上界,记作。而显然就是问题得一个整数可行解,这时,就是得一个下界,记作,即。
(ii)因为当前均为非整数,故不满足整数要求,任选一个进行分枝。设选进行分枝,把可行集分成2个子集:
③有可行解(当然就存在最优解),但最优解值变差。
例2原线性规划为
其最优实数解为:。
若限制整数得:。
(ii)整数规划最优解不能按照实数最优解简单取整而获得。
1、3求解方法分类:
(i)分枝定界法—可求纯或混合整数线性规划。
(ii)割平面法—可求纯或混合整数线性规划。
(iii)隐枚举法—求解“0-1”整数规划: