反比例函数与相似的综合

反比例函数与相似的综合题型一利用平行线构造A型或X型相似

1．（2020•鞍山一模）如图，点A在双曲线y=3

x上，点B在双曲线y=

k

x（k≠0）上，AB∥x轴，过点A作

AD⊥x轴于D．连接OB，与AD相交于点C，若AC=3

2CD，则k的值为

15

2

．

【解析】解：设点A的坐标为（a，3

a ），则点B的坐标为（

ak

3

，

3

a

），∵AB∥x轴，

∴∠BAC＝∠ODC，∠ACB＝∠DCO，∴AB

OD =

AC

DC

，∵AC=

3

2CD，∴

AB

DO

=

3

2

，∵OD＝a，

∴AB＝1.5a，∴点B的横坐标是2.5a，∴2.5a=ak

3，解得，k=

15

2，故答案为：

15

2

．

2．（220•黔东南州）如图，已知点A，B分别在反比例函数y1=−2

x和y2=

k

x的图象上，若点A是线段OB的

中点，则k的值为﹣8．

【解析】解：设A（a，b），则B（2a，2b），∵点A在反比例函数y1=−2

x的图象上，

∴ab＝﹣2；∵B点在反比例函数y2=k

x的图象上，∴k＝2a•2b＝4ab＝﹣8．故答案是：﹣8．

题型二 利用平行线构造相似

3．（2020•柯桥区一模）如图，已知B 、A 分别在反比例函数y =−9

x

，y =k x

上，当AO ⊥BO 时，BO ：AO ＝3：4，则k ＝ 16 ．

【解析】解：设点A 的坐标为（a ，k

a

），点B 的坐标为（b ，−9

b ），作BC ⊥x 轴于点C ，作AD ⊥x 轴于

点D ，

∵∠AOB ＝90°，∠BOC +∠OBC ＝90°，∴∠BOC +∠AOD ＝90°，∴∠BOC ＝∠OAD ，

∵∠BCO ＝∠ODA ＝90°，BO ：AO ＝3：4，∴△BOC ∽△OAD ，∴

OC

AD

=

BC OD

=

OB AO

，即

−b

k a

=

−

9

b

a

=3

4

，

解得，k ＝16，故答案为：16．

4．（2020•历下区期中）如图，在平面直角坐标系中，等边三角形OAB 的顶点A 的坐标为（5，0），顶点B 在第一象限，函数y =k

x （x ＞0）的图象分别交边OA 、AB 于点C 、D ．若OC ＝2AD ，则k ＝ 4√3

【解析】解：如图，过C 作CE ⊥x 轴于E ，过D 作DF ⊥x 轴于F ，则∠CEO ＝∠DF A ＝90°，

又∵∠COE ＝∠DAF ＝60°，∴△COE ∽△DAF ，又∵OC ＝2AD ，∴DF =12CE ，AF =1

2OE ，

设OE ＝a ，则CE =√3a ，∴AF =12

a ，DF =

√3

2

a ，∴C （a ，√3a ），D （5−1

2

a ，

√32

a ）， ∵函数y =k x

（x ＞0）的图象分别交边OA 、AB 于点C 、D ，

∴a •√3a ＝（5−12

a ）•

√3

2

a ，解得a ＝2， ∴C （2，2√3），∴k ＝2×2√3=4√3，故答案为4√3．

5．（2020•如东县一模）如图，点A （1，n ）和点B 都在反比例函数y =k

x （x ＞0）的图象上，若∠OAB ＝90°，

OA AB

=2

3

，则k 的值是 2 ．

【解析】解：如图，过A 作AC ⊥x 轴，过B 作BD ⊥AC 于D ，

则∠ACO ＝∠BDA ＝90°，OC ＝1，AC ＝n ，∵∠BAO ＝90°，∴∠CAO +∠BAC ＝∠ABD +∠BAC ＝90°，∴∠CAO ＝∠DBA ，∴△AOC ∽△BAD ，

∴AD OC

=

BD AC

=AB OA

，即AD 1

=

BD n

=32

，∴AD =3

2，BD =3

2n ，∴B （1+3

2n ，n −3

2），∵k ＝1×n ＝（1+3

2n ）

（n −3

2），解得n ＝2或n ＝﹣0.5（舍去），∴k ＝1×2＝2故答案为：2．

6．（2020•泗阳县一模）如图，点A在反比例函数y=3

x

(x＞0)上，以OA为边作正方形OABC，边AB交y

轴于点P，若PB：P A＝2：1，则正方形OABC的边长AB＝√10．

【解析】解：由题意可得，OA＝AB，设AP＝a，则BP＝2a，OA＝3a，设点A的坐标为（m，3

m

），作AE⊥x轴于点E，

∵∠P AO＝∠OEA＝90°，∠POA+∠AOE＝90°，∠AOE+∠OAE＝90°，

∴∠POA＝∠OAE，∴△POA∽△OAE，∴AP

AO =

OE

EA

，即

a

3a

=

m

3

m

，

解得，m＝1或m＝﹣1（舍去），∴点A的坐标为（1，3），∴OA=√10，故答案为：√10．巩固练习

1．（2020•滨州模拟）如图，点A在双曲线y=4

x上，点B在双曲线y=

k

x（k≠0）上，AB∥x轴，过点A作

AD⊥x轴于D．连接OB，与AD相交于点C，若AC＝2CD，则k的值为12．

【解析】解：设点A的坐标为（a，4

a ），则点B的坐标为（

ak

4

，

4

a

），∵AB∥x轴，AC＝2CD，∴∠BAC

＝∠ODC，∵∠ACB＝∠DCO，∴△ACB∽△DCO，∴AB

OD =

AC

DC

，∴

AB

OD

=

2

1

，

∵OD＝a，则AB＝2a，∴点B的横坐标是3a，∴3a=ak

4，解得，k＝12，故答案为：12．