专题：反比例函数与相似综合
中考反比例函数与几何综合
Oy xBAABxy O反比例函数与几何综合基本图形及常见结论 （1） 反比例函数)0(≠=k xky 图象上任一点，向两坐标轴作垂线，垂线与坐标轴；所围k S =矩形（2）反比例函数)0(≠=k xky 图象上任一点，向两坐标轴作垂线，垂线与坐标轴及原点连线；所围2k S =三角形（3）反比例函数与正比例函数图像交于A ，B 两点，AM 与x 轴垂直； 则：①A ，B 两点关于原点对称；②k S ABM =△（4）过反比例函数xk y 11=图像上任一点向坐标轴做垂线，与反比例函数)(2122k k xk y ＞=交于两点； 则：①BNBP AM AP =,即AB ∥MN②21k k S APNH -=矩形③）（△2121k k S OAP -=一次函数)0(≠+=kb b kx y 和反比例函数)0(≠=m xmy 图像交于A 、B 两点，AE ⊥x 轴，BF ⊥y 轴，则：①OAE OBF S S △△= ② OAB ABFE S S △梯形=③AC BD =④BFAEOE OF AE OE BF OF =⇒⋅=⋅ ⑤OACOBD S S △△=（一）巧用k 的几何意义解题y x ABO CDy xDC F EO B A例1．函数y=和y=在第一象限内的图象如图，点P 是y=的图象上一动点，PC ⊥x 轴于点C ，交y=的图象于点B ．给出如下结论：①△ODB 与△OCA 的面积相等；②PA 与PB 始终相等；③四边形PAOB 的面积大小不会发生变化；④CA=AP ．其中所有正确结论的序号是________。
迁移练习1（1）.如图，双曲线)0x (k>=xy 经过Rt △OAB 斜边OB 的中点D ，与AB 交于点C ．若△OBC 面积为3，则k ＝_______迁移练习1（2）..双曲线)0x (k>=xy 经过矩形OABC 边AB 的中点F ，交BC 于点E ； 若梯形OEBA 的面积为9，则k=________。
反比例函数的图像和性质的综合应用
解析
根据题意，将点 A（-2 ，3）和点 B（3，-2 ）分别代入两个函数中 ，得到关于 m、k、b 的方程组，解方程组求 得 m、k、b 的值，即 可得到两个函数的解析
式。
05
反比例函数在几何图形中应用
相似三角形判定定理推广
预备定理
平行于三角形的一边，并且和 其他两边相交的线段，所截得 的三角形的三边与原三角形三 边对应成比例。
反比例函数图像在平面直角坐标系中 ，沿y轴方向平移，函数表达式不变， 图像沿y轴平移。
伸缩变换规律
01
当k>0时，图像分别位于第一、三象限，每一个象限内，从 左往右，y随x的增大而减小；
02
当k<0时，图像分别位于第二、四象限，每一个象限内，从 左往右，y随x的增大而增大。
03
k>0时，函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数； k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。
3
平行四边形面积问题
通过已知相邻两边及其夹角求解面积，或已知面 积和一边长度及夹角求解另一边长度，应用反比 例函数进行求解。
速度、时间、距离关系分析
匀速直线运动问题
通过已知速度和时间求解距离，或已 知距离和时间求解速度，利用反比例 关系建立方程。
变速直线运动问题
曲线运动问题
通过已知速度和方向的变化规律，求 解某时刻的速度或某段时间内的平均 速度及运动轨迹，结合反比例函数进 行综合分析。
解析
根据题意，将点（-2， -1）代入两个函数中， 得到关于 k、m、n 的 方程组，解方程组求得 k、m、n 的值，即可 得到两个函数的解析式 。再将 x = 3 代入两个 函数中，得到关于 k、 m、n 的另一个方程， 与前面的方程组联立求 解，即可得到最终的解
(完整版)专题：反比例函数与相似综合
中考数学专题复习：反比例函数与相似的综合题【考点分析】近几年的中考数学题中，对于反比例函数与几何图形的结合的考查力度明显加大，主要考查：①平面直角坐标系中，如何把线段转化为坐标，坐标转化为含有字母的代数式, 进而进行代数计算；②反比例函数与相似图形的综合题；③反比例函数与几何图形的平移。
【专题攻略】在平面直角坐标系中，反比例函数与几何图形的综合题，最基本的解决方法是：由点的坐标求相关线段的长度，根据相关线段的长度表示点的坐标。
这类题在解答时要求我们要熟练运用数学基础知识，还要能灵活运用数形结合、转化、待定系数、分类讨论等基本数学思想和方法。
【课前训练】k1、如图，面积为3的矩形OABC勺一个顶点B在反比例函数y 的图象上，另三点在坐x标轴上，则k= .交于点0若厶OBA的面积为6，则k =k4、如图，已知双曲线y -(k>0)经过直角三角形OAB斜边X交于点0若厶OBC勺面积为3，贝y k = ______________3、如图，已知双曲线第3、4题X轴于B点，若S A AOB = 3,则k =ky (k>0)经过直角三角形OAB斜边xOB的中点D,与直角边AB相OB的中点D,与直角边AB相【典型例题】(2010年广州中考第23题)已知反比例函数y= m__ (m为常数)的图象经过点A (- 1, 6).x(1)求m的值；(2)如图9，过点与x轴交于点C,（2014南沙区一模）如图，已知直线y 4 x与反比例函数y m m>0, x > 0的图象x交于A、B两点，与x轴、y轴分别相交于C、D两点.（1）若点A的横坐标为1,求m的值并利用函数图象求关于x的不等式4 x< m的解集;x（2）是否存在以AB为直径的圆经过点P（1，0）？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.1、（ 2013?宁波）如图，等腰直角三角形 / BCA=90 ° AC=BC=2 典，反比例函数与AB , BC 交于点D , E .连结。
专题九-反比例函数与几何的综合应用
在物理学中，一些物理量之间可能存在反比例关系，如电阻与电流、压力与面积等。通过运用反 比例函数的性质，可以更好地理解和解决这些物理问题。
反比例函数在经济学中的应用
在经济学中，一些经济指标之间可能存在反比例关系，如价格与需求量、成本与产量等。通过运 用反比例函数的性质，可以对这些经济指标进行更准确的预测和分析。
如长度、面积等。
利用反比例函数性质建立关系
02
根据反比例函数的性质，结合几何图形的特点，建立所求最值
与相关量之间的关系。
求解最值
03
通过求解反比例函数的最值，得到所求几何量的最值。
判定存在性问题
根据题意列出方程或不等式
01
根据题目条件，列出与几何图形相关的方程或不等式
。
利用反比例函数性质分析解的情况
反比例关系在圆中的应用
在圆中，当一个圆的半径增加时，其 面积会按平方比例增加，但其周长只 会按线性比例增加。这种关系虽然不 是严格的反比例关系，但也可以用于 解决一些与圆相关的问题。
解题技巧与实例分析
通过利用圆的性质和上述关系， 可以求解一些与圆相关的问题。 例如，已知一个圆的半径和另一 个圆的面积或周长，可以求解未 知圆的半径或面积等。
仔细阅读题目要求，明确题意 ，避免答非所问。
合理安排答题顺序
先做易做的题目，确保会做的 题目不丢分，再攻克难题。
控制答题时间
每道题目分配合理的时间，避 免时间不够用或浪费过多时间
。
检查答案
做完题目后要认真检查答案， 确保没有遗漏或错误。
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解题技巧与实例分析
对于其他几何图形中的反比例关系问题，可以通过设定未知数、利用几何图形的性质和反比例关系来求解。 需要注意的是，在解题过程中要仔细分析题目条件和数据特点，选择合适的解题方法和思路。
(完整版)专题：反比例函数与相似综合
中考数学专题复习：反比例函数与相似的综合题【考点分析】近几年的中考数学题中，对于反比例函数与几何图形的结合的考查力度明显加大，主要考查：①平面直角坐标系中，如何把线段转化为坐标，坐标转化为含有字母的代数式, 进而进行代数计算；②反比例函数与相似图形的综合题；③反比例函数与几何图形的平移。
【专题攻略】在平面直角坐标系中，反比例函数与几何图形的综合题，最基本的解决方法是：由点的坐标求相关线段的长度，根据相关线段的长度表示点的坐标。
这类题在解答时要求我们要熟练运用数学基础知识，还要能灵活运用数形结合、转化、待定系数、分类讨论等基本数学思想和方法。
【课前训练】k1、如图，面积为3的矩形OABC勺一个顶点B在反比例函数y 的图象上，另三点在坐x标轴上，则k= .交于点0若厶OBA的面积为6，则k =k4、如图，已知双曲线y -(k>0)经过直角三角形OAB斜边X交于点0若厶OBC勺面积为3，贝y k = ______________3、如图，已知双曲线第3、4题X轴于B点，若S A AOB = 3,则k =ky (k>0)经过直角三角形OAB斜边xOB的中点D,与直角边AB相OB的中点D,与直角边AB相【典型例题】(2010年广州中考第23题)已知反比例函数y= m__ (m为常数)的图象经过点A (- 1, 6).x(1)求m的值；(2)如图9，过点与x轴交于点C,（2014南沙区一模）如图，已知直线y 4 x与反比例函数y m m>0, x > 0的图象x交于A、B两点，与x轴、y轴分别相交于C、D两点.（1）若点A的横坐标为1,求m的值并利用函数图象求关于x的不等式4 x< m的解集;x（2）是否存在以AB为直径的圆经过点P（1，0）？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.1、（ 2013?宁波）如图，等腰直角三角形 / BCA=90 ° AC=BC=2 典，反比例函数与AB , BC 交于点D , E .连结。
初中数学中考复习 备战2020年中考数学一轮专项复习——反比例函数综合问题(含详细解答)
备战2020年中考数学一轮专项复习——反比例函数综合问题一、反比例函数的概念：知识要点：1、一般地，形如 y = x k ( k 是常数, k = 0 ) 的函数叫做反比例函数。
注意：（1）常数 k 称为比例系数，k 是非零常数；（2）解析式有三种常见的表达形式：（A ）y = xk （k ≠ 0） ； （B ）xy = k （k ≠ 0）； （C ）y=kx -1（k ≠0） 二、反比例函数的图象和性质：知识要点：1、形状：图象是双曲线。
2、位置：（1）当k>0时,双曲线分别位于第一、三象限内；（2）当k<0时, 双曲线分别位于第二、四象限内。
3、增减性：（1）当k>0时,y = xk （k ≠ 0）为减函数,y 随x 的增大而减小； （2）当k<0时,y = xk （k ≠ 0）为增函数,y 随x 的增大而增大。
4、变化趋势：双曲线无限接近于x 、y 轴,但永远不会与坐标轴相交5、对称性：（1）对于双曲线本身来说，它的两个分支关于直角坐标系原点成中心对称；（2）对于k 取互为相反数的两个反比例函数（如：y =x 6 和y = x 6 ）来说，它们是关于x 轴，y 轴成轴对称。
一、选择题：1．下列函数，①y ＝2x ，②y ＝x ，③y ＝x ﹣1，④y ＝是反比例函数的个数有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个【分析】根据反比例函数的定义，反比例函数的一般式是（k ≠0）判定则可． 【解析】①y ＝2x 是正比例函数；②y ＝x 是正比例函数；③y ＝x ﹣1是反比例函数；④y＝不是反比例函数，是反比例关系；所以共有1个．故选：B．2．（2019•济南）函数y＝﹣ax+a与y＝（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【解析】a＞0时，﹣a＜0，y＝﹣ax+a在一、二、四象限，y＝在一、三象限，无选项符合．a＜0时，﹣a＞0，y＝﹣ax+a在一、三、四象限，y＝（a≠0）在二、四象限，只有D符合；故选：D．3．如图，过原点的直线l与反比例函数y＝﹣的图象交于M，N两点，根据图象猜想线段MN的长的最小值是（）A．B．2C．2 D．1【分析】设N的横坐标是a，则纵坐标是﹣，利用a即可表示出ON的长度，然后根据不等式的性质即可求解．【解析】设N的横坐标是a，则纵坐标是﹣．则OM＝ON＝≥．则MN的最小值是2．故选：B．4．（2019•阜新）如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，点C在y 轴上，则△ABC的面积为（）A．3 B．2 C．D．1【解析】连结OA，如图，∵AB⊥x轴，∴OC∥AB，∴S△OAB＝S△CAB，而S△OAB＝|k|＝，∴S△CAB＝，故选：C．5．（2019•遵义）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为4，2，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过A，B两点，若菱形ABCD的面积为2，则k的值为（）A．2 B．3 C．4 D．6【解析】过点A作x轴的垂线，交CB的延长线于点E，∵A，B两点在反比例函数y＝（x＞0）的图象，且纵坐标分别为4，2，∴A（，4），B（，2），∴AE＝2，BE＝k﹣k＝k，∵菱形ABCD的面积为2，∴BC×AE＝2，即BC＝，∴AB＝BC＝，在Rt△AEB中，BE＝＝1∴k＝1，∴k＝4．故选：C．6．如图，在菱形ABOC中，∠ABO＝120°，它的一个顶点C在反比例函数y＝的图象上，若将菱形向下平移2个单位，点A恰好落在函数图象上，则该反比函数的表达式为（）A．y＝﹣B．y＝﹣C．y＝﹣D．y＝﹣【分析】点C作CD⊥x轴于D，设菱形的边长为a，根据菱形的性质和三角函数分别表示出C，以及点A向下平移2个单位的点，再根据反比例函数图象上点的坐标特征得到方程组求解即可．【解析】过点C作CD⊥x轴于D，设菱形的边长为a，在Rt△CDO中，OD＝a•cos60°＝a，CD＝a•sin60°＝a，则C（﹣a，a），点A向下平移2个单位的点为（﹣a﹣a，a﹣2），即（﹣a，a﹣2），则，解得．故反比例函数解析式为y＝﹣．故选：B．7.（2019•淄博）如图，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3，…是分别以A1，A2，A3，…为直角顶点，一条直角边在x 轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点C1（x1，y1），C2（x2，y2），C3（x3，y3），…均在反比例函数y ＝（x＞0）的图象上．则y1+y2+…+y10的值为（）A．2B．6 C．4D．2【解析】过C1、C2、C3…分别作x轴的垂线，垂足分别为D1、D2、D3…其斜边的中点C1在反比例函数y＝，∴C（2，2）即y1＝2，∴OD1＝D1A1＝2，设A1D2＝a，则C2D2＝a此时C2（4+a，a），代入y＝得：a（4+a）＝4，解得：a＝，即：y2＝，同理：y3＝，y 4＝，……∴y1+y2+…+y10＝2+++……＝，故选：A．8．如图，已知点A，B在双曲线y＝（x＞0）上，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D，AC与BD交于点P，P 是AC的中点．若△ABP的面积为4，则k的值为（）．A．16 B．8 C．4 D．24【分析】由△ABP的面积为4，知BP•AP＝8．根据反比例函数y＝中k的几何意义，知本题k＝OC•AC，由反比例函数的性质，结合已知条件P是AC的中点，得出OC＝BP，AC＝2AP，进而求出k的值．【解答】解：∵△ABP 的面积为•BP •AP ＝4，∴BP •AP ＝8，∵P 是AC 的中点，∴A 点的纵坐标是B 点纵坐标的2倍，又∵点A 、B 都在双曲线y ＝（x ＞0）上，∴B 点的横坐标是A 点横坐标的2倍，∴OC ＝DP ＝BP ，∴k ＝OC •AC ＝BP •2AP ＝16．故选A.二、填空题：9.（2019山西）如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，菱形ABCD 的顶点B 在x 轴的正半轴上，点A 坐标为（-4,0），点D 的坐标为（-1,4），反比例函数)0(>=x xk y 的图象恰好经过点C ，则k 的值为 .【解析】过点D 作DE ⊥AB 于点E ，则AD=5，∵四边形ABCD 为菱形，∴CD=5∴C （4,4），将C 代入x k y =得：44k =，∴16=k10．（2019遂宁中考 第15题 4分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 落在坐标原点，点A 、点C 分别位于x 轴，y 轴的正半轴，G 为线段OA 上一点，将△OCG 沿CG 翻折，O 点恰好落在对角线AC 上的点P 处，反比例函数y ＝经过点B ．二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象经过C （0，3）、G 、A 三点，则该二次函数的解析式为 ．（填一般式）【解析】点C （0，3），反比例函数y ＝经过点B ，则点B （4，3），则OC ＝3，OA ＝4，∴AC ＝5，设OG ＝PG ＝x ，则GA ＝4﹣x ，PA ＝AC ﹣CP ＝AC ﹣OC ＝5﹣3＝2， 由勾股定理得：（4﹣x ）2＝4+x 2，解得：x ＝，故点G （，0），将点C 、G 、A 坐标代入二次函数表达式得：，解得：，故答案为：y ＝x 2﹣x +3． 11．如图，已知点(1，3)在函数y ＝kx (x >0)的图象上，正方形ABCD 的边BC 在x 轴上，点E 是对角线BD 的中点，函数y ＝kx(x >0)的图象又经过A ，E 两点，则点E 的横坐标为____．【解析】 把(1，3)代入到y ＝kx，得k ＝3， 所以函数解析式为y ＝3x. 设A (a ，b )，根据图象和题意可知，点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，b 2.因为y ＝3x 的图象经过A ，E ，所以分别把点A 和E 代入到函数解析式中得 ab ＝3，①b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＝3，② 由②得ab 2＋b 24＝3，把①代入得32＋b 24＝3， 即b 2＝6，解得b ＝±6，因为A 在第一象限，所以b ＞0，所以b ＝ 6.把b ＝6代入①求得a ＝62， 所以点E 的横坐标为a ＋b 2＝ 6.故答案为 6. 12．如图，Rt △AOB 中，∠OAB ＝90°，∠OBA ＝30°，顶点A 在反比例函数y ＝图象上，若Rt △AOB 的面积恰好被y 轴平分，则进过点B 的反比例函数的解析式为 ．【分析】分别过A 、B 作AE ⊥x 轴于E ，BD ⊥y 轴交AE 于F ．设A （a ，b ），则ab ＝﹣4．根据两角对应相等的两三角形相似，得出△OAE ∽△ABF ，由相似三角形的对应边成比例，则BD 、OD 都可用含a 、b 的代数式表示，从而求出B 的坐标，进而得出结果．【解析】分别过A 、B 作AE ⊥x 轴于E ，BD ⊥y 轴交AE 于F ．设A （a ，b ）．∵顶点A 在反比例函数y ＝图象上，∴ab＝﹣4．∵∠OAB＝90°，∠OAE＝90°﹣∠BAF＝∠ABF，∠OEA＝∠BFA＝90°，∴△OAE∽△ABF，∴OA：AB＝OE：AF＝AE：BF，在Rt△AOB中，∠AOAB＝90°，∠OBA＝30°，∴OA：AB＝1：，∴﹣a：AF＝b：BF＝1：，∴AF＝﹣，BF＝b，∵Rt△AOB的面积恰好被y轴平分，∴AC＝BC，∴BD＝DF＝BF＝﹣a，OD＝AE+AF＝b﹣a，∴b＝﹣a，∴A（﹣b，b），B（b，b﹣）∴﹣b•b＝﹣4，∴b2＝，∴k＝b（b﹣）＝b2﹣ab＝10，故答案为：10．13．如图， △OAP ，△ABQ 是等腰直角三角形，点P ，Q 在反比例函数y ＝4x (x ＞0)上，直角顶点A ，B 均在x 轴上，则点Q 的坐标为 ．【解析】 ∵△OAP 是等腰直角三角形，∴PA ＝OA .∴设P 点的坐标是(a ，a )，把(a ，a )代入解析式y ＝4x，解得a ＝2(a ＝－2舍去)， ∴P 的坐标是(2，2)，∴OA ＝2，∵△ABQ 是等腰直角三角形，∴BQ ＝AB ，∴可以设Q 的纵坐标是b ，∴横坐标是b ＋2，把Q 的坐标代入解析式y ＝4x， 得b ＝4b ＋2，∴b ＝5－1(b ＝－5－1舍去)，∴点Q 的坐标为(5＋1，5－1)．14．（2019•毕节市）如图，在平面直角坐标中，一次函数y ＝﹣4x +4的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点．正方形ABCD 的顶点C 、D 在第一象限，顶点D 在反比例函数y ＝（k ≠0）的图象上．若正方形ABCD 向左平移n 个单位后，顶点C 恰好落在反比例函数的图象上，则n 的值是 ．【解析】过点D 作DE ⊥x 轴，过点C 作CF ⊥y 轴，∵AB ⊥AD ，∴∠BAO ＝∠DAE ，∵AB ＝AD ，∠BOA ＝∠DEA ，∴△ABO ≌△DAE （AAS ），∴AE ＝BO ，DE ＝OA ，易求A （1，0），B （0，4），∴D （5，1），∵顶点D 在反比例函数y ＝上，∴k ＝5，∴y ＝，易证△CBF ≌△BAO （AAS ），∴CF ＝4，BF ＝1，∴C （4，5），∵C 向左移动n 个单位后为（4﹣n ，5），∴5（4﹣n ）＝5，∴n ＝3，故答案为3；三、解答题15．如图，一次函数y ＝kx ＋2的图象与反比例函数y ＝m x的图象在第一象限的交点为P .PA 垂直x 轴于点A .PB 垂直y 轴于点B .函数y ＝kx ＋2的图象分别交x 轴，y 轴于点C ，D .已知DB ＝2OD ，△PBD 的面积S △PBD ＝4.(1)求点D 的坐标；(2)求k ，m 的值；(3)写出当x ＞0时，使一次函数y ＝kx ＋2的值大于反比例函数y ＝m x的值的x 的取值范围．【解析】(1)在y ＝kx ＋2中，令x ＝0，得y ＝2，所以点D (0，2)．(2)因为OD ＝2，DB ＝2OD ＝4，由S △PBD ＝4，可得BP ＝2，而OB ＝OD ＋DB ＝6，所以点P (2，6)．将P (2，6)分别代入y ＝kx ＋2与y ＝mx，可得 k ＝2，m ＝12.(3) 由图象可知，当x ＞0时，使一次函数y ＝kx ＋2的值大于反比例函数y ＝mx的值的x 的取值范围是x ＞2.16．（2019遂宁中考 第23题 10分）如图，一次函数y ＝x ﹣3的图象与反比例函数y ═（k ≠0）的图象交于点A 与点B （a ，﹣4）．（1）求反比例函数的表达式；（2）若动点P 是第一象限内双曲线上的点（不与点A 重合），连接OP ，且过点P 作y 轴的平行线交直线AB于点C，连接OC，若△POC的面积为3，求出点P的坐标．【解析】（1）将B（a，﹣4）代入一次函数y＝x﹣3中得：a＝﹣1∴B（﹣1，﹣4）将B（﹣1，﹣4）代入反比例函数y═（k≠0）中得：k＝4∴反比例函数的表达式为y＝；（2）如图：设点P的坐标为（m，）（m＞0），则C（m，m﹣3）∴PC＝|﹣（m﹣3）|，点O到直线PC的距离为m∴△POC的面积＝m×|﹣（m﹣3）|＝3解得：m＝5或﹣2或1或2∵点P不与点A重合，且A（4，1）∴m≠4又∵m＞0∴m＝5或1或2∴点P的坐标为（5，）或（1，4）或（2，2）．17．（2019•河池）在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点坐标为A（0，0），B（6，0），C（6，8），D（0，8），AC，BD交于点E．（1）如图（1），双曲线y＝过点E，直接写出点E的坐标和双曲线的解析式；（2）如图（2），双曲线y＝与BC，CD分别交于点M，N，点C关于MN的对称点C′在y轴上．求证△CMN～△CBD，并求点C′的坐标；（3）如图（3），将矩形ABCD向右平移m（m＞0）个单位长度，使过点E的双曲线y＝与AD交于点P．当△AEP为等腰三角形时，求m的值．【解析】（1）如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴DE＝EB，∵B（6，0），D（0，8），∴E（3，4），∵双曲线y＝过点E，∴k1＝12．∴反比例函数的解析式为y＝．（2）如图2中，∵点M，N在反比例函数的图象上，∴DN•AD＝BM•AB，∵BC＝AD，AB＝CD，∴DN•BC＝BM•CD，∴＝，∴＝，∴＝，∵∠MCN＝∠BCD，∴△MCN∽△BCD，∴∠CNM＝∠CDB，∴MN∥BD，∴△CMN∽△CBD．∵B（6，0），D（0，8），∴直线BD的解析式为y＝﹣x+8，∵C，C′关于MN对称，∴CC′⊥MN，∴CC′⊥BD，∵C（6，8），∴直线CC′的解析式为y＝x+，∴C′（0，）．（3）如图3中，①当AP＝AE＝5时，∵P（m，5），E（m+3，4），P，E在反比例函数图象上，∴5m＝4（m+3），∴m＝12．②当EP＝AE时，点P与点D重合，∵P（m，8），E（m+3，4），P，E在反比例函数图象上，∴8m＝4（m+3），∴m＝3．③显然PA≠PE，若相等，则PE∥x轴，显然不可能．综上所述，满足条件的m的值为3或12．18．“六一”儿童节，小文到公园游玩．看到公园的一段人行弯道MN(不计宽度)如图，它与两面互相垂直的围墙OP，OQ之间有一块空地MPOQN(MP⊥OP，NQ⊥OQ)，他发现弯道MN上任意一点到两边围墙的垂线段与围墙所围成的矩形的面积都相等．比如：A，B，C是弯道MN上的三点，矩形ADOG、矩形BEOH、矩形CFOI 的面积相等．爱好数学的他建立了平面直角坐标系(如图)，图中三块阴影部分的面积分别记为S1，S2，S3，并测得S2＝6(单位：平方米)，OG＝GH＝HI.(1)求S1和S3的值；(2)设T(x，y)是弯道MN上的任一点，写出y关于x的函数解析式；(3)公园准备对区域MPOQN内部进行绿化改造，在横坐标、纵坐标都是偶数的点处种植花木(区域边界上的点除外)，已知MP＝2米，NQ＝3米．问一共能种植多少棵花木？【解析】(1)∵矩形ADOG 、矩形BEOH 、矩形CFOI 的面积相等，∴弯道为反比例函数图象的一部分．设反比例函数的解析式为y ＝k x (k ≠0)，OG ＝GH ＝HI ＝a ，则AG ＝k a ，BH ＝k 2a ，CI ＝k 3a .所以S 2＝k 2a •a －k 3a•a ＝6，解得k ＝36.所以S 1＝k a •a －k 2a •a ＝12k ＝12×36＝18，S 3＝k 3a •a ＝13k ＝13×36＝12；(2)由(1)得，弯道的函数解析式为y ＝36x .∵T(x ，y)是弯道MN 上的任一点，∴y ＝36x ；(3)∵MP ＝2，NQ ＝3，∴GM ＝362＝18，OQ ＝363＝12.∵在横坐标、纵坐标都是偶数的点处种植花木(区域边界上的点除外)，∴当x ＝2时，y ＝18，可以种8棵；当x ＝4时，y ＝9，可以种4棵；当x ＝6时，y ＝6，可以种2棵；当x ＝8时，y ＝4.5，可以种2棵；当x ＝10时，y ＝3.6，可以种1棵．故一共可以种8＋4＋2＋2＋1＝17(棵)花木．19、如图，已知反比例函数k y x=与一次函数y x b =+的图象在第一象限相交于点(1,4)A k -+． （1）试确定这两个函数的表达式；（2）求出这两个函数图象的另一个交点B 的坐标，并根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x 的取值范围．【解析】（1）∵已知反比例函数k y x =经过点(1,4)A k -+，∴41k k-+=，即4k k -+= ∴2k =∴A(1，2) ∵一次函数y x b =+的图象经过点A(1，2)，∴21b =+∴1b =∴反比例函数的表达式为2y x=， 一次函数的表达式为1y x =+。
反比例函数和相似三角形综合题(教师版)
反比例函数和相似三角形综合题1．如图，已知一次函数y=x﹣3与反比例函数y=的图象相交于点A（4，n），与x轴相交于点B．（1）求n与k的值；（2）以AB为边作菱形ABCD，使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，求点D的坐标；（3）观察反比例函数y=的图象，当y＞﹣2时，请直接写出自变量x的取值范围．2．如图，已知一次函数y1=k1x+b的图象与x轴、y轴分别交于A．B两点，与反比例函数y2=的图象分别交于C．D两点，点D（2，﹣3），OA=2．（1）求一次函数y1=k1x+b与反比例函数y2=的解析式；（2）直接写出k1x+b﹣≥0时自变量x的取值范围．（3）动点P（0，m）在y轴上运动，当|PC﹣PD|的值最大时，直接写出P点的坐标．3．如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点P（n，2），与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交雨点C，PB⊥x轴于点B，且AC=BC．（1）求一次函数、反比例函数解析式；（2）直接写出当＞kx+b时x的取值范围；（3）反比例函数图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形？如果存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图1，已知点A（a，0），B（0，b），且a、b满足+（a+b+3）2=0，▱ABCD 的边AD与y轴交于点E，且E为AD中点，双曲线y=经过C、D两点．（1）求k的值；（2）点P在双曲线y=上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，试求满足要求的所有点P、Q的坐标；（3）以线段AB为对角线作正方形AFBH（如图3），点T是边AF上一动点，M 是HT的中点，MN⊥HT，交AB于N，当T在AF上运动时，的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若不改变，请求出其值，并给出你的证明．5．如图1，直线y=﹣x+4与x轴交于点B，与y轴交于点C，交双曲线y=（x ＜0）于点N，S=10．△OBN（1）求双曲线的解析式．=，求点H的坐标．（2）已知点H是双曲线上一动点，若S△HON（3）如图2，平移直线BC交双曲线于点P，交直线y=﹣6于点Q，连接PC，QB，并延长PC，QB交于第一象限内一点G，若PG=GQ，求平移后的直线PQ的解析式．6．如图，点P是菱形ABCD对角线AC上的一点，连接DP并延长DP交边AB于点E，连接BP并延长交边AD于点F，交CD的延长线于点G．（1）求证：△APB≌△APD；（2）已知DF：FA=1：2，设线段DP的长为x，线段PF的长为y．①求y与x的函数关系式；②当x=6时，求线段FG的长．7．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，过点B的直线MN∥AC，D为BC边上一点，连接AD，作DE⊥AD交MN于点E，连接AE．（1）如图①，当∠ABC=45°时，求证：AD=DE；（2）如图②，当∠ABC=30°时，线段AD与DE有何数量关系？并请说明理由；（3）当∠ABC=α时，请直接写出线段AD与DE的数量关系．（用含α的三角函数表示）8．如图，四边形ABCD中，AC⊥BD交BD于点E，点F，M分别是AB，BC的中点，BN平分∠ABE交AM于点N，AB=AC=BD．连接MF，NF．（1）判断△BMN的形状，并证明你的结论；（2）判断△MFN与△BDC之间的关系，并说明理由．9．如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点G．①求证：BD⊥CF；②当AB=4，AD=时，求线段BG的长．一．解答题（共9小题）1．如图，已知一次函数y=x﹣3与反比例函数y=的图象相交于点A（4，n），与x轴相交于点B．（1）求n与k的值；（2）以AB为边作菱形ABCD，使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，求点D的坐标；（3）观察反比例函数y=的图象，当y＞﹣2时，请直接写出自变量x的取值范围．【分析】（1）把A点坐标代入一次函数解析式可求得n，则可求得A点坐标，代入反比例函数解析式则可求得k的值；（2）由一次函数解析式可先求得B点坐标，从而可求得AB的长，则可求得C 点坐标，利用平移即可求得D点坐标；（3）在y=中，当y＞﹣2时可求得对应的x的值，结合图象即可求得x的取值范围．【解答】解：（1）把A点坐标代入一次函数解析式可得n=×4﹣3=3，∴A（4，3），∵A点在反比例函数图象上，∴k=3×4=12；（2）在y=x﹣3中，令y=0可得x=2，∴B（2，0），∵A（4，3），∴AB==，∵四边形ABCD为菱形，且点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，∴BC=AB=，∴点C由点B向右平移个单位得到，∴点D由点A向右平移个单位得到，∴D（4+，3）；（3）由（1）可知反比例函数解析式为y=，令y=﹣2可得x=﹣6，结合图象可知当y＞﹣2时，x的取值范围为x＜﹣6或x＞0．2．如图，已知一次函数y1=k1x+b的图象与x轴、y轴分别交于A．B两点，与反比例函数y2=的图象分别交于C．D两点，点D（2，﹣3），OA=2．（1）求一次函数y1=k1x+b与反比例函数y2=的解析式；（2）直接写出k1x+b﹣≥0时自变量x的取值范围．（3）动点P（0，m）在y轴上运动，当|PC﹣PD|的值最大时，直接写出P点的坐标．【分析】（1）把点D的坐标代入反比例函数，利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式，作DE⊥x轴于E，根据题意求得A的坐标，然后利用待定系数法求得一次函数的解析式；（2）根据图象即可求得k1x+b﹣≥0时，自变量x的取值范围；（3）作C（﹣4，）关于y轴的对称点C'（4，），延长C'D交y轴于点P，由C'和D的坐标可得，直线C'D为y=x﹣，进而得到点P的坐标．【解答】解：（1）∵点D（2，﹣3）在反比例函数y2=的图象上，∴k2=2×（﹣3）=﹣6，∴y2=﹣；如图，作DE⊥x轴于E∵OA=2∴A（﹣2，0），∵A（﹣2，0），D（2，﹣3）在y1=k1x+b的图象上，，解得k1=﹣，b=﹣，∴y=﹣x﹣；（2）由图可得，当k1x+b﹣≥0时，x≤﹣4或0＜x≤2．（3）由，解得或，∴C（﹣4，），作C（﹣4，）关于y轴的对称点C'（4，），延长C'D交y轴于点P，∴由C'和D的坐标可得，直线C'D为y=x﹣，令x=0，则y=﹣，∴当|PC﹣PD|的值最大时，点P的坐标为（0，﹣）．3．如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点P（n，2），与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交雨点C，PB⊥x轴于点B，且AC=BC．（1）求一次函数、反比例函数解析式；（2）直接写出当＞kx+b时x的取值范围；（3）反比例函数图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形？如果存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）先根据题意得出P点坐标，再将A、P两点的坐标代入y=kx+b求出kb的值，故可得出一次函数的解析式，把点P（4，2）代入反比例函数y=即可得出m的值，进而得出结论；（2）利用图象法，写出反比例函数图象想一次函数图象的上方的自变量的取值范围即可；（3）根据PB为菱形的对角线与PC为菱形的对角线两种情况进行讨论即可．【解答】解：（1）∵AC=BC，CO⊥AB，A（﹣4，0），∴O为AB的中点，即OA=OB=4，∴P（4，2），B（4，0），将A（﹣4，0）与P（4，2）代入y=kx+b得：，解得：，∴一次函数解析式为y=x+1，将P（4，2）代入反比例解析式得：m=8，即反比例解析式为y=．（2）观察图象可知：＞kx+b时x的取值范围0＜x＜4．（3）如图所示，∵点C（0，1），B（4，0）∴BC==，PC=，∴以BC、PC为边构造菱形，当四边形BCPD为菱形时，∴PB垂直且平分CD，∵PB⊥x轴，P（4，2），∴点D（8，1）．把点D（8，1）代入y=，得左边=右边，∴点D在反比例函数图象上．，∵BC≠PB，∴以BC、PB为边不可能构造菱形，同理，以PC、PB为边也不可能构造菱形．综上所述，点D（8，1）．4．如图1，已知点A（a，0），B（0，b），且a、b满足+（a+b+3）2=0，▱ABCD的边AD与y轴交于点E，且E为AD中点，双曲线y=经过C、D两点．（1）求k的值；（2）点P在双曲线y=上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，试求满足要求的所有点P、Q的坐标；（3）以线段AB为对角线作正方形AFBH（如图3），点T是边AF上一动点，M 是HT的中点，MN⊥HT，交AB于N，当T在AF上运动时，的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若不改变，请求出其值，并给出你的证明．【分析】（1）先根据非负数的性质求出a、b的值，故可得出A、B两点的坐标，设D（1，t），由DC∥AB，可知C（2，t﹣2），再根据反比例函数的性质求出t的值即可；（2）由（1）知k=4可知反比例函数的解析式为y=，再由点P在双曲线y=上，点Q在y轴上，设Q（0，y），P（x，），再分以AB为边和以AB为对角线两种情况求出x的值，故可得出P、Q的坐标；（3）连NH、NT、NF，易证NF=NH=NT，故∠NTF=∠NFT=∠AHN，∠TNH=∠TAH=90°，MN=HT由此即可得出结论．【解答】解：（1）∵+（a+b+3）2=0，∴，解得：，∴A（﹣1，0），B（0，﹣2），∵E为AD中点，∴x D=1，设D（1，t），又∵DC∥AB，∴C（2，t﹣2），∴t=2t﹣4，∴t=4，∴k=4；（2）∵由（1）知k=4，∴反比例函数的解析式为y=，∵点P在双曲线上，点Q在y轴上，∴设Q（0，y），P（x，），①当AB为边时：如图1，若ABPQ为平行四边形，则=0，解得x=1，此时P1（1，4），Q1（0，6）；如图2，若ABQP为平行四边形，则=，解得x=﹣1，此时P2（﹣1，﹣4），Q2（0，﹣6）；②如图3，当AB为对角线时，AP=BQ，且AP∥BQ；∴，解得x=﹣1，∴P3（﹣1，﹣4），Q3（0，2）；故P1（1，4），Q1（0，6）；P2（﹣1，﹣4），Q2（0，﹣6）；P3（﹣1，﹣4），Q3（0，2）；（3）的值不发生改变，理由：如图4，连NH、NT、NF，∵MN是线段HT的垂直平分线，∴NT=NH，∵四边形AFBH是正方形，∴∠ABF=∠ABH，在△BFN与△BHN中，，∴△BFN≌△BHN，∴NF=NH=NT，∴∠NTF=∠NFT=∠AHN，四边形ATNH中，∠ATN+∠NTF=180°，而∠NTF=∠NFT=∠AHN，所以，∠ATN+∠AHN=180°，所以，四边形ATNH内角和为360°，所以∠TNH=360°﹣180°﹣90°=90°．∴MN=HT，∴．5．如图1，直线y=﹣x+4与x轴交于点B，与y轴交于点C，交双曲线y=（x ＜0）于点N，S=10．△OBN（1）求双曲线的解析式．=，求点H的坐标．（2）已知点H是双曲线上一动点，若S△HON（3）如图2，平移直线BC交双曲线于点P，交直线y=﹣6于点Q，连接PC，QB，并延长PC，QB交于第一象限内一点G，若PG=GQ，求平移后的直线PQ的解析式．【分析】（1）如图1中，作NG⊥x轴于H．由S=•OB•NG，可得×4×NG=10，△NOB推出NG=5，推出N（﹣1，5），由此即可解决问题；（2）如图2中，作NM⊥x轴于M，HE⊥x轴于E．设H（m，﹣）．首先证明S△OHN=S梯形NMHE，由此构建方程即可解决问题；（3）首先证明OG垂直平分BC，推出P、Q关于直线OG对称，由点P在y=﹣上，推出点Q也在y=﹣上，又点Q在直线y=﹣6上，可得Q（，﹣6），由此即可解决问题；【解答】解：（1）如图1中，作NG⊥x轴于H．∵直线y=﹣x+4与x轴交于点B，与y轴交于点C，∴B（4，0），C（0，4），=•OB•NG，∵S△NOB∴×4×NG=10，∴NG=5，∴N（﹣1，5），∵反比例函数y=经过点N（﹣1，5），∴k=﹣5，（2）如图2中，作NM ⊥x 轴于M ，HE ⊥x 轴于E ．设H （m ，﹣）．∵S △HEO =S △NMO ，又∵S 四边形HEON =S △HNO +S △HEO =S △NMO +S 梯形MNHE ，∴S △OHN =S 梯形NMHE ， ∴•（5﹣）•|m +1|=，当m ＜﹣1时，整理得3m 2+8m ﹣3=0，解得m=﹣3或（舍弃），当0＞m ＞﹣1时，整理得3m 2﹣8m ﹣3=0，解得m=﹣或3（舍弃）．综上所述，满足条件的点H 的坐标为（﹣3，）或（﹣，15）；（3）如图3中，∴∠GPQ=∠GQP，∵BC∥PQ，∴∠GCB=∠GPQ，∠GBC=GQP，∴∠GCB=∠GBC，∴GC=GB，∵OC=OB，∴OG垂直平分BC，∴P、Q关于直线OG对称，∵点P在y=﹣上，∴点Q也在y=﹣上，又∵点Q在直线y=﹣6上，∴Q（，﹣6），设直线PQ的解析式为y=﹣x+b，∴﹣6=﹣+b，∴b=﹣，∴直线PQ的解析式为y=﹣x﹣．6．如图，点P是菱形ABCD对角线AC上的一点，连接DP并延长DP交边AB于点E，连接BP并延长交边AD于点F，交CD的延长线于点G．（1）求证：△APB≌△APD；（2）已知DF：FA=1：2，设线段DP的长为x，线段PF的长为y．①求y与x的函数关系式；②当x=6时，求线段FG的长．【分析】（1）根据菱形的性质得出∠DAP=∠PAB，AD=AB，再利用全等三角形的判定得出△APB≌△APD；（2）①首先证明△DFP≌△BEP，进而得出=，=，进而得出=，即=，即可得出答案；②根据①中所求得出PF=PE=4，DP=PB=6，进而得出==，求出即可．【解答】（1）证明：∵点P是菱形ABCD对角线AC上的一点，∴∠DAP=∠PAB，AD=AB，∵在△APB和△APD中，∴△APB≌△APD（SAS）；（2）解：①∵△APB≌△APD，∴DP=PB，∠ADP=∠ABP，∵在△DFP和△BEP中，，∴△DFP≌△BEP（ASA），∴PF=PE，DF=BE，∵四边形ABCD是菱形，∴GD∥AB，∴=，∵DF：FA=1：2，∴=，=，∴=，∵=，即=，∴y=x；②当x=6时，y=×6=4，∴PF=PE=4，DP=PB=6，∵==，∴=，解得：FG=5，故线段FG的长为5．7．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，过点B的直线MN∥AC，D为BC边上一点，连接AD，作DE⊥AD交MN于点E，连接AE．（1）如图①，当∠ABC=45°时，求证：AD=DE；（2）如图②，当∠ABC=30°时，线段AD与DE有何数量关系？并请说明理由；（3）当∠ABC=α时，请直接写出线段AD与DE的数量关系．（用含α的三角函数表示）【分析】（1）首先过点D作DF⊥BC，交AB于点F，得出∠BDE=∠ADF，以及∠EBD=∠AFD，再得出△BDE≌△FDA（ASA），求出即可；（2）首先过点D作DG⊥BC，交AB于点G，进而得出∠EBD=∠AGD，证出△BDE ∽△GDA即可得出答案；（3）首先过点D作DG⊥BC，交AB于点G，进而得出∠EBD=∠AGD，证出△BDE ∽△GDA即可得出答案．【解答】（1）证明：如图1，过点D作DF⊥BC，交AB于点F，则∠BDE+∠FDE=90°，∵DE⊥AD，∴∠FDE+∠ADF=90°，∴∠BDE=∠ADF，∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，∴∠C=45°，∵MN∥AC，∴∠EBD=180°﹣∠C=135°，∵∠BFD=45°，DF⊥BC，∴∠BFD=45°，BD=DF，∴∠AFD=135°，∴∠EBD=∠AFD，在△BDE和△FDA中，∴△BDE≌△FDA（ASA），∴AD=DE；（2）解：DE=AD，理由：如图2，过点D作DG⊥BC，交AB于点G，则∠BDE+∠GDE=90°，∵DE⊥AD，∴∠GDE+∠ADG=90°，∴∠BDE=∠ADG，∵∠BAC=90°，∠ABC=30°，∴∠C=60°，∵MN∥AC，∴∠EBD=180°﹣∠C=120°，∵∠ABC=30°，DG⊥BC，∴∠BGD=60°，∴∠AGD=120°，∴∠EBD=∠AGD，∴△BDE∽△GDA，∴=，在Rt△BDG中，=tan30°=，∴DE=AD；（3）AD=DE•tanα；理由：如图2，∠BDE+∠GDE=90°，∵DE⊥AD，∴∠GDE+∠ADG=90°，∴∠BDE=∠ADG，∵∠EBD=90°+α，∠AGD=90°+α，∴∠EBD=∠AGD，∴△EBD∽△AGD，∴=，在Rt△BDG中，=tanα，则=tanα，∴AD=DE•tanα．8．如图，四边形ABCD中，AC⊥BD交BD于点E，点F，M分别是AB，BC的中点，BN平分∠ABE交AM于点N，AB=AC=BD．连接MF，NF．（1）判断△BMN的形状，并证明你的结论；（2）判断△MFN与△BDC之间的关系，并说明理由．【分析】（1）根据等腰三角形的性质，可得AM是高线、顶角的角平分线，根据直角三角形的性质，可得∠EAB+∠EBA=90°，根据三角形外角的性质，可得答案；（2）根据三角形中位线的性质，可得MF与AC的关系，根据等量代换，可得MF与BD的关系，根据等腰直角三角形，可得BM与NM的关系，根据等量代换，可得NM与BC的关系，根据同角的余角相等，可得∠CBD与∠NMF 的关系，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得答案．【解答】（1）答：△BMN是等腰直角三角形．证明：∵AB=AC，点M是BC的中点，∴AM⊥BC，AM平分∠BAC．∵BN平分∠ABE，∠EBN=∠ABN．∵AC⊥BD，∴∠AEB=90°，∴∠EAB+∠EBA=90°，∴∠MNB=∠NAB+∠ABN=（∠BAE+∠ABE）=45°．∴△BMN是等腰直角三角形；（2）答：△MFN∽△BDC．证明：∵点F，M分别是AB，BC的中点，∴FM∥AC，FM=AC．∵AC=BD，∴FM=BD，即．∵△BMN是等腰直角三角形，∴NM=BM=BC，即，∴．∵AM⊥BC，∴∠NMF+∠FMB=90°．∵FM∥AC，∴∠ACB=∠FMB．∵∠CEB=90°，∴∠ACB+∠CBD=90°．∴∠CBD+∠FMB=90°，∴∠NMF=∠CBD．∴△MFN∽△BDC．9．如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点G．①求证：BD⊥CF；②当AB=4，AD=时，求线段BG的长．【分析】（1）△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，易证得△BAD ≌△CAF，根据全等三角形的对应边相等，即可证得BD=CF；（2）①由△BAD≌△CAF，可得∠ABM=∠GCM，又由对顶角相等，易证得△BMA ∽△CMG，根据相似三角形的对应角相等，可得BGC=∠BAC=90°，即可证得BD⊥CF；②首先过点F作FN⊥AC于点N，利用勾股定理即可求得AE，BC的长，继而求得AN，CN的长，又由等角的三角函数值相等，可求得AM=AB=，然后利用△BMA∽△CMG，求得CG的长，再由勾股定理即可求得线段BG的长．【解答】解（1）BD=CF成立．理由：∵△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，∴AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°，∵∠BAD=∠BAC﹣∠DAC，∠CAF=∠DAF﹣∠DAC，∴∠BAD=∠CAF，在△BAD和△CAF中，∴△BAD≌△CAF（SAS）．∴BD=CF．（2）①证明：设BG交AC于点M．∵△BAD≌△CAF（已证），∴∠ABM=∠GCM．∵∠BMA=∠CMG，∴△BMA∽△CMG．∴∠BGC=∠BAC=90°．∴BD⊥CF．②过点F作FN⊥AC于点N．∵在正方形ADEF中，AD=DE=，∴AE==2，∴AN=FN=AE=1．∵在等腰直角△ABC 中，AB=4，∴CN=AC﹣AN=3，BC==4．∴在Rt△FCN中，tan∠FCN==．∴在Rt△ABM中，tan∠ABM==tan∠FCN=．∴AM=AB=．∴CM=AC﹣AM=4﹣=，BM===．∵△BMA∽△CMG，∴．∴．∴CG=．∴在Rt△BGC中，BG==．。
反比例函数与相似的综合
反比例函数与相似的综合题型一利用平行线构造A型或X型相似1．（2020•鞍山一模）如图，点A在双曲线y=3x上，点B在双曲线y=kx（k≠0）上，AB∥x轴，过点A作AD⊥x轴于D．连接OB，与AD相交于点C，若AC=32CD，则k的值为152．【解析】解：设点A的坐标为（a，3a ），则点B的坐标为（ak3，3a），∵AB∥x轴，∴∠BAC＝∠ODC，∠ACB＝∠DCO，∴ABOD =ACDC，∵AC=32CD，∴ABDO=32，∵OD＝a，∴AB＝1.5a，∴点B的横坐标是2.5a，∴2.5a=ak3，解得，k=152，故答案为：152．2．（220•黔东南州）如图，已知点A，B分别在反比例函数y1=−2x和y2=kx的图象上，若点A是线段OB的中点，则k的值为﹣8．【解析】解：设A（a，b），则B（2a，2b），∵点A在反比例函数y1=−2x的图象上，∴ab＝﹣2；∵B点在反比例函数y2=kx的图象上，∴k＝2a•2b＝4ab＝﹣8．故答案是：﹣8．题型二 利用平行线构造相似3．（2020•柯桥区一模）如图，已知B 、A 分别在反比例函数y =−9x，y =k x上，当AO ⊥BO 时，BO ：AO ＝3：4，则k ＝ 16 ．【解析】解：设点A 的坐标为（a ，ka），点B 的坐标为（b ，−9b ），作BC ⊥x 轴于点C ，作AD ⊥x 轴于点D ，∵∠AOB ＝90°，∠BOC +∠OBC ＝90°，∴∠BOC +∠AOD ＝90°，∴∠BOC ＝∠OAD ，∵∠BCO ＝∠ODA ＝90°，BO ：AO ＝3：4，∴△BOC ∽△OAD ，∴OCAD=BC OD=OB AO，即−bk a=−9ba=34，解得，k ＝16，故答案为：16．4．（2020•历下区期中）如图，在平面直角坐标系中，等边三角形OAB 的顶点A 的坐标为（5，0），顶点B 在第一象限，函数y =kx （x ＞0）的图象分别交边OA 、AB 于点C 、D ．若OC ＝2AD ，则k ＝ 4√3【解析】解：如图，过C 作CE ⊥x 轴于E ，过D 作DF ⊥x 轴于F ，则∠CEO ＝∠DF A ＝90°，又∵∠COE ＝∠DAF ＝60°，∴△COE ∽△DAF ，又∵OC ＝2AD ，∴DF =12CE ，AF =12OE ，设OE ＝a ，则CE =√3a ，∴AF =12a ，DF =√32a ，∴C （a ，√3a ），D （5−12a ，√32a ）， ∵函数y =k x（x ＞0）的图象分别交边OA 、AB 于点C 、D ，∴a •√3a ＝（5−12a ）•√32a ，解得a ＝2， ∴C （2，2√3），∴k ＝2×2√3=4√3，故答案为4√3．5．（2020•如东县一模）如图，点A （1，n ）和点B 都在反比例函数y =kx （x ＞0）的图象上，若∠OAB ＝90°，OA AB=23，则k 的值是 2 ．【解析】解：如图，过A 作AC ⊥x 轴，过B 作BD ⊥AC 于D ，则∠ACO ＝∠BDA ＝90°，OC ＝1，AC ＝n ，∵∠BAO ＝90°，∴∠CAO +∠BAC ＝∠ABD +∠BAC ＝90°，∴∠CAO ＝∠DBA ，∴△AOC ∽△BAD ，∴AD OC=BD AC=AB OA，即AD 1=BD n=32，∴AD =32，BD =32n ，∴B （1+32n ，n −32），∵k ＝1×n ＝（1+32n ）（n −32），解得n ＝2或n ＝﹣0.5（舍去），∴k ＝1×2＝2故答案为：2．6．（2020•泗阳县一模）如图，点A在反比例函数y=3x(x＞0)上，以OA为边作正方形OABC，边AB交y轴于点P，若PB：P A＝2：1，则正方形OABC的边长AB＝√10．【解析】解：由题意可得，OA＝AB，设AP＝a，则BP＝2a，OA＝3a，设点A的坐标为（m，3m），作AE⊥x轴于点E，∵∠P AO＝∠OEA＝90°，∠POA+∠AOE＝90°，∠AOE+∠OAE＝90°，∴∠POA＝∠OAE，∴△POA∽△OAE，∴APAO =OEEA，即a3a=m3m，解得，m＝1或m＝﹣1（舍去），∴点A的坐标为（1，3），∴OA=√10，故答案为：√10．巩固练习1．（2020•滨州模拟）如图，点A在双曲线y=4x上，点B在双曲线y=kx（k≠0）上，AB∥x轴，过点A作AD⊥x轴于D．连接OB，与AD相交于点C，若AC＝2CD，则k的值为12．【解析】解：设点A的坐标为（a，4a ），则点B的坐标为（ak4，4a），∵AB∥x轴，AC＝2CD，∴∠BAC＝∠ODC，∵∠ACB＝∠DCO，∴△ACB∽△DCO，∴ABOD =ACDC，∴ABOD=21，∵OD＝a，则AB＝2a，∴点B的横坐标是3a，∴3a=ak4，解得，k＝12，故答案为：12．2．（2020•岳麓区校级模拟）如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y=4x上，第二象限的点B在反比例函数y=kx上，且OA⊥OB，OBOA=34，则k的值为−94．【解析】解：作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，如图，∵OA⊥OB，∴∠BOD+∠AOC＝90°，∵∠BOD+∠OBD＝90°，∴∠AOC＝∠OBD，∴Rt△OBD∽Rt△AOC，∴S△OBDS△AOC=（OBOA）2＝（34）2=916，∵S△OBD=12|k|，S△AOC=12×4＝2，∴12|k|2=916，而k＜0，∴k=−94．故答案为−94．3．（2020•洛宁县期中）已知反比例函数y=kx（k＜0）的图象上有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），且有x1＜x2＜0，则y1和y2的大小关系是y1＜y2．【解析】解：∵反比例函数y=kx（k＜0）的k＜0，可见函数位于二、四象限，∵x1＜x2＜0，可见A（x1，y1）、B（x2，y2）位于第二象限，由于在二四象限内，y随x的增大而增大，∴y1＜y2．故答案为y1＜y2．4．（2020•渝中区校级月考）如图，△ABC 是等边三角形，顶点C 在y 轴的负半轴上，点A （1，5√32），点B 在第一象限，经过点A 的反比例函数y =kx（x ＞0）的图象恰好经过顶点B ，则△ABC 的边长为 2√7 ．【解析】如图延长AB 到D ，使得AB ＝BD ，连接CD ，作AH ⊥y 轴于H ，DE ⊥y 轴于E ．设C （0，c ）． ∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝AC ＝BC ，∵AB ＝BD ，∴BA ＝BC ＝BD ，∴△ACD 是直角三角形， ∵∠CAD ＝60°，∴DC =√3AC ，∵∠ACD ＝∠AHC ＝∠DEC ＝90°，∴∠ACH +∠DCE ＝90°，∵∠ECD +∠CDE ＝90°，∴∠ACH ＝∠CDE ，∴△ACH ∽△CDE ，∴AH EC=HC DE=AC CD=√33， ∵A （1，5√32），∴AH ＝1，CH =5√32−c ，∴EC =√3，DE =152−√3c ，∴D （152−√3c ，c −√3）， ∵BA ＝BD ，∴B （17−2√3c4，3√3−2√3c4）， ∵A 、B 在y =kx上，∴5√32=17−2√3c 4×3√3−2√3c4， 整理得：4√3c 2﹣16c ﹣11√3=0，解得c =−√32或11√36（舍弃），∴C （0，−√32）， ∴AC =2+CH 2=√12+(3√3)2=2√7，故答案为2√7．5．（2020•碑林区校级一模）如图，反比例函数y=kx，（k＞0）经过正方形ABCD的顶点C，D，若正方形的边长为4，则k的值为16．【解析】解：作CE⊥x轴于E，DF⊥y轴于F，如图，设A（0，m），B（n，0），∵四边形ABCD为正方形，∴BC＝BA，∠ABC＝90°，∵∠ABO+∠CBE＝90°，∠ABO+∠OAB＝90°，∴∠CBE＝∠OAB，而∠AOB＝∠BEC，∴△AOB≌△BEC（AAS），∴OA＝BE＝m，OB＝CE＝n，∴C（m+n，n），同理方法可证明△AOB≌△DF A（AAS），∴OA＝DF＝m，OB＝AF＝n，∴D（m，m+n），∵反比例函数y=kx，（k＞0）经过正方形ABCD的顶点C，D，∴m（m+n）＝（m+n）n，∴m＝n，∵OA2+OB2＝AB2，∴m2+n2＝42，即m2+m2＝16，解得m＝2√2，∴C（4√2，2√2），∴k＝4√2×2√2=16．故答案为16．6．（2020•深圳）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，C（0，﹣3），CD＝3AD，点A在反比例函数y=kx图象上，且y轴平分∠ACB，求k＝4√77．【解析】解：过A作AE⊥x轴，垂足为E，∵C（0，﹣3），∴OC＝3，∵∠AED ＝∠COD ＝90°，∠ADE ＝∠CDO ∴△ADE ∽△CDO ，∴AE CO=DE OD=AD CD=13，∴AE ＝1；又∵y 轴平分∠ACB ，CO ⊥BD ，∴BO ＝OD ，∵∠ABC ＝90°，∴∠OCD ＝∠DAE ＝∠ABE ，∴△ABE ～△COD ，∴AEOD=BE OC设DE ＝n ，则BO ＝OD ＝3n ，BE ＝7n ，∴13n=7n3，∴n =√77∴OE ＝4n =4√77∴A （4√77，1）∴k =4√77×1=4√77．故答案为：4√77．。
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中考数学专题复习：反比例函数与相似的综合题
【考点分析】
近几年的中考数学题中，对于反比例函数与几何图形的结合的考查力度明显加大，主要考查：①平面直角坐标系中，如何把线段转化为坐标，坐标转化为含有字母的代数式，进而进行代数计算；②反比例函数与相似图形的综合题；③反比例函数与几何图形的平移。
【专题攻略】
在平面直角坐标系中，反比例函数与几何图形的综合题，最基本的解决方法是：由点的坐标求相关线段的长度，根据相关线段的长度表示点的坐标。
这类题在解答时要求我们要熟练运用数学基础知识，还要能灵活运用数形结合、转化、待定系数、分类讨论等基本数学思想和方法。
【课前训练】
1、如图，面积为3的矩形OABC 的一个顶点B 在反比例函数x
k
y =的图象上，另三点在坐标轴上，则k = .
2、如图，A 为反比例函数x
k y =图象上一点，AB 垂直x 轴于B 点，若S △AOB ＝3，则k =____
第1题 第2题 第3、4题
3、如图，已知双曲线)0k (x
k
y ＞=经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相
交于点C ．若△OBA 的面积为6，则k ＝____________．
4、如图，已知双曲线)0k (x
k
y ＞=经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相
交于点C ．若△OBC 的面积为3，则k ＝____________．
【典型例题】（2010年广州中考第23题）
已知反比例函数y＝
8
m
x
-
(m为常数)的图象经过点A（－1，6）．
（1）求m的值；
（2）如图9，过点A作直线AC与函数y＝
8 m
x -
与x轴交于点C，且AB＝2BC，求点C的坐标．
（2014南沙区一模）如图，已知直线y 4x =-与反比例函数()m
y m 0x 0x
>>=，的图象交于A 、B 两点，与x 轴、y 轴分别相交于C 、D 两点．
（1）若点A 的横坐标为1，求m 的值并利用函数图象求关于x 的不等式m
4x x
<
-的解集； （2）是否存在以AB 为直径的圆经过点P （1，0）？若存在，求出m 的值；若不存在， 请说明理由．
y
x
D C
O B A P
第23题
1、（2013•宁波）如图，等腰直角三角形ABC 顶点A 在x 轴上， ∠BCA=90°，AC=BC=2，反比例函数y=（x ＞0）的图象分别 与AB ，BC 交于点D ，E ．连结DE ，当△BDE ∽△BCA 时， 点E 的坐标为 ．
2、（2013 绵阳）如图，已知矩形OABC 中，OA ＝2，AB ＝4，双曲线k
y x
（k ＞0）与矩形两边AB 、BC 分别交于E 、F 。
（1）若E 是AB 的中点，求F 点的坐标；
（2）若将△BEF 沿直线EF 对折，B 点落在x 轴上的D 点，作EG ⊥OC ，垂足为G ，
证明△EGD ∽△DCF ，并求k 的值。
解：（1）OABC 为矩形,AB=OC=4，点E 是
AB 的中点，AE=2，OA=2，，
点E （2，2）在双曲线y=k
x 上，
k=2×2=4 ,点F 在直线BC 及双
曲线y= 4x ，设点F 的坐标为（4，f ）,f= 4
4 =1,
所以点F 的坐标为（4，1）.
(2)①证明：△DEF 是由△BEF 沿EF 对折得到的， ∠EDF=∠EBF=90º，点D 在直线OC 上， ∠GDE+∠CDF=180º-∠EDF=180º-90º=90º，
∠DGE=∠FCD=90º，∠GDE+∠GED=90º，∠CDF=∠GED ， △EGD ∽△DCF ；
② 设点E 的坐标为（a ,2）, 点F 的坐标为（4,b ）,点E 、F 在双曲线y=k
x 上，
k=2a=4b,a=2b,所以有点E （2b,2）, AE=2b,AB=4, ED=EB=4-2b, EG=OA=CB=2, CF=b, DF=BF=CB-CF=2-b, DC=DF 2-CF 2 =(2-b)2-b 2 =21-b ,
O
G
F
E
D
C
B A
y
x
△EGD ∽△DCF,DC DF = EG ED ,2 1-b 2-b = 2 4-2b ,b= 3
4 ,
有点F （4，34 ），k = 4×3
4
= 3.
3、如图,直线1
22
y x =
+分别交轴于A 、C ，点P 是该直线与反比例函数在第一象限内的一个交点,PB ⊥x 轴于B,且9ABP S ∆=.
(1) 求证:△AOC ∽△ABP ； （2）求点P 的坐标； （3）设点R 与点P 在同一个反比例函数的图象上,且点R 在直线PB 的右侧,作RT ⊥x 轴于T,当△BRT 与△AOC 相似时,求点R 的坐标.
解（1）
∴△AOC ∽△ABP
(2)
△AOC ∽△ABP
2
2⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴∆∆AB OA PB OC S S ABP AOC
第27题图
PB OC x PB x OC //,∴⊥⊥轴轴 42420044,0;2,0=∴==∴-∴-====∆AOC S OC OA B A x y y x ，），（），，（则令则令
)
3,2(26,332
,329
4
,9P OB AB PB AB OA PB OC S S S S ABP AOC AOC ABP ∴=∴==∴==∴
=∴
=∆∆∆ (3)）
坐标为（设点n
n R x
y p 6
,6
)
3,2(∴=
∴
①当△BRT ∽△ACO 时,
RT
OC
BT OA =
即
n
n 6
2
24=- 01222
=--n n
)(131,13121舍去-=+=∴n n
②当△BRT ∽△CAO 时,
BT
OC
RT OA =
即
2264-=n n
0322=--n n )(1,321舍去-==∴n n
综合①、②所述，3131或+=∴n。