节点电压法
节点电压法
节点电压法1. 介绍节点电压法是电路分析中常用的一种方法，通过对电路中每个节点的电压进行分析，可以得到电路中各个元件的电流及节点之间的关系。
这种方法主要基于基尔霍夫电流定律，即电路中进入节点的电流等于出节点的电流之和，利用此定律可以建立节点电压方程组，通过求解方程组可以得到电路中各个节点的电压。
2. 节点电压法的步骤节点电压法的分析步骤如下：2.1 确定参考节点首先，在电路中选择一个节点作为参考节点，将其电压设为0V。
通常选择接地节点作为参考节点。
2.2 标记其他节点的电压对于除参考节点外的每一个节点，都用一个未知变量来表示其电压值，并用标号或符号标记。
2.3 列节点电流方程基于基尔霍夫电流定律，对于每个节点，列出关于该节点的电流方程。
电流方程是根据所连接的元件和电压源的电流关系得到的。
2.4 列电压方程对于每一个节点，利用电压源的正负端的电位差与该节点电压的关系，列出电压方程。
2.5 解方程组将所得到的所有电流方程和电压方程组成一个方程组，通过求解这个方程组可以得到各个节点的电压值。
3. 举例说明下面以一个简单的电路进行举例，说明节点电压法的应用：电路图电路图首先，我们选择节点A作为参考节点。
然后，我们标记节点B和节点C的电压分别为Vb和Vc。
根据基尔霍夫电流定律，我们可以得到以下电流方程：•I1 = I2 + I3•I2 = I4 + I5根据电压源的正负端的电位差与该节点电压的关系，我们可以得到以下电压方程：•Vb = 5 - 10I2•Vc = 15 - 10I4将得到的电流方程和电压方程组成方程组：•I1 = I2 + I3•I2 = I4 + I5•Vb = 5 - 10I2•Vc = 15 - 10I4通过求解这个方程组，我们可以得到节点B和节点C的电压值。
进而可以计算出电路中各个元件的电流值。
4. 节点电压法的优势节点电压法具有以下优势：4.1 适用于复杂电路节点电压法可以用于分析复杂电路，无论电路中是否存在电流源或电压源，都可以通过建立方程组来求解节点电压。
节点电压法
节点电压法以节点电压为求解对象的电路计算方法。
节点电压是在为电路任选一个节点作为参考点（此点通常编号为“0”），并令其电位为零后,其余节点对该参考点的电位。
一个支路数为b、节点数为n的电路,其节点电压数为n-1，所以用节点电压法计算时需要列出 (n-1)个以节点电压为未知量的独立方程。
电路的节点方程图1中已标明节点和支路的编号、各有关支路电压和电流的参考方向以及节点电压的参考方向。
参照各支路电流的方向，对节点“1”和“2”写出KCL方程;参照各支路电压和节点电压的方向,使用KVL写出支路电压通过节点电压表达的方程（又称KVL方程）;参照支路电压、电流、电源的方向以及支路的连接方式，使用KVL（或KCL）写出支路方程。
这样写出的3组方程见表。
将KVL方程代入支路方程，消去支路电压,再将所得新的支路方程,即支路电流与节点电压的关系式代入KCL方程，消去支路电流后可得方程组此方程组的2个方程就是用节点电压法计算图1所示电路时需要列出的方程。
这种方程通常称为电路的节点方程。
显然，由节点方程可得出电路的2个节点电压。
将节点电压代入KVL方程可求出电路的6个支路电压，再将支路电压代入支路方程（将节点电压代入新的支路方程亦可）,又能求出电路的6个支路电流。
对照图1可以发现,式(1)中Vn1的系数 (G1+G2+G3+G6)是与节点“1”相连接的支路具有的电导之和,Vn2的系数[-(G3+G6)]是连接在节点“1”和节点“2”之间的支路具有的电导之和取负号；式(2)中的两个系数类似。
这4个系数可分别简记为G11、G12、、。
其中G 11=G1+G2+G3+G6，称为节点“1”的自电导；G12==-(G3+G6)，称为节点“1”与节点“2”间的互电导；=G3+G4+G5+G6,称为节点“2”的自电导。
还可发现，两式右端项中的Is3是电流源的电流,因方向是指向节点“1”而取正号，背向节点“2”而取负号；另外几项与电压源有关的项是含电压源的串联支路变换成含电流源的并联支路后,支路中电流源的电流,而且这些电流取正号或负号亦视方向是指向还是背向节点而定。
节点电流法和节点电压法
节点电流法和节点电压法
节点电流法（Nodal Analysis）和节点电压法（Mesh Analysis）是电路分析中常用的两种方法，用于分析电路中的电流和电压分布。
这两种方法基于基尔霍夫定律和欧姆定律。
1. 节点电流法（Nodal Analysis）：
-原理：基于基尔霍夫电流定律，该定律表明一个节点的总电流等于从该节点流出的电流之和。
-步骤：
1. 选择一个参考节点（一般称为地节点）。
2. 对于每个非参考节点，编写基尔霍夫电流方程，该方程等于该节点的进入电流之和等于离开电流之和。
3. 解这些方程以找到每个节点的电流。
-优点：特别适用于有大量电流源的电路。
2. 节点电压法（Mesh Analysis）：
-原理：基于基尔霍夫电压定律，该定律表明沿着任何闭合回路的总电压降等于该回路内的总电压源之和。
-步骤：
1. 确定电路中的网（Mesh），每个网是一个简单的闭合回路。
2. 对每个网，编写基尔霍夫电压方程，该方程等于该回路内的电压源之和等于电阻和电流源引起的电压降之和。
3. 解这些方程以找到每个网格的电流。
-优点：特别适用于有大量电压源的电路。
这两种方法本质上是等效的，但在不同情况下选择使用其中一种方法可能更方便。
在实际应用中，根据电路的特点和要解决的问题，选择使用节点电流法或节点电压法。
节点电压法
G i j ( ij )称为节点 i 和 j 的互电导,是节点i 和j 间电导总和的负
值。此例中G12= G21=-G5, G13= G31=-G4 , G23= G32=- G6。 iS11、iS22、iS33是流入该节点全部电流源电流的代数和。此例
中iS11=iS1,iS22=0,iS33=-iS3。
补充方程
u2u3 8V
代入u1=14V，整理得到：
1.5u2 1.5u3 24V u2 u3 8V
解得：
u 2 1V 2u 34 Vi 1A
四、弥尔曼定理：
对只含有两个节点的电路，如图所示，用观察法可列出一个独立 节点的电压方程：
(
1 R1
1 R2
1 R3
1 R4
)U
n1
U S1 R1
U S2 R2
U S3 R3
整理得
U S1 U S 2 U S3
U n1 (
R1 1
R2 11
R3 1
)
R1 R 2 R3 R 4
对只含有两个节点的电
路, 其节点电压可表示为
U S
U n1
R或 1
R
U n1 ( G U S ) G
上式称为弥尔曼定理。分子表示电流源电流或等效电流 源电流代数和。分母表示独立节点连接的各支路的电 导之和。电流源电流或等效电流源电流参考方向指向 独立节点取+，反之取-。
解得各节点电压为：
u11V u2 3V
选定各电阻支路电流参考方向如图所示，可求得：
i1 (1S)u1 1A i2 (2S)u2 6A i3 (1S)(u1 u2) 4A
例2.用节点电压法求图示电路各支路电压。
解: 参考节点和节点电压如图所示。列出三个结点方程：
节点电压法
09379090 葛佳音一、节点电压：指独立节点对非独立节点的电压。
二、基本指导思想用未知的节点电压代替未知的支路电压来建立电路方程，以减少联立方程的元数。
三、步骤应用基尔霍夫电流定律建立节点电流方程，然后用节点电压去表示支路电流，最后求解节点电压。
具体如下：1、选择参考节点，设独立节点电位选定参考节点和各支路电流的参考方向，并对独立节点分别应用基尔霍夫电流定律列出电流方程2、根据基尔霍夫电压定律和欧姆定律，建立用节点电位和已知的支路电阻表示支路电流的支路方程3、将支路方程和节点方程相结合，消去节点方程中的支路电流变量，代之以节点电位变量，经移项整理后，获得以两节点电位为变量的节点方程4、解方程得节点电位5、由节点电位求支路电压，进而求支路电流四、P74 例3.1应注意的细节：1、假设参考节点的原因：电压是指电路中两点A、B之间的电位差。
所以，由选取节点的电位可以表示支路电压。
2、不用考虑V1、V2谁大谁小。
可任意设一个电流方向。
但为减少出错，R2上的电流若写成（V1-V2）/R2，则默认R2上的电流朝向节点2。
3、不用考虑串并联。
这也是节点电压法的一大优势。
4、电路图中是电流源（不是电流表）。
***电流源（符号如下图）：R→∞电流源的内阻相对负载阻抗很大，负载阻抗波动不会改变电流大小。
在电流源回路中串联电阻无意义，因为它不会改变负载的电流，也不会改变负载上的电压。
在原理图上这类电阻应简化掉。
负载阻抗只有并联在电流源上才有意义，与内阻是分流关系。
***电压源（如下图）：R→0稳博电压源电压源就是给定的电压，随着你的负载增大，电流增大，理想状态下电压不变，实际会在传送路径上消耗，你的负载增大，消耗增多。
电压源的内阻相对负载阻抗很小，负载阻抗波动不会改变电压高低。
在电压源回路中串联电阻才有意义，并联在电压源的电阻因为它不能改变负载的电流，也不能改变负载上的电压，这个电阻在原理图上是多余的，应删去。
负载阻抗只有串联在电压源回路中才有意义，与内阻是分压关系。
节点电压法
二节点电压法
以独立节点的节点电压作为独立变量，根据KCL列出关于节点电压的电路方程，进行求解的过程。
建立方程的过程（如图3-7）
图3-7
第一步，适当选取参考点。
第二步，根据KCL列出关于节点电压的电路方程。
节点1：
节点2：
节点3：
第三步，具有三个独立节点的电路的节点电压方程的一般形式
第二类情况：含理想电压源。
①仅含一条理想电压源支路，如图3-8。
图3-8
ａ.取电压源负极性端为参考点：则
ｂ.对不含有电压源支路的节点利用直接观察法列方程：
ｃ.求解
②含多条不具有公共端点的理想电压源支路，如图3-9。
图3- 9
ａ.适当选取参考点：令 ，则 。
ｂ.虚设电压源电流为I，利用直接观察法形成方程ห้องสมุดไป่ตู้
式中， 称为自由导，为连接到第 个节点各支路电导之和，值恒正。
称为互电导，为连接于节点 与 之间支路上的电导之和，值恒为负。
流入第 个节点的各支路电流源电流值代数和，流入取正，流出取负。
三仅含电流源时的节点法
第一步，适当选取参考点；
第二步，利用直接观察法形成方程；
第三步，求解。
四含电压源的节点法
第一类情况：含实际电压源：作一次等效变换。
如下图3-12，用网孔电流法和节点电压法列方程。
图3-3-6
网孔电流方程：
约束方程：
补充方程： ；
节点电压方程：
约束方程：
补充方程： ；
上述电路也可以列写回路电流方程，如下：
回路电流方程：
补充方程： ；
ｃ.添加约束方程：
ｄ.求解
节点电压法
写成一般形式为
其中G 称为节点自电导 节点自电导， 其中 11、 G22、G33称为节点自电导，它们分别是各节点全部 电导的总和。 此例中 11= G1+ G4+ G5, G22= G2 + G5+ G6, G33= 电导的总和。 此例中G G3+ G4+ G6。 G i j ( i≠j )称为节点 i 和 j 的互电导 是节点 和j 间电导总和的负 称为节点 的互电导,是节点 是节点i 称为 此例中G 值。此例中 12= G21=-G5, G13= G31=-G4 , G23= G32=- G6。 iS11、iS22、iS33是流入该节点全部电流源电流的代数和。此例 是流入该节点全部电流源电流的代数和。 中iS11=iS1,iS22=0,iS33=-iS3。
例3. 用节点电压法求图 (a)电路的电压u和支路电流i1，i2。
解：先将电压源与电阻串联等效变换为电流源与电阻并联， 如图(b)所示。对节点电压u来说 ，图(b)与图(a)等效。只需列 出一个节点方程。
(1S + 1S + 0.5S)u = 5A + 5A
解得
u=
10A = 4V 2.5S
按照图(a)电路可求得电流i1和i2
例5 用节点电压法求图电路的结点电压。
解：由于14V电压源连接到结点①和参考结点之间，结点 ①的结点电压 u1=14V成为已知量，可以不列出结点①的结点方程。考虑到8V电压源电流i 列出的两个结点方程为：
(1S)u1 + (1S + 0.5S)u2 + i = 3A (0.5S)u1 + (1S + 0.5S)u3 i = 0
整理得到:
5u1 2u2 u3 = 12V 2u1 + 11u2 6u3 = 6V u 6u + 10u = 19V 2 3 1
电路基础-§2-4节点电压法
第二章电阻电路§2-4 节点电压法一、节点电压法（一）节点电压的概念任意选择电路中某一节点为参考节点，其他节点称为独立节点，各独立节点与参考节点之间的电压称为节点电压。
节点电压的参考方向一般选择为独立节点指向参考节点，因此节点电压就是节点电位。
一旦选定节点电压，各支路电压均可用节点电压表示，连在独立节点与参考节点之间的支路电压等于相应节点的节点电压。
连在独立节点之间的支路电压等于两个相关节点的节点电压之差。
电路中所有支路电压都可以用节点电压表示。
（二）节点电压方程⎪⎭⎪⎬⎫=++=++=++333332321312232322212111313212111s n n n s n n n s n n n i u G u G u G i u G u G u G i u G u G u G ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=+++=+++=+++snn nn nn n n n n s nn n n n s nn n n n i u G u G u G i u G u G u G i u G u G u G 2211222222121111212111（三）节点电压法的解题步骤（1）指定参考节点，其余节点独立节点与参考节点之间的电压即为节点电压，其参考方向时由独立节点指向参考节点。
（2）求出各节点的自电导、各相邻节点间的互电导、各节点电源电流，按式（2-14）方法列写节点方程。
（3）求解节点电压方程，得出各节点电压值。
（4）指定支路电流的参考方向，根据支路电流与节点电压的关系，求出各支路电流。
（5）如果电路中含有电压源与电阻的串联组合时，先将其等效变换为电流源与电阻并联的组合，然后再列写节点电压方程，进行计算。
（6）如果电路中含有电压源并没有电阻与之串联，可用下列方法：①尽可能选用电压源支路的负极性端作为参考节点，这时该支路另一端的节点电压就已知（节点电压等于电压源电压），该节点方程也就不用列写了，其余节点方程仍按一般方法列写；②假设流过电压源的电流为，增加了一个变量，同时补充一个节点电压与电压源电压关系的方程，这样就能可以解出节点电压。
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以结点ⓞ为参考，并规定结点①、②、③的结点电
压分别用un1、un2、un3表示。 根据KVL，可得出： u10=un1 u20=un2 u30=un3 u12=un1-un2 u23=un2-un3
对电路的三个独立结点列出KCL方程：
i1+i4+i5=is1 i2-i5+i6=0 ① i3-i4-i6=-is2
A I2
RS R1
I1
Is
R2
U1 +
_
UA( 1 1)U1IS R1 R2 R1
方程左边：按原方法编写，但不考虑电流源支路 的电阻。 方程右边：写上电流源的电流。其符号为：电流 朝向未知节点时取正号，反之取负号。
类型5 例.应用节点电压法求U和I。
I
1
－ 90V
＋ 2
1 － U 20A ＋
1 R1
1 +
R4
u1
1 R4
u3=uRs1
is
u3
R3
R4 u1
R2
R1
R5
u2 is
+us
R6
-
1 R5
+
1 R6
u2
-
1 R5
u3=is
R 14u1R 15u5R 13R 14R 15u30
小结：对于含电流源支路的电路，列节点电位方程 时应按以下规则：
类型3：对含两条或两条以上纯理想电压源支路，但它们汇集于一结点的电路，可取该 汇集点为参考结点。
- US1 + R1
则 Va= Us3 ,Vb= Us4为已知。 故只需对节点3列结点电压方程
Va
- US2 +
R2 Vb
R5
+
+
. Vc
R 11VaR 15Vb(R 11R 15R 16)VcU RS11
在电路中（具有n个结点）任意选择某一 结点为参考点，其他结点（(n-1)个结点） 为独立结点，此参考结点之间的电压称为结 点电压。
节点电压的符号用Un1或Una等表示。
结点电压的参考极性是已参考结点为负， 其余独立结点为正。
结点电压法： ①如果每一个支路电流都可以由支路电压来表示 ，那么它一定也可以用结点电压来表示。 ②在具有n个结点的电路中写出其中（n-1）个独 立结点的KCL方程，就得到变量为（n-1）个结点 电压的共（n-1）个独立方程（结点电压方程） 。 ③求解这些方程，得到结点电压，从而求出所需 的电压、电流。
G12=G21=-G5,G13=G31=-G4,G23=G32=-G6称为互导，等于两节 点间的公共支路电导之和的负值，互导总为负。
iS11=iS1,iS22=0,iS33=-iS3是注入电流。注入电流等于流向 该节点全部电流源电流的代数和，流入节点者前面取"+"流 出节点者前面取"-"(注入电流源还应包括电压源和电阻串 联组合经等效变换形成的电流源)。
当电路中含有受控源时的处理: 一、含有受控电流源 ①将控制量用节点电压表示，并暂时将 其视为独立电流源。 ②将受控源的控制量用节点电压表示， 计入节点电压方程中。 二、含有受控电压源 把控制量用有关节点电压表示并变换为 等效受控电流源
类型1：支路含有电压源与电阻串联
例.用节点法求各支路电流
I1 20k VA
=is11 =is22
……
G(n-1)1un1+G(n-1)2un2+…+G(n-1)(n-1)u(n-1)=is(n-1)(n-1)
节点分析法的步骤：
①首先将电路中所有电压型电源转换为电流型电源 。（不转换也可以，注意电流源的方向）
②在电路中选择一合适的参考点，以其余独立节点 电压为待求量（有的可能已知，如支路只有纯理 想电压源的情况）。
US3
R6
-
US4
-
类型4：如果电路中含有一个以上的纯理想电压源支路，且它们不汇集于同一 点（考虑增加电流变量）
如图选择参考结点，则Vb=US4成为已知 值, 需对节点1、3列写方程。
- US1 + IX
Va
- US2 +
R2 Vb
R5
+
+
US3
-
US4
R3
-
(1 R2
1 R3
)Va
1 R2
Vb
③列出所有未知节点电压的节点方程(其中自电导 恒为正，互电导恒为负)。
④联立求解节点电压，继而求出其余量。
当电路中含有无伴电压源的处理: 一、 ①把无伴电压源的电流作为附加变量列入 KCL方程。 ②增加一个节点电压与无伴电压源电压之间 的约束关系。 二、 ①将连接无伴电压源的两个节点的节点电压 方程合为一个。 ②增加一个节点电压与无伴电压源的约束关 系。
自阻、互阻、电压源电压
列网孔电流的步骤： ①选定各支路电流的参考方向 ②对b-n+1个网孔(独立回路)分别列出各自的自阻 、互阻(自阻为该独立回路中的电阻之和，互阻为 两个网孔公共部分的电阻之和。如各网孔的参考方 向相同，则自阻值总为“+”，互阻值总为“-”。 ) ③根据参考方向，求每一网孔内的电压源代数和。 ④如该电路中包含无伴电压源，则该网孔内的无伴 电压源电压U作为变量带入方程，增加一无伴电压 源所在支路的电流方程。 ⑤如该电路中包含受控电压源，将该网孔的电流用 控制量表示。
节点方程
一般形式：
G11un1+G12un2+G13un3=is11 G21un1+G22un2+G23un3=is22 G31un1+G32un2+G33un3=is33
G11=G1+G4+G5,G22=G2+G5+G6,G33=G3+G4+G6称为自导，它们 分别是与节点相连的各支路全部电导的总和,自导总为正。
R2
1
iS1
_ + uR2
R1
R3
gmuR2
(1) 先把受控源当作独立源看列方程；
2
(2) 用结点电压表示控制量。
1 ( R1
R12)un1R11un2
iS1
1 11 R 1un1(R 1R3)un2gm uR2is1
uR2= un1
结点。
Va
则Vb= Us4为已知。
只需对节点1、3列节点电压方程
- US1 + R1
- US2 +
R2 Vb
R5
+
+
US3
-
R3
US4
-
.Vc
R6
(R 1 1R 1 2R 1 3)V aR 1 2V bR 1 1V c U R S 1 1 U R S 2 2 U R S 3 3
R 11VaR 15Vb(R 11R 15R 16)VcU R S 11
列出用结点电压表示的电阻VCR方程：
i1=G1un1 i2=G2un2 i3=G3un3 i4=G4(un1-un3) ② i5=G5(un1-un2) i6=G6(un2-un3)
由①、②联立可得:
(G1+G4+G5)un1-G5un2-G4un3=is1 -G5un1+(G2+G5+G6)un2-G6un3=0 -G4un1-G6un2+(G3+G4+G6)un3=-is2
IX
US2 R2
US3 R3
1 R5
Vb
(
1 R5
1 R6
)Vc
I
X
.Vc
再补充约束方程： Vc-Va=Us1
R6
类型5：支路电流源与电阻串联
列出如下节点方程（如图）电路中含 有与is（或受控电流源）串联的电阻 R2，R2所在支路电流唯一由电流源is 确定，对外电路而言，与电流源串联 的电阻R2无关，不起作用，应该去掉 。所以其电导1/R2不应出现在节点方 程中，则节点电压方程如下所示：
I1=(120-VA)/20k= 4.91mA I2= (VA- VB)/10k= 4.36mA I3= VB-U= (VB +240)/40k= 5.45mA I4= VB /40=0.546mA I5= VB /20=-1.09mA
-240V + -U
例.用节点法求图所示的电流i，已知R1=3Ω，R2=R3=2Ω，R4=4Ω，us=2V， is=1A。（支路含有电压源与电阻串联）
Байду номын сангаас
10k VB 40k I3
+120V +
-
I4
I2
40k
I5 20k
(1) 列节点电压方程：
参考节点
(0.05+0.025+0.1)VA-0.1VB= 120/20
0.1VA+(0.1+0.05+0.025)VB=-240/40
(2) 解方程，得： VA=21.8V， VB=-21.82V
(3) 各支路电流：
2
3 2
＋
－
110V
＋
V1=100V － V2=100+110=210V
100V (1/2+1/2)V3-1/2V2-1/2V1=20 解得：
1
V3=175 V3=U-20*1 ∴U=V3+20=195 V2=90-I*1 求得
I=-(V2-90)/1=-120A
类型6：含受控电流源支路 例.列写下图含VCCS电路的结点电压方程。
(R 11R 12R 13)Va （ R 12+R 13） Vbisu RS 2