2018-2019学年北京市海淀区师达中学九年级(上)月考数学试卷(12月份)含答案解析
(解析版)2018-2019学度北京海淀区初三上年末数学试卷.doc
(解析版)2018-2019学度北京海淀区初三上年末数学试卷【一】选择题〔共8小题，每题4分，总分值32分〕1、方程x2﹣3x﹣5=0的根的情况是〔〕A、有两个不相等的实数根B、有两个相等的实数根C、没有实数根D、无法确定是否有实数根2、在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，那么sinA的值为〔〕A、B、C、D、3、假设如图是某个几何体的三视图，那么这个几何体是〔〕A、长方体B、正方体C、圆柱D、圆锥4、小丁去看某场电影，只剩下如下图的六个空座位供他选择，座位号分别为1号、4号、6号、3号、5号和2号、假设小丁从中随机抽取一个，那么抽到的座位号是偶数的概率是〔〕A、B、C、D、5、如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，假设C1为OC的中点，AB=4，那么A1B1的长为〔〕A、1B、2C、4D、86、点A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕是反比例函数y=﹣的图象上的两点，假设x1＜0＜x2，那么以下结论正确的选项是〔〕A、y1＜0＜y2B、y2＜0＜y1C、y1＜y2＜0D、y2＜y1＜07、如图，AB是半圆O的直径，AC为弦，OD⊥AC于D，过点O作OE∥AC交半圆O于点E，过点E作EF⊥AB于F、假设AC=2，那么OF的长为〔〕A、B、C、1D、28、如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD交于点O、点E为线段AC上的一个动点，连接DE，BE，过E作EF⊥BD于F，设AE=x，图1中某条线段的长为y，假设表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，那么这条线段可能是图1中的〔〕A、线段EFB、线段DEC、线段CED、线段BE【二】填空题〔共4小题，每题4分，总分值16分〕9、如图，扇形的半径为3cm，圆心角为120°，那么扇形的面积为cm2、〔结果保留π〕10、在某一时刻，测得一根高为2m的竹竿的影长为1m，同时测得一栋建筑物的影长为12m，那么这栋建筑物的高度为m、11、如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A〔﹣2，4〕，B〔1，1〕，那么关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解为、12、对于正整数n，定义F〔n〕=，其中f〔n〕表示n的首位数字、末位数字的平方和、例如：F〔6〕=62=36，F〔123〕=f〔123〕=12+32=10、规定F1〔n〕=F〔n〕，F k+1〔n〕=F〔F k〔n〕〕、例如：F1〔123〕=F〔123〕=10，F2〔123〕=F〔F1〔123〕〕=F〔10〕=1、〔1〕求：F2〔4〕=，F2018〔4〕=；〔2〕假设F3m〔4〕=89，那么正整数m的最小值是、【三】解答题〔共13小题，总分值72分〕13、计算：〔﹣1〕2018+sin30°﹣〔π﹣3.14〕0+〔〕﹣1、14、如图，△ABC中，AB=AC，D是BC中点，BE⊥AC于E，求证：△ACD∽△BCE、15、m是一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的实数根，求代数式的值、16、抛物线y=2x2平移后经过点A〔0，3〕，B〔2，3〕，求平移后的抛物线的表达式、17、如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y=2x与反比例函数y=的图象交于A，B两点，A点的横坐标为2，AC⊥x轴于点C，连接BC、〔1〕求反比例函数的解析式；〔2〕假设点P是反比例函数y=图象上的一点，且满足△OPC与△ABC的面积相等，请直接写出点P的坐标、18、如图，△ABC中，∠ACB=90°，sinA=，BC=8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E、〔1〕求线段CD的长；〔2〕求cos∠ABE的值、19、关于x的一元二次方程mx2﹣〔m+2〕x+2=有两个不相等的实数根x1，x2、〔1〕求m的取值范围；〔2〕假设x2＜0，且＞﹣1，求整数m的值、20、某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，据调查显示，每个档次的日产量及相应的单件利润如表所示〔其中x为正整数，且1≤x≤10〕；质量档次12...x (10)日产量〔件〕9590...100﹣5x (50)单件利润〔万元〕68...2x+4 (24)为了便于调控，此工厂每天只生产一个档次的产品，当生产质量档次为x的产品时，当天的利润为y万元、〔1〕求y关于x的函数关系式；〔2〕工厂为获得最大利润，应选择生产哪个档次的产品？并求出当天利润的最大值、21、如图，四边形ABCD是平行四边形，点A，B，C在⊙O上，AD与⊙O相切，射线AO交BC 于点E，交⊙O于点F、点P在射线AO上，且∠PCB=2∠BAF、〔1〕求证：直线PC是⊙O的切线；〔2〕假设AB=，AD=2，求线段PC的长、22、阅读下面材料：小明观察一个由1×1正方形点阵组成的点阵图，图中水平与竖直方向上任意两个相邻点间的距离都是1，他发现一个有趣的问题：对于图中出现的任意两条端点在点阵上且互相不垂直的线段，都可以在点阵中找到一点构造垂直，进而求出它们相交所成锐角的正切值、请回答：〔1〕如图1，A，B，C是点阵中的三个点，请在点阵中找到点D，作出线段CD，使得CD⊥AB；〔2〕如图2，线段AB与CD交于点O、为了求出∠AOD的正切值，小明在点阵中找到了点E，连接AE，恰好满足AE⊥CD于点F，再作出点阵中的其它线段，就可以构造相似三角形，经过推理和计算能够使问题得到解决、请你帮小明计算：OC=；tan∠AOD=；解决问题：如图3，计算：tan∠AOD=、23、在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=的图象经过点A〔1，4〕、B〔m，n〕、〔1〕求代数式mn的值；〔2〕假设二次函数y=〔x﹣1〕2的图象经过点B，求代数式m3n﹣2m2n+3mn﹣4n的值；〔3〕假设反比例函数y=的图象与二次函数y=a〔x﹣1〕2的图象只有一个交点，且该交点在直线y=x的下方，结合函数图象，求a的取值范围、24、如图1，在△ABC中，BC=4，以线段AB为边作△ABD，使得AD=BD，连接DC，再以DC为边作△CDE，使得DC=DE，∠CDE=∠ADB=α、〔1〕如图2，当∠ABC=45°且α=90°时，用等式表示线段AD，DE之间的数量关系；〔2〕将线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，连接BF，AF、①假设α=90°，依题意补全图3，求线段AF的长；②请直接写出线段AF的长〔用含α的式子表示〕、25、在平面直角坐标系xOy中，设点P〔x1，y1〕，Q〔x2，y2〕是图形W上的任意两点、定义图形W的测度面积：假设|x1﹣x2|的最大值为m，|y1﹣y2|的最大值为n，那么S=mn为图形W的测度面积、例如，假设图形W是半径为1的⊙O，当P，Q分别是⊙O与x轴的交点时，如图1，|x1﹣x2|取得最大值，且最大值m=2；当P，Q分别是⊙O与y轴的交点时，如图2，|y1﹣y2|取得最大值，且最大值n=2、那么图形W的测度面积S=mn=4〔1〕假设图形W是等腰直角三角形ABO，OA=OB=1、①如图3，当点A，B在坐标轴上时，它的测度面积S=；②如图4，当AB⊥x轴时，它的测度面积S=；〔2〕假设图形W是一个边长1的正方形ABCD，那么此图形的测度面积S的最大值为；〔3〕假设图形W是一个边长分别为3和4的矩形ABCD，求它的测度面积S的取值范围、2018-2018学年北京市海淀区九年级〔上〕期末数学试卷参考答案与试题解析【一】选择题〔共8小题，每题4分，总分值32分〕1、方程x2﹣3x﹣5=0的根的情况是〔〕A、有两个不相等的实数根B、有两个相等的实数根C、没有实数根D、无法确定是否有实数根考点：根的判别式、分析：求出b2﹣4ac的值，再进行判断即可、解答：解：x2﹣3x﹣5=0，△=b2﹣4ac=〔﹣3〕2﹣4×1×〔﹣5〕=29＞0，所以方程有两个不相等的实数根，应选A、点评：此题考查了一元二次方程的根的判别式的应用，注意：一元二次方程ax2+bx+c=0〔a、b、c为常数，a≠0〕①当b2﹣4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根，②当b2﹣4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数根，③当b2﹣4ac＜0时，一元二次方程没有实数根、2、在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，那么sinA的值为〔〕A、B、C、D、考点：锐角三角函数的定义、分析：直接根据三角函数的定义求解即可、解答：解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，∴sinA==、应选A、点评：此题考查的是锐角三角函数的定义，比较简单，用到的知识点：正弦函数的定义：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA、即sinA=∠A的对边：斜边=a：C、3、假设如图是某个几何体的三视图，那么这个几何体是〔〕A、长方体B、正方体C、圆柱D、圆锥考点：由三视图判断几何体、分析：由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状、解答：解：主视图和左视图都是等腰三角形，那么此几何体为锥体，由俯视图为圆，可得此几何体为圆锥、应选：D、点评：此题考查的知识点是三视图，如果有两个视图为三角形，该几何体一定是锥，如果有两个矩形，该几何体一定柱，其底面由第三个视图的形状决定、4、小丁去看某场电影，只剩下如下图的六个空座位供他选择，座位号分别为1号、4号、6号、3号、5号和2号、假设小丁从中随机抽取一个，那么抽到的座位号是偶数的概率是〔〕A、B、C、D、考点：概率公式、分析：由六个空座位供他选择，座位号分别为1号、4号、6号、3号、5号和2号，直接利用概率公式求解即可求得答案、解答：解：∵六个空座位供他选择，座位号分别为1号、4号、6号、3号、5号和2号，∴抽到的座位号是偶数的概率是：=、应选C、点评：此题考查了概率公式的应用、用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比、5、如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，假设C1为OC的中点，AB=4，那么A1B1的长为〔〕A、1B、2C、4D、8考点：位似变换、专题：计算题、分析：根据位似变换的性质得到=，B1C1∥BC，再利用平行线分线段成比例定理得到=，所以=，然后把OC1=OC，AB=4代入计算即可、解答：解：∵C1为OC的中点，∴OC1=OC，∵△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，∴=，B1C1∥BC，∴=，∴=，即=∴A1B1=2、应选B、点评：此题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心、注意：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行、6、点A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕是反比例函数y=﹣的图象上的两点，假设x1＜0＜x2，那么以下结论正确的选项是〔〕A、y1＜0＜y2B、y2＜0＜y1C、y1＜y2＜0D、y2＜y1＜0考点：反比例函数图象上点的坐标特征、专题：计算题、分析：根据反比例函数图象上点的坐标特征得到y1=﹣，y2=﹣，然后利用x1＜0＜x2即可得到y1与y2的大小、解答：解：∵A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕是反比例函数y=﹣的图象上的两点，∴y1=﹣，y2=﹣，∵x1＜0＜x2，∴y2＜0＜y1、应选B、点评：此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=〔k为常数，k≠0〕的图象是双曲线，图象上的点〔x，y〕的横纵坐标的积是定值k，即xy=k、7、如图，AB是半圆O的直径，AC为弦，OD⊥AC于D，过点O作OE∥AC交半圆O于点E，过点E作EF⊥AB于F、假设AC=2，那么OF的长为〔〕A、B、C、1D、2考点：垂径定理；全等三角形的判定与性质、分析：根据垂径定理求出AD，证△ADO≌△OFE，推出OF=AD，即可求出答案、解答：解：∵OD⊥AC，AC=2，∴AD=CD=1，∵OD⊥AC，EF⊥AB，∴∠ADO=∠OFE=90°，∵OE∥AC，∴∠DOE=∠ADO=90°，∴∠DAO+∠DOA=90°，∠DOA+∠EF=90°，∴∠DAO=∠EOF，在△ADO和△OFE中，，∴△ADO≌△OFE〔AAS〕，∴OF=AD=1，应选C、点评：此题考查了全等三角形的性质和判定，垂径定理的应用，解此题的关键是求出△ADO ≌△OFE和求出AD的长，注意：垂直于弦的直径平分这条弦、8、如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD交于点O、点E为线段AC上的一个动点，连接DE，BE，过E作EF⊥BD于F，设AE=x，图1中某条线段的长为y，假设表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，那么这条线段可能是图1中的〔〕A、线段EFB、线段DEC、线段CED、线段BE考点：动点问题的函数图象、分析：作BN⊥AC，垂足为N，FM⊥AC，垂足为M，DG⊥AC，垂足为G，分别找出线段EF、CE、BE最小值出现的时刻即可得出结论、解答：解：作BN⊥AC，垂足为N，FM⊥AC，垂足为M，DG⊥AC，垂足为G、由垂线段最短可知：当点E与点M重合时，即AE＜时，FE有最小值，与函数图象不符，故A错误；由垂线段最短可知：当点E与点G重合时，即AEd＞时，DE有最小值，故B正确；∵CE=AC﹣AE，CE随着AE的增大而减小，故C错误；由垂线段最短可知：当点E与点N重合时，即AE＜时，BE有最小值，与函数图象不符，故D错误；应选：B、点评：此题主要考查的是动点问题的函数图象，根据垂线段最短确定出函数最小值出现的时刻是解题的关键、【二】填空题〔共4小题，每题4分，总分值16分〕9、如图，扇形的半径为3cm，圆心角为120°，那么扇形的面积为3πcm2、〔结果保留π〕考点：扇形面积的计算、专题：压轴题、分析：知道扇形半径，圆心角，运用扇形面积公式就能求出、解答：解：由S=知S=×π×32=3πcm2、点评：此题主要考查扇形面积的计算，知道扇形面积计算公式S=、10、在某一时刻，测得一根高为2m的竹竿的影长为1m，同时测得一栋建筑物的影长为12m，那么这栋建筑物的高度为24m、考点：相似三角形的应用、分析：根据同时同地的物高与影长成正比列式计算即可得解、解答：解：设这栋建筑物的高度为xm，由题意得，=，解得x=24，即这栋建筑物的高度为24m、故答案为：24、点评：此题考查了相似三角形的应用，熟记同时同地的物高与影长成正比是解题的关键、11、如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A〔﹣2，4〕，B〔1，1〕，那么关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解为x1=﹣2，x2=1、考点：二次函数的性质、专题：数形结合、分析：根据二次函数图象与一次函数图象的交点问题得到方程组的解为，，于是易得关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解、解答：解：∵抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A〔﹣2，4〕，B〔1，1〕，∴方程组的解为，，即关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解为x1=﹣2，x2=1、故答案为x1=﹣2，x2=1、点评：此题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0〕的顶点坐标是〔﹣，〕，对称轴直线x=﹣、也考查了二次函数图象与一次函数图象的交点问题、12、对于正整数n，定义F〔n〕=，其中f〔n〕表示n的首位数字、末位数字的平方和、例如：F〔6〕=62=36，F〔123〕=f〔123〕=12+32=10、规定F1〔n〕=F〔n〕，F k+1〔n〕=F〔F k〔n〕〕、例如：F1〔123〕=F〔123〕=10，F2〔123〕=F〔F1〔123〕〕=F〔10〕=1、〔1〕求：F2〔4〕=37，F2018〔4〕=26；〔2〕假设F3m〔4〕=89，那么正整数m的最小值是6、考点：规律型：数字的变化类、专题：新定义、分析：通过观察前8个数据，可以得出规律，这些数字7个一个循环，根据这些规律计算即可、解答：解：〔1〕F2〔4〕=F〔F1〔4〕〕=F〔16〕=12+62=37；F1〔4〕=F〔4〕=16，F2〔4〕=37，F3〔4〕=58，F4〔4〕=89，F5〔4〕=145，F6〔4〕=26，F7〔4〕=40，F8〔4〕=16，通过观察发现，这些数字7个一个循环，2018是7的287倍余6，因此F2018〔4〕=26；〔2〕由〔1〕知，这些数字7个一个循环，F4〔4〕=89=F18〔4〕，因此3m=18，所以m=6、故答案为：〔1〕37，26；〔2〕6、点评：此题属于数字变化类的规律探究题，通过观察前几个数据可以得出规律，熟练找出变化规律是解题的关键、【三】解答题〔共13小题，总分值72分〕13、计算：〔﹣1〕2018+sin30°﹣〔π﹣3.14〕0+〔〕﹣1、考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值、专题：计算题、分析：原式第一项利用乘方的意义计算，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用零指数幂法那么计算，最后一项利用负指数幂法那么计算即可、解答：解：原式=﹣1+﹣1+2=、点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法那么是解此题的关键、14、如图，△ABC中，AB=AC，D是BC中点，BE⊥AC于E，求证：△ACD∽△BCE、考点：相似三角形的判定、专题：证明题、分析：根据等腰三角形的性质，由AB=AC，D是BC中点得到AD⊥BC，易得∠ADC=∠BEC=90°，再加上公共角，于是根据有两组角对应相等的两个三角形相似即可得到结论、解答：证明：∵AB=AC，D是BC中点，∴AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∵BE⊥AC，∴∠BEC=90°，∴∠ADC=∠BEC，而∠ACD=∠BCE，∴△ACD∽△BCE、点评：此题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似、也考查了等腰三角形的性质、15、m是一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的实数根，求代数式的值、考点：一元二次方程的解、专题：计算题、分析：把x=m代入方程得到m2﹣2=3m，原式分子利用平方差公式化简，将m2﹣2=3m代入计算即可求出值、解答：解：把x=m代入方程得：m2﹣3m﹣2=0，即m2﹣2=3m，那么原式===3、点评：此题考查了一元二次方程的解，熟练掌握运算法那么是解此题的关键、16、抛物线y=2x2平移后经过点A〔0，3〕，B〔2，3〕，求平移后的抛物线的表达式、考点：二次函数图象与几何变换、专题：计算题、分析：由于抛物线平移前后二次项系数不变，那么可设平移后的抛物线的表达式为y=2x2+bx+c，然后把点A和点B的坐标代入得到关于b、c的方程组，解方程组求出b、c即可得到平移后的抛物线的表达式、解答：解：设平移后的抛物线的表达式为y=2x2+bx+c，把点A〔0，3〕，B〔2，3〕分别代入得，解得，所以平移后的抛物线的表达式为y=2x2﹣4x+3、点评：此题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式、17、如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y=2x与反比例函数y=的图象交于A，B两点，A点的横坐标为2，AC⊥x轴于点C，连接BC、〔1〕求反比例函数的解析式；〔2〕假设点P是反比例函数y=图象上的一点，且满足△OPC与△ABC的面积相等，请直接写出点P的坐标、考点：反比例函数与一次函数的交点问题、分析：〔1〕把A点横坐标代入正比例函数可求得A点坐标，代入反比例函数解析式可求得k，可求得反比例函数解析式；〔2〕由条件可求得B、C的坐标，可先求得△ABC的面积，再结合△OPC与△ABC的面积相等求得P点坐标、解答：解：〔1〕把x=2代入y=2x中，得y=2×2=4，∴点A坐标为〔2，4〕，∵点A在反比例函数y=的图象上，∴k=2×4=8，∴反比例函数的解析式为y=；〔2〕∵AC⊥OC，∴OC=2，∵A、B关于原点对称，∴B点坐标为〔﹣2，﹣4〕，∴B到OC的距离为4，∴S△ABC=2S△ACO=2××2×4=8，∴S△OPC=8，设P点坐标为〔x，〕，那么P到OC的距离为||，∴×||×2=8，解得x=1或﹣1，∴P点坐标为〔1，8〕或〔﹣1，﹣8〕、点评：此题主要考查待定系数法求函数解析式及函数的交点问题，在〔1〕中求得A点坐标、在〔2〕中求得P点到OC的距离是解题的关键、18、如图，△ABC中，∠ACB=90°，sinA=，BC=8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E、〔1〕求线段CD的长；〔2〕求cos∠ABE的值、考点：解直角三角形；勾股定理、专题：计算题、分析：〔1〕在△ABC中根据正弦的定义得到sinA==，那么可计算出AB=10，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可得到CD=AB=5；〔2〕在Rt△ABC中先利用勾股定理计算出AC=6，在根据三角形面积公式得到S△BDC=S△ADC，那么S△BDC=S△ABC，即CD•BE=•AC•BC，于是可计算出BE=，然后在Rt△BDE中利用余弦的定义求解、解答：解：〔1〕在△ABC中，∵∠ACB=90°，∴sinA==，而BC=8，∴AB=10，∵D是AB中点，∴CD=AB=5；〔2〕在Rt△ABC中，∵AB=10，BC=8，∴AC==6，∵D是AB中点，∴BD=5，S△BDC=S△ADC，∴S△BDC=S△ABC，即CD•BE=•AC•BC，∴BE==，在Rt△BDE中，cos∠DBE===，即cos∠ABE的值为、点评：此题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由元素求未知元素的过程就是解直角三角形、也考查了直角三角形斜边上的中线性质和三角形面积公式、19、关于x的一元二次方程mx2﹣〔m+2〕x+2=有两个不相等的实数根x1，x2、〔1〕求m的取值范围；〔2〕假设x2＜0，且＞﹣1，求整数m的值、考点：根的判别式；根与系数的关系、专题：计算题、分析：〔1〕由二次项系数不为0，且根的判别式大于0，求出m的范围即可；〔2〕利用求根公式表示出方程的解，根据题意确定出m的范围，找出整数m的值即可、解答：解：〔1〕由得：m≠0且△=〔m+2〕2﹣8m=〔m﹣2〕2＞0，那么m的范围为m≠0且m≠2；〔2〕方程解得：x=，即x=1或x=，∵x2＜0，∴x2=＜0，即m＜0，∵＞﹣1，∴＞﹣1，即m＞﹣2，∵m≠0且m≠2，∴﹣2＜m＜0，∵m为整数，∴m=﹣1、点评：此题考查了根的判别式，一元二次方程有两个不相等的实数根即为根的判别式大于0、20、某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，据调查显示，每个档次的日产量及相应的单件利润如表所示〔其中x为正整数，且1≤x≤10〕；质量档次12...x (10)日产量〔件〕9590...100﹣5x (50)单件利润〔万元〕68...2x+4 (24)为了便于调控，此工厂每天只生产一个档次的产品，当生产质量档次为x的产品时，当天的利润为y万元、〔1〕求y关于x的函数关系式；〔2〕工厂为获得最大利润，应选择生产哪个档次的产品？并求出当天利润的最大值、考点：二次函数的应用、分析：〔1〕根据总利润=单件利润×销售量就可以得出y与x之间的函数关系式；〔2〕由〔1〕的解析式转化为顶点式，由二次函数的性质就可以求出结论、解答：解：〔1〕由题意，得y=〔100﹣5x〕〔2x+4〕，y=﹣10x2+180x+400〔1≤x≤10的整数〕；答：y关于x的函数关系式为y=﹣10x2+180x+400；〔2〕∵y=﹣10x2+180x+400，∴y=﹣10〔x﹣9〕2+1210、∵1≤x≤10的整数，∴x=9时，y最大=1210、答：工厂为获得最大利润，应选择生产9档次的产品，当天利润的最大值为1210万元、点评：此题考查了总利润=单件利润×销售量的运用，二次函数的解析式的运用，顶点式的运用，解答时求出函数的解析式是关键、21、如图，四边形ABCD是平行四边形，点A，B，C在⊙O上，AD与⊙O相切，射线AO交BC 于点E，交⊙O于点F、点P在射线AO上，且∠PCB=2∠BAF、〔1〕求证：直线PC是⊙O的切线；〔2〕假设AB=，AD=2，求线段PC的长、考点：切线的判定；勾股定理；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质、分析：〔1〕首先连接OC，由AD与⊙O相切，可得FA⊥AD，四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，然后由垂径定理可证得F是的中点，BE=CE，∠OEC=90°，又由∠PCB=2∠BAF，即可求得∠OCE+∠PCB=90°，继而证得直线PC是⊙O的切线；〔2〕首先由勾股定理可求得AE的长，然后设⊙O的半径为r，那么OC=OA=r，OE=3﹣r，那么可求得半径长，易得△OCE∽△CPE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得线段PC的长、解答：〔1〕证明：连接OC、∵AD与⊙O相切于点A，∴FA⊥AD、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴FA⊥BC、∵FA经过圆心O，∴F是的中点，BE=CE，∠OEC=90°，∴∠COF=2∠BAF、∵∠PCB=2∠BAF，∴∠PCB=∠COF、∵∠OCE+∠COF=180°﹣∠OEC=90°，∴∠OCE+∠PCB=90°、∴OC⊥PC、∵点C在⊙O上，∴直线PC是⊙O的切线、〔2〕解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=2、∴BE=CE=1、在Rt△ABE中，∠AEB=90°，AB=，∴、设⊙O的半径为r，那么OC=OA=r，OE=3﹣r、在Rt△OCE中，∠OEC=90°，∴OC2=OE2+CE2、∴r2=〔3﹣r〕2+1、解得，∵∠COE=∠PCE，∠OEC=∠CEP=90°、∴△OCE∽△CPE，∴、∴、∴、点评：此题考查了切线的判定、平行四边形的性质、勾股定理以及相似三角形的判定与性质、此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用、22、阅读下面材料：小明观察一个由1×1正方形点阵组成的点阵图，图中水平与竖直方向上任意两个相邻点间的距离都是1，他发现一个有趣的问题：对于图中出现的任意两条端点在点阵上且互相不垂直的线段，都可以在点阵中找到一点构造垂直，进而求出它们相交所成锐角的正切值、请回答：〔1〕如图1，A，B，C是点阵中的三个点，请在点阵中找到点D，作出线段CD，使得CD⊥AB；〔2〕如图2，线段AB与CD交于点O、为了求出∠AOD的正切值，小明在点阵中找到了点E，连接AE，恰好满足AE⊥CD于点F，再作出点阵中的其它线段，就可以构造相似三角形，经过推理和计算能够使问题得到解决、请你帮小明计算：OC=；tan∠AOD=5；解决问题：如图3，计算：tan∠AOD=、考点：相似形综合题、分析：〔1〕用三角板过C作AB的垂线，从而找到D的位置；〔2〕连接AC、DB、AD、DE、由△ACO∽△DBO求得CO的长，由等腰直角三角形的性质可以求出AF，DF的长，从而求出OF的长，在Rt△AFO中，根据锐角三角函数的定义即可求出tan∠AOD的值；〔3〕如图，连接AE、BF，那么AF=，AB=，由△AOE∽△BOF，可以求出AO=，在Rt△AOF中，可以求出OF=，故可求得tan∠AOD、解答：解：〔1〕如下图：线段CD即为所求、〔2〕如图2所示连接AC、DB、AD、∵AD=DE=2，∴AE=2、∵CD⊥AE，∴DF=AF=、∵AC∥BD，∴△ACO∽△DBO、∴CO：DO=2：3、∴CO=、∴DO=、∴OF=、tan∠AOD=、〔3〕如图3所示：根据图形可知：BF=2，AE=5、由勾股定理可知：AF==，AB==、∵FB∥AE，∴△AOE∽△BOF、∴AO：OB=AE：FB=5：2、∴AO=、在Rt△AOF中，OF==、∴tan∠AOD=、点评：此题主要考查的是相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用、锐角三角函数的定义，根据点阵图构造相似三角形是解题的关键、23、在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=的图象经过点A〔1，4〕、B〔m，n〕、〔1〕求代数式mn的值；〔2〕假设二次函数y=〔x﹣1〕2的图象经过点B，求代数式m3n﹣2m2n+3mn﹣4n的值；〔3〕假设反比例函数y=的图象与二次函数y=a〔x﹣1〕2的图象只有一个交点，且该交点在直线y=x的下方，结合函数图象，求a的取值范围、考点：反比例函数综合题；代数式求值；反比例函数与一次函数的交点问题；二次函数的性质、专题：综合题；数形结合；分类讨论、分析：〔1〕只需将点A、B的坐标代入反比例函数的解析式就可解决问题；〔2〕将点B的坐标代入y=〔x﹣1〕2得到n=m2﹣2m+1，先将代数式变形为mn〔m2﹣2m+1〕+2mm﹣4n，然后只需将m2﹣2m+1用n代替，即可解决问题；〔3〕可先求出直线y=x与反比例函数y=交点C和D的坐标，然后分a＞0和a＜0两种情况讨论，先求出二次函数的图象经过点D或C时对应的a的值，再结合图象，利用二次函数的性质〔|a|越大，抛物线的开口越小〕就可解决问题、解答：解：〔1〕∵反比例函数y=的图象经过点A〔1，4〕、B〔m，n〕，∴k=mn=1×4=4，即代数式mn的值为4；〔2〕∵二次函数y=〔x﹣1〕2的图象经过点B，∴n=〔m﹣1〕2=m2﹣2m+1，∴m3n﹣2m2n+3mn﹣4n=m3n﹣2m2n+mn+2mn﹣4n=mn〔m2﹣2m+1〕+2mm﹣4n=4n+2×4﹣4n=8，即代数式m3n﹣2m2n+3mn﹣4n的值为8；〔3〕设直线y=x与反比例函数y=交点分别为C、D，解，得：或，∴点C〔﹣2，﹣2〕，点D〔2，2〕、①假设a＞0，如图1，当抛物线y=a〔x﹣1〕2经过点D时，有a〔2﹣1〕2=2，解得：a=2、∵|a|越大，抛物线y=a〔x﹣1〕2的开口越小，∴结合图象可得：满足条件的a的范围是0＜a＜2；②假设a＜0，如图2，当抛物线y=a〔x﹣1〕2经过点C时，有a〔﹣2﹣1〕2=﹣2，解得：a=﹣、∵|a|越大，抛物线y=a〔x﹣1〕2的开口越小，∴结合图象可得：满足条件的a的范围是a＜﹣、综上所述：满足条件的a的范围是0＜a＜2或a＜﹣、点评：此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、求代数式的值、求直线与反比例函数图象的交点坐标、二次函数的性质等知识，另外还重点对整体思想、数形结合的思想、分类讨论的思想进行了考查，运用整体思想是解决第〔2〕小题的关键，考虑临界位置并运用数形结合及分类讨论的思想是解决第〔3〕小题的关键、24、如图1，在△ABC中，BC=4，以线段AB为边作△ABD，使得AD=BD，连接DC，再以DC 为边作△CDE，使得DC=DE，∠CDE=∠ADB=α、〔1〕如图2，当∠ABC=45°且α=90°时，用等式表示线段AD，DE之间的数量关系；〔2〕将线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，连接BF，AF、①假设α=90°，依题意补全图3，求线段AF的长；②请直接写出线段AF的长〔用含α的式子表示〕、考点：几何变换综合题、分析：〔1〕根据等腰直角三角形的性质得出即可；〔2〕①设DE与BC相交于点H，连接AE，交BC于点G，根据SAS推出△ADE≌△BDC，根据全等三角形的性质得出AE=BC，∠AED=∠BCD、求出∠AFE=45°，解直角三角形求出即可；②过E作EM⊥AF于M，根据等腰三角形的性质得出∠AEM=∠FME=，AM=FM，解直角三角形求出FM即可、解答：解：〔1〕AD+DE=4，理由是：如图1，∵∠ADB=∠EDC=∠α=90°，AD=BD，DC=DE，∴AD+DE=BC=4；〔2〕①补全图形，如图2，设DE与BC相交于点H，连接AE，交BC于点G，∵∠ADB=∠CDE=90°，∴∠ADE=∠BDC，在△ADE与△BDC中，，∴△ADE≌△BDC，∴AE=BC，∠AED=∠BCD、∵DE与BC相交于点H，∴∠GHE=∠DHC，∴∠EGH=∠EDC=90°，∵线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，∴EF=CB=4，EF∥CB，∴AE=EF，∵CB∥EF，∴∠AEF=∠EGH=90°，∵AE=EF，∠AEF=90°，∴∠AFE=45°，∴AF==4；②如图2，过E作EM⊥AF于M，∵由①知：AE=EF=BC，∴∠AEM=∠FME=，AM=FM，∴AF=2FM=EF×sin=8sin、点评：此题考查了全等三角形的性质和判定，解直角三角形，等腰三角形的性质，平移的性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，综合性比较强，难度偏大、25、在平面直角坐标系xOy中，设点P〔x1，y1〕，Q〔x2，y2〕是图形W上的任意两点、定义图形W的测度面积：假设|x1﹣x2|的最大值为m，|y1﹣y2|的最大值为n，那么S=mn为图形W的测度面积、例如，假设图形W是半径为1的⊙O，当P，Q分别是⊙O与x轴的交点时，如图1，|x1﹣x2|取得最大值，且最大值m=2；当P，Q分别是⊙O与y轴的交点时，如图2，|y1﹣y2|取得最大值，且最大值n=2、那么图形W的测度面积S=mn=4〔1〕假设图形W是等腰直角三角形ABO，OA=OB=1、①如图3，当点A，B在坐标轴上时，它的测度面积S=1；②如图4，当AB⊥x轴时，它的测度面积S=1；〔2〕假设图形W是一个边长1的正方形ABCD，那么此图形的测度面积S的最大值为2；〔3〕假设图形W是一个边长分别为3和4的矩形ABCD，求它的测度面积S的取值范围、考点：圆的综合题、分析：〔1〕由测度面积的定义利用它的测度面积S=|OA|•|OB|求解即可；②利用等腰直角三角形的性质求出AC，AB，利用测度面积S=|AB|•|OC|求解即可；〔2〕先确定正方形有最大测度面积S时的图形，即可利用测度面积S=|AC|•|BD|求解、〔3〕分两种情况当A，B或B，C都在x轴上时，当顶点A，C都不在x轴上时分别求解即可、解答：解：〔1〕①如图3，。
2018-2019学年北京市海淀区清华附中上地学校九年级(上)月考数学试卷(12月份)(答案版)
2018-2019学年北京市海淀区清华附中上地学校九年级（上）月考数学试卷（12月份）一、选择题（本题共16分，每题2分）1．如图可以看作是一个等腰直角三角形旋转若干次而生成的，则每次旋转的度数可以是（）A．90°B．60°C．45°D．30°2．半径为2、圆心角为30°的扇形的面积为（）A．2πB．πC．πD．π3．如图4，过正方形ABCD的顶点B作直线l，过A，C作直线l的垂线，垂足分别为E，F，若AE＝1，CF＝3，则AB的长为（）A．B．10C．3D．4．如图，夏季的一天，身高为1.6m的小玲想测量一下屋前大树的高度，她沿着树影BA由B到A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC＝3.2m，CA＝0.8m，于是得出树的高度为（）A．8m B．6.4m C．4.8m D．10m5．若二次函数y＝ax2+1的图象经过点（﹣2，0），则关于x的方程a（x﹣2）2+1＝0的实数根为（）A．x1＝0，x2＝4B．x1＝﹣2，x2＝6C．x1＝，x2＝D．x1＝﹣4，x2＝06．如图，点A是反比例函数y＝的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B．点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC的面积为3，则k的值是（）A．3B．﹣3C．6D．﹣67．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y＝bx+c和反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．8．如图，正△ABC内接于⊙O，P是劣弧BC上任意一点，PA与BC交于点E，有如下结论：①PA＝PB+PC；②；③PA•PE＝PB•PC．其中，正确结论的个数为（）A．3个B．2个C．1个D．0个二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．在实数范围内，若有意义，则x的取值范围．10．有画有等腰三角形、平行四边形、等腰梯形、长方形、等边三角形五张卡片，背面朝下，颜色、形状、大小都一样，任取一张是中心对称图形的概率是．11．当k时，方程kx2+x＝2﹣5x2是关于x的一元二次方程．12．若抛物线y＝2x2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，平移后抛物线的表达式是．13．如图，将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，B点落在B'位置，A点落在A'位置，若AC⊥A'B'，则∠BAC的度数是．14．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC＝124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为．15．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝3，AE垂直平分OB 于点E，则AD的长为．16．如图，点P、Q分别是正方形ABCD中边CD和AD的中点，动点E从点A向点B 运动，到点B时停止运动；同时，动点F从点P出发，沿P→D→Q运动，点E、F 的运动速度相同．设点E的运动路程为x，△AEF的面积为y，y与x的大致函数图象如图所示，则△AEF的最大面积为．三．解答题（本题共68分，第17-22题，每小題5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程17．解下列方程（1）（x﹣5）2＝x﹣5（2）x2+12x+27＝0（配方法）．18．小清为班级办黑板报时遇到一个难题，在版面设计过程中需要将一个半圆三等分，小华帮他设计了一个尺规作图的方法．小华的作法如下：（1）作AB的垂直平分线CD交AB于点O；（2）分别，以A、B为圆心，以AO（或BO）的长为半径画弧，分别交半圆于点M、N；（3）连接OM、ON即可请根据该同学的作图方法完成以下推理：∵半圆AB∴是直径．∵CD是线段AB的垂直平分线∴OA＝OB（依据：）∵OA＝OM＝∴△OAM为等边三角形（依据：）∴∠AOM＝60°（依据：）同理可得∠BON＝60°∠AOM＝∠BON＝∠MON＝60°19．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．（1）画出△AOB平移后的三角形，其平移后的方向为射线AD的方向，平移的距离为AD的长．（2）观察平移后的图形，除了矩形ABCD外，还有一种特殊的平行四边形？请证明你的结论．20．阅读新知：化简后，一般形式为ax4+bx2+c＝0（a≠0）的方程，由于其具有只含有未知数偶次项的四次方程，我们称其为“双二次方程”．这类方程我们一般可以通过换元法求解．如：求解2x4﹣5x2+3＝0的解．解：设x2＝t，则原方程可化为：2t2﹣5t+3＝0，解之得t1＝1，t2＝当t1＝1时，x2＝1，∴x1＝1，x2＝﹣1；当t2＝时x2＝∴x3＝，x4＝﹣．综上，原方程的解为：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝，x4＝﹣．（1）通过上述阅读，请你求出方程3y4+8y2﹣3＝0的解；（2）判断双二次方程ax4+bx2+c＝0（a≠0）根的情况，下列说法正确的是（选出正确的答案）．①当b2﹣4ac≥0时，原方程一定有实数根；②当b2﹣4ac＜0时，原方程一定没有实数根；③原方程无实数根时，一定有b2﹣4ac＜0．21．如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF．（1）求证：四边形ACDF是平行四边形；（2）当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由．22．问题探究：新定义：将一个平面图形分为面积相等的两个部分的直线叫做该平面图形的“等积线”，其“等积线”被该平面图形截得的线段叫做该平面图形的“等积线段”（例如圆的直径就是圆的“等积线段”）．解决问题：已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2．（1）如图1，若AD⊥BC，垂足为D，则AD是△ABC的一条等积线段，求AD的长；（2）在图2和图3中，分别画出一条等积线段，并求出它们的长度．（要求：使得图1、图2和图3中的等积线段的长度各不相等）23．如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝的图象与直线y＝x+1交于点A （1，a）．（1）求a，k的值；（2）连结OA，点P是函数y＝上一点，且满足OP＝OA，直接写出点P的坐标（点A除外）．24．已知，在平面直角坐标系中，点P（0，2），以P为圆心，OP为半径的半圆与y轴的另一个交点是C，一次函数y＝﹣x+m（m为实数）的图象为直线l，l分别交x轴，y轴于A，B两点，如图1．（1）B点坐标是（用含m的代数式表示），∠ABO＝°；（2）若点N是直线AB与半圆CO的一个公共点（两个公共点时，N为右侧一点），过点N作⊙P的切线交x轴于点E，如图2．①是否存在这样的m的值，使得△EBN是直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．②当＝时，求m的值．25．如图，平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（6，4）．（1）请用直尺（不带刻度）和圆规作一条直线AC，它与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和点C，且使∠ABC＝90°，△ABC与△AOC的面积相等．（作图不必写作法，但要保留作图痕迹．）（2）问：（1）中这样的直线AC是否唯一？若唯一，请说明理由；若不唯一，请在图中画出所有这样的直线AC，并写出与之对应的函数表达式．26．已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣2a（a≠0）（1）该二次函数图象的对称轴是直线．（2）若该二次函数的图象开口向上，当﹣1≤x≤5时，函数图象的最高点为M，最低点为N，点M的纵坐标为，求点M和点N的坐标；（3）对于该二次函数图象上的两点A（x1，y1）B（x2，y2），设t≤x1≤t+1，当x2≥3时，具有y1≥y2，请结合图象，直接写出t的取值范围．27．如图①，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PE＝PA，PE交CD于F．（1）求证：PC＝PE；（2）求∠CPE的度数；（3）如图②，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其它条件不变，若∠ABC＝65°，则∠CPE＝度．28．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b）和点Q（a，b′），给出如下定义：若b′＝，则称点Q为点P的理想点．例如：点（1，2）的理想点的坐标是（1，﹣2），点（﹣2，3）的理想点的坐标是（﹣2，3）．（1）点（，﹣1）理想点的坐标是；若点C在函数y＝2x2的图象上，则它的理想点是A（1，﹣2），B（﹣1，2）中的哪一个？；（2）若点P在函数y＝﹣2x+4（﹣2≤x≤k，k＞﹣2）的图象上，其理想点为Q：①若其理想点Q的纵坐标b′的取值范围是﹣6≤b′≤10，求k的值；②在①的条件下，若点P的理想点Q都不在反比例函数y＝（m＜0，x＞0）上，求m的取值范围．2018-2019学年北京市海淀区清华附中上地学校九年级（上）月考数学试卷（12月份）参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每题2分）1．如图可以看作是一个等腰直角三角形旋转若干次而生成的，则每次旋转的度数可以是（ ）A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°【分析】根据旋转的性质，观察图形，中心角是由8个度数相等的角组成，结合周角是360°求得每次旋转的度数．【解答】解：∵中心角是由8个度数相等的角组成， ∴每次旋转的度数可以为360°÷8＝45°． 故选：C ．【点评】本题把一个周角是360°和图形的旋转的特点结合求解．注意结合图形解题的思想．2．半径为2、圆心角为30°的扇形的面积为（ ）A ．2πB ．πC ．πD ．π【分析】直接利用扇形面积公式计算即可．【解答】解：扇形的面积＝＝π．故选：D ．【点评】本题考查了扇形面积的计算：扇形面积计算公式：设圆心角是n °，圆的半径为R 的扇形面积为S ，则S 扇形＝πR 2或S 扇形＝lR （其中l 为扇形的弧长）． 3．如图4，过正方形ABCD 的顶点B 作直线l ，过A ，C 作直线l 的垂线，垂足分别为E ，F ，若AE ＝1，CF ＝3，则AB 的长为（ ）A．B．10C．3D．【分析】先利用AAS判定△ABE≌△BCF，从而得出AE＝BF，BE＝CF，最后得出AB 的长．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠CBF+∠FBA＝90°，AB＝BC，∵CF⊥BE，∴∠CBF+∠BCF＝90°，∴∠BCF＝∠ABE，∵∠AEB＝∠BFC＝90°，AB＝BC，∴△ABE≌△BCF（AAS）∴AE＝BF，BE＝CF，∴AB＝．故选：A．【点评】此题主要考查了正方形的性质及全等三角形的判定方法，做题时要注意各个条件之间的关系并灵活运用．4．如图，夏季的一天，身高为1.6m的小玲想测量一下屋前大树的高度，她沿着树影BA由B到A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC＝3.2m，CA＝0.8m，于是得出树的高度为（）A．8m B．6.4m C．4.8m D．10m【分析】求出AB的长度，然后根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可．【解答】解：如图，∵BC＝3.2m，CA＝0.8m，∴AB＝AC+BC＝0.8+3.2＝4cm，∵小玲与大树都与地面垂直，∴△ACE∽△ABD，∴＝，即＝，解得BD＝8．故选：A．【点评】本题考查了相似三角形的应用，判断出相似三角形，利用相似三角形对应边成比例列出比例式是解题的关键．5．若二次函数y＝ax2+1的图象经过点（﹣2，0），则关于x的方程a（x﹣2）2+1＝0的实数根为（）A．x1＝0，x2＝4B．x1＝﹣2，x2＝6C．x1＝，x2＝D．x1＝﹣4，x2＝0【分析】二次函数y＝ax2+1的图象经过点（﹣2，0），得到4a+1＝0，求得a＝﹣，代入方程a（x﹣2）2+1＝0即可得到结论．【解答】解：∵二次函数y＝ax2+1的图象经过点（﹣2，0），∴4a+1＝0，∴a＝﹣，∴方程a（x﹣2）2+1＝0为：方程﹣（x﹣2）2+1＝0，解得：x1＝0，x2＝4，故选：A．【点评】本题考查了二次函数与x轴的交点问题，二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程的解，正确的理解题意是解题的关键．6．如图，点A是反比例函数y＝的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B．点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC的面积为3，则k的值是（）A．3B．﹣3C．6D．﹣6【分析】连结OA，如图，利用三角形面积公式得到S△OAB ＝S△CAB＝3，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到|k|＝3，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值．【解答】解：连结OA，如图，∵AB⊥x轴，∴OC∥AB，∴S△OAB ＝S△CAB＝3，而S△OAB＝|k|，∴|k|＝3，∵k＜0，∴k＝﹣6．故选：D．【点评】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．7．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y＝bx+c和反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】根据二次函数图象开口方向与对称轴判断出a、b的正负情况，再根据二次函数图象与y轴的交点判断出c＝0，然后根据一次函数图象与系数的关系，反比例函数图象与系数的关系判断出两图象的大致情况即可得解．【解答】解：∵二次函数图象开口向下，∴a＜0，∵对称轴x＝﹣＜0，∴b＜0，∵二次函数图象经过坐标原点，∴c＝0，∴一次函数y＝bx+c过第二四象限且经过原点，反比例函数y＝位于第二四象限，纵观各选项，只有C选项符合．故选：C．【点评】本题考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，根据二次函数图象判断出a、b、c的情况是解题的关键，也是本题的难点．8．如图，正△ABC内接于⊙O，P是劣弧BC上任意一点，PA与BC交于点E，有如下结论：①PA＝PB+PC；②；③PA•PE＝PB•PC．其中，正确结论的个数为（）A．3个B．2个C．1个D．0个【分析】根据题意：易得△APC≌△BDC．即AP＝BD，有PA＝DB＝PB+PD＝PB+PC 正确．同时可得：②错误，同理易得△PBE∽△PAC，故有PA•PE＝PB•PC；③正确．【解答】解：延长BP到D，使PD＝PC，连接CD，可得∠CPD＝∠BAC＝60°，则△PCD为等边三角形，∵△ABC为正三角形，∴BC＝AC∵∠PBC＝∠CAP，∠CPA＝∠CDB，∴△APC≌△BDC（AAS）．∴PA＝DB＝PB+PD＝PB+PC，故①正确；由（1）知△PBE∽△PAC，则＝，＝，+＝+≠1，∴②错误；∵∠CAP＝∠EBP，∠BPE＝∠CPA∴△PBE∽△PAC∴∴PA•PE＝PB•PC，故③正确；故选：B．【点评】本题考查等边三角形的性质与运用，其三边相等，三个内角相等，均为60°．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．在实数范围内，若有意义，则x的取值范围x≤．【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围．【解答】解：根据题意得1﹣2x≥0，解得：x≤，故答案为：x≤．【点评】本题考查了二次根式的性质，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．10．有画有等腰三角形、平行四边形、等腰梯形、长方形、等边三角形五张卡片，背面朝下，颜色、形状、大小都一样，任取一张是中心对称图形的概率是．【分析】由这5张卡片中是中心对称图形的有平行四边形和长方形这2张，直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：∵在这5张卡片中是中心对称图形的有平行四边形和长方形这2张，∴任取一张是中心对称图形的概率是，故答案为：．【点评】此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．11．当k≠﹣5时，方程kx2+x＝2﹣5x2是关于x的一元二次方程．【分析】直接利用一元二次方程的定义分析得出答案．【解答】解：∵方程kx2+x＝2﹣5x2是关于x的一元二次方程，∴（k+5）x2+x﹣2＝0，则k+5≠0，解得：k≠﹣5．故答案为：≠﹣5．【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握定义是解题关键．12．若抛物线y＝2x2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，平移后抛物线的表达式是y＝2（x+1）2﹣2．【分析】根据函数图象的平移规律，可得答案．【解答】解：y＝2x2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，平移后抛物线的表达式是y＝2（x+1）2﹣2，故答案为：y＝2（x+1）2﹣2．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用函数图象的平移规律：左加右减，上加下减是解题关键．13．如图，将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，B点落在B'位置，A点落在A'位置，若AC⊥A'B'，则∠BAC的度数是70°．【分析】由旋转的角度易得∠ACA′＝20°，若AC⊥A'B'，则∠A′、∠ACA′互余，由此求得∠ACA′的度数，由于旋转过程并不改变角的度数，因此∠BAC＝∠A′，即可得解．【解答】解：由题意知：∠ACA′＝20°；若AC⊥A'B'，则∠A′+∠ACA′＝90°，得：∠A′＝90°﹣20°＝70°；由旋转的性质知：∠BAC＝∠A′＝70°；故∠BAC的度数是70°．【点评】此题主要考查了旋转的性质，难度不大．14．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC＝124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为68°．【分析】由点I是△ABC的内心知∠BAC＝2∠IAC、∠ACB＝2∠ICA，从而求得∠B＝180°﹣（∠BAC+∠ACB）＝180°﹣2（180°﹣∠AIC），再利用圆内接四边形的外角等于内对角可得答案．【解答】解：∵点I是△ABC的内心，∴∠BAC＝2∠IAC、∠ACB＝2∠ICA，∵∠AIC＝124°，∴∠B＝180°﹣（∠BAC+∠ACB）＝180°﹣2（∠IAC+∠ICA）＝180°﹣2（180°﹣∠AIC）＝68°，又四边形ABCD内接于⊙O，∴∠CDE＝∠B＝68°，故答案为：68°．【点评】本题主要考查三角形的内切圆与内心，解题的关键是掌握三角形的内心的性质及圆内接四边形的性质．15．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝3，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为3．【分析】由矩形的性质和线段垂直平分线的性质证出OA＝AB＝OB＝3，得出BD＝2OB ＝6，由勾股定理求出AD即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD，∴OA＝OB，∵AE垂直平分OB，∴AB＝AO，∴OA＝AB＝OB＝3，∴BD＝2OB＝6，∴AD＝＝＝3；故答案为：3．【点评】此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．16．如图，点P、Q分别是正方形ABCD中边CD和AD的中点，动点E从点A向点B 运动，到点B时停止运动；同时，动点F从点P出发，沿P→D→Q运动，点E、F 的运动速度相同．设点E的运动路程为x，△AEF的面积为y，y与x的大致函数图象如图所示，则△AEF的最大面积为．【分析】由图象确定正方形边长，再表示x＞2时△AEF的面积，讨论△AEF面积的最大值．【解答】解：结合题意和图象可知，x＝2时，点E在AB中点，点Q到D点∴AB＝4当2≤x≤4时，y＝当x＝﹣时，y最大＝故答案为：【点评】本题是双动点函数图象探究题，考查了学生对动点到达临界点前后函数图象的变化意义的理解，解答时注意数形结合．三．解答题（本题共68分，第17-22题，每小題5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程17．解下列方程（1）（x﹣5）2＝x﹣5（2）x2+12x+27＝0（配方法）．【分析】（1）先移项得到（x﹣5）2﹣（x﹣5）＝0，然后利用因式分解法解方程；（2）利用配方法得到（x+6）2＝9，然后利用直接开平方法解方程．【解答】解：（1）（x﹣5）2﹣（x﹣5）＝0，（x﹣5）（x﹣5﹣1）＝0，x﹣5＝0或x﹣6＝0，所以x1＝5，x2＝6；（2）x2+12x＝﹣27，x2+12x+36＝9，（x+6）2＝9，x+6＝±3，所以x1＝﹣3，x2＝﹣9．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了公式法和配方法解一元二次方程．18．小清为班级办黑板报时遇到一个难题，在版面设计过程中需要将一个半圆三等分，小华帮他设计了一个尺规作图的方法．小华的作法如下：（1）作AB的垂直平分线CD交AB于点O；（2）分别，以A、B为圆心，以AO（或BO）的长为半径画弧，分别交半圆于点M、N；（3）连接OM、ON即可请根据该同学的作图方法完成以下推理：∵半圆AB∴AB是直径．∵CD是线段AB的垂直平分线∴OA＝OB（依据：中垂线的定义）∵OA＝OM＝AM∴△OAM为等边三角形（依据：等边三角形的定义）∴∠AOM＝60°（依据：等边三角形的性质）同理可得∠BON＝60°∠AOM＝∠BON＝∠MON＝60°【分析】应先做线段AB的垂直平分线，得到半圆的圆心；三等分平角，那么平分而成的每个角是60°根据半径相等，可得到相邻两个半径的端点与圆心组成一个等边三角形．以A为圆心，半径长为半径画弧，就可得到一个另一半径的端点所在的位置，连接它与圆心，就得到一条三等分线，同法做到另一三等分线．【解答】解：∵半圆AB，∴AB是直径．∵CD是线段AB的垂直平分线∴OA＝OB（依据：中垂线的定义）∵OA＝OM＝AM，∴△OAM为等边三角形（依据：等边三角形的定义）∴∠AOM＝60°（依据：等边三角形的性质）同理可得∠BON＝60°∠AOM＝∠BON＝∠MON＝60°，故答案为：AB，中垂线的定义，AM，等边三角形的定义，等边三角形的性质．【点评】本题主要考查作图﹣复杂作图，本题用到的知识点为：弦的垂直平分线经过圆心；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．19．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．（1）画出△AOB平移后的三角形，其平移后的方向为射线AD的方向，平移的距离为AD的长．（2）观察平移后的图形，除了矩形ABCD外，还有一种特殊的平行四边形？请证明你的结论．【分析】（1）根据图形平移的性质画出平移后的△DEC即可；（2）根据图形平移的性质得出AC∥DE，OA＝DE，故四边形OCED是平行四边形，再由矩形的性质可知OA＝OB，故DE＝CE，由此可得出结论．【解答】解：（1）如图所示；（2）四边形OCED是菱形．理由：∵△DEC由△AOB平移而成，∴AC∥DE，BD∥CE，OA＝DE，OB＝CE，∴四边形OCED是平行四边形．∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB，∴DE＝CE，∴四边形OCED是菱形．【点评】本题考查的是作图﹣平移变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．20．阅读新知：化简后，一般形式为ax4+bx2+c＝0（a≠0）的方程，由于其具有只含有未知数偶次项的四次方程，我们称其为“双二次方程”．这类方程我们一般可以通过换元法求解．如：求解2x4﹣5x2+3＝0的解．解：设x2＝t，则原方程可化为：2t2﹣5t+3＝0，解之得t1＝1，t2＝当t1＝1时，x2＝1，∴x1＝1，x2＝﹣1；当t2＝时x2＝∴x3＝，x4＝﹣．综上，原方程的解为：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝，x4＝﹣．（1）通过上述阅读，请你求出方程3y4+8y2﹣3＝0的解；（2）判断双二次方程ax4+bx2+c＝0（a≠0）根的情况，下列说法正确的是②（选出正确的答案）．①当b2﹣4ac≥0时，原方程一定有实数根；②当b2﹣4ac＜0时，原方程一定没有实数根；③原方程无实数根时，一定有b2﹣4ac＜0．【分析】（1）先设t＝y2，则原方程变形为3t2+8t﹣3＝0，运用因式分解法解得t1＝，t2＝﹣3，再把t＝和﹣3分别代入t＝y2得到关于y的一元二次方程，然后解两个一元二次方程，最后确定原方程的解．（2）根据阅读新知即可判断①②③．【解答】（1）解：设y2＝t，则原方程可化为：3t2+8t﹣3＝0，解得：t1＝，t2＝﹣3．当t1＝时，y2＝，y＝±；当t2＝﹣3时y2＝﹣3，此时原方程无；．综上，原方程的解为：y1＝，y2﹣；（2）根据阅读新知可判断②正确；如：x4+4x2+3＝0，虽然△＝b2﹣4ac＝16﹣12＝4＞0，但原方程可化为（x2+1）（x2+3）＝0，明显，此方程无解；所以，①③错误，故答案为②．【点评】本题考查了换元法解一元二次方程：当所给方程是双二次方程时，可考虑用换元法降次求解．21．如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF．（1）求证：四边形ACDF是平行四边形；（2）当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由．【分析】（1）利用矩形的性质，即可判定△FAE≌△CDE，即可得到CD＝FA，再根据CD∥AF，即可得出四边形ACDF是平行四边形；（2）先判定△CDE是等腰直角三角形，可得CD＝DE，再根据E是AD的中点，可得AD＝2CD，依据AD＝BC，即可得到BC＝2CD．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠FAE＝∠CDE，∵E是AD的中点，∴AE＝DE，又∵∠FEA＝∠CED，∴△FAE≌△CDE，∴CD＝FA，又∵CD∥AF，∴四边形ACDF是平行四边形；（2）BC＝2CD．证明：∵CF平分∠BCD，∴∠DCE＝45°，∵∠CDE＝90°，∴△CDE是等腰直角三角形，∴CD＝DE，∵E是AD的中点，∴AD＝2CD，∵AD＝BC，∴BC＝2CD．【点评】本题主要考查了矩形的性质以及平行四边形的判定与性质，要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．22．问题探究：新定义：将一个平面图形分为面积相等的两个部分的直线叫做该平面图形的“等积线”，其“等积线”被该平面图形截得的线段叫做该平面图形的“等积线段”（例如圆的直径就是圆的“等积线段”）．解决问题：已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2．（1）如图1，若AD⊥BC，垂足为D，则AD是△ABC的一条等积线段，求AD的长；（2）在图2和图3中，分别画出一条等积线段，并求出它们的长度．（要求：使得图1、图2和图3中的等积线段的长度各不相等）【分析】（1）根据等积线段的定义，可知点D为线段BC的中点，然后根据题目中的条件可以求得AD的长度；（2）根据题意可以分别画出相应的图形，然后根据相应的图形分别求出相应的等积线段．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∵，∠C＝45°，AD是△ABC的一条等积线段，∴点D为线段BC的中点，BC＝4，∴AD＝2；（2）符合题意的图形如右上角图2和图3所示：如图2，当BD是△ABC的一条等积线段时，∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，BD是△ABC的一条等积线段，∴点D为AC的中点，∴AD＝，∴BD＝＝；如图3，当DE是△ABC的一条等积线段时，此时DE∥BC，则△ADE的面积等于△ABC面积的一半，∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，∴△ABC的面积为：，∴△ADE的面积是2，设AD＝a，则，得a2＝4，∴DE＝．【点评】本题考查相似三角形的判定与性质、等腰三角形、新定义、勾股定理，解题的关键是明确题目中等积线段的定义，利用数形结合的思想解答问题．23．如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝的图象与直线y＝x+1交于点A （1，a）．（1）求a，k的值；（2）连结OA，点P是函数y＝上一点，且满足OP＝OA，直接写出点P的坐标（点A除外）．【分析】（1）将点A（1，a）代入y＝x+1，求出a的值，得到A点坐标，再把A点坐标代入y＝，求出k的值；（2）设点P的坐标为（x，），根据OP＝OA列出方程x2+（）2＝12+22，解方程即可．【解答】解：（1）∵直线y＝x+1经过点A（1，a），∴a＝1+1＝2，∴A（1，2）．∵函数y＝的图象经过点A（1，2），∴k＝1×2＝2；（2）设点P的坐标为（x，），∵OP＝OA，∴x2+（）2＝12+22，化简整理，得x4﹣5x2+4＝0，解得x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2，经检验，x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2都是原方程的根，∵点P与点A不重合，∴点P的坐标为（﹣1，﹣2），（2，1），（﹣2，﹣1）．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数的解析式，两点间的距离公式，正确求出k的值是解题的关键．24．已知，在平面直角坐标系中，点P（0，2），以P为圆心，OP为半径的半圆与y轴的另一个交点是C，一次函数y＝﹣x+m（m为实数）的图象为直线l，l分别交x轴，y轴于A，B两点，如图1．（1）B点坐标是（m，0）（用含m的代数式表示），∠ABO＝30°；（2）若点N是直线AB与半圆CO的一个公共点（两个公共点时，N为右侧一点），过点N作⊙P的切线交x轴于点E，如图2．①是否存在这样的m的值，使得△EBN是直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．②当＝时，求m的值．【分析】（1）首先求出直线与x轴交点坐标，进而得出答案，再利用锐角三角函数关系得出∠ABO的度数；（2）①分别利用∠NEB＝90°和∠ENB＝90°，结合切线的性质得出m的值；②首先求出NG：EN＝，再得出△PHN∽△NGE，再利用相似三角形的性质，进而得出m的值．【解答】解：（1）当y＝0，则0＝﹣x+m，解得：x＝m，故B点坐标是（用含m的代数式表示），∵一次函数y＝﹣x+m与y轴交于点（0，m），∴tan∠ABO＝＝，∴∠ABO＝30°；故答案为：（m，0），30；（2）①如图①，假设存在这样的m的值，使得△EBN是直角三角形．连接NP若∠NEB＝90°，∵NE是⊙P的切线，∴∠PNE＝90°，∵∠POE＝90°，∴四边形OPNE是矩形，∴PN＝2，∠APN＝90°，在Rt△APN中，PN＝2，∠BAO＝60°，∴PA＝，∴m＝2+，若∠ENB＝90°，∵NE是⊙P的切线，∴∠PNE＝90°，∴点P、N、B三点共线，即点P与点A重合，∴m＝2，综上可知，m＝2或2+；②如图②，连接PN，过点E作，EG⊥AB于G，过点P作，PH⊥AB于H，则PA＝m﹣2，PH＝，∵＝，∴EB＝，EN＝EO＝，EG＝，∴EG：EN＝1：4，∴NG：EN＝，∵∠PNE＝90°，∴∠PNH+∠ENG＝90°，∵∠GNE+∠NEG＝90°，∴∠NEG＝∠PNH，∵∠PHN＝∠EGN＝90°，∴△PHN∽△NGE，∴＝，∴＝，解得：m＝．【点评】此题主要考查了圆的综合以及相似三角形的判定与性质和切线的性质等知识，熟练应用相似三角形的判定与性质是解题关键．25．如图，平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（6，4）．（1）请用直尺（不带刻度）和圆规作一条直线AC，它与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和点C，且使∠ABC＝90°，△ABC与△AOC的面积相等．（作图不必写作法，但要保留作图痕迹．）（2）问：（1）中这样的直线AC是否唯一？若唯一，请说明理由；若不唯一，请在图中画出所有这样的直线AC，并写出与之对应的函数表达式．【分析】（1）①作线段OB的垂直平分线AC，满足条件，②作矩形OA′BC′，直线A′C′，满足条件；（2）分两种情形分别求解即可解决问题；【解答】（1）解：如图△ABC即为所求；（2）解：这样的直线不唯一．。
北京市首都师大附中2018-2019学年初三第一学期数学12月份月考试卷(解析版)
2018-2019学年北京市首都师大附中初三第一学期数学12月份月考试卷一、单选题（每小题3分）1．抛物线y＝（x﹣2）2+3的顶点坐标是（）A．（﹣2，3）B．（2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（2，﹣3）2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，则cosA的值是（）A．B．C．D．3．如图，在△ABC中，∠AED＝∠B，DE＝6，AB＝10，AE＝8，则BC的长度为（）A．B．C．3D．4．如图，在△OAB绕点O逆时针旋转70°得到△OCD，若∠A＝100°，∠D ＝50°，则∠AOD的度数是（）A．20°B．30°C．40°D．50°5．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，若AD＝2，DB ＝1，△ADE、△ABC的面积分别为S1、S2，则的值为（）A．B．C．D．26．已知（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）是反比例函数y＝的图象上三点，且x1＜0＜x2＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜0＜y2＜y3B．y1＞0＞y2＞y3C．y1＜0＜y3＜y2D．y1＞0＞y3＞y2 7．如图，在平面直角坐标系xOy中，△A′B′C′由△ABC绕点P旋转得到，则点P的坐标为（）A．（0，1）B．（1，﹣1）C．（0，﹣1）D．（1，0）8．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（1，1），B（2，2），一次函数y＝﹣2x+b 与线段AB有公共点，则b的取值范围是（）A．3≤b≤6B．3≤b≤4C．1≤b≤2D．﹣2≤b≤﹣1二、填空题（每小题3分）9．方程x（x﹣2）＝x的根是．10．在反比例函数y＝图象的每一支上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是．11．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝1，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点，若点P的坐标为（4，0），则点Q的坐标为．12．已知扇形的圆心角为120°，面积为12π，则扇形的半径是．13．如图，AB是⊙O的直径，DC是⊙O相切于点C，若∠D＝30°，OA＝2，则CD＝．14．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器，其限制电流不能超过10A，那么用电器可变电阻R应控制的范围是．15．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，以点A为圆心作⊙A，要使B、C两点中的一点在圆外，另一点在圆内，那么⊙A的半径长r的取值范围为．。
北京市海淀区九年级(上)第一次月考数学试卷
九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1.如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，若AD=1，BD=2，则DEBC的值为（）A. 12B. 13C. 14D. 192.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则cos A的值为（）A. 35B. 53C. 45D. 343.以下事件为必然事件的是（）A. 掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是0B. 多边形的内角和是360∘C. 二次函数的图象必过原点D. 半径为2的圆的周长是4π4.某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图的折线图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（）A. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”B. 袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球C. 掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”D. 掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是65.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，如果AC=3，AB=6，那么AD的值为（）A. 32B. 92C. 332D. 336.如图，平行四边形ABCD中，E为DC的中点，AC与BE交于点F．则△EFC与△BFA的面积比为（）A. 1：2B. 1：2C. 1：4D. 1：87.如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A. 三棱柱B. 三棱锥C. 长方体D. 正方体8.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（-3，6）、B（-9，-3），以原点O为位似中心，相似比为13，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（）A. (−1,2)B. (−9,18)C. (−9,18)或(9,−18)D. (−1,2)或(1,−2)二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9.若ab=34，则a+bb的值为______．10.△ABC的三边长分别为5，12，13，与它相似的△DEF的最小边长为15，则△DEF的周长为______．11.在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则tan B的值为______．12.如图，点D为△ABC外一点，AD与BC边的交点为E，AE=3，DE=5，BE=4，要使△BDE∽△ACE，且点B，D的对应点为A，C，那么线段CE的长应等于______．13.某农场引进一批新麦种，在播种前做了五次发芽实验，每次任取800 粒麦种进行实0.001在与实验条件相同的情况下，估计种一粒这样的麦种发芽的概率为．14.如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，点D在AC上，且AD=2，如果要在AB上找一点E，使△ADE与原三角形相似，那么AE=______．15.如图，线段AB和射线AC交于点A，∠A=30°，AB=20．点D在射线AC上，且∠ADB是钝角，写出一个满足条件的AD的长度值：AD=______．16.如图是一个上下底密封纸盒的三视图，请你根据图中数据，计算这个密封纸盒的表面积为________cm2．（结果可保留根号）．三、解答题（本大题共12小题，共68.0分）17.计算：4cos30°•tan60°-sin245°．18.如图，△ABC中，AB=AC，D是BC中点，BE⊥AC于E，求证：△ACD∽△BCE．19.如图，在△ABC中，AB=AC=8，BC=6，点D为BC上一点，BD=2．过点D作射线DE交AC于点E，使∠ADE=∠B．求线段EC的长度．20.已知：如图，在△ABC，BC=2，S△ABC=3，∠ABC=135°，求AC、AB的长．21.已知：如图，△ABC中，AC⊥BD于C，BCCD=32，E是AB的中点，tan D=2，CE=1，求sin∠ECB和AD的长．22.如图，在正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中顶点E，F，G分别在AB，BC，FD上．（1）求证：△EBF∽△FCD；（2）连接DH，如果BC=12，BF=3，求tan∠HDG的值．23.为了提高学生书写汉字的能力．增强保护汉字的意识，我区举办了“汉字听写大赛”，经选拔后有50名学生参加决赛，这50名学生同时听写50个汉字，若每正确听写出一个汉字得1分，根据测试成绩绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图如图表：（2）请把频数分布直方图补充完整；（3）若测试成绩不低于40分为优秀，则本次测试的优秀率是多少？（4）第5组10名同学中，有4名男生，现将这10名同学平均分成两组进行对抗练习，且4名男同学每组分两人，试用列表法或画树状图的方法求小宇和小强两名男同学能分在一组的概率．24.如图，一艘渔船正自西向东航行追赶鱼群，在A处望见岛C在船的北偏东60°方向，前进20海里到达B处，此时望见岛C在船的北偏东30°方向，以岛C为中心的12海里内为军事演习的危险区．请通过计算说明：如果这艘渔船继续向东追赶鱼群是否有进入危险区的可能．（参考数据：2≈1.4，3≈1.7）25.阅读下面材料：小明观察一个由1×1正方形点阵组成的点阵图，图中水平与竖直方向上任意两个相邻点间的距离都是1，他发现一个有趣的问题：对于图中出现的任意两条端点在点阵上且互相不垂直的线段，都可以在点阵中找到一点构造垂直，进而求出它们相交所成锐角的正切值．请回答：（1）如图1，A，B，C是点阵中的三个点，请在点阵中找到点D，作出线段CD，使得CD⊥AB；（2）如图2，线段AB与CD交于点O．为了求出∠AOD的正切值，小明在点阵中找到了点E，连接AE，恰好满足AE⊥CD于点F，再作出点阵中的其它线段，就可以构造相似三角形，经过推理和计算能够使问题得到解决．请你帮小明计算：OC=______；tan∠AOD=______；解决问题：如图3，计算：tan∠AOD=______．26.如图1，在△ABC中，BC=4，以线段AB为边作△ABD，使得AD=BD，连接DC，再以DC为边作△CDE，使得DC=DE，∠CDE=∠ADB=α．（1）如图2，当∠ABC=45°且α=90°时，用等式表示线段AD，DE之间的数量关系；（2）将线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，连接BF，AF．①若α=90°，依题意补全图3，求线段AF的长；②请直接写出线段AF的长（用含α的式子表示）．27.如图，已知二次函数y＝－x2＋bx＋c（b，c为常数）的图象经过点A（3，1），点C（0，4），顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连结BC．（1）求该二次函数的解析式及点M的坐标；（2）若将该二次函数图象向下平移m（m＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），求m的取值范围；（3）点P是直线AC上的动点，若点P，点C，点M所构成的三角形与△BCD相似，请直接写出所有点P的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）28.在平面直角坐标系xOy中，图形W在坐标轴上的投影长度定义如下：设点P（x1，y1），Q（x2，y2）是图形W上的任意两点．若|x1-x2|的最大值为m，则图形W在x 轴上的投影长度l x=M；若|y1-y2|的最大值为n，则图形W在y轴上的投影长度l y=n．如图1，图形W在x轴上的投影长度l x=|3-1|=2；在y轴上的投影长度l y=|4-0|=4．（1）已知点A（3，3），B（4，1）．如图2所示，若图形W为△OAB，则l x______，l y______．（2）已知点C（4，0），点D在直线y=2x+6上，若图形W为△OCD．当l x=l y时，求点D的坐标．（3）若图形W为函数y=x2（a≤x≤b）的图象，其中0≤a＜b．当该图形满足l x=l y≤1时，请直接写出a的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵AD=1，DB=2，∴AB=AD+BD=1+2=3，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴==．故选：B．由AD=1，DB=2，即可求得AB的长，又由DE∥BC，根据平行线分线段成比例定理，可得DE：BC=AD：AB，则可求得答案．此题考查了相似三角形的判定和性质，此题比较简单，注意掌握比例线段的对应关系是解此题的关键．2.【答案】A【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，由勾股定理，得AB==5．cosA==，故选：A．根据勾股定理，可得AB的长，根据锐角的余弦等于邻边比斜边，可得答案．本题考查了锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．3.【答案】D【解析】解：A、掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是0，是不可能事件，故此选项错误；B、多边形的内角和是（n-2）×180°，故此选项错误；C、二次函数的图象不一定过原点，故此选项错误；D、半径为2的圆的周长是4π，正确．故选：D．分别利用多边形内角和定理以及二次函数的图象的性质以及圆的周长公式分别判断得出即可．此题主要考查了多边形内角和定理以及二次函数的图象的性质以及圆的周长公式等知识，正确把握相关定义是解题关键．4.【答案】D【解析】解：A、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为，故本选项错误；B、袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球的概率为，故本选项错误；C、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率是，故本选项错误；D、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6的概率为≈0.17，故本选项正确．故选：D．根据统计图可知，试验结果在0.16附近波动，即其概率P≈0.16，计算四个选项的概率，约为0.16者即为正确答案．本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式．5.【答案】A【解析】解：如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，∴AC2=AD•AB，又∵AC=3，AB=6，∴32=6AD，则AD=．故选：A．根据射影定理得到：AC2=AD•AB，把相关线段的长度代入即可求得线段AD 的长度．本题考查了射影定理．每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．6.【答案】C【解析】【分析】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，得出△CEF∽△ABF是解题关键.利用平行四边形的性质得出AB∥DC，AB=DC，再利用相似三角形的判定与性质得出即可.【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB=DC，∴△CEF∽△ABF，∴=，∵E为DC的中点，∴==，∴=.故选C.7.【答案】A【解析】解：由题意三视图复原的几何体是三棱柱，故选：A．利用三视图复原的几何体的形状即可．本题考查三视图与几何体的直观图的关系，判断三视图复原的几何体的形状是解题的关键．8.【答案】D【解析】解：∵点A（-3，6），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，∴点A的对应点A′的坐标是（-1，2）或（1，-2），故选：D．根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k解答．本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．9.【答案】74【解析】解：根据比例的合比性质，已知=，则=．已知的比值，根据比例的合比性质即可求得．熟练应用比例的合比性质．10.【答案】90【解析】解：∵△ABC的三边长分别为5，12，13，∴△ABC的周长为：5+12+13=30，∵与它相似的△DEF的最小边长为15，∴△DEF的周长：△ABC的周长=15：5=3：1，∴△DEF的周长为：3×30=90．故答案为90．由△ABC的三边长分别为5，12，13，与它相似的△DEF的最小边长为15，即可求得△ABC的周长以及相似比，又由相似三角形的周长的比等于相似比，即可求得答案．此题考查了相似三角形的性质．熟练掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题关键．11.【答案】34【解析】解：如图所示：tanB==．故答案为：．利用锐角三角函数关系直接得出答案．此题主要考查了锐角三角函数关系，正确把握锐角三角函数定义是解题关键．12.【答案】154【解析】解：∵∠AEC=∠BED，∴当=时，△BDE∽△ACE，即=，∴CE=．故答案为．根据对顶角相等得到∠AEC=∠BED，则根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，当=时，△BDE∽△ACE，然后利用比例性质计算CE的长．本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，此判定方法要合理使用公共角或对顶角．13.【答案】0.98【解析】解：根据表中的发芽的频率，当实验次数的增多时，发芽的频率越来越稳定在0.98左右，所以可估计这种大蒜发芽的机会大约是0.98．故答案为0.98；利用频率估计概率得到随实验次数的增多，发芽的频率越来越稳定在0.98左右，由此可估计发芽的机会大约是0.98．本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率；用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．14.【答案】83或32【解析】解：第一种情况：要使△ABC∽△ADE，∠A为公共角，AB：AD=AC：AE，即8：2=6：AE，∴AE=；第二种情况：要使△ABC∽△AED，∠A为公共角，AB：AE=AC：AD，即8：AE=6：2，∴AE=．故答案为：或．两三角形有一公共角，再求夹此公共角的两边对应成比例即可．点E位置未确定，所以应分别讨论，△ABC∽△ADE或△ABC∽△AED．考查相似三角形的判定定理：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．需注意的是边的对应关系．15.【答案】10【解析】解：过B作BE⊥AC于E，∵∠A=30°，AB=20，∴AE=10，∵∠ADB是钝角，∴∠ADB＞∠AEB，∴0＜AD＜10，∴AD=10，故答案为：10．过B作BE⊥AC于E，由∠A=30°，AB=20，得到AE=10，推出∠ADB＞∠AEB，即可得到结论．本题考查了含30°角的直角三角形的性质，熟记直角三角形的性质是解题的关键．16.【答案】（753+360）【解析】解：根据该几何体的三视图知道其是一个正六棱柱，∵其高为12cm，根据正六边形的性质易知：底面边长为5cm，∴其侧面积为6×5×12=360cm2密封纸盒的底面积为：×5××6=cm2∴其全面积为：（75+360）cm2．故答案为：（75+360）．根据该几何体的三视图知道其是一个正六棱柱，其表面积是六个面的面积加上两个底的面积．本题考查了由三视图判断几何体及解直角三角形的知识，解题的关键是正确的判定几何体．17.【答案】解：原式=4×32×3-（22）2=6-12=112．【解析】根据特殊角三角函数值，可得实数的运算，根据实数的运算，可得答案．本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．18.【答案】证明：∵AB=AC，D是BC中点，∴AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∵BE⊥AC，∴∠BEC=90°，∴∠ADC=∠BEC，而∠ACD=∠BCE，∴△ACD∽△BCE．【解析】根据等腰三角形的性质，由AB=AC，D是BC中点得到AD⊥BC，易得∠ADC=∠BEC=90°，再加上公共角，于是根据有两组角对应相等的两个三角形相似即可得到结论．本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了等腰三角形的性质．19.【答案】解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠ADC是△ABD的一个外角，∴∠ACD=∠B+∠BAD=∠ADE+∠EDC，又∵∠B=∠ADE，∴∠BAD=∠EDC，∴△ABD∽△DCE，∴ABDC=BDEC，∵BC=6，BD=2，∴CD=4，∴84=2EC，解得EC=1．【解析】由条件可得到∠BAD=∠EDC，可证明△ABD∽△DCE，由相似三角形的性质可得到=，代入可求得EC．本题主要考查相似三角形的判定和性质，由条件得到∠BAD=∠DCE证得△ABD∽△DCE是解题的关键．20.【答案】解：如图，过点A作AD⊥BC交CB的延长线于D，在△ABC中，∵S△ABC=3，BC=2，∴AD=2S△ABCBC=2×32=3，∵∠ABC=135°，∴∠ABD=180°-135°=45°，∴AB=2AD=32，BD=AD=3，在Rt△ADC中，CD=2+3=5，由勾股定理得，AC=AD2+CD2=32+52=34．【解析】过点A作AD⊥BC交CB的延长线于D，利用△ABC的面积求出AD，再求出∠ABD=45°，然后利用等腰直角三角形的性质求出AB、BD，再求出CD，利用勾股定理列式求解即可得到AC．本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟记定理并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．21.【答案】解：∵AC⊥BD，∴∠ACB=∠ACD=90°．∵E是AB的中点，CE=1，∴AB=2CE=2，BE=CE．∵BCCD=32，∴设BC=3x，CD=2x，∵在Rt△ACD中，tan D=2，∴ACCD=2，∴AC=2CD=4x．在Rt△ABC中由勾股定理，得AB=5x，∵BE=CE，∴∠ECB=∠B，∴sin∠ECB=sin B=ACAB=4x5x=45．∵AB=5x=2，∴x=25，∴AD=AC2+CD2=(4x)2+(2x)2=25x=25×25=455．【解析】先由AC⊥BD，E是AB的中点，CE=1，得出AB=2CE=2，BE=CE．由=，可设BC=3x，CD=2x，在Rt△ACD中，由tanD==2，得出AC=2CD=4x．在Rt△ABC中由勾股定理求得AB=5x，由BE=CE，得出∠ECB=∠B，于是利用正弦函数的定义得出sin∠ECB=sinB===．由AB=5x=2，得出x=，那么由勾股定理得出AD==2x，将x=代入计算即可．本题考查了直角三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数的定义，难度适中．设BC=3x后利用勾股定理求得AB=5x是解题的关键．22.【答案】（1）证明：∵在正方形ABCD，正方形EFGH中，∠B=∠C=90°，∠EFG=90°，∴BC=CD，GH=EF=FG．又∵点F在BC上，点G在FD上，∴∠DFC+∠EFB=90°，∠DFC+∠FDC=90°，∴∠EFB=∠FDC，又∵∠B=∠C=90°，∴△EBF∽△FCD；（2）解：∵BF=3，BC=CD=12，∴CF=9，DF=CF2+CD2=92+122=15，∵△EBF∽△FCD，∴BEBF=CFCD，∴BE=BF⋅CFCD=3×912=94，∴GH=FG=EF=BE2+BF2=154，∴DG=DF-FG=15-154=454，∴tan∠HDG=GHDG=154454=13．【解析】（1）根据正方形的性质可得∠B=∠C=90°，∠EFG=90°，BC=CD，GH=EF=FG，然后求出∠EFB=∠FDC，再根据有两组角对应相等的两个三角形相似证明；（2）先求出CF，再利用勾股定理列式求出DF，然后根据相似三角形对应边成比例求出BE，再根据锐角的正切等于对边比邻边列式计算即可得解．本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，熟记各性质以及相似三角形的判定方法是解题的关键．23.【答案】解：（1）a=50-4-6-14-10=16．（2）频数分布直方图如图所示：（3）优秀率=16+1050×100%=52%．（4）用A表示小宇、B表示小强，C、D表示其他两名同学，根据题意画树状图如下：从上图可知共有12种等可能情况，小宇与小强两名男同学分在同一组的情况有4种，则小宇与小强两名男同学分在同一组的概率是P=412=13．【解析】（1）利用总数50减去其它项的频数即可求得；根据计算结果即可补全直方图；（2）根据第三组，第四组的人数，画出直方图即可；（3）根据优秀率=×100%计算即可；（4）利用树状图方表示出所有可能的结果，然后利用概率公式即可求解．本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．24.【答案】解：过点C作CD⊥AB，交AB延长线于点D．由题意可知，在△ABC中，∠CAB=30°，∠ABC=90°+30°=120°，∴∠ACB=30°，BC=AB=20．在Rt△CBD中，∠CBD=60°，∴CD=CB•sin∠CBD=103（海里）．∵103＞12，∴这艘渔船继续向东航行追赶鱼群不会进入危险区．【解析】过点C作CD⊥AB，交AB延长线于点D，根据题意求出CD的长，再和岛C 的半径12海里比较大小即可得到问题答案．此题是一道方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．25.【答案】425 5 74【解析】解：（1）如图所示：线段CD即为所求．（2）如图2所示连接AC、DB、AD．∵AD=DE=2，∴AE=2．∵CD⊥AE，∴DF=AF=．∵AC∥BD，∴△ACO∽△DBO．∴CO：DO=2：3．∴CO=．∴DO=．∴OF=．tan∠AOD=．（3）如图3所示：根据图形可知：BF=2，AE=5．由勾股定理可知：AF==，AB==．∵FB∥AE，∴△AOE∽△BOF．∴AO：OB=AE：FB=5：2．∴AO=．在Rt△AOF中，OF==．∴tan∠AOD=．（1）用三角板过C作AB的垂线，从而找到D的位置；（2）连接AC、DB、AD、DE．由△ACO∽△DBO求得CO的长，由等腰直角三角形的性质可以求出AF，DF的长，从而求出OF的长，在Rt△AFO中，根据锐角三角函数的定义即可求出tan∠AOD的值；（3）如图，连接AE、BF，则AF=，AB=，由△AOE∽△BOF，可以求出AO=，在Rt△AOF中，可以求出OF=，故可求得tan∠AOD．本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用、锐角三角函数的定义，根据点阵图构造相似三角形是解题的关键．26.【答案】解：（1）AD+DE=4，理由是：如图1，∵∠ADB=∠EDC=∠α=90°，AD=BD，DC=DE，∴AD+DE=BC=4；（2）①补全图形，如图2，设DE与BC相交于点H，连接AE，交BC于点G，∵∠ADB=∠CDE=90°，∴∠ADE=∠BDC，在△ADE与△BDC中，AD=BD∠ADE=∠BDCDE=DC，∴△ADE≌△BDC，∴AE=BC，∠AED=∠BCD．∵DE与BC相交于点H，∴∠GHE=∠DHC，∴∠EGH=∠EDC=90°，∵线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，∴EF=CB=4，EF∥CB，∴AE=EF，∵CB∥EF，∴∠AEF=∠EGH=90°，∵AE=EF，∠AEF=90°，∴∠AFE=45°，∴AF=EFcos45∘=42；②如图2，过E作EM⊥AF于M，∵由①知：AE=EF=BC，∴∠AEM=∠FEM=α2，AM=FM，∴AF=2FM=EF×sinα2=8sinα2．【解析】（1）根据等腰直角三角形的性质得出即可；（2）①设DE与BC相交于点H，连接 AE，交BC于点G，根据SAS推出△ADE≌△BDC，根据全等三角形的性质得出AE=BC，∠AED=∠BCD．求出∠AFE=45°，解直角三角形求出即可；②过E作EM⊥AF于M，根据等腰三角形的性质得出∠AEM=∠FEM=，AM=FM，解直角三角形求出FM即可．本题考查了全等三角形的性质和判定，解直角三角形，等腰三角形的性质，平移的性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，综合性比较强，难度偏大．27.【答案】解：（1）把点A（3，1），点C（0，4）代入二次函数y=-x2+bx+c得，−32+3b+c=1c=4解得b=2c=4∴二次函数解析式为y=-x2+2x+4，配方得y=-（x-1）2+5，∴点M的坐标为（1，5）；（2）设直线AC解析式为y=kx+b，把点A（3，1），C（0，4）代入得，3k+b=1b=4解得k=−1b=4∴直线AC的解析式为y=-x+4，如图所示，对称轴直线x=1与△ABC两边分别交于点E、点F把x=1代入直线AC解析式y=-x+4解得y=3，则点E坐标为（1，3），点F坐标为（1，1）∴1＜5-m＜3，解得2＜m＜4；（3）连接MC，作MG⊥y轴并延长交AC于点N，则点G坐标为（0，5）∵MG=1，GC=5-4=1∴MC=MG2+CG2=12+12=2，把y=5代入y=-x+4解得x=-1，则点N坐标为（-1，5），∵NG=GC，GM=GC，∴∠NCG=∠GCM=45°，∴∠NCM=90°，由此可知，若点P在AC上，则∠MCP=90°，则点D与点C必为相似三角形对应点①若有△PCM∽△BDC，则有MCCP=CDBD∵BD=1，CD=3，∴CP=MC⋅BDCD=2×13=23，∵CD=DA=3，∴∠DCA=45°，若点P在y轴右侧，作PH⊥y轴，∵∠PCH=45°，CP=23∴PH=23÷2=13把x=13代入y=-x+4，解得y=113，∴P1（13，113）；同理可得，若点P在y轴左侧，则把x=-13代入y=-x+4，解得y=133∴P2（−13，133）；②若有△PCM∽△CDB，则有MCCP=BDCD∴CP=2×31=32∴PH=32÷2=3，若点P在y轴右侧，把x=3代入y=-x+4，解得y=1；若点P在y轴左侧，把x=-3代入y=-x+4，解得y=7∴P3（3，1）；P4（-3，7）．∴所有符合题意得点P坐标有4个，分别为P1（13，113），P2（−13，133），P3（3，1），P4（-3，7）．【解析】（1）将点A、点C的坐标代入函数解析式，即可求出b、c的值，通过配方法得到点M的坐标；（2）点M是沿着对称轴直线x=1向下平移的，可先求出直线AC的解析式，将x=1代入求出点M在向下平移时与AC、AB相交时y的值，即可得到m的取值范围；（3）由题意分析可得∠MCP=90°，则若△PCM与△BCD相似，则要进行分类讨论，分成△PCM∽△BDC或△PCM∽△CDB两种，然后利用边的对应比值求出点坐标．本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数解析式及相似三角形性质，解题的关键是分类讨论三角形相似的不同情况，结合特殊角的使用来求出点P 的坐标．28.【答案】4 3【解析】解：（1）∵A（3，3），∴点A在y轴上的正投影的坐标为（0，3）．∴△OAB在y轴上的投影长度l y=3．∵B（4，1），∴点B在x轴上的正投影的坐标为（4，0）．∴△OAB在x轴上的投影长度l x=4．故答案为：4；3．（2）如图1所示；过点P作PD⊥x轴，垂足为P．设D（x，2x+6），则PD=2x+6．∵PD⊥x轴，∴P（x，0）．∴PC=4-x．∵l x=l y，∴2x+6=4-x，解得；x=-．∴D（-，）．如图2所示：过点D作DP⊥x轴，垂足为P．设D（x，2x+6），则PD=-2x-6．∵PD⊥x轴，∴P（x，0）．∴PC=4-x．∵l x=l y，∴-2x-6=4-x，解得；x=-10．∴D（-10，-14）．综上所述，点D的坐标为（-，）或（-10，-14）．（3）如图3所示：设A（a，a2）、B（b，b2）．则CE=b-a，DF=b2-a2=（b+a）（b-a）．∵l x=l y，∴（b+a）（b-a）=b-a，即（b+a-1）（b-a）=0．∵b≠a，∴b+a=1．又∵0≤a＜b，∴a+a＜1，∴0≤a＜．（1）确定出点A在y轴的投影的坐标、点B在x轴上投影的坐标，于是可求得问题的答案；（2）过点P作PD⊥x轴，垂足为P．设D（x，2x+6），则PD=|2x+6|．PC=|3-x|，然后依据l x=l y，列方程求解即可；（3）设A（a，a2）、B（b，b2）．分别求得图形在y轴和x轴上的投影，由l x=l y可得到b+a=1，然后根据0≤a＜b可求得a的取值范围．本题主要考查的是二次函数的综合应用、解答本题主要应用了图形W在坐标轴上的投影长度定义、一次函数、二次函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，依据l x=l y列出关于x的方程和不等式是解题的关键．。
北京市海淀区北京市师达中学2023-2024学年九年级上学期月考数学考试试题+答案解析
北京市海淀区北京市师达中学2023-2024学年九年级上学期月考数学考试试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．截至2023年6月11日17时，全国冬小麦收获2.39亿亩，进度过七成半，将239000000用科学记数法表示应为（）A ．723.910⨯B ．82.3910⨯C ．92.3910⨯D ．90.23910⨯2．下列图形中，不是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．3．如图，90AOC BOD ∠=∠=︒，126AOD ∠=︒，则BOC ∠的大小为（）A ．36︒B ．44︒C ．54︒D ．63︒4．已知10a ->，则下列结论正确的是（）A ．11a a -<-<<B ．11a a -<-<<C ．11a a -<-<<D ．11a a-<-<<5．若关于x 的一元二次方程240x x m -+=有两个相等的实数根，则实数m 的值为（）A ．4B ．4-C ．4±D ．26．十二边形的内角和为（）A ．30︒B ．180︒C ．360︒D ．1800︒7．下面的三个问题中都有两个变量：①汽车从A 地匀速行驶到B 地，汽车的剩余路程y 与行驶时间x ；②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y 与放水时间x ；③用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y 与一边长x ，其中，变量y 与变量x 之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③8．下表记录了二次函数22y ax bx =++中两个变量x 与y 的五组对应值，其中121x x <<，根据表中信息，当502x -<<时，直线y k =与该二次函数图象有两个公共点，则k 的取值范围是（）x (5)-1x 2x 13…y…m20m…A ．726k <<B ．726k <≤C ．823k <<D ．283k <≤二、填空题9．若代数式42x +有意义，则实数x 的取值范围是．10．分解因式：23x y y -=.11．方程31512x x=+的解为．12．在平面直角坐标系xOy 中，若函数()0y kx k =≠的图象经过点()4,2A -和(),2B m -，则m 的值为．13．某厂生产了1000只灯泡.为了解这1000只灯泡的使用寿命，从中随机抽取了50只灯泡进行检测，获得了它们的使用寿命（单位：小时），数据整理如下：使用寿命1000x <10001600x ≤<16002200x ≤<22002800x ≤<2800x ≥灯泡只数51012176根据以上数据，估计这1000只灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡的数量为只．14．已知二次函数21y x bx =++的图象与x 轴只有一个交点．则b =．15．如图，在ABC ∆中，AD 平分,.BAC DE AB ∠⊥若2,1,AC DE ==则ACD S ∆=．16．如图，点A ，B ，C 在同一条直线上，点B 在点A ，C 之间，点D ，E 在直线AC 同侧，AB BC <，90A C ∠=∠=︒，EAB BCD ≌△△，连接DE ．设AB a =，BC b =，DE c =，给出下面三个结论：①a b c +>，②a b +>)a b c +>．上述结论中，所有正确结论的序号是．三、解答题171123-⎛⎫+-- ⎪⎝⎭．18．解不等式组：23535x x x x+⎧>⎪⎨⎪-<+⎩．19．已知210x y +-=，求代数式222444x yx xy y +++的值．20．二次函数()2230y ax ax a =--¹的图象经过点A ．(1)求二次函数的对称轴；(2)当()1,0A -时，①求此时二次函数的表达式；②把223y ax ax =--化为()2y a x h k =-+的形式，并写出顶点坐标；21．如图，在平行四边形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，AD 上，BE DF =，AC EF =．(1)求证：四边形AECF 是矩形；(2)若2CE BE =且AE BE =，已知2AB =，求AC 的长．22．列方程解应用题：如图，利用长20米的一段围墙，用篱笆围一个长方形的场地，中间用篱笆分割出2个小长方形，总共用去篱笆36米，为了使这个长方形的ABCD 的面积为96平方米，求AB 、BC 边各为多少米？23．在平面直角坐标系xOy 中，函数()0y kx b k =+≠的图象经过点()0,1A 和()1,2B ，与过点()0,4且平行于x 轴的线交于点C ．(1)求该函数的解析式及点C 的坐标；(2)当3x <时，对于x 的每一个值，函数23y x n =+的值大于函数()0y kx b k =+≠的值且小于4，直接写出n 的值．24．某校舞蹈队共16名学生，测量并获取了所有学生的身高（单位：cm ），数据整理如下：a .16名学生的身高：161，162，162，164，165，165，165，166，166，167，168，168，170，172，172，175b .16名学生的身高的平均数、中位数、众数：平均数中位数众数166.75mn(1)写出表中m ，n 的值；(2)对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越好．据此推断：在下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是______（填“甲组”或“乙组”）；甲组学生的身高162165165166166乙组学生的身高161162164165175(3)该舞蹈队要选五名学生参加比赛．已确定三名学生参赛，他们的身高分别为168，168，172，他们的身高的方差为329．在选另外两名学生时，首先要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于329，其次要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的平均数尽可能大，则选出的另外两名学生的身高分别为______和______．25．跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目．如图，运动员通过助滑道后在点A 处腾空，在空中沿抛物线飞行，直至落在着陆坡BC 上的点P 处．地面OB 为80m ，腾空点A 到地面OB 的距离OA 为70m ，坡高OC 为60m ，以O 为原点，OB 所在直线为x 轴，OA 所在直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．已知这段抛物线经过点()4,75，()8,78．(1)求这段抛物线表示的二次函数表达式；(2)在空中飞行过程中，直接写出运动员到坡面BC 竖直方向上的最大距离；(3)落点P 与坡顶C 之间的距离为________m ．26．在平面直角坐标系xOy 中，点()11,M x y ，()22,N x y 在抛物线()210y ax bx a =++<上，其中12x x <，设抛物线的对称轴为x t =．(1)当1t =时，如果121y y ==，直接写出1x ，2x 的值；(2)当11x =-，23x =时，总有211y y <<，求t 的取值范围．27．在平面直角坐标系xOy 中，如果点P 到原点O 的距离为a ，点Q 到点P 的距离是a 的k 倍（k 为正整数），那么称点Q 为点P 的k 倍关联点．(1)当点1P 的坐标为()0,1时，①如果点1P 的2倍关联点Q 在y 轴上，那么点Q 的坐标是________；如果点1P 的2倍关联点Q 在x 轴上，那么点Q 的坐标是________．②如果点(),Q x y 是点1P 的k 倍关联点，且2y =-，34x -≤≤，则满足条件的点Q 有________个；(2)如果点2P 的坐标为()1,1，(),0M m ，()1,1N m -，若在线段MN 上存在2P 的2倍关联点，直接写出m 的取值范围．28．已知正方形ABCD 和一动点E ，连接CE ，将线段CE 绕点C 顺时针旋转90︒得到线段CF ，连接BE ，DF ．(1)如图1，当点E 在正方形ABCD 内部时，①依题意补全图1；②求证：BE DF =；(2)如图2，当点E 在正方形ABCD 外部时，连接AF ，取AF 中点M ，连接AE ，DM ，用等式表示线段AE 与DM 的数量关系，并证明．参考答案：1．B【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为10n a ⨯，其中110a ≤<，n 为整数，且n 比原来的整数位数少1，据此判断即可．【详解】解：8239000000 2.3910=⨯，故选：B ．【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法，用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为10n a ⨯，其中110a ≤<，n 为整数，且n 比原来的整数位数少1，解题的关键是要正确确定a 和n 的值．2．D【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，解题的关键是掌握轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．据此逐个判断即可．【详解】解：A 、B 、C 均能找到一条直线，使A 、B 、C 沿着该直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，故A 、B 、C 是轴对称图形，不符合题意；D 不能找到一条直线，使D 沿着该直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，故D 不是轴对称图形，符合题意；故选：D ．3．C【分析】由90AOC BOD ∠=∠=︒，126AOD ∠︒=，可求出COD ∠的度数，再根据角与角之间的关系求解．【详解】∵=90AOC ∠︒，126AOD ∠︒=，∴36COD AOD AOC ∠=∠-∠=︒，∵90BOD ∠=︒，∴903654BOC BOD COD ∠=∠-∠=︒-︒=︒．故选：C ．【点睛】本题考查的知识点是角的计算，注意此题的解题技巧：两个直角相加和AOD ∠相比，多加了BOC ∠．4．B【分析】由10a ->可得1a >，则0a >，根据不等式的性质求解即可．【详解】解：10a ->得1a >，则0a >，∴1a -<-，∴11a a -<-<<，故选：B ．【点睛】本题考查了不等式的性质，注意：当不等式两边同时乘以一个负数，则不等式的符号需要改变．5．A【分析】利用一元二次方程根的判别式即可求解．【详解】解：由题意得：2(4)40m ∆=--=，解得：4m =，故选A ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握其公式是解题的关键．6．D【分析】利用多边形的内角和公式()2180n -⨯︒，即可求解．【详解】解：(122)1801800-⨯︒=︒，∴十二边形的内角和为：1800︒，故选：D ．【点睛】本题考查了多边形的内角和，熟练掌握多边形的内角和公式是解题的关键．7．A【分析】由图象可知：当y 最大时，x 为0，当x 最大时，y 为零，即y 随x 的增大而减小，再结合题意即可判定．【详解】解：①汽车从A 地匀速行驶到B 地，汽车的剩余路程y 随行驶时间x 的增大而减小，故①可以利用该图象表示；②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y 随放水时间x 的增大而减小，故②可以利用该图象表示；③设绳子的长为L ，一边长x ，则另一边长为12L x -，则矩形的面积为：21122y L x x x Lx ⎛⎫=-⋅=-+ ⎪⎝⎭，故③不可以利用该图象表示；故可以利用该图象表示的有：①②，故选：A ．【点睛】本题考查了函数图象与函数的关系，采用数形结合的思想是解决本题的关键．8．C【分析】本题主要考查了二次函数与x 轴的交点问题，根据表中数据得出对称轴1x =-，进而得到抛物线与x 轴的交点，利用交点式得到()()31y a x x =+-，从而得到二次函数表达式为()()2313y x x =-+-，根据当502x -<<时，直线y k =与该二次函数图像有两个公共点，可得823k <<．【详解】解：由()5,m -、()3,m 可得抛物线对称轴5312x -+==-，又由()1,0x 、()1,0以及对称轴=1x -可得13x =-，∴抛物线与x 轴的交点为()3,0-、()1,0，∴抛物线解析式为()()31y a x x =+-，()()()22312323y a x x a x x ax ax a =+-=+-=+-与()220y ax bx a =++≠对比可得32a -=，解得23a =-，∴二次函数表达式为()()2313y x x =-+-，∴当52x =-时，2557313226y ⎛⎫⎛⎫=--+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；当0x =时，2y =；当=1x -时，最大值83y =，∵当502x -<<时，直线y k =与该二次函数图像有两个公共点，∴823k <<，故选：C ．9．2x ≠-【分析】分式有意义的条件为分母不为0，据此求解．【详解】解：若代数式42x +有意义，则20x +≠，解得2x ≠-，故实数x 的取值范围是2x ≠-，故答案为：2x ≠-．【点睛】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式的分母不能为0．10．()()y x y x y +-【详解】试题分析：原式提公因式得：y （x 2-y 2）=()()y x y x y +-考点：分解因式点评：本题难度中等，主要考查学生对多项式提公因式分解因式等知识点的掌握．需要运用平方差公式．11．1x =【分析】方程两边同时乘以()251x x +化为整式方程，解整式方程即可，最后要检验．【详解】解：方程两边同时乘以()251x x +，得651x x =+，解得：1x =，经检验，1x =是原方程的解，故答案为：1x =．【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．12．4【分析】本题主要考查了利用待定系数法求正比例函数的表达式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．先将()4,2A -代入y kx =中，求出k 的值，即可求出函数y kx =的表达式，再将(),2B m -代入函数表达式中，即可求出m 的值．【详解】解：将()4,2A -代入y kx =中，得42k -=，解得12k =-，∴函数y kx =的表达式为12y x =-．把(),2B m -代入12y x =-中，得122m -=-，解得4m =．故答案为：4．13．460【分析】用1000乘以抽查的灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡所占的比例即可．【详解】解：估计这1000只灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡的数量为176100046050+⨯=（只），故答案为：460．【点睛】本题考查了用样本估计总体，用样本估计总体时，样本容量越大，样本对总体的估计也就越精确．14．2±/2或2-/2-或2【分析】根据二次函数与一元二次方程的关系可知210x bx ++=两个相等的实数根，再根据一元二次方程的根的判别式求解．【详解】解： 二次函数21y x bx =++的图象与x 轴只有一个交点，∴210x bx ++=有两个相等的实数根，∴2241140b b ∆=-⨯⨯=-=，解得2b =±，故答案为：2±．【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程的根的判别式，解题的关键是熟练运用数形结合思想．15．1【分析】作DF AC ⊥于点F ，由角平分线的性质推出1DF DE ==，再利用三角形面积公式求解即可．【详解】解：如图，作DF AC ⊥于点F ，∵AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥，DF AC ⊥，∴1DF DE ==，∴1121122ACD S AC DF =⋅=⨯⨯= ．故答案为：1．【点睛】本题考查角平分线的性质，通过作辅助线求出三角形ACD 中AC 边上的高是解题的关键．16．②③/③②【分析】①过点D 作DF AE ⊥于点F ，证明四边形ACDF 为矩形，得出DF AC a b ==+，根据Rt DEF △中，DE 为斜边，DF 为直角边，得出DF DE <，即可判断①错误；②根据全等三角形的性质得出CD AB a ==，根据勾股定理得出BD ==BC CD BD +>，即可得出a b +>③证明1809090DBE ∠=︒-︒=︒，根据勾股定理得出DE =，求出c =，根据a b BD +>，)a b +>，)a b c +>，判断③正确．【详解】解：①过点D 作DF AE ⊥于点F ，如图所示：∵90A C AFD ∠=∠=∠=︒，∴四边形ACDF 为矩形，∴DF AC a b ==+，∵在Rt DEF △中，DE 为斜边，DF 为直角边，∴DF DE <，∴a b c +<，故①错误；②∵EAB BCD ≌△△，∴CD AB a ==，根据勾股定理得：BD ==∵BC CD BD +>，∴a b +>，故②正确；③∵EAB BCD ≌△△，∴BE BD =，ABE BDC ∠=∠，∵90CBD BDC ∠+∠=︒，∴90ABE CBD ∠+∠=︒，∴1809090DBE ∠=︒-︒=︒，∴DE ==，即c =，∵a b BD +>，)a b +>，)a b c +>，故③正确；综上分析可知，正确的有②③．故答案为：②③．【点睛】本题主要考查了勾股定理三角形全等的判定和性质，矩形的判定和性质，三角形三边关系，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质．17．5+【分析】先计算二次根式、负指数幂和绝对值，再进行加减计算即可．1123-⎛⎫+-- ⎪⎝⎭32=+-5=+【点睛】本题主要考查了实数的运算，熟练掌握二次根式的化简、负指数幂即绝对值的计算是解题的关键．18．12x <<【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【详解】23535x x x x +⎧>⎪⎨⎪-<+⎩①②解不等式①得：1x >解不等式②得：2x <∴不等式的解集为：12x <<【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确掌握一元一次不等式解集确定方法是解题的关键．19．2【分析】先将分式进行化简，再将210x y +-=变形整体代入化简好的分式计算即可．【详解】解：原式()()222222x y x yx y =+++=，由210x y +-=可得21x y +=，将21x y +=代入原式可得，原式221==．【点睛】本题考查了分式的化简求值，注意整体代入思想的应用．20．(1)1x =(2)①2=23y x x --；②2(1)4y x =--；(1,4)-【分析】（1）利用二次函数的对称轴为2b x a=-即可求解．（2）①将点()1,0A -带入二次函数即可求解；②利用配方法即可得2(1)4y x =--，进而可求解．【详解】（1）解：由题意得：二次函数()2230y ax ax a =--¹的对称轴为：212a x a-=-=．（2）①将点()1,0A -带入二次函数得：023a a =+-，解得：1a =，∴二次函数的表达式为：2=23y x x --；②2=23y x x --变形得：2(1)4y x =--，∴顶点坐标为：(1,4)-．【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式、利用配方法将二次函数的一般式改写为顶点式、二次函数的对称轴，熟练掌握二次函数的对称轴公式及待定系数法求函数解析式是解题的关键．21．(1)见解析【分析】（1）首先证明四边形AECF 是平行四边形，然后结合AC EF =即可证明出四边形AECF 是矩形；（2）首先根据勾股定理得到AE =2CE BE ==即可．【详解】（1）证明：在ABCD Y 中AD BC ∴=，AD BC ∥，BE DF = ，AD DF BC BE ∴-=-，即AF EC =，∴四边形AECF 是平行四边形，AC EF = ，∴四边形AECF 是矩形；（2）∵四边形AECF 是矩形∴90AEC ∠=︒∴90AEB ∠=︒∵AE BE =，2AB =∴222AE BE AB +=，即2222AE =解得AE =∴BE AE ==∴2CE BE ==∵90AEC ∠=︒∴AC ==【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的判定、勾股定理，熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键．22．AB 、BC 边分别为8米、12米【分析】设AB x =米，则()363BC x =-米，根据面积为96平方米列一元二次方程，再对求出的解根据实际情况进行取舍．【详解】解：设AB x =米，则()363BC x =-米，由题意得()36396x x -=，解得14x =，28x =，当4x =时，36342420BC =-⨯=>（不合题意，舍去），当8x =时，363812BC =-⨯=，综上可知，AB 、BC 边分别为8米、12米．【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据题意列出一元二次方程．23．(1)1y x =+，()3,4C ；(2)2n =．【分析】（1）利用待定系数法可求出函数解析式，由题意知点C 的纵坐标为4，代入函数解析式求出点C 的横坐标即可；（2）根据函数图象得出当23y x n =+过点()3,4时满足题意，代入()3,4求出n 的值即可．【详解】（1）解：把点()0,1A ，()1,2B 代入()0y kx b k =+≠得：12b k b =⎧⎨+=⎩，解得：11k b =⎧⎨=⎩，∴该函数的解析式为1y x =+，由题意知点C 的纵坐标为4，当14y x =+=时，解得：3x =，∴()3,4C ；（2）解：由（1）知：当3x =时，14y x =+=，因为当3x <时，函数23y x n =+的值大于函数1y x =+的值且小于4，所以如图所示，当23y x n =+过点()3,4时满足题意，代入()3,4得：2433n =⨯+，解得：2n =．【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，待定系数法的应用，一次函数图象上点的坐标特征，利用数形结合的思想是解题的关键．24．(1)166m =，165n =；(2)甲组(3)170，172【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可；（2）计算每一组的方差，根据方差越小数据越稳定进行判断即可；（3）根据要求，身高的平均数尽可能大且方差小于329，结合其余学生的身高即可做出选择．【详解】（1）解：将这组数据按照从小到大的顺序排列为：161，162，162，164，165，165，165，166，166，167，168，168，170，172，172，175，出现次数最多的数是165，出现了3次，即众数165n =，16个数据中的第8和第9个数据分别是166，166，∴中位数1661661662m +==，∴166m =，165n =；（2）解：甲组身高的平均数为()1162165165166166164.85++++=，甲组身高的方差为()()()()()222221162164.8165164.8165164.8166164.8166164.8 2.165⎡⎤-+-+-+-+-=⎣⎦乙组身高的平均数为()1161162164165175165.45++++=，乙组身高的方差为()()()()()222221161165.4162165.4164165.4165165.4175165.425.045⎡⎤-+-+-+-+-=⎣⎦，∵25.04 2.16>∴舞台呈现效果更好的是甲组，故答案为：甲组；（3）解：168，168，172的平均数为()1116933168168172=++∵所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于329，∴数据的差别较小，数据才稳定，可供选择的有：170，172，且选择170，172时，平均数会增大，故答案为：170，172．【点睛】本题考查了平均数、众数、中位数和方差，熟记方差的计算公式以及方差的意义：方差越小数据越稳定是解题的关键．25．(1)21370162y x x =-++(2)30.25m(3)50【分析】（1）利用待定系数法求解；（2）作MN y ∥轴交直线BC 于点N ，设213,70162M a a ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，列出MN 关于a 的二次函数关系式，求出最大值即可；（3）设抛物线与直线BC 交于点P ，过点P 作PD y ⊥轴于点D ，将抛物线与直线BC 的解析式联立，求出点P 的坐标，再用勾股定理解Rt CDP △即可．【详解】（1）解： OA 70m =，∴()0,70A ，设这段抛物线表示的二次函数表达式为2y ax bx c =++，将()0,70，()4,75，()8,78代入，得：701647564878c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得1163270a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，∴这段抛物线表示的二次函数表达式为21370162y x x =-++；（2）解：如图，设M 表示运动员的位置，作MN y ∥轴交直线BC 于点N ，则MN 为运动员到坡面BC竖直方向的距离．OC 60m =，OB 80m =，∴()0,60C ，()80,0B ，设直线BC 的函数解析式为y kx b =+，将()0,60C ，()80,0B 代入，得：80060k b b +=⎧⎨=⎩，解得3460k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线BC 的函数解析式为3604y x =-+，设213,70162M a a a ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，则3,604N a a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，∴()2221331917060101830.25162416416MN a a a a a a ⎛⎫=-++--+=-++=--+ ⎪⎝⎭，当18a =时，MN 取最大值，最大值为30.25，∴运动员到坡面BC 竖直方向上的最大距离为30.25m ；（3）解：如图，设抛物线与直线BC 交于点P ，过点P 作PD y ⊥轴于点D ，将21370162y x x =-++与3604y x =-+联立，得：21370162x x -++3604x =-+，解得140x =，24x =-（舍去），当40x =时，34060304y =-⨯+=，∴()40,30P ，∴40m PD =，30m OD =，∴()603030m CD OC OD =-=-=，∴()50m CP ===，∴落点P 与坡顶C 之间的距离为50m ．故答案为：50．【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，涉及待定系数法求函数解析式、求二次函数的最值、勾股定理等知识点，解题的关键是从实际问题中抽象出数学模型．26．(1)1=0x ，22x =；(2)112t -<<【分析】（1）根据题意，当0x =时，1y =，由抛物线的对称轴为1x =，得到()0,1关于对称轴对称的点的坐标为()2,1，即可写出答案；（2）首先由0a <，得到图象开口向下，满足10-<，11y <，可得到0t ≥，求出点()11,M y -关于对称轴对称的点为()121,M t y +'，即可得到答案．【详解】（1）解：根据题意，当0x =时，1y =，∵抛物线的对称轴为1x =，∴()0,1关于对称轴对称的点的坐标为()2,1，∵121y y ==，且12x x <，∴1=0x ，22x =；（2）解：根据题意可知，当0x =时，1y =，∵0a <,∴图象开口向下，满足10-<，11y <，∴当0x ≤时，y 随着x 的增大而增大，∴设抛物线对称轴为x t =,∴101,22t t -+>∴>-∴点()11,M y -关于对称轴对称的点为()121,M t y +'，∵0a <，图象开口向下，13-<,21y y <，∴213t +<解得1t <，∴112t -<<．【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．27．(1)①()0,3或()0,1-；)或()；②212m ≤≤+或12m ≤≤-+【分析】（1）①根据题干提供的信息进行解答即可；②根据点(),Q x y 是点1P 的k 倍关联点，且2y =-，得出()()222021x k -+--=，根据k 为正整数，得出k =，根据34x -≤≤，得出0x =或4x =符合题意，即可得出答案；（2）分五种情况进行讨论，当2m ≥时，当12m <<时，当1m =时，当01m <<时，当0m ≤时，分别画出图形，求出结果即可．【详解】（1）解：①∵点1P 的坐标为()0,1∴1P 到原点距离为1，∵点1P 的2倍关联点Q 在y 轴上，∴点Q 的坐标为()0,3或()0,1-；故答案为：()0,3或()0,1-；当点1P 的2倍关联点Q 在x 轴上时，设点Q 的坐标为(),0a ，则：()()2220012a -+-=，解得：a =，∴此时点Q 的坐标为)或()．②∵点(),Q x y 是点1P 的k 倍关联点，且2y =-，∴()()222021x k -+--=，229x k +=，∵k 为正整数，∴k =，∵34x -≤≤，∴0x =或4x =，∴满足条件的点Q 有2个．故答案为：2．（2）解：∵点2P 的坐标为()1,1，∴2OP =，当2m ≥时，如图所示：∵此时线段MN 上点M 到点2P 的距离最大，点N 到点2P 的距离最小，∴在线段MN 上要想存在2P 的2倍关联点，则22MP NP ⎧≥⎪⎨≤⎪⎩，即11m ⎪--≤⎩12m ≤≤+；当12m <<时，如图所示：此时线段MN 上，点M 到点2P 的距离最大，∵此时2MP <∴此时MN 上一定不存在2P 的2倍关联点；当1m =时，如图所示：MN 上点M 、N 到点2P 的距离相等，且最大为1，∴此时MN 上一定不存在2P 的2倍关联点；当01m <<时，如图所示：此时线段MN 上，点N 到点2P 的距离最大，∵此时2NP <∴此时MN 上一定不存在2P 的2倍关联点；当0m ≤时，如图所示：∵此时线段MN 上点N 到点2P 的距离最大，点M 到点2P 的距离最小，∴在线段MN 上要想存在2P 的2倍关联点，则22NP MP ⎧≥⎪⎨≤⎪⎩，即()11m ⎪--≥⎩解得：12m ≤≤-+；12m ≤≤+或12m ≤-时，在线段MN 上存在2P 的2倍关联点．【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中两点之间的距离，新定义运算，解题的关键是数形结合，并注意进行分类讨论．28．(1)①见解析；②见解析(2)2=AE DM ；理由见解析【分析】（1）①根据题意补全图形即可；②证明()SAS BCE DCF ≌△△，根据全等三角形对应边相等得出结果即可；（2）连接BE 、DF ，延长DM ，使MN DM =，连接AN ，延长AD 交CF 于点G ，证明()SAS BCE DCF ≌△△，得出BE DF =，CBE CDF ∠=∠，证明()SAS AMN DMF ≌，得出AN DF =，MAN MFD ∠=∠，证明()SAS AND BEA ≌，得出AE DN =，即可证明结论．【详解】（1）解：①依题意补全图1，如图所示：②∵四边形ABCD 为正方形，∴BC CD =，90BCD ∠=︒，根据旋转可知，CE CF =，90ECF ∠=︒，∴90BCE ECD ECD DCF ∠+∠=∠+∠=︒，∴BCE DCF ∠=∠，∴()SAS BCE DCF ≌△△，∴BE DF =；（2）解：2=AE DM ；理由如下：连接BE 、DF ，延长DM ，使MN DM =，连接AN ，延长AD 交CF 于点G ，如图所示：∵四边形ABCD 为正方形，∴AB BC CD AD ===，90BCD ABC ADC ∠=∠=∠=︒，根据旋转可知，CE CF =，90ECF ∠=︒，∴90BCE ECD ECD DCF ∠+∠=∠+∠=︒，∴BCE DCF ∠=∠，∴()SAS BCE DCF ≌△△，∴BE DF =，CBE CDF ∠=∠，∵90CBE ABC ABE ABE ∠=∠+∠=︒+∠，90CDF CDG FDG FDG ∠=∠+∠=︒+∠，∴FDG ABE ∠=∠，∵点M 为AF 的中点，∴AM MF =，∵DM MN =，AMN DMF ∠=∠，∴()SAS AMN DMF ≌，∴AN DF =，MAN MFD ∠=∠，∴AN DF ∥，∴FDG NAD ∠=∠，∵FDG ABE ∠=∠，∴NAD ABE ∠=∠，∵AN DF =，BE DF =，∴AN BE =，∵AD AB =，∴()SAS AND BEA ≌，∴AE DN =，∵2DN DM =，∴2AE DM =．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，旋转的性质，平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，熟练掌握三角形全等的判定方法．。
北京市师达中学2024-2025学年九年级上学期数学第一次月考试题
北京市师达中学2024-2025学年九年级上学期数学第一次月考试题一、单选题1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．二次函数y ＝(x －2)2＋3的最小值是( )A ．3B ．2C ．－2D ．－33．关于x 的方程()2120a x x -+-=是一元二次方程，则a 满足（ ）A ．1a ≠B ．1a ≠-C ．1a ≠±D ．为任意实数 4．将抛物线221y x =-向上平移2个单位，再向左平移3个单位，所得抛物线的解析式为（ ） A ．()2232y x =++B ．()=-+2y 2x 31 C ．()2232y x =-+ D ．()2231y x =++ 5．如图，五角星旋转一定角度后能与自身重合，则旋转的角度可能是（ ）A ．30︒B ．60︒C ．72︒D ．90︒6．三角形的外心是（ ）A ．三角形三条高线的交点B ．三角形三条中线的交点C ．三角形三条内角角平分线的交点D ．三角形三边垂直平分线的交点 7．如图，AB 为O e 的切线，切点为A ，BO 交O e 于点C ，点D 在O e 上．若ABO ∠的度数是32︒，则ADC ∠的度数是（ ）A ．32︒B ．29︒C ．58︒D ．26︒8．小明以二次函数246y x x =-+的图象为模型设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若4AB =，2DE =，则杯子的高CE 为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7二、填空题9．若关于x 的一元二次方程260x x c ++=有两个相等的实数根，则c 的值是．10．已知2x =是一元二次方程20x mx n ++=的一个根，则2m n +的值是．11．已知()()12,3,1,y y 在二次函数2(1)y x =-的图象上，则1y 2y （填“>”，“<”或“=”）．12．如图，OAB △中，40AOB ∠=︒，将O A B △绕点O 逆时针旋转得到11OA B V，若1140AOB ∠=︒，则1AOA ∠的度数为．13．如图，AB 是O e 的直径，弧BC =弧CD =弧DE ，若75AOE ∠=︒，则BOC ∠=°．14．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，若四边形ABCD 的外角∠DCE =65°，则∠BAD 的度数是．15．要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，设比赛组织者应邀请x 个队参赛，则x 满足的关系式为．16．如图，ABC V 与CDE V 都是等边三角形，连接AD ，BE ，8CD =，4BC =，若将CDE V 绕点C 顺时针旋转，当点A 、C 、E 在同一条直线上时，线段BE 的长为．三、解答题17．解方程：24120x x --=．18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，OAB △的顶点坐标分别为O 0,0 ，A 5,0 ，()4,3B -．在同一直角坐标内完成以下作图．(1)将OAB △绕点O 顺时针旋转90︒得到OA B ''△，点A 的对应点为A '，画出旋转后的图形OA B ''△；(2)OAB △与OA B ''''V 关于原点对称，点A 的对应点为A ''，画出OA B ''''V ．19．已知：关于x 的一元二次方程()2102x k k x -+-+=(1)求证：该方程总有两个实数根(2)若方程的有一个根大于3，求k 的取值范围20．已知二次函数2:43C y x x =-+．(1)将243y x x =-+化成()2y a x h k =-+的形式；(2)根据函数图象完成以下问题：①当03x ≤≤时，y 的取值范围为________；②当3y <时，x 的取值范围为________．21．已知：A ，B 是直线l 上的两点．求作：V ABC ，使得点C 在直线l 上方，且AC =BC ，30ACB ∠=︒．作法：①分别以A ，B 为圆心，AB 长为半径画弧，在直线l 上方交于点O ，在直线l 下方交于点E ；②以点O 为圆心，OA 长为半径画圆；③作直线OE 与直线l 上方的⊙O 交于点C ；④连接AC ，BC ．V ABC 就是所求作的三角形．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接OA ，OB ．∵OA ＝OB ＝AB ，∴V OAB 是等边三角形．∴60AOB ∠=︒．∵A ，B ，C 在⊙O 上，∴∠ACB ＝12∠AOB （）（填推理的依据）． ∴30ACB ∠=︒．由作图可知直线OE 是线段AB 的垂直平分线，∴AC =BC （）（填推理的依据）．∴V ABC 就是所求作的三角形．22．如图，利用一面墙（墙的长度不限），另三边用20m 长的篱笆围成一个面积为50m 2的矩形场地，求矩形的长和宽各是多少．23．如图，在三角形ABC V 中，120BAC ∠=︒，以BC 为边作等边三角形BCD △，把ABD △绕着点D 按顺时针方向旋转60︒后得到ECD V ．若3AB =，2AC =．(1)求证：点A ，C ，E 在同一条直线上；(2)求AD 的长．24．野兔跳跃时的空中运动路线可以看作是抛物线的一部分．(1)建立如图所示的平面直角坐标系．对某只野兔一次跳跃中水平距离x （单位：m ）与竖直高度y （单位：m ）进行测量，得到以下数据：根据上述数据，回答下列问题：①野兔本次跳跃的最大竖直高度为m ；②求满足条件的抛物线的解析式．(2)在满足（1）的条件下，在野兔起跳点前方1.8m 处有宽为0.8m 的小溪，则野兔此次跳跃（填“能”或“不能”）跃过小溪．25．如图，AB 是O e 的直径，M 是OA 的中点，弦CD AB ⊥于点M ，过点D 作DE CA ⊥交CA 的延长线于点E ．(1)连接OD ，求AOD ∠的度数；(2)求证：DE 与O e 相切；(3)点F 在弧上，45CDF ∠=︒，DF 交AB 于点N ．若6DE =，求FN 的长．26．在平面直角坐标系xOy 中，点 ()()()2,2,,A y B y C m y -₁，₂，₃在抛物线 ²3y ax bx =++(0)a >上．设抛物线的对称轴为直线x =t ．(1)若 3y =₁，求t 的值；(2)若当 12t m t +<<+时，都有 y y y >>₁₃₂，求t 的取值范围．27．如图，将线段AB 绕点A 逆时针旋转α度（0180α︒<<︒）得到线段AC ，连结BC ，点N 是BC 的中点，点D ，E 分别在线段AC ，BC 的延长线上，且CE DE =．(1)EDC ∠=________（用含α的代数式表示）；(2)连结BD ，点F 为BD 的中点，连接AF ，EF ，NF ．①依题意补全图形；②若AF EF ⊥，用等式表示线段NF 与CE 的数量关系，并证明． 28．在平面直角坐标系xOy 中，对于点T ，(),M a b ，(),0N n ，给出如下定义：若点N 以点T 为中心逆时针旋转90︒后，能与点M 重合，则称点T 为线段MN 的“完美等直点”．(1)如图1，当0a =，2b =，2n =时，线段MN 的“完美等直点”坐标是______；(2)如图2，当0a =，2n =时，若直线2y x =+上的一点T ，满足T 是线段MN 的“完美等直点”，求点T 的坐标及b 的值；(3)当24n -≤≤时，若点(),M a b 在以()1,1点T 为线段MN 的“完美等直点”，直接写出点T 的横坐标t 的取值范围．。
-北京市师达中学 2020-2021 学年度第一学期阶段练习九年级 数 学 (12月月考 )
xyB A–1–2–3123–1–2–3123O北京市师达中学2020-2021学年度第一学期阶段练习初 三 数 学 2020.12命题人：李 润 校对人：白会娟 排版人：李 润一、选择题（本题共16分，每小题2分）1．点（3，－4）在反比例函数k y x=的图象上，则下列各点中，在此图象上的是（ ）A ．（3,4）B ．（－2，－6）C ．（－2，6）D ．（－3，－4）2．元宵节，妈妈煮了18个元宵，其中有4个豆沙馅，6个芝麻馅，8个果仁馅，小明首先捞出一个尝尝味道，正好是芝麻馅的概率为（ ）A ．29B ．49C ．12D ．133．关于方程2210x x +−=的根的情况，下列说法正确的是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法判断4．如图，在平行四边形ABCD 中，E 是AB 的中点，EC 交BD 于点F ， 则△BEF 与△DCF 的面积比为（ ） A ．49 B ．19 C ．14 D ．125．若扇形的半径为4，圆心角为90°，则这个扇形的面积为（ ）A ．πB ．4πC ．8πD ．16π 6．如图，OA 交⊙O 于点B ，AD 切⊙O 于点D ，点C 在⊙O 上，若∠C ＝25°， 则∠A 为（ ）A ．25°B ．30°C ．35°D ．40° 7．已知点（11,x y ）、（22,x y ）、（33,x y ）在双曲线5y x=上，当3210x x x <<<时，1y 、2y 、3y 的大小关系是（ ）A ．231y y y <<B ．321y y y <<C ．213y y y <<D ．132y y y <<8．在关于x 的二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）中，自变量x 可以取任意实数，下表是自变量x 与函数y的几组对应值：对于此函数有下列结论： ①此函数图象的开口向上； ②当x >1，y 随x 的增大而增大；③若此函数的对称轴为直线x=t ，则t ＞3；④若此函数与x 轴交点的横坐标为x 1，x 2（x 1<x 2），则0<x 1<1，5<x 2<6． 其中正确的结论个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 二、填空题（本题共24分，每小题3分）9．抛物线()2231y x =−+的顶点坐标是____________．10．请写出一个图象与x 轴无交点的函数表达式：______________．11．如图，⊙O 的半径OA 与弦BC 垂直于点D ，若OD =3，OA =5，则BC 的长为_________．第11题 第12题 第13题12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A （1，1），B （2，2），若双曲线y k x=与线段AB 有公共点，则k 的取值范围是________．13．如图，为了测量某棵树的高度，小李同学用长为2m 的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点距离相距6m ，与树相距15m ，那么这棵树的高度为_________m ．x … 1 2 3 4 5 6 7 … y…-1.78-3.70-4.42-3.91-2.200.754.88…B DOCFE A BDB C Oxy3x 1Oxy–1123456–11234QOP14．下表是某种植物的种子在相同条件下发芽率试验的结果．种子个数 100 400 900 1500 2500 4000 发芽种子个数 82 312 711 1188 1986 3201 发芽种子频率0.820.780.790.790.790.80根据上表中的数据，可估计该植物的种子发芽的概率为____________．（精确到0.01）15．如图1，在△ABC 中，点P 从点B 出发向点C 运动，运动过程中设线段BP 的长为x ，线段AP 的长为y ，y 与x 的函数图象如图2所示，Q 是图象上的最低点，根据图象回答下列问题： 线段AP 的最小值是________，AC 的长为________．图1 图216．小明同学遇到了这样一道题：已知：如图，A ，B ，C 是⊙O 上的点，1=A ∠∠．求证：BD 是⊙O 的切线． 他是这样证明的：证明：延长BO 交⊙O 于E 点，连接CE ． ∵=E A ∠∠（①）1=A ∠∠， ∴=1E ∠∠．∵EB 是⊙O 的直径，∴90ECB ∠=°（②）∴+2=90E ∠∠°， ∴1+2=90∠∠°， ∴OB ⊥BD ． ∵OB 是⊙O 的半径， ∴BD 是⊙O 的切线． 请你写出①，②的依据．① ；② ．三、解答题（本题共60分，第17~22题，每小题6分，第23~25题，每小题8分） 17．解方程：x 2－4x －5＝0．18．如图，线段AC 与BD 相交于点E ，连接AD 、BC ，∠A =∠C ． （1）求证：△AED ∽△CEB ；（2）若AE =2，CE =3，AD =3，求BC 的长度．19．如图，已知抛物线22y x x =−与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的左侧）． （1）求点A 和点B 的坐标； （2）若抛物线上有两点P （1x ，），Q （2x ，2y ），12x x <，若122x x +<，直接写出2y 的取值范围．BCAP21CBAO1CBAO20．在平面直角坐标系xOy 中，直线y=x 与双曲线ky x=（x ＞0）的交点为)P m ．（1）求k 的值；（2）若直线y=x ＋b 与x 轴、y 轴分别交于点A 、点B ，与双曲线ky x=（x ＞0）的交点记为Q ， 若BQ=2AB ，请直接写出b 的值．21．如图，在△ABC 中，AB AC =，点D 是边BCBF ，交AD 于点E ．（1）求证：直线AD 是⊙O 的切线；（2）若BF 是⊙O 的切线，BC=4，求EF 的长．22．小亮学习完反比例函数后，遇到一个函数（1）该函数自变量x 的取值范围是（2画出了当x ＞1（3_______________________________；（4）若关于x (1)a x =−数a 的取值范围：23．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2240)y ax ax a =−+≠（．（1）抛物线的对称轴为直线x =__________；（2）若点A （x 1，y 1）在此抛物线上，且当2≤x 1≤3时，1≤y 1≤4，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，设该抛物线的顶点为D ，直线l ：y=kx ＋b 经过点D ，直线y=n （n ≥1）与抛物线有两个公共点，它们的横坐标为x 1、x 2（x 1＞x 2），直线y=n 与直线l 交点的横坐标记为x 3，若13320x x x x −>−>始终成立，结合函数图象，求k 的取值范围．24．在△ABC 中，∠ABC=30°，∠ACB=45°，点D 为线段BC 上一动点，连接AD ． （1）如图1，若4,AB =AD ⊥BC ，请直接写出AC 的长度；（2）如图2，将线段AD 绕点A 顺时针．．．旋转90°得到AE ，过E 作EF ⊥BC 于点F ，连接AF ，请补全图形，并证明△AFC 为等腰直角三角形；（3）将线段AD 绕点A 顺时针．．．旋转90°得到AE ，当点E 恰好在线段AB 的垂直平分线上时，请在图3中补全图形，并求AC BE的值．图1图2图325．在平面内，对于给定的△ABC ，如果存在一个半圆或优弧与△ABC 的两边相切，且该弧上的所有点都在△ABC 的内部或边上，则称这样的弧为△ABC 的内切弧．当内切弧的半径最大时，称该内切弧为△ABC 的完美内切弧．（注：弧的半径指该弧所在圆的半径） 在平面直角坐标系xOy 中，()()8,0,0,6A B ．（1）如图1，在弧1G ，弧2G ，弧3G 中，是△OAB 的内切弧的是__________；（2）如图2，若弧G 为△OAB 的内切弧，且弧G 与边AB 、OB 相切，直接写出弧G 的半径的最大值；（3）如图3，动点(),3M m ，连接OM 、AM ．①直接写出△OAM 的完美内切弧的半径的最大值；②记①中得到的半径最大时的完美内切弧为弧T ，点P 为弧T 上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线，分别交x 轴和直线AB 于点D 、E ，点F 为线段PE 的中点，直接写出线段DF 长度的取值范围．ABCABCDABCD。
2017-2018学年北京市海淀区师达中学九年级(上)月考物理试卷(12月份)含答案
2017-2018学年北京市海淀区师达中学九年级（上）月考物理试卷（12月份）一、下列各下题均有四个选项，其中只有一符合题意．（每小题2分，共30分）1．（2分）下列用品中，属于导体的是（）A．玻璃棒B．橡皮C．铅笔芯D．塑料尺子2．（2分）如图所示的用电器中，利用电流热效应工作的是（）A．B．C．D．3．（2分）洗衣机、空调、电冰箱等家用电器都使用三孔插头、插座，如图所示，插座中有一个孔是用来接地的。
如果在你家中这个孔没有接地，将会发生的现象是（）A．家用电器消耗的电能会增加B．家用电器不能正常工作C．家用电器的使用寿命会缩短D．人接触家用电器外壳时有可能发生触电事故4．（2分）如图所示家用电器中，应用直流电动机工作的是（）A．B．C．D．5．（2分）关于地磁场，下列说法正确的是（）A．地磁场的N极在地球的地理北极附近B．地球周围的磁感线从地球地理北极附近出发，回到地球地理南极附近C．仅在地磁场的作用下，可自由转动的小磁针静止时，N极指向地理的南极附近D．宋代科学家沈括最早发现了地磁场的两极与地理的两极并不完全重合6．（2分）小明家的电路简化后的示意图如图所示，关于该电路，下列说法正确的是（）A．白炽灯、电视和台灯是串联在电路中的B．开关和白炽灯串联后接在火线和零线之间C．各个小彩灯之间是并联的D．去掉空气开关不影响电路的工作和安全7．（2分）为了研究通电螺线管周围的磁场分布情况，小红找来实验器材并连接好实验电路，使用小磁针来进行探究。
她先在螺线管一端摆放了九个小磁针，通电后发现这九个小磁针的指向如图所示。
若用虚线来描述磁场的分布情况，在选项中可能正确的是（）A．B．C．D．8．（2分）如图所示的电路中，电源电压保持不变，闭合开关S后，灯泡L1、L2都发光。
一段时间后，其中一盏灯突然熄灭，而电流表、电压表的示数都不变，则产生这一现象的原因可能是（）A．灯泡L1短路B．灯泡L2短路C．灯泡L1断路D．灯泡L2断路9．（2分）如图所示电路中，R为定值电阻，电源两端电压保持不变。
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2018-2019学年北京市海淀区师达中学九年级（上）月考数学试卷（12月份）一、选择题（本题共16分，每小题2分，共20分）1．（2分）（2018秋•沙河口区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，则sin A 的值为（）A．B．C．D．2．（2分）（2017秋•西城区期末）点A（1，y1），B（3，y2）是反比例函数y图象上的两点，那么y1，y2的大小关系是（）A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．不能确定3．（2分）（2017•黔东南州）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A＝15°，半径为2，则弦CD的长为（）A．2B．1C．D．44．（2分）（2013•泉州）为了更好保护水资源，造福人类，某工厂计划建一个容积V（m3）一定的污水处理池，池的底面积S（m2）与其深度h（m）满足关系式：V＝Sh（V≠0），则S关于h的函数图象大致是（）A．B．C．D．5．（2分）（2018秋•海淀区校级月考）如图，若△ABC和△DEF的面积分别为S1、S2，则（）A．S1＞S2B．S1＜S2C．S1＝S2D．无法确定6．（2分）（2015•永州）如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（）A．∠ABD＝∠ACB B．∠ADB＝∠ABC C．AB2＝AD•AC D．7．（2分）（2013•苏州）如图，菱形OABC的顶点C的坐标为（3，4）．顶点A在x轴的正半轴上，反比例函数y（x＞0）的图象经过顶点B，则k的值为（）A．12B．20C．24D．328．（2分）（2017秋•广陵区期末）如图，在菱形纸片ABCD中，AB＝2，∠A＝60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F、G分别在边AB、AD上，则cos∠EFG值为（）A．B．C．D．二、填空题（本题共16分,每小题2分)9．（2分）（2017秋•吴中区期末）若，则锐角α＝．10．（2分）（2016秋•滕州市期末）圆心角是60°的扇形的半径为6，则这个扇形的面积是．11．（2分）（2018秋•海淀区校级月考）反比例函数y与二次函数y＝x2的共同性质有．（写出一条符合题意的即可）12．（2分）（2018秋•海淀区校级月考）如图，AB是⊙O的直径，C、D是圆上的两点，若BC＝6，cos D，则AB的长为．13．（2分）（2019春•锡山区校级月考）若反比例函数y的图象经过点A（4，1），则当y ＜1时，x的取值范围是．14．（2分）（2018秋•海淀区校级月考）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝6，DB＝3，则的值为．15．（2分）（2018秋•海淀区校级月考）如图，在△ABC中，tan A，∠B＝45°，AB＝14，则BC的长为．16．（2分）（2017•衢州）如图，在直角坐标系中，⊙A的圆心A的坐标为（﹣1，0），半径为1，点P为直线y x+3上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为Q，则切线长PQ 的最小值是．三、解答题（本题共68分,第17-22题,每小题5分,第23-26题,每小题5分,第27,28题,每小题5分)解答题写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．（5分）（2018秋•海淀区校级月考）计算4cos45°+tan60°（﹣1）218．（5分）（2016秋•北京期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是AC边上一点，DE⊥AB于点E．若DE＝2，BC＝3，AC＝6，求AE的长．19．（5分）（2018秋•海淀区校级月考）在数学课上，爱动脑筋的小孙同学提出了一个问题：已知线段AB和直线L，他想作一个顶点P在直线上L的特殊的∠APB，使得∠APB＝30°经过课堂讨论，有的学习小组提出了如下尺规作图方案：①分别以点A，点B为圆心，以线段AB的长度为半径画弧，两条弧在线段AB上方相交于点O；②以O为圆心，OA为半径作弧，与直线L相交于P1，P2两点；③连接AP1，BP1，AP2，BP2，所以∠AP1B，∠AP2B就是所求的角请你根据上述尺规作图方案，完成下列问题：（1）使用直尺和圆规补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明：证明：在⊙O中，连接OA，OB，∵△OAB为等边三角形（）（填推理的依据）∴∠AOB＝60°，∴∠AP1B∠AOB＝30°∴∠AP2B∠AOB＝30°（）（填推理的依据）20．（5分）（2018秋•海淀区校级月考）如图，师达中学教学楼的对面是一栋宿舍楼，小孙同学在教学楼的窗口C测得宿舍楼顶部D的仰角为18°，宿舍楼底部的俯角为20°，量得教学楼与宿舍楼之间的距离AB＝30m，求宿舍楼的高BD（结果精确到0.1m）（参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）21．（5分）（2018秋•海淀区校级月考）如图，已知四边形ABCD为平行四边形，其对角线相交于点O，AB⊥AC，tan∠CAD，求∠BDC的正弦值．22．（5分）（2018秋•海淀区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+b（k≠0）与双曲线y的一个交点为P（2，m）与x轴、y轴分别交于点A，B．（1）求m的值．（2）若P A＝2AB，求点A的坐标．23．（6分）（2015秋•石景山区期末）阅读下面材料：小天在学习锐角三角函数中遇到这样一个问题：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝22.5°，则tan22.5°＝小天根据学习几何的经验，先画出了几何图形（如图1），他发现22.5°不是特殊角，但它是特殊角45°的一半，若构造有特殊角的直角三角形，则可能解决这个问题．于是小天尝试着在CB边上截取CD＝CA，连接AD（如图2），通过构造有特殊角（45°）的直角三角形，经过推理和计算使问题得到解决．请回答：tan22.5°＝．参考小天思考问题的方法，解决问题：如图3，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，请借助△ABC，构造出15°的角，并求出该角的正切值．24．（6分）（2018秋•海淀区校级月考）已知，如图，矩形ABCD的顶点A，D分别在△PMN 的边PM，PN上，顶点B、C在△PMN的边MN上且AD＝2AB．（1）请在图1中在线段AB的左侧画一个矩形EGBF∽矩形ABCD，使得点E，点G，点F分别在线段AM、AB、MB上．（保留必要的痕迹，并作简单的说明）（2）若矩形ABCD的边AD＝4，tan M，请计算（1）中矩形EGBF的边长EF的长度．（3）若矩形ABCD的边AD＝4，tan M＝m，则（1）中矩形EGBF的边长EF的长度为．25．（6分）（2017•十堰）已知AB为⊙O的直径，BC⊥AB于B，且BC＝AB，D为半圆⊙O 上的一点，连接BD并延长交半圆⊙O的切线AE于E．（1）如图1，若CD＝CB，求证：CD是⊙O的切线；（2）如图2，若F点在OB上，且CD⊥DF，求的值．26．（6分）（2015•海淀区二模）阅读下面材料：小明研究了这样一个问题：求使得等式kx+2﹣|x|＝0（k＞0）成立的x的个数．小明发现，先将该等式转化为kx+2＝|x|，再通过研究函数y＝kx+2的图象与函数y＝|x|的图象（如图）的交点，使问题得到解决．请回答：（1）当k＝1时，使得原等式成立的x的个数为；（2）当0＜k＜1时，使得原等式成立的x的个数为；（3）当k＞1时，使得原等式成立的x的个数为．参考小明思考问题的方法，解决问题：关于x的不等式x2+a＜0（a＞0）只有一个整数解，求a的取值范围．27．（7分）（2015•抚顺）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，过点B的直线MN∥AC，D为BC 边上一点，连接AD，作DE⊥AD交MN于点E，连接AE．（1）如图①，当∠ABC＝45°时，求证：AD＝DE；（2）如图②，当∠ABC＝30°时，线段AD与DE有何数量关系？并请说明理由；（3）当∠ABC＝α时，请直接写出线段AD与DE的数量关系．（用含α的三角函数表示）28．（7分）（2017•西城区一模）在平面直角坐标系xOy中，若点P和点P1关于y轴对称，点P1和点P2关于直线l对称，则称点P2是点P关于y轴，直线l的二次对称点．（1）如图1，点A（﹣1，0）．①若点B是点A关于y轴，直线l1：x＝2的二次对称点，则点B的坐标为；②若点C（﹣5，0）是点A关于y轴，直线l2：x＝a的二次对称点，则a的值为；③若点D（2，1）是点A关于y轴，直线l3的二次对称点，则直线l3的表达式为；（2）如图2，⊙O的半径为1．若⊙O上存在点M，使得点M'是点M关于y轴，直线l4：x＝b的二次对称点，且点M'在射线y x（x≥0）上，b的取值范围是；（3）E（t，0）是x轴上的动点，⊙E的半径为2，若⊙E上存在点N，使得点N'是点N 关于y轴，直线l5：y x+1的二次对称点，且点N'在y轴上，求t的取值范围．2018-2019学年北京市海淀区师达中学九年级（上）月考数学试卷（12月份）参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分，共20分）1．（2分）（2018秋•沙河口区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，则sin A 的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，∴sin A．故选：A．2．（2分）（2017秋•西城区期末）点A（1，y1），B（3，y2）是反比例函数y图象上的两点，那么y1，y2的大小关系是（）A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．不能确定【解答】解：∵A（1，y1），B（3，y2）是反比例函数y图象上的两点，∴y16，y22，∴y1＜y2．故选：C．3．（2分）（2017•黔东南州）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A＝15°，半径为2，则弦CD的长为（）A．2B．1C．D．4【解答】解：∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，∴CE＝DE，∠CEO＝90°，∵∠A＝15°，∴∠COE＝30°，在Rt△OCE中，OC＝2，∠COE＝30°，∴CE OC＝1，（直角三角形中，30度角所对的直角边是斜边的一半）∴CD＝2CE＝2，故选：A．4．（2分）（2013•泉州）为了更好保护水资源，造福人类，某工厂计划建一个容积V（m3）一定的污水处理池，池的底面积S（m2）与其深度h（m）满足关系式：V＝Sh（V≠0），则S关于h的函数图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：∵V＝Sh（V为不等于0的常数），∴S（h≠0），S是h的反比例函数．依据反比例函数的图象和性质可知，图象为反比例函数在第一象限内的部分．故选：C．5．（2分）（2018秋•海淀区校级月考）如图，若△ABC和△DEF的面积分别为S1、S2，则（）A．S1＞S2B．S1＜S2C．S1＝S2D．无法确定【解答】解：过A点作AG⊥BC于G，过D点作DH⊥EF于H．在Rt△ABG中，AG＝AB•sin40°＝5sin40°，∠DEH＝180°﹣140°＝40°，在Rt△DHE中，DH＝DE•sin40°＝8sin40°，S1＝8×5sin40°÷2＝20sin40°，S2＝5×8sin40°÷2＝20sin40°．则S1＝S2．故选：C．6．（2分）（2015•永州）如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（）A．∠ABD＝∠ACB B．∠ADB＝∠ABC C．AB2＝AD•AC D．【解答】解：A、∵∠ABD＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；B、∵∠ADB＝∠ABC，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；C、∵AB2＝AD•AC，∴，∠A＝∠A，△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；D、不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意．故选：D．7．（2分）（2013•苏州）如图，菱形OABC的顶点C的坐标为（3，4）．顶点A在x轴的正半轴上，反比例函数y（x＞0）的图象经过顶点B，则k的值为（）A．12B．20C．24D．32【解答】解：过C点作CD⊥x轴，垂足为D，∵点C的坐标为（3，4），∴OD＝3，CD＝4，∴OC5，∴OC＝BC＝5，∴点B坐标为（8，4），∵反比例函数y（x＞0）的图象经过顶点B，∴k＝32，故选：D．8．（2分）（2017秋•广陵区期末）如图，在菱形纸片ABCD中，AB＝2，∠A＝60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F、G分别在边AB、AD上，则cos∠EFG值为（）A．B．C．D．【解答】解：如图：作GN⊥AB于N，作EM⊥AD于M，连接BE，BD∵四边形ABCD是菱形，AB＝2∴CD＝AD＝AB＝2，AB∥DC∵AB∥CD∴∠A＝∠MDC＝60°∵E是CD中点∴DE＝1∵ME⊥AD，∠DMC＝60°∴∠MED＝30°，且ME⊥AD∴DM，ME DM∵折叠∴AG＝GE，∠AFG＝∠EFG在Rt△GME中，GE2＝GM2+ME2．∴GE2＝（2﹣GE）2∴GE在Rt△AGN中，∠A＝60°，GN⊥AB ∴AG＝2AN∴AN∴GN∵BC＝CD＝2，∠C＝60°∴△BCD是等边三角形∵E点是CD中点∴BE⊥CD，DE＝1，∠BDC＝60°∴BE∵AB∥DC∴∠ABE＝90°在Rt△EFB中，EF2＝BE2+BF2．∴EF2＝3+（2﹣EF）2．∴EF∴AF∵NF＝AF﹣AN∴NF在Rt△GNF中，GF∴cos∠EFG＝cos∠GFN故选：C．二、填空题（本题共16分,每小题2分)9．（2分）（2017秋•吴中区期末）若，则锐角α＝60°．【解答】解：∵sinα ，∴α＝60°，故答案为：60°．10．（2分）（2016秋•滕州市期末）圆心角是60°的扇形的半径为6，则这个扇形的面积是6π．【解答】解：该扇形的面积S6π．故答案为：6π．11．（2分）（2018秋•海淀区校级月考）反比例函数y与二次函数y＝x2的共同性质有当x＞0时，y随x的增大而增大．（写出一条符合题意的即可）【解答】解：反比例函数y与二次函数y＝x2的共同性质有当x＞0时，y随x的增大而增大，故答案为：当x＞0时，y随x的增大而增大．12．（2分）（2018秋•海淀区校级月考）如图，AB是⊙O的直径，C、D是圆上的两点，若BC＝6，cos D，则AB的长为9．【解答】解：连接AC，由圆周角定理得，∠B＝∠D，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴cos B，又BC＝6，∴AB＝9，故答案为：9．13．（2分）（2019春•锡山区校级月考）若反比例函数y的图象经过点A（4，1），则当y ＜1时，x的取值范围是x＜0或x＞4．【解答】解：∵反比例函数y的图象经过点A（4，1），∴k＝4×1＝4，∴反比例函数的解析式为y，图象如图所示．由图可知，当y＜1时，x＜0或x＞4．故答案为x＜0或x＞4．14．（2分）（2018秋•海淀区校级月考）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝6，DB＝3，则的值为．【解答】解：∵AD＝6，DB＝3，∴AB＝9，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴（）2＝（）2．故答案为：．15．（2分）（2018秋•海淀区校级月考）如图，在△ABC中，tan A，∠B＝45°，AB＝14，则BC的长为6．【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，如图，∵在Rt△CDA中，tan A，设CD＝3x，AD＝4x，∵在Rt△CDB中，∠B＝45°∴tan B1，sin B，∵CD＝3x．∴BD＝3x，BC•3x＝3x．又∵AB＝AD+BD＝14，∴4x+3x＝14，解得x＝2，∴BC＝6．故答案为：6．16．（2分）（2017•衢州）如图，在直角坐标系中，⊙A的圆心A的坐标为（﹣1，0），半径为1，点P为直线y x+3上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为Q，则切线长PQ 的最小值是2．【解答】解：如图，作AP⊥直线y x+3，垂足为P，作⊙A的切线PQ，切点为Q，此时切线长PQ最小，∵A的坐标为（﹣1，0），设直线与x轴，y轴分别交于C，B，∴B（0，3），C（4，0），∴OB＝3，AC＝5，∴BC5，∴AC＝BC，在△APC与△BOC中，，∴△APC≌△BOC，∴AP＝OB＝3，∴PQ2．∵PQ2＝P A2﹣1，此时P A最小，所以此时切线长PQ也最小，最小值为2．三、解答题（本题共68分,第17-22题,每小题5分,第23-26题,每小题5分,第27,28题,每小题5分)解答题写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．（5分）（2018秋•海淀区校级月考）计算4cos45°+tan60°（﹣1）2【解答】解：原式＝421＝2211．18．（5分）（2016秋•北京期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是AC边上一点，DE⊥AB于点E．若DE＝2，BC＝3，AC＝6，求AE的长．【解答】解：∵∠C＝90°，DE⊥AB，∴∠AED＝∠C＝90°，又∵∠A＝∠A，∴△AED∽△ACB，∴，又∵DE＝2，BC＝3，AC＝6，∴，∴AE＝4．19．（5分）（2018秋•海淀区校级月考）在数学课上，爱动脑筋的小孙同学提出了一个问题：已知线段AB和直线L，他想作一个顶点P在直线上L的特殊的∠APB，使得∠APB＝30°经过课堂讨论，有的学习小组提出了如下尺规作图方案：①分别以点A，点B为圆心，以线段AB的长度为半径画弧，两条弧在线段AB上方相交于点O；②以O为圆心，OA为半径作弧，与直线L相交于P1，P2两点；③连接AP1，BP1，AP2，BP2，所以∠AP1B，∠AP2B就是所求的角请你根据上述尺规作图方案，完成下列问题：（1）使用直尺和圆规补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明：证明：在⊙O中，连接OA，OB，∵△OAB为等边三角形（三边相等的三角形是等边三角形）（填推理的依据）∴∠AOB＝60°，∴∠AP1B∠AOB＝30°∴∠AP2B∠AOB＝30°（同弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半）（填推理的依据）【解答】解：（1）如图所示，∠AP1B，∠AP2B就是所求的角．（2）在⊙O中，连接OA，OB，∵△OAB为等边三角形（三边相等的三角形是等边三角形），∴∠AOB＝60°，∴∠AP1B∠AOB＝30°∴∠AP2B∠AOB＝30°（同弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半），故答案为：三边相等的三角形是等边三角形，同弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半．20．（5分）（2018秋•海淀区校级月考）如图，师达中学教学楼的对面是一栋宿舍楼，小孙同学在教学楼的窗口C测得宿舍楼顶部D的仰角为18°，宿舍楼底部的俯角为20°，量得教学楼与宿舍楼之间的距离AB＝30m，求宿舍楼的高BD（结果精确到0.1m）（参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）【解答】解：作CH⊥BD于H，如图，根据题意得∠DCH＝18°，∠BCH＝20°，易得四边形ABHC为矩形，则CH＝AB＝30，在Rt△DCH中，tan∠DCH，∴DH＝30tan18°＝30×0.32＝9.6（m），在Rt△BCH中，tan∠BCH，∴BH＝30tan20°＝30×0.36＝10.8（m），∴BD＝10.8+9.6＝20.4（m）．答：宿舍楼的高BD为20.4m．21．（5分）（2018秋•海淀区校级月考）如图，已知四边形ABCD为平行四边形，其对角线相交于点O，AB⊥AC，tan∠CAD，求∠BDC的正弦值．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AO＝OC，AB＝CD，∠ACD＝∠BAC，∵AB⊥AC，∴∠BAC＝90°，∴∠ACD＝90°，∵tan∠CAD，∴设CD＝3x，AC＝4x，∴OC＝2x，∴OD2x，∴sin∠BDC．22．（5分）（2018秋•海淀区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+b（k≠0）与双曲线y的一个交点为P（2，m）与x轴、y轴分别交于点A，B．（1）求m的值．（2）若P A＝2AB，求点A的坐标．【解答】解：（1）∵双曲线y经过P（2，m），∴2m＝8，解得：m＝4；（2）点P（2，4）在y＝kx+b上，∴4＝2k+b，∴b＝4﹣2k，∵直线y＝kx+b（k≠0）与x轴、y轴分别交于点A，B，∴A（2，0），B（0，4﹣2k）．作PC⊥x轴于点C．分两种情况：①如图1，点A在x轴负半轴，点B在y轴正半轴时，∵P A＝2AB，∴AB＝PB，则OA＝OC，∴2＝2，解得k＝1，故点A的坐标为（﹣2，0）；②如图2，当点A在x轴正半轴，点B在y轴负半轴时，∵P A＝2AB，∴PC＝2OB，∴4＝2（2k﹣4），解得k＝3．故点A的坐标为（，0）．综上所述，点A的坐标为（﹣2，0）或（，0）．23．（6分）（2015秋•石景山区期末）阅读下面材料：小天在学习锐角三角函数中遇到这样一个问题：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝22.5°，则tan22.5°＝1小天根据学习几何的经验，先画出了几何图形（如图1），他发现22.5°不是特殊角，但它是特殊角45°的一半，若构造有特殊角的直角三角形，则可能解决这个问题．于是小天尝试着在CB边上截取CD＝CA，连接AD（如图2），通过构造有特殊角（45°）的直角三角形，经过推理和计算使问题得到解决．请回答：tan22.5°＝1．参考小天思考问题的方法，解决问题：如图3，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，请借助△ABC，构造出15°的角，并求出该角的正切值．【解答】解：如图2，设CD＝CA＝a，则AD a，∵∠B＝22.5°，∠ADC＝45°，∴∠DAB＝22.5°，∴∠DAB＝∠B，∴DB＝DA a，∴BC＝BD+CD＝（1）a，在Rt△ABC中，tan B1，即tan22.5°1；故答案为1；1；如图3，延长BA到D，使AD＝AB，则AB＝AD＝AC，∴∠D＝∠ACD，∵∠CAB＝∠D+∠ACD＝30°，∴∠D＝15°，作CH⊥AB于H，设CH＝x，则AC＝2x，AH x，∴AD＝AC＝2x，∴DH＝AD+AH＝（2）x，在Rt△DCH中，tan D2，即tan15°＝2．24．（6分）（2018秋•海淀区校级月考）已知，如图，矩形ABCD的顶点A，D分别在△PMN 的边PM，PN上，顶点B、C在△PMN的边MN上且AD＝2AB．（1）请在图1中在线段AB的左侧画一个矩形EGBF∽矩形ABCD，使得点E，点G，点F分别在线段AM、AB、MB上．（保留必要的痕迹，并作简单的说明）（2）若矩形ABCD的边AD＝4，tan M，请计算（1）中矩形EGBF的边长EF的长度．（3）若矩形ABCD的边AD＝4，tan M＝m，则（1）中矩形EGBF的边长EF的长度为．【解答】解：（1）如图1中，矩形EGBF即为所求．（2）∵AD＝2AB，AD＝4，∴AB＝1，设EF＝x，则EG＝BF＝2x，∵tan M，∴BM＝2，∴，∴x，∴EF．（3）∵tan M m，∴BM，∴m，∴x．故答案为．25．（6分）（2017•十堰）已知AB为⊙O的直径，BC⊥AB于B，且BC＝AB，D为半圆⊙O 上的一点，连接BD并延长交半圆⊙O的切线AE于E．（1）如图1，若CD＝CB，求证：CD是⊙O的切线；（2）如图2，若F点在OB上，且CD⊥DF，求的值．【解答】解：（1）连接DO，CO，∵BC⊥AB于B，∴∠ABC＝90°，在△CDO与△CBO中，，∴△CDO≌△CBO，∴∠CDO＝∠CBO＝90°，∴OD⊥CD，∴CD是⊙O的切线；（2）连接AD，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ADF+∠BDF＝90°，∠DAB+∠DBA＝90°，∵∠BDF+∠BDC＝90°，∠CBD+∠DBA＝90°，∴∠ADF＝∠BDC，∠DAB＝∠CBD，∵在△ADF和△BDC中，，∴△ADF∽△BDC，∴，∵∠DAE+∠DAB＝90°，∠E+∠DAE＝90°，∴∠E＝∠DAB，∵在△ADE和△BDA中，，∴△ADE∽△BDA，∴，∴，即，∵AB＝BC，∴1．26．（6分）（2015•海淀区二模）阅读下面材料：小明研究了这样一个问题：求使得等式kx+2﹣|x|＝0（k＞0）成立的x的个数．小明发现，先将该等式转化为kx+2＝|x|，再通过研究函数y＝kx+2的图象与函数y＝|x|的图象（如图）的交点，使问题得到解决．请回答：（1）当k＝1时，使得原等式成立的x的个数为1；（2）当0＜k＜1时，使得原等式成立的x的个数为2；（3）当k＞1时，使得原等式成立的x的个数为1．参考小明思考问题的方法，解决问题：关于x的不等式x2+a＜0（a＞0）只有一个整数解，求a的取值范围．【解答】解：（1）当k＝1时，如图1，使得原等式成立的x的个数为1；（2）当0＜k＜1时，如图2，使得原等式成立的x的个数为2；（3）当k＞1时，如图3，使得原等式成立的x的个数为1．故答案为：（1）1；（2）2；（3）1．解决问题：将不等式＜＞转化为＜＞，研究函数y＝x2+a（a＞0）与函数的图象的交点，如图4，∵函数的图象经过点A（1，4），B（2，2），函数y＝x2的图象经过点C（1，1），D（2，4），若函数y＝x2+a（a＞0）经过点A（1，4），则a＝3，结合图象可知，当0＜a＜3时，关于x的不等式＜＞只有一个整数解．也就是当0＜a＜3时，关于x的不等式＜＞只有一个整数解．27．（7分）（2015•抚顺）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，过点B的直线MN∥AC，D为BC 边上一点，连接AD，作DE⊥AD交MN于点E，连接AE．（1）如图①，当∠ABC＝45°时，求证：AD＝DE；（2）如图②，当∠ABC＝30°时，线段AD与DE有何数量关系？并请说明理由；（3）当∠ABC＝α时，请直接写出线段AD与DE的数量关系．（用含α的三角函数表示）【解答】（1）证明：如图1，过点D作DF⊥BC，交AB于点F，则∠BDE+∠FDE＝90°，∵DE⊥AD，∴∠FDE+∠ADF＝90°，∴∠BDE＝∠ADF，∵∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，∴∠C＝45°，∵MN∥AC，∴∠EBD＝180°﹣∠C＝135°，∵∠BFD＝45°，DF⊥BC，∴∠BFD＝45°，BD＝DF，∴∠AFD＝135°，∴∠EBD＝∠AFD，在△BDE和△FDA中，∴△BDE≌△FDA（ASA），∴AD＝DE；（2）解：DE AD，理由：如图2，过点D作DG⊥BC，交AB于点G，则∠BDE+∠GDE＝90°，∵DE⊥AD，∴∠GDE+∠ADG＝90°，∴∠BDE＝∠ADG，∵∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，∴∠C＝60°，∵MN∥AC，∴∠EBD＝180°﹣∠C＝120°，∵∠ABC＝30°，DG⊥BC，∴∠BGD＝60°，∴∠AGD＝120°，∴∠EBD＝∠AGD，∴△BDE∽△GDA，∴，在Rt△BDG中，tan30°，∴DE AD；（3）AD＝DE•tanα；理由：如图2，∠BDE+∠GDE＝90°，∵DE⊥AD，∴∠GDE+∠ADG＝90°，∴∠BDE＝∠ADG，∵∠EBD＝90°+α，∠AGD＝90°+α，∴∠EBD＝∠AGD，∴△EBD∽△AGD，∴，在Rt△BDG中，tanα，则tanα，∴AD＝DE•tanα．28．（7分）（2017•西城区一模）在平面直角坐标系xOy中，若点P和点P1关于y轴对称，点P1和点P2关于直线l对称，则称点P2是点P关于y轴，直线l的二次对称点．（1）如图1，点A（﹣1，0）．①若点B是点A关于y轴，直线l1：x＝2的二次对称点，则点B的坐标为（3.0）；②若点C（﹣5，0）是点A关于y轴，直线l2：x＝a的二次对称点，则a的值为﹣2；③若点D（2，1）是点A关于y轴，直线l3的二次对称点，则直线l3的表达式为y＝﹣x+2；（2）如图2，⊙O的半径为1．若⊙O上存在点M，使得点M'是点M关于y轴，直线l4：x＝b的二次对称点，且点M'在射线y x（x≥0）上，b的取值范围是b≤1；（3）E（t，0）是x轴上的动点，⊙E的半径为2，若⊙E上存在点N，使得点N'是点N 关于y轴，直线l5：y x+1的二次对称点，且点N'在y轴上，求t的取值范围．【解答】解：（1）．①如图1中，点A（﹣1，0）关于y轴的对称点A1（1，0），A1关于直线x＝2的对称点B（3，0）．②如图2中，由题意C（﹣5，0），A1（1，0），∵A1、C关于直线x＝a对称，∴a＝﹣2．③如图3中，∵A1（1，0），D（2，1），∴直线A1D的解析式为y＝x﹣1，线段A1D的中垂线的解析式为y＝﹣x+2，∴直线l3的解析式为y＝﹣x+2．故答案分别为（3，0），a＝﹣2．y＝﹣x+2．（2）如图4中，由题意b MM′，由此可知，当MM′的值最大时，可得b的最大值，∵直线OM′的解析式为y x，∴∠MM′O＝∠M′OD＝30°，∵OM＝1，易知，OM⊥OM′时，MM′的值最大，最大值为2，∴b的最大值为1，如图5中，易知当点M在x轴的正半轴上时，可得b的最小值，最小值为，综上所述，满足条件的b取值范围为b≤1．故答案为b≤1．（3）如图6中，设点E关于y轴的对称点为E1，E1关于直线y x+1的对称点为E′，易知当点N在⊙E上运动时，点N′在⊙E′上运动，由此可见当⊙E′与y轴相切或相交时满足条件．连接E1E′交直线y x+1于K，易知直线E1E′的解析式为y x t，由解得，∴K（，），∵KE1＝KE′，∴E′（，），当⊙E′与y轴相切时，||＝2，解得t4或4，综上所述，满足条件的t的取值范围为4≤t4．。