-北京市师达中学 2020-2021 学年度第一学期阶段练习九年级 数 学 (12月月考 )
2020—2021年北师大版九年级数学上册期中试卷及答案【精品】
2020—2021年北师大版九年级数学上册期中试卷及答案【精品】 班级： 姓名：一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）1．﹣3的相反数是（ ）A ．13-B ．13C ．3-D ．32．若点A （1+m ，1﹣n ）与点B （﹣3，2）关于y 轴对称，则m+n 的值是（ ）A ．﹣5B ．﹣3C ．3D ．13．关于x 的一元一次方程224a x m -+=的解为1x =，则a m +的值为（ ）A ．9B ．8C ．5D ．44．关于x 的一元二次方程2(1)20x k x k ---+=有两个实数根12,x x ，()1212122(2)2x x x x x x -+--+3=-，则k 的值（） A ．0或2 B ．-2或2 C ．-2 D ．25．已知点A （m ，n ）在第二象限，则点B （|m|，﹣n ）在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．如图是由6个同样大小的正方体摆成的几何体．将正方体①移走后，所得几何体（ ）A ．主视图改变，左视图改变B ．俯视图不变，左视图不变C ．俯视图改变，左视图改变D ．主视图改变，左视图不变7．如图，等边三角形ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，点E 在线段AD 上，∠EBC=45°，则∠ACE 等于（ ）A．15°B．30°C．45°D．60°8．如图，直线a∥b，将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放，若∠1=58°，则∠2的度数为（）A．30°B．32°C．42°D．58°9．如图，扇形OAB中，∠AOB=100°，OA=12，C是OB的中点，CD⊥OB交AB 于点D，以OC为半径的CE交OA于点E，则图中阴影部分的面积是（）A．12π+183B．12π+363C．6π+183D．6π+363 10．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=3cm.动点P从点A出发，以2cm/s 的速度沿AB方向运动到点B．动点Q同时从点A出发，以1cm/s的速度沿折线AC CB方向运动到点B．设△APQ的面积为y（cm2）.运动时间为x（s），则下列图象能反映y与x之间关系的是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．8-的立方根是__________．2．分解因式：3x－x=__________．3．函数2=-中，自变量x的取值范围是__________．y x4．如图1所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小明按图2所示方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么小明用9个这样的图形（图1）拼出来的图形的总长度是_______（结果用含a、b代数式表示）.5．如图，已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上．如果BC=4，△ABC的面积是6，那么这个正方形的边长是__________．6．如图，已知Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=60°，AC=23+4，点M、N分别在线段AC、AB上，将△ANM沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当△DCM为直角三角形时，折痕MN的长为__________．三、解答题（本大题共6小题，共72分）1．解方程：15102x x x x-+--＝22．已知关于x 的一元二次方程2(3)0x m x m ---=.（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）如果方程的两实根为1x ，2x ，且2212127x x x x +-=，求m 的值．3．在Rt △ABC 中，∠BAC=90°,D 是BC 的中点，E 是AD 的中点．过点A 作AF ∥BC 交BE 的延长线于点F（1）求证：△AEF ≌△DEB ；（2）证明四边形ADCF 是菱形；（3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCF 的面积．4．如图，已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象经过A （-1，0）、B （4，0）、C （0，2）三点．（1）求该二次函数的解析式；（2）点D 是该二次函数图象上的一点，且满足∠DBA=∠CAO （O 是坐标原点），求点D 的坐标；（3）点P 是该二次函数图象上位于一象限上的一动点，连接PA 分别交BC ，y 轴与点E 、F ，若△PEB 、△CEF 的面积分别为S 1、S 2，求S 1-S 2的最大值．5．为了了解居民的环保意识，社区工作人员在光明小区随机抽取了若干名居民开展主题为“打赢蓝天保卫战”的环保知识有奖问答活动，并用得到的数据绘制了如图条形统计图：请根据图中信息，解答下列问题：（1）本次调查一共抽取了名居民；（2）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；（3）社区决定对该小区500名居民开展这项有奖问答活动，得10分者设为“一等奖”，请你根据调查结果，帮社区工作人员估计需准备多少份“一等奖”奖品．6．随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以5G等为代表的战略性新兴产业，据统计，目前广东5G基站的数量约1.5万座，计划到2020年底，全省5G基站数是目前的4倍，到2022年底，全省5G基站数量将达到17.34万座．（1）计划到2020年底，全省5G基站的数量是多少万座？；（2）按照计划，求2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率．参考答案一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）1、D2、D3、C4、D5、D6、D7、A8、B9、C10、D二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1、-22、x （x+1）（x －1）3、2x ≥4、a+8b5、1276三、解答题（本大题共6小题，共72分）1、x ＝7．2、（1）证明见解析（2）1或23、（1）略；（2）略；（3）10．4、（1）抛物线解析式为213222y x x =-++；（2）点D 的坐标为（3，2）或（-5，-18）；（3）当t=85时，有S 1-S 2有最大值，最大值为165. 5、（1）50；（2）平均数是8.26；众数为8；中位数为8；（3）需要一等奖奖品100份．6、（1）到2020年底，全省5G 基站的数量是6万座；（2）2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为70%.。
北京市海淀区师达中学2022-2023学年度第一学期11月阶段性练习初三数学试卷
北京市师达中学2022-2023学年度第一学期阶段性练习初三数学2022.11一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．古典园林中的窗户是中国传统建筑装饰的重要组成部分，一窗一姿容，一窗一景致．下列窗户图案中，是中心对称图形的是A ．B ．C ．D ．2．二次函数22(3)1=-+y x 的图象的顶点坐标是A ．（2，3）B ．（2，1）C ．（3，1-）D ．（3，1）3．用配方法解方程x 2＋4x ＝1，变形后结果正确的是A ．(x ＋2)2＝5B ．(x ＋2)2＝2C ．(x －2)2＝5D ．(x －2)2＝24．不透明的袋子中装有2个红球，3个黑球，这些球除颜色外无其他差别。
从袋子中随机摸出一个球，则摸出红球的概率是A ．25B ．35C ．23D ．125．如图，OA ，OB 是⊙O 的半径，若50AOB ∠=︒，则ACB ∠的度数是A ．75°B ．50°C ．25°D ．100°6．根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形内心的是A ．B ．C ．D ．7．如图，在△ABC 中，以C 为中心，将△ABC 顺时针旋转35°得到△DEC ，边ED ，AC 相交于点F ，若∠A =30°，则∠EFC 的度数为A ．60°B ．65°C ．72.5°D ．115°8．在平面直角坐标系xOy 中，点()11,y -，()22,y ，()34,y 在抛物线22y ax ax c=-+上．当0a >时，下列说法一定正确的是A ．若120y y <，则30y >B ．若230y y >，则10y <C ．若130y y <，则20y >D ．若1230y y y =，则20y =二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．在平面直角坐标系xOy 中，点（4，7-）关于原点的对称点坐标为________．10．写出一个开口向上，并且与y 轴交于点（0，2）的抛物线的解析式．11．若关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋m ＝0有一个根为1，则m 的值为_______．12．若扇形的半径为2，圆心角为90°，则这个扇形的面积为________．13．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()20y ax bx c a =++≠的示意图如图所示,则b ______0(填“>”或“=”或“<”)．14．如图，直线332y x =-+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，AOB ∆绕点A 顺时针旋转90︒后得到△AO B ''，则点B 的对应点B '的坐标为．15．下表是某种植物的种子在相同条件下发芽率试验的结果.种子个数100400900150025004000发芽种子个数92352818133622513601发芽种子频率0.920.880.910.890.900.90根据上表中的数据，可估计该植物的种子发芽的概率为_______.（保留一位小数）16．如图，在平面直角坐标系xOy 中，P 为x 轴正半轴上一点．已知点()0,2A ,()0,8B ，⊙M 为△ABP 的外接圆．（1）点M 的纵坐标为；（2）当∠APB 最大时，点P 的坐标为．三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．解一元二次方程：2230x x --=．18．如图，将ABC ∆绕点B 旋转得到DBE ∆，且A ，D ，C 三点在同一条直线上．求证：DB平分ADE ∠．19．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y x m =-+的图象过点(1,3)A ，且与x 轴交于点B ．（1）求m 的值和点B 的坐标；（2）若二次函数2y ax bx =+图象过A ，B 两点，直接写出关于x 的不等式2ax bx x m +>-+的解集．20．下面是“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程.已知：如图1，⊙O 和⊙O 外一点P ．求作：过点P 的⊙O 的切线．作法：如图2，（1）连结OP ，作线段OP 的中点M ；图1（2）以M 为圆心，MP 的长为半径作圆，交⊙O 于点A ，B ；（3）作直线．．P A 和PB .直线．．PA ，PB 即为所求作⊙O 的切线．请在图2中补全图形，并完成下面的证明．证明：连接OA图2由作法可知，OP 为⊙M 的直径，∴∠OAP =90°（）（填推理的依据）∴OA ⊥PA ∵点A 在⊙O 上∴直线PA 是圆的切线（）（填推理的依据）同理，直线PB 也是圆的切线．21．如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（5，0），B（4，－3），将△OAB绕点O顺时针旋转90°得到△OA′B′，点A旋转后的对应点为A´．（1）画出旋转后的图形△OA′B′，并写出点A′的坐标；（2）求点B经过的路径¼'BB的长（结果保留π）.22.如图，PA，PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC=25°，求∠APB的度数.23．如图，用长为6m的铝合金条制成“日”字形窗框，若窗框的宽为x m，窗户的透光面积为y m2（铝合金条的宽度不计）．（1）求出y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）如何安排窗框的长和宽，才能使得窗户的透光面积最大？并求出此时的最大面积．24．已知关于x 的方程2(3)30(mx m x m +--=为实数，0)m ≠．（1）求证：此方程总有两个实数根．（2）如果此方程的两个实数根都为正整数，求整数m 的值．25．如图，AB 是O e 的直径，直线MC 与O e 相切于点C .过点A 作MC 的垂线，垂足为D ，线段AD 与O e 相交于点E .（1）求证：AC 是∠DAB 的平分线；（2）若10,AB AC ==，求AE 的长.26．在平面直角坐标系xOy 中，点（1，m ）和（2，n ）在抛物线2y x bx =-+上．（1）若m ＝0，求该抛物线的对称轴；（2）若mn ＜0，设抛物线的对称轴为直线x t =，①直接写出t 的取值范围；②已知点A （－1，y 1），B （32，y 2），C （3，y 3）在该抛物线上．比较y 1，y 2，y 3的大小，并说明理由．27．点M为正方形ABCD的边BC延长线上一点，（1）如图1，当BC=CM=3时，连接AM，DM，则∠BMD=°，AM=；（2）如图2，将射线BM绕点B逆时针旋转α（0°<α<40°）得到射线BF，作AH⊥BF于点H，在射线BF上取点E，使得BE=2AH，连接DE．①依题意补全图形；②猜想∠BED的度数，并证明.图1图228．在平面直角坐标系xOy 中，已知⊙O 的半径为2，对于点P ，直线l 和⊙O ，给出如下定义：若点P 关于直线l 对称的点在⊙O 上或⊙O 的内部，则称点P 为⊙O 关于l 的反射点．（1）已知直线l 为直线3x =，①在点P 1（4，0），P 2（4，1），P 3（5，1）中，是⊙O 关于l 的反射点的有；②若点P 为x 轴上的动点，且点P 为⊙O 关于l 的反射点，则点P 的横坐标的最大值为；（2）已知直线l 的解析式为()20y kx k =+≠，①当1k =-时，若点P 为直线185x =上的动点，且点P 为⊙O 关于l 的反射点，则点P 的纵坐标t 的取值范围是；②点B ，3），C ，1），若线段BC 的任意一点都为⊙O 关于l 的反射点，则k 的取值范围是．。
北京市师达中学2024-2025学年九年级上学期数学第一次月考试题
北京市师达中学2024-2025学年九年级上学期数学第一次月考试题一、单选题1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．二次函数y ＝(x －2)2＋3的最小值是( )A ．3B ．2C ．－2D ．－33．关于x 的方程()2120a x x -+-=是一元二次方程，则a 满足（ ）A ．1a ≠B ．1a ≠-C ．1a ≠±D ．为任意实数 4．将抛物线221y x =-向上平移2个单位，再向左平移3个单位，所得抛物线的解析式为（ ） A ．()2232y x =++B ．()=-+2y 2x 31 C ．()2232y x =-+ D ．()2231y x =++ 5．如图，五角星旋转一定角度后能与自身重合，则旋转的角度可能是（ ）A ．30︒B ．60︒C ．72︒D ．90︒6．三角形的外心是（ ）A ．三角形三条高线的交点B ．三角形三条中线的交点C ．三角形三条内角角平分线的交点D ．三角形三边垂直平分线的交点 7．如图，AB 为O e 的切线，切点为A ，BO 交O e 于点C ，点D 在O e 上．若ABO ∠的度数是32︒，则ADC ∠的度数是（ ）A ．32︒B ．29︒C ．58︒D ．26︒8．小明以二次函数246y x x =-+的图象为模型设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若4AB =，2DE =，则杯子的高CE 为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7二、填空题9．若关于x 的一元二次方程260x x c ++=有两个相等的实数根，则c 的值是．10．已知2x =是一元二次方程20x mx n ++=的一个根，则2m n +的值是．11．已知()()12,3,1,y y 在二次函数2(1)y x =-的图象上，则1y 2y （填“>”，“<”或“=”）．12．如图，OAB △中，40AOB ∠=︒，将O A B △绕点O 逆时针旋转得到11OA B V，若1140AOB ∠=︒，则1AOA ∠的度数为．13．如图，AB 是O e 的直径，弧BC =弧CD =弧DE ，若75AOE ∠=︒，则BOC ∠=°．14．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，若四边形ABCD 的外角∠DCE =65°，则∠BAD 的度数是．15．要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，设比赛组织者应邀请x 个队参赛，则x 满足的关系式为．16．如图，ABC V 与CDE V 都是等边三角形，连接AD ，BE ，8CD =，4BC =，若将CDE V 绕点C 顺时针旋转，当点A 、C 、E 在同一条直线上时，线段BE 的长为．三、解答题17．解方程：24120x x --=．18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，OAB △的顶点坐标分别为O 0,0 ，A 5,0 ，()4,3B -．在同一直角坐标内完成以下作图．(1)将OAB △绕点O 顺时针旋转90︒得到OA B ''△，点A 的对应点为A '，画出旋转后的图形OA B ''△；(2)OAB △与OA B ''''V 关于原点对称，点A 的对应点为A ''，画出OA B ''''V ．19．已知：关于x 的一元二次方程()2102x k k x -+-+=(1)求证：该方程总有两个实数根(2)若方程的有一个根大于3，求k 的取值范围20．已知二次函数2:43C y x x =-+．(1)将243y x x =-+化成()2y a x h k =-+的形式；(2)根据函数图象完成以下问题：①当03x ≤≤时，y 的取值范围为________；②当3y <时，x 的取值范围为________．21．已知：A ，B 是直线l 上的两点．求作：V ABC ，使得点C 在直线l 上方，且AC =BC ，30ACB ∠=︒．作法：①分别以A ，B 为圆心，AB 长为半径画弧，在直线l 上方交于点O ，在直线l 下方交于点E ；②以点O 为圆心，OA 长为半径画圆；③作直线OE 与直线l 上方的⊙O 交于点C ；④连接AC ，BC ．V ABC 就是所求作的三角形．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接OA ，OB ．∵OA ＝OB ＝AB ，∴V OAB 是等边三角形．∴60AOB ∠=︒．∵A ，B ，C 在⊙O 上，∴∠ACB ＝12∠AOB （）（填推理的依据）． ∴30ACB ∠=︒．由作图可知直线OE 是线段AB 的垂直平分线，∴AC =BC （）（填推理的依据）．∴V ABC 就是所求作的三角形．22．如图，利用一面墙（墙的长度不限），另三边用20m 长的篱笆围成一个面积为50m 2的矩形场地，求矩形的长和宽各是多少．23．如图，在三角形ABC V 中，120BAC ∠=︒，以BC 为边作等边三角形BCD △，把ABD △绕着点D 按顺时针方向旋转60︒后得到ECD V ．若3AB =，2AC =．(1)求证：点A ，C ，E 在同一条直线上；(2)求AD 的长．24．野兔跳跃时的空中运动路线可以看作是抛物线的一部分．(1)建立如图所示的平面直角坐标系．对某只野兔一次跳跃中水平距离x （单位：m ）与竖直高度y （单位：m ）进行测量，得到以下数据：根据上述数据，回答下列问题：①野兔本次跳跃的最大竖直高度为m ；②求满足条件的抛物线的解析式．(2)在满足（1）的条件下，在野兔起跳点前方1.8m 处有宽为0.8m 的小溪，则野兔此次跳跃（填“能”或“不能”）跃过小溪．25．如图，AB 是O e 的直径，M 是OA 的中点，弦CD AB ⊥于点M ，过点D 作DE CA ⊥交CA 的延长线于点E ．(1)连接OD ，求AOD ∠的度数；(2)求证：DE 与O e 相切；(3)点F 在弧上，45CDF ∠=︒，DF 交AB 于点N ．若6DE =，求FN 的长．26．在平面直角坐标系xOy 中，点 ()()()2,2,,A y B y C m y -₁，₂，₃在抛物线 ²3y ax bx =++(0)a >上．设抛物线的对称轴为直线x =t ．(1)若 3y =₁，求t 的值；(2)若当 12t m t +<<+时，都有 y y y >>₁₃₂，求t 的取值范围．27．如图，将线段AB 绕点A 逆时针旋转α度（0180α︒<<︒）得到线段AC ，连结BC ，点N 是BC 的中点，点D ，E 分别在线段AC ，BC 的延长线上，且CE DE =．(1)EDC ∠=________（用含α的代数式表示）；(2)连结BD ，点F 为BD 的中点，连接AF ，EF ，NF ．①依题意补全图形；②若AF EF ⊥，用等式表示线段NF 与CE 的数量关系，并证明． 28．在平面直角坐标系xOy 中，对于点T ，(),M a b ，(),0N n ，给出如下定义：若点N 以点T 为中心逆时针旋转90︒后，能与点M 重合，则称点T 为线段MN 的“完美等直点”．(1)如图1，当0a =，2b =，2n =时，线段MN 的“完美等直点”坐标是______；(2)如图2，当0a =，2n =时，若直线2y x =+上的一点T ，满足T 是线段MN 的“完美等直点”，求点T 的坐标及b 的值；(3)当24n -≤≤时，若点(),M a b 在以()1,1点T 为线段MN 的“完美等直点”，直接写出点T 的横坐标t 的取值范围．。
2022-2023学年北京市海淀区师达中学数学九年级第一学期期末教学质量检测模拟试题含解析
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题(每小题3分,共30分)1．方程x （x ﹣5）=x 的解是（ ）A ．x=0B ．x=0或x=5C ．x=6D ．x=0或x=62．已知一个矩形的面积为24cm 2，其长为ycm ，宽为xcm ，则y 与x 之间的函数关系的图象大致是A ．B ．C ．D ．3．若关于x 的一元二次方程x 2－2x －k ＝0没有实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．k ＞－1B ．k≥－1C ．k ＜－1D ．k≤－14．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，设OA a =，OB b =，下列式子中正确的是（ ）A ．DC a b =+B ．DC a b =-； C ．DC a b =-+D ．DC a b =--． 5．下列计算中，结果是6a 的是A ．24a a +B ．23a a ⋅C ．122a a ÷D ．23()a6．《九章算术》总共收集了246个数学问题，这些算法要比欧洲同类算法早1500多年，对中国及世界数学发展产生过重要影响. 在《九章算术》中有很多名题，下面就是其中的一道. 原文：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”翻译：如图，CD 为O 的直径，弦AB CD ⊥于点E . 1CE =寸，10AB =寸，则可得直径CD 的长为（ ）A ．13寸B ．26寸C ．18寸D ．24寸 7．不等式11x x ≥﹣﹣的解集是（ ）A ．1x ≥B ．1x ≥﹣C ．1x ≤D ．1x ≤﹣8．从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是（ ）A ．B ．C ．D ．9．如图，以△ABC 的三条边为边，分别向外作正方形，连接EF ，GH ，DJ ，如果△ABC 的面积为8，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．28B ．24C ．20D ．1610．中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划，“一带一路”地区覆盖总人口约为4400000000，这个数用科学记数法表示（ ）A ．44410⨯B ．84.410⨯C ．94.410⨯D ．104.410⨯二、填空题(每小题3分,共24分)11．计算：2sin 245°﹣tan45°＝______． 12．一元二次方程240x x -=的解是_________.13．抛物线29y x =-与y 轴的交点做标为__________．14．扫地机器人能够自主移动并作出反应，是因为它发射红外信号反射回接收器，机器人在打扫房间时，若碰到障碍物则发起警报．若某一房间内A 、B 两点之间有障碍物，现将A 、B 两点放置于平面直角坐标系xOy 中（如图），已知点A ，B 的坐标分别为(0，4)，(6，4)，机器人沿抛物线y ＝ax 2﹣4ax ﹣5a 运动．若机器人在运动过程中只触发一次报警，则a 的取值范围是_____．15．如图，AB CD ∥，AD 与BC 交于点O ，已知4AB =，3CD =，2OD =，那么线段OA 的长为__________．16．如图，在△ABC 中，∠BAC=35°，将△ABC 绕点A 顺时针方向旋转50°，得到△AB′C′，则∠B′AC 的度数是 ．17．分式方程22124x x x -=--的解为______________. 18．抛物线y ＝12（x ﹣2）2的顶点坐标是_____． 三、解答题(共66分)19．（10分）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，60BAC ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，过点D 作DE AC 交AB 于点E ，点M 是线段AD 上的动点，连结BM 并延长分别交DE ，AC 于点F 、G .（1）求CD 的长.（2）若点M 是线段AD 的中点，求EF DF的值. （3）请问当DM 的长满足什么条件时，在线段DE 上恰好只有一点P ，使得60CPG ∠=︒?20．（6分）如图，已知二次函数y ＝x 2﹣4x +3图象与x 轴分别交于点B 、D ，与y 轴交于点C ，顶点为A ，分别连接AB ，BC ，CD ，DA ． （1）求四边形ABCD 的面积；（2）当y ＞0时，自变量x 的取值范围是 ．21．（6分）某小学为每个班级配备了一种可以加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后，接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升10℃，待加热到100℃，饮水机自动停止加热，水温开始下降，水温y （℃）和通电时间x （min ）成反比例关系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温为20℃，接通电源后，水温和时间的关系如下图所示，回答下列问题：（1）分别求出当0≤x ≤8和8＜x ≤a 时，y 和x 之间的关系式；（2）求出图中a 的值；（3）李老师这天早上7：30将饮水机电源打开，若他想再8：10上课前能喝到不超过40℃的开水，问他需要在什么时间段内接水．22．（8分）阅读下面材料后，解答问题．分母中含有未知数的不等式叫分式不等式．如：201x x ->+，2301x x +<-等．那么如何求出它们的解集呢？根据我们学过的有理数除法法则可知，两数相除，同号得正，异号得负，其字母表达式为： （1）若0a >，0b >，则0a b >，若0a <，0b <，则0a b>； （2）若0a >，0b <，则0a b <，若0a <，0b >，则0a b <．反之，（1）若0a b >，则0,0,a b >⎧⎨>⎩或0,0;a b <⎧⎨<⎩（3）若0a b <，则__________或_____________．根据上述规律，求不等式201x x ->+，的解集，方法如下： 由上述规律可知，不等式201x x ->+，转化为①2010x x ->⎧⎨+>⎩或②2010x x -<⎧⎨+<⎩解不等式组①得2x >，解不等式组②得1x <-． ∴不等式201x x ->+，的解集是2x >或1x <-． 根据上述材料，解决以下问题：A 、求不等式2301x x +<-的解集 B 、乘法法则与除法法则类似，请你类比上述材料内容，运用乘法法则，解决以下问题：求不等式(1)(23)0x x +->的解集．23．（8分）如图，抛物线21y=x bx c 2-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且OA=2，OC=1． (1)求抛物线的解析式．(2)若点D(2，2)是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上，是否存在一点P ，使得△BDP 的周长最小，若存在，请求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．注：二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）的对称轴是直线x =b 2a-.24．（8分）今年某水果销售店在草莓销售旺季，试销售成本为每千克20元的草莓，规定试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克40元，经试销发现，销售量y（千克）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图是y与x的函数关系图象．（1）求y与x的函数解析式（也称关系式），请直接写出x的取值范围；（2）设该水果销售店试销草莓获得的利润为W元，求W的最大值．25．（10分）已知：如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，点D是BC边上的一个动点(不与B，C点重合)，∠ADE＝45°．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）设BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数关系式；（3）当△ADE是等腰三角形时，请直接写出AE的长．26．（10分）已知抛物线y＝x2+bx+c经过原点，对称轴为直线x＝1，求该抛物线的解析式．参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、D【分析】先移项，然后利用因式分解法解方程．【详解】解：x（x﹣5）﹣x=0，x（x﹣5﹣1）=0，x=0或x﹣5﹣1=0，∴x1=0或x2=1．故选：D．【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．2、D【详解】根据题意有：xy=24；且根据x，y实际意义x、y应大于0，其图象在第一象限．故选D．3、C【解析】试题分析：由题意可得根的判别式，即可得到关于k的不等式，解出即可.由题意得，解得故选C.考点：一元二次方程的根的判别式点评：解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等实数根；当时，方程的两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．4、C【分析】由平行四边形性质，得DC AB=，由三角形法则，得到OA AB OB+=，代入计算即可得到答案.【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC AB=，∵OA a=，=，OB b在△OAB中，有OA AB OB+=，∴AB OB OA b a a b=-=-=-+，∴DC a b=-+；故选择：C.【点睛】此题考查了平面向量的知识以及平行四边形的性质．注意掌握平行四边形法则与三角形法则的应用是解此题的关键．5、D【解析】根据幂的乘方、同底数幂的乘法的运算法则计算后利用排除法求解.【详解】解：A、a2+a4≠a6，不符合；B、a2•a3=a5，不符合；C、a12÷a2=a10，不符合；D、(a2)3=a6，符合.故选D.【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方．需熟练掌握且区分清楚，才不容易出错.6、B【分析】根据垂径定理可知AE的长．在Rt△AOE中，运用勾股定理可求出圆的半径，进而可求出直径CD的长．【详解】⊥连接OA，AB CD由垂径定理可知，点E是弦AB的中点，1AE=AB=52--OE=OC CE=OA CE设半径为r，由勾股定理得，22222+-OA=AE OE=OA+（OA CE）即222r =5（r-1）+ 解得：r=13所以CD=2r=26，即圆的直径为26，故选B ．【点睛】本题主要考查了垂径定理和勾股定理的性质和求法，熟练掌握相关性质是解题的关键.7、C【解析】移项、合并同类项，系数化为1即可求解．【详解】解：11x x ≥﹣﹣，22x ≥﹣﹣1x ∴≤故选：C ．【点睛】考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．8、B【分析】根据圆周角定理（直径所对的圆周角是直角）求解，即可求得答案．【详解】∵直径所对的圆周角等于直角，∴从直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是B ．故选B ．【点睛】本题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．9、B【分析】过E 作EM ⊥FA 交FA 的延长线于M ，过C 作CN ⊥AB 交AB 的延长线于N ，根据全等三角形的性质得到EM ＝CN ，于是得到S △AEF ＝S △ABC ＝8，同理S △CDJ ＝S △BHG ＝S △ABC ＝8，于是得到结论．【详解】解：过E 作EM ⊥FA 交FA 的延长线于M ，过C 作CN ⊥AB 交AB 的延长线于N ，∴∠M ＝∠N ＝90°，∠EAM+∠MAC ＝∠MAC+∠CAB ＝90°，∴∠EAM=∠CAB∵四边形ACDE 、四边形ABGF 是正方形，∴AC=AE，AF ＝AB ，∴∠EAM ≌△CAN ，∴EM ＝CN ，∵AF＝AB，∴S△AEF＝12AF•EM，S△ABC＝12AB•CN＝8，∴S△AEF＝S△ABC＝8，同理S△CDJ＝S△BHG＝S△ABC＝8，∴图中阴影部分的面积＝3×8＝24，故选：B．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形判定和性质，正确的作辅助线是解题的关键．10、C【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】解：将4400000000用科学记数法表示为4.4×109.故选C.【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．二、填空题(每小题3分,共24分)11、0【解析】原式=22121=2122⎛⎫⨯-⨯-⎪⎪⎝⎭=0，故答案为0.12、x1=0，x2=4【分析】用因式分解法求解即可.【详解】∵240x x-=，∴x(x-4)=0,∴x1=0，x2=4.故答案为x1=0，x2=4.【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法由直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键.13、(0，9)【分析】令x=0，求出y的值，然后写出交点坐标即可．【详解】解：x=0时，y=-9，所以，抛物线与y轴的交点坐标为（0，-9）．故正确答案为：(0，-9)．【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是熟练掌握二次函数图象与坐标轴的交点的求解方法．14、﹣45＜a＜47【分析】根据题意可以知道抛物线与线段AB有一个交点，根据抛物线对称轴及其与y轴的交点即可求解．【详解】解：由题意可知：∵点A、B坐标分别为（0，1），（6，1），∴线段AB的解析式为y＝1．机器人沿抛物线y＝ax2﹣1ax﹣5a运动．抛物线对称轴方程为：x＝2，机器人在运动过程中只触发一次报警，所以抛物线与线段y＝1只有一个交点．所以抛物线经过点A下方．∴﹣5a＜1解得a＞﹣45．1＝ax2﹣1ax﹣5a，△＝0即36a2+16a＝0，解得a 1＝0（不符合题意，舍去），a 2＝49． 当抛物线恰好经过点B 时，即当x ＝6，y ＝1时，36a ﹣21a ﹣5a ＝1，解得a ＝47综上：a 的取值范围是﹣45＜a ＜47 【点睛】本题考查二次函数的应用,关键在于熟悉二次函数的性质,结合图形灵活运用.15、83【分析】根据平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例得到OA ：OD ＝AB ：CD ，然后利用比例性质计算OA 的长．【详解】∵AB ∥CD ，∴OA ：OD ＝AB ：CD ，即OA ：2＝4：3，∴OA ＝83． 故答案为83． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．16、15°【分析】先根据旋转的性质，求得∠BAB'的度数，再根据∠BAC=35°，求得∠B′AC 的度数即可．【详解】∵将ABC 绕点A 顺时针方向旋转50°得到AB C ''△，∴50BAB '∠=︒，又∵35BAC ∠=︒，∴503515B AC '∠=︒-︒=︒，故答案为：15°．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，解题时注意：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．17、1x =-；【解析】方程两边都乘以（x+2）（x-2）得到x （x+2）-2=（x+2）（x-2），解得x=-1，然后进行检验确定分式方程的解． 【详解】解：22124x x x -=-- 去分母得x （x+2）-2=（x+2）（x-2），解得x=-1，检验：当x=-1时，（x+2）（x-2）≠0，所以原方程的解为x=-1．故答案为x=-1．【点睛】本题考查解分式方程：先去分母，把分式方程转化为整式方程，再解整式方程，然后把整式方程的解代入分式方程进行检验，最后确定分式方程的解．18、（2，0）．【分析】已知条件的解析式是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标.【详解】解：∵抛物线解析式为y ＝12（x ﹣2）2， ∴二次函数图象的顶点坐标是（2，0）．故答案为（2，0）．【点睛】本题的考点是二次函数的性质.方法是根据顶点式的坐标特点写出答案.三、解答题(共66分)19、（1）DC =；（2）23EF DF =；（3）当DM =DM <<P 只有一个. 【解析】（1）由角平分线定义得30DAC ∠=︒，在Rt ADC ∆中，根据锐角三角函数正切定义即可求得DC 长.（2）由题意易求得BC =BD =ASA 得DFM AGM ∆≅∆，根据全等三角形性质得DF AG =，根据相似三角形判定得~BFE BGA ∆∆，由相似三角形性质得EF BE BD AG AB BC==，将DF AG =代入即可求得答案. （3）由圆周角定理可得CQG ∆是顶角为120°的等腰三角形，再分情况讨论：①当Q 与DE 相切时，结合题意画出图形，过点Q 作QH AC ⊥，并延长HQ 与DE 交于点P ，连结QC ，QG ，设Q 半径为r ，由相似三角形的判定和性质即可求得DM 长； ②当Q 经过点E 时，结合题意画出图形，过点C 作CK AB ⊥，设Q 半径为r ，在Rt EQK ∆中，根据勾股定理求得r ，再由相似三角形的判定和性质即可求得DM 长；③当Q 经过点D 时，结合题意画出图形，此时点M 与点G 重合，且恰好在点A 处，由此可得DM 长.【详解】（1）解：∵AD 平分BAC ∠，60BAC ∠=︒， ∴1302DAC BAC ∠=∠=︒． 在Rt ADC ∆中，tan 3023DC AC =⋅︒=（2）解：易得，63BC =，43BD =．由DE AC ，得EDA DAC ∠=∠，DFM AGM ∠=∠．∵AM DM =，∴DFM AGM ∆≅∆，∴AG DF =．由DEAC ，得~BFE BGA ∆∆， ∴EF BE BD AG AB BC== ∴432363EF EF BD DF AG BC ==== （3）解：∵60CPG ∠=︒，过C ，P ，G 作外接圆，圆心为Q ，∴CQG ∆是顶角为120°的等腰三角形.①当Q 与DE 相切时，如图1，过Q 点作QH AC ⊥，并延长HQ 与DE 交于点P ，连结QC ，QG设Q 的半径QP r =则12QH r =，1232r r +=解得433r =． ∴43343CG =⨯=，2AG =． 易知DFM AGM ∆∆，可得43DM DF AM AG ==，则47DM AD = ∴1637DM =． ②当Q 经过点E 时，如图2，过C 点作CK AB ⊥，垂足为K ．设Q 的半径QC QE r ==，则33-QK r =．在Rt EQK ∆中，()221332r r +-=，解得1439r =， ∴14143393CG =⨯= 易知DFMAGM ∆∆，可得1435DM = ③当Q 经过点D 时，如图3，此时点M 与点G 重合，且恰好在点A 处，可得43DM =综上所述，当DM =DM <<时，满足条件的点P 只有一个. 【点睛】 本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，圆周角定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会利用特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题．20、（1）4；（2）x ＞3或x ＜1．【分析】（1）四边形ABCD 的面积＝12×BD ×（x C ﹣x A ）＝12×2×（3+1）＝4； （2）从图象可以看出，当y ＞0时，自变量x 的取值范围是：x ＞3或x ＜1，即可求解．【详解】（1）函数y ＝x 2﹣4x +3图象与x 轴分别交于点B 、D ，与y 轴交于点C ，顶点为A ，则点B 、D 、C 、A 的坐标分别为：（3，0）、（1，0）、（0，3）、（2，﹣1）；四边形ABCD 的面积＝12×BD ×（x C ﹣x A ）＝12×2×（3+1）＝4； （2）从图象可以看出，当y ＞0时，自变量x 的取值范围是：x ＞3或x ＜1，故答案为：x ＞3或x ＜1．【点睛】本题考查二次函数的图形和性质，解题时需注意将四边形的面积转化为三角形的面积进行计算，四边形ABCD 的面积＝12×BD ×（x C ﹣x A ）. 21、（1）当0≤x≤8时，y=10x+20；当8＜x≤a 时，y=800x ；（2）40；（3）要在7：50～8：10时间段内接水． 【分析】（1）当0≤x ≤8时，设y ＝k 1x ＋b ，将(0，20)，(8，100)的坐标分别代入y ＝k 1x ＋b ，即可求得k 1、b 的值，从而得一次函数的解析式；当8＜x ≤a 时，设y ＝2k x ，将(8，100)的坐标代入y ＝2k x，求得k 2的值，即可得反比例函数的解析式；（2）把y ＝20代入反比例函数的解析式，即可求得a 值；（3）把y ＝40代入反比例函数的解析式，求得对应x 的值，根据想喝到不低于40 ℃的开水，结合函数图象求得x 的取值范围，从而求得李老师接水的时间范围．【详解】解： (1)当0≤x ≤8时，设y ＝k 1x ＋b ，将(0，20)，(8，100)的坐标分别代入y ＝k 1x ＋b ，可求得k 1＝10，b ＝20∴当0≤x ≤8时，y ＝10x ＋20.当8＜x ≤a 时，设y ＝2k x， 将(8，100)的坐标代入y ＝2k x ， 得k 2＝800∴当8<x ≤a 时，y ＝800x. 综上，当0≤x ≤8时，y ＝10x ＋20；当8＜x ≤a 时，y ＝800x(2)将y ＝20代入y ＝800x ， 解得x ＝40，即a ＝40.(3)当y ＝40时，x ＝80040＝20 ∴要想喝到不低于40 ℃的开水，x 需满足8≤x ≤20，即李老师要在7：38到7：50之间接水．【点睛】本题主要考查了一次函数及反比例函数的应用题，是一个分段函数问题，分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．22、（3）00a b >⎧⎨<⎩或00a b <⎧⎨>⎩；A 、312x -<<；B 、32x >或1x <- 【分析】（3）根据两数相除，异号得负解答；A ：先根据两数相除，同号得正，异号得负，把不等式转化成不等式组，然后根据一元一次不等式组的解法求解即可．B ：先根据两数相乘，同号得正，异号得负，把不等式转化成不等式组，然后根据一元一次不等式组的解法求解即可．【详解】解：（3）若0a b <，则00a b >⎧⎨<⎩或00a b <⎧⎨>⎩； A ： ∵2301x x +<-， 由题意得：∴①23010x x +>⎧⎨-<⎩或②23010x x +<⎧⎨->⎩解①得312x -<<，解②无解 ∴不等式2301x x +<-的解集是312x -<< B ：求不等式(1)(23)0x x +->的解集解：由题意得：①10230x x +>⎧⎨->⎩或②10230x x +<⎧⎨-<⎩解不等式组①得32x >， 解不等式组②得1x <-∴不等式(1)(23)0x x +->的解集是32x >或1x <-， 【点睛】 本题考查了一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，理解不等式转化为不等式组的方法是解题的关键．23、（2）211y=x x 322-++（2）P （12，54） 【详解】解：（2）∵OA=2，OC=2，∴A （－2，0），C （0，2）．将C （0，2）代入21y=x bx c 2-++得c=2． 将A （－2，0）代入21y=x bx 32-++得，()()210=22b 32-⋅-+-+， 解得b=12， ∴抛物线的解析式为211y=x x 322-++； （2）如图：连接AD ，与对称轴相交于P ，由于点A 和点B 关于对称轴对称，则BP+DP=AP+DP ，当A 、P 、D 共线时BP+DP=AP+DP 最小．设直线AD 的解析式为y=kx+b ，将A （-2，0），D （2，2）分别代入解析式得， 2k b 0?2k b 2-+=⎧⎨+=⎩，解得，1k ?2b 1⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴直线AD 解析式为y=12x+2． ∵二次函数的对称轴为1 12x 1222=-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭， ∴当x=12时，y=12×12+2=54． ∴P （12，54）．24、（1）y=﹣2x+340（20≤x≤40）；（2）5200【解析】试题分析：（1）待定系数法求解可得；（2）根据：总利润=每千克利润×销售量，列出函数关系式，配方后根据x的取值范围可得W的最大值．试题解析：（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b，根据题意，得：，解得：，∴y与x的函数解析式为y=﹣2x+340，（20≤x≤40）．（2）由已知得：W=（x﹣20）（﹣2x+340）=﹣2x2+380x﹣6800=﹣2（x﹣95）2+11250，∵﹣2＜0，∴当x≤95时，W随x的增大而增大，∵20≤x≤40，∴当x=40时，W最大，最大值为﹣2（40﹣95）2+11250=5200元．考点：二次函数的应用25、（1）证明见解析；（2）y=x2-x+1=（x-22）2+12；（3）AE的长为2或12．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质及三角形内角与外角的关系，易证△ABD∽△DCE．（2）由△ABD∽△DCE，对应边成比例及等腰直角三角形的性质可求出y与x的函数关系式；（3）当△ADE是等腰三角形时，因为三角形的腰和底不明确，所以应分AD=DE，AE=DE，AD=AE三种情况讨论求出满足题意的AE的长即可．【详解】（1）证明：∵∠BAC=90°，AB=AC∴∠B=∠C=∠ADE=45°∵∠ADC=∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE∴∠BAD=∠CDE∴△ABD∽△DCE；（2）由（1）得△ABD∽△DCE，∴BDEC=ABCD，∵∠BAC=90°，AB=AC=1，∴2，2，EC=1-y，∴1xy2-x∴y=x2-x+1=（x-22）2+12；（3）当AD=DE 时，△ABD ≌△CDE ，∴BD=CE ，∴x=1-y ，即x-x 2=x ， ∵x ≠0，∴等式左右两边同时除以x 得：-1∴，当AE=DE 时，DE ⊥AC ，此时D 是BC 中点，E 也是AC 的中点，所以，AE=12； 当AD=AE 时，∠DAE=90°，D 与B 重合，不合题意；综上，在AC 上存在点E ，使△ADE 是等腰三角形，AE 的长为或12． 【点睛】本题考查相似三角形的性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、二次函数的性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．26、y ＝x 2﹣2x ．【分析】根据抛物线经过原点可得c=0，根据对称轴公式求得b ，即可求得其解析式．【详解】∵抛物线y ＝x 2+bx+c 经过原点，∴c ＝0，又∵抛物线y ＝x 2+bx+c 的对称轴为x ＝1， ∴﹣2b ＝1， 解得b ＝﹣2∴抛物线的解析式为y ＝x 2﹣2x ．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握对称轴公式是解题的关键．。
2020-2021学年度北师大版数学九年级上册同步练习：2.3用公式法求解一元二次方程
2020-2021学年度北师大版数学九年级上册同步练习：2.3用公式法求解一元二次方程学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定a 、b 、c 的值．对于方程-4x 2+3=5x ，下列叙述正确的是（ ）A ．a 4=-，b 5=，c 3=B ．a 4=-，b 5=-，c 3=C ．a 4=，b 5=，c 3=D ．a 4=，b 5=-，c 3=-2．以为根的一元二次方程可能是（ ） A ．x 2+bx+c=0 B ．x 2+bx ﹣c=0 C ．x 2﹣bx+c=0 D ．x 2﹣bx ﹣c=0 3．方程2x 2-6x+3=0较小的根为p ，方程2x 2-2x-1=0较大的根为q ，则p+q 等于( ) A ．3B ．2C ．1D ．4．下列方程适合用求根公式法解的是（ ）A ．（x ﹣3）2=2B ．325x 2﹣326x+1=0C ．x 2﹣100x+2500=0D ．2x 2+3x ﹣1=05．用公式法解方程3x 2+4=12x ，下列代入公式正确的是（ ）A ．x 1、2B ．x 1、2C ．x 1、2D ．x 1、26．方程2x 2﹣3=0的两根是（ ）A ．B ．C ．D ．7．解一元二次方程x 2﹣2x ﹣5=0，结果正确的是（ ）A ．x 1=﹣，x 2=﹣1B ．x 1，x 2=1C ．x 1=7，x 2=5D ．x 1x 2=18．关于x 的一元二次方程2(3)0x k x k -++=的根的情况是（ ）A．有两不相等实数根B．有两相等实数根C．无实数根D．不能确定9．已知关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣2=0有两个实数根，m为正整数，且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数m的和为（）A．6 B．5 C．4 D．310．已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0，下列说法正确的是（）A．方程有两个相等的实数根B．方程有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定二、填空题11．一元二次方程ax2﹣2x+4=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围为_____．12．如果关于x的方程x2+kx+9=0有两个相等的实数根，那么k的值为_____．13．如果关于x的一元二次方程x2﹣6x+c=0（c是常数）没有实根，那么c的取值范围是．14．方程2x2﹣3x﹣4=0的根的情况是_____．15．已知等腰三角形的一腰为x，周长为20，则方程x2﹣12x+31=0的根为_____．16．若m＞n＞0，m2+n2=4mn，则22m nmn的值等于_____．三、解答题17．用公式法解方程：①4x2﹣x+1=0；②x2x﹣3=0．18．先阅读，再填空解题：①方程x2﹣x﹣6=0的根是x1=3，x2=﹣2，则x1+x2=1，x1x2=﹣6；②方程2x2﹣7x+3=0的根是x1=12，x2=3，则x1+x2=72，x1x2=32．根据以上①②你能否猜出：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，且a、b、c为常数，b2﹣4ac≥0）有两根x1、x2，那么x1+x2、x1x2与系数a、b、c有什么关系？请写出你的猜想并说明理由．利用公式法求出方程的根即可．19．阅读并回答问题．求一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根（用配方法）．解：ax 2+bx+c=0，∵a≠0，∴x 2+b a x+c a=0，第一步 移项得：x 2+b a x=﹣c a，第二步 两边同时加上（2b a ）2，得x 2+b a x+（ ）2=﹣c a +（2b a ）2，第三步整理得：（x+2b a ）2=2244b ac a -直接开方得x+2b a∴，∴x 1=2b a -+，x 2=2b a-，第五步 上述解题过程是否有错误？若有，说明在第几步，指明产生错误的原因，写出正确的过程；若没有，请说明上述解题过程所用的方法．20．已知关于x 的方程（m+1）x 2+2mx+（m ﹣3）=0有实数根．（1）求m 的取值范围；（2）m 为何值时，方程有两个相等的实数根？并求出这两个实数根．参考答案1．B【分析】用公式法求一元二次方程时，首先要把方程化为一般形式．【详解】∵-4x2+3=5x∴-4x2-5x+3=0，或4x2+5x-3=0∴a=-4，b=-5，c=3或a=4，b=5，c=-3．故选B．【点睛】此题考查了公式法解一元二次方程的应用条件，首先要把方程化为一般形式．2．D【解析】【分析】根据求根公式确定二次项系数、一次项系数和常数项进行对比．【详解】根据求根公式可得，-b是一次项系数，二次项系数是1或-1，常数项是-c或c．所以，符合题意的只有D选项．故选：D．【点睛】考查了解一元二次方程--公式法．利用求根公式解方程时，一定要弄清楚该公式中的字母a、b、c所表示的意义．3．B【解析】试题分析：2x2－6x＋3＝0，这里a＝2，b＝－6，c＝3，∵△＝36－24＝12，∴x，即p 2x 2－2x －1＝0，这里a ＝2，b ＝－2，c ＝－1，∵△＝4＋8＝12，∴x ，即q ＝12；则p ＋q 12＝2． 故选：B ．点睛：此题考查了解一元二次方程－公式法，利用此方法解方程时，首先找出a ，b ，c ，计算出根的判别式的值，当根的判别式的值大于等于0时，代入求根公式求出解． 4．D【解析】【分析】根据方程的特点及各方法的优缺点解答．【详解】A 选项：此方程适合直接开平方法求解；B 选项：此方程适合因式分解法求解；C 选项：此方程适合因式分解法求解；D 选项：此方程适合公式法求解；故选：D ．【点睛】考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 5．D【解析】∵3x 2+4=12x ，∴3x2-12x+4=0，∴a=3，b=-12，c=4，∴x=，故选D.6．B【解析】【分析】利用求根公式解方程.【详解】方程：﹣3=0中∴故选：B.【点睛】考查用公式法解一元二次方程，利用求根公式解方程时，一定要弄清楚该公式中的字母a、b、c所表示的意义．7．B【解析】【分析】用配方法解方程，求出方程的解即可．【详解】方程两边同加上1，得x2-2x-5+1=1，即x2-2x+1=6，配方得（x-1）2=6，开方得∴x1，x2=1故选：B.【点睛】查了解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法，本题运用的是配方法．8．A【解析】【分析】根据一元二次方程的根的判别式进行判断即可.【详解】()2x k 3x k 0-++=， △=[-(k+3)]2-4k=k 2+6k+9-4k=(k+1)2+8，∵(k+1)2≥0，∴(k+1)2+8>0，即△>0，∴方程有两个不相等实数根，故选A.【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0，a ，b ，c 为常数）的根的判别式△=b 2-4ac ．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．9．B【解析】【分析】根据一元二次方程根的判别式和一元二次方程的解法结合已知条件进行分析解答即可.【详解】∵关于x 的一元二次方程x 2+2x+m ﹣2=0有两个实数根，∴△=22=4×1×(m −2)≥0，解得：m ≤3，又∵m 为正整数，∴m=1或2或3，（1）当m=1时，原方程为x 2+2x-1=0，此时方程的两根均不为整数，故m=1不符合要求；（2）当m=2时，原方程为x2+2x=0，此时方程的两根分别为0和-2，符合题中要求；（3）当m=3时，原方程为x2+2x+1=0，此时方程的两根都为1，符合题中要求；∴ m=2或m=3符合题意，∴m的所有符合题意的正整数取值的和为：2+3=5.故选B.【点睛】读懂题意，熟知“在一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中，若方程有两个实数根，则△=b2−4ac≥0”是解答本题的关键.10．B【解析】试题分析：先求出△=42﹣4×3×（﹣5）=76＞0，即可判定方程有两个不相等的实数根．故答案选B.考点：一元二次方程根的判别式．11．a＜14且a≠0．【解析】【分析】由于方程有两个不相等的实数根，根据根的判别式可知△＞0，即4-16a＞0，解即可．【详解】：∵方程有两个不相等的实数根，∴△＞0，即4-16a＞0，解得a＜14，∵ax2-2x+4=0是一元二次方程，∴a≠0，故答案是：a＜14且a≠0．【点睛】考查了根的判别式，解题的关键是注意△＞0⇔方程有两个不相等的实数根．12．±6．【解析】【分析】若一元二次方程有两相等根，则根的判别式△=b2-4ac=0，建立关于k的等式，求出k的值．【详解】∵方程有两相等的实数根，∴△=b2-4ac=k2-36=0，解得k=±6．故答案是：±6．【点睛】考查了一元二次方程根的判别式的应用，不是很难，解题的关键是根据根的情况列出有关k 的方程．13．c＞9【分析】根据关于x的一元二次方程没有实数根时△＜0，得出△=（-6）2-4c＜0，再解不等式即可．【详解】∵关于x的一元二次方程x2-6x+c=0（c是常数）没有实根，∴△=（-6）2-4c＜0，即36-4c＜0，解得：c＞9．故答案为c＞9．14．方程有两个不相等的实数根．【解析】【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．【详解】∵△=（-3）2-4×2×（-4）=41＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故答案是：方程有两个不相等的实数根．【点睛】考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．15．【解析】【分析】求出方程的解得到x的值，即为腰长，检验即可得到方程的解．【详解】方程x2-12x+31=0，变形得：x2-12x=-31，配方得：x2-12x+36=5，即（x-6）2=5，开方得：解得：当则方程x2-12x+31=0的根为故答案是：【点睛】考查了解一元二次方程-公式法，三角形的三边关系，以及等腰三角形的性质，熟练掌握求根公式是解本题的关键．16．．【解析】【分析】根据已知条件求得，；然后将所求的代数式转化为含有m+n、m-n的形式的代数式，并将，代入求值即可．【详解】∵m＞n＞0，m2+n2=4mn，∴（m+n）2=6mn，（m-n）2=2mn，∴∴22m n mn -=()()m n m n mn +-==故答案是：【点睛】考查了完全平方公式的运用,解题关键是根据已知条件将m+n 、m-n 用所求代数式的分母mn 表示的形式.17．（1）x 1=12，x 2=12；（2）x 1=2，x 2=2； 【解析】【分析】分别找出各方程中a ，b ，c 的值，计算判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解．【详解】①4x 2﹣x+1=0中的a=4，b=﹣，c=1，∵△=32﹣16=16，∴；（2）这里a=1，b=，c=﹣3，∵△=2+12=14，∴． 【点睛】考查了解一元二次方程-公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．18．∴x 1+x 2=﹣b a ，x 1x 2=c a ，理由见解析． 【解析】【分析】分别根据公式法求得方程的解，再求x 1+x 2、x 1x 2的值.【详解】猜想方程ax 2+bx+c=0的两根x 1、x 2，满足x 1+x 2=﹣b a ，x 1x 2=c a．∵b 2﹣4ac≥0，∴x 12x =， ∴x 1+x 2=﹣b a ，x 1x 2=c a． 【点睛】 考查解一元二次方程：注：（1）公式法与配方法不能混淆，求根公式是由一元二次方程的一般式用配方法推导出来的．（2）用公式法解方程时，先化为一般形式，再利用公式求解．（3）求解过程中，要先判断b 2-4ac 的符号．19．有错误，在第四步，错误的原因是在开方时对b 2﹣4ac 的值是否是非负数没有进行讨论．正确步骤见解析.【解析】【分析】①检查原题中的解题过程是否有误：在第四步时，在开方时对b 2-4ac 的值是否是非负数没有进行讨论；②更正：分类讨论b 2-4ac≥0和b 2-4ac ＜0时，原方程的根是什么．【详解】解：有错误，在第四步．错误的原因是在开方时对b 2﹣4ac 的值是否是非负数没有进行讨论．正确步骤为：（x+2b a ）2=2244b ac a- ， ①当b 2﹣4ac≥0时，x+2b ax+2b a，∴x 1x 2． ②当b 2﹣4ac ＜0时，原方程无解．【点睛】考查解一元二次方程：注：（1）公式法与配方法不能混淆，求根公式是由一元二次方程的一般式用配方法推导出来的．（2）用公式法解方程时，先化为一般形式，再利用公式求解．（3）求解过程中，要先判断b2-4ac的符号．20．(1)当m≥﹣32时，方程（m+1）x2+2mx+（m﹣3）=0有实数根；(2) m=﹣32, x1=x2=﹣3【解析】【分析】（1）根据题意，分原方程是一元一次方程和一元二次方程两种情况分析讨论即可；（2）由题意可知，此时原方程是一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式求出m的值，并将所得的m的值代入原方程，再解所得方程即可.【详解】（1）关于x的方程（m+1）x2+2mx+（m﹣3）=0有实数根，分两种情况讨论如下：①当m+1=0即m=﹣1时，原方程是一元一次方程，此时方程为﹣2x﹣4=0，必有实数根；②当m+1≠0时，此时原方程是一元二次方程，∵此时原方程有实数根，∴△=b2﹣4ac=（2m）2﹣4×（m+1）×（m﹣3）=8m+12≥0，解得：m≥﹣32且m≠﹣1；综上可知，当m≥﹣32时，方程（m+1）x2+2mx+（m﹣3）=0有实数根；（2）∵关于x的方程（m﹣1）x2+（2m﹣1）x+m﹣2=0有两个相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=（2m）2﹣4×（m+1）×（m﹣3）=8m+12=0，解得：m=﹣32，将m=﹣32代入原方程可得：﹣12x2﹣3x﹣92=0，两边同时乘以﹣2得：x2+6x+9=0，解得x1=x2=﹣3．【点睛】本题的解题要点有以下两点：（1）解第1小题时需分原方程是一元一次方程和一元二次方程两种情况讨论，不要忽略了其中任何一种；（2）熟知若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a 0）有两个相等的实数根，则△=b2-4ac=0.。
北京市师达中学2024—2025学年九年级上学期开学考试数学试题
北京市师达中学2024—2025学年九年级上学期开学考试数学试题一、单选题1．变量x 与y 之间的关系是21y x =+，当5y =时，自变量x 的值是（）A ．13B ．5C ．2D ．32．如图所示，在ABCD 中，对角线AC BD 、交于点O ，下列式子中一定成立的是（）A ．AC BD ⊥B ．OA OC=C ．AC BD =D ．AO OD=3．抛物线2(1)1y x =-+的顶点坐标是（）A ．(1,1)B ．(1,1)-C ．(1,1)-D ．(1,1)--4．一次函数32y x =+的图象不经过（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．如果将抛物线2y x =向右平移1个单位，那么所得的抛物线的表达式是（）A ．21y x =+B ．21y x =-C ．()21y x =+D ．()21x -6．有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（）A ．8人B ．9人C ．10人D ．11人7．如图，在△ABC 中，点D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，点F 是线段DE 上的一点连接AF ，BF ，∠AFB =90°，且AB=8，BC=14，则EF 的长是（）A ．2B ．3C ．4D ．58．已知一个二次函数图象经过()113,P y -，()221,P y -，()331,P y ，()443,P y 四点，若324y y y <<，则1234,,,y y y y 的最值情况是()A ．3y 最小，1y 最大B ．3y 最小，4y 最大C ．1y 最小，4y 最大D ．无法确定二、填空题9．一次函数()232y a x =++的值随x 值的增大而减少，则常数a 的取值范围是．10．数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线21y x =-与直线=k +≠0相交于点()2,3P ．根据图象可知，关于x 的不等式21x kx b ->+的解集是．11．已知关于x 的一元二次方程()22110a x a -+-=有一个根为0，则a =．12．已知方程230x x k -+=有两个相等的实数根，则k =．13．若菱形的两条对角线长分别为6和8，则该菱形的面积为．14．如图，二次函数y ＝x 2－2x －2的图象，根据其中提供的信息，使得y ≥1成立的x 的取值范围是．15．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++与x 轴只有一个交点M ，与平行于x 轴的直线l 交于A 、B 两点．若3AB =，则点M 到直线l 的距离为．16．如图，正方形ABCD 和正方形EFCG 的边长分别为6和2，点F ，G 分别在边BC ，C 上，P 为AE 的中点，连接PG ，则PG 的长为．三、解答题17．用适当方法解一元二次方程：(1)223x x -=(2)()()22324x x -=+18．已知a 是方程x 2－2x －1＝0的一个根，求代数式(a －2)2＋(a ＋1)(a －1)的值．19．若抛物线的顶点在x 轴上，对称轴是直线1x =-，与y 轴交于点()0,3A -．(1)求抛物线的解析式．(2)写出它的顶点坐标和开口方向．20．在平面直角坐标系xOy 中，函数0y k x b k =+≠()的图象过点()0,3A 和()2,1B -，与过点()0,5且平行于x 轴的直线交于点C ．(1)求该函数的解析式及点C 的坐标；(2)当2x <时，对于x 的每一个值，函数0y mx m =≠()的值小于0y k x b k =+≠()的值，直接写出m 的取值范围．21．如图，ABCD 对角线AC ，BD 相交于点O ，过点D 作∥DE AC 且DE OC =，连接CE ，OE ，OE CD =．(1)求证：ABCD 是菱形；(2)若4AB =，60ABC ∠=︒，求AE 的长．22．某公司今年4月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，6月份的生产成本是324万元．假设该公司5，6，7月每个月生产成本下降的百分率都相同．(1)求每个月生产成本下降的百分率；(2)求7月份该公司的生产成本．23．二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象如图所示．（1）确定二次函数的解析式；（2）若方程ax 2+bx +c ＝k 有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．24．下表是二次函数y＝ax2+bx+c的部分x，y的对应值：x…﹣1﹣12121322523…y…m14﹣174-﹣274-﹣1142…（1）二次函数图象的开口向，顶点坐标是，m的值为；（2）当x＞0时，y的取值范围是；（3）当抛物线y＝ax2+bx+c的顶点在直线y＝x+n的下方时，n的取值范围是．25．如图，杂技团进行杂技表演，演员要从跷跷板右端A处弹跳后恰好落在人梯的顶端B 处，其身体（看成一点）的路径是一条抛物线．现测量出如下的数据，设演员身体距起跳点A水平距离为d米时，距地面的高度为h米．d（米）… 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50…h（米）… 3.40 4.15 4.60 4.75 4.60 4.15…请你解决以下问题：(1)在下边网格中建立适当平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑曲线连接；(2)结合表中所给的数据或所画的图象，直接写出演员身体距离地面的最大高度；(3)求起跳点A 距离地面的高度；(4)在一次表演中，已知人梯到起跳点A 的水平距离是3米，人梯的高度是3.40米．问此次表演是否成功？如果成功，说明理由；如果不成功，说明应怎样调节人梯到起跳点A 的水平距离才能成功？26．在平面直角坐标系xOy 中，点()1,m 和点()3n ,在抛物线()20y ax bx a =+>上．（1）若3,15m n ==，求该抛物线的对称轴；（2）已知点()()()1231,,2,,4,y y y -在该抛物线上．若0mn <，比较123,,y y y 的大小，并说明理由．27．已知：在正方形ABCD 中，点E 是BC 延长线上一点，且CE BC ≠，连接DE ，过点D 作DE 的垂线交直线AB 于点F ，连接EF ，取EF 的中点G ，连接CG ．(1)当CE C B <时，①补全图1；②求证：ADF CDE △≌△；③用等式表示线段CD CE CG ，，之间的数量关系，并证明．(2)如图2，当CE BC >时，请你直接写出线段CD CE CG ，，之间的数量关系．28．在平面直角坐标系xOy 中，对于线段AB 和点Q ，给出如下定义：若在直线y x =上存在点P ，使得四边形ABPQ 为平行四边形，则称点Q 为线段AB 的“相随点”．(1)已知，点()1,3A ，()5,3B ．①在点()11,5Q ，()21,3Q -，()30,4Q ，()45,0Q -中，线段AB 的“相随点”是______；②若点Q 为线段AB 的“相随点”，连接,OQ BQ ，直接写出OQ BQ +的最小值：______．(2)已知点()2,3A -，点()2,1B -，正方形CDEF 边长为2，且以点(),1t 为中心，各边与坐标轴垂直或平行，若对于正方形CDEF 上的任意一点，都存在线段AB 上的两点,M N ，使得该点为线段MN 的“相随点”，请直接写出t 的取值范围．。
北京市师达中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题
北京市师达中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．以下剪纸中，为中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．点()1,2A 关于原点对称的点的坐标是（）A ．()1,2-B ．()1,2-C ．()1,2--D ．()2,13．某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x ，根据题意可得方程（）A ．180（1﹣x ）2=461B ．180（1+x ）2=461C ．368（1﹣x ）2=442D ．368（1+x ）2=4424．将抛物线2y x =向下平移2个单位，所得抛物线的表达式为（）A ．22y x =+B ．22y x =-C ．()2y x =+D ．()22y x =-5．图中的五角星图案，绕着它的中心O 旋转n ︒后，能与自身重合，则n 的值至少是（）A ．144B ．72C ．60D ．506．若点()()1,25,2M N 、在抛物线2()y x h k =-+上，则h 的值为（）A ．4B ．3C ．2D ．17．如图，PA ，PB 分别切O 于点A ，B ，Q 是优弧AB 上一点，若40P ∠=︒，则Q ∠的度数是（）A ．40°B ．65°C ．70°D ．75°8．若()1212x x x x <、是方程()()()1x a x b a b --=<的两个根，则实数12,x x ，a ，b 的大小关系为（）A ．12x x a b <<<B ．12x a x b<<<C ．12a x x b<<<D ．12x a b x <<<二、填空题14．二次函数2y ax =15．如图，在O 中，直线交O 于点D ，连接CD 16．为落实生态文明建设，推动绿色发展，促进人与自然和谐共生，某公司装修采用同质地的A 型、B 型环保板材，具体要求如下：板材要求板材型号板材规格A 型板材60cm ⨯三、解答题17．解方程：2680x x -+=．18．已知a 是方程22310x x --=的一个根，求代数式()231a a -+的值．19．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线231()y a x =--经过点(2,1)．（1）求该抛物线的表达式；（2）将该抛物线向上平移_______个单位后，所得抛物线与x 轴只有一个公共点．20．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠BAC =30°，将线段CA 绕点C 逆时针旋转60°，得到线段CD ，连接AD ，BD ．（1）依题意补全图形；（2）若BC =1，求线段BD 的长．21．下面是小美设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．已知：点A 在O 上．求作：O 的切线AB ．25．如图，AB 是O 的直径，AC 点A 作O 的切线与OD 的延长线交于点(1)求证：PC 是O 的切线：(2)如果2,1B CPO OD ∠=∠=，求PC 26．在平面直角坐标系xOy 中，点在抛物线212y x x a=-（0a ≠）上．()0A ，4()(1)判断B ∠与ACD ∠的数量关系并证明；(2)将AC 边绕点C 顺时针旋转重合）．①用等式表示线段DM ，②若AB a =，AC b =，直接写出。
北京市师达中学2021-2022学年九年级上学期10月月考数学试题(含答案解析)
②判断线段EC与EB的数量关系，并证明；
（2）如图2，当 时，探究EC与EB的数量关系并证明．
28．对于平面直角坐标系 内任意一点P，过P点作 轴于点M， 轴于点N，连接 ，则称 的长度为点P的垂点距离，记为h．特别地，点P与原点重合时，垂点距离为0．
（1）点 的垂点距离分别为________，___________，____________；
【详解】
解：∵x2﹣3x﹣1＝0，
∴Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣1）＝13＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点睛】
本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
6．B
21．某厂工业废气年排放量为450万立方米，为改善城市的大气环境质量，决定分二期投入治理，使废气的年排放量减少到288万立方米，如果每期治理中废气减少的百分率相同，求每期减少的百分率是多少？
22．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D．求证：AC平分 ．
23．下表是二次函数y＝ax2+bx+c的部分x，y的对应值：
A． B． C． D．
7．下列关于抛物线 的说法正确的是（）
A．抛物线的开口方向向下B．抛物线与y轴交点的坐标为
C．当 时，抛物线的对称轴在y轴右侧D．对于任意的实数b，抛物线与x轴总有两个公共点
8．如图是6×6的正方形网格，点A，B均在格点上．如果点C也在此正方形网格的格点上，且∠ACB＝90°，则满足条件的点C共有（ ）
（2）当 ______度时，AE的长最大，AE的最大值为_______．
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x
y
B A
–1
–2–31
2
3
–1–2–3
1
23O
北京市师达中学2020-2021学年度第一学期阶段练习
初 三 数 学 2020.12
命题人：李 润 校对人：白会娟 排版人：李 润
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
1．点（3，－4）在反比例函数k y x
=的图象上，则下列各点中，在此图象上的是（ ）
A ．（3,4）
B ．（－2，－6）
C ．（－2，6）
D ．（－3，－4）
2．元宵节，妈妈煮了18个元宵，其中有4个豆沙馅，6个芝麻馅，8个果仁馅，小明首先捞出一个尝尝味道，正好是芝麻馅的概率为（ ）
A ．29
B ．49
C ．12
D ．13
3．关于方程2
210x x +−=的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A ．有两个不相等的实数根
B ．有两个相等的实数根
C ．没有实数根
D ．无法判断
4．如图，在平行四边形ABCD 中，E 是AB 的中点，EC 交BD 于点F ， 则△BEF 与△DCF 的面积比为（ ） A ．
49 B ．19 C ．14 D ．12
5．若扇形的半径为4，圆心角为90°，则这个扇形的面积为（ ）
A ．π
B ．4π
C ．8π
D ．16π 6．如图，OA 交⊙O 于点B ，AD 切⊙O 于点D ，点C 在⊙O 上，若∠C ＝25°， 则∠A 为（ ）
A ．25°
B ．30°
C ．35°
D ．40° 7．已知点（11,x y ）、（22,x y ）、（33,x y ）在双曲线5
y x
=上，当3210x x x <<<时，1y 、2y 、3y 的大小关系是（ ）
A ．231y y y <<
B ．321y y y <<
C ．213y y y <<
D ．132y y y <<
8．在关于x 的二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）中，自变量x 可以取任意实数，下表是自变量x 与函数y
的几组对应值：
对于此函数有下列结论： ①此函数图象的开口向上； ②当x >1，y 随x 的增大而增大；
③若此函数的对称轴为直线x=t ，则t ＞3；
④若此函数与x 轴交点的横坐标为x 1，x 2（x 1<x 2），则0<x 1<1，5<x 2<6． 其中正确的结论个数为（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 二、填空题（本题共24分，每小题3分）
9．抛物线()2
231y x =−+的顶点坐标是____________．
10．请写出一个图象与x 轴无交点的函数表达式：______________．
11．如图，⊙O 的半径OA 与弦BC 垂直于点D ，若OD =3，OA =5，则BC 的长为_________．
第11题 第12题 第13题
12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A （1，1），B （2，2），若双曲线y k x
=
与线段AB 有公共点，
则k 的取值范围是________．
13．如图，为了测量某棵树的高度，小李同学用长为2m 的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树
的顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点距离相距6m ，与树相距15m ，那么这棵树的高度为_________m ．
x … 1 2 3 4 5 6 7 … y
…
-1.78
-3.70
-4.42
-3.91
-2.20
0.75
4.88
…
B D
O
C
F
E A B
D
B C O
x
y
3
x 1O
x
y
–1
1
2
3
4
5
6
–1
1
234
Q
O
P
14．下表是某种植物的种子在相同条件下发芽率试验的结果．
种子个数 100 400 900 1500 2500 4000 发芽种子个数 82 312 711 1188 1986 3201 发芽种子频率
0.82
0.78
0.79
0.79
0.79
0.80
根据上表中的数据，可估计该植物的种子发芽的概率为____________．（精确到0.01）
15．如图1，在△ABC 中，点P 从点B 出发向点C 运动，运动过程中设线段BP 的长为x ，线段AP 的
长为y ，y 与x 的函数图象如图2所示，Q 是图象上的最低点，根据图象回答下列问题： 线段AP 的最小值是________，AC 的长为________．
图1 图2
16．小明同学遇到了这样一道题：
已知：如图，A ，B ，C 是⊙O 上的点，1=A ∠∠．
求证：BD 是⊙O 的切线． 他是这样证明的：
证明：延长BO 交⊙O 于E 点，连接CE ． ∵=E A ∠∠（①）
1=A ∠∠， ∴=1E ∠∠．
∵EB 是⊙O 的直径，∴90ECB ∠=°（②）
∴+2=90E ∠∠°， ∴1+2=90∠∠°， ∴OB ⊥BD ． ∵OB 是⊙O 的半径， ∴BD 是⊙O 的切线． 请你写出①，②的依据．
① ；② ．
三、解答题（本题共60分，第17~22题，每小题6分，第23~25题，每小题8分） 17．解方程：x 2－4x －5＝0．
18．如图，线段AC 与BD 相交于点E ，连接AD 、BC ，∠A =∠C ． （1）求证：△AED ∽△CEB ；
（2）若AE =2，CE =3，AD =3，求BC 的长度．
19．如图，已知抛物线2
2y x x =−与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的左侧）． （1）求点A 和点B 的坐标； （2）若抛物线上有两点P （1x ，
），Q （2x ，2y ），12x x <，
若122x x +<，直接写出2y 的取值范围．
B
C
A
P
2
1
C
B
A
O
1
C
B
A
O
20．在平面直角坐标系xOy 中，直线y=x 与双曲线k
y x
=（x ＞0）的交点为)
P m ．
（1）求k 的值；
（2）若直线y=x ＋
b 与x 轴、y 轴分别交于点A 、点B ，与双曲线k
y x
=
（x ＞0）的交点记为Q ， 若BQ=2AB ，请直接写出b 的值．
21．如图，在△ABC 中，AB AC =，点D 是边BC
BF ，交AD 于点E ．
（1）求证：直线AD 是⊙O 的切线；
（2）若BF 是⊙O 的切线，BC=4，求EF 的长．
22
．小亮学习完反比例函数后，遇到一个函数（1）该函数自变量x 的取值范围是（2画出了当x ＞1（3_______________________________；（4）若关于x (1)a x =−数a 的取值范围：
23．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2240)y ax ax a =−+≠（．
（1）抛物线的对称轴为直线x =__________；
（2）若点A （x 1，y 1）在此抛物线上，且当2≤x 1≤3时，1≤y 1≤4，求抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，设该抛物线的顶点为D ，直线l ：y=kx ＋b 经过点D ，直线y=n （n ≥1）
与抛物线有两个公共点，它们的横坐标为x 1、x 2（x 1＞x 2），直线y=n 与直线l 交点的横坐标记为x 3，若13320x x x x −>−>始终成立，结合函数图象，求k 的取值范围．
24．在△ABC 中，∠ABC=30°，∠ACB=45°，点D 为线段BC 上一动点，连接AD ． （1）如图1，若4,AB =AD ⊥BC ，请直接写出AC 的长度；
（2）如图2，将线段AD 绕点A 顺时针．．．
旋转90°得到AE ，过E 作EF ⊥BC 于点F ，连接AF ，请补全图形，并证明△AFC 为等腰直角三角形；
（3）将线段AD 绕点A 顺时针．．．
旋转90°得到AE ，当点E 恰好在线段AB 的垂直平分线上时，请在图3中补全图形，并求AC BE
的值．
图1
图2
图3
25．在平面内，对于给定的△ABC ，如果存在一个半圆或优弧与△ABC 的两边相切，且该弧上的所有点都在△ABC 的内部或边上，则称这样的弧为△ABC 的内切弧．当内切弧的半径最大时，称该内切弧为△ABC 的完美内切弧．（注：弧的半径指该弧所在圆的半径） 在平面直角坐标系xOy 中，()()8,0,0,6A B ．
（1）如图1，在弧1G ，弧2G ，弧3G 中，是△OAB 的内切弧的是__________；
（2）如图2，若弧G 为△OAB 的内切弧，且弧G 与边AB 、OB 相切，直接写出弧G 的半径的最
大值；
（3）如图3，动点(),3M m ，连接OM 、AM ．
①直接写出△OAM 的完美内切弧的半径的最大值；
②记①中得到的半径最大时的完美内切弧为弧T ，点P 为弧T 上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线，分别交x 轴和直线AB 于点D 、E ，点F 为线段PE 的中点，直接写出线段DF 长度
的取值范围．
A
B
C
A
B
C
D
A
B
C
D。