8.2 幂的乘方与积的乘方(1)
8.2_幂的乘方与积的乘方(1)
对于任意的底数a，当m,n是正整数时 一般地有
n个 am
n个 m
m)n= am· m…am =am+m+…+ m =amn (a a
幂的乘方法则：
幂的乘方，底数不变，指数相乘。
m n = amn ,其中m,n是正整数 a
例 1 计算： (1)(106)2； (2)(am)4(m为正整数)； (3)-(y3)2； (4)[(x-y)2]n． 解：(1)(106)2 = 106×2= 1012; (2)(am)4 = am×4= a4m； (3)-(y3)2 =-(y3×2)=-y6； (4) [(x-y)2]n = (x-y)2×n= (x-y)2n ．
例 2 计算： (1)x2· 4＋(x3)2; x (2)(a3)3· 4)3 (a 解：（1）x2· 4＋(x3)2 x =x2＋4+x3×2 =x6+x6=2x6; (2)(a3)3·(a4)3 =a3×3·a4×3 =a9·a12 =a9+12 =a21.
练一练
计算 1. (y2)3y2 2. 2(a2)6a3 -（a3)4 a3 3.（-32)3· （-33)2 4.（-x)2(-x)3
(102)3
10 10 10 10
2 2 2
2 2 2
10
6
（2） 100个104相乘，可以记作什么？
(104)100
做一做
请求出100个104的乘积。
幂的乘方与积的乘方(1) ——幂的乘方
试一试：先说出下列各式的意义，再计 算下列各式：
2
3 2
10
2 4
1 3
2 3
试一试：计算下列各式：
幂的乘方与积的乘方
幂的乘方与积的乘方
1、幂的乘方：底数不变，指数相乘
(a^n)^m=a^(m·n)，m个a^n相乘
(a^n)^(1/m)=a^(n/m)，1/m个a^n相乘
2、积的乘方：
(a·b)^n=a^n·b^n
(m^a·n^b)^c=m^(a·c)·n^(b·c)
2、同底数幂的乘法：既然底数相同，指数就可以相加
a^m·a^n=a^(m+n)
扩展资料
数学中的“幂”，是“幂”这个字面意思的引申，“幂”原指盖东西布巾，数学中“幂”是乘方的结果，而乘方的表示是通过在一个数字上加上标的形式来实现的，故这就像在一个数上“盖上了一头巾”，在现实中盖头巾又有升级的意思，所以把乘方叫做幂正好契合了数学中指数级数快速增长含义，形式上也很契合，所以叫做幂。
幂不符合结合律和交换律。
因为十的次方很易计算，只需在后加零即可，所以科学记数法借助此简化记录数的方式；二的次方在计算机科学中很有用。
(完整版)苏教版七年级数学第八章幂的运算
第八章幂的运算8.1 同底数幂的乘法法则：底数不变，指数相加，即a m·a n=a m+n（m、n是正整数）推广：a m·a n·a p=a m+n+p（m，n，p都是正整数）逆运用：a m+n=a m·a n（m，n都为正整数）逆运用活用：如a5=a·a4=a2·a3经典题型：（一）转化为同底数幂的乘法运算计算：（1）100×10n+1×10n−1（2）(a−b)3·(b−a)2·(b−a)5（二）同底数幂的乘法与加减混合运算例：a n+1·a2n−1−2a2n+1·a n−1+a n·a2n8.2 幂的乘方与积的乘方1、幂的乘方，底数不变，指数相乘，即(a m)n=a mn（m，n为正整数）推广：[(a m)n]p=a mnp（m，n是正整数）逆运算：a mn=(a m)n=(a n)m（m，m是正整数）2、积的乘方积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即 (ab)n=a n·b n（m，n是正整数）推广：(abc)n=a n·b n·c n（n是正整数）逆运用：a n·b n=(ab)n（n是正整数）经典例题：例1、若3n=2，3m=5，求32m+3n+1的值例2、（1）若4×8x×16x=223，求x的值；（2）若(9x)3=39，求x的值例3：已知a=8131，b=2741，c=961，则a，b，c的大小关系是（）A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.b>c>a8.3 数幂的除法1.同底数幂相除，底数不变，指数相减，即a m÷a n=a m−n(a≠0，m，n是正整数，m>n) 推广：a m÷a n÷a p=a m−n−p(a≠0，m，n，p是正整数且m>n+p)逆运用：a m−n=a m÷a n(m，n是正整数，a≠0 ，m>n)2.零指数幂：a0=1(a≠0)( a≠0，m是正整数)3.负整数指数幂：a−n=1a n注意：零指数幂和负整数指数幂中，底数都不能为0.例：已知32m=a，3n=2a，求 9m−n的值。
8.2-幂的乘方与积的乘方
整式的乘法——幂的乘方与积的乘方一. 知识要点：1. 同底数幂的意义几个相同因式a 相乘，即 ，记作a n ，读作a 的n 次幂，其中a 叫做底数，n 叫做指数。
同底数幂是指底数相同的幂，如：23与25，a 4与a ，()a b 23与()a b 27，()x y −2与()x y −3等等。
注意：底数a 可以是任意有理数，也可以是单项式、多项式。
2. 同底数幂的乘法性质a a a m n m n ·=+（m ，n 都是正整数）这就是说，同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
当三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，例如： a a a a m n p m n p ··=++（m ，n ，p 都是正整数）3. 幂的乘方的意义幂的乘方是指几个相同的幂相乘，如()a 53是三个a 5相乘 读作a 的五次幂的三次方，()a m n 是n 个a m 相乘，读作a 的m 次幂的n 次方4. 幂的乘方性质()a a m n mn =（m ，n 都是正整数）这就是说，幂的乘方，底数不变，指数相乘。
注意：（1）不要把幂的乘方性质与同底数幂的乘法性质混淆，幂的乘方运算，是转化为指数的乘法运算（底数不变）；同底数幂的乘法，是转化为指数的加法运算（底数不变）。
5. 积的乘方的意义积的乘方是指底数是乘积形式的乘方，如()()ab ab n 3，等。
()()()()ab ab ab ab 3=（积的乘方的意义）()()=a a a b b b ····（乘法交换律，结合律）=a b 33· ()()()()ab ab ab ab n =…6. 积的乘方的性质()ab a b n n n =·（n 为正整数）这就是说，积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
注意：（1）三个或三个以上的乘方，也具有这一性质，例如：()abc a b c n n n n =·· （2）此性质可以逆用：()a b ab n n n ·= 二、典型例题例1. 计算：（1）−⎛⎝ ⎫⎭⎪−⎛⎝ ⎫⎭⎪121223·（2）a a a 102··（3）−a a 26· （4）327812⨯⨯例2. 已知a a m n ==23，，求下列各式的值。
8.2幂的乘方与积的乘方(1)
8．2幂的乘方与积的乘方(1)班级_______姓名________学号______【教学目标】1．掌握幂的乘方的运算性质，并会用它熟练进行运算；2．会双向应用幂的乘方公式；3．会区分幂的乘方和同底数幂乘法．【教学重点】掌握幂的乘方的运算性质，并会用它熟练进行运算．【教学难点】幂的乘方法则的推导过程．【教学过程】一、复习回顾：复习已学过的幂的意义及幂运算的运算法则．1．幂的意义：n an a a a a =⨯⨯⨯个． 2．a m ·a n ＝a m +n (m 、n 为正整数)同底数幂相乘，底数不变，指数相加)．二、情境创设：你会求100个410相乘的积吗？三、探索活动：计算下列各式： （1）__________2________,2623==）（ （2）[]__________)10(_________,10842=-=-）（ （3）__________)31(,__________31632==⎥⎦⎤⎢⎣⎡）（ 于是，我们得到：_______________________________=n m a ）（ 幂的乘方，_________________________________________________四、例题讲解：例1、计算：(1) (106)2 (2) (a m )4 （m 是正整数) （3）－(3y )2 (4) [ny x )(-]2例2、计算：(1) x2·x4＋(x3)2(2) (a3)3·(a4)3练习：课本50页练一练1、2、3、4、5例3、计算：已知a m＝3，a n＝4，求a2m+3n的值．例4、比较340与430的大小．8.2幂的乘方与积的乘方（1 ）班级_______姓名________学号______【课后作业】一、选择题：1．下列运算中，正确的是 ······································································ ( ) A．(a2)3＝a8B．(a3)3＝a6C．(a2)3＝a5D．(a2)3＝a62．计算(－x2)3的结果是 ········································································· ( ) A．－x5B．－x6C．x6D．－x93．计算下列各式，结果是x8的是 ···························································· ( ) A．x2·x4B．(x2)6C．x4＋x4D．x4·x44．下列各式中计算正确的是 ··································································· ( ) A．(x4)3＝x7B．[(－a)2]5＝－a10C．(a m)2＝(a2)m＝a2m D．(－a2)3＝(－a3)2＝－a65．计算－(－x2)3的结果是 ······································································ ( ) A．－x6B．x6C．－x5D．x56．下列各式：①－a5·[(－a)2]3；②a4·(－a)3；③(－a2)3·(a3)2；④－[(－a)4]3，计算结果为－a12的有 ··········································································· ( ) A．③和④B．①和②C．②和③D．①和③二、填空题：7．(23)2＝4(_____)；－(a3)4＝_______．(a3)4＝_______；(x4)3＝________．8．计算：(y3)2＋(y2)3＝_______；(－a3)2·(－a2)3＝________．9．若x3m＝2，则x9m＝_______；[(－x)6]m·[－(x3)m]＝________．10．在下列各式的括号中填入适当的代数式，使等式成立(不需要考虑所有情况)：(1) a6＝(_____)2；(2) (a5)2·(______)2＝(a2)4·(a3)2．三、计算题：11．(1)(a m)3·a n；(2) [(－1)3·y2]4；(3) (x3)4·(x2)5．12．计算：(1) (a3)4＋a8·a4(2) 2(a5)2·(a2)2－(a2)4·(a3)2；13．(1)已知a m＝5，a n＝3，求a2m+3n的值；(2) 已知273×94＝3x，求x的值．14．若a＝255，b＝344，c＝433，比较a、b、c的大小．完成时间_____________家长签字_____________。
幂的乘方与积的乘方(一)市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
幂旳意义:
n个a
a·a·… ·a = an
同底数幂乘法旳运算性质： am·an= am+n
am ·an =(a·a· … ·a) ·(a·a·… ·a)
m个a
n个a
= a·a·… ·a = am+n
(m+n)个a
同底数幂相乘,底数不变,指数相加.
正方体旳体积之比= 边长比旳 立方
乙正方体旳棱长是 2 cm, 则乙正方体旳体积 V乙= 8 cm3
甲正方体旳棱长是乙正方体旳 5 倍，则甲正方 体旳体积 V甲= 1000 cm3
能够看出，V甲 是 V乙 旳 125 倍 即 53 倍
地球、木星、太阳能够近似地看做是 球体 .木星、太阳旳半径分别约是地球旳 10倍和102倍，它们旳体积分别约是地球旳 多少倍？
⑴ a12 ＝（a3）( ) ＝（a2）( )
＝a3 a( )＝（ ）3 ＝（ ）4
(2) y3n ＝3, y9n ＝
.
(3) （a2）m+1 ＝
.
(4) 32﹒9m ＝3( )
1. am an amn m, n都是正整数
同底数幂相乘,底数不变,指数相加.
2. (am)n=amn (m,n都是正整数)
解：(1) (62)4 = 62·62·62·62=62+2+2+2 =68 =62×4 ;
(2) (a2)3 = a2·a2·a2 =a2+2+2 =a6 =a2×3 ;
(3) (am)2 =am·am =am+m=a2m ;
n 个am
(4) (am)n =am·am·… ·am
n 个m =am+m+ … +m =amn
幂的乘方
知1－学
馆陶县佳合国际学校 Guantao County Jiahe International School
自主学习 2 幂的乘方法则
阅读课本71-72页， 仔细阅读例 1 例2 完成72页练习 时间：5分钟 讨论：4分钟
幂的乘方与同底数幂的乘法的异同:
am an amn;(am )n amn(m, n为正整数）
相同点是 都是底数不变
公式中
同底数幂的乘法是指数相加；的a可代
不同点是：
表一个
而幂的乘方是指数相乘． 数、字
母、式
子等.
[(am )n ]p ?amnp (m, n, p为正整数）
能否利用幂的乘方法则来进行计算呢?
总结
知1－讲
在幂的运算中，如果遇到混合运算，则应按有 理数的混合运算顺序进行运算；如果底数互为相反 数，就要把底数统一成相同的，然后再进行计算； 计算中不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆．
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自主学习 2 幂的乘方法则
n个am
=am·am·… ·am
n个m
=a m+m+ …+m = amn.
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归纳
知1－导
(am)n = amn(m，n都是正整数). 幂的乘方，底数不变，指数相乘.
（来自教材）
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幂的乘方与积的乘方说课教案
幂的乘方与积的乘方（一）》说课教案一、教材分析（一）本节内容在教材中的地位与作用。
幂的运算，是把前面学过的数的运算抽象为式的运算，幂的乘方与积的乘方是本章的第二节，是在学生已有的同底数幂的乘法运算性质的基础上，通过做幂的乘方后，再明晰的幂的乘方运算性质，是进一步学习幂的运算的基础，是今后学习整式乘法的重要基础，也是今后学习方程、不等式、函数等知识的储备内容，同时也是学习物理、化学、生物等学科必不可少的解题工具。
因此，本节课的知识承上启下，具有重要作用。
（二）教学目标在本课的教学中，不仅要让学生学会如何进行幂的乘方的运算，更主要地是要让学生掌握研究问题的方法，初步领悟化归的数学思想。
同时，还要让学生感受到数学来源于生活，又服务于生活的基本事实，从而激发学生学习数学的兴趣。
为此，我确立如下教学目标：知识与技能：理解幂的乘方的运算性质，能熟练的运用性质进行计算，并能说出每一步计算的依据。
过程与方法：经历探索幂的乘方性质的过程，结合探究活动，掌握幂的乘方的运算性质的运用方法和技巧。
情感态度和价值观：进一步体会幂的意义，发展归纳、概括、推理能力和有条理的数学表达能力，增强学数学的信心。
（三）教材重难点由于本节课是探索并运用幂的运算的性质的第二个基本性质，故我确定“以理解并掌握运算性质”作为教学的重点，而将其灵活的运用作为教学的难点。
同时，我将采用让学生通过先“做”，然后思考、猜想、合作探究、媒体演示的方式以及渗透从一般到特殊、从具体到抽象的数学思想方法教学来突出重点、突破难点。
（四）教具准备：相关多媒体课件。
二、教法选择与学法指导本节课主要是理解、掌握性质并运用运算性质计算，故我在课堂教学中将尽量为学生提供“做”中“学”的时空，让学生进行小组合作学习，在“做”的过程中潜移默化地渗透一些数学思想方法，遵循“教是为了不教”的原则，让学生自得知识、自觅规律、自悟原理。
三、教学流程（一）创设情景，激发求知欲望首先，我提出一个趣味性问题：谁能在黑板上写下100个410的乘积？根据经验，同学们发现写不下。
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课题：8.2幂的乘方与积的乘方（1）
一．教学目标、重点、难点
教学目标:
1．掌握幂的乘方法则，并会用它熟练进行运算。
2．会双向应用幂的乘方公式。
3．会区分幂的乘方和同底数幂乘法。
教学重点：
1．掌握幂的乘方法则，并会用它熟练进行运算。
2．幂的乘方法则的推导过程。
教学难点：
会双向运用幂的乘方公式，培养学生思维的灵活性。
二．突破难点的关键从定义出发，注重公式的推导
三．教学过程
(一)．情境引入
问题1：哪位同学能在黑板上写下100 个104 的乘积？
经过试验，同学们会发现黑板上写不下了。
问题2：那哪位同学能用一个比较简单的式子表示100个104 的乘积？
根据乘方的定义，100 个104 的乘积不就是（104）100 吗？
板书：幂的乘方
（二）.新课讲解：计算下列各式：
⑴（23）2 ＝
⑵（a4）3 ＝
⑶（a m）5 ＝
问题3：从上面的计算中，你发现了什么规律？
分析：让学生回到定义中去，进而在由同底数幂的乘法法则得出结果，比较后容易找到规律。
归纳：对于任意的底数a，当m 、n是正整数时，
（a m）n ＝a m﹒a m﹒．．．﹒ a m
n个a m
＝a m+m+．．．+m
n 个m
＝a mn
所以（a m ）n ＝a mn (m 、n 是正整数)
学生口述：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
公式逆用： a mn ＝ （a m ）n (m 、n 是正整数)
（三）．例题解析
例1：计算
（１）26)10( （２）4)(m a （ｍ为正整数） （３）－2
3)(y （４） 33)(x - 分析：⑴ 直接运用法则。
⑵ 4m 数字在前，字母在后。
⑶ 注意“－”
⑷ 负数的寄次幂是负数
例２：计算
（１）2342)(x x x +⋅ （２）33)(a 3
4)(a ⋅ 分析：本课的难点，要求学生仔细辨析，何时用同底数幂的法则，何时用幂的乘方法则，何时是合并同类项，不可张冠李戴。
（四）．练一练 师生互动，及时点评。
１．想一想：下面的计算对不对？如果不对，请指出：
(1) 523)(a a =； (2) 1234a a a =⋅； （３）8
42)(a a =-
２．填空：
(1)2(__)4(__)(__)2(__)612)()()(a a a a a a ===⋅=
(2)(_____)32
42=⨯m ， 其中m 为正整数 （3）32)10(=__________； （4）2)2(x -=__________；
（5）32])[(n -=_________； （6）3
2])[(b a +=_________；
3.计算：
（1）233342)(a a a a a +⋅+⋅
（2）22442)()(2a a a ⋅+⋅
（3）252326)()(a a a a -⋅+-⋅
友情提醒：
（1）先认定是什么运算，再选择运算方法；
（2）整式加法、同底数幂的乘法、幂的乘方是极易混淆的概念，计算时要特别小心.
4.思考题：
已知的值求， 363n n x x =
（五）．小结：
本节课我们学习了幂的乘方的运算法则，望同学们在用此法则时不要同同底数幂的运算法则混淆了。
四、建议和分析：
对本节课设计的意见
结合本校学生实际，对相关内容的取舍设想
课后作业
1.下列计算中正确的个数有（ ）个
（１） 2a a m ⋅＝m a 2 （２）523)(a a =
（３）623x x x =⋅ （４）423)(a a ⋅-＝9a
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)以上答案都不对
2.)24(n
⨯2等与 （ ） A.n 24⨯ B ．424+n C. n 22 D. 422+n
3.填空
（1）=+5
5a a ________；
（2）=⨯55a a _________； （3）=55)(a _________. （4） 4﹒8m ﹒16m ＝29
m ＝________；
（5）52)(b -=________； （6）23])[(n -=_________； （7） 如果 2a ＝3 ,2b ＝6 ,2c ＝18, 那么 a 、b 、c 的关系是
4．计算：
（1）（a 3）3； （2）-（y 7）2；
（3）-（x 2）3； （4）（a m ）3；
（5）（x 2）3·（x 2）2； （6）（y 3）4-（-y 4）3；
（7）（a 2）5·（a 4）4； （8）（-c 3）+ c 2·c；。