初二数学上学期知识点和典型例题总结
初二数学八上第十四章整式乘法与因式分解知识点总结复习和常考题型练习
第十四章 整式的乘除与分解因式一、知识框架:二、知识概念：1.基本运算：⑴同底数幂的乘法：m n m n a a a +⨯= ⑵幂的乘方：()nm mn aa = ⑶积的乘方：()nn n ab a b =2.整式的乘法：⑴单项式⨯单项式：系数⨯系数，同字母⨯同字母，不同字母为积的因式. ⑵单项式⨯多项式：用单项式乘以多项式的每个项后相加.⑶多项式⨯多项式：用一个多项式每个项乘以另一个多项式每个项后相加. 3.计算公式：⑴平方差公式：()()22a b a b a b -⨯+=-⑵完全平方公式：()2222a b a ab b +=++；()2222a b a ab b -=-+ 4.整式的除法：⑴同底数幂的除法：m n m n a a a -÷=⑵单项式÷单项式：系数÷系数，同字母÷同字母，不同字母作为商的因式. ⑶多项式÷单项式：用多项式每个项除以单项式后相加. ⑷多项式÷多项式：用竖式.5.因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个式子因式分解.6.因式分解方法：⑴提公因式法：找出最大公因式. ⑵公式法：①平方差公式：()()22a b a b a b -=+- ②完全平方公式：()2222a ab b a b ±+=±③立方和：3322()()a b a b a ab b +=+-+ ④立方差：3322()()a b a b a ab b -=-++ ⑶十字相乘法：()()()2x p q x pq x p x q +++=++ ⑷拆项法 ⑸添项法常考例题精选1.(2015·襄阳中考)下列运算正确的是( ) =3 ·a2=a3C.(-a3)2=a5÷a2=a32.(2015·烟台中考)下列运算中正确的是( ) +2a=5a2 B.(-3a3)2=9a6÷a2=a3 D.(a+2)2=a2+43.(2015·遵义中考)计算(−12ab2)3的结果是( )3 23218184.(2015·沈阳中考)下面的计算一定正确的是( ) +b3=2b6 B.(-3pq)2=-9p2q2·3y5=15y8÷b3=b35.(2015·凉山州中考)下列各式正确的是( )=(−a)2=(−a)3=|−a2|=|a3|6.(2015·长春中考)计算：7a2·5a3= .7.(2015·广州中考)分解因式：x2+xy= .8.(2015·东营中考)分解因式2a2-8b2= .9.(2015·无锡中考)分解因式：2x2-4x= .10.(2015·连云港中考)分解因式：4-x2= .11.(2015·盐城中考)分解因式a2-9= .12.(2015·长沙中考)x2+2x+1= .13.(2015·临沂中考)分解因式4x-x3= .14.(2015·安徽中考)分解因式：x2y-y= .15.(2015·潍坊中考)分解因式：(a+2)(a-2)+3a= .16.(2015·遂宁中考)为庆祝“六·一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛.如图所示，按照下面的规律，摆第(n)个图案，需用火柴棒的根数为.17.(2015·潍坊中考)当n等于1，2，3，…时，由白色小正方形和黑色小正方形组成的图形分别如图所示.则第n个图形中白色小正方形和黑色小正方形的个数总和等于.(用n表示，n是正整数)18.(2015·牡丹江中考)一件商品的进价为a元，将进价提高100%后标价，再按标价打七折销售，则这件商品销售后的利润为元.19.(2015·株洲中考)先化简，再求值：(x-1)(x+1)-x(x-3)，其中x=3.1．(2015·徐州)下列运算正确的是( )A．3a2－2a2＝1 B．(a2)3＝a5C．a2·a4＝a6D．(3a)2＝6a22．下列计算错误的是( )A．(5－2)0＝1 B．28x4y2÷7x3＝4xy2C．(4xy2－6x2y＋2xy)÷2xy＝2y－3x D．(a－5)(a＋3)＝a2－2a－153．(2015·毕节)下列因式分解正确的是( )A．a4b－6a3b＋9a2b＝a2b(a2－6a＋9) B．x2－x＋14＝(x－12)2C．x2－2x＋4＝(x－2)2D．4x2－y2＝(4x＋y)(4x－y)4．将(2x)n－81分解因式后得(4x2＋9)(2x＋3)(2x－3)，则n等于( ) A．2 B．4 C．6 D．85．若m＝2100，n＝375，则m，n的大小关系是( )A．m>n B．m<n C．m＝n D．无法确定6．已知a＋b＝3，ab＝2，则a2＋b2的值为( )A．3 B．4 C．5 D．67．计算：(a－b＋3)(a＋b－3)＝( )A．a2＋b2－9 B．a2－b2－6b－9C．a2－b2＋6b－9 D．a2＋b2－2ab＋6a＋6b＋98．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形(a>b)(如图甲)，把余下的部分拼成一个长方形(如图乙)，根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证( )A ．(a ＋b)2＝a 2＋2ab ＋b 2B ．(a －b)2＝a 2－2ab ＋b 2C ．a 2－b 2＝(a ＋b)(a －b)D ．(a ＋2b)(a －b)＝a 2＋ab －2b 29．若x 2＋mx －15＝(x －3)(x ＋n)，则m ，n 的值分别是( ) A ．4，3 B ．3，4 C ．5，2 D ．2，510．(2015·日照)观察下列各式及其展开式： (a ＋b)2＝a 2＋2ab ＋b 2(a ＋b)3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3(a ＋b)4＝a 4＋4a 3b ＋6a 2b 2＋4ab 3＋b 4(a ＋b)5＝a 5＋5a 4b ＋10a 3b 2＋10a 2b 3＋5ab 4＋b 5 …请你猜想(a ＋b)10的展开式第三项的系数是( ) A ．36 B ．45 C ．55 D ．6611．计算：(x －y)(x 2＋xy ＋y 2)＝ ．12．(2015·孝感)分解因式：(a －b)2－4b 2＝ ．13．若(2x ＋1)0＝(3x －6)0，则x 的取值范围是 ．14．已知a m ＝3，a n ＝2，则a 2m －3n ＝ ．15．若一个正方形的面积为a 2＋a ＋14，则此正方形的周长为 ．16．已知实数a ，b 满足a 2－b 2＝10，则(a ＋b)3·(a －b)3的值是 ．17．已知△ABC 的三边长为整数a ，b ，c ，且满足a 2＋b 2－6a －4b ＋13＝0，则c为．18．观察下列各式，探索发现规律：22－1＝1×3；32－1＝2×4；42－1＝3×5；52－1＝4×6；….按此规律，第n个等式为．19．计算：(1)(2015·重庆)y(2x－y)＋(x＋y)2; (2)(－2a2b3)÷(－6ab2)·(－4a2b)．20．用乘方公式计算：(1)982; (2)899×901＋1.21．分解因式：(1)18a3－2a；(2)ab(ab－6)＋9；(3)m2－n2＋2m－2n.22．先化简，再求值：(1)(2015·随州)(2＋a)(2－a)＋a(a－5b)＋3a5b3÷(－a2b)2，其中ab＝－1 2；(2)[(x＋2y)(x－2y)－(x＋4y)2]÷4y，其中x＝－5，y＝2.23．如图，某市有一块长为(3a＋b)米，宽为(2a＋b)米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间修建一座雕像，求绿化的面积是多少平方米？并求出当a＝3，b＝2时的绿化面积．24．学习了分解因式的知识后，老师提出了这样一个问题：设n为整数，则(n＋7)2－(n－3)2的值一定能被20整除吗？若能，请说明理由；若不能，请举出一个反例．25．阅读材料并回答问题：课本中多项式与多项式相乘是利用平面几何图形中的面积来表示的，例如：(2a ＋b)(a ＋b)＝2a 2＋3ab ＋b 2就可以用如图①②所示的图形的面积来表示．(1)请写出如图③所示的图形的面积表示的代数恒等式；(2)试画出一个几何图形，使它的面积能表示为(a ＋b)(a ＋3b)＝a 2＋4ab ＋3b 2；(3)请仿照上述方法另写一个含有a ，b 的代数恒等式，并画出与之对应的几何图形．26. 定义2a b a b *=-，则(12)3**= ．。
新北师大版_八年级数学上册_第三章位置与坐标知识点总结和典型例题分析
新北师大版八年级数学上册第四章位置与坐标一、生活中确定位置的方法（重难点）1、行列定位法把平面分成若干个行列的组合，然后用行号和列号表示平面中点的位置，要准确表示平面中的位置，需要行号、列号两个独立的数据，缺一不可。
2、方位角加距离定位法此方法也叫极坐标定位法，是生活中常用的方法。
在平面中确定位置时需要两个独立的数据：方位角、距离。
特别需要注意的是中心位置的确定。
3、方格定位法在方格纸上，一点的位置由横向方格数和纵向方格数确定，记作（横向方个数，纵向方个数）。
需要两个数据确定物体位置。
4、区域定位法是生活中常用的方法，也需要两个数据才能确定物体的位置。
此方法简单明了，但不够准确。
A1区，D3区等。
5、经纬度定位法利用经度和纬度来确定物体位置的方法，也同时需要两个数据才能确定物体的位置。
二、平面直角坐标系1、平面直角坐标系及相关概念（重点）在平面内，两条相互垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系，简称直角坐标系。
通常两条数轴位置水平和垂直位置，规定水平轴向右和垂直轴向上为两条数轴的正方向。
水平数轴称为x轴或横轴，垂直数轴称为y轴或者纵轴，x 轴、y轴统称坐标轴，公共原点O称为坐标系的原点。
两条数轴把平面划分为四个部分，右上部分叫做第一象限，其余部分按逆时针方向分别叫做第二、第三、第四象限。
2、点的坐标表示（重点）在平面直角坐标系中，平面上的任意一点P，都可以用坐标来表示。
过点P 分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a、b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对（a，b）叫做点P的坐标。
在平面直角坐标系中，平面上的任意一点P，都有唯一一对有序实数（即点的坐标）与它对应；反之，对于任意一对有序实数，都可以在平面上找到唯一一点与它对应。
3、特殊位置上点的坐标特点（难点）（1）坐标轴上点的坐标特点x轴上点的纵坐标为0；y轴上点的横坐标为0；原点的横坐标、纵坐标都为0。
（2）余坐标轴平行直线上点的坐标特点与x轴平行直线上所有点的纵坐标相同；与y轴平行直线上所有点的横坐标相同。
(完整版)浙教版初中数学八年级上册知识点及典型例题
数学八年级上册知识点及典型例题第一章平行线1.1同位角、内错角、同旁内角所截，构成了八个角。
如图：直线l , l被直线l321L3 a3L1 14a12358L2 a267的同旁，并且分别位于直线l , ll 的相同一侧，这样的一51. 观察∠1与∠的位置：它们都在第三条直线231对角叫做“同位角”。
2. 观察∠3与∠5的位置：它们都在第三条直线l的异侧，并且都位于两条直线l , l 之间，这样的一对213角叫做“内错角”。
3. 观察∠2与∠5的位置：它们都在第三条直线l的同旁，并且都位于两条直线l , l之间，这样的一对角231叫做“同旁内角”。
想一想问题1.你觉得应该按怎样的步骤在“三线八角”中确定关系角？确定前提（三线）寻找构成的角（八角）确定构成角中的关系角问题2：在上面同位角、内错角、同旁内角中任选一对，请你看看这对角的四条边与“前提”中的“三线”有什么关系？结论：两个角的在同一直线上的边所在直线就是前提中的第三线。
1．2 平行线的判定（1）复习画两条平行线的方法：A A L12L1o抽象成几何图形（图形的平移变换）L1oL B2B．21）怎样用语言叙述上面的图形？提问：（1 被AB所截）（直线l，l 21（2）画图过程中，什么角始终保持相等？2）（同位角相等，即∠1＝∠位置关系如何？，3）直线ll （21）l∥l （21（4）可以叙述为：2∵∠1＝∠）（∥∴ll ？ 1 2。
语言叙述：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行简单地说：同位角相等，两直线平行。
21＝∠几何叙述：∵∠l∥l（同位角相等，两直线平行）∴ 2 1想一想c a21b若a⊥b,b⊥c则a c2在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。
平行线判定方法的特殊情形：2）1．2 平行线的判定（CDAB与＝180°，则AB与CD平行吗？②若∠2+∠4图中，直线AB 与CD被直线EF所截，①若∠3＝∠4，则平行吗？E1A B432 C DF°42+∠＝180°，∠2+∠3＝180 ，∠①∵∠3＝∠41＝∠4 ②∵∠＝∠4 ∴∠3 1∴∠＝∠3）（）∴AB∥CD （∥∴ABCD内错角相等，两直线平行两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，则两条直线平行。
初二数学知识点归纳及例题
初二数学知识点归纳及例题初二数学知识点归纳（人教版）一、三角形。
1. 三角形的三边关系。
- 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
- 例如：已知三角形的两边长分别为3和5，则第三边x的取值范围是2 < x <8。
- 解析：根据三边关系，5 - 3 < x < 5+3，即2 < x <8。
2. 三角形的内角和定理。
- 三角形内角和为180°。
- 例如：在△ABC中，∠A = 50°，∠B = 60°，则∠C=180° - 50°-60° = 70°。
- 解析：直接利用三角形内角和定理，用180°减去已知的两个角的度数。
3. 三角形的外角性质。
- 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。
- 例如：在△ABC中，∠ACD是∠ACB的外角，∠A = 50°，∠B = 60°，则∠ACD=50° + 60°=110°。
- 解析：根据外角性质，∠ACD等于∠A与∠B的和。
二、全等三角形。
1. 全等三角形的判定。
- SSS（边边边）：三边对应相等的两个三角形全等。
- 例如：在△ABC和△DEF中，AB = DE，BC = EF，AC = DF，则△ABC≌△DEF。
- 解析：因为三边分别相等，满足SSS判定定理。
- SAS（边角边）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
- 例如：在△ABC和△DEF中，AB = DE，∠A = ∠D，AC = DF，则△ABC≌△DEF。
- 解析：两边及夹角对应相等，符合SAS判定定理。
- ASA（角边角）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
- 例如：在△ABC和△DEF中，∠A = ∠D，AB = DE，∠B = ∠E，则△ABC≌△DEF。
- 解析：两角及其夹边相等，满足ASA判定定理。
初二数学上学期期中知识点总结及对应例题
初二数学上学期期中知识点总结及对应例题初二数学上学期期中知识点总结及对应例题初二数学上学期期中知识点总结勾股定理、实数、平面直角坐标系概念勾股定理内容直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
如果三角形一边的平方等于另两边的平方和，那么这个三角形是直角三角形。
若a、b、c三个正整数满足a2＋b2＝c2，则称a，b，c为一组勾股数。
无限不循环小数。
有理数和无理数统称为实数。
如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，也称为二次方根。
正数a有两个平方根，其中正数a的正的平方根，也叫做a的算术平方根。
一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a 的立方根或三次方根。
一般地，形如a(a0)的二次根式式子，叫做二次根式，a叫做被开方数。
解读（1）要在直角三角形中；（2）没有直角三角形，要先通过作辅助线来构造直角三角形，再利用勾股定理解决相关问题。
（1）先要确定最大边（不妨设为c，另两条边长分别为a，b）；（2）计算并比较c与ab的值的关系。
（1）三个数必须是正整数；（2）最大数的平方等于较小的两个数的平方和。
（1）是小数；（2）是无限不循环的。
（1）注意它的分类；（2）注意它的几种形式。
（1）注意它的表示方法；（2）掌握它的性质。
（1）注意它的表示方法；（2）掌握它的非负性。
（1）注意它的表示方法；（2）掌握它的性质；（3）掌握它与平方根的同与异。
（1）被开方数必须是非负数；（2）开的是二次方根。
（3）注意a2及a的区别2222对应例题例1勾股定理的逆定理例2勾股数例6无理数实数平方根例7算术平方根立方根例4例14例3最简二次根式被开方数的因数是整数，因（1）被开方的每个因式的指数都低于根指数2；式是整式；被开方数中不含（2）被开方数中不含分母。
例8、例5能开得尽方的因数或因式。
在平面内，两条互相垂直且有公共点数轴组成平面直角坐标系（x轴、y轴、原点）关于x、y轴对称的点或者图形的坐标变化；关于原点对称的点或者图形的坐标变化图形的变化包括：等比扩大，等比缩小，横向压缩，纵向压缩，横向拉伸，纵向拉伸，平移，翻转（1）读出点的坐标及根据坐标找点（2）四个象限及坐标轴上点的坐标的特征（3）点到坐标轴的距离和到原点距离的求法；（点到点距离的求法）（1）关于坐标轴对称的点或图形的坐标变化（2）关于原点对称的点或图形的坐标变化例9例10例11例12例17例13例16平面直角坐标系对称与坐标变化坐标变化与图形形状变化之间的关系（1）图形横纵坐标扩大或缩小相同的倍数（2）图形横（纵）坐标不变，纵(横)坐标扩大（缩小）到原来的a倍（3）图形横(纵)坐标不变，纵(横)坐标加(减)a（4）图形横(纵)坐标不变，纵(横)坐标乘函数、一次函数、正比例函数考点常量和变量定义在某一个变化过程中，数值保持不变的量叫做常量；数值发生变化的量叫做变量。
新北师大版八年级数学上册第三章位置与坐标知识点总结和典型例题分析
新北师大版八年级数学上册第四章位置与坐标一、生活中确定位置的方法（重难点）1、行列定位法把平面分成若干个行列的组合，然后用行号和列号表示平面中点的位置，要准确表示平面中的位置，需要行号、列号两个独立的数据，缺一不可。
2、方位角加距离定位法此方法也叫极坐标定位法，是生活中常用的方法。
在平面中确定位置时需要两个独立的数据：方位角、距离。
特别需要注意的是中心位置的确定。
3、方格定位法在方格纸上，一点的位置由横向方格数和纵向方格数确定，记作（横向方个数，纵向方个数）。
需要两个数据确定物体位置。
4、区域定位法是生活中常用的方法，也需要两个数据才能确定物体的位置。
此方法简单明了，但不够准确。
A1区，D3区等。
5、经纬度定位法利用经度和纬度来确定物体位置的方法，也同时需要两个数据才能确定物体的位置。
二、平面直角坐标系1、平面直角坐标系及相关概念（重点）在平面内，两条相互垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系，简称直角坐标系。
通常两条数轴位置水平和垂直位置，规定水平轴向右和垂直轴向上为两条数轴的正方向。
水平数轴称为x轴或横轴，垂直数轴称为y轴或者纵轴，x轴、y轴统称坐标轴，公共原点O称为坐标系的原点。
两条数轴把平面划分为四个部分，右上部分叫做第一象限，其余部分按逆时针方向分别叫做第二、第三、第四象限。
2、点的坐标表示（重点）在平面直角坐标系中，平面上的任意一点P，都可以用坐标来表示。
过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a、b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对（a，b）叫做点P的坐标。
在平面直角坐标系中，平面上的任意一点P，都有唯一一对有序实数（即点的坐标）与它对应；反之，对于任意一对有序实数，都可以在平面上找到唯一一点与它对应。
3、特殊位置上点的坐标特点（难点）（1）坐标轴上点的坐标特点x轴上点的纵坐标为0；y轴上点的横坐标为0；原点的横坐标、纵坐标都为0。
（2）余坐标轴平行直线上点的坐标特点与x轴平行直线上所有点的纵坐标相同；与y轴平行直线上所有点的横坐标相同。
八年级上册数学人教版知识点总结与题型总结
第一篇嗨，亲爱的小伙伴们！今天咱们来唠唠八年级上册数学人教版的那些事儿。
先说全等三角形这块儿哈，这可是个重点。
要知道全等三角形的对应边相等，对应角也相等。
判断两个三角形全等的条件有“SSS”（三边相等）、“SAS”（两边及其夹角相等）、“ASA”（两角及其夹边相等）、“AAS”（两角及其中一角的对边相等）、“RHS”（直角三角形斜边和一条直角边相等）。
做题的时候，可得瞪大眼睛看清楚条件哟！还有角平分线的性质也得记住，角平分线上的点到角两边的距离相等。
这在证明线段相等的时候经常能用到呢。
一次函数也很重要哦！一般式是 y = kx + b，k 表示斜率，b 是截距。
当 k 大于 0 时，函数图像是上升的；k 小于 0 ，图像就下降啦。
通过图像能解决好多实际问题，比如算行程、算成本啥的。
整式的乘除也别落下。
同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘。
这些运算规则要牢记，不然做题容易出错哟！再说三角形这部分，三角形的内角和是 180 度，外角等于不相邻的两个内角之和。
三角形的三边关系也有讲究，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
怎么样，小伙伴们，这些知识点都记住了没？多做几道题巩固巩固，数学成绩肯定能蹭蹭涨！第二篇嘿，友友们！咱们接着聊聊八年级上册数学的那些宝贝知识点和题型。
先讲讲轴对称图形吧，对称轴两边的图形是完全重合的哟。
等腰三角形和等边三角形都是轴对称图形，它们的性质要搞清楚。
等腰三角形两腰相等，两底角也相等；等边三角形三边相等，三个角都是 60 度。
因式分解可是个技术活，有提公因式法、公式法，像平方差公式和完全平方公式都得用得溜。
数据的分析也不能马虎，平均数、中位数、众数要会算会用。
方差能反映数据的波动大小，做题的时候要根据具体情况选择合适的统计量。
整式的乘法可别弄混了，单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式，都有各自的法则，一步一步来，别着急。
再说说平方根和立方根，正数有两个平方根，它们互为相反数；0 的平方根是 0；负数没有平方根。
苏教版八年级上数学期末复习知识点总结+例题(完美版)
八年级数学(上)期末复习+例题解析第一章三角形全等1、全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
理解：①全等三角形形状与大小完全相等，与位置无关；②一个三角形经过平移、翻折、旋转后得到的三角形，与原三角形仍然全等．．；③三角形全等不因位置发生变化而改变。
2、全等三角形的性质：⑴全等三角形的对应边相等、对应角相等。
理解：①长边对长边，短边对短边；最大角对最大角，最小角对最小角；②对应角的对边为对应边，对应边对的角为对应角。
⑵全等三角形的周长相等、面积相等。
⑶全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。
3、全等三角形的判定：①边角边公理(SAS)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
②角边角公理(ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
③推论(AAS)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
④边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等。
⑤斜边、直角边公理(HL)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
4、证明两个三角形全等的基本思路：⑴已知两边：①找第三边（SSS）；②找夹角（SAS）；③找是否有直角（HL）.⑵已知一边一角：①找一角（AAS或ASA）；②找夹边（SAS）.⑶已知两角：①找夹边（ASA）；②找其它边（AAS）.例题评析例1 已知：如图，点D 、E 在BC 上，且BD=CE ，AD=AE ，求证：AB=AC ．例2 已知：如图，A 、C 、F 、D 在同一直线上，AF ＝D C ，AB ＝DE ，BC ＝EF ，求证：△ABC ≌△DEF ．例3已知：BE ⊥CD ，BE ＝DE ，BC ＝DA ， 求证：①△BEC ≌△DEA ； ②DF ⊥BC ．例4如图，在△ABE 中，AB ＝AE,AD ＝AC,∠BAD ＝∠EAC, BC 、DE 交于点O.求证：(1) △ABC ≌△AED ； (2) OB ＝OE .例5 如图，在正方形ABCD 中，E 为DC 边上的点，连接BE ，将△BCE 绕点C 顺时针方向旋转90°得到△DCF ，连接EF ，若∠BEC=60°，求∠EFD 的度数.例6如图，将长方形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，使点B 落到点B ′的位置，AB ′与CD 交于点E .（1）试找出一个三角形与△AED 全等，并加以证明.（2）若AB =8，D E =3，P 为线段AC 上的任意一点，PG ⊥AE 于G ，PH ⊥EC 于H ， PG +PH 的值会变化吗？若变化，请说明理由； 若不变化，请求出这个值。
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全等三角形类型一：全等三角形性质的应用ﻫ1、如图，△AＢＤ≌△AＣＥ，AＢ=AC，写出图中的对应边和对应角. ﻫﻫ思路点拨:ＡB=AC,ＡB和AC是对应边,∠A是公共角，∠A和∠A是对应角,按对应边所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边可求解.解析:AＢ和ＡC是对应边,AＤ和ＡE、BD和CE是对应边，∠A和∠Ａ是对应角，∠B和∠C，∠AＥC和∠ADＢ是对应角.ﻫ总结升华：已知两对对应顶点，那么以这两对对应顶点为顶点的角是对应角，第三对角是对应角;再由对应角所对的边是对应边，可找到对应边．已知两对对应边，第三对边是对应边,对应边所对的角是对应角．ﻫ举一反三:【变式1】如图，△ABC≌△DBE.问线段AE和CD相等吗？为什么?ﻫﻫ【答案】证明:由△ＡＢC≌△DBE,得ＡB=DB,BＣ=BＥ，则AB-BE=ＤＢ－BC，即ＡE=CD。
【变式2】如右图,，。
求证：ＡＥ∥ＣFﻫ【答案】∴AE∥CFﻫﻫ2、如图,已知ΔABC≌ΔＤEF,∠A=３0°,∠Ｂ=５0°,ＢF＝2，求∠DFE的度数与EC的长。
ﻫ思路点拨:由全等三角形性质可知：∠DFＥ＝∠ACB，EC+CF=BF＋FＣ,所以只需求∠ACＢ的度数与ＢＦ的长即可。
ﻫ解析:在ΔABC中,ﻫ∠ACＢ=1８0°-∠A-∠B,ﻫ又∠A=30°,∠B=50°，ﻫ所以∠ACＢ=１00°．ﻫ又因为ΔＡBC≌ΔDEＦ，所以∠ACB=∠DFE，ﻫ BＣ=EＦ(全等三角形对应角相等,对应边相等）。
ﻫ所以∠DFE＝100°ﻫEＣ=EF-FC＝BC-FC=FＢ＝2。
ﻫ总结升华：全等三角形的对应角相等，对应边相等。
举一反三：ﻫ【变式１】如图所示，ΔACD≌ΔECD，ΔCEF≌ΔＢＥF，∠AＣB=90°.求证:(１）ＣD⊥AB；（2）EF∥AＣ.ﻫ【答案】(1)因为ΔＡCＤ≌ΔECＤ，所以∠ＡＤC＝∠EDC(全等三角形的对应角相等）．因为∠ＡDＣ+∠ＥDＣ=1８０°，所以∠ADC=∠EDC=9０°.ﻫ所以CD⊥AB.(2)因为ΔＣEF≌ΔBEF，ﻫ所以∠ＣFE=∠BＦE（全等三角形的对应角相等).ﻫ因为∠CＦE+∠BＦE=１8０°,所以∠ＣFＥ＝∠BFE=90°．ﻫ因为∠ACB=90°，所以∠AＣB=∠BFE.ﻫ所以EＦ∥AC．类型二：全等三角形的证明3、如图,AC＝ＢD,DＦ=CＥ，∠ＥCB=∠FＤA,求证:△ADF≌△ＢCE．ﻫ思路点拨：欲证△AＤF≌△BＣＥ,由已知可知已具备一边一角，由公理的条件判断还缺少这角的另一边，可通过AＣ=BD而得解析：∵AC＝BD(已知)∴AB－BD＝AB－AC(等式性质）ﻫ即ＡＤ＝BCﻫ在△ADＦ与△ＢCＥ中ﻫﻫ∴△ＡＤF≌△BCE(ＳAＳ)ﻫ总结升华：利用全等三角形证明线段(角）相等的一般方法和步骤如下:(1)找到以待证角(线段)为内角(边)的两个三角形，ﻫ(2）证明这两个三角形全等；ﻫ(3)由全等三角形的性质得出所要证的角(线段)相等.ﻫ举一反三：ﻫ【变式１】如图，已知ＡB∥DC,AB＝DC,求证：AＤ∥BCﻫ【答案】∵AB∥CD∴∠3＝∠4ﻫ在△ABD和△CDＢ中ﻫ∴△AＢD≌△CDＢ(SAS)ﻫ∴∠1＝∠2(全等三角形对应角相等）∴AD∥BC(内错角相等两直线平行）ﻫ【变式２】如图，已知ＥB⊥AD于B，FＣ⊥AD于C，且EB=FC,AＢ=ＣD．ﻫ求证ＡF=ＤE.【答案】∵EB⊥AD(已知)∴∠EＢＤ=90°(垂直定义)ﻫ同理可证∠ＦCＡ=90°ﻫ∴∠EBD＝∠FＣA∵ＡB＝CD,ＢC=ＢC∴AC=AB＋BCﻫ＝ＢC+ＣDﻫ＝BＤﻫ在△AＣＦ和△DBE中ﻫﻫ∴△ACF≌△ＤＢE(S.A.S）∴AF＝DE(全等三角形对应边相等)ﻫ类型三:综合应用4、如图，AＤ为ΔＡBC的中线。
求证:AB+AC>２AD.思路点拨:要证ＡB+ＡＣ＞2AD,由图想到:ＡB＋ＢＤ>AD,AC+CD>AD,所以AB+AC＋BC>2AD,所以不能直接证出。
由2AD想到构造一条线段等于２AD,即倍长中线。
ﻫ解析：延长ＡD至Ｅ，使DＥ=AD，连接ＢEﻫ因为AD为ΔABＣ的中线，ﻫ所以BD=ＣD.ﻫ在ΔACD和ΔEBD中，ﻫ所以ΔＡＣD≌ΔEBD(SＡＳ)．所以BＥ=CＡ.ﻫ在ΔABＥ中,AＢ＋BＥ>AE,所以AB+AC>2AD.ﻫ总结升华：通过构造三角形全等,将待求的线段放在同一个三角形中。
ﻫ举一反三：【变式1】已知:如图，在RｔΔABＣ中，AB=AC,∠BAC=9０°,∠１=∠2，CＥ⊥BD的延长线于Ｅ,求证：BＤ=２CE.ﻫ【答案】分别延长CＥ、ＢA交于F．ﻫ因为BE⊥CＦ，所以∠ＢEF＝∠ＢEC=9０°．ﻫ在ΔＢEF和ΔBEＣ中，ﻫﻫ所以ΔＢEF≌ΔBEC(ASA).ﻫ所以CE=FE=CＦ.又因为∠BＡC=9０°,ＢE⊥CF．所以∠BAC=∠CAF＝９0°，∠1＋∠BDA=90°，∠１+∠BＦＣ=90°.ﻫ所以∠BDA=∠ＢFC．在ΔＡBD和ΔＡCF中,ﻫ所以ΔABD≌ΔAＣF(AAS)所以ＢD＝ＣF．所以ＢＤ=２ＣE.5、如图，AB=ＣD,BＥ=DF,∠B=∠Ｄ，求证：(1)AE=CF,(2）AE∥CＦ，(３)∠AFE=∠CEF思路点拨:（１)直接通过△ＡBE≌△CDF而得，(2）先证明∠AＥB=∠ＣＦD,(3)由(1)(2)可证明△AＥF≌△CFE而得，总之，欲证两边(角)相等,找这两边(角)所在的两个三角形然后证明它们全等．解析:ﻫ (1)在△ABE与△CDF中ﻫﻫ∴△ABE≌△CDF（SAS)ﻫ∴AＥ＝CF(全等三角形对应边相等)ﻫ(2)∵∠AEB=∠CFD(全等三角形对应角相等)ﻫ∴AE∥CF(内错角相等，两直线平行)(3）在△AEＦ与△CFE中ﻫﻫ∴△AＥF≌△CFE（SＡＳ)∴∠AFE＝∠CＥF(全等三角形对应角相等)总结升华：在复杂问题中,常将已知全等三角形的对应角(边)作为判定另一对三角形全等的条件.举一反三:ﻫ【变式1】如图，在△ABC中,延长AＣ边上的中线ＢＤ到Ｆ,使DF＝BD，延长AB边上的中线CE到G,使EG＝CE，求证 AF=AＧ．ﻫﻫ【答案】在△AＧＥ与△ＢCE中∴△AGE≌△BCE(SAS）ﻫ∴AＧ＝BC(全等三角形对应边相等）ﻫ在△AFＤ与△CBD中ﻫ∴△AFD≌△CBD(SAS）∴AF＝CＢ(全等三角形对应边相等）∴AF=AG(等量代换)６、如图 AB=AC，BD⊥ＡC于D,CE⊥ＡB于E,ＢＤ、CＥ相交于F．ﻫ求证:AF平分∠BＡＣ．思路点拨:若能证得得AD=AE，由于∠ADＢ、∠ＡEＣ都是直角,可证得Rt△ADＦ≌Rｔ△AＥF,而要证ＡD=AＥ,就应先考虑Rｔ△ABD与Rt△AＥＣ，由题意已知ＡB=AＣ,∠BAＣ是公共角,可证得Rt△ＡBD≌Rt△ＡＣE.ﻫ解析:在Rt△ＡＢＤ与Ｒt△ACE中ﻫ∴Ｒt△ABD≌Rt△ACE（AAS)∴AD=ＡE(全等三角形对应边相等）ﻫ在Rｔ△ADＦ与Rt△ＡEF中∴Ｒt△ADF≌Rt△AEF(HＬ)ﻫ∴∠DAF＝∠EＡＦ（全等三角形对应角相等）∴ＡF平分∠BAC(角平分线的定义）总结升华：条件和结论相互转化,有时需要通过多次三角形全等得出待求的结论。
ﻫ举一反三：【变式1】求证：有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等.ﻫ【答案】根据题意，画出图形,写出已知，求证．已知:如图，在△AＢＣ与△Ａ′B′C′中．AB=A′B′,BC=B′C′，ＡD⊥BＣ于D，A′D′⊥B′C′于D′且ＡD=A′D′ﻫ求证：△ABC≌△A′Ｂ′C′证明:在Rｔ△AＢＤ与Rt△A′B′D′中∴Rt△AＢD ≌Ｒt△Ａ′B′D′(HL）∴∠B＝∠B′(全等三角形对应角相等）在△ABC与△A′B′C′中ﻫﻫ∴△ABC≌△A′B′C′(ＳAＳ)【变式2】已知,如图，AC、BD相交于O,AC=BD，∠C=∠D=90°求证：OC＝ＯDﻫ【答案】∵∠C=∠D=90°∴△ABD、△AＣB为直角三角形ﻫ在Ｒt△AＢＤ和Ｒt△AＢC中ﻫﻫ∴Rt△ＡＢD≌Rt△ABC（HL）ﻫ∴AD=ＢＣﻫ在△AOD和△ＢOC中ﻫ∴△AOD≌△BOＣ(ＡAS)∴OD=ＯC.ﻫ7、⊿AＢC中,ＡＢ=AＣ，Ｄ是底边BC上任意一点，DE⊥AB,DF⊥AC,CＧ⊥AB垂足分别是E、F、G.. ﻫ试判断：猜测线段 DE、DF、ＣG的数量有何关系？并证明你的猜想。
ﻫ思路点拨:寻求一题多解和多题一解是掌握规律的捷径ﻫ解析：结论：DE+ＤF=CＧﻫ方法一:（截长法）板书此种方法（3分钟)作ＤM⊥CG于M∵DE⊥AB,ＣG⊥AB，DM⊥ＣG∴四边形EDMG是矩形ＤＥ=GMﻫ DM/／AB∴∠ＭＤC=∠Bﻫ∵ＡB=AＣ∴∠B=∠ＦＣDﻫ∴∠MDC=∠FCＤﻫ而DM⊥CG，ＤF⊥AＣ∴∠DMＣ=∠CFD在⊿MDC和⊿FCD中∴⊿MDC≌⊿FCＤ(AAS)ﻫMC＝ＤＦ∴DＥ＋DF＝GM＋MC=CGﻫ总结升华：方法二(补短法）作ＣＭ⊥ED交ED的延长线于M（证明过程略)ﻫﻫ总结：截长补短的一般思路，并由此可以引申到截长法有两种截长的想法ﻫ方法三（面积法)使用等积转化ﻫ引申:如果将条件“Ｄ是底边BＣ上任意一点”改为“D是底边BC的延长线上任意一点”，此时图形如何？DE、ＤＦ和CG会有怎样的关系?画出图形,写出你的猜想并加以证明ﻫ举一反三:【变式1】三角形底边上的任意一点到两个腰上的距离和等于腰上的高。
ﻫ【答案】证明的过程使用三种证明方法,包括:(1)截长法（2)补短法(3)面积法轴对称考点一、关于“轴对称图形”与“轴对称”的认识典例1.下列几何图形中，错误!线段错误!未定义书签。
角错误!直角三角形错误!未定义书签。
半圆，其中一定是轴对称图形的有( )图（2）A．1个 B.2个Ｃ.3个 D.4个2．正n边形有＿____＿＿___＿条对称轴，圆有__＿_＿＿＿_＿____条对称轴考点二、轴对称变换及用坐标表示轴对称典例：１、如图，Rt△ABC,∠C=90°，∠B＝30°,ＢC=8,D为AB中点,P为BC上一动点,连接AP、DＰ，则AP+ＤP的最小值是2、已知等边ABC,E在ＢC的延长线上,CF平分∠ＤCE,P为射线C上一点,Ｑ为CＦ上一点,连接ＡＰ、ＰQ.若AP=PQ,求证∠ＡPQ是多少度考点四、线段垂直平分线的性质⑴线段是轴对称图形，它的对称轴是__＿____＿＿_＿___＿___⑵线段的垂直平分线上的点到＿＿＿____＿__＿＿＿＿_＿＿＿___＿相等归类回忆角平分线的性质⑴角是轴对称图形，其对称轴是_＿__＿＿＿_______＿⑵角平分线上的点到_____＿＿____＿_＿___＿_＿____相等典例１、如图,△AＢC中，∠A＝９0°，BD为∠ABＣ平分线，ＤＥ⊥ＢC，E是ＢＣ的中点,求∠C的度数。