数学建模代表名额分配

p2 (n1 + 1) 1 rB (n1 + 1, n2 ) = p1n2
p1 (n2 + 1) 1 rA (n1 , n2 + 1) = p2 n1
2 p2 p12 p2 ( n1 + 1) p1 ( n2 + 1) < < n2 ( n2 + 1) n1 ( n1 + 1) p1n2 p2 n1
数学模型
数学建模就是应用数学理论，根据实际问题的内在 规律，做出必要的简化假设，得到一个数学结构。
代表名额的分配 利益的合理分配
代表名额的分配
美国宪法第一条第二款指出：“众议院议员 名额。。。。。。。将根据各州的人口比例分配”。 假设众议院名额数为 N ， 共有 s 个州， 各州的人口数 pi , i = 1, 2, , N ， 分配合理？
现在的问题是当名额再增加一个时，又如何分配？ 若p1 / n1 = p2 / n2 , 则可以直接利用相对不公平度
若再增加一个名额 若 p1 / n1 > p2 / n2 , 对 A 不公平， i） 若 p1 /(n1 + 1) > p2 / n2 , 名额显然应该分配给 A
p2 (n1 + 1) 1 ii) 若 p1 /(n1 + 1) < p2 / n2 , rB (n1 + 1, n2 ) = p n 1 2 p1 (n2 + 1) iii) 若 p1 / n1 > p2 /( n2 + 1), rA (n1 , n2 + 1) = p n 1 2 1 rB ( n1 + 1, n2 ) < rA ( n1 , n2 + 1) 则这时应该把名额分配给 A
Alabama悖论： 当州数和各州人口比例不变时，议会 席位的增加反而导致某州的名额的减少。 总的名额增加一个，成为21个，那么这时各个 系的人数分别为103，63，34， 这时如果仍然按原来 Hamilton原则进行分配 10,6,4 10,7,3
丙：Why,为什么吃亏的总是我？
人口悖论： 当州数和议员名额不变时，各州的人口 有所增长，第 i 州的人口比第 j 州的人口增长率大， 但第 j 州的名额增加一个，第 i 州的名额减少一个
I = {1, 2,
, n}
s1 ∩ s2 =
v ( s1 ∪ s2 ) ≥ v ( s1 ) + v ( s2 )
∑x
i =1
n
i
= v( I )
xi ≥ v ( i ) , xn )
Φ( v ) = (1 ( v ),
, n ( v )) = ( x1 ,
s∈si
i (v ) = ∑ w( s )[v ( s ) v ( s \ i )]
州 人 名 口 数 A 623 B 377 按比例分 分配 州 人 配的名额 名额 名 口 数 2．492 2 A 623 1．508 2 B 377 C 200 按比例分 分配名额 配的名额 2．595 1．57 0.835 3 1 1
p = ( pi ), n = (ni ) 若 pi / ni 全部相等
103 20 × = 10.3 ;6.3 ;3.4 100 + 60 + 40
华盛顿时代的财政部长Hamilton就提出一种分配方案 （1790年），1792年被美国国会通过 i） 先让各州取得份额的整数部分 [qi ] ii)
ri = qi [ qi ] 按照从大到小的顺序排序，将余
下的名额逐个分配给各相应的州.
1．人口单调性 人口的增加不会导致它失去一个名额。 2．无偏性 每个州应该得到它应得的份额
（把自己的痛苦建立在别人的幸福之上，做赔本买卖） 3．名额的单调性 总名额的增加不会使得某州的名额减少
4．公平分摊性 任何州的名额不会偏离其比例份数。 5．接近份额性 不能从一个州到另外一个州的名额转让会使得这两个 州都接近它们应得的份额。 1982年，Balinsky，Young证明了名额分配的不可 能公理。也就是说这样的分配情况不存在。
州 人 名 口 数 A 420 B 455 C 125 按比例分 配的名额 1.26 1.365 0.375 分配 名额 1 1 1 人口增 长率% 2.38 14.29 20 人 口 数 430 520 150 按比例分 配的名额 1.17 1.42 0.41 分配 名额 1 2 0
新州悖论： 在州数增加一个，原有各州人口不变， 议员席位有所增加的情况下，有的州增加一个名额， 有的州减少一个名额。
∑n
k =1
s
k
=N
ni = pi N /(∑ pi )
i =1
n
某校共有3个系甲、乙、丙，人数分别为100、60、 40，学生会的构成总名额为20，很容易我们可以得 到分配方案。
100 = 10 ;6 ;4 20 × 100 + 60 + 40
如果丙系有六名学生分别转入其他两个系，那么 这时各个系的人数分别为103，63，34， 这时如果 仍然按原来的原则进行分配
w( s ) = ( n s )!( s 1)! n!
s v( s)
1
1∪ 2
1∪ 3
I
1 0 1 1 1/3
7 1 6 2 1/6 1
5 1 4 2 1/6 2/3Βιβλιοθήκη 10 4 6 3 1/3 2
v ( s \ 1)
v ( s ) v ( s \ 1)
s w( s )
w ( s )[v ( s ) v ( s \ 1)] 1/3
pi2 Qi = ni ( ni + 1)
增加的一席应该分配给该值较大的一方
州名 A B C D E F
人口数 9515 159 158 157 156 155
按比例分配的 名额 92.15 1.59 1.58 1.57 1.56 1.55
Q分配名额 90 2 2 2 2 2
能否找到一个对各个部分而言,都公正公平的分配 方案？
利益的合理分配
甲乙丙三人经商，若单干，每个人仅能获利1元；甲 乙合作可获利7元；甲丙合作可以获利5元；乙丙合作可 获利4元；三人合作时怎样合理地分配10元的收入
x1 + x2 + x3 = 10 x1 , x2 , x3 ≥ 1
x1 + x2 ≥ 7 x1 + x3 ≥ 5 x2 + x3 ≥ 4
p1 / n1 p2 / n2 表示名额分配不公平
p 相 对 公 平 A B C D 120 100 1020 1000
n 10 10 10 10
p/n 12 10 102 100
[p1/n1-p2/n2] 2 2
p1 / n1 p2 / n2 rA ( n1 , n2 ) = 称为对 A 的相对不公平度 p2 / n2