清华大学信号与系统课件第五章S域分析、极点与零点共54页
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信号与系统系统函数的零极点分析课件
极点影响系统噪声性能
极点的位置也会影响系统的噪声性能，极点靠近虚轴时，系统对噪声的抑制能力较强。
极点对系统稳定性的影响
实数极点影响系统稳定性
实数极点会使得系统函数在某点趋于无穷大，导致系统不稳 定。极点的位置决定了系统稳定的程度和响应速度。
复数极点影响系统稳定性
复数极点会影响系统的频率响应特性，进而影响系统的稳定 性。如果复数极点位于左半平面，则系统稳定；反之，位于 右半平面则不稳定。
零点与系统极点的关系
在复平面内，零点和极点可以影响系统的稳定性，极点的位置更为 关键。
稳定系统中的零点作用
在稳定的系统中，零点可以起到调节系统性能的作用，但不会改变 系统的稳定性。
零点对系统频率响应的影响
零点对低频响应的影响
某些零点的位置会影响系统的低频响应，可能导致低频增益降低 或相位滞后。
零点对高频响应的影响
傅里叶分析
将信号分解为不同频率的正弦波 和余弦波，研究信号的频谱特性 和系统的频率响应。
拉普拉斯变换
将时域函数转换为复平面上的函 数，通过分析系统的传递函数来 研究系统的稳定性、极点和零点 等特性。
Z变换
将离散时间序列转换为复平面上 的函数，通过分析系统的差分方 程来研究离散时间系统的特性。
系统函数与零极点
频率响应分析
零极点分布影响系统的频率响应特性，通过分析零极点 可以预测系统的频率合理设计系统的零极点，可以实现特定的系统性能 指标，如快速响应、低超调量等。
系统函数的零点分析
03
零点对系统性能的影响
零点位置影响系统性能
01
零点位置的不同会导致系统性能的差异，例如系统的幅频特性
极点的定义与性质
定义
极点是系统函数在复平面上具有无穷大 增益的点，即系统函数的分母为零的点。
极点的位置也会影响系统的噪声性能，极点靠近虚轴时，系统对噪声的抑制能力较强。
极点对系统稳定性的影响
实数极点影响系统稳定性
实数极点会使得系统函数在某点趋于无穷大，导致系统不稳 定。极点的位置决定了系统稳定的程度和响应速度。
复数极点影响系统稳定性
复数极点会影响系统的频率响应特性，进而影响系统的稳定 性。如果复数极点位于左半平面，则系统稳定；反之，位于 右半平面则不稳定。
零点与系统极点的关系
在复平面内，零点和极点可以影响系统的稳定性，极点的位置更为 关键。
稳定系统中的零点作用
在稳定的系统中，零点可以起到调节系统性能的作用，但不会改变 系统的稳定性。
零点对系统频率响应的影响
零点对低频响应的影响
某些零点的位置会影响系统的低频响应，可能导致低频增益降低 或相位滞后。
零点对高频响应的影响
傅里叶分析
将信号分解为不同频率的正弦波 和余弦波，研究信号的频谱特性 和系统的频率响应。
拉普拉斯变换
将时域函数转换为复平面上的函 数，通过分析系统的传递函数来 研究系统的稳定性、极点和零点 等特性。
Z变换
将离散时间序列转换为复平面上 的函数，通过分析系统的差分方 程来研究离散时间系统的特性。
系统函数与零极点
频率响应分析
零极点分布影响系统的频率响应特性，通过分析零极点 可以预测系统的频率合理设计系统的零极点，可以实现特定的系统性能 指标，如快速响应、低超调量等。
系统函数的零点分析
03
零点对系统性能的影响
零点位置影响系统性能
01
零点位置的不同会导致系统性能的差异，例如系统的幅频特性
极点的定义与性质
定义
极点是系统函数在复平面上具有无穷大 增益的点，即系统函数的分母为零的点。
连续时间信号与系统的S域分析课件
VS
频谱分析
在信号处理中，频谱分析是了解信号特性 的重要手段。通过s域分析，可以将时域 信号转换为频域信号，实现对信号的频谱 分析，了解信号的频率成分和功率分布等 特性。
THANKS.
系统的实现与仿真
控制系统硬件实现
根据系统设计要求，选择合适的硬件设备，如 传感器、执行器、控制器等，搭建控制系统。
控制系统软件实现
编写控制算法程序，实现控制系统的软件部分。
系统仿真
通过仿真软件对控制系统进行模拟实验，验证系统设计的正确性和有效性。
s域分析的用
05
在通信系统中的应用
信号传输
在通信系统中，信号经常需要经过长距离传输。在传输过程中，信号会受到各种 噪声和干扰的影响，导致信号质量下降。通过s域分析，可以对信号进行滤波、 均衡等处理，提高信号的抗干扰能力，保证信号的传输质量。
调制解调
在通信系统中，调制解调是实现信号传输的关键技术。通过s域分析，可以对信 号进行调制和解调，将低频信号转换为高频信号，或者将高频信号转换为低频信 号，实现信号的传输和接收。
在控制系统中的应用
系统稳定性分析
在控制系统中，系统的稳定性是非常重要的。通过s域分析，可以对系统的极点和零点进行分析，判断系统的稳 定性，以及系统对外部干扰的抑制能力。
稳定性分类
根据系统对输入信号的响应速度 和超调量，可以将系统的稳定性 分为渐近稳定、指数稳定和超调 稳定等类型。
系的s域
04
系统的状态空间表示
状态空间模型
描述系统的动态行为，包括状态方程和输出 方程。
输出方程
描述系统输出与状态变量和输入之间的关系。
状态方程
描述系统内部状态变量的变化规律。
信号与系统教案第5章连续系统的s域分析
04
连续系统的s域响应分析
初始状态下的s域响应
01
初始状态下的s域响应是指系统 在输入信号和初始状态共同作 用下的输出信号。
02
在s域中，系统的初始状态可以 表示为s的函数，即系统的初始 值。
03
通过求解线性常微分方程或传 递函数，可以得到系统在初始 状态下的s域响应。
零输入响应和零状态响应
零输入响应是指系统在没有输入信号作用下的自由响应，由系统的内部动 态特性决定。
通过分析极点和零点，可以预测系统在不同输入信号 下的行为，从而对系统进行优化和控制。
05
连续系统的s域设计方法
系统函数的合成与分解
线性时不变系统函数的合成
通过组合简单系统函数，构建复杂系统函数。
系统函数的分解
将复杂系统函数分解为简单系统函数的组合， 便于理解和分析。
传递函数表示法
利用传递函数表示系统函数，便于分析系统 的性能和稳定性。
硬件实现
根据系统函数的数学表达式，选择合适的硬件 平台实现系统函数。
软件实现
利用编程语言或仿真软件实现系统函数，并进 行仿真验证。
实验验证
通过实验测试，验证系统函数的正确性和性能指标的符合程度。
THANK YOU
感谢聆听
02
连续系统的s域分析基础
s域的基本概念
80%
s域
复平面上的一个区域，用于描述 线性时不变系统的传递函数。
100%
传递函数
描述系统输入与输出之间关系的 复数函数。
80%
系统函数
描述系统对不同频率输入信号的 响应。
s域分析的优点
方便数学处理
s域中的传递函数可以进行代 数运算和微积分，便于分析和 设计系统。
信号与线性系统分析第5章连续系统的s域分析 ppt课件
二、尺度变换
若f(t) ←→ F(s) , Re[s]>0，且有实数a>0 ，
则f(at) ←→ 1 F ( s )
aa
Re[s]>a0
ppt课件
18
例：如图信号f(t)的拉氏变换F(s) = es (1 es s es )
s2
求图中信号y(t)的拉氏变换Y(s)。
f(t)
解：
1
def
F(s)
f (t) est d t
0
def 1
f
(t)
2
j
j
F
j
(s)
e
st
d
s
(t
)
简记为F(s)=£[f(t)] f(t)=£ -1[F(s)]
或
f(t)←→ F(s)
象函数F(s)存在（即拉普拉斯积分式收敛）定理：
如因果函数f(t)满足：（1）在有限区间a<t<b内（其中
fT (t) est d t
2T T
fT (t) est d t .....
( n 1)T nT
fT (t) est d t
n0
令t t nT
e nsT
n0
T 0
fT
(t) est d t
1 1 esT
T 0
fT (t) est d t
特例：T(t) ←→ 1/(1 – e-sT)
ppt课件
8
二、收敛域
只有选择适当的值才能使积分收敛，信号f(t)的双 边拉普拉斯变换存在。
使 f(t)拉氏变换存在的的取值范围称为Fb(s)的 收敛域，记为ROC。
第五章 连续系统的s域分析
w
S ＋ w s S 2＋ w
2
0
R e s R e s
0 0
5.1 拉普拉斯变换
例5、求L[e (t )]
解： L[e (t )]
lim[e (t )e st ] 0
t
0
e (t )e dt e
st 0
st
1 st dt e s
S(复频)域~拉(普拉)斯变换 代数方程
简单的初等函数
相乘 Y(S) =Yzi(S) + Yzs(S) 为很多不满足绝对可 积的函数f (t)找到变换 域的分析方法。
st
3) 卷积
4) y(t) =yzi(t) + yzs(t) 5) 不满足绝对可积 条件的f (t)
S(复频)域分析法中基本变量为S = s +jw ， e 为基本信 号
0
确定收敛域的一般规律
2）周期信号及幅度稳定信号(只需少加衰减) s >s0 = 0 3）其增长速度比指数函数的衰减慢的信号 s > s0 = 0 如 f ( t ) t n lim t n e s t = 0 s s0 0
t
1）时限信号（能量有限信号）s0 = -(即全部S平面收敛)
例1 因果信号f1(t)= eat e(t) ，求其拉普拉斯变换。 解 F1b (s) 0 e e
at
st
e ( s a )t dt (s a )
0
1 [1 lim e (s a )t e jw t ] t (s a )
收敛轴
1 s a , Re[s ] s a 不定 ， s a 无界 ， s a 对于因果信号，当Re[s]=s>a时，
《信号与系统分析》课件第5章
该程序是通过改变信号向量和时间向量的对应关系 来进行自变量的变换的，以y1(n)=x(n-2)为例，将信号x(n) 向右移动2个单位就相当于把时间样本与信号样本的对应 位置向右移动2个单位，另外两个变换可以进行类似的处
各信号的波形如图5-10所示。
图 5-10 【例5-5】信号x(n)的波形变换
f1(n)=2(-1) n
f2
(n)
1 2
n
2. 序列形式即将f(n)表示成按n逐个递增的顺序排列的 一列有顺序的数。例如
序列下面的↑标记出n=0
序列形式有时也表示为另一种形式，即在大括号的 右下脚处标出第一个样值点对应的序号n的取值。这种表 示形式比较适合有始序列。例如
3. 图形形式 图形形式即信号的波形。例如上面f1(n)、f3(n)分别 如图5-1(a)、(b)
利用MATLAB的函数功能，同样可实现离散信号的
利用MATLAB可以实现有限区间上的δ(n)或δ(n-n0)，
function［x, n］=delta(n0, n1, n2) %generate delta(n-n0); n1<=n<=n2; n=n1:n2; x=［n==n0］; if nargout<1
图 5-1 离散信号的波形
5.1.2
1. 单位样值(Unit Sample)信号δ(n) (5-1)
δ(n)的波形如图5-2(a)所示。
图 5-2 δ(n)、δ(n-m)和δ(n+m)的波形
此序列只在n=0处取单位值1, 其余样点上都为零。 δ(n)也称为“单位取样”、“单位函数”、“单位脉冲” 或“单位冲激”。δ(n)对于离散系统分析的重要性，类 似于δ(t)对于连续系统分析的重要性，但δ(t)是一种广义 函数，可理解为在t=0处脉宽趋于零，幅度为无限大的 信号；而δ(n)则在n=0处具有确定值，其值等于1
第五章 连续系统的S域分析
Re[s ] = σ > σ 0 = 0
t e t ε (t ) 、 t ε (t )
增长比任何指数阶都快，所以不存在拉氏变换。
另外，要注意还有一类信号：时限信号
∫
∞
0
f (t ) e −σt dt
T1 T2
f (t )
f (t )
=∫
f (t ) e −σt dt < ∞
0
T1
(a )
T2
t
0
2
t
满足绝对可积的条件。
3
假设 f (t )e −σt 满足绝对可积条件，则
ℱ
[ f (t )e ] = ∫ f (t )e
−σ t ∞ −∞ ∞
−σ t
e − jω t dt
收敛
上述积分结果是 (σ + jω )的函数，令其为 Fb (σ + jω ) 即：
=∫
−∞
f (t )e − (σ + jω ) t dt
σ 的值使
∫
∞ −∞
f (t ) e − σ
e −σ t ,适当
t
当
t → ±∞ 时,
信号幅度趋于0，从而使其满足绝对可积的条件：
f (t )e −σ t dt < ∞
例如
f (t ) = e 2 t ε (t )
2t ∞
∫
∞
−∞
e ε (t )dt = ∫ e 2 t dt
0
不满足绝对可积的条件。 只要
......
......
(1)
(2)
Fb (s ) 称为 f (t )的双边拉氏变换（或象函数）；
f (t ) 称为Fb (s )的双边拉氏逆变换（或原函数）。
信号与系统第5章
s a n 1 s
n 1
... a 1 s a 0
若m≥n （假分式）,可用多项式除法将象函数F(s)分 解为有理多项式P(s)与有理真分式之和。
F (s) P (s)
第5-9页
■
B0 (s) A(s)
©南京信息工程大学滨江学院
信号与系统
F (s) s 8 s 25 s 31 s 15
5.3
拉普拉斯逆变换
直接利用定义式求反变换---复变函数积分，比较困难。 通常的方法 （1）查表:直接利用拉普拉斯逆变换表 （2）利用性质 （3） 部分分式展开 -----结合 若象函数F(s)是s的有理分式，可写为
F (s) bm s
n m
b m 1 s
m 1
.... b1 s b 0
F (s) 1 e
sT
sT
e
2 sT
e
3 sT
＋)
特例：T(t) ←→ 1/(1 – e-sT)
第5-5页
■
©南京信息工程大学滨江学院
信号与系统
5.2
拉普拉斯变换性质
四、复频移（s域平移）特性
若f(t) ←→F(s) , Re[s]>0 , 且有复常数sa=a+ja, 则f(t)esat ←→ F(s-sa) , Re[s]>0+a 例1:已知因果信号f(t) 的象函数F(s)=
第5-1页
■
©南京信息工程大学滨江学院
信号与系统
5.1
拉普拉斯变换
四、常见函数的拉普拉斯变换
1、(t) ←→1，> -∞
’(t) ←→s，> -∞
2、(t)或1 ←→1/s ，> 0 3、指数函数e-s0t ←→
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i 1
j
p1
z1
p0
z0
p2
z2
09.04.2020
课件
2
§5.1 由系统函数的极零点分布决定
时域特性 （1）时域特性——h(t) Ki与零点分布有关
m
k (s zj)
H (s)
j 1 n
(s pi)
i 1
反变换
h (t )
L
1
n
i1
s
ki pi
n
n
kie pit
hi (t )
• 临界稳定系统 Repi 0 等幅
• 稳定系统 Repi 0衰减
09.04.2020
课件
23
激励E(s)的极点影响
• 激励E(s)的极点也可能是复数
• 增幅，在稳定系统的作
用下稳下来，或与系统 Rep[k]0
某零点相抵消
• 等幅，稳态
Rep[k]0
• 衰减趋势，暂态
09.04.2020
课件
系统函数的定义
• 系统零状态下，响应的拉氏变换与激励 拉氏变换之比叫作系统函数，记作H(s).
H (s) R(s) E(s)
• 可以是电压传输比、电流传输比、转移 阻抗、转移导纳、策动点阻抗或导纳
09.04.2020
课件
1
系统函数的极零点分布
m
k (s z j)
H (s)
j 1 n
(s pi)
课件
多了相移
19
§5.2-1 自由响应与强迫响应
u
m
(szl) (szj)
R(s)E(s)H . (s)
l1 v
.
j1 n
(spk) (spi)
k1
i1
来自H(s) 的极点
n
R(s)
ki
v
kk
来自E(s)
i1spi k1spk 的极点
自由响应
n
v
r(t) kiepit kkepkt
09.04.2020
j
h(t)
ห้องสมุดไป่ตู้
0
t
1 H(s) S 2
09.04.2020
h(t) t
课件
11
（3） 有二重极点分布—— (b)在负实轴上有二重极点
j
h(t)
0
t
H(s)
(S
1
)2
09.04.2020
h(t)tet
课件
12
（3） 有二重极点分布—— (c)在虚轴上有二重极点
j
h(t)
0
t
2S
H(s)(S2 12)2
h(t)
0
0
t
p2
j1
H(s)(S)1212
09.04.2020
h(t)etsin 1t.u(t)
课件
9
（2） 几种典型的极点分布—— (g)共轭极点在右半平面
j
h(t)
j1 p1
0
0
t
j1 p 2
H(s)(S)1 212 h(t)sin 1t.u(t)
09.04.2020
课件
10
（3） 有二重极点分布—— (a)在原点有二重极点
09.04.2020
课件
21
本节作业
• 5-1，5-3，5-8，5-10， • 5-6*，5-9*，5-11* ， • 5-13，
09.04.2020
课件
22
§5.2- 暂态响应与稳态响应
• 系统H(s)的极点一般是复数，讨论它们 实部和虚部对研究系统的稳定性很重要
• 不稳定系统 Repi0增幅
零点移动
z0
到原点
z0
h(t) eat
1
a
2
cos(t
)
h(t)eatcost
tg1( a)
09.04.2020
课件
18
（4） 零点的影响
• 零点的分布只影响时域函数的幅度 和相移，不影响振荡频率
h(t)eatcost
幅度多了
一个因子
h(t) eat
1
a
2
cos(t
)
tg1( a)
09.04.2020
09.04.2020
S 2
2
1课件
7
（2） 几种典型的极点分布——
(e)共轭极点在虚轴上，原点有一零点
j
p1 j1
h(t)
0
0
t
p 2 j1
H(s) S
h(t)co 1ts.u(t)
09.04.2020
S 2
2
1 课件
8
（2） 几种典型的极点分布——
(f)共轭极点在左半平面
j
p1
j1
Rep[k]0
24
例：周期矩形脉冲输入下图电路，求其暂态和稳 态响应。
e(t)
e(t) R
t
C
v0 (t)
T
（1）求e(t)的拉氏变换
E(s)1 s(1es)n 0esn T1 s((1 1 e e ssT ))
09.04.2020
课件
25
（2）求系统函数H(s)
j
H(s)
1 Cs
1 RC
16
极点影响小结：
• 极点落在左半平面— h(t) 逞衰减趋 势
• 极点落在右半平面— h(t)逞增长趣 势
• 极点落在虚轴上只有一阶极点— h(t) 等幅振荡，不能有重极点
• 极点落在原点— h(t)等于 u(t)
09.04.2020
课件
17
（4） 零点的影响
H1(s)(ssa )2a2
s
H2(s)(sa)22
i 1
i 1
09.04.2020
总特性
课件
第 i个极点决定
3
（2） 几种典型的极点分布—— (a)一阶极点在原点
j
h(t)
0 p1 t
H (s) 1 S
09.04.2020
h(t)u(t)
课件
4
（2） 几种典型的极点分布—— (b)一阶极点在负实轴
j
0
p1
h(t)
e t
t
H(s) 1
S
h(t) et
h(t)tsin1t
09.04.2020
课件
13
（3） 有二重极点分布——
(d)在左半平面有二重共轭极点
j
j1
h(t)
0
t
j1
H(s) [
2(S) S ( )212]2
h(t)tetsin1t
09.04.2020
课件
14
j
一阶极点
09.04.2020
课件
15
j
二重极点
09.04.2020
课件
09.04.2020
课件
5
（2） 几种典型的极点分布—— (c)一阶极点在正实轴
j
0
p1
h(t)
0
et t
H(s) 1
S
h(t) et
09.04.2020
课件
6
（2） 几种典型的极点分布——
(d)一阶共轭极点在虚轴上
j
p1 j1
h(t)
0
0
t
p 2 j1
H(s) 1
h(t)sin 1t.u(t)
固定常数 v0t(t)11 eeT.et
i1 课件 k1
强迫响应
20
结论
• H(s)的极点决定了自由响应的振荡频率， 与激励无关
• 自由响应的幅度和相位与H(s)和E(s)的零 点有关，即零点影响 K i , K k 系数
• E(s)的极点决定了强迫响应的振荡频率， 与H(s) 无关
• 用H(s)只能研究零状态响应， H(s)中零 极点相消将使某固有频率丢失。
R 1
s
Cs
（3）求系统完全响应的拉氏变换V0 (s)
V 0(s)E (s)H .(s)s(s ( 1 )1 e ( se)sT )
V0 (s)V 0t(s)V 0s(s)
09.04.2020
暂态 课件 稳态
26
（4）求暂态响应，它在整个过程中是一样的。
V0t
(s)
K1
s
K1V0(s)(s)s11eeT