2020年高考数学阅卷体会专项模拟讲义总复习
2020届江苏高考数学(理)总复习讲义:点、线、面之间的位置关系

••>必过数材美1. 平面的基本性质(1) 公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内.(2) 公理2:如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线.(3) 公理3:经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面.2. 空间中两直线的位置关系(1) 空间中两直线的位置关系共面直线.异面直线:不同在任何一个平面内(2) 异面直线所成的角①定义:设a, b是两条异面直线,经过空间任一点0,作直线a'// a, b'// b,把a' 与b'所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角.②范围:0, n.(3) 公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行.(4) 定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等.[小题体验]1. _________________________________________________ "点P在直线m 上, m在平面a内”可表示为 ____________________________________________________ .解析:点在直线上用,直线在平面上用“?”.答案:P€ m, m? a2.平面aA 3= l,点A € a,点B € a,且C? l, C € 3,又AB A l= R,如图所示,过A,B, C三点确定的平面为Y贝U 3A = _________ .解析:由已知条件可知,C € Y AB n 1= R, AB? Y所以R€ Y又因为C, R€ ®故阳丫 =CR.答案:CR3•以下四个命题中,正确命题的个数是_____________ .①不共面的四点中,其中任意三点不共线;②若点A, B, C, D共面,点A, B, C, E共面,则A, B, C, D, E共面;③若直线a, b共面,直线a, c共面,则直线b, c共面;④依次首尾相接的四条线段必共面.解析:①显然是正确的,可用反证法证明;②中若A, B, C三点共线,则A, B, C, D , E五点不一定共面;③构造长方体或正方体,如图,显然b, c异面,故不正确;④中空间四边形中四条线段不共面•故正确的个数为1.答案:11 •异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”,实质上两异面直线不能确定任何一个平面,因此异面直线既不平行,也不相交.2 •直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”.3•不共线的三点确定一个平面,一定不能丢掉“不共线”条件.[小题纠偏]1 • (2019南京名校联考)已知直线a和平面a , an 3=l, a? a, a? 且a在a, B内的射影分别为直线b和c ,则直线b和c的位置关系是 ____________ •解析:依题意,直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面.答案:相交、平行或异面2. ___________________________________________ 在下列四个命题中,正确命题的个数为•① a , b是异面直线,则存在分别过 a , b的平面a, B,使a// B;② a , b是异面直线,则存在分别过 a , b的平面a, B,使a丄B;③ a , b是异面直线,若直线 c , d分别与a , b都相交,则c, d也是异面直线;④ a , b是异面直线,则存在平面a过a且与b垂直.解析:因为a , b是异面直线,所以可以作出两个平面a, B分别过a , b,并使a// B,所以①正确;因为 a , b是异面直线,所以存在两个互相垂直的平面分别过 a , b,所以②正确;因为a , b是异面直线,若直线c , d与a , b分别都相交,则c , d相交或异面,所以③ 不正确;因为a , b是异面直线,若 a , b垂直,则存在平面a过a且与b垂直,若a , b不垂直,则不存在平面a 过a且与b垂直,④不正确.答案:23•四条线段顺次首尾相连,它们最多可确定的平面个数有______________ 个.解析:首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面,所以最多可以确定4个平面.答案:4考点一平面的基本性质及应用基础送分型考点——自主练透[题组练透]1如图所示,在正方体ABCD-A i B i C i D i中,E, F分别是AB,AA i的中点•求证:⑴E, C, D i, F四点共面;(2)CE , D i F , DA 三线共点.证明:(i)如图,连结EF , A i B, CD i.因为E, F分别是AB, AA i的中点,所以EF // A i B.又A i B / CD i,所以EF // CD i,所以E, C, D i, F四点共面.(2)因为EF // CD i, EF V CD i,所以CE与D i F必相交,设交点为P,则由P€ CE , CE?平面ABCD , 得P €平面ABCD .同理P€平面ADD i A i.又平面ABCD门平面ADD i A i= DA ,所以P€直线DA.所以CE , D i F , DA三线共点.2.如图,在四边形ABCD中,已知AB // CD,直线AB , BC , AD , DC分别与平面a相交于点E , G , H, F ,求证:E , F , G , H 四点必定共线.证明:因为AB// CD,所以AB , CD确定一个平面3 又因为AB A a= E , AB? 3,所以 E € a, E € B,即E为平面a与B的一个公共点.同理可证F, G, H均为平面a与B的公共点,因为两个平面有公共点,它们有且只有一条通过公共点的公共直线, 所以E,F,G,H四点必定共线.[谨记通法]1.证明点共线问题的常用方法公理法先找出两个平面,然后证明这些点都是这两个平面的公共点,再根据公理这些点都在交线上3证明同一法选择其中两点确疋一条直线,然后证明其余点也在该直线上2. 证明线共点问题的常用方法先证两条直线交于一点,再证明第三条直线经过该点.3. 证明点、直线共面问题的常用方法纳入平面法先确定一个平面,再证明有关点、线在此平面内辅助平面法先证明有关的点、线确定平面a,再证明其余兀素确定平面面a, B重合B,最后证明平考点二空间两直线的位置关系重点保分型考点一一师生共研[典例引领]如图,在正方体ABCD -A i B i C i D i中,M , N分别为棱CQ i, C i C的中点,有以下四个结论:①直线AM与CC i是相交直线;②直线AM与BN是平行直线;③直线BN与MB i是异面直线;④直线AM与DD i是异面直线.其中正确的结论的序号为 _________ .解析:直线AM与CC i是异面直线,直线AM与BN也是异面直线,所以①②错误.点B, B i, N 在平面BB i C i C中,点M在此平面外,所以BN , MB i是异面直线•同理AM , DD i也是异面直线.1.上面例题中正方体 ABCD-A i B i C i D i 的棱所在直线中与直线________ 条.解析:与AB 异面的有4条:CC i , DD i , A 1D 1, B i C i .答案:42.在图中,G , N , M , H 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH ,解析:图①中,直线 GH // MN ;图②中,G , H , N 三点共面,但 M ?平面GHN ,因 此直线GH 与MN 异面;图③中,连结MG , GM // HN ,因此GH 与MN 共面;图④中,G , M , N 共面,但 H ?平面GMN ,因此 GH 与MN 异面.所以在图②④中, GH 与MN 异面.答案:②④考点三异面直线的证明重点保分型考点一一师生共研[典例引领]如图,已知不共面的三条直线 a , b , c 相交于点P , A € a , B € a , C € b, D € c ,求证:AD 与BC 是异面直线.证明:法一:(反证法)假设AD 和BC 共面,所确定的平面为 a,那么点P , A , B , C , D 都在平面a 内,答案:③④空间两直线位置关系可构 造几 何模AB 是异面直线的有[由题悟法]方法" [即时应用]所以直线a, b, c都在平面a内,与已知条件a, b, c不共面矛盾,假设不成立,所以AD和BC是异面直线.法二:(直接证法)因为a n c= P, 所以它们确定一个平面,设为a由已知C?平面a B €平面a, 则BC ?平面a,又AD ?平面a, B?AD ,所以AD和BC是异面直线.[由题悟法]证明直线异面通常用反证法,证明两直线不可能平行、相交或证明两直线不可能共面, 从而可得两直线异面.有时也可以用直接法证明.[即时应用]如图所示,正方体ABCD-A I B I C I D I中,M ,的中点.问:(1) AM和CN是否是异面直线?说明理由;(2) D i B和CC i是否是异面直线?说明理由.解:(1)AM与CN不是异面直线.理由如下:连结MN , A1C1, AC.因为M , N分别是A1B1, B1C1的中点,所以MN // A1C1.又因为A1A // C1C, A1A= C1C,所以四边形A1ACC1为平行四边形,所以A1C1// AC,所以MN // AC,A B所以A, M , N , C在同一平面内,故AM和CN不是异面直线.⑵D1B与CC1是异面直线•证明如下:因为ABCD-A1B1C1D1是正方体,所以B, C, C1, D1不共面.假设D1B与CC1不是异面直线,则存在平面a,使D1B ?平面a, CC1?平面a ,所以D1 , B , C , C1 € a,与ABCD-A1B1 G|D 1是正方体矛盾.所以假设不成立,即D1B与CC1是异面直线.一抓基础,多练小题做到眼疾手快 1.设P 表示一个点,a , b 表示两条直线,其中正确命题的序号是.① P € a , P € a ? a ? a ; ②a n b = P , b ? 3? a ? 3; ③a // b , a ? a, P € b , P € a ? b ? ④ an 3= b , P € a, P € 3? P € b.答案:③④2. (2018高邮期中)给出以下说法: ① 不共面的四点中,任意三点不共线; ② 有三个不同公共点的两个平面重合; ③ 没有公共点的两条直线是异面直线;④ 分别和两条异面直线都相交的两条直线异面;⑤ 一条直线和两条异面直线都相交,则它们可以确定两个平面. 其中正确结论的序号是 __________ .解析:在①中,不共面的四点中,任意三点不共线是正确命题,可以用反证法证明: 若其中任意三点共线,则四点必共面,故①正确;在②中,有三个不同公共点的两个平面重合或相交,故②错误; 在③中,没有公共点的两条直线是异面直线或平行直线,故③错误; 在④中,分别和两条异面直线都相交的两条直线异面或共面,故④错误;在⑤中,一条直线和两条异面直线都相交,则由两条相交线能确定一个平面得它们可 以确定两个平面,故⑤正确.答案:①⑤3. _________________________________________________________________________ 若平面a B 相交,在a, B 内各取两点,这四点都不在交线上, 这四点能确定 ___________________ 个平面.解析:如果这四点在同一平面内,那么确定一个平面;如果这四点不共面,则任意三 点可确定一个平面,所以可确定四个.答案:1或4 4.如图,平行六面体 ABCD -A i B i C i D i 中,既与AB 共面又与CC i '共面的棱有 _________ 条.“伤CZI 0 □ 1=1欝雇窗月空躡宓购懺尿鎚a, B 表示两个平面,给出下列四个命题,冲B解析:依题意,与AB和CC i都相交的棱有BC;与AB相交且与CC i平行有棱AA i,BB仁与AB平行且与CC i相交的棱有CD, C1D1.故符合条件的有5 条.答案:55.设a, b, c是空间中的三条直线,下面给出四个命题:①若 a // b, b// c,贝U a// c;②若a丄b, b±c,贝U a// c;③若a与b相交,b与c相交,则a与c相交;④若a?平面a, b?平面3,则a, b 一定是异面直线.上述命题中正确的命题是 _____ (写出所有正确命题的序号).解析:由公理4知①正确;当a丄b, b丄c时,a与c可以相交、平行或异面,故②错;当a 与b相交,b与c相交时,a与c可以相交、平行,也可以异面,故③错;a? a, b? 3并不能说明a与b "不同在任何一个平面内”,故④错.答案:①二保咼考,全练题型做到咼考达标1.已知A, B, C, D是空间四点,命题甲:A, B, C, D四点不共面,命题乙:直线AC和BD不相交,则甲是乙成立的________ 条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”).解析:若A, B, C, D四点不共面,则直线AC和BD不共面,所以AC和BD不相交;若直线AC和BD不相交,若直线AC和BD平行时,A, B, C, D四点共面,所以甲是乙成立的充分不必要条件.答案:充分不必要2. (2019常州一中检测)如图,在长方体ABCD -A i B i C i D i中,点E , F分别为B i O和C i O的中点,长方体的各棱中,与EF平行的有______ 条.解析:•/ EF是厶OB i C i的中位线,••• EF // B i C i.••• B i C i / BC // AD // A i D i,二与EF 平行的棱共有4 条.答案:43. ___________________________________ 下列命题中,真命题的个数为.①如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点,那么这两个平面重合;②两条直线可以确定一个平面;③空间中,相交于同一点的三条直线在同一平面内;④若M € a, M € 3 aA 3= l,贝U M € l.解析:根据公理3,可判断①是真命题;两条异面直线不能确定一个平面,故②是假命题;在空间,相交于同一点的三条直线不一定共面(如墙角),故③是假命题;根据平面的性质可知④是真命题.综上,真命题的个数为 2.答案:24. 已知I, m, n为两两垂直的三条异面直线,过I作平面a与直线m垂直,则直线n与平面a的关系是__________ .解析:因为I? a,且I与n异面,所以n?a,又因为m丄a, n丄m,所以n // a. 答案:n// a5. 如图所示,在空间四边形ABCD中,点E , H分别是边AB ,CF CG 2 …AD的中点,点F , G分别是边BC , CD上的点,且—=—=§,则下列说法正确的是_______ (填序号).①EF与GH平行;②EF与GH异面;③EF与GH的交点M可能在直线AC上,也可能不在直线AC 上;④EF与GH的交点M —定在直线AC 上.解析:连结EH , FG ,如图所示. 依题意,可得EH // BD, FG// BD , 故EH // FG,所以E, F , G, H共面.1 2因为EH = 2BD , FG = 3BD, 故EH 工FG ,所以EFGH是梯形,EF与GH必相交,设交点为M.因为点M在EF上, 故点M在平面ACB上.同理,点M在平面ACD上, 所以点M是平面ACB与平面ACD 的交点,又AC是这两个平面的交线,所以点M —定在直线AC 上.答案:④6. 如图为正方体表面的一种展开图,则图中的四条线段AB,CD , EF , GH在原正方体中互为异面直线的对数为___________ 对.解析:平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化,则AB , CD , EF和GH在原正方体中,显然AB与CD, EF与GH ,AB与GH都是异面直线,而AB与EF相交,CD与GH相交,CD与EF平行.故互为异面的直线有且只有3对.答案:37. 如图是正四面体的平面展开图,G , H , M , N分别为DE ,B H E N CBE , EF , EC的中点,在这个正四面体中,①GH与EF平行;②BD与MN为异面直线;③GH与MN成60°角;④DE与MN垂直.以上四个命题中,正确命题的序号是___________ .解析:还原成正四面体知GH与EF为异面直线,BD与MN为异面直线,GH与MN 成60°角,DE丄MN .答案:②③④8. (2019通州月考)如图所示,在正方体ABCD -A1B1C1D1中,E,F , G, H分别是棱CC1, C1D1, D1D , CD的中点,N是BC的中点,点M在四边形EFGH及其内部运动,则M满足______________ 时,有MN//平面B1BDD1.解析:•/ HN // DB , FH // D1D,•••平面FHN //平面B1BDD1.•••点M在四边形EFGH及其内部运动,故M € FH .答案:M在线段FH上9. (2018南师附中检测)如图,E, F分别是长方体ABCD-A1B1C1D1的棱A1A, C1C的中点•求证:四边形B1EDF是平行四边形.A R证明:设Q是DD1的中点,连结E Q, Q C1,如图.因为E是AA1的中点,Q是DD1的中点,所以E Q綊A1D1.又A1D1 綊B1C1,所以E Q綊B1C1,所以四边形EQC1B1为平行四边形,所以B1E綊6Q又Q, F分别是D1D,C1C的中点,所以Q D綊C1F,所以四边形D Q C1F为平行四边形,所以C1Q綊DF.故B i E 綊DF ,所以四边形 B i EDF 是平行四边形. 10.如图所示,四边形 ABEF 和四边形 ABCD 都是直角梯形, 1 1 / BAD =Z FAB = 90 ° BC // AD , BC = Q AD , BE // FA , BE = ~FA , G , H 分别为FA , FD 的中点. (1) 证明:四边形 BCHG 是平行四边形; (2) C , D , F , E 四点是否共面?为什么?说明理由. 解:⑴证明:因为 G , H 分别为FA , FD 的中点, 1 所以 GH // AD , GH = 2AD. 1 又 BC // AD , BC = Q AD , 所以GH 綊BC ,所以四边形 BCHG 为平行四边形. 1 ⑵四点共面,理由如下:由 BE // FA , BE = Q FA , G 为FA 的中点知,BE // FG , BE =FG , 所以四边形BEFG 为平行四边形,所以 EF // BG. 由(1)知BG // CH ,所以EF // CH ,所以EF 与CH 共面. 又D € FH ,所以C , D , F , E 四点共面. 三上台阶,自主选做志在冲刺名校时,EH // FG 且EH = FG .当 将□时,EH // FG ,但EH 工FG ,所以①②③正确,只有④错 误. 答案:①②③ 2. 在正方体 ABCD-A i B i C i D i 中,E , F 分别为棱 AA Q , CC i 的中点,则在空间中与三 条直线A i D i , EF , CD 都相交的直线有 ___________ 条.1.如图所示,设 E , F , G , H 依次是空间四边形 ABCD 边AB , AE AH BC , CD , DA 上除端点外的点, —=A D =人CB CD 论中正确的是 (填序号). ①当 入= 卩时, 四边形 EFG H ②当 卩时, 四边形 EFG H ③当 卩时, 四边形 EFG H ④当 入= 卩时, 四边形 EFG H 由AB = AD =入得EH // BD ,且BD =入同理得FG / BD 且BD D 是平行四边形; 是梯形; 定不是平行四边形; 是梯形.解析:CF CG 卩,则下列结解析:如图,在A1D1上任取一点P,过点P与直线EF作一个平面a,因为CD与平面a不平行,所以它们相交,设aP CD = Q连结P Q则P Q与EF必然相交, 即P Q为所求直线.由点P的任意性,知有无数条直线与A1D1, EF , CD都相交.答案:无数3•如图所示,三棱柱ABC -A1B1C1,底面是边长为2的正三角形,侧棱A I A丄底面ABC,点E, F分别是棱CC i, BB1上的点,点M是线段AC上的动点,EC = 2FB = 2.(1)当点M在何位置时,BM //平面AEF?⑵若BM //平面AEF ,判断BM与EF的位置关系,说明理由;并求BM与EF所成的角的余弦值.解:⑴法一:如图所示,取AE的中点0,连结OF,过点0作0M丄AC于点M.因为侧棱A I A丄底面ABC ,所以侧面A1ACC1X底面ABC.又因为EC = 2FB = 2,1所以0M // FB // EC 且0M = 2EC = FB ,所以四边形0MBF为矩形,BM // 0F.因为0F ?平面AEF , BM ?平面AEF ,故BM //平面AEF,此时点M为AC的中点.如图所示,取EC的中点P, AC的中点Q,连结P Q, PB, BQ155 -因为EC = 2FB = 2,所以PE綊BF ,所以P Q// AE, PB // EF ,所以P Q//平面AFE , PB //平面AEF , 因为PB P P Q= P, PB, P Q ?平面PB Q 所以平面PBQ//平面AEF .又因为B Q?平面PB Q所以B Q//平面AEF.故点Q即为所求的点M,此时点M为AC的中点.(2)由(1)知,BM与EF异面,/ 0FE (或/ MBP )就是异面直线BM与EF所成的角或其补角.易求AF = EF = 5 , MB = 0F = 3 , 0F 丄AE , 所以cos/ 0FE = 0F=^3=书,所以BM与EF所成的角的余弦值为155 -。
2020届高考数学一轮复习通用版讲义数列求和

第四节数列求和一、基础知识批注——理解深一点1.公式法(1)等差数列{a n }的前n 项和S n =n (a 1+a n )2=na 1+n (n -1)d2. 推导方法:倒序相加法.(2)等比数列{a n }的前n 项和S n =⎩⎪⎨⎪⎧na 1,q =1,a 1(1-q n )1-q ,q ≠1.推导方法:乘公比,错位相减法. (3)一些常见的数列的前n 项和: ①1+2+3+…+n =n (n +1)2; ②2+4+6+…+2n =n (n +1); ③1+3+5+…+2n -1=n 2. 2.几种数列求和的常用方法(1)分组转化求和法:一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的,则求和时可用分组求和法,分别求和后相加减.(2)裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得前n 项和.(3)错位相减法:如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么求这个数列的前n(4)倒序相加法:如果一个数列{a n }与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数,那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解.二、基础小题强化——功底牢一点(一)判一判(对的打“√”,错的打“×”)(1)如果数列{a n }为等比数列,且公比不等于1,则其前n 项和S n =a 1-a n +11-q.( ) (2)当n ≥2时,1n 2-1=12⎝⎛⎭⎫1n -1-1n +1.( )(3)求S n =a +2a 2+3a 2+…+na n 之和时,只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得.( )(4)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法,利用此法可求得sin 21°+sin 22°+sin 23°+…+sin 288°+sin 289°=44.5.( )答案:(1)√ (2)√ (3)× (4)√ (二)选一选1.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 3=9,S 5=25,则S 7=( ) A .41 B .48 C .49D .56解析:选C 设S n =An 2+Bn ,由题知⎩⎪⎨⎪⎧S 3=9A +3B =9,S 5=25A +5B =25,解得A =1,B =0,∴S 7=49.2.在数列{a n }中,a n =1n (n +1),若{a n }的前n 项和为2 0192 020,则项数n 为( )A .2 016B .2 017C .2 018D .2 019解析:选D 因为a n =1n (n +1)=1n -1n +1,所以S n =1-12+12-13+…+1n -1n +1=1-1n +1=n n +1=2 0192 020,所以n =2 019.3.数列{1+2n -1}的前n 项和为( )A .1+2nB .2+2nC .n +2n -1D .n +2+2n解析:选C 由题意得a n =1+2n -1, 所以S n =n +1-2n1-2=n +2n -1.(三)填一填4.数列{a n }的前n 项和为S n ,已知S n =1-2+3-4+…+(-1)n -1·n ,则S 17=________.解析:S 17=1-2+3-4+5-6+…+15-16+17=1+(-2+3)+(-4+5)+(-6+7)+…+(-14+15)+(-16+17)=1+1+1+…+1=9.答案:95.已知数列{a n }的通项公式为a n =⎩⎪⎨⎪⎧11-2n ,n ≤5,2n -11,n >5,则{a n }的前10项和S 10=________.解析:S 10=5×9+12×5×4×(-2)+5×1+12×5×4×2=50.答案:50方法一 分组转化法求和[典例] 已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2+n2,n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =2a n +(-1)n a n ,求数列{b n }的前2n 项和. [解] (1)当n =1时,a 1=S 1=1;当n ≥2时,a n =S n -S n -1=n 2+n 2-(n -1)2+(n -1)2=n .又a 1=1也满足a n =n ,故数列{a n }的通项公式为a n =n . (2)由(1)知a n =n ,故b n =2n +(-1)n n . 记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ,则T 2n =(21+22+…+22n )+(-1+2-3+4-…+2n ). 记A =21+22+…+22n ,B =-1+2-3+4-…+2n , 则A =2(1-22n )1-2=22n +1-2,B =(-1+2)+(-3+4)+…+[-(2n -1)+2n ]=n . 故数列{b n }的前2n 项和T 2n =A +B =22n +1+n -2.[解题技法]1.分组转化求和的通法数列求和应从通项入手,若无通项,则先求通项,然后通过对通项变形,转化为等差数列或等比数列或可求数列的前n 项和的数列求和.2.分组转化法求和的常见类型[题组训练]1.已知数列{a n }的通项公式是a n =2n -⎝⎛⎭⎫12n,则其前20项和为( )A .379+1220B .399+1220C .419+1220D .439+1220解析:选C 令数列{a n }的前n 项和为S n ,则S 20=a 1+a 2+a 3+…+a 20=2(1+2+3+…+20)-⎝⎛⎭⎫12+122+123+…+1220=420-⎝⎛⎭⎫1-1220=419+1220. 2.(2019·资阳诊断)已知数列{a n }中,a 1=a 2=1,a n +2=⎩⎪⎨⎪⎧a n +2,n 是奇数,2a n,n 是偶数,则数列{a n }的前20项和为( )A .1 121B .1 122C .1 123D .1 124解析:选C 由题意可知,数列{a 2n }是首项为1,公比为2的等比数列,数列{a 2n -1}是首项为1,公差为2的等差数列,故数列{a n }的前20项和为1×(1-210)1-2+10×1+10×92×2=1 123.选C.方法二 裂项相消法求和 考法(一) 形如a n =1n (n +k )型[典例] (2019·南宁摸底联考)已知等差数列{a n }满足a 3=7,a 5+a 7=26. (1)求等差数列{a n }的通项公式; (2)设c n =1a n a n +1,n ∈N *,求数列{c n }的前n 项和T n . [解] (1)设等差数列的公差为d ,则由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1+2d =7,2a 1+10d =26,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=3,d =2.所以a n =3+2(n -1)=2n +1. (2)因为c n =1a n a n +1=1(2n +1)(2n +3), 所以c n =12⎝⎛⎭⎫12n +1-12n +3,所以T n =12⎝⎛⎭⎫13-15+15-17+…+12n +1-12n +3=12⎝⎛⎭⎫13-12n +3=n 6n +9. 考法(二) 形如a n =1n +k +n型[典例] 已知函数f (x )=x α的图象过点(4,2),令a n =1f (n +1)+f (n ),n ∈N *.记数列{a n }的前n 项和为S n ,则S 2 019=( )A. 2 018-1B. 2 019-1C. 2 020-1D. 2 020+1[解析] 由f (4)=2可得4α=2,解得α=12,则f (x )=x 12. ∴a n =1f (n +1)+f (n )=1n +1+n=n +1-n ,S 2 019=a 1+a 2+a 3+…+a 2 019=(2-1)+(3-2)+(4-3)+…+( 2 019-2 018)+( 2 020- 2 019)= 2 020-1. [答案] C[解题技法]1.用裂项法求和的裂项原则及消项规律哪些项,避免遗漏.2.常见的拆项公式 (1)1n (n +1)=1n -1n +1; (2)1(2n -1)(2n +1)=12⎝⎛⎭⎫12n -1-12n +1;(3)1n +n +1=n +1-n ;(4)2n (2n -1)(2n +1-1)=12n -1-12n +1-1.分式差分最常见,指数根式来镶嵌; 取长补短巧改变,裂项求和公式算.[题组训练]1.(口诀第1、4句)在等差数列{a n }中,a 3+a 5+a 7=6,a 11=8,则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n +3·a n +4的前n 项和为( )A.n +1n +2B.nn +2C.n n +1D.2n n +1解析:选C 因为a 3+a 5+a 7=6, 所以3a 5=6,a 5=2,又a 11=8, 所以等差数列{a n }的公差d =a 11-a 511-5=1, 所以a n =a 5+(n -5)d =n -3, 所以1a n +3·a n +4=1n (n +1)=1n -1n +1,因此数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n +3·a n +4的前n 项和为1-12+12-13+…+1n -1n +1=1-1n +1=n n +1,故选C.2.(口诀第2、4句)各项均为正数的等比数列{a n }中,a 1=8,且2a 1,a 3,3a 2成等差数列. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)若数列{b n }满足b n =1n log 2a n,求{b n }的前n 项和S n .解:(1)设等比数列{a n }的公比为q (q >0). ∵2a 1,a 3,3a 2成等差数列,∴2a 3=2a 1+3a 2,即2a 1q 2=2a 1+3a 1q , ∴2q 2-3q -2=0,解得q =2或q =-12(舍去),∴a n =8×2n -1=2n +2.(2)由(1)可得b n =1n log 22n +2=1n (n +2)=12⎝⎛⎭⎫1n -1n +2, ∴S n =b 1+b 2+b 3+…+b n=12⎝⎛⎭⎫1-13+12-14+13-15+…+1n -1n +2 =12⎝⎛⎭⎫1+12-1n +1-1n +2 =34-12⎝⎛⎭⎫1n +1+1n +2 =34-2n +32(n +1)(n +2). 方法三 错位相减法求和[典例] (2017·山东高考)已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且a 1+a 2=6,a 1a 2=a 3. (1)求数列{a n }的通项公式;(2){b n }为各项非零的等差数列,其前n 项和为S n .已知S 2n +1=b n b n +1,求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的前n项和T n .[解] (1)设{a n }的公比为q ,由题意知:a 1(1+q )=6,a 21q =a 1q 2.又a n >0,解得a 1=2,q =2, 所以a n =2n . (2)由题意知, S 2n +1=(2n +1)(b 1+b 2n +1)2=(2n +1)b n +1,又S 2n +1=b n b n +1,b n +1≠0, 所以b n =2n +1.令c n =b na n,则c n =2n +12n ,因此T n =c 1+c 2+…+c n =32+522+723+…+2n -12n -1+2n +12n ,又12T n =322+523+724+…+2n -12n +2n +12n +1, 两式相减得12T n =32+⎝⎛⎭⎫12+122+…+12n -1-2n +12n +1=32+1-⎝⎛⎭⎫12n -1-2n +12n +1=52-2n +52n +1, 所以T n =5-2n +52n.[变透练清]1.(变结论)若本例中a n ,b n 不变,求数列{a n b n }的前n 项和T n . 解:由本例解析知a n =2n ,b n =2n +1, 故T n =3×21+5×22+7×23+…+(2n +1)×2n , 2T n =3×22+5×23+7×24+…+(2n +1)×2n +1,上述两式相减,得,-T n =3×2+2×22+2×23+…+2×2n -(2n +1)2n +1=6+8(1-2n -1)1-2-(2n +1)2n +1=(1-2n )2n +1-2得T n =(2n -1)×2n +1+2.2.已知{a n }为等差数列,前n 项和为S n (n ∈N *),{b n }是首项为2的等比数列,且公比大于0,b 2+b 3=12,b 3=a 4-2a 1,S 11=11b 4.(1)求{a n }和{b n }的通项公式; (2)求数列{a 2n b n }的前n 项和(n ∈N *).解:(1)设等差数列{a n}的公差为d,等比数列{b n}的公比为q.由已知b2+b3=12,得b1(q+q2)=12,而b1=2,所以q2+q-6=0.因为q>0,解得q=2,所以b n=2n.由b3=a4-2a1,可得3d-a1=8.①由S11=11b4,可得a1+5d=16.②联立①②,解得a1=1,d=3,由此可得a n=3n-2.所以{a n}的通项公式为a n=3n-2,{b n}的通项公式为b n=2n. (2)设数列{a2n b n}的前n项和为T n,由a2n=6n-2,有T n=4×2+10×22+16×23+…+(6n-2)×2n,2T n=4×22+10×23+16×24+…+(6n-8)×2n+(6n-2)×2n+1,上述两式相减,得-T n=4×2+6×22+6×23+…+6×2n-(6n-2)×2n+1=12×(1-2n)1-2-4-(6n-2)×2n+1=-(3n-4)2n+2-16,得T n=(3n-4)2n+2+16.所以数列{a2n b n}的前n项和为(3n-4)2n+2+16.[解题技法]错位相减法求和的4个步骤[易误提醒](1)两式相减时最后一项因为没有对应项而忘记变号.(2)对相减后的和式的结构认识模糊,错把中间的n-1项和当作n项和.(3)在应用错位相减法求和时,若等比数列的公比为参数,应分公比q=1和q≠1两种情况求解.[课时跟踪检测]A级——保大分专练1.数列{a n }的通项公式为a n =1n +n -1,若该数列的前k 项之和等于9,则k =( )A .80B .81C .79D .82解析:选B a n =1n +n -1=n -n -1,故S n =n ,令S k =k =9,解得k =81,故选B.2.若数列{a n }的通项公式是a n =(-1)n (3n -2),则a 1+a 2+…+a 10=( ) A .15 B .12 C .-12D .-15解析:选A a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6+a 7+a 8+a 9+a 10=-1+4-7+10-13+16-19+22-25+28=5×3=15,故选A.3.已知{a n }是首项为1的等比数列,S n 是{a n }的前n 项和,且9S 3=S 6,则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为( )A.158或5 B.3116或5C.3116D.158解析:选C 设{a n }的公比为q ,显然q ≠1,由题意得9(1-q 3)1-q =1-q 61-q ,所以1+q 3=9,得q =2,所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1,公比为12的等比数列,前5项和为1-⎝⎛⎭⎫1251-12=3116.4.在等差数列{a n }中,a 4=5,a 7=11.设b n =(-1)n ·a n ,则数列{b n }的前100项之和S 100=( )A .-200B .-100C .200D .100解析:选D 设数列{a n }的公差为d ,由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1+3d =5,a 1+6d =11⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1=-1,d =2⇒a n =2n -3⇒b n =(-1)n (2n -3)⇒S 100=(-a 1+a 2)+(-a 3+a 4)+…+(-a 99+a 100)=50×2=100,故选D.5.已知T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2n+12n 的前n 项和,若m >T 10+1 013恒成立,则整数m 的最小值为( )A .1 026B .1 025C .1 024D .1 023解析:选C ∵2n +12n =1+⎝⎛⎭⎫12n, ∴T n =n +1-12n ,∴T 10+1 013=11-1210+1 013=1 024-1210, 又m >T 10+1 013, ∴整数m 的最小值为1 024.6.已知数列:112,214,318,…,⎝⎛⎭⎫n +12n ,…,则其前n 项和关于n 的表达式为________. 解析:设所求的前n 项和为S n ,则S n =(1+2+3+…+n )+⎝⎛⎭⎫12+14+…+12n =n (n +1)2+12⎝⎛⎭⎫1-12n 1-12=n (n +1)2-12n +1. 答案:n (n +1)2-12n +1 7.(2017·全国卷Ⅱ)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 3=3,S 4=10,则∑k =1n1S k=________.解析:设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ a 1+2d =3,4a 1+6d =10,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=1,d =1,所以S n =n (n +1)2,1S n =2n (n +1)=2⎝⎛⎭⎫1n -1n +1, 因此∑k =1n 1S k =2⎝⎛⎭⎫1-12+12-13+…+1n -1n +1=2nn +1.答案:2nn +18.已知数列{a n }满足a 1=1,a n +1·a n =2n (n ∈N *),则S 2 018=________. 解析:∵数列{a n }满足a 1=1,a n +1·a n =2n ,① ∴n =1时,a 2=2,n ≥2时,a n ·a n -1=2n -1,②由①÷②得a n +1a n -1=2,∴数列{a n }的奇数项、偶数项分别成等比数列, ∴S 2 018=1-21 0091-2+2(1-21 009)1-2=3·21 009-3.答案:3·21 009-39.(2019·成都第一次诊断性检测)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 2=3,S 4=16,n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =1a n a n +1,求数列{b n }的前n 项和T n . 解:(1)设数列{a n }的公差为d ,∵a 2=3,S 4=16,∴a 1+d =3,4a 1+6d =16,解得a 1=1,d =2.∴a n =2n -1.(2)由题意知,b n =1(2n -1)(2n +1)=12⎝⎛⎭⎫12n -1-12n +1, ∴T n =b 1+b 2+…+b n=12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1-13+⎝⎛⎭⎫13-15+…+⎝⎛⎭⎫12n -1-12n +1=12⎝⎛⎭⎫1-12n +1 =n 2n +1. 10.(2018·南昌摸底调研)已知数列{a n }的前n 项和S n =2n +1-2,记b n =a n S n (n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项公式;(2)求数列{b n }的前n 项和T n .解:(1)∵S n =2n +1-2, ∴当n =1时,a 1=S 1=21+1-2=2; 当n ≥2时,a n =S n -S n -1=2n +1-2n =2n . 又a 1=2=21,∴a n =2n .(2)由(1)知,b n =a n S n =2·4n -2n +1, ∴T n =b 1+b 2+b 3+…+b n =2(41+42+43+…+4n )-(22+23+…+2n +1)=2×4(1-4n )1-4-4(1-2n )1-2=23·4n +1-2n +2+43. B 级——创高分自选 1.(2019·潍坊统一考试)若数列{a n }的前n 项和S n 满足S n =2a n -λ(λ>0,n ∈N *).(1)证明数列{a n }为等比数列,并求a n ;(2)若λ=4,b n =⎩⎪⎨⎪⎧a n ,n 为奇数,log 2a n ,n 为偶数(n ∈N *),求数列{b n }的前2n 项和T 2n . 解:(1)∵S n =2a n -λ,当n =1时,得a 1=λ,当n ≥2时,S n -1=2a n -1-λ,∴S n -S n -1=2a n -2a n -1,即a n =2a n -2a n -1,∴a n =2a n -1,∴数列{a n }是以λ为首项,2为公比的等比数列, ∴a n =λ·2n -1. (2)∵λ=4,∴a n =4·2n -1=2n +1, ∴b n =⎩⎪⎨⎪⎧2n +1,n 为奇数,n +1,n 为偶数, ∴T 2n =22+3+24+5+26+7+…+22n +2n +1 =(22+24+…+22n )+(3+5+…+2n +1) =4-4n ·41-4+n (3+2n +1)2 =4n +1-43+n (n +2), ∴T 2n =4n +13+n 2+2n -43. 2.已知首项为2的数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n +1=3S n -2S n -1(n ≥2,n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =n +1a n,求数列{b n }的前n 项和T n . 解:(1)因为S n +1=3S n -2S n -1(n ≥2), 所以S n +1-S n =2S n -2S n -1(n ≥2),即a n +1=2a n (n ≥2),所以a n +1=2n +1,则a n =2n ,当n =1时,也满足,故数列{a n }的通项公式为a n =2n .(2)因为b n =n +12n =(n +1)⎝⎛⎭⎫12n , 所以T n =2×12+3×⎝⎛⎭⎫122+4×⎝⎛⎭⎫123+…+(n +1)×⎝⎛⎭⎫12n ,① 12T n =2×⎝⎛⎭⎫122+3×⎝⎛⎭⎫123+4×⎝⎛⎭⎫124+…+n ×⎝⎛⎭⎫12n +(n +1)×⎝⎛⎭⎫12n +1,② ①-②得12T n =2×12+⎝⎛⎭⎫122+⎝⎛⎭⎫123+…+⎝⎛⎭⎫12n -(n +1)⎝⎛⎭⎫12n +1 =12+⎝⎛⎭⎫121+⎝⎛⎭⎫122+⎝⎛⎭⎫123+…+⎝⎛⎭⎫12n -(n +1)⎝⎛⎭⎫12n +1 =12+12⎣⎡⎦⎤1-⎝⎛⎭⎫12n 1-12-(n +1)⎝⎛⎭⎫12n +1=12+1-⎝⎛⎭⎫12n-(n+1)⎝⎛⎭⎫12n+1=32-n+32n+1.故数列{b n}的前n项和为T n=3-n+3 2n.。
2020版高三数学二轮复习(全国理)讲义:专题四 第一讲等差数列、等比数列

(2)求Sn.并求Sn的最小值.
[解析](1)设等差数列{an}的公差为d.由题意得3a1+3d=-15.
由a1=-7得d=2.
所以{an}的通项公式为an=2n-9.
(2)由(1)得Sn=n2-8n=(n-4)2-16.
所以当n=4时.Sn取得最小值.最小值为-16.
例1 (1)已知等比数列{an}的前n项和为Sn.a1+a3=30.S4=120.设bn=1+log3an.那么数列{bn}的前15项和为( B )
6.(20xx·全国卷Ⅰ.14)记Sn为数列 的前n项和.若Sn=2an+1.则S6=-63..
[解析]依题意. 作差得an+1=2an.
所以数列{an}是公比为2的等比数列.
又因为a1=S1=2a1+1.
所以a1=-1.所以an=-2n-1.
所以S6= =-63.
7.(20xx·全国卷Ⅱ.16)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知a1=-7.S3=-15.
A.1B.2
C.4D.8
[解析]设{an}的公差为d.则由
得
解得d=4.
故选C.
4.(20xx·全国卷Ⅲ.9)等差数列{an}的首项为1.公差不为0.若a2.a3.a6成等比数列.则{an}的前6项和为( A )
A.-24B.-3
C.3D.8
[解析]由已知条件可得a1=1.d≠0.
由a =a2a6可得(1+2d)2=(1+d)(1+5d).
(3)注意整体思想.如在与等比数列前n项和有关的计算中.两式相除就是常用的计算方法.整体运算可以有效简化运算.
G
1.(20xx·邵阳模拟)等比数列{an}的前n项和为Sn.已知a2a3=2a1.且a4与2a7的等差中项为 .则S5=( B )
2020届高考数学(理)一轮复习讲义7.2均值不等式及其应用

§7.2均值不等式及其应用最新考纲考情考向剖析1.认识基本不等式的证明过程 . 主要考察利用基本不等式求最值.常与函数、解析几何、不等式相联合考察,作为求最值的方2.会用基本不等式解决简单的最大(小 )值问题 .法,常在函数、分析几何、不等式的解答题中考察,难度为中档 .a+ b1.均值不等式:ab≤2(1)均值不等式成立的条件:a>0, b>0.(2)等号成立的条件:当且仅当a= b 时取等号 .2.几个重要的不等式(1)a2+ b2≥ 2ab(a, b∈R ).b a(2)a+b≥ 2(a, b 同号 ).a+ b 2(3)ab≤( a,b∈ R).(4) a2+ b2 a+ b 2(a, b∈ R ).≥22以上不等式等号成立的条件均为a=b.3.算术均匀数与几何均匀数设 a>0, b>0,则 a, b 的算术均匀值为a+b,几何均匀值为ab,均值不等式可表达为两个2正实数的算术均匀值大于或等于它们的几何均匀值.4.利用均值不等式求最值问题已知 x>0, y>0,则(1)假如积 xy 是定值 p,那么当且仅当x=y 时, x+ y 有最小值2 p.(简记:积定和最小 )p2(2)假如和 x+y 是定值 p,那么当且仅当x= y 时, xy 有最大值4 .(简记:和定积最大 )概念方法微思考1.若两个正数的和为定值,则这两个正数的积必定有最大值吗?提示不必定 .若这两个正数能相等,则这两个数的积必定有最大值;若这两个正数不相等,则这两个正数的积无最大值.12.函数 y = x + x 的最小值是 2 吗?提示不是 .由于函数y = x + 1x 的定义域是{ x|x ≠ 0} ,当 x<0时, y<0 ,所以函数y = x + 1x 无最小值 .题组一 思虑辨析1.判断以下结论能否正确 (请在括号中打“√”或“×”) 4 , x ∈ π的最小值等于 4.( × )(1)函数 f(x) = cos x + cos x0, 2(2)“ x>0 且 y>0 ”是“ x + y≥ 2”的充要条件 .( × )y x(3)( a + b)2 ≥4ab(a , b ∈R ).( √ )(4)若 a>0 ,则 a 3+ 12的最小值为 2a.( × )a(5)不等式 a 2+ b 2≥2ab 与a +b≥ ab 有同样的成立条件 .( × )2(6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.( √ ) 题组二教材改编2.设 x>0, y>0,且 x + y = 18,则 xy 的最大值为 ( )A.80B.77C.81D.82答案 C∵ x>0, y>0, ∴ x + yxy ,分析 2 ≥即 xy ≤x + y2= 81, 2 当且仅当 x = y =9 时, (xy)max = 81.3.若把总长为 20 m 的篱笆围成一个矩形场所,则矩形场所的最大面积是________ m 2.答案25分析设矩形的一边为 x m ,面积为 y m 2,则另一边为 12× (20- 2x)= (10- x)m ,此中 0<x<10 ,∴y = x(10-x)≤x +10- x2=25, 2当且仅当 x = 10- x ,即 x =5 时, y max =25.题组三 易错自纠4.“ x>0”是“ x + 1≥ 2 成立”的 ( )xA. 充分不用要条件B. 必需不充分条件C.充要条件D.既不充分也不用要条件答案 C分析11当 x>0 时, x + ≥ 2x ·= 2.xx11 1 1 成立 ” 的充要条件,由于 x , 同号,所以若 x +x ≥2,则 x>0 , >0,所以 “x>0 ” 是 “x +≥ 2xxx应选 C.5.若函数 f(x)= x + 1(x>2) 在 x = a 处取最小值,则 a 等于 ( )x - 2A.1 + 2B.1+ 3C.3D.4答案 C分析 当 x>2 时, x - 2>0 ,f(x)= (x - 2)+ 1+ 2≥ 2x - 2 × 1+ 2= 4,当且仅当 x -2x - 2 x - 21= x - 2( x>2) ,即 x = 3 时取等号,即当f(x) 获得最小值时, x = 3,即 a = 3,应选 C.6.若正数 x , y 知足 3x + y = 5xy ,则 4x + 3y 的最小值是 ( )A.2B.3C.4D.5答案 D3x +y 31分析 由 3x + y =5xy ,得xy = y + x =5,1 31所以 4x + 3y = (4x + 3y) ·+5 yx=13y +12x5 4+9+ xy 1≥5(4+ 9+ 2 36)= 5,当且仅当3y = 12x,即 y = 2x 时, “ =” 成立,xy故 4x + 3y 的最小值为 5.应选 D.题型一利用均值不等式求最值命题点 1 配凑法例 1 (1) 已知 0<x<1,则 x(4- 3x)获得最大值时 x 的值为 ________.答案231分析x(4- 3x)= 3·(3x)(4 - 3x)≤1 3x +4-3x2=4,·233当且仅当 3x = 4- 3x ,即 x =23时,取等号 .x 2 + 2(2)函数 y = x - 1 (x>1) 的最小值为 ________. 答案 2 3+2分析 ∵ x>1, ∴x - 1>0 ,∴ y = x 2 + 2 x 2- 2x + 1 + 2x - 2 + 3 =x - 1x - 1=x - 1 2+ 2 x - 1 + 3 x - 1= (x - 1)+ 3+ 2≥ 2 3+ 2. x- 1当且仅当 x - 1=3,即 x = 3+ 1 时,等号成立 . x - 1命题点 2 常数代换法例 2 (2019 ·大连模拟 )已知首项与公比相等的等比数列 { a n } 中,知足 22a m a n =a 4(m , n ∈N +),则 2+1的最小值为 () m n39A.1B. 2C.2D. 2答案 A分析 由题意可得, a 1= q ,22∵ a m a n = a 4,∴ a 1·q m -1·(a 1·q n -1 )2= (a 1·q 3)2,即 q m ·q 2n = q 8, 即 m + 2n =8.∴ 2 + 1= (m + 2n) 2 + 1 ×1m nm n 8= 2+m +4n+ 2 ×1≥ (4+ 2 4)× 1= 1. n m88当且仅当 m = 2n 时,即 m = 4, n = 2 时,等号成立 .命题点 3 消元法例 3已知正实数 a , b 知足 a 2- b +4≤ 0,则 u =2a +3ba +b ()1414A. 有最大值 5B. 有最小值 5C.有最小值 3D.有最大值 3答案B分析∵ a 2- b +4≤ 0, ∴ b ≥ a 2+ 4,∴ a + b ≥ a 2+ a +4.又 ∵ a , b>0, ∴ a≤a ,a +b a 2+ a +4∴ -a≥ - a ,a +b a 2 +a + 42a + 3baa∴ u = a + b = 3- a + b ≥3- a 2+ a +4 = 3-1 ≥ 3-1= 14 ,a + 42 45+ 1a ·+ 1aa当且仅当 a = 2, b = 8 时取等号 .应选 B.思想升华 (1) 前提: “一正 ”“ 二定 ”“ 三相等 ”.(2)要依据式子的特色灵巧变形,配凑出积、和为常数的形式,而后再利用均值不等式.(3)条件最值的求解往常有三种方法:一是消元法;二是将条件灵巧变形,利用常数“ 1” 代换的方法;三是配凑法.追踪训练 1 (1)(2019·东质检丹)设x>0, y>0,若 xlg 2, lg 2, ylg 2 成等差数列,则1x +9y 的最小值为()A.8B.9C.12D.16答案D分析∵ xlg 2 , lg 2, ylg 2成等差数列,∴ 2lg 2= (x + y)lg 2 ,∴ x + y = 1.∴1x +9y = (x + y) 1x + 9yy 9x ≥ 10+2· = 10+ 6= 16,x y当且仅当 x = 1, y = 3时取等号,4 4故 1+9的最小值为 16.应选 D.x y(2)若 a, b,c 都是正数,且4 +1的最小值是 () a+b+ c= 2,则a+1 b+ cA.2B.3C.4D.6答案 B分析∵ a, b,c 都是正数,且a+ b+ c= 2,∴a+ b+ c+ 1=3,且 a+1>0 , b+c>0.∴4+1=1·(a+1+ b+ c) ·4+1 a+ 1 b+ c 3 a+ 1 b+ c 14 b+ c a+ 1 1=3 5+a+1+b+c≥3(5+ 4)= 3.当且仅当a+ 1= 2(b+ c),即 a=1, b+ c=1 时,等号成立.应选 B. 题型二均值不等式的综合应用命题点 1 均值不等式与其余知识交汇的最值问题例 4 在△ ABC 中,点→→M,P 知足 BP= 2PC,过点 P 的直线与 AB, AC 所在直线分别交于点→→→→N,若 AM =mAB, AN= nAC(m>0, n>0) ,则 m+2n 的最小值为 ()8 10A.3B.4C.3D. 3答案 A分析→ →→∵ AP= AB+ BP→ 2 → →=AB+3(AC-AB)1 →2 → 1 → 2 →=AB + AC =AM +3n AN ,333m∵M ,P ,N 三点共线, ∴ 1+2= 1,3m 3n∴ m + 2n =( m + 2n) 1+ 23m 3n=13+43+ 3m 2n + 2m3n≥ 5+ 2 2n × 2m 33m 3n=53+43= 3,当且仅当 m = n = 1 时等号成立 . 命题点 2 求参数值或取值范围例 5 (2018 ·包头模拟 )已知不等式 (x +y) 1 a ≥ 9 对随意正实数 x ,y 恒成立, 则正实数 a 的 x +y 最小值为 ( ) A.2B.4C.6D.8答案 B1 a1 a分析 已知不等式 (x + y) x + y ≥ 9 对随意正实数 x , y 恒成立,只需求 (x + y) x + y 的最小值 大于或等于 9,∵ 1+ a + y + ax≥ a + 2 a + 1,x y当且仅当 y = ax 时,等号成立,∴ a + 2 a +1≥ 9,∴ a ≥ 2 或 a ≤ - 4(舍去 ), ∴ a ≥ 4,即正实数 a 的最小值为 4,应选 B.思想升华 求参数的值或范围:察看题目特色,利用均值不等式确立有关成立条件,进而得参数的值或范围 .π2sin C sin B 追踪训练 2 (1)在△ ABC 中, A =6,△ ABC 的面积为 2,则 sin C + 2sin B +sin C 的最小值为 ()3 3 3 3 5 A. 2 B.4 C.2D.3答案 C分析 由 △ ABC 的面积为 2,所以1 1 πS =bcsin A = bcsin = 2,得 bc =8,22 6在△ABC 中,由正弦定理得2sin C + sin B= 2c +b sin C+ 2sin B sin C c+2bc =2cb + b2b c+ 2b bc=16 2 8 +b 2+ 41+b=8-8+ 2b2 8 4+ b2 2≥ 2 8b2+ 4 1=2-1= 3,2·-4+ b 8 2 2 2当且仅当 b= 2, c= 4 时,等号成立,应选 C.(2)已知函数f(x)= ax2+bx(a>0, b>0)的图象在点 (1,f(1))处的切线的斜率为2,则8a+b的最ab小值是 ( )A.10B.9C.8D.3 2答案 B分析由函数 f(x)= ax2+ bx,得 f′( x)= 2ax+ b,由函数 f(x)的图象在点 (1, f(1)) 处的切线斜率为2,所以 f′ (1)= 2a+ b= 2,所以 8a+ b= 1+8= 1 1+ 8ab a b 2 a b (2a+ b)1 b 16a 1 b 16a=2 10+a+b ≥2 10+2 a ·b1=2(10+8)= 9,当且仅当ba=16ab,即 a=13, b=43时等号成立,所以8a+b的最小值为9,应选 B. ab利用均值不等式求解实质问题数学建模是对现实问题进行数学抽象,用数学的语言表达问题,用数学的方法建立模型解决问题 .过程主要包含:在实质情形中从数学的视角发现问题、提出问题、剖析问题、成立模型、确立参数、计算求解、查验结果、改良模型,最后解决实质问题 .例 某厂家拟在 2019 年举行促销活动,经检查测算,该产品的年销售量 (即该厂的年产量 )x万件与年促销花费 m 万元 (m ≥ 0)知足 x = 3-km + 1(k 为常数 ) ,假如不搞促销活动,则该产品的年销售量只好是 1 万件 .已知 2019 年生产该产品的固定投入为8 万元 .每生产 1 万件该产品需要再投入 16 万元,厂家将每件产品的销售价钱定为每件产品年均匀成本的 1.5 倍 (产品成本包含固定投入和再投入两部分资本).(1)将 2019 年该产品的收益y 万元表示为年促销花费 m 万元的函数;(2)该厂家 2019 年的促销花费投入多少万元时,厂家的收益最大?解 (1) 由题意知,当 m =0 时, x = 1,∴ 1= 3- k? k =2,∴ x = 3- 2,m+ 18+ 16x每万件产品的销售价钱为1.5×(万元 ),∴ 2019 年的收益 y = 1.5x ×8+ 16x-8- 16x - m x2= 4+ 8x - m = 4+ 8 3-m + 1 - m16=- + m + 1+ 29(m ≥ 0).16(2)∵ m ≥ 0 时,+ ( m + 1)≥ 216=8,∴y≤- 8+ 29=21,16当且仅当= m+ 1? m= 3(万元 )时,y max= 21(万元 ).故该厂家2019 年的促销花费投入 3 万元时,厂家的收益最大为21 万元 .修养提高利用均值不等式求解实质问题时依据实质问题抽象出目标函数的表达式,成立数学模型,再利用均值不等式求得函数的最值.x2+ 41.函数 f(x)=|x| 的最小值为 ()A.3B.4C.6D.8答案 B分析f(x)=x2+4=|x|+4≥ 24= 4,|x||x|当且仅当 x=±2 时,等号成立,应选 B.2.若 x>0, y>0,则“ x+ 2y=2 2xy”的一个充分不用要条件是( )A. x= yB. x=2yC.x=2 且 y= 1D.x= y 或 y= 1答案 C分析∵ x>0, y>0,∴ x+ 2y≥ 2 2xy,当且仅当 x= 2y 时取等号 .故“ x= 2 且 y=1 ”是“ x+2y= 2 2xy”的充分不用要条件.应选 C.4+1的最小值为( ) 3.(2018 沈·阳模拟 )已知正数 a, b 知足 a+ b=1,则a b5A. 3B.3C.5D.9答案 D分析由题意知,正数a, b 知足 a+ b= 1,4 1 4+ 1则a+b= a b (a+b)= 4+1+4b+a≥5+ 24b aa b·= 9,a b当且仅当4b=a,即 a=2, b=1时等号成立,a b 3 3所以4+1的最小值为 9,应选 D.a b4.若 a>0, b>0,lg a+ lg b= lg(a+ b),则 a+b 的最小值为 ()A.8B.6C.4D.2答案 C分析由 lg a+ lg b=lg( a+ b) ,得 lg( ab)=lg( a+ b),即 ab= a+ b,则有1+1= 1,所以 a+ b a b1 1 b a≥2+ 2 b aa+ b 的最=+b (a+ b)= 2++·= 4,当且仅当 a=b= 2 时等号成立,所以a ab a b 小值为4,应选 C.5.已知函数x在点 (0,f(0)) 处的切线为 l,动点 (a,b)在直线 l 上,则 2a -b的最小值是f(x)=e +2( )A.4B.2C.2 2D. 2答案 D分析由题意得 f ′(x)= e x,f(0) = e0= 1,k=f ′ (0)= e0= 1.所以切线方程为y-1= x- 0,即 x- y+ 1= 0,∴ a- b+ 1= 0,∴ a-b=- 1,∴ 2a+ 2-b≥ 2 2a·2-b= 2 2a-b= 2 2-1=2当且仅当 a=-1, b=1时取等号,应选 D.2 26.《几何本来》卷 2 的几何代数法 (以几何方法研究代数问题 )成了后代西方数学家办理问题的重要依照,经过这一原理,好多的代数的公义或定理都能够经过图形实现证明,也称之为无字证明 .现犹如下图图形,点 F 在半圆 O 上,点 C 在直径 AB 上,且 OF ⊥ AB,设 AC= a,BC= b,则该图形能够达成的无字证明为()a+ bA.2≥ ab(a>0,b>0)B.a2+b2≥ 2 ab(a>0, b>0)C.2ab≤ ab(a>0 , b>0)+b a a+ b a2+ b2D. 2 ≤2 (a>0 , b>0)答案 D分析由 AC= a,BC = b,可得圆 O 的半径 r =a+b,2又 OC=OB- BC=a+b- b=a-b,2 2a- b 2 a+ b 2 a2+b2,则 FC 2= OC2+ OF2=+=4 4 2再依据题图知FO ≤ FC,即a+ b a2+ b2≤,当且仅当 a= b 时取等号 .应选 D.2 27.设 x, y 均为正数,且 xy+x- y- 10= 0,则 x+ y 的最小值是 ________. 答案 6分析由 xy+ x-y- 10= 0,得 x=y+10=9+ 1,y+ 1 y+ 1∴ x+ y=9+ 1+ y≥ 2 9y+ 1 y+1·1+ y = 6,9当且仅当=1+ y ,即 y = 2 时,等号成立 .98.设正项等比数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ,若 S 7- S 5= 3(a 4+ a 5),则 4a 3+a 7的最小值为 ________.答案4分析设正项等比数列 { a n } 的公比为 q(q>0) ,∵ S 7- S 5= a 7+ a 6= 3(a 4 +a 5),∴a 7+a 6= q 2=3.a 5+ a 4∴ 4a9=4a 9 = 4a 1 ≥ 2 4a 1= 4, 3+7 3+4 3+33·3a 3aa qa当且仅当 4a 31,即 a 31时等号成立 .=a 3= 2∴ 4a 3+ 9的最小值为 4.a 79.已知△ ABC 的角 A ,B ,C 的对边分别为 a ,b ,c ,若 a 2= b 2+ c 2- bc ,且△ ABC 的面积为33,4则 a 的最小值为 ________. 答案3分析 由题意得 b 2+ c 2- a 2= bc ,∴ 2bccos A = bc ,1 π ∴ cos A = , ∴A = .23∵△ ABC 的面积为33,4∴ 1bcsin A = 3 3, ∴ bc = 3.24∵ a 2= b 2+ c 2- bc ,∴ a 2≥ 2bc - bc = bc = 3(当且仅当 b = c 时,等号成立 ),∴ a ≥ 3.10.已知 a , b 为正实数,且 (a - b)2= 4(ab)3,则1a + 1b 的最小值为 ________.答案2 2分析由题意得 (a - b)2 =(a + b)2-4ab ,代入已知得 (a + b)2= 4(ab)3+ 4ab ,两边同除以 (ab)2得a +b 2=4 ab 3 4ab ab 2 2 + 2 2a ba b = 4 ab + 1≥4·21ab ab · = 8,ab当且仅当 ab = 1 时取等号 .所以 1+1≥2 2,a b即1a +1b 的最小值为 2 2.11.已知 x>0 , y>0 ,且 2x + 5y = 20.(1)求 u = lg x + lg y 的最大值;1 1(2)求 x + y 的最小值 . 解 (1) ∵ x>0, y>0,∴ 由均值不等式,得 2x +5y ≥ 2 10xy.∵ 2x +5y = 20,∴ 2 10xy ≤20, xy ≤ 10,当且仅当 2x = 5y 时,等号成立 .所以有2x + 5y = 20,2x = 5y ,解得x =5,y = 2,此时 xy 有最大值 10.∴ u = lg x +lg y = lg( xy)≤ lg 10 = 1.∴ 当 x = 5, y = 2 时, u = lg x + lg y 有最大值 1.(2)∵ x>0, y>0,∴ 1+1= 1+ 1 2x + 5yx yx y ·20= 1 7+ 5y + 2x ≥ 17+ 2 5y 2x 20 x y 20 ·x y=7+ 2 10,20当且仅当5y = 2x时,等号成立 .x y2x +5y = 20, x =10 10- 20, 由5y 2x 解得3= 20- 4 10x , y = . y3∴ 1+1的最小值为 7+ 2 10.x y2012.某人准备在一块占地面积为 1 800 平方米的矩形地块中间建三个矩形温室大棚,大棚四周均是宽为 1 米的小道 (如下图 ),大棚占地面积为S 平方米,此中 a ∶b = 1∶ 2.(1)试用 x, y 表示 S;(2)若要使 S 的值最大,则x, y 的值各为多少?解 (1) 由题意可得 xy=1 800, b= 2a,则 y=a+ b+ 3=3a+ 3,所以 S= (x- 2)a+ (x- 3)b= (3x- 8)a= (3x- 8) y-3= 1 808-3x-8 y(x>3, y>3).3 3(2)方法一S= 1 808-3x-8×1 800 3x= 1 808- 3x+ 4 800 ≤1 808- 2 3x×4 800x x =1 808- 240=1 568,当且仅当3x=4 800,即 x= 40 时等号成立, S 获得最大值,此时y=1 800= 45,x x所以当 x= 40, y= 45 时, S 获得最大值 .方法二设 S=f(x)= 1 808- 3x+4 800(x>3) ,x则 f′ (x)=4 8002 -3=3 40- x 2 40+ xx x令 f′ (x)= 0,则 x= 40,当 0<x<40 时, f′ (x)>0 ;当 x>40 时, f′ (x)<0.所以当 x= 40 时, S 获得最大值,此时,y= 45.13.在△ ABC 中,角 A ,B , C 的对边分别为 a ,b ,c ,若2a - c = cos C,b =4,则△ ABC 面积bcos B的最大值为 ( ) A.4 3B.23答案 A2a - c cos C分析 ∵ b= cos B ,∴ (2a - c)cos B = bcos C ,由正弦定理得 (2sin A -sin C)cos B = sin Bcos C ,∴ 2sin Acos B = sin Ccos B + sin Bcos C = sin(B + C) =sin A.又 sin A ≠0, ∴ cos B = 1. 2π ∵ 0<B<π, ∴ B = 3. 由余弦定理得b 2=16= a 2+c 2- 2accos= a 2+ c 2- ac ≥ 2ac - ac = ac ,π3∴ ac ≤16,当且仅当 a = c 时等号成立 .1 π 1× 16× 3=4 3.∴ S △ABC = acsin≤ 2 2 3 2故 △ABC 面积的最大值为 4 3.应选 A.2214.已知 P 为椭圆 x+ y= 1 上一个动点, 过点 P 作圆 (x + 1)2+ y 2= 1 的两条切线, 切点分别是4 3→ →的取值范围为 ( )A ,B ,则 PA ·PB3,+∞3, 56A. 2B. 2 956D.[ 2 2-3,+∞) C. 2 2-3,9答案 C分析如图,由题意设∠APB= 2θ,则 |PA|= |PB |=1,tan θ→→ →→∴ PA·PB=|PA||PB|cos 2θ=1 1+ cos 2θ2·cos 2θ=·cos 2θ,tan θ1- cos 2θ设 cos 2θ= t,→ →=t 1+t = (1- t)+2- 3则 PA·PB 1- t 1- t≥21- t ·2-3= 2 2- 3,1- t2当且仅当1- t=,即t=1-2时等号成立,此时 cos 2θ= 1-2.1又当点 P 在椭圆的右极点时,sin θ=,∴cos 2θ= 1- 2sin2θ=79,7→ →最大,且最大值为1+9 7 56此时 PA·PB 7 × =9 .9 1-9→ →56∴ PA·PB的取值范围是 2 2-3,9 .应选 C.15.已知正三棱柱 ABC -A 1B 1C 1,侧面 BCC 1B 1 的面积为4 6,则该正三棱柱外接球表面积的最小值为 ( )A.24 πB.16 2πC.8 πD.4 π答案 B分析 设 BC = a ,CC 1= b ,则 ab = 4 6, 底面三角形外接圆的半径为 r ,则 a = 2r , ∴r =3sin 60 ° 3 a.所以 R 2= b 2+ 3 a 2= b 2 a 22 3 +34 ≥ 2 b 2 a 2 96 = 4 2,4 · = 2123 当且仅当 a =3时,等号成立 .2 b所以该正三棱柱外接球表面积的最小值为4π× 4 2= 16 2π.16.已知曲线 C : y 2= 2x + a 在点 P n ( n , 2n + a)( a>0 ,n ∈ N)处的切线 l n 的斜率为 k n ,直线 l n交 x 轴、 y 轴分别于点 A n (x n,0), B n (0,y n ),且 |x 0 |= |y 0|.给出以下结论:① a = 1;2 3②当 n ∈ N + 时, y n 的最小值为 3 ;③当 n ∈ N + 时, k n > 2sin1 ;2n + 1④当 n ∈ N + 时,记数列 { k n } n nn + 1-1).的前 n 项和为 S ,则 S< 2( 此中,正确的结论有 ________.( 写出全部正确结论的序号)答案①②④1分析令 y=(2x+ a) 2,-1-1所以 y′=21(2 x+ a) 2× 2=(2x+a) 2 ,1k n=(2 n a) 2,1所以 l n: y- 2n+ a=(2 n a) 2(x-n),所以 x0=- a, y0= a,∴ a= a∴ a= 1,① 对;令 t=2n+ 1≥3,所以 y n= 2n+1-n t2-1 1 1,= t-= t+2n+ 1 2t 2 2t所以 y n≥13+1=2 3,②对;2 23 31,令 f(x)=x- 2sin x x∈ 0,3所以 f′ (x)= 1- 2cos x<0,所以 f(x)<f(0) = 0,即 1 < 2sin 1 ,③ 错;2n+ 12n+ 1由于 k n=1 2= 2( n+ 1- n),<2n+1 n+ 1+ n所以 S n=k1+k2++ k n< 2( 2- 1)+ 2( 3- 2)++ 2( n+1- n)= 2( n+ 1- 1),④对 .。
2020年高三总复习数学人教旧版-必修1[第5讲 函数的奇偶性]讲义(教师版)
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第3页
∴y=xf(x)是偶函数. 对于 C,g(﹣x)=(﹣x)2+f(﹣x)=x2﹣f(x), ∴y=x2+f(x)为非奇非偶函数, 对于 D,g(﹣x)=(﹣x)2f(﹣x)=﹣x2f(x)=﹣g(x), ∴y=x2f(x)是奇函数. 故选 B.
函数奇偶性用定义判断,看 f(﹣x)和 f(x)的关系,注意奇偶函数的定义域的对称性,若 定义域不关于原点对称,一定是非奇非偶函数.
练习 1. 已知函数 f(x)=ax3+bx+1,若 f(a)=8,则 f(﹣a)=
【答案】﹣6 【解析】∵函数 f(x)=ax3+bx+1, ∴f(﹣x)=a(﹣x)3+b(﹣x)+1=﹣ax3﹣bx+1, ∴f(﹣x)+f(x)=2,
.
第4页
∴f(﹣a)+f(a)=2. ∵f(a)=8, ∴f(a)=﹣6. 故答案为﹣6.
练习 2. 定义在(﹣1,1)上的奇函数 f(x)=
,则常数 m= ,n= .
【答案】m=0,n=0. 【解析】因为函数 f(x)是定义在(﹣1,1)上的奇函数,所以必定有 f(0)= 0,
⇒m=
此时 f(x)=
,
高考数学复习讲义 不等式(学生版)

高考数学复习讲义 不等式【要点提炼】考点一 不等式的性质与解法1.不等式的倒数性质(1)a>b ,ab>0⇒1a <1b. (2)a<0<b ⇒1a <1b. (3)a>b>0,0<c<d ⇒a c >b d. 2.不等式恒成立问题的解题方法(1)f(x)>a 对一切x ∈I 恒成立⇔f(x)min >a ,x ∈I ;f(x)<a 对一切x ∈I 恒成立⇔f(x)max <a ,x ∈I.(2)f(x)>g(x)对一切x ∈I 恒成立⇔当x ∈I 时,f(x)的图象在g(x)的图象的上方.(3)解决恒成立问题还可以利用分离参数法.【热点突破】【典例】1 (1)若p>1,0<m<n<1,则下列不等式正确的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫m n p >1 B.p -m p -n <m n C .m -p <n -p D .log m p>log n p(2)(2020·北京市昌平区新学道临川学校模拟)已知关于x 的不等式ax -b ≤0的解集是[2,+∞),则关于x 的不等式ax 2+(3a -b)x -3b<0的解集是( )A .(-∞,-3)∪(2,+∞)B .(-3,2)C .(-∞,-2)∪(3,+∞)D .(-2,3)【拓展训练】1 (1)已知函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧ 3,x<12,1x ,x ≥12,则不等式x 2f(x)+x -2≤0的解集是________________. (2)若不等式(a 2-4)x 2+(a +2)x -1≥0的解集是空集,则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫-2,65B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫-2,65C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤-2,65D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫-2,65∪{2}【要点提炼】考点二 基本不等式基本不等式求最值的三种解题技巧(1)凑项:通过调整项的符号,配凑项的系数,使其积或和为定值.(2)凑系数:若无法直接运用基本不等式求解,通过凑系数后可得到和或积为定值,从而利用基本不等式求最值.(3)换元:分式函数求最值,通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开,即化为y =m +A g x+Bg(x)(AB>0),g(x)恒正或恒负的形式,然后运用基本不等式求最值. 【典例】2 (1)下列不等式的证明过程正确的是( )A .若a ,b ∈R ,则b a +a b≥2b a ·a b =2 B .若a<0,则a +4a ≥-2a ·4a=-4 C .若a ,b ∈(0,+∞),则lg a +lg b ≥2lg a ·lg bD .若a ∈R ,则2a +2-a ≥22a ·2-a =2(2)(2019·天津)设x>0,y>0,x +2y =5,则x +12y +1xy 的最小值为________.【拓展训练】2 (1)(2020·北京市中国人民大学附属中学模拟)已知a>0,b>0,且a -b =1,则2a +1b的最小值为________. (2)(2020·江苏)已知5x 2y 2+y 4=1(x ,y ∈R ),则x 2+y 2的最小值是________. 专题训练一、单项选择题1.不等式(-x +3)(x -1)<0的解集是( )A .{x|-1<x<3}B .{x|1<x<3}C .{x|x<-1或x>3}D .{x|x<1或x >3}2.下列命题中正确的是( )A .若a>b ,则ac 2>bc 2B .若a>b ,c<d ,则a c >b dC .若a>b ,c>d ,则a -c>b -dD .若ab>0,a>b ,则1a <1b 3.(2020·北京市昌平区新学道临川学校模拟)已知一元二次不等式f(x)<0的解集为{x|x<-2或x>3},则f(10x)>0的解集为( )A .{x|x<-2或x>lg 3}B .{x|-2<x<lg 3}C .{x|x>lg 3}D .{x|x<lg 3} 4.若a>b>0,且ab =1,则下列不等式成立的是( )A .a +1b <b 2a <log 2(a +b) B.b 2a <log 2(a +b)<a +1bC .a +1b <log 2(a +b)<b 2aD .log 2(a +b)<a +1b <b 2a 5.(2018·全国Ⅲ)设a =log 0.20.3,b =log 20.3,则( )A .a +b<ab<0B .ab<a +b<0C .a +b<0<abD .ab<0<a +b6.已知x>0,y>0,x +2y +2xy =8,则x +2y 的最小值是( )A .3B .4 C.92 D.1127.已知a>-1,b>-2,(a +1)(b +2)=16,则a +b 的最小值是( )A .4B .5C .6D .78.已知正实数a ,b ,c 满足a 2-2ab +9b 2-c =0,则当ab c 取得最大值时,3a +1b -12c的最大值为( )A .3 B.94C .1D .0 二、多项选择题9.设f(x)=ln x,0<a<b ,若p =f(ab),q =f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a +b 2,r =12[f(a)+f(b)],则下列关系式中正确的是( )A .q =rB .p<qC .p =rD .p>q10.已知a ∈Z ,关于x 的一元二次不等式x 2-6x +a ≤0的解集中有且仅有3个整数,则a 的值可以是( )A .6B .7C .8D .911.(2020·威海模拟)若a ,b 为正实数,则a>b 的充要条件为( )A.1a >1bB .ln a>ln bC .aln a<bln bD .a -b<e a -e b12.(2020·新高考全国Ⅰ)已知a>0,b>0,且a +b =1,则( )A .a 2+b 2≥12B .2a -b >12C .log 2a +log 2b ≥-2 D.a +b ≤ 2三、填空题 13.对于0<a<1,给出下列四个不等式:①log a (1+a)<log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1+1a ;②log a (1+a)>log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1+1a ;③a 1+a <11a a +;④a 1+a >a1+1a.其中正确的是________.(填序号) 14.当x ∈(0,+∞)时,关于x 的不等式mx 2-(m +1)x +m>0恒成立,则实数m 的取值范围是________.15.已知函数f(x)=x 3-2x +e x -1e x ,其中e 是自然对数的底数,若f(a -1)+f(2a 2)≤0,则实数a 的取值范围是________.16.已知实数x ,y 满足x>1,y>0且x +4y +1x -1+1y =11,则1x -1+1y 的最大值为________.。
2020高考数学专题一:集合各类题型汇编讲义,高考真题及答案

一、高考考试要求:有关集合的高考试题考查重点是集合与集合之间的关系近年试题加强了对集合的计算化简的考查并向无限集发展多以小題形式出现也会渗透在解答题之中相对独立。
具体理解集合、子集、补集、交集、并集的概念;了解空集和全集的意义;了解属于、包含、相等关系的意义;掌握有关的术语和符号,并会用它们正确表示一些简单的集合.二、知识回顾:(一)集合1.基本概念:集合、元素;有限集、无限集;空集、全集;符号的使用.2.集合的表示法:列举法、描述法、图形表示法.集合元素的特征:确定性、互异性、无序性.集合的性质:①任何一个集合是它本身的子集,记为;②空集是任何集合的子集,记为;③空集是任何非空集合的真子集;如果,同时,那么A = B.如果.[注]:①Z= {整数}(√) Z ={全体整数} (×)②已知集合S中A的补集是一个有限集,则集合A也是有限集.(×)(例:S=N; A=,则CsA= {0})③空集的补集是全集.④若集合A=集合B,则CBA = , CAB = CS(CAB)= D(注:CAB = ).3. ①{(x,y)|xy =0,x∈R,y∈R}坐标轴上的点集.②{(x,y)|xy<0,x∈R,y∈R二、四象限的点集.③{(x,y)|xy>0,x∈R,y∈R} 一、三象限的点集.常用结论(1)非常规性表示常用数集:如{x|x=2(n-1)n∈Z}为偶数集{x|x=4n±1n∈Z}为奇数集等.(2)①一个集合的真子集必是其子集一个集合的子集不一定是其真子集;②任何一个集合是它本身的子集;③对于集合ABC若A⊆BB⊆C则A⊆C(真子集也满足);④若A⊆B则有A=⌀和A≠⌀两种可能.(3)集合子集的个数:集合A中有n个元素则集合A有2n个子集、2n-1个真子集、2n-1个非空子集、2n-2个非空真子集.集合元素个数:card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)(常用在实际问题中).1.主要性质和运算律(1)包含关系:(2)等价关系:(3)集合的运算律:交换律:结合律:分配律:.0-1律:等幂律:求补律:A∩CUA=φ A∪CUA=U ðCUU=φ ðCUφ=U反演律:CU(A∩B)= (CUA)∪(CUB) CU(A∪B)= (C UA)∩(CUB)题组一常识题1.若集合A={-101},B={y|y=x2,x∈A},则A∩B=()A.{0}B.{1}C.{01} D.{0,-1}【答案】C【解析】因为B={y|y=x2,x∈A}={01},所以A∩B={01}.2.设集合,集合,则()A. B. C. D.【答案】B【解析】集合=集合则。
2020届高考理科数学一轮复习讲义:第十章§10.2 双曲线及其性质

解得 a,b 的值,即可求得方程.
( 2018
天津,7,5
分)
已知双曲线
x2 a2
- y2 b2
= 1( a>0,b>0)
的离心率为 2,过右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A,B
两点.设 A,B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 d1 和 d2 ,
且 d1 +d2 = 6,则双曲线的方程为
点,∴
4k+5k = 12-3,解得
k = 1,故双曲线
C
的方程为 x2 4
-
y2 5
= 1.
故选 B.
一题多解
∵
椭圆 x2 + 12
y2 3
=1
的焦点为( ±3,0) ,双曲线与
椭圆 x2 + 12
y2 3
=1
有公共焦点,∴
a2 +b2
= ( ±3)2
=
9①,∵
双曲线的
一条渐近线为 y =
5 2 x,∴
解析 解法一:椭圆 x2 + y2 = 1 的焦点坐标是(0,±3),设双 27 36
曲线方
程
为
y2 a2
- x2 b2
= 1( a > 0,b > 0),根据双曲线的定义知
2a =
| ( 15 -0) 2 +(4-3) 2 - ( 15 -0) 2 +(4+3) 2 | = 4, 故 a = 2. 又
b= a
5 2
②,联立①②可解得
a2
=
4,b2
=
5.∴
双曲线
C
的方程为 x2 4
- y2 5
= 1.故选
B.
1-2
设双曲线与椭圆 x2 + y2 = 1 有共同的焦点,且与椭圆 27 36
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由此可见计算能力和运算技巧的重要性。而学生计 算能力的提高,特别是运算技巧提高不是一朝一夕,而 在于平日练习中老师有意识地渗透和训练。
5、注重学生的抗挫折能力。
有许多学生文科选择12题放弃;文科填空16题放弃; 文科19题立体几何第一问没做出来,第二问放弃;文 科20题数列第二问放弃;文科21题解析几何第二问放 弃;文科22题导数第二、三问放弃。究其原因当学生 碰到难题时特别是多道难题时,就慌张了,看看这道不 会,看看那道不会。而不是静下心来认真分析题目已知 什么、要求什么,会多少答多少。因此建议平日教学中 特别是在高三模拟考试中应该让学生经历各种类型卷 (难卷、简单卷、难题、简单题交叉卷),增强学生 抗挫折能力和应对策略。
8、要认真研究大型模拟考试试题,讲解时不要就 题论题,要注意试题的课本原型和试题的引申和 变式。
如青岛二模文科第20题与高考文科第20题就有很大 的相似性,而高考这道题第二问的得分率很低。
老师如果在讲解青岛二模文科20题时不就题论题,注 意试题的适当引申和变式.那么第20题就简单多了。
由此可见老师要认真研究大型模拟考试试题,讲解时
( x)
1 x
ln x ex
1
设 k(x) 1 lnx1 ,则
x
k(x)
x12
1 x
0
即 k ( x ) 在 (0 , ) 上是减函数,
由 k (1) 0 知,当 0 x 1时 k (x) 0 ,从而 f (x) 0
当 x 1 时 k(x) 0 ,从而 f (x) 0
综上可知,f ( x ) 的单调递增区间是 ( 0 , 1 ) 单调递减区间是(1, ) ..………8分
(五)阅卷给分原则:
在标准答案的基础上,由阅卷组长把关对相应试题的评 分标准进行细分,并把题目的多种解答方法和每一个得分
点都列出来,把分值细化到1-2分,制定评分细则(有 利于批卷,与评分标准有出入)。阅卷老师在评卷之
前先培训明确评分细则,然后进行试评(13号下午),在 正式阅卷中,严格按照评分细节阅卷。只要是评分细则认 可的就给分。高考阅卷评分原则,比起平时老师阅卷,更 加强调知识点的把握,更加客观,评分本着“给一分有理, 扣一分有据”的原则。寻找得分点,通过“见点得分”, “踩点”得分,上下不受牵连。
文科19题中当三角形是等腰三角形或等边三角形往往 要考虑中线,而学生没有做出中线从而找不到思路;第 一问线线垂直—线面垂直的转化;第二问线线平行—线 面平行—面面平行的转化是基本方法,而学生却不知道 该写什么。(文科立体几何中要特别注意中点、中位线、 中线)在立体几何中要特别注意分析法思维方式的利用 (即由已知想性质、由求证想判定)。
(2)文科19题(立体几何)
第一问评分细则:
第一问具体操作:
学生常见错误:
第二问评分细则:
第二问具体操作:
学生常见错误:
N
学生答题情况:
学生出现错误基本上是前面错例分析的情况,不少 学生放弃这道题或者乱写一气、毫无头绪,学生得分呈 两极分化现象,因此大多数学生得分很低(低于3分), 有很少学生得分10分以上,中间分数很少。预计平均不 到3分。
(3)理科17题(三角函数)
评分细则:
具体操作:
学生答题情况:
(4)文科21题(解析几何)
评分细则:
T Q
sP
(1)
T Q P
s
(2)
QT P
s
(3)
T Q
sP (1)
T Q P
s
(2)
QT P
s
(3)
具体操作:
学生答题情况:
(5)文科22题(函数与导数)
评分细则:
法二:由(I)知,f
的零点。
2、要加强对课本例题、习题的讲解和利用、重视 对数学思想的渗透。
如:对于必修4第10页中B组第3题,老师在教学中如果 充分利用好这道题,那么文科填空题第16题就好做多了。
对于必修1第113页中B组第2题,老师在教学中如果 充分利用好这道题,那么文科第21题的分类讨论和数形 结合就简单多了。
(六)阅卷速度
电子阅卷速度非常快,平均阅一道大题的时间只有十 几秒时间甚至不到10秒 ,一个阅卷老师一天平均要阅数 千份卷子(只批一道题) ,几乎达到了机械性的条件反射的 熟练程度。以我为例,我批阅的是文科19题(立体几何 题)和文科填空题,3天时间共阅了9千多份试卷(文科 19题立体几何)。填空题半天阅了1600多份,作息时间 从早上8:00到下午17:00,中间休息两次,中午用餐加休 息一共1个半小时,速度之快可想而知。高考数学题目多 在2问以上,多数阅卷教师习惯整屏显示一个大题,不翻 页,电子卷图像文字偏小,字迹不清、书写不工整、版 面布局不合理,都会导致阅卷教师不好辨认,从而极有 可能导致考生得分点被遗漏,造成失分。
培养、要手把手地教学生如何审题(搞清楚题目已知什 么、要求什么)、如何快速寻找题目的突破口。
4、狠抓学生的运算,减少计算失误,提高学生的 计算能力和运算技巧。
如:文科第20题第一问出错,以下零分; 文科第21题,第一问出错,以下零分。第二问如果
考虑到椭圆的对称性,可以减少一种情形的计算;在计 算中间如果及时换元,则可以极大地减少计算量;
二、具体题目评分细则:
(1)文科填空题; (2)文科19题(立体几何); (3)理科17题(三角函数); (4)文科21题(解析几何); (5)文科22题(函数与导数); (6)理科19题(概率)
(1)文科填空题;
评分细则:
填空题不化简不得分。答错位置不给分。 学生答题情况:前三道正确率比较高,但第16题几乎 不得分(正确率估计不到千分之一)
并不遥远,她就在我们每天的学习中。我们只要认真搞好 每一个知识点的教学、规范解答每一道题,利用好每一次 练习,踏实走好每一天,就一定能够逐渐接近高考,超越 高考。
谢 谢!
不当之处请领导、老师批评指正!
对于必修5第43页例1(2)、第52页中A组第1(3)、 6题,老师在教学中如果充分利用好这道题,那么文科第 20题就容易理解了。
由此可见,高考题目许多是源于教材,而又高于教材, 因此老师在平日教学中要重视对课本例题、习题的讲解、 利用和升华。
3、在平日教学中要注意审题能力的培养。
如:文科填空题第16题没看懂题; 文科第19题没搞清底面形状、几何体的形状; 文科第20题第二问没看懂题; 由此可见,老师在平日教学中要重视对审题能力的
7、在平日教学中要注意学生的答题的规范性,要 注意书写干净整洁,答题简明扼要.
答题并不是写得越多越好,只要抓住各个知识点, 把主要过程表达出来就行了,多数阅卷教师习惯整屏 显示一个大题,不翻页,电子卷图像文字偏小,字迹 不清、书写不工整、版面布局不合理,都会导致阅卷 教师不好辨认,从而极有可能导致考生得分点被遗漏, 造成失分。因此,在平日教学中应强调学生的书写认 真规范,要帮助学生明确题目的得分点,哪些步骤是可 省的,哪些是不可省的,哪些是可要的,哪些是不可 要的,在平时练习时,要求学生尽量按得分点、按步 骤书写,严格训练。
总之,通过研究今年的高考试题和参加高考阅卷,我 感触很多,也反思自己在教学中存在的不足和失误。我最 大的感触是高考的成败不仅仅在于高三的教学,而在于高 中的每一节课、在于课本中的每一个知识点、每一个例题、
习题;在于基础知识落实;在于通性通法的强化;在于 计算能力的提高;在于平日里数学思想、数学方法的渗 透……高考并不神秘,她就在我们每次的练习中;高考
握和基础能力的训练非常薄弱,由此可见,老师在平日教学中不 要仅仅局限于题目怎么做,更重要的在于切实抓好基础知 识和基础能力的教学、在于抓好方法的总结与升华。对基 础知识、通性通法要强化训练。
如:文科17题的第一问的解答,切化弦—通分—两角 的正弦—三角形中的三角函数关系—正弦定理—结论, 第一步切化弦是通性通法,而学生恰恰是第一步没有迈 出,逻辑思维换乱,无从下手乱写一气。所以我们在平 日教学中要特别注意对基础知识、通性通法的教学。
学生答题情况:
(6)理科19题(概率)
标准答案:ห้องสมุดไป่ตู้
具体操作:
学生答题情况:
三、阅卷体会与反思
1、在平日教学中要注重对基础知识、通性通法的 教学。
在教学中不要追求技巧和创新方法,在立体几何的阅卷的过程中, 会遇到很多其他的方法,学生的其他的方法细看进去有的正确,有 的错误,但如果你的方法不是评分标准中的方法(一般是通性通法) 往往很难满分,甚至就是0分。(特别你的卷子如果是前两天批的话) 因为在短短的几天中,要批阅几十万份试卷,工作量是很大的,阅 卷老师不可能每一道题都在那儿细细的研究。通过高考阅卷,可以 看出大多数的学生,特别是文科的学生,基础知识、通性通法的掌
文科21题
PQ
4
ST 5
5m2
3m2
最值的求法,除了利用换元法以,
还可以利用导数求解,应首选导数。
文科22题第二问求 f (的x ) 单调区间时,大多数学生对 不等式 f(x)1xxln x0(不0)会解,原因在于没有分析
xxe
出分母大于0,解不等式就是解 h (x ) 1 x xln x 0 而解 h (x) 1xxln x0 ,应先求出 h (x ) (1 x ) (xln x )
一、阅卷情况介绍
(一)总体情况:
大约有51万份试卷,其中文科大约20万3千份试卷.
(二)阅卷老师构成:
高校教师,在读研究生,中学教师
(三)阅卷流程:
评卷、仲裁、质检,采用“双评”加“仲 最后是“质检”的三重保险的阅卷模式,确保 了阅卷的公平、公正、准确的阅卷原则。
(四)阅卷给分标准:
每份答卷先由两名阅卷老师评分(双评),而且彼此看不到对方 的分数,两名阅卷老师不是固定组合,电脑随机派送,若两人所给 分数在一定的范围内(数学科要求大题的每一小问得分误差不超过 1分),那就是有效分数,两个分数加起来取平均分,就是该答卷 的最后得分。如两人所给分数超出一定的范围(误差超过1分), 由第三个人重新评阅(仲裁),也就是由小组长裁定,以仲裁分数 为最后分数(小组长给的分数)。而仲裁分数与评卷分数差,将记 录第一次评卷的两个老师的有效率,如果误差太大(误差超过2 分),将记为“恶评”, “恶评”作为考评阅卷老师的重要依据, 对恶评率高的予以解聘,并且将解聘报告反馈到评卷老师所在的教 育局和学校。这样,可以避免较大失误,相对来说,评分更加公正 准确。当然,也不能保证百分百的准确,但误差已经降到最低,并 且有效地控制了感情分数的出现。