等式的基本性质详解
等式的知识点总结
等式的知识点总结一、等式的定义等式是数学中一个非常基本的概念，它是指两个代数式或算式通过等号相连，并且左右两边的值相等。
等式一般可以写为x=y，其中x和y可以是数字、代数式或变量。
在等式中，= 是等号，左右两侧的数或代数式分别称为等式的左边和右边。
二、等式的性质1. 等式的基本性质(1) 左右两边同时加（减）上（或去掉）相同的数（或代数式），等式仍然成立。
(2) 左右两边同时乘（或除）以（或去掉）相同的非零数（或代数式），等式仍然成立。
(3) 对等式两边同时作相同的运算，等式仍然成立。
(4) 若等式两边同时开方，等式仍然成立。
2. 等式的对称性等式具有对称性，即等式两边的位置可以互换而不改变等式的成立。
3. 等式的传递性如果a=b，b=c，则a=c。
这表明等式的传递性，即相等关系具有传递性。
4. 等式的等价性如果两个等式表示的是同一个实际问题，它们的解集合完全相同，那么这两个等式是等价的。
5. 等式的反面如果a=b，那么b=a。
这表明等式的反面性质。
三、解等式的方法解等式的方法主要包括整理化简和移项两种基本方法。
1. 整理化简(1) 合并同类项(2) 化简复杂的代数式(3) 去掉分母(4) 化简无法合并的代数式2. 移项(1) 移项是解一元一次方程的基本方法，它是指通过加（减）一个数或代数式，使等式两边的未知数移到一边，常数移到另一边，从而实现求解的目的。
四、常见的等式类型1. 一元一次方程一元一次方程是形如ax+b=0（a≠0）的代数方程，其中未知数只有一个，并且未知数的最高次数为一。
解一元一次方程的基本方法是整理化简和移项。
2. 一元二次方程一元二次方程是形如ax²+bx+c=0（a≠0）的代数方程，其中未知数只有一个，并且未知数的最高次数为二。
解一元二次方程的基本方法是配方法、公式法、完全平方公式法等。
3. 分式方程分式方程是含有未知数的分式表达式，并且在方程中含有分式部分的代数方程。
等式的基本性质
1 两边同
1 ，所以 y 0 ，所以变形正确。
• • • •
作业 书P84 练习1，2 书P86 9、10、11、12 书P87 5、6
等式的基本性质1 等式的基本性质2
（6）如果-3x=6，那么x=6______ ÷（-3）等式的基本性质2
• 练习册P62 4~13
例2
指出下面各题中的等式是怎样变形的, 其变形的依据是什么? (1)如果a-2=b-2,那么a=b; (2)如果m+5=0,那么m=-5; 1 (3)如果-12x=6,那么x 2 (4)如果 1 x -4 ,那么x=-8;
抢答题
根据下列各题的条件，写出仍然成立的等式.
(1)a b,
两边都加上 b .
√ √
√ ×
(2)2a 3b, 两边都除以 6.
a b (3) 1, 两边都乘以12. 3 4 a 1 (4) 1, 两边都乘以 x. x
例1
用适当的数或式子填空，使得到的结果依然 是等式，并说明根据。
2
• 练习册P62~P63 15
超越自我 a 4、要把等式 (m 4)x a 化成 x m 4 ， m 必须满足什么条件？
解：根据等式性质2，在 (m 4)x a 两边同除以
a ，所以 m 4 0 即 m 4。 m 4 便得到 x m4
1 5、由 xy 1 到 x 的变形运用了那个 y 性质，是否正确，为什么？
a a
b b
a b
1 a a 1
b 1 b 1
a 1 b 1
a b
c a a c
b c b c
《等式的基本性质》图文讲解PPT
2 3
x－1.
导引: 注意等式的基本性质在解方程中的运用，即根据 题目特点，运用等式的基本性质，将方程变形为x ＝a(a为常数)的形式．
解: (1)两边同时加2，得3x－2＋2＝7＋2, 即3x＝9.
知3－讲
(2)两边同时减3，得 1 x＋3－3＝ 2 x－1－3，
2
3
即
1 2
x＝
2 3
x－4.两边同时减
七年级数学 一元一次方程
等式的基本性质
1 课堂讲解 2 课时流程
等式的性质1 等式的性质2 利用等式的性质变形
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
比较左、右两个天平图，你发现了什么？
知识点 1 等式的性质1
知1－讲
观察下图,并完成其中的填空.图中的字母表示相应物品 的质量，两图中天平均保持平衡.
2 【中考·广东】已知方程x－2y＋3＝8，则整式x－ 2y的值为( A )
A．5
B．10
C．12
D．15
知1－练
3 如果x+4=6,那么x=___2____ ，理由_根__据__等__式__的__性__质 _1_，__两__边__同__时__减__去__4_得__x_=__2____.
知识点 2 等式的性质2
知2－讲
例2 根据等式的基本性质填空，并在后面的括号内填
上变形的根据．
(1)如果4x＝x－2，那么4x－__x__＝－2
( 等式的基本性质1 )； (2)如果2x＋9＝1，那么2x＝1－__9__
( 等式的基本性质1 )；
(3)如果－
x 3
＝
1 4
，那么x＝__3__ 4
( 等式的基本性质2 )；
等式的基本性质
解:（1）两边减7得
（3）两边加5，得
1 x 55 45 3 1 x 9 化简得： 3
（2）两边同时除以-5得
5 x 20 5 5 x 4
两边同乘-3，得 x 27
经过对原方程的一系列变形 (两边同加减、乘除)，最终把方 程化为最简的形式： x = a(常数） 即方程左边只有一个未知数 项、且未知数项的系数是 1,右 边是一个常数项.
，
根据等式性质1，在等式两边同加3
如果4x=-12y，那么4x÷4= -12y÷4 ， 根据等式性质2，在等式两边同时除以4
如果-0.2ｘ＝6，那么-0.2ｘ÷(-0.2)= 6÷(-0.2) ，
根据等式性质2，在等式两边同除(-0.2)
例2:利用等式的性质解下列方程：
（1）x + 7 = 26； （2）- 5 x = 20；
如果a b，那么ac bc
a b 如果 a bc 0 , 那么 c c
注意
1、等式两边都要参加运算，并且是作同 一种运算。 2、等式两边加或减,乘或除以的数一定是 同一个数或同一个式子。 3、等式两边不能都除以0，即0不能作除 数或分母.
练习：
如果x-3=2，那么x-3+3= 2+3
2
=2.
3、在学习了等式的性质后，小红发现运用等式的性质 可以使复杂的等式变得简洁，这使她异常兴奋，于是 她随手写了一个等式:3ａ+ｂ-2＝7ａ+ｂ-2，并开始运 用等式性质对这个等式进行变形，其过程如下： 3ａ+ｂ＝7ａ+ｂ（等式两边同时加上2） 3ａ＝7ａ（等式两边同时减去ｂ） 3＝7（等式两边同时除以ａ） 变形到此，小红顿时就傻了：居然得出如此等式！ 于是小红开始检查自己的变形过程，但怎么也找不出 错误来。 聪明的同学，你能让小红的愁眉在恍然大悟中舒展 开来吗？
等式的基本性质
等式的基本性质1：等式两边都加上或 减去同一个数或同一个整式，所得的等 式仍成立
等式的基本性质2：等式两边都乘以或 都除以(除数不为零)同一个数，所得的 等式仍成立
3．用“＜”或“＞”号填 空：
(1)-7______ -5； (2)(-3)4 ______ 34； (3)(-4)2______ (-3)2； (4)|-0.5| ______ |-1000|； (5)3+4 ______1+4； (6)5+3______ 12-5； (7)6×3______ 4×3； (8)6×(-3)______4×(-3)．
1．观察下列式子：
-7＜-5；
3+4＞1+4；
5+3≠12-5； a≠0；
a+2＞a+1； x+2＜6．
1.上述各式都是表示怎样的关系的式子？ 2.什么叫不等式？
例1： 1．用不等式表示： (1)a是正数； (2)a是负数； (3)a与b的和小于5； (4)x与2的差大于-1； (5)x的4倍大于7； (6)y的一半小于3．
例2： 用不等式表示下面的不等关系：
（1）张平的年龄比杨洋大； （2）某种电梯标明“载客不超过”
(3)设北京某一天的气温为x摄氏度. 北京某一天的最低气温是－3摄氏度， 最高气温是12摄氏度，用不等式表示为什么？
议一议：某展览会的售票员处规定：
购买零售票每人10元，购买20人一 张的团体票可以享受八折优惠。蓝
等式的基本性质-七年级数学上册课件(浙教版)
1， ，x+y，且x＞y，
∴①x+y=0， =y，x=1，
解得：x=1，y=-1，
②x+y=0， =x，y=1，
解得：y=1，x=-1（不符合题意，舍去），
∴x=1．
故答案为：1．
8．若x=-4是关于x的方程ax-b=1(a≠0)的解，则关于x的方程a(2x-3)-b1=0(a≠0)的解为______．
【详解】解：将x=-4代入方程ax-b=-4a-b=1，
a(2x-3)-b-1=0，整理得a(2x-3)-b=1，
则a(2x-3)-b=-4a-b，
∴2x-3=-4，解得x=− ，
故答案为− ．
9．王老师在黑板上写了一个等式(m-3)x=5(m-3)，小明说x=5；小刚
说不一定，当x≠5时，这个等式也可能成立．你认为他俩的说法正确
10x=15；④4x=-2变形为x=-2．
A．①③
B．①②③ C．③④
D．①②④
【答案】B
【分析】方程两边同时除以3得：x+2=0，故①正确；移项合并同类项
得：4x=-2，故②正确；方程两边同时乘以5得：10x=15，故③正确；
方程两边同时除以4得：x=- ，故④错误，即可求解．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方
依据等式的性质1两边同时减3.
(3) 怎样从等式 4x=12 得到等式 x =3?
1
依据等式的性质2两边同时除以4或同乘 4 .
a
b
(4) 怎样从等式
得到等式 a = b?
100 100
1
等式的基本性质是什么
等式的基本性质是什么等式是数学中常见的概念，它表达了两个数或表达式相等的关系。
在数学中，等式具有一些基本的性质，这些性质对于理解和解决各种数学问题非常重要。
本文将讨论等式的基本性质，包括等式的自反性、对称性、传递性以及运算性质。
1. 等式的自反性等式的自反性指的是任何数与其本身相等，即 a = a。
这是因为任何数都是与其本身相等的，例如：3 = 3、x = x。
这个性质在数学推导和证明中经常被使用。
2. 等式的对称性等式的对称性指的是如果 a = b，那么 b = a。
也就是说，两个相等的数可以互换位置，依然保持相等关系。
例如，如果3 + 4 = 7，那么7 = 3 + 4。
这个性质在简化等式和解方程时非常有用。
3. 等式的传递性等式的传递性指的是如果 a = b，b = c，那么 a = c。
也就是说，如果两个数分别与第三个数相等，那么这两个数也是相等的。
例如，如果 x + 2 = 7，7 = 5 + 2，那么我们可以得出 x + 2 = 5 + 2，进一步简化为 x = 5。
等式的传递性可以用于连续推导和证明。
4. 等式的运算性质等式的运算性质是指在等式两边同时进行相同的运算，等式仍然保持相等。
例如，对等式两边同时加上一个相同的数，两边仍然相等；对等式两边同时乘以一个相同的非零数，两边仍然相等。
例如，如果 a = b，那么 a + c = b + c；如果 a = b，且c ≠ 0，那么 ac = bc。
这个性质在解方程和推导中经常被使用。
总结起来，等式的基本性质包括自反性、对称性、传递性和运算性质。
这些性质是数学推导和证明中的基石，能够帮助我们简化等式、解方程、推导数学关系，以及构建更复杂的数学理论。
通过理解和应用等式的基本性质，我们可以更加深入地理解数学中的各种概念和问题。
正确认识等式的性质，有助于提高解决数学问题的能力，培养数学思维和推理能力。
因此，熟悉并灵活运用等式的基本性质是数学学习中的重要一步。
等式的基本性质
叫做方 未知数的值 )叫做方 )。 。 ) )
(2)求方程的解的过程叫做 解方程 求方程的解的过程叫做( 求方程的解的过程叫做
(3)比x多5的数是 。列方程为 X+5=10 比 多 的数是 的数是10。列方程为( (4)8与x的和是 。方程为 8+X=56 与 的和是 的和是56。方程为( (5)比x少1.06的数是 比 少 的数是21.5。列方程为 的数是 。 ( )。 。 X-1.06=21.5
同学们，你知道小学数学教科书的印刷过程吗？ 同学们，你知道小学数学教科书的印刷过程吗？
在一张大纸的 两面分别印上 16页教材。 页教材。 页教材
对折四次后， 对折四次后， 每页的面积是 689.75cm2。
经过装订、 经过装订、裁 边后就成了我 们看到的教科 书。
一、填空。 (1)使方程左右两边相等的 使方程左右两边相等的( 使方程左右两边相等的 程的解。 程的解。
等式两边同时乘或除以一个相同的数（ 除外），等式大小不变 除外），等式大小不变。 等式两边同时乘或除以一个相同的数（0除外），等式大小不变。
解方程 3x = 18
x x x
方程两边同时除以同 一个不等于0的数，左 一个不等于 的数， 的数 右两边仍然相等。 右两边仍然相等。
解：3x÷（3）= 18÷（3 ） ÷ ÷ x =（6） （
100g
100+x＝250
100+x=100+150 100+150=250, 所以x=150。
100+x＝250 x＝150
使方程左右两边相等的未知数的值，叫做 方程的解。 像上面，x=150就是方程100+x=250的解。 求方程的解的过程叫做解方程。
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等式基本性质（一）
一．教学目标
1.知识与技能
探究等式的性质, 并能利用等式的性质1、2进行等式变形、解简单的一元一次方程.
2.过程与方法
通过实验培养学生在动手操作、观察变化中获取知识的能力, 在类比猜想、归纳、建模和应用中提高数学综合能力.
3.情感态度与价值观
通过实验操作、疑点讨论增强学生交流协作、共同进取的意识，通过类比猜想、设疑释疑培养学生勤于思考、敢于质疑的探索精神.
二．学情分析
学生在小学已简单接触过等式的基本性质、简单的方程及其解法，进入初中后有学习了有理数、整式加减等知识，在此基础上学习利用等式的基本性质解一元一次方程就容易接受了
三．教学重、难点
重点：探究等式的性质，能根据等式性质1、2进行等式变形、解简单的一元一次方程.
难点：利用等式的性质把简单的一元一次方程变形为x = a (常数)的形式;
正确理解等式性质2中除数不能为0.
四．教学准备多媒体课件
五．教学过程
教学过程教师活动学生活动设计意图
问题引入提出问题，引起学生思考，
你能用自己的方法求下方
程的解吗？
（1）
5
2=
+
x
（2）
板书课题
积极回忆已学
的知识，并思考
回答、解决问题
抛出问题，引起学生兴
趣，激发学生好奇心与
求知欲
4
5
3
1
=
-
-x
等式的基本性
教学过程教师行为学生行为设计意图
实验探究，归纳性质
活动一1.多媒体展示课件，让图
象动起来，更加直观。
2.引导学生归纳等式的
性质1,并板书:
等式的性质1:
等式两边同时加上
(或减去)一个数(或式
子)，结果仍相等.
如果a＝b，那么a
±c＝b±c.
认真观察老师
演示，用心思
考、归纳、总结。
重视知识的发生过程，
引导学生分析、比较，
有利于学生形成良好
的数学思维习惯。
培养
学生观察、发现、归纳
总结的能力。
活动二1、多媒体展示课件
2、教师引导学生归纳
出等式的性质2, 并板
书:
等式的性质2:
等式两边同时乘一
个数，或除以同一个（不
为0）的数，结果仍相等.
如果a＝b，那么ac
＝bc，
如果a＝b，那么
c
b
c
a
=
(c≠0)，
大胆猜测并动
手验证。
培养学生的辩证思维
能力告诉学生所有的
结论都必须用自己的
实践来验证，知识必须
用自己的实际行动来
获取。
教学内容教师行为学生行为设计意图
学以致用练一练：判断对错，对的
请说出根据等式的哪
一条性质，错的请说出为
什么。
（1）如果
y
x=
思考并积极回
答问题
那么
3
1+
=
+y
x
（2）如果
y x=
那么
a
y
a
x-
+
=
-
+5
5
（3）如果
y x=
那么
y x3 2=
（4）如果
y x=
那么
2 2
y x
=
（5）如果
y x=
那么
a
y a
x
=
（6）如果
1
,≠=a
y
x
那么
1
1-
=
-a
y
a
x
思考并积极回
答问题
通过简单的练习，让学
生感觉学有所获，学有
所用，提升学生学习知
识的幸福感
例题展示小试牛刀例：利用等式的性质解下
列方程
4
5
3
1
(3)=
-
-x
教师板书规范的解题格式
1、利用等式的性质解下列
方程并检验
6
5
(1)=
-
x
学生观察
学生独立完成
并板演
教师板书例题解题格
式，培养学生数学逻辑
思维与良好的解题习
惯；通过例题学习，让
学生自己动手练习，既
巩固掌握本节知识又
能减轻课下负担。
通过巩固练习能及时
反馈学生掌握情况，
因为每个学生接受能
力不尽相同对知识的26
7
(1)=
+
x
20
5
(2)=
x
-
小试牛刀
4530 (2)=x .
3
41
2 (3)=-x
045 (4)=+x
要求学生独立完成并安排同学板演，教师巡视指导
学生独立完成 并板演
理解也不一样，通过练习既能总结更能查缺补漏。
提升练习
2、要把等式
a x m =-)4(化成
m 必须 满足什么条件？
3、 由到
的变形运用了
那个性质，是否正确，为什么？
认真思考、讨论想出解决问题的办法 通过由简到繁、由易到
难、循序渐进的练习，了解学生对知识的掌握度，使不同层次的学生都有所提高
课堂小结
学习完本课之后你有什么收获？
教师点评
学生总结
及时总结回顾既能巩固知识又能培养学生归纳能力和口头表达能力
布置作业
习题87面第二题
，4
-=m a x y
x 1=
1=xy。