数学分析中的典型问题和方法第一章课后习题答案裴礼文

裴礼文第一章习题解答

1.1.1 求复合函数表达式:

(1) 已知,,求

;(南京邮电大学等)

(2) 设,试证明,并求

(华中理工大学)

1.1.2 是否存在这样的函数,它在区间上每点取有限值,在此区

间的任何点的任意邻域内无界. (上海师范大学)

1.1.3 试说明能有无穷多个函数,其中每个函数皆使为上的恒等函数.

1.1.4 设为上的奇函数,,,

.

1)试用表达和;

2)为何值时,是以为周期的周期函数. (清华大学)

1.1.5 设(即的小数部分),,说明这时

为何不是周期函数.类似地也如此.从而周期

函数的和与差未必是周期函数.

1.1.6设是上的实函数, 的图像以直线和直线

分别作为其对称轴, 试证必是周期函数, 且周期为.

1.1.7 设是上的奇函数, 并且以直线作为对称轴,试

证必为周期函数并求其周期.

1.1.8 设是上以为周期的周期函数, 且在上严

格单调, 试证不可能是周期函数

1.1.9 证明确界的关系式:

1) 叙述数集的上确界定义, 并证明: 对于任意有界数列,总有(北京科技大学)

2) 设是两个由非负数组成的任意数集, 试证

1.1.10 试证:若,则必达到下确界(即

使得). (武汉大学)

1.1.11 设是上的实函数, 且

在上不恒等于零，但有界，试证:

、

1.1.12 设是闭区间上的增函数，如果,

试证，使得(山东大学)

1.1.13 设在, 试证，

使得. (福建师范大学)

1.2.1

1) 已知, 求证:

(武汉大学, 哈尔滨工业大学)

2) 用语言证明(清华大学)

1.2.2 用方法证明:

1)

2)

3)

1.2.3 设, 试用方法证明：

若, 则

1.2.4 设,试证收敛.

1.2.5 为一数列.试证: 若

(为有限数)

则(首都师范大学)

1.2.6 设且时有.已

知中存在子序列.试证(武汉大学)

1.2.7 设, 求证发散.

1.2.8 判断题:设是一个数列, 若在任一子序列中均存在收敛子列则必为收敛数列. (北京大学)

1.2.9 设为单调递增数列，为其一子列，若,试证(华中师范大学)

1.2.10 设是一个无界数列,但非无穷大量,证明: 存在两个子列，一个是无穷大量，另一个是收敛子列. (哈尔滨工业大学)

1.2.11 设函数在0的某个邻域有定义，

;且当时，

, ,时,对于一切, 有;另

设.试证

当右端极限存在时成立

1.2.12 证明.并求

1.3.1 求极限

(北京航空航天大学,中国科技大学)

1.3.2 证明公式:

1.3.3 求

1.3.4 求

1.3.5

1.3.6 求

(华中师范大学)

1.3.7 求(湖北大

学)

1.3.8 设在上连续,求

1.3.9 设极限存在,试求

1)

2)

1.3.10 设,求

(陕西师范大学)

1.3.11 求.(内蒙古大学)

1.3.12 .(中国科学院)

1.3.13 计算(中国科学院)

1.3.14 若求.(上海工业大学)

1.3.15 求华中师范大学)

1.3.16 证明: 当时,

1.3.17 求(浙江大学)