概率论与数理统计之贝叶斯判别分析
第5章 判别分析_1
'
def
2W ( X )
其中
W ( X ) ( X X * )' S 1 ( X (1) X ( 2) ) 1 (1) * X ( X X ( 2) ) 2
则判别准则还可以写为:
判 X G1 , 当W ( X ) 0时 判 X G2 , 当W ( X ) 0时
(2) < (1) ) , 令
(x )
(1) 2
2 1
(x )
( 2) 2
2 2
(1) 2 ( 2) 1 x 1 2
def
*
判 X G1 , x * 而按这种距离最近的判别准则为: 判 X G2 , x *
因只有一个指标,这时判别函数为:Y=Y(x)=x.此例中 * =79,因
表5.1 盐泉的特征数值 K· 3/Cl Br· 3/Cl K· 3/ 盐 10 10 10 (X1) (X2) (X3) 13.85 22.31 28.82 15.29 28.79 2.18 3.85 11.40 3.66 12.10 8.85 28.60 20.70 7.90 3.19 12.40 16.80 15.00 2.79 4.67 4.63 3.54 4.90 1.06 0.80 0.00 2.42 0.00 3.38 2.40 6.70 2.40 3.20 5.10 3.40 2.70 7.80 12.31 16.18 7.50 16.12 1.22 4.06 3.50 2.14 5.68 5.17 1.20 7.60 4.30 1.43 4.43 2.31 5.02
判别分析是用于判别样品所属类型的一种统计分析方
法,是根据表明事物特点的变量值和它们所属的类,求出判
统计学中的贝叶斯定理解析
统计学中的贝叶斯定理解析统计学是一门研究数据收集、分析和解释的学科。
在统计学中，贝叶斯定理是一项重要的理论，它可以用来更新我们对一件事情的信念或概率。
贝叶斯定理在各个领域都有广泛的应用，包括医学、金融、工程等。
贝叶斯定理是由英国数学家托马斯·贝叶斯提出的，它建立在条件概率的基础上。
条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。
贝叶斯定理的核心思想是在已知某一事件发生的条件下，通过考虑其他相关事件的信息，来更新我们对该事件发生的概率。
具体而言，贝叶斯定理可以表示为：P(A|B) = (P(B|A) * P(A)) / P(B)。
其中，P(A|B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率；P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率；P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B独立发生的概率。
贝叶斯定理的应用可以通过一个简单的例子来说明。
假设某地区的癌症发生率为0.1%，现在有一种新型的癌症筛查方法，它的准确率为99%。
如果一个人的筛查结果为阳性，那么他真的患有癌症的概率是多少？根据贝叶斯定理，我们可以计算出答案。
假设事件A表示一个人患有癌症，事件B表示筛查结果为阳性。
根据已知条件，P(A) = 0.001，P(B|A) = 0.99，P(B)可以通过全概率公式计算得出，即P(B) = P(B|A) * P(A) + P(B|非A) * P(非A) = 0.99 * 0.001 + 0.01 * (1-0.001) = 0.01098。
根据贝叶斯定理，P(A|B) = (P(B|A) * P(A)) / P(B) = (0.99 * 0.001) / 0.01098 ≈ 0.0901。
也就是说，一个人在筛查结果为阳性的情况下，真正患有癌症的概率约为9.01%。
这个结果可能会让人感到吃惊，因为筛查方法的准确率高达99%，但实际上阳性结果的可靠性并不高。
贝叶斯定理的优势在于它可以将先验知识与新的证据相结合，从而得出更准确的概率估计。
贝叶斯判别函数范文
贝叶斯判别函数范文一、贝叶斯判别函数的原理贝叶斯判别函数的原理基于贝叶斯定理，贝叶斯定理是指在已知一个样本属于一些类别的前提下，计算其属于其他类别的概率。
根据贝叶斯定理，可以得到条件概率：P(类别，样本)=P(样本，类别)*P(类别)/P(样本)。
其中，P(类别，样本)表示样本属于一些类别的概率，P(样本，类别)表示样本在该类别下出现的概率，P(类别)表示该类别发生的概率，P(样本)表示样本出现的概率。
在分类问题中，根据贝叶斯定理可以将贝叶斯判别函数表示为：f(类别，样本)=f(样本，类别)*p(类别)其中，f(类别，样本)表示样本属于其中一类别的后验概率，f(样本，类别)表示样本在类别下的概率密度函数，p(类别)表示该类别的先验概率。
二、贝叶斯判别函数的应用三、贝叶斯判别函数的实现方法1.模型训练模型训练包括计算样本在每个类别下的条件概率和先验概率。
首先，需要计算每个类别的先验概率，即计算每个类别的样本数量占总样本数量的比例。
然后，计算每个类别下每个特征的条件概率。
特征可以是离散值或连续值，对于离散值的特征，可以直接计算样本在该特征上取一些值的条件概率；对于连续值的特征，可以使用高斯分布来估计样本在该特征上的条件概率。
最后，可以根据计算得到的先验概率和条件概率，得到贝叶斯判别函数。
2.分类分类的过程就是将样本输入到判别函数中，计算样本属于每个类别的后验概率，然后选择后验概率最大的类别作为样本的分类结果。
具体地，对于一个样本，将其输入到判别函数中，计算该样本在每个类别下的后验概率，即计算f(类别，样本)=f(样本，类别)*p(类别)。
然后选择后验概率最大的类别作为该样本的分类结果。
四、贝叶斯判别函数的优缺点优点：1.贝叶斯判别函数是一种简单而有效的分类算法，具有很高的准确率。
2.贝叶斯判别函数基于概率统计，能够较好地处理不完整和不确定的信息，对于噪声数据具有较好的鲁棒性。
3.贝叶斯判别函数基于先验概率和条件概率，能够充分利用样本信息，减少了样本数量的要求。
统计学研究中的贝叶斯分析方法
统计学研究中的贝叶斯分析方法统计学是一门研究数据收集、分析和解释的学科。
在统计学中，贝叶斯分析方法是一种重要的统计推断方法，它基于贝叶斯概率理论，通过先验知识和实证数据来更新对未知参数的推断。
贝叶斯分析方法在各个领域中广泛应用，包括医学、经济学、生态学等。
在传统的统计学中，我们通常使用频率学派方法来进行统计推断。
频率学派方法主要依赖于大样本理论，通过观察到的数据来推断参数的真实值。
但是在实际中，样本往往是有限的，这就带来了一定的不确定性。
而贝叶斯分析方法可以在不完全信息下提供更精确的推断结果。
贝叶斯分析方法的一个重要概念是贝叶斯定理，即后验概率等于似然函数与先验概率的乘积除以边缘似然函数。
这个定理的核心思想是在观察到数据之后，我们可以通过将之前的知识和观察到的数据结合起来来更新对未知参数的推断。
贝叶斯分析方法的另一个关键概念是先验分布和后验分布。
先验分布是对未知参数的预先假设分布，它反映了我们对未知参数的先前知识或信念。
而后验分布则是在观察到数据后，根据贝叶斯定理计算得到的未知参数的概率分布。
通过后验分布，我们可以得到对未知参数的点估计、区间估计和预测。
贝叶斯分析方法的优点在于它能够利用先验信息来提供更准确的推断结果。
这在小样本情况下特别有用，因为先验信息可以帮助我们更好地缩小参数空间，减少不确定性。
而传统的频率学派方法在小样本情况下通常会产生较大的不确定性。
贝叶斯分析方法也可以应用于模型比较和选择。
在贝叶斯框架中，我们可以使用贝叶斯因子或边际似然来比较不同的模型。
这样我们可以选择最优的模型，从而提供最准确的预测和解释。
贝叶斯分析方法还可以与其他统计方法结合使用，如蒙特卡洛方法和马尔可夫链蒙特卡洛方法。
蒙特卡洛方法通过模拟伪随机数来近似计算复杂的概率积分，从而得到未知参数的分布。
而马尔可夫链蒙特卡洛方法则通过构建一个马尔可夫链，从而生成服从未知参数分布的样本。
这些方法可以帮助我们更好地处理高维参数空间和复杂的模型。
贝叶斯判别分析课件
02
03
与决策树比较
贝叶斯判别分析提供了更稳定的预测 ，而决策树可能会因为数据的微小变 化而产生大的预测变化。
05
贝叶斯判别分析的案例分 析
案例一：信用卡欺诈检测
总结词
信用卡欺诈检测是一个经典的判别分析应用场景，通过贝叶斯判别分析可以有效地识别 出欺诈交易，减少经济损失。
详细描述
信用卡欺诈检测是金融领域中一个非常重要的问题。随着信用卡交易量的增长，欺诈行 为也日益猖獗，给银行和消费者带来了巨大的经济损失。贝叶斯判别分析可以通过对历 史交易数据的学习，建立分类模型，对新的交易进行分类，判断是否为欺诈行为。通过
市场细分
在市场营销中，贝叶斯判别分析 可以用于市场细分，通过消费者 行为和偏好等数据，将消费者划 分为不同的群体。
02
贝叶斯判别分析的基本概 念
先验概率与后验概率
先验概率
在贝叶斯理论中，先验概率是指在考 虑任何证据之前对某个事件或假设发 生的可能性所做的评估。它是基于过 去的经验和数据对未来事件的预测。
的类别。
它基于贝叶斯定理，通过将先验 概率、似然函数和决策函数相结 合，实现了对未知样本的分类。
贝叶斯判别分析在许多领域都有 广泛的应用，如金融、医疗、市
场营销等。
贝叶斯判别分析的原理
01
02
03
先验概率
在贝叶斯判别分析中，先 验概率是指在进行观测之 前，各类别的概率分布情 况。
似然函数
似然函数描述了观测数据 在给定某个类别下的概率 分布情况。
后验概率
后验概率是指在考虑了某些证据之后 ，对某个事件或假设发生的可能性所 做的评估。它是基于新的信息和证据 对先验概率的修正。
似然函数与贝叶斯定理
统计学中的贝叶斯分析
统计学中的贝叶斯分析统计学中的贝叶斯分析是一种基于贝叶斯理论的统计推断方法。
它的基本思想就是在已知部分信息的条件下，通过新的信息更新已有的知识。
贝叶斯分析主要用于概率推断的问题，如参数估计、假设检验和预测等。
一、贝叶斯理论的基本原理贝叶斯理论是由英国数学家托马斯·贝叶斯于18世纪提出的。
其核心思想是先验概率与后验概率的关系。
在统计学中，先验概率指在得到新数据之前已经存在的概率分布，后验概率指在得到新数据之后，加入新信息后的概率分布。
贝叶斯规则的核心是后验概率与先验概率的比例。
贝叶斯规则可以表示为下式：P(θ|D) = P(D|θ) * P(θ) / P(D)其中，P(D|θ)为给定参数假设下的数据概率分布，P(θ)为先验概率分布，P(D)为数据在所有参数假设下的边缘概率分布。
P(θ|D)即为后验概率分布，它表示在得到新数据之后，参数假设的先验概率发生了变化，根据新的数据更新出来的概率分布。
二、贝叶斯分析的应用1. 参数估计在统计学中，参数估计是指在已知一些随机变量的取值的条件下，对这些变量的参数进行估计。
贝叶斯分析通过先验概率分布和后验概率分布的比较，可以对未知参数进行估计，得到更加精确的估计结果。
2. 假设检验假设检验是指对一个统计假设进行检验，从而评估是否拒绝或接受该假设。
贝叶斯分析可以提供更加灵活和个性化的假设检验方法，可以将假设检验的结果看做是判断假设是否成立的一种概率值，更加符合实际情况。
3. 预测在贝叶斯分析中，可以将先验概率分布作为一个“预测模型”，利用该模型对新数据进行预测。
预测结果是一个后验概率分布，表示给定已知数据下，未知变量的概率分布。
这种预测方法可以用于各种领域的研究，如气象预报、金融市场预测和医学诊断等。
三、贝叶斯分析的优点和局限贝叶斯分析相对于传统的统计方法，有许多优点。
首先，在小规模数据下，贝叶斯方法得到更加准确和精细的结果。
其次，贝叶斯方法更加灵活，可以更好地处理缺失或不完整的数据。
高中数学的解析概率与统计中的贝叶斯定理
高中数学的解析概率与统计中的贝叶斯定理解析概率与统计是高中数学中的一个重要内容，其中涉及了许多概率和统计的概念和方法。
而在解析概率与统计的学习中，贝叶斯定理是一个非常关键的概念。
本文将对贝叶斯定理的原理和应用进行详细阐述。
一、贝叶斯定理的基本概念与原理贝叶斯定理是基于条件概率的一种计算方法，其基本概念和原理可以通过以下公式来表示：P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)其中，P(A|B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率；P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率；P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B的概率。
贝叶斯定理的原理可以通过以下推导来理解：假设已知事件A发生的情况下，事件B发生的概率为P(B|A)，而事件A发生的概率为P(A)；同时，根据全概率公式，事件B的概率可以表示为P(B) = P(A) * P(B|A) + P(A') * P(B|A')，其中A'表示事件A不发生的情况下；那么，根据条件概率的定义，可以得到P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)。
二、贝叶斯定理的应用举例贝叶斯定理在实际问题中有着广泛的应用，下面将通过一个实例来说明其应用过程。
假设某地区的患某种疾病的发病率为1%，并且医生利用一种新的检测方法对该疾病进行检测。
据统计，如果一个人患该疾病，那么该检测方法能够正确识别的概率为99%；而对于一个健康人来说，该检测方法误判为患病的概率为5%。
现在有一个人通过该检测方法得出阳性结果，请问这个人患该疾病的概率是多少？解答：设事件A表示该人患该疾病，事件B表示该人通过检测方法得到阳性结果。
已知P(A) = 1%，P(B|A) = 99%，P(B|A') = 5%。
根据贝叶斯定理，可以计算该人患该病的概率P(A|B) = P(B|A) *P(A) / (P(B|A) * P(A) + P(B|A') * P(A'))= 0.99 * 0.01 / (0.99 * 0.01 + 0.05 * 0.99)≈ 0.99 * 0.01 / (0.99 * 0.01 + 0.05 * 0.99)≈ 0.99 * 0.01 / (0.99 * 0.01 + 0.0495)≈ 0.99 * 0.01 / 0.0995≈ 0.0099 / 0.0995≈ 0.099≈ 9.90%因此，通过该检测方法得到阳性结果的人患该疾病的概率约为9.90%。
贝叶斯判别分析ppt课件
判别.
19
表4-2 两类企业财务状况数据
G1（破产企业）
G2（非破产企业）
X1
X2
-0.45 -0.41
-0.56 -0.31
0.06 0.02
-0.07 -0.09
-0.10 -0.09
-0.14 -0.07
p20=1-chi2cdf(Q20, p*(p+1)/2) %卡方分布概率p20 p20 P{Q2 Q20}
输出结果：Q10=2.5784，Q20=0.7418均<7.8147=λ，
p10=0.4613,p20=0.8633,均>0.05,
认为两个总体协方差矩阵相等
15
（2）估计两个总体的先验概率 按样本容量比例选取.由于Apf与Af分别为
回代误判率: p pˆ N1 N2
n1 n2
交叉误判率：
p
pˆ *
N1*
N
* 2
mn
11
例4.3.1 6只Apf和9只Af蠓虫触角长度和翅膀长度数据: Apf：(1.14,1.78), (1.18,1.96), (1.20,1.86), (1.26,2.00), (1.28,2.00), (1.30,1.96) ； Af：(1.24,1.72), (1.36,1.74), (1.38,1.64),(1.38,1.82), (1.38,1.90),(1.40,1.70),(1.48,1.82),(1.54,1.82), (1.56,2.08).
0.40 0.38 0.11 3.27
0.26 0.19 0.05 2.25
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2034.1 158.933 44.867 144.333 158.933 220.367 14 . 2 7 ＝ 44.867 14.2 202.034 6.833 144 . 333 7 6 . 833 95 . 933
由于 ln q ln q ln q ln 1 1.0986 1 2 3 三组判别函数分别为：
判别分析，首先要知道待判总体的先验概率和 密度函数。对于先验概率，一般用样品的频率
qg ng n
来代替 。或者令先验概率相等，这时可
以认为先验概率不起作用。
p元正态分布密度函数为 ： 1 ( g ) ' ( g ) 1 f g ( x) (2 ) exp ( x ) ( x ( g ) ) 2 式中 ( g )和 ( g )分别是第g总体的均值向量和协 方差阵。把f g ( x)
先验概率和后验概率
• 先验概率是指根据以往经验和分析得到的概率，它往 往作为“由因求果”问题中的“因”出现。
• 后验概率是指在得到“结果”的信息后重新修正的概 率，是“执果寻因”问题中的“因”。后验概率是基 于新的信息，修正原来的先验概率后所获得的更接近 实际情况的概率估计。
先验概率和后验概率的区别：
g g
（2）假设协方差阵相等
Z ( g / x)中含有k个总体的协差阵 ( g )的行列式及逆矩阵，而 且对x二次 函数，实际计算工作量 很大。如果假定 k个总体的协差阵相同， 即 1 (1) ( 2) (k ) (g) ' ( g ) 1 ＝ ＝＝ ＝，这时Z ( g / x)中的 ln 和x x两项与g无 2 关，求最大时可以去掉 ，最终得到如下形式的 判别函数与判别准则
• 先验概率不是根据有关自然状态的全部资料测定的， 而只是利用现有的材料(主要是历史资料)计算的；后 验概率使用了有关自然状态更加全面的资料，既有先 验概率资料，也有补充资料；
• 先验概率的计算比较简单，没有使用贝叶斯公式；而 后验概率的计算，要使用贝叶斯公式，而且在利用样 本资料计算逻辑概率时，还要使用理论概率分布，需 要更多的数理统计知识。
判别原则： 样品属于判别函数值最大的一组。 回判结果如表5.11所示：
类别
序号 1
原分类Actual 1
回判组别 1
后验概率 0.998
胃癌 患者
胃癌 患者
2
3 4 5 6
1
1 1 1 2 2 2 2 2
1
1 3* 1 2 2 3* 2 2
0.977
0.999 0.578 0.999 0.457 0.700 0.518 0.662 0.616
p/2 ( g ) 1 / 2
代入p( g / x)的表达式中，因为我们 只关心寻找使p( g / x)最大 的g，而分式中的分母不论 g为何值都是常数，故可 改令 q g f g ( x) max 取对数并去掉与 g无关的项，记为： 1 1 (g) ( g ) ' ( g ) 1 Z ( g / x) ln q g ln ( x ) (x (g) ) 2 2 1 1 ' ( g ) 1 1 ( g ) ' ( g ) 1 ( g ) (g) ' ( g ) 1 ( g ) ln q g ln x x x 2 2 2 则问题转化为： Z ( g / x) max
P(Gi x) qi f i ( x)
i i
q f ( x)
i 1
k
i 1,2 k
最大后验概率判别准则： x Gl , 若P (Gl x) max P (Gi x)
1i k
2、多元正态总体的Bayes判别法
•在实际问题中遇到的许多总体往往服从正态分 布，下面给出p元正态总体的Bayes判别法。 （1）判别函数的导出 由前面的叙述可知，使用Bayes判别法作
类别
序号 1 2
血清铜蛋白 228 245 200 170 100 225
蓝色反应 134 134 167 150 167 125
尿吲哚乙酸 20 10 12 7 20 7
中性硫化物 11 40 27 8 14 14
胃癌 患者
胃癌 患者
3 4 5 6
萎缩 性胃 炎患 者
非胃 癌患 者 非胃 炎患 者
萎缩 性胃 炎患 者
非胃 癌患 者 非胃 炎患 者
7 8 9 10
11
12 13 14 15
3
3 3 3 3
2*
3 3 3 3
0.616
0.681 0.839 0.587 0.583
待判者
16
1*
0.996
• 误判的样本是4、8、11，回判后分别属 于3、3、2组，即非胃炎患者、非胃炎 患者、萎缩性胃炎患者。 • 并从表中可以看出，在15名患者数据所 构成训练的基础之上，第16个数据（即 待判者）属于胃癌患者，从而达到了判 别的效果。
贝叶斯判别分析
汇报人： 学号：
贝叶斯判别分析
从距离判别法来看，它存在以下不足： （1）判别方法与总体各自出现的概率的大小无关； （2）判别方法与错判之后所造成的损失无关。 从费歇尔判别法来看，它随着总体个数的增加，建立的 判别函数式个数也增加，因而计算起来比较麻烦。 如果对多个总体的判别考虑的不是建立判别式，而是计 算新给样品属于各总体的条件概率P(l/x)，比较这k个 概率的大小，然后将样品判归为来自概率最大的总体， 这种判别方法称为贝叶斯判别方法。
g 1 ( g ) ' 1 ( g ) ' ( g ) 1 ( g ) y ( g / x) ln q g x max 2
（3）计算后验概率
在进行分类计算时，主 要根据判别式 y ( g / x)的大小，而不是后验概 率 P( g / x)，但是有了y ( g / x)之后，就可以根据下式 算出P( g / x)： P( g / x)＝ expy ( g / x)
7
8
130
150
100
117
6
7
12
6
9
10 11 12 13 14 15
120
160 185 170 165 135 100
133
100 115 125 142 108 117
10
5 5 6 5 2 7
26
10 19 4 3 12 2
解
X (1) (188.60,150.40,13.8,20.0); X ( 2) (157,115,7,13.6); X (3) (151 ,121.4,5,8)
3
f1 1.0986 79.212 0.164x1 0.753x2 0.778x3 0.073x4 f 2 1.0986 46.721 0.130x1 0.595x2 0.317x3 0.012x4 f 3 1.0986 49.598 0.130x1 0.637x2 0.100x3 0.059x4
expy(i / x)＝ln(q g f g ( x)) ( x) 其中( x)是 ln(q g f g ( x))中与g无关的部分。 所以P( g / x)＝ q g f g ( x)
k i 1 i i
q f ( x) expy(i / x) ( x)
1、Bayes判别法基本思想
• Bayes判别法的基本思想是假定对所研究的对 象已有一定的认识，常用先验概率来描述这 种认识；然后抽取一个样本，用样本来修正 已有的认识（先验概率分布），得到后验概 率分布。各种统计推断都是通过后验概率分 布来进行。
设有k个总体 G1, G2 , G3 Gk 且总体 Gi 的概率密度为 f i ( x) ，样本x来自 Gi 的先验概率为 qi , i 1,2k , 满足 q1 q2 qk 1 ．利用贝叶斯理论，x属于 G 的后验概率 i 即当样本x已知时，它属于 Gi 的概率为：
expy ( g / x)exp( x)
i 1 k
＝
expy ( g / x) ( x)
k
expy(i / x)exp( x) expy(i / x)
i 1 i 1
expy ( g / x)
k
由上式知，使y为最大的h，其P( g / x)必为最大， 因此我们只须把样品 x代入判别式中：分别计 算 y ( g / x)，g 1,2,, k。 若 y (h / x)＝maxy ( g / x)
1 g k
则把样品x归入第h总体。
例（胃癌的鉴别）为了判别病人是胃癌、还是 萎缩性胃炎。现对患有胃癌、萎缩性胃炎和非 胃炎患者中随机抽取15个病人，每人化验4项生 化指标：血清铜蛋白（X1）、蓝色反映（X2）、 尿吲哚乙酸（X3）和中性硫化物（X4），具体 数据见表5.10。试用贝叶斯判别分析，对这15个 样品进行判别归类。 并在此基础上，判断X1=205，X2=140，X3=11， X4=20属于哪一种患者？