步步高 高考小题满分练3

小题满分练3 一、单项选择题 1．(2022·全国甲卷)设全集U＝{－2，－1，0,1,2,3}，集合A＝{－1,2}，B＝{x|x2－4x＋3＝0}，则∁U(A∪B)等于( ) A．{1,3} B．{0,3} C．{－2,1} D．{－2,0} 答案 D 解析 集合B＝{1,3}，所以A∪B＝{－1,1,2,3}，所以∁U(A∪B)＝{－2,0}．

2．(2022·衡水模拟)已知复数z＝1＋ai1－2i(a∈R)在复平面上对应的点在直线x＋y＝0上，则a等于( ) A．－2 B．2 C．－3 D．3 答案 D

解析 因为z＝1＋ai1－2i＝1＋ai1＋2i1－2i1＋2i

＝1－2a＋a＋2i5， 所以其在复平面内对应点的坐标为1－2a5，a＋25， 由题意知1－2a5＋a＋25＝0，解得a＝3. 3．(2022·济南模拟)函数f(x)＝ln|x|ex＋e－x的大致图象是( ) 答案 D 解析 因为f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， 且f(x)＝f(－x)， 所以f(x)是偶函数，排除B； 又f(1)＝0，排除C； 当x>1时，函数y＝ex＋e－x比y＝ln x增长得更快，故函数的大致图象为D选项． 4．(2022·凉山模拟)正项等比数列{an}与正项等差数列{bn}，若a1a5＝b5b7，则a3与b6的关系是( ) A．a3＝b6 B．a3≥b6 C．a3≤b6 D．以上都不正确 答案 C 解析 设等差数列{bn}的公差为d， 则b5b7＝(b6－d)(b6＋d)＝b26－d2， 又a1a5＝a23，

∴a23＝b26－d2≤b26， ∵{an}，{bn}均为正项数列， ∴a3≤b6. 5．(2022·萍乡模拟)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝kx(k>0)与C相交于M，N两点(M在第一象限)．若M，F1，N，F2四点共圆，且直线NF2的倾斜角为π6，则椭圆C的离心率为( )

A.22 B.3－1 C.32 D.2－1 答案 B 解析 根据题意四边形MF1NF2为平行四边形， 又由M，F1，N，F2四点共圆，可得平行四边形MF1NF2为矩形，即NF1⊥NF2.

又直线NF2的倾斜角为π6， 则有∠MF1F2＝π6，则|MF2|＝12|F1F2|＝c，

|MF1|＝32|F1F2|＝3c， 则2a＝|MF1|＋|MF2|＝(1＋3)c，

即c＝21＋3a＝(3－1)a，

则椭圆C的离心率e＝ca＝3－1. 6.(2022·六安模拟)我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”．这可视为中国古代极限思想的佳作．割圆术可以视为将一个圆内接正n边形等分成n个等腰三角形(如图所示)，当n变得很大时，等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积．运用割圆术的思想，可得到sin 2°的近似值为( )

A．0.035 B．0.026 C．0.018 D．0.038 答案 A 解析 将一个单位圆分成180个扇形， 则每个扇形的圆心角度数均为2°， ∵这180个扇形对应的等腰三角形的面积之和近似于单位圆的面积， ∴180×12×1×1×sin 2°＝90sin 2°≈π， ∴sin 2°≈π90≈0.035. 7．已知ex－y>ln y－x，则下列结论正确的是( ) A．x>y B．x>ln y C．x答案 B 解析 由题意知ex－y>ln y－x，

可以化为ex＋x>y＋ln y＝ln y＋eln y， 所以可以构造函数f(x)＝ex＋x， 因为f(x)＝ex＋x在R上单调递增， 又f(x)＝ex＋x>ln y＋eln y＝f(ln y)． 所以x>ln y. 8.(2022·安徽省鼎尖联盟联考)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝2，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2CD＝4，则四棱锥P－ABCD外接球半径为( )

A.3 B．2 C.5 D.6 答案 C 解析 如图所示，在等腰梯形ABCD中，

由BC＝2AD＝2AB ＝2CD＝4， 过A作AM⊥BC，垂足为M，可得BM＝1， 在Rt△ABM中，可得cos∠ABM＝BMAB＝12， 可得∠ABM＝60°， 即∠ABC＝∠DCB＝60°， 取BC的中点E，连接EA，ED， 可得EA＝EB＝EC＝ED＝2，所以梯形ABCD内接于以E为圆心，半径r＝2的圆， 设四棱锥P－ABCD外接球的球心为O，连接OA，OE，过O作OF∥AE交PA于点F，连接OP 易知OE⊥平面ABCD，又因为PA⊥平面ABCD，所以OEAF为矩形，F为AP中点，PA＝2，所以OE＝12PA＝1，设四棱锥P－ABCD外接球半径为R，所以R＝r2＋OE2＝22＋12＝5. 二、多项选择题 9．(2022·济宁模拟)在某市高三年级举行的一次模拟考试中，某学科共有20 000人参加考试．为了了解本次考试学生成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩(成绩均为正整数，满分为100分)作为样本进行统计，样本容量为n.按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的分组作出频率分布直方图如图所示．其中，成绩落在区间[50,60)内的人数为16.则下列结论正确的是( )

A．样本容量n＝1 000 B．图中x＝0.030 C．估计该市全体学生成绩的平均分为70.6分 D．该市要对成绩由高到低前20%的学生授予“优秀学生”称号，则成绩为78分的学生肯定能得到此称号 答案 BC

解析 对于A，因为成绩落在区间[50,60)内的人数为16，所以样本容量n＝160.016×10＝100，

故A不正确； 对于B，因为(0.016＋x＋0.040＋0.010＋0.004)×10＝1，解得x＝0.030，故B正确； 对于C，学生成绩平均分为 0．016×10×55＋0.030×10×65＋0.040×10×75＋0.010×10×85＋0.004×10×95＝70.6，故C正确； 对于D，因为10×(0.004＋0.010)＋(80－78)×0.040＝0.22>0.20， 即按照成绩由高到低前20%的学生中不含78分的学生，所以成绩为78分的学生不能得到此称号，故D不正确． 10.(2022·衡水中学调研)函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω>0，－π说法正确的是( ) A．将函数f(x)的图象向左平移π3个单位长度，得到一个奇函数的图象 B．直线x＝－π6是f(x)图象的一条对称轴 C．f(x)在区间17π6，23π6上单调递增 D．f(x)的图象关于点4π3，0对称 答案 ABD 解析 由图知，函数的周期T满足 34T＝5π6－－2π3＝3π2，

解得T＝2π， ∴ω＝2πT＝2π2π＝1，

将点5π6，1代入函数f(x)的解析式， 得1＝cos5π6＋φ， 解得φ＝－5π6＋2kπ，k∈Z， ∵－π∴φ＝－5π6，f(x)＝cosx－5π6. 对于A，将函数f(x)的图象向左平移π3个单位长度后得到g(x)＝cosx－π2＝sin x， 此时g(x)＝sin x为奇函数，故A正确； 对于B，当x＝－π6时， f －π6＝cos

－π6－

5π

6＝－1，

所以直线x＝－π6是f(x)图象的一条对称轴，故B正确； 对于C，f(x)＝cosx－5π6的单调递增区间满足 －π＋2kπ≤x－5π6≤2kπ，k∈Z，

即单调递增区间为－π6＋2kπ，5π6＋2kπ，k∈Z， 当k＝1时，单调递增区间为11π6，17π6， 当k＝2时，单调递增区间为23π6，29π6， 所以f(x)在区间17π6，23π6上单调递减， 故C错误； 对于D，当x＝4π3时， f 4π3＝cos

4π3－5π

6＝cos π2＝0，故D正确．

11．(2022·南京模拟)在平面直角坐标系Oxy中，已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的离心率为52，且双曲线C的左焦点在直线x＋y＋5＝0上，A，B分别是双曲线C的左、右顶点，点P是双曲线C右支上位于第一象限的动点，记PA，PB的斜率分别为k1，k2，则下列说法正确的是( ) A．双曲线C的渐近线方程为y＝±2x

B．双曲线C的方程为x24－y2＝1 C．k1k2为定值14 D．存在点P，使得k1＋k2＝1 答案 BC 解析 对于A选项，

ba2＝c2－a2a2＝e2－1＝14，则ba＝12，

所以双曲线C的渐近线方程为y＝±bax＝±12x，A错误；

对于B选项，由题意可得－c＋5＝0， 可得c＝5，a＝ce＝2，b＝12a＝1，