小题满分练3(解析版)-2021年高考数学二轮专题突破(新高考)
小题专练04-2021届高考数学二轮复习新高考版含解析
小题专练04三角函数、平面向量与解三角形(B )一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(考点:正弦定理,★)已知在△ABC 中,A=30°,a=7,则a+b+c sinA+sinB+sinC =( ).A .16B .15C .14D .13 2.(考点:两向量垂直的性质,★)已知a=(2,-1),b=(1,λ),若(3a-2b )⊥b ,则实数λ的值为( ).A .-3+√414或-3-√414 B .-3-√414 C .-3+√414 D .23.(考点:平面向量的坐标运算,★★)已知向量OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,0),ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1),MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则当|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |取最小值时,实数t=( ).A .15B .12C .910D .14.(考点:三角恒等变换,★★)已知cos (π10-α)=25,则cos (9π5+2α)的值为( ).A .19B .1725C .-19D .-17255.(考点:三角函数的图象与性质,★★)将函数f (x )=sin (2x -π3)的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度,得到函数g (x )的图象,且g (-x )=g (x ),则φ的一个可能值为( ).A .π6B .π4C .π3D .π12 6.(考点:平面向量的数量积,★★)已知在△ABC 中,AB=3,AC=1,∠BAC=30°,D ,E 分别为AB ,BC 的中点,则AE⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ). A .14-3√38 B .3√38 C .2 D .17.(考点:三角恒等变换及函数的性质,★★★)已知函数f (x )=cos (2x -π6)-2√3sin (x +π4)cos x+π4,x ∈R,给出下列四个结论:①函数f (x )的最小正周期为4π;②函数f (x )的最大值为1;③函数f (x )在[-π4,π4]上单调递增;④将函数f (x )的图象向左平移π12个单位长度,所得图象对应的函数解析式为g (x )=sin 2x.其中正确结论的个数是( ).A.1B.2C.3D.48.(考点:解三角形的实际应用,★★★)一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱,为了测量喷水柱喷出的水柱的高度,某人在喷水柱正西方向的点A处测得水柱顶端的仰角为30°,沿点A向北偏东60°方向前进10 m到达点B,在点B处测得水柱顶端的仰角为45°,则水柱的高度是().A.5 mB.10 mC.10 m或5 mD.15 m二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.(考点:平面向量,★★)已知a,b是单位向量,且a+2b=(1,-2),则下列结论正确的是().A.|a+2b|=√5B.a与b垂直C.a与a-2b的夹角为π4D.|a-2b|=510.(考点:三角函数的基本性质,★★)下列命题正确的是().A.若α,β是锐角,且α>β,则tan α>tan βB.函数y=sin(π-2x)是偶函数C.y=sin|x|是周期为2π的周期函数D.函数y=cos(x+π3)的图象关于点(π6,0)成中心对称11.(考点:解三角形,★★)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(a2+c2-b2)tan B=ac,则角B的值可能为().A.π6B.π3C.5π6D.2π312.(考点:三角恒等变换及函数的性质,★★★)已知函数f(x)=sin2x+2sin x cos x-cos2x,x∈R,则下列结论正确的是().A.-√2≤f(x)≤√2B.f(x)在区间(π8,5π8)上只有1个零点C.2π为f(x)的一个周期D.直线x=π2为f(x)图象的一条对称轴三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(考点:三角函数的性质,★★)函数f(x)=cos2x-2sin x的最大值为.14.(考点:平面向量的数量积,★★)若|a|=√3,|b|=4,且(a-b )⊥a ,则a 与b 的夹角的余弦值是 .15.(考点:利用正、余弦定理解三角形,★★)已知a ,b ,c 分别为△ABC 的三个内角A ,B ,C 的对边,若c=√3,b=√6,B=150°,则△ABC 的面积为 .16.(考点:三角恒等变换及函数的性质,★★★)设函数f (x )=sin 2x+2cos 2x ,则函数f (x )的最小正周期为 ;若对于任意x ∈R,都有f (x )≤m 成立,则实数m 的取值范围为 .答案解析：一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(考点:正弦定理,★)已知在△ABC 中,A=30°,a=7,则a+b+c sinA+sinB+sinC =( ). A .16 B .15 C .14 D .13【解析】依题意,利用正弦定理可得a sinA =2R=7sin30°=14,所以a+b+c sinA+sinB+sinC=2R (sinA+sinB+sinC )sinA+sinB+sinC =2R=14.【答案】C2.(考点:两向量垂直的性质,★)已知a=(2,-1),b=(1,λ),若(3a-2b )⊥b ,则实数λ的值为( ).A .-3+√414或-3-√414 B .-3-√414 C .-3+√414 D .2【解析】由题意可得3a-2b=(4,-3-2λ),∵(3a-2b )⊥b ,∴(3a-2b )·b=(4,-3-2λ)·(1,λ)=0,即2λ2+3λ-4=0,解得λ=-3+√414或λ=-3-√414.故选A .【答案】A3.(考点:平面向量的坐标运算,★★)已知向量OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,0),ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1),MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则当|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |取最小值时,实数t=( ).A .15B .12C .910D .1 【解析】由MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,得OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +t (ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=(3,0)+t [(0,1)-(3,0)]=(3-3t ,t ), 所以|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(3-3t )2+t 2=√10t 2-18t +9=√10(t -910)2+910,故当t=910时,|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |取到最小值. 【答案】C4.(考点:三角恒等变换,★★)已知cos (π10-α)=25,则cos (9π5+2α)的值为( ).A .19B .1725C .-19D .-1725 【解析】由题意得cos (9π5+2α)=cos (2α-π5)=cos [2(α-π10)]=2cos 2(α-π10)-1=2cos 2(π10-α)-1=-1725. 【答案】D 5.(考点:三角函数的图象与性质,★★)将函数f (x )=sin (2x -π3)的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度,得到函数g (x )的图象,且g (-x )=g (x ),则φ的一个可能值为( ).A .π6B .π4C .π3D .π12【解析】由题意可得g (x )=sin (2x -2φ-π3),又g (-x )=g (x ),所以g (x )为偶函数,故-2φ-π3=k π+π2,k ∈Z,所以φ=-5π12-kπ2,k ∈Z, 所以当k=-1时,φ=π12.故选D .【答案】D6.(考点:平面向量的数量积,★★)已知在△ABC 中,AB=3,AC=1,∠BAC=30°,D ,E 分别为AB ,BC 的中点,则AE⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ). A .14-3√38 B .3√38 C .2 D .1【解析】由题意可得AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -AC ⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =14|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2-12|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2-14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =14×9-12×1-14×3×1×cos 30°=14-3√38. 【答案】 A7.(考点:三角恒等变换及函数的性质,★★★)已知函数f (x )=cos (2x -π6)-2√3sin (x +π4)cos x+π4,x ∈R,给出下列四个结论:①函数f (x )的最小正周期为4π;②函数f (x )的最大值为1;③函数f (x )在[-π4,π4]上单调递增;④将函数f (x )的图象向左平移π12个单位长度,所得图象对应的函数解析式为g (x )=sin 2x.其中正确结论的个数是( ).A .1B .2C .3D .4【解析】f (x )=cos (2x -π6)-√3sin (2x +π2)=cos 2x cos π6+sin 2x sin π6-√3cos 2x=12sin 2x-√32cos 2x=sin (2x -π3). f (x )的最小正周期T=2π2=π,故①错误; ∵x ∈R,∴sin (2x -π3)∈[-1,1],即f (x )的最大值为1,故②正确;当x ∈[-π4,π4]时,2x-π3∈[-5π6,π6],此时f (x )不单调,故③错误;将函数f (x )的图象向左平移π12个单位长度,所得图象对应的函数解析式为g (x )=f (x +π12)=sin 2(x +π12)-π3=sin (2x -π6),故④错误.故选A .【答案】A8.(考点:解三角形的实际应用,★★★)一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱,为了测量喷水柱喷出的水柱的高度,某人在喷水柱正西方向的点A 处测得水柱顶端的仰角为30°,沿点A 向北偏东60°方向前进10 m 到达点B ,在点B 处测得水柱顶端的仰角为45°,则水柱的高度是( ).A .5 mB .10 mC .10 m 或5 mD .15 m【解析】设水柱底部为点C ,顶端为点D ,CD 的高度为h m .由题意知AC=ℎtan30°=√3h ,BC=ℎtan45°=h ,∠BAC=90°-60°=30°. 在△ABC 中,由余弦定理可得BC 2=AC 2+AB 2-2AC ·AB cos 30°,∴h 2=(√3h )2+102-2×10×√3h ×√32,即h 2-15h+50=0,解得h=10或h=5.故选C .【答案】C二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.(考点:平面向量,★★)已知a ,b 是单位向量,且a+2b=(1,-2),则下列结论正确的是( ).A .|a+2b|=√5B .a 与b 垂直C .a 与a-2b 的夹角为π4D .|a-2b|=5【解析】由a+2b=(1,-2)两边平方,得|a|2+|2b|2+4a ·b=12+(-2)2=5,则|a+2b|=√5,所以A 选项正确; 因为a ,b 是单位向量,所以1+4+4a ·b=5,得a ·b=0,所以B 选项正确;|a-2b|2=|a|2+|2b|2-4a ·b=5,所以|a-2b|=√5,所以D 选项错误;cos <a ,a-2b>=a ·(a -2b )|a ||a -2b |=2√5=√55,所以a 与a-2b 的夹角不为π4,所以C 选项错误. 故选AB .【答案】AB10.(考点:三角函数的基本性质,★★)下列命题正确的是( ).A .若α,β是锐角,且α>β,则tan α>tan βB .函数y=sin(π-2x )是偶函数C .y=sin |x|是周期为2π的周期函数D .函数y=cos (x +π3)的图象关于点(π6,0)成中心对称【解析】对于选项A,y=tan x 在(0,π2)上为增函数,故选项A 正确; 对于选项B,因为y=sin(π-2x )=sin 2x 为奇函数,故选项B 不正确;对于选项C,作出函数y=sin |x|的大致图象如图所示,由图象可知,函数y=sin |x|为偶函数,图象关于y 轴对称,不具有周期性,故选项C 错误; 对于选项D,当x=π6时,x+π3=π2,所以y=cos (x +π3)=0,所以函数y=cos (x +π3)的图象关于点(π6,0)成中心对称,故选项D 正确.故选AD .【答案】AD11.(考点:解三角形,★★)在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若(a 2+c 2-b 2)tan B=ac ,则角B 的值可能为( ).A .π6B .π3C .5π6D .2π3【解析】根据余弦定理可知a 2+c 2-b 2=2ac cos B ,代入化简可得2ac cos B ·sinB cosB =ac , 即sin B=12,因为0<B<π,所以B=π6或B=5π6.故选AC .【答案】AC12.(考点:三角恒等变换及函数的性质,★★★)已知函数f (x )=sin 2x+2sin x cos x-cos 2x ,x ∈R,则下列结论正确的是( ).A .-√2≤f (x )≤√2B .f (x )在区间(π8,5π8)上只有1个零点C .2π为f (x )的一个周期D .直线x=π2为f (x )图象的一条对称轴 【解析】对于A 项,已知f (x )=sin 2x-cos 2x=√2sin (2x -π4),x ∈R,故A 正确;对于B 项,令2x-π4=k π,k ∈Z,得x=kπ2+π8,k ∈Z,故f (x )在区间(π8,5π8)上没有零点,故B 错误;对于C 项,f (x )的最小正周期为π,所以f (x )的周期为k π,k ∈Z,故C 正确;对于D 项,当x=π2时,f (π2)=√2sin (2×π2-π4)=1,所以直线x=π2不是f (x )图象的对称轴,故D 错误.故选AC .【答案】AC三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(考点:三角函数的性质,★★)函数f (x )=cos 2x-2sin x 的最大值为 .【解析】由题意得f (x )=1-sin 2x-2sin x=-(sin x+1)2+2,因为sin x ∈[-1,1],所以当sin x=-1时,f (x )取得最大值,最大值为2.【答案】214.(考点:平面向量的数量积,★★)若|a|=√3,|b|=4,且(a-b )⊥a ,则a 与b 的夹角的余弦值是 .【解析】∵(a-b )⊥a ,∴(a-b )·a=a 2-a ·b=3-a ·b=0,即a ·b=3, ∴cos <a ,b>=a ·b|a |·|b |=√3×4=√34, ∴a 与b 的夹角的余弦值是√34.【答案】√3415.(考点:利用正、余弦定理解三角形,★★)已知a ,b ,c 分别为△ABC 的三个内角A ,B ,C 的对边,若c=√3,b=√6,B=150°,则△ABC 的面积为 .【解析】由余弦定理得b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,即a 2+3a-3=0,解得a=-3+√212或a=-3-√212(舍去), 则△ABC 的面积S=12ac sin B=12×-3+√212×√3×12=-3√3+3√78. 【答案】-3√3+3√7816.(考点:三角恒等变换及函数的性质,★★★)设函数f (x )=sin 2x+2cos 2x ,则函数f (x )的最小正周期为 ;若对于任意x ∈R,都有f (x )≤m 成立,则实数m 的取值范围为 .【解析】f (x )=sin 2x+2cos 2 x=sin 2x+cos 2x+1=√2sin (2x +π4)+1,所以函数f (x )的最小正周期T=2π2=π; 函数f (x )的最大值f (x )max =√2+1,因为对于任意x ∈R,都有f (x )≤m 成立,所以m ≥f (x )max =√2+1,所以实数m 的取值范围为[√2+1,+∞).【答案】π [√2+1,+∞)。
高考数学理二轮专题温习高考小题满分练03含解析
二、填空题(本大题共5小题，每小5分，共25分．请把正确答案填在题中横线上)
11．已知sin ＝ ，cos(α＋β)＝ ，α∈ ，β∈(0，π)，则sinα＝________.
解析：∵α∈ ，β∈(0，π)，
∴α＋β∈ ， ∈ ，
∵sin ＝ ，∴cos ＝ ，
∴sinβ＝2sin cos ＝ ，cosβ＝1－2sin2 ＝ ，∵cos(α＋β)＝ ，sin(α＋β)＝ ，∴sinα＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)sinβ＝ .
解析：由题意得 ＝ ，T＝π，ω＝2.又2x0＋ ＝kπ(k∈Z)，x0＝ － (k∈Z)，而x0∈ ，所以x0＝ .
答案：A
2．已知角θ的极点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则sin 的值为()
B．－ D．－
解析：由题意，不妨设θ为第一象限角，故sinθ＝ ，cosθ＝ ，sin2θ＝2sinθcosθ＝ ，cos2θ＝1－2sin2θ＝－ ，故sin ＝ (sin2θ＋cos2θ)＝ × ＝ .
答案：B
10．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) 的部份图象如图所示，则其函数解析式是()
A．f(x)＝sin
B．f(x)＝sin
C．f(x)＝sin
D．f(x)＝sin
解析：依题意可得A＝1，T＝4× ＝2π，故 ＝2π，得ω＝1.由f(x)＝sin(x＋φ)通过点 ，得sin ＝1，又0＜φ＜ ，故φ＝ ，故f(x)＝sin ，选A.
解析：由题设得，
BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cosC＝13－12cosC，①
BD2＝AB2＋DA2－2AB·DA·cosA＝5＋4cosC，②
山东2021新高考数学二轮复习板块2高考专项突破解答题命题区间精讲精讲1三角函数和解三角形课件
(2)在△ADC中，AC＝7，AD＝5，DC＝3， ∴cos∠ADC＝AD2＋2ADDC·D2－C AC2＝522＋×352×－372＝－12，∴∠ADC＝
23π.
在△ABD中，AD＝5，B＝π4，∠ADB＝π3，由sin∠ABADB＝sAinDB，
得AB＝AD·ssiinn∠BADB＝5×sinsiπ4nπ3＝5×2223＝5
化为边a，b的等式. 第3步：化简 利用第1步、第2步的结论化简 得b＝c. 第4步：变角 利用三角形内角和定理求A． 第5步：计算 根据条件②及第4步的结论求 得结果.
4分
←于是3b22＋b32b－2 c2＝ 23，由此可得b＝c，
6分
←所以B＝C＝π6，A＝23π.
8分
←由因②此c，si选n A条＝件3，②所时以问c题＝中b＝的2三角3，形a存＝在6. ，
(2)由题意得g(x)的解析式为g(x)＝－2sin 4x＋1， 当1π2≤x≤π3时，π3≤4x≤43π，－ 23≤sin 4x≤1， ∴－1≤g(x)≤ 3＋1， ∴g(x)在1π2，π3上的值域为[－1， 3＋1]．
2．(2020·济宁模拟)在①函数 f (x)的图象中相邻的最高点与最低 点的距离为 5，②函数 f (x)的图象的一条对称轴方程为 x＝－1，③函 数 f (x)的一个对称中心的横坐标为12，这三个条件中任选一个，补充 在下面题目的横线处，并解决问题.
[解]
(1)由bcos
A＋
22a＝c，根据正弦定理得sin
BcosBiblioteka A＋2 2 sinA＝sin C，
sin
Bcos
A＋
2 2 sin
A＝sin(A＋B)，sin
Bcos
A＋
山东2021新高考数学二轮复习板块2高考专项突破解答题命题区间精讲精讲4概率与统计课件
(2)由(1)可知，乙站乘客乘车等待时间小于 20 分钟的频率为25， 所以乙站中 1 名乘客乘车等待时间小于 20 分钟的概率为25.
显然，X 的所有可能取值为 0，1，2，3，且 X～B3，25，所以 P(X＝0)＝C03×353＝12275，P(X＝1)＝C13×25×352＝15245，
01 命题点1 以互斥或独立
事件为背景的期望与方差
求解与互斥事件及相互独立事件有关的数学期望 或方差问题，关键是对应概率的计算．对于简单的事件，可以直接转 化为若干个相互独立事件的交事件；对于复杂的事件，一般先划分为 若干个彼此互斥的事件，然后运用互斥事件的概率加法公式和相互独 立事件同时发生的概率计算公式求解．
12分
踩点得分 第(1)问直接套用公式且结果正确得1分. 第(2)问得分点及说明： 1.每求对一种情况得1分，共3分. 2.本问最终结果正确得2分. 第(3)问得分点及说明： 1.每求对一种情况得1分，共4分. 2.本问最终结果正确得2分.
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[高考题型全通关] 1．为了解某校今年高三毕业班报考飞行员学生的体重情况，将 所得的数据整理后，画出了如图所示的频率分布直方图．已知图中从 左到右的前三个小组的频率之比为 1∶2∶3，其中体重(单位：kg)在 [50，55)内的有 5 人．
(1)求该校报考飞行员的总人数； (2)从该校报考飞行员的体重在[65，75]内的学生中任选 3 人， 设 X 表示体重不低于 70 kg 的学生人数，求 X 的分布列和数学期望．
[高考题型全通关] 1．一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中 任取 4 件进行检验，这 4 件产品中优质品的件数记为 n.如果 n＝3， 再从这批产品中任取 4 件进行检验，若都为优质品，则这批产品通过 检验；如果 n＝4，再从这批产品中任取 1 件进行检验，若为优质品， 则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设 这批产品的优质品率为 50%，即取出的每件产品是优质品的概率都 为12，且各件产品是不是优质品相互独立．
小题专练01-2021届高考数学二轮复习新高考版含解析
小题专练01函数、导数与不等式(A)一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(考点:函数的定义域,★)函数f (x )=3-x+lg (2x +3)的定义域是( ).A .(-32,3)B .(-∞,3)C .(-32,+∞)D .(-3,-32)2.(考点:导数的几何意义,★)若曲线y=f (x )=12x 2+ax+b 在点(4,f (4))处的切线方程是2x-y+1=0,则( ). A . a=10,b=1B . a=-2,b=-9C . a=-2,b=9D . a=2,b=-93.(考点:函数单调性与奇偶性的综合应用,★★)已知定义在R 上的偶函数f (x )在区间[0,+∞)上单调递减,则满足f (3x-1)<f (8)的x 的取值范围是( ). A .(-3,73)B .(-∞,-73)∪(3,+∞)C .(-73,3)D .(-∞,-3)∪(73,+∞)4.(考点:函数的图象,★★)函数f (x )=x 32x -4的图象大致为( ).5.(考点:函数的零点,★★)已知函数f (x )={2x +6,x ≤0,x 2-2x +4,x >0.若函数g (x )=f (x )-m 有三个不同的零点,则实数m 的取值范围为( ). A .(3,4)B .(-4,-3)C .[3,4]D .(3,6)6.(考点:均值不等式,★★)设a>0,b>0,若9是3a 与3b 的等比中项,则4a +1b的最小值为( ). A .4B .2C .34D .947.(考点:利用导数研究函数的单调性,★★★)若函数f (x )=kx-sin x 在区间(-π6,π3)上单调递增,则实数k 的取值范围是( ). A .[1,+∞)B .[-12,+∞)C .(1,+∞)D .(12,+∞)8.(考点:导数的综合应用,★★★)已知奇函数f(x)的导函数为f'(x),当x>0时,f'(x)+2f(x)x>0.若a=1e2f(-1e),b=14f(-12),c=f(-1),则a,b,c的大小关系为().A. a<b<cB. c<b<aC. c<a<bD. a<c<b二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.(考点:不等式的综合应用,★)已知p:1x-1>1,则p成立的一个必要不充分条件可以是().A.1<x<2B.-2<x<3C.-2<x<4D.-3<x<210.(考点:函数的基本性质,★★)下列函数中,既是偶函数,又在(0,+∞)上单调递增的是().A.f(x)=ln(√1+4x2-2x)B.f(x)=e x+e-xC.f(x)=x2+5D.f(x)=cos x11.(考点:均值不等式,★★)已知正实数x,y满足x+2y=1,则1x +1y可能的值为().A.3B.6C.7D.912.(考点:导数的应用,★★★)设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,f'(x),g'(x)分别为其导函数,当x<0时,f'(x)·g(x)+f(x)·g'(x)<0且g(-5)=0,则使得不等式f(x)·g(x)<0成立的x的值可以是().A.-6B.-4C.4D.6三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(考点:函数的基本性质,★★)函数f(x)=lo g12(-x2-2x+3)的单调递增区间是,值域是. 14.(考点:函数单调性的应用,★★)若函数f(x)=x2+4(a+2)x+3在(-∞,4]上不是单调函数,则实数a的取值范围是.15.(考点:均值不等式,★★)函数y=log a(x-3)+2(a>0且a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny-2=0上,其中m, n均大于0,则1m +1n的最小值为.16.(考点:利用导数研究函数的极值,★★★)已知函数f(x)=13x3+2x2-5x+2的极大值为a,极小值为b,则a+b= .答案解析：函数、导数与不等式(A)一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(考点:函数的定义域,★)函数f (x )=√3-x+lg (2x +3)的定义域是( ).A .(-32,3)B .(-∞,3)C .(-32,+∞)D .(-3,-32)【解析】要使函数有意义,则{3-x >0,2x +3>0,即{x <3,x >-32,即-32<x<3, 所以函数的定义域为(-32,3).故选A . 【答案】A2.(考点:导数的几何意义,★)若曲线y=f (x )=12x 2+ax+b 在点(4,f (4))处的切线方程是2x-y+1=0,则( ). A . a=10,b=1B . a=-2,b=-9C . a=-2,b=9D . a=2,b=-9【解析】因为f (x )=12x 2+ax+b ,所以f'(x )=x+a ,由题可知f'(4)=2,所以a=-2. 又切点坐标(4,f (4))满足切线方程2x-y+1=0,f (4)=b ,所以8-b+1=0,解得b=9. 故选C . 【答案】C3.(考点:函数单调性与奇偶性的综合应用,★★)已知定义在R 上的偶函数f (x )在区间[0,+∞)上单调递减,则满足f (3x-1)<f (8)的x 的取值范围是( ). A .(-3,73)B .(-∞,-73)∪(3,+∞)C .(-73,3)D .(-∞,-3)∪(73,+∞)【解析】因为f (x )是定义在R 上的偶函数, 所以f (3x-1)<f (8)等价于f (|3x-1|)<f (8). 又因为f (x )在[0,+∞)上单调递减, 所以|3x-1|>8, 所以3x-1<-8或3x-1>8, 解得x<-73或x>3,故x 的取值范围为(-∞,-73)∪(3,+∞).故选B . 【答案】B4.(考点:函数的图象,★★)函数f (x )=x 32x -4的图象大致为( ).【解析】由题意,函数f (x )=x 32x -4的定义域为{x|x ∈R,x ≠2},排除A;又f (1)<0,排除C;f (-1)>0,排除D.故选B .【答案】B5.(考点:函数的零点,★★)已知函数f (x )={2x +6,x ≤0,x 2-2x +4,x >0.若函数g (x )=f (x )-m 有三个不同的零点,则实数m 的取值范围为( ). A .(3,4)B .(-4,-3)C .[3,4]D .(3,6)【解析】函数g (x )=f (x )-m 有三个不同的零点等价于函数y=f (x )与y=m 的图象有三个不同的交点,作出函数f (x )的图象如图所示.函数y=m 的图象为水平的直线,由图象可知,当m ∈(3,4)时,两函数的图象有三个不同的交点,即函数g (x )有三个不同的零点.故选A . 【答案】A6.(考点:均值不等式,★★)设a>0,b>0,若9是3a 与3b 的等比中项,则4a +1b 的最小值为( ). A .4B .2C .34D .94【解析】因为9是3a 与3b 的等比中项, 所以3a ·3b =3a+b =92,即a+b=4, 所以4a +1b =14(a+b )(4a +1b )=54+144b a +ab≥54+14×4=94,当且仅当4b a =a b ,即a=83,b=43时,等号成立, 所以4a +1b 的最小值为94. 故选D . 【答案】D7.(考点:利用导数研究函数的单调性,★★★)若函数f (x )=kx-sin x 在区间(-π6,π3)上单调递增,则实数k 的取值范围是( ). A .[1,+∞)B .[-12,+∞)C .(1,+∞)D .(12,+∞)【解析】由题意可得f'(x )=k-cos x ,因为f (x )在(-π6,π3)上单调递增,所以f'(x )≥0在(-π6,π3)上恒成立,即f'(x )min =k-1≥0,所以k ≥1.故选A . 【答案】A8.(考点:导数的综合应用,★★★)已知奇函数f (x )的导函数为f'(x ),当x>0时,f'(x )+2f (x )x>0.若a=1e f (-1e ),b=14f (-12),c=f (-1),则a ,b ,c 的大小关系为( ). A . a<b<cB . c<b<aC . c<a<bD . a<c<b【解析】令g (x )=x 2f (x ),则g'(x )=2xf (x )+x 2f'(x ).由题意可知当x>0时,2xf (x )+x 2f'(x )>0,即当x>0时,g'(x )>0,所以函数g (x )在(0,+∞)上单调递增.又函数f (x )为奇函数,所以g (-x )=(-x )2·f (-x )=-x 2·f (x )=-g (x ),所以函数g (x )为奇函数,所以当x<0时,函数g (x )单调递增.因为-1e >-12>-1,所以g (-1e )>g -12>g (-1),所以a>b>c. 【答案】B二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分. 9.(考点:不等式的综合应用,★)已知p :1x -1>1,则p 成立的一个必要不充分条件可以是( ). A .1<x<2B .-2<x<3C .-2<x<4D .-3<x<2【解析】由1x -1>1⇔x -2x -1<0⇔(x-1)(x-2)<0⇔1<x<2,所以选项A 为p 成立的充要条件,选项B 、C 、D 为p 成立的必要不充分条件. 【答案】BCD10.(考点:函数的基本性质,★★)下列函数中,既是偶函数,又在(0,+∞)上单调递增的是( ).A.f(x)=ln(√1+4x2-2x)B.f(x)=e x+e-xC.f(x)=x2+5D.f(x)=cos x【解析】由题意,易知A,B,C,D四个选项中的函数的定义域均为R,对于选项A,f(-x)+f(x)=ln(√1+4x2+2x)+ln(√1+4x2-2x)=0,则f(x)=ln(√1+4x2-2x)为奇函数,故选项A不符合题意;对于选项B,f(-x)=e-x+e x=f(x),即f(x)=e x+e-x为偶函数,当x∈(0,+∞)时,设t=e x(t>1),则y=t+1t,由对勾函数的性质可得,y=t+1t在t∈(1,+∞)时是增函数,又t=e x单调递增,所以f(x)=e x+e-x在(0,+∞)上单调递增,故选项B符合题意;对于选项C,f(-x)=(-x)2+5=x2+5=f(x),即f(x)=x2+5为偶函数,由二次函数的性质可知f(x)=x2+5在(0,+∞)上单调递增,故选项C符合题意;对于选项D,由余弦函数的性质可知y=cos x是偶函数,但不在(0,+∞)上单调递增,故选项D不符合题意.综上,BC正确.【答案】BC11.(考点:均值不等式,★★)已知正实数x,y满足x+2y=1,则1x +1y可能的值为().A.3B.6C.7D.9【解析】因为x,y都为正实数,所以1x +1y=x+2yx+x+2yy=3+2yx+xy≥3+2√2yx·xy=3+2√2(当且仅当2yx=xy,即x=√2y时取等号),显然6>3+2√2,7>3+2√2,9>3+2√2,故选项B,C,D符合题意.【答案】BCD12.(考点:导数的应用,★★★)设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,f'(x),g'(x)分别为其导函数,当x<0时,f'(x)·g(x)+f(x)·g'(x)<0且g(-5)=0,则使得不等式f(x)·g(x)<0成立的x的值可以是().A.-6B.-4C.4D.6【解析】∵f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,∴f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),令h(x)=f(x)·g(x),则h(-x)=-h(x),故h(x)=f(x)·g(x)为定义在R上的奇函数.∵当x<0时,f'(x)·g(x)+f(x)·g'(x)<0,即当x<0时,h'(x)=f'(x)·g(x)+f(x)·g'(x)<0,∴h(x)=f(x)·g(x)在区间(-∞,0)上单调递减,∴奇函数h(x)在区间(0,+∞)上也单调递减,如图,∵g(-5)=0,∴g(5)=0,∴h(-5)=h(5)=0,∴当x∈(-5,0)∪(5,+∞)时,h(x)=f(x)·g(x)<0.故选BD.【答案】BD三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(考点:函数的基本性质,★★)函数f(x)=lo g12(-x2-2x+3)的单调递增区间是,值域是. 【解析】令t=-x2-2x+3,则由-x2-2x+3>0,可得-3<x<1.又因为y=lo g12t为减函数,而函数t=-x2-2x+3在区间(-3,-1)上单调递增,在(-1,1)上单调递减.故f(x)=lo g12(-x2-2x+3)在区间(-3,-1)上单调递减,在(-1,1)上单调递增.易知t=-x2-2x+3在区间(-3,1)上的值域为(0,4],故f(x)=lo g12t的值域为[-2,+∞).【答案】(-1,1)[-2,+∞)14.(考点:函数单调性的应用,★★)若函数f(x)=x2+4(a+2)x+3在(-∞,4]上不是单调函数,则实数a的取值范围是.【解析】由题意可得,f(x)图象的对称轴为直线x=-2(a+2),且满足-2(a+2)<4,解得a>-4.故实数a的取值范围为(-4,+∞).【答案】(-4,+∞)15.(考点:均值不等式,★★)函数y=log a(x-3)+2(a>0且a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny-2=0上,其中m, n均大于0,则1m +1n的最小值为.【解析】由题意可得点A(4,2),代入mx+ny-2=0得4m+2n-2=0,即2m+n=1.所以1m +1n=(1m+1n)(2m+n)=3+nm+2mn≥3+2√nm·2mn=3+2√2,当且仅当nm=2mn,即m=1-√22,n=√2-1时等号成立.【答案】3+2√216.(考点:利用导数研究函数的极值,★★★)已知函数f(x)=13x3+2x2-5x+2的极大值为a,极小值为b,则a+b= .【解析】∵f(x)=13x3+2x2-5x+2,∴f'(x)=x2+4x-5.令f'(x)=0,解得x=-5或x=1.列表如下:∴a=f (-5)=1063,b=f (1)=-23,∴a+b=1063-23=1043.【答案】1043。
人教版新高考数学二轮复习习题训练--专题突破练1 常考小题点过关检测(word版含解析)
专题突破练1 常考小题点过关检测一、单项选择题1.(2021·山东潍坊一模)已知集合A={-2,0},B={x|x 2-2x=0},则下列结论正确的是( ) A.A=B B.A ∩B={0} C.A ∪B=A D.A ⊆B2.(2021·广东广州二模)已知集合P={x|-3≤x ≤1},Q={y|y=x 2+2x },则P ∪(∁R Q )=( )A.[-3,-1)B.[-1,1]C.(-∞,-1]D.(-∞,1]3.(2021·河北保定一模)设a ,b ∈R ,则“|a+b i |=|1+i |”是“a=b=1”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.(2021·福建福州一中模拟)在复平面内,复数z=a+b i(a ∈R ,b ∈R )对应向量OZ⃗⃗⃗⃗⃗ (O 为坐标原点),设|OZ⃗⃗⃗⃗⃗ |=r ,以x 轴的非负半轴为始边,射线OZ 为终边的角为θ,则z=r (cos θ+isin θ).法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理:z n =[r (cos θ+isin θ)]n =r n (cos n θ+isin n θ),则(-1+√3i)10=( ) A.1 024-104√3i B.-1 024+1 024√3i C.512-512√3iD.-512+512√3i5.(2021·东北三校第一次联考)土楼有圆形、方形、五角形、八角形、日字形、回字形、吊脚楼等类型.某大学建筑系学生对这七种主要类型的土楼依次进行调查研究.在制定调查顺序时,要求将圆形排在第一个或最后一个,方形、五角形相邻,则共有( )种不同的排法. A.480B.240C.384D.1 4406.(2021·河北唐山一模)记(x +12x)4展开式的偶数项之和为P ,则P 的最小值为( )A.1B.2C.3D.47.(2021·江苏南京三模)在正方形ABCD 中,O 为两条对角线的交点,E 为BC 边上的动点.若AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ +μDO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ>0,μ>0),则2λ+1μ的最小值为( ) A.2B.5C.92D.1438.(2021·山东日照一中月考)已知f (x )=x 2+4x+1+a ,且对任意x ∈R ,f (f (x ))≥0恒成立,则实数a 的取值范围为( ) A.[√5-12,+∞) B.[2,+∞) C.[-1,+∞)D.[3,+∞)二、多项选择题9.(2021·河北张家口一模)如果平面向量a =(2,-4),b =(-6,12),那么下列结论正确的是( ) A.|b |=3|a |B.a ∥bC.a 与b 的夹角为30°D.a ·b =-6010.(2021·河北唐山二模)已知a>b>0,且ab=4,则 ( )A.2a-b >1B.log 2a-log 2b>1C.2a +2b >8D.log 2a ·log 2b<111.(2021·山东临沂模拟)在下列四个条件中,能成为x>y 的充分不必要条件的是( ) A.xc 2>yc 2 B.1x<1y<0 C.|x|>|y| D.ln x>ln y12.(2021·广东茂名模拟)传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱,圆柱内有一个内切球,这个球的直径恰好与圆柱的高相等.这是因为阿基米德认为这个“圆柱容球”是他最为得意的发现,于是留下遗言:他死后,墓碑上要刻上一个“圆柱容球”的几何图形.如图,设圆柱的体积与球的体积之比为m ,圆柱的表面积与球的表面积之比为n ,若f (x )=(mn x 3-1x )8,则( ) A.f (x )的展开式中的常数项是56 B.f (x )的展开式中的各项系数之和为0 C.f (x )的展开式中的二项式系数最大值是70 D.f (i)=-16,其中i 为虚数单位三、填空题13.(2021·福建厦门双十中学月考)设复数z 满足z=4i 1+i,则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于第象限.14.(2021·上海嘉定二模)将(x √x)7的二项展开式的各项重新随机排列,则有理项互不相邻的概率为 .15.(2021·浙江嘉兴二模)为满足某度假区游客绿色出行需求,某电力公司在该度假区停车楼建设了集中式智慧有序充电站,充电站共建设901个充电桩,其中包括861个新型交流有序充电桩、37个直流充电桩以及3个专门满足新能源大巴快速补电需求的大功率直流充电桩.现有A ,B ,C ,D ,E ,F 六辆新能源大巴,需要安排在某周一的上午或下午在甲、乙、丙3个新能源大巴大功率直流充电桩充电,每个充电桩在上午和下午均只安排一辆大巴充电.若要求A ,B 两大巴不能同时在上午充电,而C 大巴只能在下午充电,且F 大巴不能在甲充电桩充电,则不同的充电方案一共有 种.(用数字作答) 16.(2021·辽宁葫芦岛一模)在边长为2的正三角形ABC 中,D 是BC 边的中点,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EB⃗⃗⃗⃗⃗ ,CE 交AD 于点F.若BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =x BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +y BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x+y= ;BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DE ⃗⃗⃗⃗⃗ = .专题突破练1 常考小题点过关检测1.B 解析: 由题设得B={0,2},所以A ≠B ,A ∩B={0},A ∪B ≠A ,A 不是B 的子集.2.D 解析: 因为Q={y|y=x 2+2x }={y|y=(x+1)2-1}={y|y ≥-1},所以∁R Q={y|y<-1}, 又P={x|-3≤x ≤1},所以P ∪(∁R Q )={x|x ≤1}.3.B 解析: ∵|a+b i |=|1+i |,∴√a 2+b 2=√12+12,即a 2+b 2=2. ∵a 2+b 2=2a=b=1,而a=b=1⇒a 2+b 2=2,∴“a 2+b 2=2”是“a=b=1”的必要不充分条件,即“|a+b i |=|1+i |”是“a=b=1”的必要不充分条件.4.D 解析: 由题意,得(-1+√3i)10=210cos (10×2π3)+isin 10×2π3=1 024cos 20π3+isin 20π3=1 024(-12+√32i)=-512+512√3i .5.A 解析: 当圆形排在第一个时,有A 55A 22=240种不同的排法.同理,当圆形排在最后一个时,有A 55A 22=240种不同的排法.综上,圆形要排在第一个或最后一个,方形、五角形相邻,则共有480种不同的排法.6.B 解析: 由已知得x ≠0,则x 2>0,所以P=C 41x 3·12x+C 43x·(12x )3=2x 2+12x 2≥2√1=2,当且仅当2x 2=12x 2即x=±√22时等号成立. 7.C 解析: 如图所示,以A 为原点,AB ,AD 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系. 设正方形的边长为1,则A (0,0),B (1,0),C (1,1),D (0,1),于是可得O (12,12).设点E 的坐标为(1,m )(0≤m ≤1),则由AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ +μDO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ>0,μ>0),可得(1,m )=λ(1,1)+μ(12,-12)(λ>0,μ>0),所以1=λ+12μ(λ>0,μ>0),则2λ+1μ=(2λ+1μ)(λ+12μ)=2+12+μλ+λμ≥52+2√μλ·λμ=92,当且仅当{ λμ=μλ,1=λ+12μ,λ>0,μ>0,即λ=μ=23时取等号,此时2λ+1μ的最小值为92.经检验,此时m=13∈[0,1]符合题意.8.B解析: 由题意,函数f(x)=x2+4x+1+a,令t=f(x),则t=x2+4x+1+a=(x+2)2-3+a≥a-3,又对任意x∈R,f(f(x))≥0恒成立,即f(t)≥0对任意t≥a-3恒成立,当a-3≤-2时,即a≤1时,f(t)min=f(-2)=a-3≥0,解得a≥3,此时无解;当a-3>-2时,即a>1时,f(t)min=f(a-3)=a2-a-2≥0,解得a≥2或a≤-1,所以a≥2.综上可得,实数a的取值范围为[2,+∞).9.ABD解析: 因为a=(2,-4),b=(-6,12),所以b=-3a.所以|b|=3|a|,a∥b,a与b的夹角为180°,a·b=2×(-6)+(-4)×12=-60,故选项A,B,D正确,选项C错误.10.ACD解析: 因为a>b>0,且ab=4,对A,a-b>0,所以2a-b>20=1,故A正确;对B,取a=83,b=32,则log2a-log2b=log2ab=log2169<log22=1,故B错误;对C,2a+2b≥2√2a·2b=2√2a+b,当且仅当a=b时取等号,又因为a+b≥2√ab=4,当且仅当a=b=2时取等号,所以2a+2b≥2√2a+b≥2√24=8,当且仅当a=b=2时取等号,因为a>b>0,所以不能取等号,故C正确;对D,当a>1>b>0时,log2a>0,log2b<0,所以log2a·log2b<1;当a>b>1时,log2a>0,log2b>0,所以log2a·log2b≤(log2a+log2b)24=[log2(ab)]24=1,当且仅当a=b时取等号,因为a>b>0,所以不能取等号,故D正确.11.ABD解析: 对于A选项:若xc2>yc2,则c2≠0,于是x>y,而当x>y,c=0时xc2=yc2,所以“xc2>yc2”是“x>y”的充分不必要条件,故A符合题意;对于B选项:由1x<1y<0可得y<x<0,即能推出x>y;但x>y不能推出1x<1y<0(因为x,y的正负不确定),所以“1x<1y<0”是“x>y”的充分不必要条件,故B符合题意;对于C选项:由|x|>|y|可得x2>y2,则(x+y)(x-y)>0,不能推出x>y;由x>y也不能推出|x|>|y|(如x=1,y=-2),所以“|x|>|y|”是“x>y”的既不充分也不必要条件,故C不符合题意; 对于D选项:若ln x>ln y,则x>y,而由x>y不能推出ln x>ln y,所以“ln x>ln y”是“x>y”的充分不必要条件.故选项D符合题意.12.BC解析: 设内切球的半径为r(r>0),则圆柱的高为2r.于是m=πr2·2r43πr3=32,n=2πr2+2πr·2r4πr2=32,所以mn=1,所以f(x)=(x3-1x)8.对于A,f(x)展开式通项为T r+1=C8r x24-3r·(-1x )r=(-1)r C8r x24-4r,令24-4r=0,解得r=6,所以f(x)展开式中的常数项为(-1)6C86=28,A错误;对于B,f(1)=0,即f(x)展开式的各项系数之和为0,B正确; 对于C,f(x)展开式中二项式系数最大值为C84=70,C正确;对于D,f (i)=(i 3-1i )8=(-i +i)8=0,D 错误. 13.四 解析: 因为z=4i1+i =4i (1-i )(1+i )(1-i )=4i (1-i )2=2i(1-i)=2i -2i 2=2+2i,所以z =2-2i,所以共轭复数z 在复平面内对应的点位于第四象限.14.114解析: (x +1√x )7的展开式的通项为T r+1=C 7r x 7-r ·x -12r =C 7r x 7-32r ,当r=0,2,4,6时,对应的项为有理项,一共4项,当r=1,3,5,7时,对应的项为无理项,一共4项,要使得有理项互不相邻,采用插空法,先把无理项排好,再把有理项插到无理项的5个空档中,共有A 44A 54=2 880种情况,全部的情况有A 88=40 320种,故所求概率P=A 44A 54A 88=2 88040 320=114.15.168 解析: 先排F 大巴,第一种方案,F 大巴在上午充电,有C 21种可能情况,此时再排C大巴,C 大巴在下午充电,有C 31种可能情况,再排A ,B 大巴,又分A ,B 大巴同在下午和一个上午、一个下午两种情况,有(A 22+C 21C 21C 21)种可能情况;第二种方案,F 大巴在下午充电,有C 21种可能情况,此时再排C 大巴,C 大巴在下午充电,有C 21种可能情况,再排A ,B 大巴,只能一个上午、一个下午,有C 21C 31种可能情况.最后再排剩下的两辆大巴,有A 22种可能情况,故共有[C 21C 31(A 22+C 21C 21C 21)+C 21C 21C 21C 31]A 22=168种不同的充电方案. 16.35 -715解析: 如图,过点E 作EM ∥AD 交BC 于点M ,由AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,得EM=13AD ,BM=13BD ,MD=23BD ,又D 是BC 边的中点,得DC=35MC ,∴FD=35EM ,故FD=15AD ,即AF=45AD ,所以AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =45AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =45(BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=45(12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ -BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=25BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −45BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =15BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +25BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故x+y=35.易知DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =BE ⃗⃗⃗⃗⃗ −BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ , 由已知得BA=BC=2,<BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BA ⃗⃗⃗⃗⃗ >=60°,所以|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC⃗⃗⃗⃗⃗ =2×2×cos 60°=2.所以BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(15BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +25BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(13BA ⃗⃗⃗⃗⃗ -12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=115BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−15BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+130BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC⃗⃗⃗⃗⃗ =115×4-15×4+130×2=-715.。
小题专练05-2021届高考数学二轮复习新高考版含解析
小题专练05数列(A)一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(考点:等差数列,★)设等差数列{a n}的前n项和为S n,且S9=27,a15=-4,则S19=().A.9B.12C.-9D.-1922.(考点:等比数列,★)已知S n是等比数列{a n}的前n项和,a7=27a4,S4=80,则a1=().A.2B.3C.-3D.-23.(考点:等差数列与等比数列的综合,★)已知数列2,a1,a2,10成等差数列,1,b1,b2,b3,16成等比数列,则a1+a2b2的值为().A.2B.-2C.3D.-34.(考点:等比数列与传统文化,★)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其意思是“有一个人走378里,第一天健步行走,从第二天起因为脚痛每天走的路程是前一天的一半,走了6天到达目的地.”则此人第三天走了().A.60里B.48里C.32里D.24里5.(考点:等差数列的性质,★)一个等差数列{a n}的前n项和为30,前2n项和为50,则前3n项和为().A.30B.60C.70D.806.(考点:等差数列,★★)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,且a1+a5=-16,S9=-63,则使得S n取最小值的n的值为().A.17B.17或18C.18或19D.197.(考点:等差数列与均值不等式,★★)设a>0,b>0,lg 4是2lg 2a与lg 2b的等差中项,则2a +1b的最小值为().A.9 4B.74C.54D.18.(考点:等差数列的前n项和,★★★)已知数列{a n}满足a n+1-a n=1,且a6,a8,a9成等比数列.若{a n}的前n项和为S n,则S n的最小值为().A.3B.-3C.-40D.-45二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.(考点:等差数列,★★)已知数列{a n}是公差不为0的等差数列,其前n项和为S n,且满足a1+5a3=S8,则下列选项中正确的是().A.a10=0B.S7=S12C.S n的最小值为S10D.S20=010.(考点:等比数列,★★)设等比数列{a n}的公比为q,其前n项和为S n,前n项积为T n,并满足条件a1>1,a2007a2008>1,a2007-1a2008-1<0,则下列结论正确的是().A.T2007<T2008B.a2007a2009-1<0C.T2007是数列{T n}中的最大值D.数列{T n}无最大值11.(考点:数列与传统文化,★★)在《增删算法统宗》中有这样一则故事:“三百七十八里关,初行健步不为难;次日脚痛减一半,如此六日过其关.”则下列说法正确的是().A.此人第五天走了二十五里路B.此人第二天走的路程超过全程的14C.此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里D.此人后三天共走了42里路12.(考点:数列的综合应用,★★★)已知等差数列{a n}的首项为3,公差为2,前n项和为S n,则下列结论成立的有( ).A .数列{Sn n }的前10项和为100B .若a 1,a 4,a m 成等比数列,则m=13C .若i=1n1a i a i+1>433,则n 的最小值为5D .若a m +a n =a 2+a 10,则1m +16n的最小值为2512三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(考点:等比数列的前n 项和,★★)已知在等比数列{a n }中,a 1+a 2=2,a 4+a 5=-16,则{a n }的前5项和为 . 14.(考点:数列的综合应用,★★)已知数列{a n }的通项公式是a n =n 2+kn+4.若k=-5,则a n 的最小值为 ;若对于∀n ∈N *,都有a n+1>a n ,则实数k 的取值范围为 .15.(考点:数列求和,★★★)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n =a ·2n -2,则{a n 2}的前n 项和为 .16.(考点:等差数列的综合,★★★)已知两等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n ,T n ,且S n T n=5n+22n+3,则a 3+a 20b 8+b 15= .答案解析：1.(考点:等差数列,★)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 9=27,a 15=-4,则S 19=( ). A .9 B .12 C .-9 D .-192【解析】由等差数列前n 项和公式可得S 9=(a 1+a 9)×92=27,∴a 1+a 9=2a 5=6,∴a 5=3.又a 15=-4,∴S 19=19(a 5+a 15)2=-192.【答案】D2.(考点:等比数列,★)已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和,a 7=27a 4,S 4=80,则a 1=( ). A .2 B .3 C .-3 D .-2【解析】设等比数列的公比为q ,由a 7=27a 4,即a7a 4=q 3=27,解得q=3,又由等比数列求和公式得S 4=a 1(1-34)1-3=80,解得a 1=2.【答案】A3.(考点:等差数列与等比数列的综合,★)已知数列2,a 1,a 2,10成等差数列,1,b 1,b 2,b 3,16成等比数列,则a 1+a 2b 2的值为( ). A .2 B .-2 C .3 D .-3【解析】由题意得a 1+a 2=12,b 22=16,且1,b 2,16同号,所以b 2=4,所以a 1+a 2b 2=3.【答案】C4.(考点:等比数列与传统文化,★)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其意思是“有一个人走378里,第一天健步行走,从第二天起因为脚痛每天走的路程是前一天的一半,走了6天到达目的地.”则此人第三天走了( ). A .60里 B .48里 C .32里 D .24里【解析】由题意可得这个人每天走的路程成等比数列,且公比q=12,n=6,S 6=378,故a 1(1-126)1-12=378,解得a 1=192,故a 3=a 1q 2=192×14=48.【答案】B5.(考点:等差数列的性质,★)一个等差数列{a n }的前n 项和为30,前2n 项和为50,则前3n 项和为( ). A .30 B .60 C .70 D .80【解析】∵S n =30,S 2n =50,∴S 2n -S n =20, 又S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n 仍成等差数列,∴S 3n -S 2n =10, ∴S 3n =50+10=60.【答案】B6.(考点:等差数列,★★)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1+a 5=-16,S 9=-63,则使得S n 取最小值的n 的值为( ). A .17 B .17或18 C .18或19D .19【解析】由题意可得a 1+a 5=2a 3=-16,故a 3=-8. 因为S 9=-63,所以9a 5=-63,故a 5=-7. 所以2d=a 5-a 3=1,即d=12,所以a n =a 3+(n-3)d=-8+(n-3)×12=n 2-192.令a n =n 2-192≤0,则n ≤19,且当n=19时,a n =0,所以当n=18或n=19时,S n 取得最小值. 【答案】C7.(考点:等差数列与均值不等式,★★)设a>0,b>0,lg 4是2lg 2a 与lg 2b 的等差中项,则2a +1b 的最小值为( ). A .94 B .74 C .54 D .1【解析】∵lg 4是2lg 2a 与lg 2b 的等差中项,∴2lg 4=lg 22a +lg 2b ,即lg 24=lg(22a ·2b )=lg 22a+b ,∴2a+b=4.∴2a +1b =(2a +1b )(2a+b )×14=54+14×(2ba +2ab)≥54+1=94, 当且仅当2b a=2a b,即a=b=43时,等号成立,∴2a +1b 的最小值为94.【答案】A8.(考点:等差数列的前n 项和,★★★)已知数列{a n }满足a n+1-a n =1,且a 6,a 8,a 9成等比数列.若{a n }的前n 项和为S n ,则S n 的最小值为( ). A .3 B .-3 C .-40D .-45【解析】由题意可知{a n }为等差数列,公差d=1,由a 6,a 8,a 9成等比数列,可得a 82=a 6a 9, 所以a 82=(a 8-2)(a 8+1),解得a 8=-2.因为a 8=a 1+7d ,所以a 1=-9. 所以S n =-9n+n (n -1)2×1=12(n 2-19n )=12n-1922-3618.故当n=9或n=10时,S n 取到最小值,最小值为-45. 【答案】D二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.(考点:等差数列,★★)已知数列{a n }是公差不为0的等差数列,其前n 项和为S n ,且满足a 1+5a 3=S 8,则下列选项中正确的是( ). A .a 10=0 B .S 7=S 12 C .S n 的最小值为S 10D .S 20=0【解析】设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0), 由a 1+5a 3=S 8,可得a 1+9d=0,即a 10=0,故选项A 正确.因为S 12-S 7=a 8+a 9+a 10+a 11+a 12=5a 10=0,所以S 7=S 12,故选项B 正确.当d>0时,S n 的最小值为S 9或S 10,当d<0时,S n 的最大值为S 9或S 10,故选项C 错误. 因为S 19=19a 10=0,a 20≠0,所以S 20≠0,故选项D 错误. 【答案】AB10.(考点:等比数列,★★)设等比数列{a n }的公比为q ,其前n 项和为S n ,前n 项积为T n ,并满足条件a 1>1,a 2007a 2008>1,a 2007-1a 2008-1<0,则下列结论正确的是( ).A .T 2007<T 2008B .a 2007a 2009-1<0C .T 2007是数列{T n }中的最大值D .数列{T n }无最大值【解析】当q<0时,a 2007a 2008=a 20072q<0,不成立,当q ≥1时,a 2007>1,a 2008>1,a 2007-1a 2008-1>0,不成立,当0<q<1时,分析可知a 2007>1,且0<a 2008<1,故T 2007>T 2008,故A 错误;a 2007a 2009-1=a 20082-1<0,故B 正确;T 2007是数列{T n }中的最大值,故C 正确,D 错误. 【答案】BC11.(考点:数列与传统文化,★★)在《增删算法统宗》中有这样一则故事:“三百七十八里关,初行健步不为难;次日脚痛减一半,如此六日过其关.”则下列说法正确的是( ). A .此人第五天走了二十五里路 B .此人第二天走的路程超过全程的14C .此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里D .此人后三天共走了42里路【解析】设此人第n 天走a n 里路,则数列{a n }是首项为a 1,公比为q 的等比数列,其中q=12,因为S 6=378,所以S 6=a 1(1-126)1-12=378,解得a 1=192.对于A 项,由于a 5=192×(12)4=12,所以此人第五天走了十二里路,故A 错误; 对于B 项,由于a 2=192×12=96,96378>14,故B 正确;对于C 项,由于378-192=186,192-186=6,所以此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里,故C 正确; 对于D 项,由于a 4+a 5+a 6=192×(18+116+132)=42,故D 正确. 【答案】BCD12.(考点:数列的综合应用,★★★)已知等差数列{a n }的首项为3,公差为2,前n 项和为S n ,则下列结论成立的有( ).A .数列{Snn }的前10项和为100B .若a 1,a 4,a m 成等比数列,则m=13C .若i=1n1a i a i+1>433,则n 的最小值为5D .若a m +a n =a 2+a 10,则1m +16n 的最小值为2512 【解析】由已知可得,a n =2n+1,S n =n 2+2n ,对于A 项,S n n =n+2,则数列{S n n }为等差数列,其前10项和为10×(3+12)2=75,故A 错误;对于B 项,若a 1,a 4,a m 成等比数列,则a 42=a 1·a m ,a m =27,即a m =2m+1=27,解得m=13,故B 正确; 对于C 项,因为1a i a i+1=12(12i+1-12i+3),所以 i=1n1a i a i+1=12(13-15+15-17+…+12n+1-12n+3)=n 6n+9>433,解得n>4,故n 的最小值为5,故C 正确;对于D 项,由等差数列的性质可知,m+n=12,所以1m +16n =112(1m +16n)(m+n )=112(1+n m +16m n+16)≥112×(17+2×4)=2512,当且仅当n m =16mn,即n=4m=485时取等号,因为m ,n ∈N *,所以n=4m=485不成立,故D 错误.【答案】BC三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(考点:等比数列的前n 项和,★★)已知在等比数列{a n }中,a 1+a 2=2,a 4+a 5=-16,则{a n }的前5项和为 . 【解析】∵a 4+a5a 1+a 2=q 3=-8,∴q=-2,∴a 1(1+q )=2,解得a 1=-2,∴{a n }的前5项和S 5=a 1(1-q 5)1-q=-2×(1+25)1+2=-22.【答案】-2214.(考点:数列的综合应用,★★)已知数列{a n }的通项公式是a n =n 2+kn+4.若k=-5,则a n 的最小值为 ;若对于∀n ∈N *,都有a n+1>a n ,则实数k 的取值范围为 . 【解析】若k=-5,则a n=n 2-5n+4=(n -52)2-94,由二次函数的性质得,当n=2或n=3时,a n 取得最小值,其最小值为a 2=a 3=-2.由a n+1>a n ,知该数列是一个递增数列,又因为通项公式a n =n 2+kn+4,可以看作是关于n 的二次函数,考虑到n ∈N *,所以-k 2<32,解得k>-3,所以实数k 的取值范围为(-3,+∞).【答案】-2 (-3,+∞)15.(考点:数列求和,★★★)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n =a ·2n -2,则{a n 2}的前n 项和为 .【解析】由题意知等比数列{a n }的前n 项和为S n =a 11-q -a11-q·q n =a ·2n -2, 所以a 11-q=-2,解得a=2,q=2,a 1=2.所以a n =2n ,所以a n 2=4n , 所以{a n 2}的前n 项和为4(1-4n )1-4=4n+1-43.【答案】4n+1-4316.(考点:等差数列的综合,★★★)已知两等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n ,T n ,且S n T n=5n+22n+3,则a 3+a 20b 8+b 15= .【解析】因为数列{a n }和{b n }为等差数列,所以a 3+a 20b 8+b 15=a 1+a 22b1+b 22=(a 1+a 22)×222(b 1+b 22)×222=S 22T 22=5×22+22×22+3=11247.【答案】11247。
小题专练03-2021届高考数学二轮复习新高考版(含解析)
新高考地区小题专练03三角函数、平面向量与解三角形(A)一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(考点:三角函数的定义,★)若角α的终边过点(-sin 45°,cos 30°),则sin α=( ). A .√32B .√155C .-√155D .-√322.(考点:三角恒等变换,★)已知tan α=-4,则cos(π-2α)=( ). A .35 B .310 C .1517 D .3√10103.(考点:平面向量与三角函数的综合,★★)已知向量a=(sin α,3),b=(-1,cos α),且a ⊥b ,则sin2αsinαcosα+cos α=( ).A .23 B .32 C .1 D .524.(考点:三角函数的图象与性质,★★)若函数y=3sin(3x+φ)的图象关于点(5π4,0)中心对称,则|φ|的最小值为( ). A .π3 B .π6 C .π4 D .π125.(考点:平面向量的数量积,★★)设向量a ,b 满足|a+b|=3,|a-b|=2,则a ·b=( ). A .1 B .54 C .32 D .746.(考点:三角函数的图象变换,★★)函数f (x )=A sin(ωx+φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示,为了得到y=sin (2x -π3)的图象,只需将f (x )的图象上( ).A .各点的横坐标变为原来的2倍,再向右平移π6个单位长度 B .各点的横坐标变为原来的12,再向右平移π3个单位长度 C .各点的横坐标变为原来的2倍,再向左平移π6个单位长度D .各点的横坐标变为原来的12,再向左平移π3个单位长度7.(考点:正、余弦定理的综合应用,★★★)已知在△ABC 中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 所对的边,且a=2,c cosA+a cos C=-2√33b cos B ,△ABC 的面积S=√3,则b=( ). A .√13B .√14C .2√7D .√218.(考点:三角恒等变换及函数的性质,★★★)已知函数f (x )=√3sin 2(2π-ωx )+sin ωx cos ωx+√32,且f (α)=√3+1,f (β)=√3,若|α-β|的最小值是π,则下列结论正确的是( ). A .ω=1,函数f (x )的最大值为1 B .ω=12,函数f (x )的最大值为√3+1C .ω=14,函数f (x )的最大值为√3+1D .ω=12,函数f (x )的最大值为1二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分. 9.(考点:三角恒等变换,★★)下列各式中,值为12的有( ). A .2√33sin 30°cos 30° B .cos 230°-sin 230° C .1-2cos 230° D .sin 230°+cos 230°10.(考点:平面向量的坐标运算,★★)已知向量a+b=(5,3),a-b=(-3,1),c=(-2,1),设a ,b 的夹角为θ,则( ). A .|a|=|b| B .a ⊥cC .b ∥cD .cos θ=6√858511.(考点:三角函数的基本性质,★★)已知函数f (x )=sin x+|cos x|,则下列命题正确的是( ). A .该函数为奇函数B .该函数的最小正周期为2πC .该函数的图象关于直线x=π2对称D .该函数的单调递增区间为[-π2+2kπ,π2+2kπ],k ∈Z12.(考点:解三角形,★★★)已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,则下列四个命题中正确的是( ). A .若a 2+b 2-c 2<0,则△ABC 一定是钝角三角形B .若a cosA =b cosB =ccosC ,则△ABC 一定是等边三角形 C .若a cos A=b cos B ,则△ABC 一定是等腰三角形 D .若b cos C=c cos B ,则△ABC 一定是等腰三角形 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(考点:向量共线的条件,★★)已知a=(3,2),b=(k ,5),若(a+2b )∥(4a-3b ),则k= .14.(考点:两角和与差的正、余弦公式,★★)已知α,β为锐角,cos α=35,sin(α+β)=1213,则cos β= . 15.(考点:平面向量的数量积,★★)已知等边△ABC 的边长为6,平面内一点P 满足CP⃗⃗⃗⃗⃗ =12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则PA⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ = . 16.(考点:三角恒等变换及函数的性质,★★★)已知函数f (x )=sin 2x-sin 2(x -π6),x ∈R,则f (x )的最小值为 ;单调递增区间为 .答案解析：一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(考点:三角函数的定义,★)若角α的终边过点(-sin 45°,cos 30°),则sin α=( ). A .√32 B .√155C .-√155D .-√32【解析】由题意可知角α的终边过点(-√22,√32), 故sin α=√32√(-√22)+(√32)=√155. 【答案】B2.(考点:三角恒等变换,★)已知tan α=-4,则cos(π-2α)=( ). A .35 B .310 C .1517 D .3√1010【解析】由题意得,cos(π-2α)=-cos 2α=-cos 2α+sin 2α=-cos 2α+sin 2αsin 2α+cos 2α=-1+tan 2αtan 2α+1=-1+1616+1=1517. 【答案】C3.(考点:平面向量与三角函数的综合,★★)已知向量a=(sin α,3),b=(-1,cos α),且a ⊥b ,则sin2αsinαcosα+cos 2α=( ).A .23 B .32 C .1 D .52【解析】因为a ⊥b ,所以a ·b=-sin α+3cos α=0,即sin α=3cos α,所以tan α=3, 故sin2αsinαcosα+cos 2α=2tanαtanα+1=32.【答案】B4.(考点:三角函数的图象与性质,★★)若函数y=3sin(3x+φ)的图象关于点(5π4,0)中心对称,则|φ|的最小值为( ). A .π3B .π6C .π4D .π12【解析】由题意可得3sin (3×5π4+φ)=0,故3×5π4+φ=k π,k ∈Z,解得φ=k π-15π4,k ∈Z,令k=4,可得|φ|的最小值为π4.【答案】C5.(考点:平面向量的数量积,★★)设向量a ,b 满足|a+b|=3,|a-b|=2,则a ·b=( ). A .1 B .54C .32D .74【解析】由题意可得,a 2+2a ·b+b 2=9,a 2-2a ·b+b 2=4, 两式相减,得4a ·b=9-4=5, 即a ·b=54. 【答案】B6.(考点:三角函数的图象变换,★★)函数f (x )=A sin(ωx+φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示,为了得到y=sin (2x -π3)的图象,只需将f (x )的图象上( ).A .各点的横坐标变为原来的2倍,再向右平移π6个单位长度 B .各点的横坐标变为原来的12,再向右平移π3个单位长度 C .各点的横坐标变为原来的2倍,再向左平移π6个单位长度D .各点的横坐标变为原来的12,再向左平移π3个单位长度【解析】根据函数f (x )=A sin(ωx+φ)(A >0,ω>0,φ<π2)的部分图象,可得A=1,34T=7π6-(-π3)=3π2,解得T=2π, 所以ω=2πT =1.再根据五点作图法可得7π6+φ=3π2,则φ=π3, 故f (x )=sin (x +π3).则将函数y=f (x )的图象上各点的横坐标变为原来的12,得到y=sin (2x +π3)的图象,再向右平移π3个单位长度,得到y=sin (2x -π3)的图象.故选B.【答案】B7.(考点:正、余弦定理的综合应用,★★★)已知在△ABC 中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 所对的边,且a=2,c cosA+a cos C=-2√33b cos B ,△ABC 的面积S=√3,则b=( ). A .√13B .√14C .2√7D .√21【解析】由正弦定理可得sin C cos A+sin A cos C=-2√33sin B cos B ,即sin(A+C )=-2√33sin B cos B , 所以sin B=-2√33sin B cos B , 又sin B ≠0,所以cos B=-√32,则B=150°. 因为a=2,△ABC 的面积S=√3, 所以S=12ac sin B=12×2×c ×12=√3,解得c=2√3,所以b=√a 2+c 2-2accosB =2√7. 【答案】C8.(考点:三角恒等变换及函数的性质,★★★)已知函数f (x )=√3sin 2(2π-ωx )+sin ωx cos ωx+√32,且f (α)=√3+1,f (β)=√3,若|α-β|的最小值是π,则下列结论正确的是( ). A .ω=1,函数f (x )的最大值为1 B .ω=12,函数f (x )的最大值为√3+1 C .ω=14,函数f (x )的最大值为√3+1D .ω=12,函数f (x )的最大值为1【解析】f (x )=√3sin 2(2π-ωx )+sin ωx cos ωx+√32=√3sin 2ωx+12sin 2ωx+√32=12sin 2ωx-√32cos 2ωx+√3=sin (2ωx -π3)+√3,由题意可得该函数的周期为π×4=4π,则2π2ω=4π,所以ω=14,则f (x )=sin (12x -π3)+√3,故f (x )的最大值为√3+1. 【答案】C二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分. 9.(考点:三角恒等变换,★★)下列各式中,值为12的有( ).A .2√33sin 30°cos 30° B .cos 230°-sin 230° C .1-2cos 230° D .sin 230°+cos 230° 【解析】A 符合,2√33sin 30°cos 30°=√33sin 60°=12; B 符合,cos 230°-sin 230°=cos 60°=12; C 不符合,1-2cos 230°=-cos 60°=-12; D 不符合,sin 230°+cos 230°=1. 故选AB . 【答案】AB10.(考点:平面向量的坐标运算,★★)已知向量a+b=(5,3),a-b=(-3,1),c=(-2,1),设a ,b 的夹角为θ,则( ). A .|a|=|b| B .a ⊥cC .b ∥cD .cos θ=6√8585【解析】根据题意,a+b=(5,3),a-b=(-3,1),则a=(1,2),b=(4,1), 对于A 项,|a|=√5,|b|=√17,则|a|=|b|不成立,A 错误; 对于B 项,a=(1,2),c=(-2,1),则a ·c=0,即a ⊥c ,B 正确; 对于C 项,b=(4,1),c=(-2,1),b ∥c 不成立,C 错误;对于D 项,a=(1,2),b=(4,1),则a ·b=6,|a|=√5,|b|=√17,则cos θ=a ·b|a ||b |=6√8585,D 正确.故选BD . 【答案】BD11.(考点:三角函数的基本性质,★★)已知函数f (x )=sin x+|cos x|,则下列命题正确的是( ). A .该函数为奇函数B .该函数的最小正周期为2πC .该函数的图象关于直线x=π2对称D .该函数的单调递增区间为[-π2+2kπ,π2+2kπ],k ∈Z【解析】当cos x ≥0时,f (x )=sin x+cos x=√2sin (x +π4), 当cos x<0时,f (x )=sin x-cos x=√2sin (x -π4),画出函数图象,如图所示.根据图象知,函数不是奇函数,A 错误;f (x+2π)=sin(x+2π)+|cos(x+2π)|=sin x+|cos x|=f (x ),故该函数的最小正周期为2π,B 正确; f (π-x )=sin(π-x )+|cos(π-x )|=sin x+|cos x|=f (x ),故该函数的图象关于直线x=π2对称,C 正确;由图象可知,在[-π2,π2]上,函数f (x )不单调,所以f (x )的单调递增区间不为[-π2+2kπ,π2+2kπ],k ∈Z,D 错误.故选BC . 【答案】BC12.(考点:解三角形,★★★)已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,则下列四个命题中正确的是( ). A .若a 2+b 2-c 2<0,则△ABC 一定是钝角三角形 B .若acosA =bcosB =ccosC,则△ABC 一定是等边三角形C .若a cos A=b cos B ,则△ABC 一定是等腰三角形D .若b cos C=c cos B ,则△ABC 一定是等腰三角形 【解析】对于A,若a 2+b 2-c 2<0,由余弦定理可知cos C=a 2+b 2-c 22ab<0,角C 为钝角,故A 正确;对于B,因为acosA =bcosB =ccosC ,由正弦定理得a=2R sin A ,b=2R sin B ,c=2R sin C ,所以tan A=tan B=tan C ,所以A=B=C ,所以△ABC 一定是等边三角形,故B 正确;对于C,若a cos A=b cos B ,由正弦定理得sin 2A=sin 2B ,所以A=B 或A+B=π2,所以△ABC 是等腰三角形或直角三角形,故C 错误;对于D,若b cos C=c cos B ,由正弦定理得sin B cos C=sin C cos B ,则sin B cos C-sin C cos B=0,所以sin(B-C )=0,得B=C ,所以△ABC 一定是等腰三角形,故D 正确. 故选ABD . 【答案】ABD三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(考点:向量共线的条件,★★)已知a=(3,2),b=(k ,5),若(a+2b )∥(4a-3b ),则k= . 【解析】由题意得a+2b=(3+2k ,12),4a-3b=(12-3k ,-7), 因为(a+2b )∥(4a-3b ), 所以(3+2k )·(-7)=12·(12-3k ), 解得k=152. 【答案】15214.(考点:两角和与差的正、余弦公式,★★)已知α,β为锐角,cos α=35,sin(α+β)=1213,则cos β= . 【解析】由题意得sin α=2α=45,cos(α+β)=±√1-sin 2(α+β)=±513.当cos(α+β)=513时,cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=513×35+1213×45=6365;当cos(α+β)=-513时,cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=-513×35+1213×45=3365.综上所述,cos β的值为6365或3365. 【答案】6365或336515.(考点:平面向量的数量积,★★)已知等边△ABC 的边长为6,平面内一点P 满足CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则PA⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ = . 【解析】由CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,可得PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CA ⃗⃗⃗⃗⃗ -12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ -CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ -13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ , 故PA⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(23CA ⃗⃗⃗⃗⃗ -12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ -13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ -29CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2-14CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2 =12×18-29×36-14×36 =-8.【答案】-816.(考点:三角恒等变换及函数的性质,★★★)已知函数f (x )=sin 2x-sin 2(x -π6),x ∈R,则f (x )的最小值为 ;单调递增区间为 .【解析】由题意,f (x )=sin 2 x-sin 2(x -π6)=12(1-cos 2x )-12[1-cos (2x -π3)]=-14cos 2x+√34sin 2x=12sin (2x -π6),所以函数f (x )的最小值为-12;令-π2+2k π≤2x-π6≤π2+2k π,k ∈Z,则-π6+k π≤x ≤π3+k π,k ∈Z, 即f (x )的单调递增区间为[-π6+kπ,π3+kπ],k ∈Z .【答案】-12 [-π6+kπ,π3+kπ],k ∈Z。
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小题满分练3一、单项选择题1．若集合M ＝{x|x<3}，N ＝{x|x 2>4}，则M ∩N 等于( ) A ．(－2,3) B ．(－∞，－2) C ．(2,3) D ．(－∞，－2)∪(2,3)【答案】 D【解析】 ∵N ＝(－∞，－2)∪(2，＋∞)，∴M ∩N ＝(－∞，－2)∪(2,3)． 2．(2020·全国Ⅰ)若z ＝1＋2i ＋i 3，则|z|等于( ) A ．0 B ．1 C. 2 D ．2 【答案】 C【解析】 ∵z ＝1＋2i ＋i 3＝1＋2i －i ＝1＋i ， ∴|z|＝12＋12＝ 2.3．已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，且|b ＋a |＝2，则向量a 与b 的夹角的余弦值为( ) A.22 B.23 C.28 D.24【答案】 D【解析】 由题意可知，|b ＋a |2＝b 2＋2a ·b ＋a 2＝3＋2a ·b ＝4， 解得a ·b ＝12，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝122＝24.4．(2020·全国Ⅰ)已知圆x 2＋y 2－6x ＝0，过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】 B【解析】 圆的方程可化为(x －3)2＋y 2＝9， 故圆心的坐标为C(3,0)，半径r ＝3. 如图，记点M(1,2)，则当MC 与直线垂直时，直线被圆截得的弦的长度最小， 此时|MC|＝22，弦的长度l ＝2r 2－|MC|2＝29－8＝2.5．(2020·新高考全国Ⅰ)基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝e rt描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出R 0＝3.28，T ＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69) ( )A ．1.2天B ．1.8天C ．2.5天D ．3.5天 【答案】 B【解析】 由R 0＝1＋rT ，R 0＝3.28，T ＝6， 得r ＝R 0－1T ＝3.28－16＝0.38.由题意，累计感染病例数增加1倍， 则I(t 2)＝2I(t 1)，即20.38et ＝10.382et ，所以()210.38et t -＝2，即0.38(t 2－t 1)＝ln 2，所以t 2－t 1＝ln 20.38≈0.690.38≈1.8.6．已知a>0，b>0，若不等式m 3a ＋b －3a －1b≤0恒成立，则m 的最大值为( ) A ．4 B ．16 C ．9 D ．3 【答案】 B【解析】 因为a>0，b>0， 所以由m 3a ＋b －3a －1b≤0恒成立，得m ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋1b (3a ＋b)＝10＋3b a ＋3a b 恒成立， 因为3b a ＋3ab≥23b a ·3ab＝6， 当且仅当a ＝b 时等号成立， 所以10＋3b a ＋3ab ≥16，所以m ≤16，即m 的最大值为16.7．已知双曲线C ：y 2a 2－x2b 2＝1(a>0，b>0)，直线x ＝a 与C 的交点为A ，B(B 在A 的下方)，直线x ＝a 与C 的一条渐近线的交点D 在第一象限，若|AB||BD|＝43，则C 的离心率为( )A.32 B ．2 C.1＋174 D.7 【答案】 B【解析】 将x ＝a 代入y 2a 2－x 2b 2＝1，得y 2＝a 2c 2b 2，即y ＝±ac b ，则|AB|＝2acb.将x ＝a 代入y ＝a b x ，得y ＝a 2b ，则|BD|＝ac b ＋a2b .因为|AB||BD|＝43，所以2ac ac ＋a 2＝43，即2e e ＋1＝43，解得e ＝2. 8．(2020·重庆模拟)已知函数f(x)＝x 3－3x ＋1，若∀x 1∈[a ，b]，∃x 2∈[a ，b]，使得f(x 1)＝f(x 2)，且x 1≠x 2，则b －a 的最大值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6【答案】 C【解析】 令f ′(x)＝3x 2－3＝0，解得x ＝±1，易得当x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f ′(x)>0，f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，当x ∈(－1,1)时，f ′(x)<0，f(x)在(－1,1)上单调递减，且f(－1)＝3，f(1)＝－1，作出函数f(x)的图象如图， 令f(x)＝3，解得x ＝－1或x ＝2， 令f(x)＝－1，解得x ＝1或x ＝－2， 由图象可知，b －a 的最大值为2－(－2)＝4. 二、多项选择题9．空气质量指数(简称：AQI)是定量描述空气质量状况的无量纲指数，空气质量按照AQI 大小分为六级：[0,50)为优，[50,100)为良，[100,150)为轻度污染，[150,200)为中度污染，[200,250)为重度污染，[250,300]为严重污染．下面记录了北京市22天的空气质量指数，根据图表，下列结论正确的是( )A．在北京这22天的空气质量中，按平均数来考查，最后4天的空气质量优于最前面4天的空气质量B．在北京这22天的空气质量中，有3天达到污染程度C．在北京这22天的空气质量中，12月29日空气质量最差D．在北京这22天的空气质量中，达到空气质量优的天数有7天【答案】ABC【解析】因为97>59,51>48,36>29,68>45，所以在北京这22天的空气质量中，按平均数来考察，最后4天的空气质量优于最前面4天的空气质量，即选项A正确；AQI不低于100的数据有3个：143,225,145，所以在北京这22天的空气质量中，有3天达到污染程度，即选项B正确；因为12月29日的AQI为225，为这22天中AQI的最大值，所以该天的空气质量最差，即选项C正确；AQI在[0,50)内的数据有6个：36,47,49,48,29,45，即达到空气质量优的天数有6天，所以选项D错误．10．(2020·山东新高考名校联考)某班期末考试数学成绩(满分150分)的频率分布直方图如图所示，其中分组区间为[80,90)，[90,100)，[100,110)，[110,120)，[120,130)，[130,140)，[140,150]，根据频率分布直方图，判断下列说法正确的是( )A．估计本次考试数学成绩的平均数为114.8分B ．估计本次考试数学成绩的众数为115分C ．估计本次考试数学成绩的中位数为114分D ．本次考试数学成绩110分以上的人数等于110分以下的人数 【答案】 ABC【解析】 由频率分布直方图可知，本次数学成绩的平均数为85×0.04＋95×0.06＋105×0.24＋115×0.36＋125×0.16＋135×0.12＋145×0.02＝114.8，A 正确；由图易知本次考试数学成绩的众数为115分，B 正确；前三组的频率和为(0.004＋0.006＋0.024)×10＝0.34，所以中位数应落在[110,120)之间，中位数为110＋0.5－0.340.36×10≈114(分)，C 正确；因为0.04＋0.06＋0.24<0.36＋0.16＋0.12＋0.02，故本次考试数学成绩在110分以上的人数多于110分以下的人数．11．将函数f(x)＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－1的图象向左平移π3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列关于函数g(x)的说法正确的是( ) A ．最大值为3，图象关于直线x ＝π12对称B ．图象关于y 轴对称C ．最小正周期为πD ．图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称 【答案】 BCD【解析】 将函数f(x)＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－1的图象向左平移π3个单位长度，得到y ＝3cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋π3－1＝3cos(2x ＋π)－1＝－3cos 2x －1的图象；再向上平移1个单位长度，得到函数g(x)＝－3cos 2x 的图象，对于函数g(x)，它的最大值为3，由于当x ＝π12时，g(x)＝－32，不是最值，故g(x)的图象不关于直线x ＝π12对称，故A 错误；由于该函数为偶函数，故它的图象关于y 轴对称，故B 正确； 它的最小正周期为2π2＝π，故C 正确；当x ＝π4时，g(x)＝0，故函数g(x)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称，故D 正确． 12．(2020·济南质量评估)若实数a ，b 满足2a＋3a ＝3b＋2b ，则下列关系式中可能成立的是( ) A ．0<a<b<1 B ．b<a<0 C ．1<a<b D ．a ＝b【答案】 ABD【解析】 设f(x)＝2x＋3x ，g(x)＝3x＋2x ，f(x)和g(x)在(－∞，＋∞)上均为增函数，且f(0)＝g(0)，f(1)＝g(1)．x ∈(－∞，0)时，f(x)<g(x)；x ∈(0,1)时，f(x)>g(x)；x ∈(1，＋∞)时，f(x)<g(x)．由函数f(x)与g(x)的图象可知，若f(a)＝2a＋3a ＝3b＋2b ＝g(b)，则b<a<0或0<a<b<1或a>b>1或a ＝b. 三、填空题13.⎝ ⎛⎭⎪⎫y x －3x 5的展开式中xy 2的系数为________． 【答案】 －270【解析】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫y x －3x 5的展开式中xy 2的项为C 35×⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 2×(－3x)3＝－270xy 2，故其系数为－270.14.在如图所示的图形中，每个三角形上各有一个数字，若六个三角形上的数字和为20，则称该图形是“和谐图形”．已知其中四个三角形上的数字之和为14.现从1,2,3,4,5中任取两个数字标在另外两个三角形上，则恰好使该图形为“和谐图形”的概率为________．【答案】 15【解析】 由题意可知，若该图形为“和谐图形”，则另外两个三角形上的数字之和恰为20－14＝6.从1,2,3,4,5中任取两个数字的所有情况有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10种，而其中数字之和为6的情况有(1,5)，(2,4)，共2种，所以所求概率P ＝15.15．在四面体ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，BC ⊥BD ，AB ＝BD ＝2，E 为CD 的中点，若异面直线AC 与BE 所成的角为60°，则BC ＝________. 【答案】 2【解析】 取AD 的中点F ，连接EF ，BF ，如图所示，则EF ∥AC ，∠BEF 为异面直线AC 与BE 所成的角，所以∠BEF ＝60°.设BC ＝x ，则BE ＝EF ＝x 2＋42，BF ＝2，从而△BEF 为等边三角形，则x 2＋42＝2，解得x ＝2.故BC ＝2.16．定义p(n)为正整数n 的各位数字中不同数字的个数，例如p(555)＝1，p(93)＝2，p(1 714)＝3.在等差数列{a n }中，a 2＝9，a 10＝25，则a n ＝________，数列{p(a n )}的前100项和为________．【答案】 2n ＋5 227【解析】 因为a 2＝9，a 10＝25，所以公差为d ＝25－910－2＝2，所以a n ＝9＋2(n －2)＝2n ＋5.因为a 1＝7，a 100＝205，且a n 为奇数，所以当a n ＝7,9,11,33,55,77,99,111时，p(a n )＝1；当a n ＝101,113,115,117,119,121,131,133,141,151,155,161,171,177,181,191,199时，p(a n )＝2.在数列{a n }中，小于100的项共有47项，这47项中满足p(a n )＝2的共有47－7＝40(项)，故数列{p(a n )}的前100项和为1×8＋2×(40＋17)＋3×(100－8－40－17)＝227.。