高二理科复习卷答案

，a= ．
则 e= ，
∴双曲线的实半轴长 m= ，离心率 e′= ，
则双曲线的半焦距 c′=
，则虚半轴长 n=
．
∴双曲线的方程为
，即 y2﹣x2=2．
故选：C． 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13．（5 分）已知实数 x，y 满足
，则 x+2y 的最大值为 5 ．
【解答】解：画出不等式组
上，且 OM=2MA，点 N 为 BC 的中点，则 =（ ）
A．﹣ + +
C． + ﹣
【解答】解： =
，
= +﹣+ ，
=
++ ﹣ ，
=﹣ + + ，
∵ =， =， =，
B． ﹣ + D． + ﹣
∴ =﹣ + + ，
故选：A．ຫໍສະໝຸດ 11．（5 分）命题 p：函数 f（x）＝x3﹣3x 在区间（﹣1，1）内单调递减，命题 q：
设 A（x1，y1），B（x2，y2），则 x1+x2＝
，x1x2＝
．
k1＝
，k2＝
，
∴k1+k2＝
+
＝
＝2k﹣
＝2k﹣
所以 k1+k2 为定值，且定值为﹣1．
．
【解答】解：由△AF1F2 是等腰直角三角形， AF2 垂直于 x 轴， 此时 A（c，y），
代入椭圆方程： + ＝1，
解得 y＝± ，
又三角形 AF1F2 为等腰直角三角形，得 AF2＝F1F2，
故得 ＝2c，即 2ac＝a2﹣c2，
即 e2+2e﹣1＝0，解得 e＝﹣1± ， 由 0＜e＜1 可得 e＝ ﹣1． 故椭圆的离心率是 ﹣1． 故答案为： ．
（1+3+…+（2n﹣1））+（1+3+9+…+3n﹣1）= n•2n+
=n2+
．
20．（12 分）设 p：实数 x 满足 x2﹣4ax+3a2＜0，其中 a＞0；q：实数 x 满足
．
（Ⅰ）若 a=1，且 p∧q 为真，求实数 x 的取值范围；
（Ⅱ）若 q 是 p 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围． 【解答】解：（I）由 x2﹣4ax+3a2＜0，其中 a＞0；化为（x﹣3a）（x﹣a）＜0，解
D．存在 x0∈R，使得 x02＜1
【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，
所以命题“对任意 x∈R 都有 x2≥1”的否定是：存在 x0∈R，使得
．
故选：D．
3．（5 分）已知{an}是等比数列，若 a1＝2，a5＝8a2，数列{an}的前 n 项和为 Sn，
则 Sn 为（ ）
A．2n﹣2
B．2n+1﹣1
得 a＜x＜3a．a=1 时，1＜x＜3．
q：实数 x 满足
，化为：
，解得 2＜x≤3．
当 p∧q 为真，则
，解得 2＜x＜3．
∴实数 x 的取值范围是（2，3）． （II）∵q 是 p 的充分不必要条件，∴
，解得 1＜a≤2．
∴实数 a 的取值范围是（1，2]．
21．（12 分）如图，三棱锥 P﹣ABC 中，PC⊥平面
＝（1，﹣1，0）， ＝（﹣1，﹣1，3）， ＝（ ，﹣1，0）．
设平面 PAD 的法向量为 ＝（x1，y1，z1），
由 ＝0， ＝0，得
，取 x1＝2，得 ＝（2，1，1）．
由（1）可知 DE⊥平面 PCD，故平面 PCD 的法向量 ＝ ＝（1，﹣1，0），
cos＜ ＞＝
＝，
故所求二面角 A﹣PD﹣C 的余弦值为 ．
代入抛物线 y2=6x 化简得 x2﹣9x+ =0，
设 A（x1，y1），B（x2，y2），则 x1+x2=9， 所以|AB|=x1+x2+p=9+3=12． 故所求的弦长为 12． 19．（12 分）已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且 b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4． （1）求{an}的通项公式； （2）设 cn=an+bn，求数列{cn}的前 n 项和． 【解答】解：（1）设{an}是公差为 d 的等差数列，
D．{x|x＞
【解答】解：不等式变形得：（x+1）（x﹣1）≥0，
解得：x≤﹣1 或 x≥1， 则不等式的解集为{x|x≥1 或 x≤﹣1}， 故选：C．
2．（5 分）命题“对任意 x∈R 都有 x2≥1”的否定是（ ）
A．对任意 x∈R，都有 x2＜1
B．不存在 x∈R，使得 x2＜1
C．存在 x0∈R，使得 x02≥1
（Ⅱ）直线 l 过已知抛物线的焦点且倾斜角为 45°，与抛物线相交于不同的两点 A、B，求线段 AB 的长度．
【解答】解：（Ⅰ）抛物线的标准方程是 y2=6x，焦点在 x 轴上，开口向右，2p=6， ∴=，
∴抛物线的焦点坐标（ ，0），准线方程 x=﹣ ；
（Ⅱ）∵直线 l 过已知抛物线的焦点且倾斜角为 45°， ∴直线 l 的方程为 y=x﹣ ，
高二（上）期末数学模拟试卷（理科）答案
一、选择题（本题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5 分）不等式 x2﹣1≥0 的解集为（ ） A．{x|﹣1≤x≤1} B．{x|﹣1＜x＜1} C．{x|x≥1 或 x≤﹣1}
1 或 x＜﹣1}
表示的平面区域，如图阴影部分所示；
设 z＝x+2y，则 y＝﹣ x+ z，
平移直线 y＝﹣ x+ z，由图象可知：
当直线 y＝﹣ x+ z 经过点 B 时，直线 y＝﹣ x+ z 的截距最大，此时 z 最大；
由
，解得 B（1，2），
此时 z 的最大值为 z＝1+2×2＝5． 故答案为：5．
14．（5 分）空间向量 ＝（2，3，﹣2）， ＝（2，﹣m，﹣1），且 ⊥ ，则| |＝ 3．
【解答】解：根据面面垂直的判定定理可得，
若 m⊂α，m⊥β，则 α⊥β 成立，即充分性成立，
若 α⊥β，则 m⊥β 不一定成立，即必要性不成立．
故“m⊥β”是“α⊥β”充分不必要条件，
故选：A．
6．（5 分）已知 F1，F2 是椭圆 + =1 的两个焦点，经过点 F2 的直线交椭圆于
A，B 两点，若|AB|=4，则|AF1|+|BF1|=（ ）
如图，过 D 作 DF 垂直 CE 于 F，则 DF＝FC＝FE＝1，又已知 EB＝1，故 FB＝ 2．
由∠ACB＝ ，得 DF∥AC，
，故 AC＝ DF＝ ．
以 C 为坐标原点，分别以
的方向为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空
间直角坐标系，
则 C（0，0，0），P（0，0，3），A（ ，0，0），E（0，2，0），D（1，1，0），
，
＝ ，即 sinA＝ ．
∴A＝ ．
（2）∵a2＝b2+c2﹣2bccosA，a＝3，A＝ ， ∴b2+c2﹣bc＝9， 又 b+c＝4， ∴（b+c）2﹣3bc＝9，bc＝ ，
∴S△ABC＝ bcsinA＝
＝．
18．（12 分）已知抛物线的标准方程是 y2=6x．
（Ⅰ）求抛物线的焦点坐标和准线方程；
∀a＞0，曲线 x2+ay2＝1 为椭圆，则下列命题为真命题的是（ ）
A．p∧q
B．（￢p）∨q
C．p∨q
D．（￢p）∧（￢q）
【解答】解：命题 p：解 f′（x）＝3x2﹣3＜0 得﹣1＜x＜1；
∴函数 f（x）＝x3﹣3x 在区间（﹣1，1）内单调递减，所以命题 p 是真命题；
命题 q：“∀a∈R*，x2+ay2＝1 为椭圆”，例如 a＝1，表达式表示的是圆，所以命题
【解答】解：∵空间向量 ＝（2，3，﹣2）， ＝（2，﹣m，﹣1），且 ⊥ ，
∴ ＝4﹣3m+2＝0，
解得 m＝2，∴ ＝（2，﹣2，﹣1），
∴| |＝
＝3．
故答案为：3．
15．（5 分）设 F 为抛物线 C：y= x2 的焦点，曲线 y= （k＞0）与 C 交于点 P，
PF⊥y 轴，则 k= 2 ． 【解答】解：抛物线 C：y= x2 的焦点 F 为（0，1），
21．（12 分）已知椭圆 C： + ＝1（a＞b＞0）经过点 P（0，1），离心率 e＝
． （1）求 C 的方程； （2）设直线 l 经过点 Q（2，﹣1）且与 C 相交于 A，B 两点（异于点 P），记直
线 PA 的斜率为 k1，直线 PB 的斜率为 k2，证明：k1+k2 为定值．
【解答】解：（1）因为椭圆： + ＝1（a＞b＞0）经过点 P（0，1），所以 b＝
∴∴a2＞b2．
故选：D．
9．（5 分）已知 x+y=3，则 Z=2x+2y 的最小值是（ ）
A．8
B．6
C．
【解答】解：∵x+y=3，∴Z=2x+2y
≥2
=2
=4
D．a2＞b2 D．
当且仅当 2x=2y 即 x=y= 时取等号，
故选：D． 10．（5 分）如图，空间四边形 OABC 中， = ， = ， = ，点 M 在线段 OA
曲线 y= （k＞0）与 C 交于点 P，PF⊥y 轴，得：P 点纵坐标为 1， 代入 C 得：P 点横坐标为 2， 故 k=2， 故答案为 2．
16．（5 分）F1，F2 为椭圆 C： + ＝1 左右焦点，A 为椭圆上一点，AF2 垂直