212 离散型随机变量的分布列导学案(无答案)河北省涞水波峰中学高二数学人教A版选修2-3
211 离散型随机变量导学案（无答案）河北省涞水波峰中学高二数学人教A版选修2-3
波峰中学高二数学选修2-3导学案姓名_____班级____编制：荆冀彬时间：3.1审核2.1.1离散型随机变量学习目标核心素养1.理解随机变量及离散型随机变量的含义．(重点)2.了解随机变量与函数的区别与联系．(易混点)3.能写出离散型随机变量的可能取值，并能解释其意义．(难点)通过学习随机变量及离散型随机变量，培养数学抽象的素养.一．课前预习单1．随机变量(1)定义：在随机试验中，确定一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化的变量称为随机变量．(2)表示：随机变量常用字母X，Y，ξ，η，…表示．2．离散型随机变量(1)定义：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．(2)特征：①可用数值表示．②试验之前可以判断其出现的所有值．③在试验之前不能确定取何值．④试验结果能一一列出．思考：离散型随机变量的取值必须是有限个吗？[提示]离散型随机变量的取值可以是有限个，例如取值为1,2，…，n；也可以是无限个，如取值为1,2，…，n，….1．下列变量中，是离散型随机变量的是()A．到2019年10月1日止，我国发射的人造地球卫星数B．一只刚出生的大熊猫，一年以后的身高C．某人在车站等出租车的时间D．某人投篮10次，可能投中的次数D[根据离散型随机变量的定义：其可能取到的不相同的值是有限个或可列为有限个，即可以按一定次序一一列出，试验前可以判断其出现的所有值．选项A，B，C的数值均有不确定性，而选项D中，投篮10次，可能投中的次数是离散型随机变量．] 2．袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出1个球，直到取出的球是白球为止时，所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为() A．1,2,3，…，6B．1,2,3，…，7C．0,1,2，…，5 D．1,2，…，5B[由于取到白球游戏结束，由题意可知X的可能取值为1,2,3,4,5,6,7.]3．下列随机变量不是离散型随机变量的是________．①某景点一天的游客数X；②某手机一天内收到呼叫次数X；③水文站观测到江水的水位数X；④某收费站一天内通过的汽车车辆数X.③[①②④中的随机变量X可能取的值，我们都可以按一定的次序一一列出，因此都是离散型随机变量；③中X可以取一区间内的一切值，无法按一定次序一一列出，故③不是离散型随机变量．]二．课中探究单随机变量的概念【例1】机变量的是()A．取到产品的件数B．取到正品的件数C．取到正品的概率D．取到次品的概率(2)判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．①北京国际机场候机厅中明天的旅客数量；。
人教新课标版数学高二人教A版选修2-3离散型随机变量的分布列 导学案
2．1．2离散型随机变量的分布列一、【学习目标】知识目标1．理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念。
2．掌握离散型随机变量的分布列的表示方法和基本性质。
能力目标1．在具体问题中能写出随机变量的取值，能列出概率分布列；2．培养学生独立思考问题的能力．情感、态度与价值观1加强师生情感交流，营造和谐课堂。
2在教学过程中让学生体会数学在生活的应用。
3充分发挥非智力因素在教学中的作用，增强学生对数学学习的兴趣二、【重点难点】重点：1.离散型随机变量概率分布列的概念。
2. 离散型随机变量分布列的表示方法和性质；难点：1.确定离散型随机变量的取值、随机变量所对应的概率2. 随机变量在某个范围内取值的概率的计算考点：1离散型随机变量及其分布列的概念2离散型随机变量的分布列的表示方法和基本性质3具体问题中能写出随机变量的取值，能列出概率分布列三、【知识链接】.1.随机变量的概念：如果____________________可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量，随机变量常用字母__________________等表示2. 离散型随机变量的概念：对于随机变量可能取的值，可以按__________________，这样的随机变量叫做离散型随机变量3.对立事件定义.:其中必有一个发生的两个______叫做对立事件是,一种特殊的互斥事件4.互斥事件事件定义：A与事件B在任何一次试验中__________________四、【合作探究】引入对于一个随机试验，仅仅知道试验结果的取值是不够的，还要把握每一个结果发生概率的大小。
还要研究这些结果取值的平均数，这些结果取值的波动状态等等。
实例引入：在随机试验掷一枚骰子中，我们可以定义一个随机变量X , X 的值分别对应试验所得的点数.X能取那些值，X 取每个值的概率分别是多少？解：X的取值有1、2、3、4、5、6则列成表格形式X 1 2 3 4 5 6P归纳小结：该表不仅列出了随机变量X的所有取值．而且列出了X的每一个取值的概率．这样，我们就从概率的角度指出了随机变量在随机试验中取值的分布状况，为进一步研究随机现象奠定了基础，这就是今天我们要学习的内容——离散型随机变量的分布列离散型随机变量的分布列定义：一般地，设离散型随机变量X可能取的不同值为：,X取每一个x（ｉ=1，2，……）的概率,P（X=xｉ）=Ｐｉ.，以表格的形式表示如下：X …………P P P……P……此表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称X 的分布列也可用P(X=xｉ）=P i=1,2,3 …n表示X的分布列合作探究1分布列的构成:⑴列出随机变量ξ的所有取值;⑵给出ξ的每一个取值的概率注：在具体问题中关键是要搞清楚什么是随机变量，随机变量能取哪些值，随机变量取值的概率是什么2分布列的性质:（1）请同学们思考随机变量概率的取值有什么特点呢(2) 请同学们思考P1+P2+…+Pn=？为什么（3）随机变量在某个范围内取值的概率等于随机变量在这个范围内取各个值得概率的和。
人教版数学高二离散型随机变量的分布列》学案
其中 ，且 ．称分布列
X
0
1
…
P
…
为超几何分布列．如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量 X服从超几何分布。
三、典例解析：
题型一：求离散型随机变量的分布列
例1、掷一枚骰子，所掷出的点数为随机变量X：
（1）求X的分布列；
（2）求“点数大于4”的概率；
（3）求“点数不超过5”的概率。
变式训练盒子中装有4个白球和2个黑球，现从盒中任取4个球，若X表示从盒中取出的4个球中包含的黑球数，求X的分布列.
2.随机变量 所有可能的取值为1，2，3，4，5，且 ，则常数c=, =.
3、盒中有9个正品和3个次品零件，每次取出一个零件，如果取出的次品不再放回，则在取得正品前已取出的次品数X的可能取值为。
4、设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量 描述一次该项试验的成功次数，则 等于（ ）
A．0 B． C． D．
二、预习自测：
1. 离散型随机变量的分布列
（1）如果离散型随机变量X的所有可能取得值为x1，x2，…，xn；X取每一个值xi（i=1，2，…，n）的概率为p1，p2，…，pn，则称表
X
…
…
P
…
…
为离散型随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列
（2） 离散型随机变量的分布列的两个性质：
；
．
例2、已知随机变量X的概率分布如下：
X
-1
-0.5
0
1.8
3
P
0.1
0.2
0.1
0.3
a
求: （1）a； （2）P（X<0）；（3）P（-0.5≤X<3）；（4）P（X<-2）；
《2.1.2 离散型随机变量的分布列(2)》导学案(新部编)2
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校《2.1.2 离散型随机变量的分布列（2）》导学案2课前预习学案一、预习目标通过预习了解离散型随机变量的分布列的概念，两点分布和超几何分布的定义。
二、预习内容1、离散型随机变量的分布列。
2.分布列的性质：3．两点分布的定义及其他名称4超几何分布的定义和主要特征三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中课内探究学案【教学目标】1.知道概率分布列的概念。
2.掌握两点分布和超几何分布的概念。
3.回求简单的离散型随机分布列。
【教学重难点】教学重点：概率分布列的概念；教学难点：两点分布和超几何分布的概。
三、学习过程问题1.什么是离散型随机变量的分布列?问题2：离散型随机变量的分布列有什么性质？问题3. 例1.在掷一枚图钉的随机试验中，令 ⎧⎨⎩1，针尖向上；X=0,针尖向下.如果针尖向上的概率为p ，试写出随机变量 X 的分布列． 备注：两点分布。
问题4. 例 2．在含有 5 件次品的 100 件产品中，任取 3 件，试求： (1)取到的次品数X 的分布列； （2）至少取到1件次品的概率． 备注:超几何分布：练习：在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同．一次从中摸出5个球，至少摸到3个红球就中奖．求中奖的概率．问题5. 例5．某一射手射击所得的环数ξ的分布列如下：求此射手“射击一次命中环数≥7”的概率．（五）当堂检测某一射手射击所得环数ξ分布列为求此射手“射击一次命中环数≥7”的概率 .解：“射击一次命中环数≥7”是指互斥事件“ξ=7”，“ξ=8”，“ξ=9”，“ξ=10”的和，根据互斥事件的概率加法公式，有：P （ξ≥7）=P （ξ=7）+P （ξ=8）+P （ξ=9）+P （ξ=10）=0.88 .课后练习与提高1．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4只，那么310为（ ） Ａ．恰有1只坏的概率Ｂ．恰有2只好的概率Ｃ．4只全是好的概率Ｄ．至多2只坏的概率2．袋子里装有大小相同的黑白两色的手套，黑色手套15支，白色手套10只，现从中随机地取出2只手套，如果2只是同色手套则甲获胜，2只手套颜色不同则乙获胜．试问：甲、乙获胜的机会是（）Ａ．甲多Ｂ．乙多Ｃ．一样多Ｄ．不确定3．将一枚均匀骰子掷两次，下列选项可作为此次试验的随机变量的是（）Ａ．第一次出现的点数Ｂ．第二次出现的点数Ｃ．两次出现点数之和Ｄ．两次出现相同点的种数4.随机变量X的分布列为则a=＿＿＿＿＿＿＿。
人民教育A版选修2-3 2.1.1 离散型随机变量的分布列导学案
2.1.2《离散型随机变量的分布列》的学案制作王敬审核高二数学组2016-05-30【学习目标】1．理解离散型随机变量分布列的概念、性质，会求分布列；能够运用概率分布求所给事件的概率．2．通过实例，理解超几何分布的意义及其概率的推导过程，并能运用公式解决简单问题．【重点、难点】重点：离散型随机变量分布列的概念、性质和分布列的求法．难点：简单离散型随机变量分布列的求法．【预习导航】抛掷一枚骰子，所得的点数X有哪些值？X取每个值的概率是多少？【导学新知】1.定义:概率分布（分布列）说明:离散型随机变量的分布列具有下述两个性质：（1）（2）【问题探究】探究活动一两点分布例1在掷一枚图钉的随机试验中，令⎩⎨⎧=，针尖向下；，针尖向上；1X如果针尖向上的概率为p，试写出随机变量X的分布列.问：本例关键要求出什么？根据什么知识来求解？2.两点分布由于例1中的随机变量X仅取0和1，像这样的分布列称为两点分布列. 说明：(1)（2)（3）（4）巩固练习一：1、设某项试验成功的概率是失败的概率的2倍，用随机变量X描述1次试验的成功次数，则P(X=0)等于( )A、0B、1/2C、1/3D、2/32、对于0-1分布，设P(0)=m，0<m<1，则P(1)=.3、篮球比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分，已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求他一次罚球得分X的分布列.探究二超几何分布例2在含有5件次品的100件产品中，任取3件，求取到的次品数X的分布列.问：X的可能取哪些值？题中“任取3件”是指什么？变量X=0的概率怎么求？【拓展提高】观察其分布列有何规律？能否将此规律推广到一般情形.例3在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同.游戏者一次从中摸出5个球.至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率.巩固练习二：1、在100件产品中有8件次品，现从中任取10件，用X表示10件产品中所含的次品件数，下列概率中等于的是( )A、P(X=3)B、P(X≤3)C、P(X=7)D、P(X≤7)2、在含有3件次品的5件产品中，任取2件，则恰好取到1件次品的概率是.3、从一副不含大小王的52张扑克牌中任意抽出5张，求至少有3张A的概率.4、袋中有4个红球，3个黑球，现从袋中随机取出4个球，设取到一个红球得2分取到一个黑球得1分(1) 求得分X的分布列；(2) 求得分X大于6的概率.【总结概括】本节课我们主要学习了什么内容？【课后作业】习题A组 P50 第6题B组第1、2题.。
高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.1.2 离散型随机变量的分布列(2)学案(无答案)新人教A
河北省承德市高中数学第二章随机变量及其分布2.1.2 离散型随机变量的分布列（2）学案（无答案）新人教A版选修2-3编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（河北省承德市高中数学第二章随机变量及其分布2.1.2 离散型随机变量的分布列（2）学案（无答案）新人教A版选修2-3）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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离散型随机变量的分布列（2)1．教学重点：离散型随机变量分布列的概念、性质．两点分布、超几何分布的应用．2．教学难点:综合运用排列、组合、概率的知识求实际问题中的概率分布方法：自主学习合作探究师生互动一预习导学例1：已知随机变量ξ所有可能取的值是1、2、…、5，且取这些值的概率依次是k、2k、…、5k，求常数k的值．跟踪训练：设随机变量ξ只能取5、6、7、…、16这12个值，且取每一个值概率均相等，若P（ξ<x)＝错误!，则x的取值范围是________。
例2：盒中有16个白球和4个黑球,从中任意取出3个，设ξ表示其中黑球的个数，求出ξ的分布列．(精确到0。
001）跟踪训练：已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一课堂随笔:个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取（无放回，且每球取到的机会均等）3个球，记随机变量X为取出此3球所得分数之和．求X的分布列．例3：（2014·湖南师大附中高二期中）已知A盒中有2个红球和2个黑球；B盒中有2个红球和3个黑球,现从A盒与B盒中同时各取出一个球再放入对方盒中．（1)求A盒中有2个红球的概率；(2)求A盒中红球数ξ的分布列．跟踪训练：在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中,每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为1,2，…，6),求：（1)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率;（2）甲、乙两单位之间的演出单位个数X的分布列课下作业:一、选择题1．已知随机变量X的分布列为:P(X＝k）＝错误!，k＝1、2、…,则P(2＜X≤4）＝( )A．错误!B．错误! C．错误!D．错误! 2．某射手射击所得环数X的分布列为X45678910P0。
高二数学下册《离散型随机变量及其分布列(二)》导学案
离散型随机变量及其分布列（二）使用时间5月12日 班级： 姓名：学习目标1．理解常见的 离散型随机变量的分布列的两种形式；2．理解并运用两点分布和超几何分布．一、复习：1、随机变量、离散型随机变量的定义2、离散型随机变量分布列的性质3、求离散型随机变量分布列的基本步骤：定值→ 求概率→ 列表二、新课导学问题1：在掷一枚图钉的随机试验中，令⎩⎨⎧=.,0;,1针尖向下针尖向上X 如果针尖向上的概率为p ，试写出随机变量X 的分布列．新知3称X 服从 ；称)1(==X P p 为两点分布的特征：一次试验只有两个结果，用0表示事件不成功，用1表示事件成功，又称0－1分布。
（如彩票是否中奖，产品是否为正品，新生儿的性别，投篮是否投中等）问题2：在含有4件次品的10件产品中，任取3件，试求：（1）取到的次品数X 的分布列；（2）至少取到1件次品的概率．新知4：超几何分布列：一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，⎩⎨⎧-件）件正品（抽－件）件次品（抽件）件产品（抽k n M N k M n N 则,,...,3,2,1,0,)(m k C C C k X P nk n M N k M ===--其中{},,min n M m =且 *∈≤≤N N M n N M N n ,,,,X 服从超几何分布。
超几何分布的特征：一次实验有多个结果，每个结果由性质不同的两类组成（如：男生几人和女生几人，次品几件和合格品几件，白球几个和红球几个等）三、典型例题例1：袋中有红球10个，白球5个，（1）从中摸出2个球，如果只关心摸出两个红球的情形，问如何定义随机变量X ，才能使X 满足两点分布，并求分布列。
（2）从中摸出4个球，至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率。
变式1：学校要从10名候选人中选3名同学组成学生会，其中某班有4名候选人，假设每名候选人都有相同的机会被选到，求该班恰有2名同学被选到的概率。
高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.1.2 离散型随机变量的分布列学案(无答案)新人教A版选修
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2.1.2离散型随机变量的分布列知识与技能：熟记离散型随机变量的分布列，了解概率分布对于刻画随机现象的重要性；会求出某些简单的离散型随机变量的概率分布。
过程与方法:通过求某些简单的离散型随机变量的概率分布，培养自己分析问题解决问题的能力【学习重点】离散型随机变量的分布列的概念【学习难点】求简单的离散型随机变量的分布列【学法指导】本节内容除了以上一节为基础，还要用到前一章计数原理、排列组合以及必修3的古典概型等知识。
认真阅读教材，深刻理解离散型随机变量的分布列的概念和两个性质是学好本节的关键。
【知识链接】1。
随机变量:2. 离散型随机变量：3。
古典概型：①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相等。
【学习过程】问题1：抛掷一枚骰子，所得的点数X有哪些值？取每个值的概率是多少？问题：2：请同学们阅读课本P446的内容，写出并记住离散型随机变量X的概率分布列？1、分布列的构成⑴列出了随机变量的所有取值⑵求出了的每一个取值的概率．2、分布列的性质（2）有时为了表达简单，也用等式表示的分布列例1、若离散型随机变量X的分布列如下:X01P9C2-C3－8C 试求出常数C及离散型随机变量X的分布列。
高中数学 第二章 2.1.2 离散型随机变量的分布列(一)学案 新人教A版选修2-3
亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……学 习 资 料 专 题2.1.2 离散型随机变量的分布列(一)学习目标 1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念.2.了解分布列对于刻画随机现象的重要性.3.掌握离散型随机变量分布列的表示方法和性质．知识点 离散型随机变量的分布列思考 掷一枚骰子，所得点数为X ，则X 可取哪些数字？X 取不同的值时，其概率分别是多少？你能用表格表示X 与P 的对应关系吗？ 答案 (1)x ＝1,2,3,4,5,6，概率均为16.(2)X 与P 的对应关系为梳理 (1)离散型随机变量的分布列的概念一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，以表格的形式表示如下：此表称为离散型随机变量X 的概率分布列，简称为X 的分布列． (2)离散型随机变量的分布列的性质①p i ≥0，i ＝1,2,3，…，n ；② i ＝1np i ＝1.1．在离散型随机变量分布列中每一个可能值对应的概率可以为任意的实数．( × ) 2．在离散型随机变量分布列中，在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之积．( ×)3．在离散型随机变量分布列中，所有概率之和为1.( √)类型一 离散型随机变量分布列的性质例1 设随机变量X 的分布列为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝k 5＝ak (k ＝1,2,3,4,5)．(1)求常数a 的值；(2)求P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ≥35； (3)求P ⎝ ⎛⎭⎪⎫110<X <710.考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 根据分布列的性质求概率解 (1)由a ＋2a ＋3a ＋4a ＋5a ＝1，得a ＝115.(2)∵P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝k 5＝115k (k ＝1,2,3,4,5)，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ≥35＝P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝35＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝45＋P (X ＝1)＝315＋415＋515＝45. (3)当110<X <710时，只有X ＝15，25，35时满足，故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫110<X <710＝P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝15＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝25＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝35 ＝115＋215＋315＝25. 反思与感悟 利用分布列及其性质解题时要注意以下两个问题 (1)X 的各个取值表示的事件是互斥的．(2)不仅要注意∑i ＝1np i ＝1，而且要注意p i ≥0，i ＝1,2，…，n .跟踪训练1 (1)设随机变量ξ只能取5,6,7，…，16这12个值，且取每一个值概率均相等，若P (ξ<x )＝112，则x 的取值范围是________．(2)设随机变量X 的分布列为P (X ＝i )＝k2i (i ＝1,2,3)，则P (X ≥2)＝________.考点 离散型随机变量分布列的性质及应用题点 根据分布列的性质求概率 答案 (1)(5,6] (2)37解析 (1)由条件知P (ξ＝k )＝112，k ＝5,6， (16)P (ξ<x )＝112，故5<x ≤6.(2)由已知得随机变量X 的分布列为∴k 2＋k 4＋k 8＝1，∴k ＝87. ∴P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝k 4＋k 8＝27＋17＝37.类型二 求离散型随机变量的分布列命题角度1 求离散型随机变量y ＝f (ξ)的分布列 例2 已知随机变量ξ的分布列为分别求出随机变量η1＝12ξ，η2＝ξ2的分布列．考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 两个相关的随机变量分布列的求法解 由η1＝12ξ知，对于ξ取不同的值－2，－1,0,1,2,3时，η1的值分别为－1，－12，0，12，1，32， 所以η1的分布列为由η2＝ξ2知，对于ξ的不同取值－2,2及－1,1，η2分别取相同的值4与1，即η2取4这个值的概率应是ξ取－2与2的概率112与16的和，η2取1这个值的概率应是ξ取－1与1的概率14与112的和，所以η2的分布列为反思与感悟 (1)若ξ是一个随机变量，a ，b 是常数，则η＝a ξ＋b 也是一个随机变量，推广到一般情况有：若ξ是随机变量，f (x )是连续函数或单调函数，则η＝f (ξ)也是随机变量，也就是说，随机变量的某些函数值也是随机变量，并且若ξ为离散型随机变量，则η＝f (ξ)也为离散型随机变量．(2)已知离散型随机变量ξ的分布列，求离散型随机变量η＝f (ξ)的分布列的关键是弄清楚ξ取每一个值时对应的η的值，再把η取相同的值时所对应的事件的概率相加，列出概率分布列即可．跟踪训练2 已知随机变量ξ的分布列为分别求出随机变量η1＝－ξ＋12，η2＝ξ2－2ξ的分布列．考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 两个相关随机变量分布列的求法解 由η1＝－ξ＋12，对于ξ＝－2，－1,0,1,2,3，得η1＝52，32，12，－12，－32，－52，相应的概率值为112，14，13，112，16，112.故η1的分布列为由η2＝ξ2－2ξ，对于ξ＝－2，－1,0,1,2,3，得η2＝8,3,0，－1,0,3.所以P (η2＝8)＝112，P (η2＝3)＝14＋112＝13，P (η2＝0)＝13＋16＝12，P (η2＝－1)＝112.故η2的分布列为命题角度2 利用排列、组合求分布列例3 某班有学生45人，其中O 型血的有10人，A 型血的有12人，B 型血的有8人，AB 型血的有15人．现从中抽1人，其血型为随机变量X ，求X 的分布列． 考点 离散型随机变量的分布列 题点 求离散型随机变量的分布列解 将O ，A ，B ，AB 四种血型分别编号为1,2,3,4， 则X 的可能取值为1,2,3,4.P (X ＝1)＝C 110C 145＝29，P (X ＝2)＝C 112C 145＝415，P (X ＝3)＝C 18C 145＝845，P (X ＝4)＝C 115C 145＝13.故X 的分布列为反思与感悟 求离散型随机变量分布列的步骤 (1)首先确定随机变量X 的取值； (2)求出每个取值对应的概率； (3)列表对应，即为分布列．跟踪训练3 一袋中装有5个球，编号分别为1,2,3,4,5.在袋中同时取3个球，以X 表示取出的3个球中的最小号码，写出随机变量X 的分布列． 考点 离散型随机变量的分布列 题点 求离散型随机变量的分布列 解 随机变量X 的可能取值为1,2,3.当X ＝1时，即取出的3个球中最小号码为1，则其他2个球只能在编号为2,3,4,5的4个球中取，故有P (X ＝1)＝C 24C 35＝610＝35；当X ＝2时，即取出的3个球中最小号码为2，则其他2个球只能在编号为3,4,5的3个球中取，故有P (X ＝2)＝C 23C 35＝310；当X ＝3时，即取出的3个球中最小号码为3，则其他2个球只能是编号为4,5的2个球，故有P (X ＝3)＝C 22C 35＝110.因此，X 的分布列为类型三 离散型随机变量的分布列的综合应用例4 袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为17，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，……，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用ξ表示取球终止所需要的取球次数．(1)求袋中原有的白球的个数； (2)求随机变量ξ的分布列； (3)求甲取到白球的概率．考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 排列、组合知识在分布列中的应用 解 (1)设袋中原有n 个白球，由题意知17＝C 2n C 27＝n (n －1)27×62＝n (n －1)7×6， 可得n ＝3或n ＝－2(舍去)，即袋中原有3个白球． (2)由题意，ξ的可能取值为1,2,3,4,5.P (ξ＝1)＝37； P (ξ＝2)＝4×37×6＝27； P (ξ＝3)＝4×3×37×6×5＝635；P (ξ＝4)＝4×3×2×37×6×5×4＝335；P (ξ＝5)＝4×3×2×1×37×6×5×4×3＝135.所以ξ的分布列为(3)因为甲先取，所以甲只有可能在第一次、第三次和第五次取到白球，记“甲取到白球”为事件A ，则P (A )＝P (ξ＝1)＋P (ξ＝3)＋P (ξ＝5)＝2235.反思与感悟 求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定ξ的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出ξ取各个值的概率，即必须解决好两个问题，一是求出ξ的所有取值，二是求出ξ取每一个值时的概率．跟踪训练4 北京奥运会吉祥物由5个“中国福娃”组成，分别叫贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮．现有8个相同的盒子，每个盒子中放一只福娃，每种福娃的数量如下表：从中随机地选取5只．(1)求选取的5只恰好组成完整的“奥运会吉祥物”的概率；(2)若完整的选取奥运会吉祥物记100分；若选出的5只中仅差一种记80分；差两种记60分；以此类推，设X 表示所得的分数，求X 的分布列． 考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 排列、组合知识在分布列中的应用解 (1)选取的5只恰好组成完整的“奥运会吉祥物”的概率P ＝C 12·C 13C 58＝656＝328.(2)X 的取值为100,80,60,40. P (X ＝100)＝C 12·C 13C 58＝328，P (X ＝80)＝C 23(C 22·C 13＋C 12·C 23)＋C 33(C 22＋C 23)C 58＝3156， P (X ＝60)＝C 13(C 22·C 23＋C 12·C 33)＋C 23·C 33C 58＝1856＝928， P (X ＝40)＝C 22·C 33C 58＝156.所以X 的分布列为1．已知随机变量X 的分布列如下：则P (X ＝10)等于( ) A.239 B.2310 C.139D.1310 考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 根据分布列的性质求概率 答案 C解析 P (X ＝10)＝1－23－…－239＝139.2．已知随机变量X 的分布列如下表所示，其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|X |＝1)等于( )A.13B.14C.12D.23考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 根据分布列的性质求概率 答案 D解析 ∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c . 由分布列的性质得a ＋b ＋c ＝3b ＝1，∴b ＝13.∴P (|X |＝1)＝P (X ＝1)＋P (X ＝－1) ＝1－P (X ＝0)＝1－13＝23.3．已知随机变量X 的分布列如下表(其中a 为常数)：则下列计算结果错误的是( ) A ．a ＝0.1 B ．P (X ≥2)＝0.7 C ．P (X ≥3)＝0.4 D ．P (X ≤1)＝0.3考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 根据分布列的性质求概率 答案 C解析 易得a ＝0.1，P (X ≥3)＝0.3，故C 错误． 4．设ξ是一个离散型随机变量，其分布列为则P (ξ≤0)＝________.考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 根据分布列的性质求概率 答案2－12解析由分布列的性质，得1－2q≥0，q2≥0，12＋(1－2q)＋q2＝1，所以q＝1－22，q＝1＋22(舍去)．P(ξ≤0)＝P(ξ＝－1)＋P(ξ＝0)＝12＋1－2×⎝⎛⎭⎪⎫1－22＝2－12.5．将一枚骰子掷两次，求两次掷出的最大点数ξ的分布列．考点离散型随机变量的分布列题点求离散型随机变量的分布列解由题意知ξ＝i(i＝1,2,3,4,5,6)，则P(ξ＝1)＝1C16C16＝136；P(ξ＝2)＝3C16C16＝336＝112；P(ξ＝3)＝5C16C16＝536；P(ξ＝4)＝7C16C16＝736；P(ξ＝5)＝9C16C16＝936＝14；P(ξ＝6)＝11C16C16＝1136.所以抛掷两次掷出的最大点数构成的分布列为1．离散型随机变量的分布列，不仅能清楚地反映其所取的一切可能的值，而且能清楚地看到取每一个值时的概率的大小，从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布情况．2．一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．一、选择题1．设随机变量X 等可能取值1,2,3，…，n ，如果P (X <4)＝0.3，那么( ) A ．n ＝3 B ．n ＝4 C ．n ＝10D ．n ＝9考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 由分布列的性质求参数 答案 C解析 由题意知P (X <4)＝3P (X ＝1)＝0.3， ∴P (X ＝1)＝0.1，又nP (X ＝1)＝1，∴n ＝10. 2．若随机变量η的分布列如下：则当P (η<x )＝0.8时，实数x 的取值范围是( ) A ．x ≤1 B ．1≤x ≤2 C ．1<x ≤2D ．1≤x <2考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 由分布列的性质求参数 答案 C解析 由分布列知，P (η＝－2)＋P (η＝－1)＋P (η＝0)＋P (η＝1)＝0.1＋0.2＋0.2＋0.3＝0.8， ∴P (η<2)＝0.8，故1<x ≤2.3．若随机变量X 的概率分布列为P (X ＝n )＝a n (n ＋1)(n ＝1,2，3,4)，其中a 是常数，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X <52的值为( ) A.23 B.34 C.45 D.56考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 根据分布列的性质求概率 答案 D解析 ∵P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＋P (X ＝4) ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15＝1，∴a ＝54.∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X <52＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝a 1×2＋a 2×3＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝54×23＝56.4．随机变量ξ的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，则函数f (x )＝x 2＋2x ＋ξ有且只有一个零点的概率为( ) A.16 B.13 C.12 D.56考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 根据分布列的性质求概率 答案 B解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝a ＋c ，a ＋b ＋c ＝1，解得b ＝13.∵f (x )＝x 2＋2x ＋ξ有且只有一个零点， ∴Δ＝4－4ξ＝0，解得ξ＝1， ∴P (ξ＝1)＝13.5．设离散型随机变量X 的分布列为若随机变量Y ＝X －2，则P (Y ＝2)等于( ) A ．0.3 B ．0.4 C ．0.6 D ．0.7 考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 根据分布列的性质求概率 答案 A解析 由0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m ＝1，得m ＝0.3. 又P (Y ＝2)＝P (X ＝4)＝0.3.6．抛掷2枚骰子，所得点数之和X 是一个随机变量，则P (X ≤4)等于( ) A.16 B.13 C.12 D.23考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 根据分布列的性质求概率 答案 A解析 根据题意，有P (X ≤4)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＋P (X ＝4)．抛掷两枚骰子，按所得的点数共36个基本事件，而X ＝2对应(1,1)，X ＝3对应(1,2)，(2,1)，X ＝4对应(1,3)，(3,1)，(2,2)．故P (X ＝2)＝136，P (X ＝3)＝236＝118，P (X ＝4)＝336＝112，所以P (X ≤4)＝136＋118＋112＝16.7．已知随机变量ξ只能取三个值x 1，x 2，x 3，其概率依次成等差数列，则该等差数列的公差的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，13B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13 C ．[－3,3]D ．[0,1]考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 根据分布列的性质求参数 答案 B解析 设随机变量ξ取x 1，x 2，x 3的概率分别为a －d ，a ，a ＋d ，则由分布列的性质，得(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝1， 故a ＝13.由⎩⎪⎨⎪⎧13－d ≥0，13＋d ≥0，解得－13≤d ≤13.二、填空题8．一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品为二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量ξ，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫13≤ξ≤53＝________.考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 根据分布列的性质求概率 答案 47解析 设二级品有k 个，则一级品有2k 个，三级品有k 2个，总数为72k 个．∴ξ的分布列为∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫13≤ξ≤53＝P (ξ＝1)＝47.9．由于电脑故障，使得随机变量X 的分布列中部分数据丢失，以□代替，其表如下：根据该表可知X 取奇数值时的概率是________． 考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 根据分布列的性质求概率 答案 0.6解析 由离散型随机变量的分布列的性质，可求得P (X ＝3)＝0.25，P (X ＝5)＝0.15，故X 取奇数值时的概率为P (X ＝1)＋P (X ＝3)＋P (X ＝5)＝0.20＋0.25＋0.15＝0.6. 10．把3枚骰子全部掷出，设出现6点的骰子个数是X ，则有P (X <2)＝________. 考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 根据分布列的性质求概率 答案2527解析 P (X <2)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝5363＋C 13×5263＝2527.11．将3个小球任意地放入4个大玻璃杯中，一个杯子中球的最多个数记为X ，则X 的分布列是________．考点 离散型随机变量的分布列 题点 求离散型随机变量的分布列 答案解析 由题意知X ＝1,2,3. P (X ＝1)＝A 3443＝38；P (X ＝2)＝C 23A 2443＝916；P (X ＝3)＝A 1443＝116.∴X 的分布列为三、解答题12．设S 是不等式x 2－x －6≤0的解集，整数m ，n ∈S .(1)设“使得m ＋n ＝0成立的有序数组(m ，n )”为事件A ，试列举事件A 包含的基本事件； (2)设ξ＝m 2，求ξ的分布列． 考点 离散型随机变量的分布列 题点 求离散型随机变量的分布列 解 (1)由x 2－x －6≤0， 得－2≤x ≤3， 即S ＝{x |－2≤x ≤3}．由于m ，n ∈Z ，m ，n ∈S 且m ＋n ＝0， 所以事件A 包含的基本事件为(－2,2)，(2，－2)，(－1,1)，(1，－1)，(0,0)． (2)由于m 的所有不同取值为－2，－1,0,1,2,3， 所以ξ＝m 2的所有不同取值为0,1,4,9，且有P (ξ＝0)＝16， P (ξ＝1)＝26＝13， P (ξ＝4)＝26＝13， P (ξ＝9)＝16.故ξ的分布列为13．将一枚骰子掷两次，第一次掷出的点数减去第二次掷出的点数的差为X ，求X 的分布列． 考点 离散型随机变量的分布列 题点 求离散型随机变量的分布列解 第一次掷出的点数与第二次掷出的点数的差X 的可能取值为－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5， 则P (X ＝－5)＝136，P (X ＝－4)＝236＝118，…，P (X ＝5)＝136.故X 的分布列为四、探究与拓展14．袋中有4个红球，3个黑球，从袋中任取4个球，取到1个红球得1分，取到1个黑球得3分，记得分为随机变量ξ，则P (ξ≤6)＝________. 考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 排列、组合知识在分布列中的应用 答案1335解析 取出的4个球中红球的个数可能为4,3,2,1，相应的黑球个数为0,1,2,3，其得分ξ＝4,6,8,10，则P (ξ≤6)＝P (ξ＝4)＋P (ξ＝6)＝C 44×C 03C 47＋C 34×C 13C 47＝1335.15．在一次购物抽奖活动中，假设某10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从此10张奖券中任抽2张，求： (1)该顾客中奖的概率；(2)该顾客获得的奖品总价值X 的分布列，并求出P (5≤X ≤25)的值． 考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 排列、组合知识在分布列中的应用 解 (1)该顾客中奖的概率P ＝1－C 26C 210＝1－13＝23.(2)X 的可能取值为0,10,20,50,60. P (X ＝0)＝C 26C 210＝13，P (X ＝10)＝C 13C 16C 210＝25，P (X ＝20)＝C 23C 210＝115，P (X ＝50)＝C 11C 16C 210＝215，P (X ＝60)＝C 11C 13C 210＝115.故随机变量X 的分布列为所以P (5≤X ≤25)＝P (X ＝10)＋P (X ＝20)＝25＋115＝715.。
【B版】人教课标版高中数学选修2-3《离散型随机变量的分布列》导学案
2.1.2 离散型随机变量的分布列【学习要求】1．在对具体问题的分析中，理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列对于刻画随机现象的重要性。
2．掌握离散型随机变量分布列的表示方法和性质。
【学法指导】离散型随机变量的分布列可以完全描述随机变量所刻画的随机现象，利用分布列可以计算随机变量所表示的事件的概率。
【知识要点】1．定义：一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1，2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝ ，以表格的形式表示如下：此表称为离散型随机变量X 的概率分布列，简称为X 的 。
2．离散型随机变量的分布列的性质：（1）p i 0，i ＝1，2，3，…，n ；（2）∑ni ＝1p i ＝ 。
【问题探究】探究点一 离散型随机变量的分布列的性质问题1 对于一个随机试验，仅知道试验的可能结果是不够的，还要能把握每一个结果发生的概率。
请问抛掷一枚骰子，朝上的一面所得点数有哪些值？取每个值的概率是多少？问题2 离散型随机变量X 的分布列刻画的是一个函数关系吗？有哪些表示法？ 问题3 离散型随机变量的分布列有哪些性质？例1 设随机变量X 的分布列P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝k 5＝ak (k ＝1，2，3，4，5)。
（1）求常数a 的值； （2）求P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ≥35；（3）求P ⎝ ⎛⎭⎪⎫110<X <710。
小结 离散型随机变量的分布列的性质可以帮助我们求题中参数a ，然后根据互斥事件的概率加法公式求得概率。
跟踪训练1 （1）下面是某同学求得的离散型随机变量X 的分布列：试说明该同学的计算结果是否正确。
（2）设ξ是一个离散型随机变量，其分布列为①求q 的值； ②求P (ξ<0)，P (ξ≤0)。
探究点二 求离散型随机变量的分布列例2 将一颗骰子掷两次，求两次掷出的最大点数ξ的分布列。
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波峰中学高二数学选修2-3导学案
姓名_____班级____编制：荆冀彬时间：3.1审核
2.1.2离散型随机变量的分布列
学习目标核心素养
1.理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的
概念与性质．
2.会求出某些简单的离散型随机变量的分布
列．(重点)
3.理解两点分布和超几何分布及其推导过程，并
能简单的运用．(难点)
1.通过离散型随机变量及
其分布列的概念与性质的
学习，培养数学抽象的素
养．
2.借助分布列的求法，培
养数学运算的素养.
一．
1．离散型随机变量的分布列
(1)定义
一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，x i，…，x n，X取每一个值x i(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝x i)＝p i，以表格的形式表示如下：
X x1x2…x i…x n
P p1p2…p i…p n
的概率分布列，简称为的分布列．为了简单起见，也用等式P(X＝x i)＝p i，i＝1,2，…，n表示X的分布列．
(2)性质
①p i≥0，i＝1,2，…，n；
②
i＝1
n
p i＝1.
思考1：求离散型随机变量的分布列的步骤是什么？
[提示]求离散型随机变量的分布列的步骤：
(1)找出随机变量所有可能的取值x i(i＝1,2,3，…，n)；
(2)求出相应的概率P(X＝x i)＝p i(i＝1,2,3，…，n)；
(3)列成表格形式．
2．两点分布
X 0 1
P 1－p p
＝P(X＝1)为成功概率．
3．超几何分布
一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则
P(X＝k)＝C k M C n－k
N－M
C n N，k＝0,1,2，…，m，
其中m＝min{}
M，n，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.
X 01…m
P C0M C n－0
N－M
C n N
C1M C n－1
N－M
C n N
…
C m M C n－m
N－M
C n N
[提示]一般为不放回抽样．
1．下列表中能成为随机变量X的分布列的是()
C[由离散型随机变量分布列的性质可知，概率非负且和为1.]。