2016-2017年江苏省南京市鼓楼区高二(上)期中数学试卷和答案(理科)

2016-2017学年江苏省南京市鼓楼区高二（上）期中数学试卷（理科）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分.不需要写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．（5分）圆心为（1，1），且经过点（2，2）的圆的方程是．2．（5分）命题“∃x∈[﹣1，1]，x2﹣3x+1＜0”的否定是．3．（5分）双曲线﹣=1的焦点坐标是．4．（5分）过点（2，﹣2）开口向右的抛物线的标准方程是．5．（5分）已知空间直角坐标系中，A（1，0，2），B（1，﹣3，1），点M 在y 轴上且到点A，点 B 的距离相等，则点M 坐标为．6．（5分）点（﹣2，t）在直线2x﹣3y+6=0的上方，则t的取值范围是．7．（5分）已知△ABC和△DEF，则“这两个三角形全等”是“这两个三角形面积相等”的条件（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”中的一个）．8．（5分）已知椭圆的两个焦点分别是点F1（﹣1，0），F2（1，0），P为椭圆上一点，且F1F2是PF1和PF2的等差中项，则该椭圆方程是．9．（5分）在平面直角坐标系中，不等式组（a为常数）表示的平面区域的面积是9，那么实数a的值为．10．（5分）双曲线焦点在坐标轴上，两条渐近线方程为2x±y=0，那么它的离心率是．11．（5分）圆x2+y2﹣4x+6y﹣12=0上的点到直线3x+4y+k=0的距离的最小值大于2，则实数k的取值范围是．12．（5分）如果椭圆的弦被点（4，2）平分，那么这条弦所在直线的方程是．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=1，O1：（x﹣4）2+y2=4，动点P在直线x+y+b=0上，过P分别作圆O，O1的切线，切点分别为A，B，若满足PB=2PA的点P有且只有两个，则实数b的取值范围是．14．（5分）已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），若存在非零实数t，使得f（t）+=﹣3，则a2+4b2的最小值是．二、解答题（本大题共6小题，共计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．（14分）已知命题p：“直线y=x+k与圆x2+y2=2有公共点”，命题q：“方程﹣=1表示双曲线”．（1）已知p是真命题，求实数k的取值范围；（2）已知“p∧q”是真命题，求实数k的取值范围．16．（14分）（1）已知点A（﹣2，﹣5），B（6，﹣1），求以线段AB 为直径的圆的方程；（2）求圆心在直线y=﹣x 上，且过两点A（2，0），B（0，﹣4）的圆的方程．17．（14分）已知圆C 的方程为x2+y2=4．（1）求过点P（﹣1，2）与圆相切的直线l 的方程；（2）直线m 过点P（﹣1，2），与圆 C 交于A，B 两点，且AB=，求直线m 的方程．18．（16分）某哨所接到位于正西方向、正东方向两个观测点的报告，正东方向观测点听到炮弹爆炸声的时间比正西方向观测点晚4s．已知两个观测点到哨所的距离都是1020m．（1）爆炸点在怎样的曲线上，为什么？（2）已知，哨所正北方向也有一个观测点，它到哨所的距离也是1020m，哨所接到报告知道，该观测点与正西方向观测点同时听到爆炸声，试确定爆炸点的位置．（约定：观测点均在同一平面上，哨所和观测点均视为不计大小的点，声音传播的速度为340m/s）19．（16分）已知椭圆M：+=1（a＞b＞0）的离心率为，一个焦点到相应准线的距离为3，过点A（0，2）且斜率为k （k＞0）的直线l与椭圆有且只有一个公共点，l与x轴交于点B．（1）求椭圆M的方程和直线l的方程；（2）圆N的圆心在x轴上，且与直线l相切于点A，试在圆N上求一点P，使PB=3PA．20．（16分）如图，已知椭圆O：的右顶点为A，上顶点和下顶点分别是点B和C，点P 是直线l：y=﹣2 上的一个动点（P 不在y 轴上），直线PC 交椭圆于另一点M．（1）当直线PM 过点A 时，求△ABP 的面积；（2）求证：△MBP 为直角三角形；（3）椭圆O 关于直线AB 的对称图形是曲线E，求曲线 E 的方程，并直接写出曲线E 的横坐标的取值范围．2016-2017学年江苏省南京市鼓楼区高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分.不需要写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．（5分）圆心为（1，1），且经过点（2，2）的圆的方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．【解答】解：半径r==，则圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，故答案为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=22．（5分）命题“∃x∈[﹣1，1]，x2﹣3x+1＜0”的否定是∀x∈[﹣1，1]，x2﹣3x+1≥0．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃x∈[﹣1，1]，x2﹣3x+1＜0”的否定是：∀x∈[﹣1，1]，x2﹣3x+1≥0．故答案为：∀x∈[﹣1，1]，x2﹣3x+1≥0．3．（5分）双曲线﹣=1的焦点坐标是（﹣3，0），（3，0）．【解答】解：双曲线﹣=1的a2=4，b2=5，c==3，可得双曲线的焦点坐标为（﹣3，0），（3，0）．故答案为：（﹣3，0），（3，0）．4．（5分）过点（2，﹣2）开口向右的抛物线的标准方程是y2=2x．【解答】解：设抛物线的标准方程为y2=2px，将点（2，﹣2）代入可得p=1，故抛物线的标准方程为y2=2x；故答案为：y2=2x．5．（5分）已知空间直角坐标系中，A（1，0，2），B（1，﹣3，1），点M 在y 轴上且到点A，点 B 的距离相等，则点M 坐标为（0，﹣1，0）．【解答】解：∵空间直角坐标系中，A（1，0，2），B（1，﹣3，1），点M在y轴上且到点A，点B的距离相等，∴设M（0，a，0），则=，解得a=﹣1，∴点M坐标为（0，﹣1，0）．故答案为：（0，﹣1，0）．6．（5分）点（﹣2，t）在直线2x﹣3y+6=0的上方，则t的取值范围是t＞．【解答】解：点（﹣2，t）在直线2x﹣3y+6=0的上方，则﹣4﹣3t+6＜0 则t的取值范围是：t＞故答案为：t＞7．（5分）已知△ABC和△DEF，则“这两个三角形全等”是“这两个三角形面积相等”的充分不必要条件（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”中的一个）．【解答】解：“这两个三角形全等”能推出“这两个三角形面积相等”，是充分条件，“这两个三角形面积相等”推不出“这两个三角形全等”，不是必要条件，故答案为：充分不必要．8．（5分）已知椭圆的两个焦点分别是点F1（﹣1，0），F2（1，0），P为椭圆上一点，且F1F2是PF1和PF2的等差中项，则该椭圆方程是．【解答】解：∵F1F2是PF1和PF2的等差中项，∴2F1F2=PF1+PF2，∴2×2c=2a，解得=．故答案为：．9．（5分）在平面直角坐标系中，不等式组（a为常数）表示的平面区域的面积是9，那么实数a的值为1．【解答】解：由题意画出不等式组表示的平面区域，如图所示．解得A（﹣2，2）、B（a，a+4）、C（a，﹣a），直线x﹣y+4=0与x+y=0与y轴组成的三角形面积为•2•4=4＜9．所以a＞0=×（2a+4）×（a+2）=9，所以S△ABC解得a=1或a=﹣5（舍去）．故答案为：1．10．（5分）双曲线焦点在坐标轴上，两条渐近线方程为2x±y=0，那么它的离心率是或．【解答】解：当双曲线的焦点在x轴时，渐近线为y=±x=±2x，即=2，变形可得b=2a，可得离心率e====，当双曲线的焦点在y轴时，渐近线为y=±x=±2x，即=2，变形可得a=2b，可得离心率e====，∴双曲线的离心率为：或．故答案为：或．11．（5分）圆x2+y2﹣4x+6y﹣12=0上的点到直线3x+4y+k=0的距离的最小值大于2，则实数k的取值范围是k＜﹣29或k＞41．【解答】解：将圆方程化为标准方程得：（x﹣2）2+（y+3）2=25，∴圆心（2，﹣3），半径r=5，∵圆心到直线3x+4y+k=0的距离d==，∴圆上的点到直线的最小值=﹣5＞2，∴k＜﹣29或k＞41．故答案为k＜﹣29或k＞41．12．（5分）如果椭圆的弦被点（4，2）平分，那么这条弦所在直线的方程是x+2y﹣8=0．【解答】解：设弦的两端点A（x1，y1），B（x2，y2），斜率为k，则，，两式相减得，即k=，∴弦所在的直线方程y﹣2=﹣（x﹣4），即x+2y﹣8=0．故答案为：x+2y﹣8=0．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=1，O1：（x﹣4）2+y2=4，动点P在直线x+y+b=0上，过P分别作圆O，O1的切线，切点分别为A，B，若满足PB=2PA的点P有且只有两个，则实数b的取值范围是（﹣4，）．【解答】解：由题意O（0，0），O1（4，0），设P（x，y），则∵PB=2PA，∴（x﹣4）2+y2=4（x2+y2），∴x2+y2+x﹣=0，其圆心坐标为（﹣，0），半径为；∵动点P在直线x+y+b=0上，满足PB=2PA的点P有且只有两个，∴该直线与圆x2+y2+x﹣=0相交，∴圆心到直线的距离满足d=＜，化简得|b﹣|＜，解得﹣4＜b＜，∴实数b的取值范围是（﹣4，）．故答案为：（﹣4，）．14．（5分）已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），若存在非零实数t，使得f（t）+=﹣3，则a2+4b2的最小值是37．【解答】解：∵存在非零实数t，使得f（t）+=﹣3，∴t2+at+b+++b=﹣3，设t+=m，|m|≥2，∴m2+am+2b+1=0∴﹣2b=m2+am+1，∴a2+4b2=a2+（m2+am+1）2=（1+m2）a2+2am（m2+1）+（m2+1）2，设f（a）=（1+m2）a2+2am（m2+1）+（m2+1）2，其对称轴为a=﹣m，∴f（a）min=（1+m2）m2﹣2m2（m2+1）+（m2+1）2=m2+1，∵|m|≥2，∴f（a）min≥4+1=5∴a2+4b2≥5，故答案为：5二、解答题（本大题共6小题，共计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．（14分）已知命题p：“直线y=x+k与圆x2+y2=2有公共点”，命题q：“方程﹣=1表示双曲线”．（1）已知p是真命题，求实数k的取值范围；（2）已知“p∧q”是真命题，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）若命题p：“直线y=x+k与圆x2+y2=2有公共点”是真命题，则圆心（0，0）到直线x﹣y+k=0的距离不大于半径，即≤，解得：k∈[﹣2，2]，（2）若命题q：“方程﹣=1表示双曲线”是真命题．则（k﹣2）k＞0，解得：k∈（﹣∞，0）∪（2，+∞），若“p∧q”是真命题，则p，q均为真命题，故k∈[﹣2，0）16．（14分）（1）已知点A（﹣2，﹣5），B（6，﹣1），求以线段AB 为直径的圆的方程；（2）求圆心在直线y=﹣x 上，且过两点A（2，0），B（0，﹣4）的圆的方程．【解答】解：（1）已知点A（﹣2，﹣5），B（6，﹣1），则AB的中点坐标即圆心C（2，﹣3），则半径R=|AC|===，则以线段AB 为直径的圆的方程为（x﹣2）2+（y+3）2=20；（2）由圆心在直线y=﹣x上，可设圆的圆心为C（a，﹣a），再根据圆过两点A （2，0），B （0，﹣4），可得CA=CB，即=，解得a=3，即圆心为（3，﹣3）、半径为|CA|==，故要求的圆的方程为（x﹣3）2+（y+3）2=10．17．（14分）已知圆C 的方程为x2+y2=4．（1）求过点P（﹣1，2）与圆相切的直线l 的方程；（2）直线m 过点P（﹣1，2），与圆 C 交于A，B 两点，且AB=，求直线m 的方程．【解答】解：（1）当直线l的斜率不存在时，切线方程为x=﹣1，不成立；当直线l的斜率k存在时，设过点P（﹣1，2）与圆相切的直线l的方程为y﹣2=k（x+1），即kx﹣y+k+2=0，则圆心O（0，0）到切线kx﹣y+k+2=0的距离：d==2，解得k=0或k=，∴过点P（﹣1，2）与圆相切的直线l的方程为y=2或=0．（2）当直线m的斜率不存在时，直线m的方程为x=﹣1，直线m与圆交于点A（﹣1，﹣），B（﹣1，），AB=2，成立；当直线m的斜率k′存在时，设直线m的方程为y﹣2=k′（x+1），即k′x﹣y+k′+2=0，圆心O（0，0）到直线m的距离d′=，∵与圆 C 交于A，B 两点，且AB=，∴AB=2=2，解得k′=﹣，∴直线m的方程为：y﹣2=﹣（x+1），即3x+4y﹣5=0．综上，直线m的方程为x=﹣1或3x+4y﹣5=0．18．（16分）某哨所接到位于正西方向、正东方向两个观测点的报告，正东方向观测点听到炮弹爆炸声的时间比正西方向观测点晚4s．已知两个观测点到哨所的距离都是1020m．（1）爆炸点在怎样的曲线上，为什么？（2）已知，哨所正北方向也有一个观测点，它到哨所的距离也是1020m，哨所接到报告知道，该观测点与正西方向观测点同时听到爆炸声，试确定爆炸点的位置．（约定：观测点均在同一平面上，哨所和观测点均视为不计大小的点，声音传播的速度为340m/s）【解答】解：（1）设P（x，y）为巨响为生点，由A、C同时听到巨响声，得|PA|=|PC|，故P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y=﹣x，因B点比A点晚4s听到爆炸声，故|PB|﹣|PA|=340×4=1360由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线如图，（2）以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系．设A、B、C分别是西、东、北观测点，则A（﹣1020，0），B（1020，0），C（0，1020），依题意得a=680，c=1020，∴b2=c2﹣a2=10202﹣6802=5×3402故双曲线方程为﹣=1用y=﹣x代入上式，得x=±680，∵|PB|＞|PA|，∴x=﹣680，y=680，故PO=680m答：巨响发生在接报中心的西偏北45°距中心680m处．19．（16分）已知椭圆M：+=1（a＞b＞0）的离心率为，一个焦点到相应准线的距离为3，过点A（0，2）且斜率为k （k＞0）的直线l与椭圆有且只有一个公共点，l与x轴交于点B．（1）求椭圆M的方程和直线l的方程；（2）圆N的圆心在x轴上，且与直线l相切于点A，试在圆N上求一点P，使PB=3PA．【解答】解：（1）由题意有，解得a=2，c=1，从而b=，∴椭圆的标准方程为+=1．由题意可得，直线l的方程为y=kx+2（k＞0），联立，得（3+4k2）x2+16kx+4=0．由△=256k2﹣16（3+4k2）=0，解得k=（k＞0）．∴直线l的方程为y=，即x﹣2y+4=0；（2）如图，设圆N的圆心为（m，0），由题意可得，，得m=1．则半径r=，∴圆N的方程为（x﹣1）2+y2=5．①设P（x，y），则由PB=3PA，得，化简得：2x2+2y2﹣2x﹣9y+5=0．②联立①②解得：P（）或P（）．20．（16分）如图，已知椭圆O：的右顶点为A，上顶点和下顶点分别是点B和C，点P 是直线l：y=﹣2 上的一个动点（P 不在y 轴上），直线PC 交椭圆于另一点M．（1）当直线PM 过点A 时，求△ABP 的面积；（2）求证：△MBP 为直角三角形；（3）椭圆O 关于直线AB 的对称图形是曲线E，求曲线 E 的方程，并直接写出曲线E 的横坐标的取值范围．【解答】解：（1）由椭圆的方程+y2=1，可得a=，b=1，c=，即有B（0，1），C（0，﹣1），A（，0），直线PM即AC：﹣y=1，即为x﹣y﹣=0，由y=﹣2，代入上式可得x=﹣，P（﹣，﹣2）到直线BA：x+y﹣=0的距离为d==2，=BA•d=×2×2=2．即有S△ABP（2）证明：设P（m，﹣2）（m≠0），k PM==﹣，PM：y=﹣x﹣1，代入椭圆方程可得（3+m2）x2+6mx=0，解得M，k PB==﹣，k BM==，则k PB k BM=﹣1，即PB⊥BM，即有△MBP为直角三角形；（3）设B关于直线y=﹣2的对称点为B'，由B（0，1），可得B'（0，﹣5），连接AB'，交直线y=﹣2即为P，则P到A，B的距离之和最小，且为|AB'|==2|AB|==2，由2＞2，可知以A，B为焦点的椭圆经过P，此时椭圆的离心率取得最大，且为e===．。