相似三角形应用整理

相似三角形性质的应用
题型1，运用相似三角形性质求线段长及三角形的周长和面积
例题1.如图，D 、E 分别是AC ，AB 上的点，∠ADE ＝∠B ，AG ⊥BC 于点G ，AF ⊥DE 于点F.若
AD ＝3，AB ＝5，求： （1）AG
AF
；
（2）△ADE 与△ABC 的周长之比；
针对练习：1两相似三角形的对应边的比为4：5，周长和为360cm ，这两个三角形的周长分别是多少？
2．如图，已知：在ABC ∆与CAD ∆中，BC DA //，CD 交AB 于E ，且2:1:=EB AE ，
BC EF //交AC 于F ，1=∆ADE S 。

求BCE S ∆和AEF S ∆
3.如图，点M 是△ABC 内一点，过点M 分别作直线平行于△ABC 的各边，所形成的三个小三角形△1、△2、△3
（图中阴影部分）的面积分别是4，9和49．则△ABC 的面积是 ．
A
B
C
D
E F
题型2.相似三角形的性质在其他学科中的应用
例题2小强用这样的方法来测量学校教学楼的高度：如图，在地面上放一面镜子（镜子高度忽略不计），他刚好能从镜子中看到教学楼的顶端B，他请同学协助量了镜子与教学楼的距离EA=21米，以及他与镜子的距离CE=2.5米，已知他的眼睛距离地面的高度DC=1.6米，请你帮助小强计算出教学楼的高度。

针对练习1、如图，某测量工作人员与标杆顶端F、电视塔顶端在同一直线上，已知此人眼睛距地面1.6米，标杆为3.2米，且BC=1米，CD=5米，求电视塔的高ED。

2、我侦察员在距敌方200米的地方发现敌人的一座建筑物，但不知其高度又不能靠近建筑物测量，机灵的侦察员食指竖直举在右眼前，闭上左眼，并将食指前后移动，使食指恰好将该建筑物遮住。

若此时眼睛到食指的距离约为40cm，食指的长约为8cm,你能根据上述条件计算出敌方建筑物的高度吗？请说出你的思路。

3、为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：
根据《科学》中光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如下图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在离树底（B）8.4米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=2.4米，观察者目高CD=1.6米，则树（AB）的高度约为________米（精确到0.1米）。

题型3，运用相似三角形的性质解决实际问题
例题3、某数学课外实习小组想利用树影测量树高，他们在同一时刻测得一身高为1.5米的同学的影子长为1.35米，因大树靠近一栋建筑物，大树的影子不全在地面上，他们测得地面部分的影子长BC=3.6米，墙上影子高CD=1.8米，求树高AB 。

针对练习1、小明的身高是1.7米，他的影子长是2米，同一时刻学校旗杆的影子长是20米，求旗杆的高。

2、如图，有一路灯杆AB(底部B 不能直接到达)，在灯光下，小明在点D 处测得自己的影长DF ＝3m ，沿BD 方向到达点F 处再测得自己得影长FG ＝4m ，如果小明得身高为1.6m ，求路灯
杆AB 的高度。

3、为了测量路灯（OS ）的高度,把一根长1.5米的竹竿（AB ）竖直立在水平地面上,测得竹竿的
影子（BC ）长为1米,然后拿竹竿向远离路灯方向走了4米（BB ‘
）,再把竹竿竖立在地面上,
测得竹竿的影长（B ‘C ‘
）为1.8米,求路灯离地面的高度.
C
G
F
D
B
A
h S A C
B B '
O
C '
A '
题型4，运用相似三角形的性质解决方案设计问题
例题4已知等腰直角三角形的面积为2
cm 36，它的内接矩形的一边在斜边上，且矩形的两
边之比为5：2，求矩形的面积
∴
针对练习1：如图所示直角ABC ∆中，两直角边长分别为3和4，它的内接正方形有两种情况：①一边在斜边上；②一边在直角边上。

试比较这两种情况中正方形的大小。

2、如图，大正方形中有2个小正方形，如果它们的面积分别是S 1、S 2 ，那么S 1、S 2的大小关系是（ ）
(A) S 1 > S 2 (B) S 1 = S 2 (C) S 1<S 2 (D) S 1、S 2 的大小关系不确定
3.如图，在△ABC 中，∠B=45°，BC=5，高AD=4，矩形EFPQ 的一边QP 在BC 边上，E 、F 分别在AB 、AC 上，AD 交EF 于点H ． （1）求证：
；
（2）设EF=x ，当x 为何值时，矩形EFPQ 的面积最大？并求出最大面积；
（3）当矩形EFPQ 的面积最大时，该矩形EFPQ 以每秒1个单位的速度沿射线DA 匀速向上运动（当矩形的边PQ 到达A 点时停止运动），设运动时间为t 秒，矩形EFPQ 与△ABC 重叠部分的面积为S ，求S 与t 的函数关系式，并写出t 的取值范围．
4：某市经济开发区建有B C D ，，三个食品加工厂，这三个工厂和开发区A 处的自来水厂
正好在一个矩形的四个顶点上，它们之间有公路相通，且900AB CD ==米，1700AD BC ==米，1500AE =米．自来水公司已经修好一条自来水主管道AN BC ，两厂之间的公路与自来水管道交于E 处，500EC =米．若修建自来水主管道到各工厂的自来水管道的费用由各厂负担，每米造价800元．
（1）要使修建自来水管道的造价最低，这三个工厂的自来水管道路线应怎样设计？并在图形中画出；
（2）求出各厂所修建自来水管道的最低造价各是多少元？
题型5，运用相似三角形的性质解决动点问题以及与函数的
结合。

例题5.如图，在ΔABC 中，BA=BC=20cm ，AC=30cm ，点P 从A 点出发，沿着AB 以每秒4c m
的速度向B 点运动；同时点Q 从C 点出发，沿CA 以每秒3cm 的速度向A 点运动，设运动时间为x.（1）当x 为何值时，P Q ∥BC ？（2）当3
1
=∆∆ABC BCQ S S ，求
ABC BPQ S S ∆∆的值；
. 针对练习1正方形ABCD 边长为4，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点，当M 点在BC 上运动时，保持AM 和MN 垂直， （1）证明：Rt Rt ABM MCN △∽△；
（2）设BM x =，梯形ABCN 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式；当M 点运动到什么位置时，四边形ABCN 面积最大，并求出最大面积；
（3）当M 点运动到什么位置时Rt Rt ABM AMN △∽△，求x 的值．
2如图，已知一个三角形纸片ABC ，BC 边的长为8，BC 边上的高为6，B ∠和C ∠都为锐角，M 为AB 一动点（点M 与点A B 、不重合），过点M 作MN BC ∥，交AC 于点N ，在AMN △中，设MN 的长为x ，MN 上的高为h ． （1）请你用含x 的代数式表示h ．
（2）将AMN △沿MN 折叠，使AMN △落在四边形BCNM 所在平面，设点A 落在平面的点为1A ，1A MN △与四边形BCNM 重叠部分的面积为y ，当x 为何值时，y 最大，最大值为多少？
3．如图，在△ABC 中，AB=AC=a ，BC=b （a ＞b ）．在△ABC 内依次作∠CBD=∠A ，∠DCE=． ．
5如图，D 是△ABC 的边BC 上一点，已知AB ＝4，AD ＝2．∠DAC ＝∠B ，若△ABD 的面积为a ，则△ACD 的面积为（ ）
M N
C
B
E
F
A
A 1
A ．a
B ．
C ．
D ．
6..如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的位置上，则球拍击球
的高度h 为 ．
7．如图所示，在△ABC 中，BC =6，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，动点P 在射线EF 上，
BP 交CE 于点D ，∠CBP 的平分线交CE 于Q ，当CQ =错误！未找到引用源。

CE 时， EP +BP =____________.
8 已知在△ABC 中，∠ABC =90°，AB =3，BC =4，点Q 是线段AC 上的一个动点，过点Q 作AC 的垂线交线段AB （如图1）或线段AB 的延长线（如图2）于点P . ⑴当点P 在线段AB 上时，求证：△AQP ∽△ABC ； ⑵当△PQB 为等腰三角形时，求AP 的长
.
A
B
（第14题）。