《正方形的性质与判定》课件2-优质公开课-鲁教8下精品

MN∥AB且MN分别交OA、OB于M、N， 求证：BM＝CN.
分析：要证明BM＝CN，大家观察
图形可以考虑证哪两个三角形全等 ?
△ABM≌△BCN 你所要证明的两个三角形已经满足
了哪些条件?
由正方形可以得到的条件有： AB＝BC，∠1＝∠2＝45 °
条件够吗？
还需要的条件是 AM＝BN
你能完成证明吗???
（2）延长BE交DF于点M（如图6-24）. ∵△BCE≌△DCF， ∴∠CBE=∠CDF. ∵∠DCF=90°， ∴∠CDF+∠F=90°. ∴∠CBE+∠F=90°. ∴∠BMF=90°. ∴BE⊥DF.
平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系图
平行四边形
正
矩形
方 形
菱形
如图，正方形ABCD中，AC°，∠ECB=45°， ∴∠BEC=90°. ∴菱形BECF是正方形（有一个角是直角的菱形是正 方形）.
1.（1）把一张长方形纸片按如图方式折一下， 就可以裁出正方形纸片. 为什么？ （2）如何从一块长方形木板中裁出一块最 大的正方形木板呢？ 答： （1）一组邻边相等的矩形 是正方形. 按如图方式 折一下则可以找到一个 一组邻边相等的矩形. （2）在木板的两个长上量出两个个对称的宽 的长度，垂直连接两条线段的两点，可 得一个正方形.
正方形
请同学们画一个四边形， 要求它既是矩形又是菱形.
正方形
定义：有一组邻边相等的矩形叫做正方形.
正方形性质： 一个角是直角 正方形两组对边平行，四条边都相等 正方形的四个角都是直角
正方形的对角线相等，互相平分且垂 直，并且每一条对角线平分一组对角
快速抢答
正方形是轴对 称图形，它的 对称轴是什么？
正方形中：（按组说）
A
D
1、相等的边有哪些？
2、相等的角有哪些？
3、等腰三角形有哪些？
4、直角三角形有哪些？
O
5、全等三角形有哪些？
B C
例1 如图6-23，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F 为BC延长线上一点，且CE=CF.BE与DF之间有怎样的关 系？请说明理由． 解：BE=DF，且BE⊥DF.理由如下： （1）∵四边形ABCD是正方形， ∴BC=DC，∠BCE=90°（正方形的 四条边都相等，四个角都是直角）. ∴∠DCF=180°-∠BCE=180°90°=90°. ∴∠BCE=∠DCF. 又∵CE=CF， ∴△BCE≌△DCF. ∴BE=DF.
矩 形
菱 形
正 方 形
反馈检测
如图，分别延长等腰直角三角形OAB的
两条直角边AO和BO，使AO=OC，
BO=OD.求证：四边形ABCD是正方形．
A O D
B
C
求证：矩形的四个角的平分线所 围成的四边形是正方形．
A F B E H G C D
例2 已知：如图6-26，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC， CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE．求证：四边形 BECF是正方形． 证明：∵BF∥CE，CF∥BE， ∴四边形BECF是平行四边形． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=90°， ∠DCB=90°. 又∵BE平分∠ABC， CE平分∠DCB， 1 ∴∠EBC= 2 ∠ABC=45°， 1 ∴∠ECB= ∠DCB=45°. 2 ∴∠EBC=∠ECB. ∴□BECF是菱形（菱形的定义）.
证明：
∵CE⊥AF ∴∠ADC＝∠AEM＝90° 又∵∠CMD＝∠AME ∴∠1＝∠2 又∵CD＝AD，∠ADF＝∠MDC ∴Rt△CDM≌Rt△ADF (AAS) ∴DM=DF
下面的证明请大家完成
正方形的判定方法还有哪些？
有一组邻边相等且有 一个角是直角
正方形的判定方法还有哪些？
平 行 四 边 形
练习．如图，在AB上取一点C，以AC、BC为正 方形的一边在同一侧作正方形AEDC和BCFG连
结AF、BD延长BD交AF于H.
求证：(1) △ACF≌△DCB
(2) BH⊥AF
如图，△ABC的外面作正方形ABDE和ACFG，连 结BG、CE，交点为N. 求证：∠CEA＝∠ABG
分析：欲证∠CEA＝∠ABG， 大家想一想证明两个角相等的方法， 你有办法了吗？？？通过自己的努力，看能不能解
3. 满足下列条件的四边形是不是正方形？为什么？ （1）对角线互相垂直且相等的平行四边形; （2）对角线互相垂直的矩形； （3）对角线相等菱形； （4）对角线互相垂直平分且相等的四边形. 答： （1）是正方形. 平行四边形对角线互相垂直且相等，则 它为菱形和矩形，同时是菱形和矩形说明它为正方形. （2）是正方形. 对角线互相垂直，则它为菱形，同时又 是矩形，则该矩形为正方形. （3）是正方形. 对角线相等的平行四边形是矩形， 同 时它还是菱形，则它为正方形. （4）是正方形. 对角线互相平分的四边形是平行四边形， 由（1）知对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方 形.
分∠BAC，试猜想AB、AC、BE之间的关
系，并证明你的猜想．
A D
F B G E C
分析：
欲证∠MFD＝45°，由于 △MDF是直角三角形，只须证 △MDF是等腰三角形，即只要证
_____=_____ 要证MD＝FD，大家只须证得哪两个三角形全等?
△CMD≌△ADF
试一试
看能不能完成证明???
已知：如图在正方形ABCD中，F为CD延长线 上一点，CE⊥AF于E，交AD于M， 求证：∠MFD＝45°
证明：
∵四边形ABCD是正方形 ∴OA＝OB ， ∠1＝∠2＝∠3＝45° 又∵MN∥AB ∴∠OMN＝∠1＝∠3＝∠ONM＝45° ∴OM＝ON ∴OA－OM＝OB－ON 即AM＝BN
下面大家自己完成证明.
已知：如图，在正方形ABCD中，F为CD延长线上一点， CE⊥AF于E，交AD于M，求证：∠MFD＝45°
决问题？
证明：∵四边形ABDE和四边形ACFG是正方形.
∴AE＝AB AG＝AC ∠1＝∠2＝90°
又∵∠EAC＝∠1＋∠BAC＝90°＋∠BAC
∠BAG＝∠2＋∠BAC＝90°＋∠BAC
∴∠EAC＝∠BAG
∴△AEC≌△ABG
∴∠CEA＝∠ABG
(SAS)
在正方形ABCD中，AC是对角线，AE平