【教师版】小学奥数4-4-3 圆与扇形(三).专项练习及答案解析

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小学奥数4-4-2 圆与扇形(二).专项练习及答案解析-精品

研究圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，通过变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形来计算它们的面积．圆的面积2πr =；扇形的面积2π360nr =⨯；圆的周长2πr =；扇形的弧长2π360nr =⨯．一、跟曲线有关的图形元素： ①扇形：扇形由顶点在圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形，扇形是圆的一部分．我们经常说的12圆、14圆、16圆等等其实都是扇形，而这个几分之几表示的其实是这个扇形的圆心角占这个圆周角的几分之几．那么一般的求法是什么呢？关键是360n．比如：扇形的面积=所在圆的面积360n⨯；扇形中的弧长部分=所在圆的周长360n⨯扇形的周长=所在圆的周长360n⨯+2⨯半径(易错点是把扇形的周长等同于扇形的弧长)②弓形：弓形一般不要求周长，主要求面积．一般来说，弓形面积=扇形面积-三角形面积．(除了半圆)③”弯角”：如图：弯角的面积=正方形-扇形④”谷子”：如图：“谷子”的面积=弓形面积2⨯二、常用的思想方法：①转化思想(复杂转化为简单，不熟悉的转化为熟悉的) ②等积变形(割补、平移、旋转等) ③借来还去(加减法)④外围入手(从会求的图形或者能求的图形入手，看与要求的部分之间的”关系”)板块二曲线型面积计算例题精讲圆与扇形【例 1】如图，已知扇形BAC 的面积是半圆ADB 面积的34倍，则角CAB 的度数是________．DCBA【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】填空【解析】设半圆ADB 的半径为1，则半圆面积为21ππ122⨯=，扇形BAC 的面积为π42π233⨯=．因为扇形BAC 的面积为2π360n r ⨯，所以，22ππ23603n ⨯⨯=，得到60n =，即角CAB 的度数是60度．【答案】60度【例 2】如下图，直角三角形ABC 的两条直角边分别长6和7，分别以,B C 为圆心，2为半径画圆，已知图中阴影部分的面积是17，那么角A 是多少度(π3=)【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答【解析】 167212ABC S =⨯⨯=△,三角形ABC 内两扇形面积和为21174-=，根据扇形面积公式两扇形面积和为2π24360B C∠+∠⨯⨯=°,所以120B C ∠+∠=°,60A ∠=°. 【答案】60度【例 3】如图，大小两圆的相交部分(即阴影区域)的面积是大圆面积的415，是小圆面积的35．如果量得小圆的半径是5厘米，那么大圆半径是多少厘米？【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】小圆的面积为2π525π⨯=，则大小圆相交部分面积为325π15π5⨯=,那么大圆的面积为422515ππ154÷=，而2251515422=⨯，所以大圆半径为7.5厘米．【答案】7.5【例 4】有七根直径5厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们勒紧成一捆(如图)，此时橡皮筋的长度是多少厘米？(π取3)CBA【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】由右图知，绳长等于6个线段AB 与6个BC 弧长之和．将图中与BC 弧相似的6个弧所对的圆心角平移拼补，可得到6个角的和是360︒，所以BC 弧所对的圆心角是60︒，6个BC 弧合起来等于直径5厘米的圆的周长．而线段AB 等于塑料管的直径，由此知绳长为：565π45⨯+=(厘米)．【答案】45【例 5】如图，边长为12厘米的正五边形，分别以正五边形的5个顶点为圆心，12厘米为半径作圆弧，请问：中间阴影部分的周长是多少？(π 3.14=)【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答【解析】如图，点C 是在以B 为中心的扇形上，所以AB CB =，同理CB AC =，则ABC ∆是正三角形，同理，有CDE ∆是正三角形．有60ACB ECD ∠=∠=，正五边形的一个内角是1803605108-÷=，因此60210812ECA ∠=⨯-=，也就是说圆弧AE 的长度是半径为12厘米的圆周的一部分，这样相同的圆弧有5个，所以中间阴影部分的周长是()122 3.1412512.56cm 360⨯⨯⨯⨯=．【答案】12.56【例 6】如图是一个对称图形．比较黑色部分面积与灰色部分面积的大小，得：黑色部分面积________灰色部分面积．【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】填空【解析】图中四个小圆的半径为大圆半径的一半，所以每个小圆的面积等于大圆面积的14，则4个小圆的面积之和等于大圆的面积．而4个小圆重叠的部分为灰色部分，未覆盖的部分为黑色部分，所以这两部分面积相等，即灰色部分与黑色部分面积相等．【答案】相等【例 7】如图，大圆半径为小圆的直径，已知图中阴影部分面积为1S ，空白部分面积为2S ，那么这两个部分的面积之比是多少？(圆周率取3.14)【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】如图添加辅助线，小圆内部的阴影部分可以填到外侧来，这样，空白部分就是一个圆的内接正方形．设大圆半径为r ，则222S r =，2212S r r π=-，所以()12: 3.142:257:100S S =-=．移动图形是解这种题目的最好方法，一定要找出图形之间的关系．【答案】57:100【例 8】用一块面积为36平方厘米的圆形铝板下料，从中裁出了7个同样大小的圆铝板．问：所余下的边角料的总面积是多少平方厘米？【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答【解析】大圆直径是小圆的3倍，半径也是3倍，小圆面积∶大圆面积22π:π1:9r R ==，小圆面积13649=⨯=，7个小圆总面积4728=⨯=，边角料面积36288=-=(平方厘米)．【答案】8【例 9】如图，若图中的圆和半圆都两两相切，两个小圆和三个半圆的半径都是1．求阴影部分的面积．【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答【解析】由于直接求阴影部分面积太麻烦，所以考虑采用增加面积的方法来构造新图形．由右图可见，阴影部分面积等于16大圆面积减去一个小圆面积，再加上120︒的小扇形面积(即13小圆面积)，所以相当于16大圆面积减去23小圆面积．而大圆的半径为小圆的3倍，所以其面积为小圆的239=倍，那么阴影部分面积为21259π1π 2.5636⎛⎫⨯-⨯⨯== ⎪⎝⎭．【答案】2.5【例 10】如图所示，求阴影面积，图中是一个正六边形，面积为1040平方厘米，空白部分是6个半径为10厘米的小扇形．(圆周率取3.14)CA【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】所要求的阴影面积是用正六边形的面积减去六个小扇形面积、正六边形的面积已知，现在关键是小扇形面积如何求，有扇形面积公式2π360n R S =扇．可求得，需要知道半径和扇形弧的度数，由已知正六边形每边所对圆心角为60°，那么120AOC ∠=︒，又知四边形ABCO 是平行四边形，所以120ABC ∠=︒，这样就可求出扇形的面积和为21206π10628360⨯⨯⨯=(平方厘米)，阴影部分的面积1040628412=-=(平方厘米)．【答案】412【例 11】 (09年第十四届华杯赛初赛)如下图所示，AB 是半圆的直径，O 是圆心，AC CD DB ==，M 是CD 的中点，H 是弦CD 的中点．若N 是OB 上一点，半圆的面积等于12平方厘米，则图中阴影部分的面积是平方厘米．【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】填空【解析】如下图所示，连接OC、OD、OH．本题中由于C、D是半圆的两个三等分点，M是CD的中点，H是弦CD的中点，可见这个图形是对称的，由对称性可知CD与AB平行．由此可得CHN∆的面积与CHO∆的面积相等，所以阴影部分面积等于扇形COD面积的一半，而扇形COD的面积又等于半圆面积的13，所以阴影部分面积等于半圆面积的16，为11226⨯=平方厘米．【答案】2【巩固】如图，C、D是以AB为直径的半圆的三等分点，O是圆心，且半径为6．求图中阴影部分的面积．【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】如图，连接OC、OD、CD．由于C、D是半圆的三等分点，所以AOC∆和COD∆都是正三角形，那么CD与AO是平行的．所以ACD∆的面积与OCD∆的面积相等，那么阴影部分的面积等于扇形OCD的面积，为21π618.846⨯⨯=．【答案】18.84【例12】如图，两个半径为1的半圆垂直相交，横放的半圆直径通过竖放半圆的圆心，求图中两块阴影部分的面积之差．(π取3) O【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答【解析】本题要求两块阴影部分的面积之差，可以先分别求出两块阴影部分的面积，再计算它们的差，但是这样较为繁琐．由于是要求面积之差，可以考虑先从面积较大的阴影中割去与面积较小的阴影相同的图形，再求剩余图形的面积．如右图所示，可知弓形BC 或CD 均与弓形AB 相同，所以不妨割去弓形BC ．剩下的图形中，容易看出来AB 与CD 是平行的，所以BCD ∆与ACD ∆的面积相等，所以剩余图形的面积与扇形ACD 的面积相等，而扇形ACD 的面积为260π10.5360⨯⨯=，所以图中两块阴影部分的面积之差为0.5．【答案】0.5【例 13】如图，两个正方形摆放在一起，其中大正方形边长为12，那么阴影部分面积是多少？(圆周率取3.14)AFEAFE【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】方法一：设小正方形的边长为a ，则三角形ABF 与梯形ABCD 的面积均为()122a a +⨯÷．阴影部分为：大正方形+梯形-三角形ABF -右上角不规则部分=大正方形-右上角不规则部分=14圆．因此阴影部分面积为：3.141212411⨯⨯÷=．方法二：连接AC 、DF ，设AF 与CD 的交点为M ，由于四边形ACDF 是梯形，根据梯形蝴蝶定理有ADM CMF S S =△△，所以DCF S S =阴影扇形 3.1412124113.04=⨯⨯÷=【答案】113.04【巩固】如右图，两个正方形边长分别是10和6，求阴影部分的面积．(π取3)【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】 (法1)观察可知阴影部分面积等于三角形ACD 的面积减去月牙BCD 的面积，那么求出月牙BCD 的面积就成了解题的关键．月牙BCD 的面积为正方形BCDE 的面积减去四分之一圆：166π6694⨯-⨯⨯⨯=；则阴影部分的面积为三角形ACD 的面积减去月牙BCD 的面积，为：()110669392S =⨯+⨯-=阴影．(法2)观察可知AF 和BD 是平行的，于是连接AF 、BD 、DF ．则ABD ∆与BDF ∆面积相等，那么阴影部分面积等于BDF ∆与小弓形的面积之和，也就等于DEF ∆与扇形BED 的面积之和，为：211(106)6π63924-⨯⨯+⨯⨯=．【答案】39【例 14】如图，ABC 是等腰直角三角形，D 是半圆周的中点，BC 是半圆的直径．已知10AB BC ==，那么阴影部分的面积是多少？(圆周率取3.14)D【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】连接PD 、AP 、BD ，如图，PD 平行于AB ，则在梯形ABDP 中，对角线交于M点，那么ABD ∆与ABP ∆面积相等，则阴影部分的面积转化为ABP ∆与圆内的小弓形的面积和．ABP ∆的面积为：()10102225⨯÷÷=；弓形面积： 3.145545527.125⨯⨯÷-⨯÷=；阴影部分面积为：257.12532.125+=．【答案】32.125【例 15】图中给出了两个对齐摆放的正方形，并以小正方形中右上顶点为圆心，边长为半径作一个扇形，按图中所给长度阴影部分面积为；(π 3.14=)A【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】填空【解析】连接小正方形AC ,有图可见 ACD ABC S S S S =+-△△阴影扇形∵211144222AC ⨯=⨯⨯ ∴232AC =同理272CE =，∴48AC CE ⨯=∴148242ACD S =⨯=△290π412.56360S =⨯=扇形，14482ABC S =⨯⨯=△∴2412.56828.56S =+-=阴影【答案】28.56【例 16】如图，图形中的曲线是用半径长度的比为2:1.5:0.5的6条半圆曲线连成的．问：涂有阴影的部分的面积与未涂有阴影的部分的面积的比是多少？【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答【解析】假设最小圆的半径为r ，则三种半圆曲线的半径分别为4r ，3r 和r ．阴影部分的面积为：()()22222111π4π3ππ5π222r r r r r -++=，空白部分的面积为：()222π45π11πr r r -=，则阴影部分面积与空白部分面积的比为5:11．【答案】5:11【例 17】 (西城实验考题)奥运会的会徽是五环图，一个五环图是由内圆直径为6厘米，外圆直径为8厘米的五个环组成，其中两两相交的小曲边四边形(阴影部分)的面积都相等，已知五个圆环盖住的面积是77.1平方厘米，求每个小曲边四边形的面积．(π 3.14=)【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答【解析】 ⑴每个圆环的面积为：22π4π37π21.98⨯-⨯==(平方厘米)； ⑵五个圆环的面积和为：21.985109.9⨯=(平方厘米)； ⑶八个阴影的面积为：109.977.132.8-=(平方厘米)； ⑷每个阴影的面积为：32.88 4.1÷=(平方厘米)．【答案】4.1【例 18】已知正方形ABCD 的边长为10厘米，过它的四个顶点作一个大圆，过它的各边中点作一个小圆，再将对边中点用直线连擎起来得右图．那么，图中阴影部分的总面积等于______方厘米．(π 3.14=)【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】填空【解析】39.25 【答案】39.25【例 19】如图，ABCD 是边长为a 的正方形，以AB 、BC 、CD 、DA 分别为直径画半圆，求这四个半圆弧所围成的阴影部分的面积．(π取3)DCBADCBA【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】这道题目是很常见的面积计算问题．阴影部分是一个花瓣状的不规则图形，不能直接通过面积公式求解，观察发现阴影部分是一个对称图形，我们只需要在阴影部分的对称轴上作两条辅助线就明了了．如图，这样阴影部分就划分成了4个半圆减去三角形，我们可以求得，()4S S S =⨯-阴影半圆三角形 21142222a a a π⎡⎤⎛⎫=⨯⨯⨯-⨯⨯⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦212a =【答案】12a【巩固】如图，正方形ABCD 的边长为4厘米，分别以B 、D 为圆心以4厘米为半径在正方形内画圆．求阴影部分面积．(π取3)DBA DB【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】由题可知，图中阴影部分是两个扇形重叠的部分，我们可以利用容斥原理从图形整体上考虑来求阴影部分面积；同样，我们也可以通过作辅助线直接求阴影部分的面积．解法一：把两个扇形放在一起得到1个正方形的同时还重叠了一块阴影部分．则阴影部分的面积为=21π44482⋅⋅-⨯=；解法二：连接AC，我们发现阴影部分面积的一半就是扇形减去三角形的面积，所以阴影部分面积=212π444284⨯⋅⋅-⨯÷=（）．【答案】8【例20】(四中考题)已知三角形ABC是直角三角形，4cmAC=，2cmBC=，求阴影部分的面积．【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答【解析】从图中可以看出，阴影部分的面积等于两个半圆的面积和与直角三角形ABC的面积之差，所以阴影部分的面积为：2214121ππ42 2.5π4 3.8522222⎛⎫⎛⎫⨯+⨯-⨯⨯=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2cm)．【答案】3.85【例21】（奥林匹克决赛试题）在桌面上放置3个两两重叠、形状相同的圆形纸片.它们的面积都是100平方厘米，盖住桌面的总面积是144平方厘米，3张纸片共同重叠的面积是42平方厘米.那么图中3个阴影部分的面积的和是平方厘米.【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】填空【解析】根据容斥原理得1003242144S ⨯--⨯=阴影，所以100314424272S =⨯--⨯=阴影（平方厘米）【答案】72【例 22】如图所示，ABCD 是一边长为4cm 的正方形，E 是AD 的中点，而F 是BC 的中点．以C 为圆心、半径为4cm 的四分之一圆的圆弧交EF 于G ，以F 为圆心、半径为2cm 的四分之一圆的圆弧交EF 于H 点，若图中1S 和2S 两块面积之差为2π(cm )m n -(其中m 、n 为正整数)，请问m n +之值为何？S 2S 1G HFE DC B AS图1S 2S 1G HF E DCBA【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【关键词】国际小学数学竞赛【解析】 (法1)2248cm FCDE S =⨯=，21π44π4BCD S =⨯⨯=扇形2(cm )，21π2π4BFH S =⨯⨯=扇形2(cm )，而124ππ8FCDE BCD BFH S S S S S -=--=--扇形扇形3π8=-2(cm )，所以3m =，8n =，3811m n +=+=．(法2)如右上图，1S S +=BFEA BFH S S -=扇形2422π48π⨯-⨯⨯÷=-2(cm )，24444π4164πABCD BCD S S S S +=-=⨯-⨯⨯÷=-扇形2(cm )，所以，12(8π)(164π)3π8S S -=---=-2(cm )，故3811m n +=+=．【答案】11【巩固】在图中，两个四分之一圆弧的半径分别是2和4，求两个阴影部分的面积差．(圆周率取3.14)【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】我们只要看清楚阴影部分如何构成则不难求解．左边的阴影是大扇形减去小扇形，再扣除一个长方形中的不规则白色部分，而右边的阴影是长方形扣除这块不规则白色部分，那么它们的差应为大扇形减去小扇形，再减去长方形．则为：ππ4422423 3.148 1.4244⨯⨯-⨯⨯-⨯=⨯-=．【答案】1.42【例 23】如图，矩形ABCD 中，AB =6厘米，BC =4厘米，扇形ABE 半径AE =6厘米，扇形CBF 的半径CB =4厘米，求阴影部分的面积．(π取3)CB A【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】方法一：观察发现，阴影部分属于一个大的扇形，而这个扇形除了阴影部分之外，还有一个不规则的空白部分ABFD 在左上，求出这个不规则部分的面积就成了解决这个问题的关键．我们先确定ABFD 的面积，因为不规则部分ABFD 与扇形BCF 共同构成长方形ABCD ，所以不规则部分ABFD 的面积为2164π4124⨯-⨯⨯=(平方厘米)，再从扇形ABE 中考虑，让扇形ABE 减去ABFD 的面积，则有阴影部分面积为21π612154⨯⨯-=(平方厘米)．方法二：利用容斥原理2211π6π4461544EAB BCF ABCD S S S S =+-=⨯+⨯-⨯=阴影扇形扇形长方形(平方厘米)【答案】15【巩固】求图中阴影部分的面积．【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】阴影部分面积=半圆面积+扇形面积-三角形面积22211211π()π121241.042282=⨯+⨯-⨯=．【答案】41.04【巩固】如右图，正方形的边长为5厘米，则图中阴影部分的面积是平方厘米，(π 3.14=)C【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】填空【解析】观察可知阴影部分是被以AD 为半径的扇形、以AB 为直径的半圆形和对角线BD分割出来的，分头求各小块阴影部分面积明显不是很方便，我们发现如果能求出左下边空白部分的面积，就很容易求出阴影部分的面积了，我们再观察可以发现左下边空白部分的面积就等于三角形ABD 的面积减去扇形ADE 的面积，那么我们的思路就很清楚了．因为45ADB ∠=︒，所以扇形ADE 的面积为：224545π 3.1459.8125360360AD ⨯⨯=⨯⨯=(平方厘米)，那么左下边空白的面积为：1559.8125 2.68752⨯⨯-=(平方厘米)，又因为半圆面积为：215π9.812522⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭(平方厘米)，所以阴影部分面积为：9.8125 2.68757.125-=(平方厘米)．【答案】7.125【例 24】如图所示，阴影部分的面积为多少？(圆周率取3)33B A33A1.51.51.545︒45︒B33【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答【解析】图中A 、B 两部分的面积分别等于右边两幅图中的A 、B 的面积．所以()()229271.5π 1.5343π3328498416A B S S +=-⨯÷+-⨯⨯÷=÷+÷=．【答案】2716【巩固】图中阴影部分的面积是．(π取3.14)333【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】填空【解析】如右上图，虚线将阴影部分分成两部分，分别计算这两部分的面积，再相加即可得到阴影部分的面积．所分成的弓形的面积为：22131199π3π2242168⎡⎤⎛⎫⨯-⨯⨯=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦；另一部分的面积为：221199π33π8484⨯-⨯=-；所以阴影部分面积为：99992727πππ 1.92375 1.9216884168-+-==-=≈．【答案】1.92【例 25】已知右图中正方形的边长为20厘米，中间的三段圆弧分别以1O 、2O 、3O 为圆心，求阴影部分的面积．(π3=)O3【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答【解析】图中两块阴影部分的面积相等，可以先求出其中一块的面积．而这一块的面积，等于大正方形的面积减去一个90︒扇形的面积，再减去角上的小空白部分的面积，为：()()()2142020π202020100π4754S S S S ⎡⎤---÷=⨯-⨯-⨯-÷=⎡⎤⎣⎦⎣⎦圆正方形正方形扇形(平方厘米)，所以阴影部分的面积为752150⨯=(平方厘米)．【答案】150【例 26】一个长方形的长为9，宽为6，一个半径为l 的圆在这个长方形内任意运动，在长方形内这圆无法运动到的部分，面积的和是_____．(π取3)【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】填空【解析】方法一：圆在长方形内部无法运动到的地方就是长方形的四个角，而圆在角处运动时的情况如左下图，圆无法运动到的部分是图中阴影部分，那么我们可以先求出阴影部分面积，四个角的情况都相似，我们就可以求出总的面积是阴影部分面积的四倍．阴影部分面积是小正方形面积减去扇形面积，所以我们可以得到：每个角阴影部分面积为290111π13604⨯-⨯⨯=；那么圆无法运动到的部分面积为 1414⨯=方法二：如果把四个角拼起来，则阴影如右上图所示，则阴影面积为222311⨯-⨯= 【答案】1【例 27】已知半圆所在的圆的面积为62.8平方厘米，求阴影部分的面积．(π 3.14=)B【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】由于阴影部分是一个不规则图形，所以要设法把它转化成规则图形来计算．从图中可以看出，阴影部分的面积是一个45°的扇形与一个等腰直角三角形的面积差．由于半圆的面积为62.8平方厘米，所以262.8 3.1420OA =÷=．因此：22210AOB S OA OB OA =⨯÷=÷=△(平方厘米)．由于AOB ∆是等腰直角三角形，所以220240AB =⨯=．因此：扇形ABC 的面积24545ππ4015.7360360AB =⨯⨯=⨯⨯=(平方厘米)．所以，阴影部分的面积等于：15.710 5.7-=(平方厘米)．【答案】5.7【例 28】如图，等腰直角三角形ABC 的腰为10；以A 为圆心，EF 为圆弧，组成扇形AEF ；两个阴影部分的面积相等．求扇形所在的圆面积．【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答【解析】题目已经明确告诉我们ABC 是等腰直角三角形，AEF 是扇形，所以看似没有关系的两个阴影部分通过空白部分联系起来．等腰直角三角形的角A 为45度，则扇形所在圆的面积为扇形面积的8倍．而扇形面积与等腰直角三角形面积相等，即11010502S =⨯⨯=扇形，则圆的面积为508400⨯= 【答案】400【例 29】如图，直角三角形ABC 中，AB 是圆的直径，且20AB =，阴影甲的面积比阴影乙的面积大7，求BC 长．(π 3.14=)C【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】因为两块阴影部分都是不规则图形，单独对待它们无法运用面积公式进行处理，而解题的关键就是如何把它们联系起来，我们发现把两块阴影加上中间的一块，则变成1个半圆和1个直角三角形，这个时候我们就可以利用面积公式来求解了．因为阴影甲比阴影乙面积大7，也就是半圆面积比直角三角形面积大7．半圆面积为：21π101572⨯⨯=，则直角三角形的面积为157-7=150，可得BC =2⨯150÷20=15．【答案】15【巩固】三角形ABC 是直角三角形，阴影I 的面积比阴影II 的面积小225cm ，8cm AB =，求BC 的长度．I IABCI【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】由于阴影I 的面积比阴影II 的面积小225cm ，根据差不变原理，直角三角形ABC 面积减去半圆面积为225cm ，则直角三角形ABC 面积为218π258π2522⎛⎫⨯+=+ ⎪⎝⎭(2cm )， BC 的长度为()8π25282π 6.2512.53+⨯÷=+=(cm )．【答案】12.53【巩固】如图，三角形ABC 是直角三角形，阴影部分①比阴影部分②的面积小28平方厘米，AB 长40厘米．求BC 的长度？(π取3.14)【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】图中半圆的直径为AB ，所以其面积为2120π200 3.146282⨯⨯≈⨯=．有空白部分③与①的面积和为628，又②-①28=，所以②、③部分的面积和62828656+=．有直角三角形ABC 的面积为12AB BC ⨯⨯=1406562BC ⨯⨯=．所以32.8BC =厘米．【答案】32.8【例 30】图中的长方形的长与宽的比为8:3，求阴影部分的面积．【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【关键词】十三分，入学测试题【解析】如下图，设半圆的圆心为O ，连接OC ．从图中可以看出，20OC =，20416OB =-=，根据勾股定理可得12BC =．阴影部分面积等于半圆的面积减去长方形的面积，为：21π20(162)12200π3842442⨯⨯-⨯⨯=-=．【答案】244【例 31】如图，求阴影部分的面积．(π取3)【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答【解析】如图，图中阴影部分为月牙儿状，月牙儿形状与扇形和弓形都不相同，目前我们还不能直接求出它们的面积，那么我们应该怎么来解决呢？首先，我们分析下月牙儿状是怎么产生的，观察发现月牙儿形是两条圆弧所夹部分，再分析可以知道，两条圆弧分别是不同圆的圆周的一部分，那么我们就找到了解决问题的方法了．阴影部分面积=12小圆面积+12中圆面积+三角形面积-12大圆面积=2221111π3π434π52222⋅⋅+⋅⋅+⨯⨯-⋅⋅=6 【答案】6【例 32】如图，直角三角形的三条边长度为6,8,10，它的内部放了一个半圆，图中阴影部分的面积为多少？68【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答【解析】 S S S =-阴影直角三角形半圆，设半圆半径为r ，直角三角形面积用r 表示为：610822r rr ⨯⨯+= 又因为三角形直角边都已知，所以它的面积为168242⨯⨯=，所以824r =，3r =所以1249π=24 4.5π2S =-⨯-阴影【答案】24 4.5π-【例 33】大圆半径为R ，小圆半径为r ，两个同心圆构成一个环形．以圆心O 为顶点，半径R 为边长作一个正方形：再以O 为顶点，以r 为边长作一个小正方形．图中阴影部分的面积为50平方厘米，求环形面积．(圆周率取3.14)【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【关键词】华校第一学期，期中测试，第6题【解析】环形的面积应该用大圆的面积减去小圆的面积，但分别求出两个圆的面积显然不可能．题中已知阴影部分的面积，也就是2250R r -=平方厘米，那么环形的面积为：2222πππ()π50=157R r R r -=-=⨯(平方厘米)．【答案】157【巩固】图中阴影部分的面积是225cm ，求圆环的面积．【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】设大圆半径为R ，小圆半径为r ，依题有222522R r -=，即2250R r -=．则圆环面积为：22222πππ()50π157(cm )R r R r -=-==．【答案】157【例 34】已知图中正方形的面积是20平方厘米，则图中里外两个圆的面积之和是．(π取3.14)【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】填空【关键词】101中学，考题【解析】设图中大圆的半径为r ，正方形的边长为a ，则小圆的直径等于正方形的边长，所以小圆的半径为2a，大圆的直径2r 等于正方形的对角线长，即222(2)r a a =+，得222a r =．所以，大圆的面积与正方形的面积之比为：22π:π:2r a =，所以大圆面积为：202π10π÷⨯=；小圆的面积与正方形的面积之比为：22π():π:42aa =，所以小圆的面积为：204π5π÷⨯=；两个圆的面积之和为：10π5π15π15 3.1447.1+==⨯=(平方厘米)．【答案】47.1【巩固】图中小圆的面积是30平方厘米，则大圆的面积是平方厘米．(π取3.14)【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】填空【解析】设图中大圆的半径为r ，正方形的边长为a ，则小圆的直径等于正方形的边长，所以小圆的半径为2a，大圆的直径2r 等于正方形的对角线长，即222(2)r a a =+，得222a r =．所以，大圆的面积与小圆的面积之比为：222222π:π()::2:12424a a a a r r ===，即大圆的面积是小圆面积的2倍，大圆的面积为30260⨯=(平方厘米)．【答案】60【巩固】(2008年四中考题)图中大正方形边长为a ，小正方形的面积是．【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】填空【解析】设图中小正方形的边长为b ，由于圆的直径等于大正方形的边长，所以圆的直径为a ，而从图中可以看出，圆的直径等于小正方形的对角线长，所以22222a b b b =+=，故2212b a =，即小正方形的面积为212a ．【答案】212a【巩固】一些正方形内接于一些同心圆，如图所示．已知最小圆的半径为1cm ，请问阴影部分的面积为多少平方厘米？(取22π7=)【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【关键词】台湾小学数学竞赛选拔，复赛【解析】我们将阴影部分的面积分为内圈、中圈、外圈三部分来计算．内圈等于内圆面积减去内部正方形的面积，也就是2π1222π2⨯-⨯÷=-．内圆的直径为中部正方形的边长，即为2，中部正方形的对角线等于中圆的直径，于是中圈阴影部分面积是22π(22)4222π4⨯+÷-⨯=-．中圆的直径的平方即为外部正方形的面积，即为22228+=，外部正方形的对角线的平方即为外圆的直径的平方，即为8216⨯=，所以外圈阴影部分的面积是π16484π8⨯÷-=-．所以阴影部分的面积是227π1471487-=⨯-=(平方厘米)．【答案】8【例 35】图中大正方形边长为6，将其每条边进行三等分，连出四条虚线，再将虚线的中。

【教师版】小学奥数4-4-1 圆与扇形(一).专项练习及答案解析

求月牙形ADBEA （阴影部分）的面积。

D【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【关键词】华杯赛，决赛，第9题，10分【解析】 ①月牙形ADBEA (阴影部分)的面积＝半圆的面积+△ABC 的面积－扇形CAEBC 的面积②月牙形ADBEA 的面积＝211π525π502524⨯⨯+-⨯⨯=（平方厘米）,所以月牙形ADBEA 的面积是25平方厘米。

数学圆扇形圆环试题答案及解析

数学圆扇形圆环试题答案及解析1.圆的位置由（）确定，圆的大小由（）决定．A.圆心B.圆周率C.圆的半径【答案】A C【解析】根据圆的认识：圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小，进行选择即可．解：圆的位置由圆心确定，圆的大小由圆的半径决定；故选：A，C．点评：此题考查的是对圆的基础知识的掌握情况，应灵活理解和掌握．2.圆中两端都在圆上的线段．（）A.一定是圆的半径B.一定是圆的直径C.无法确定【答案】C【解析】根据圆的半径和直径的定义，和圆中两端都在圆上不经过圆心的线段进行解答．解：A、圆的半径是连接圆心与圆上任意一点的线段，只有一段在圆上，故此选项错误；B、圆的直径是通过圆心且两个端点都在圆上的线段，两端虽然都在圆上，但仍然存在两端都在圆上，但不经过圆心的线段，故此选项错误；C、由以上可知，圆中两端都在圆上的线段不一定是直径，因此无法确定，故此选项正确；故选：C．点评：此题主要考查利用半径和直径定义解决问题．3.在长方形中画一个最大的圆，圆的直径（）A.等于长B.等于宽C.大于长小于宽【答案】B【解析】在长方形中画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽；据此解答．解：因为剪成的圆直径和长方形的短边相等，所以在长方形中画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽；故选：B．点评：在一个长方形作最大圆，只能以短的那条边的长度为作为直径的长度．4.先算出周长是9.42厘米的圆的半径，再画出这个圆．【答案】如图【解析】先依据圆的周长公式计算出圆的半径，进而依据圆的基本画法，即可解答．解：圆的半径为：9.42÷3.14÷2=1.5（厘米），以任意一点为圆心，以1.5厘米为半径画圆如下：点评：此题主要考查圆的周长的计算方法以及圆的基本画法．5.有一张长方形纸，长6厘米，宽4厘米，在这张纸上剪一个最大的圆，（1）请用圆规和直尺画出这个最大的圆．（2）求出剩下的图形的面积．【答案】如图，剩下的图形的面积是11.44平方厘米．【解析】（1）要求所画圆的半径，先应明确在此长方形中，画的圆最大是直径和长方形的宽相等，即直径等于4厘米，然后根据“半径=直径÷2”，代入计算得出，进而画圆即可；（2）剩下的图形的面积=长方形的面积﹣圆的面积，据此代入数据即可求解．解：（1）以长方形的对角线的交点为圆心，以长方形的宽的一半（4÷=2厘米）为半径，即可画出符合要求的圆：（2）6×4﹣3.14×22，=24﹣12.56，=11.44（平方厘米）；答：剩下的图形的面积是11.44平方厘米．点评：此类题解答时应明确：在长方形中画一个最大的圆，最大圆的直径等于长方形的宽．6.画一个直径为4cm的半圆，并且画出它的对称轴．【答案】如图【解析】先画一条4厘米的线段，再以这条线段的中点为圆心，以这条线段的一半的长度为半径，即可画出符合要求的半圆；依据轴对称图形的意义，即在平面内，如果一个图形沿一条直线对折，对折后的两部分都能完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线就是其对称轴，据此即可画出这个半圆的对称轴．解：依据分析，画图如下：．点评：确定好圆心和半径，就能画出半圆，再据轴对称图形的意义，就能画出这个半圆的对称轴．7.按要求画圆．（1）以点0为圆心，分别以1厘米和2厘米为半径画出两个圆（这样的两个圆叫做同心圆）．（2）画一条长4厘米的线段，分别以线段的两个端点为圆心，以2厘米长为直径画两个圆．【答案】如图【解析】（1）圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，由此以点O为圆心，以1厘米为半径画圆，再以点O为圆心，以2厘米为半径画圆即可；（2）根据题意，先画一条4厘米长的线段，再分别以线段的两端即A、B为圆心，以2÷2=1厘米为半径进行画圆即可．解：（1）以点0为圆心，分别以1厘米和2厘米为半径画圆如下：（2）如图所示，分别以线段的两端即A、B为圆心，以2÷2=1厘米为半径进行画圆：点评：此题考查了利用圆心与半径画圆的方法的灵活应用．8.在边长为2cm的正方形内画一个最大的圆．怎样确定它的圆心和半径？【答案】如图【解析】正方形内最大圆的直径是这个正方形的边长，圆心就是这个正方形的中心，由此可以画图．解：以正方形的对角线的交点为圆心，以正方形的边长的一半（2÷2=1厘米）为半径，画圆如下：点评：此题考查了圆的画法的灵活应用，抓住正方形内最大圆的特点，是解决本题的关键．9.生活中，车轮为什么要做成圆形的呢？【答案】由分析得出：所有的车轮都做成圆形是利用了圆的圆心到圆上任意一点的距离相等特性，当车轮在平面上滚动时，车轴与平面的距离保持不变，这样车轮就非常的稳定．【解析】根据圆的特征：连接圆心到圆上任意一点的线段，叫做半径；在同圆中所有的半径都相等；可知：把车轮做成圆形，车轴定在圆心，是因为圆形易滚动，而且车轮上各点到车轴即圆心的距离都等于半径，当车轮在平面上滚动时，车轴与平面的距离保持不变；据此解答．解：由分析得出：所有的车轮都做成圆形是利用了圆的圆心到圆上任意一点的距离相等特性，当车轮在平面上滚动时，车轴与平面的距离保持不变，这样车轮就非常的稳定．点评：此题考查了圆的特征，应注意基础知识的积累和应用．10.某体育馆有一个圆形的游泳池，池的周长是100.48米，它的直径应是多少米？【答案】32【解析】利用圆的周长计算公式：C=πd直接解答即可．解：由C=πd，可得，d===32（米）；答：它的直径应是32米．点评：此题考查圆的计算公式：C=πd，经过变形直接解决问题．11.在一条10cm的线段上画两个半径是3cm的圆，两个圆心相距4cm．【答案】如图【解析】先画一条长10cm的线段AB，在线段AB的两端分别截取线段AO1和BO2，使AO1=BO2=3cm，再分别以O1和O2为圆心，以3cm为半径画圆即可．解：由分析画圆如下：图中，AB=10cm，AO1=BO2=3cm，则O1O2=4cm．点评：本题考查了按要求画圆，只要确定好了圆心的位置，以及半径的大小，即可画圆．12.请你画两个圆，所画的圆以直线p为对称轴．【答案】如图【解析】以直线上的任意一点为圆心，再以这点为端点截取1厘米的线段，以这条线段为半径，即可画出符合要求的圆．解：据分析画圆如下：点评：此题主要考查圆的基本画法，关键是确定出圆心的位置和半径的大小．13.请你用圆规画一个直径是3厘米的圆．【答案】如图【解析】先确定圆心，用圆规有针的一脚固定在圆心，然后以圆规两脚之间的距离为3÷2=1.5厘米进行旋转一周，得到的图形就是我们要画的圆．解：先确定圆心，用圆规有针的一脚固定在圆心，然后以圆规两脚之间的距离为3÷2=1.5厘米进行旋转一周，如下图所示：点评：此题考查了用圆规画圆的方法．14.用圆规画两个同心圆，一个半径为3cm，另一个半径为2cm．【答案】如图【解析】以任意一点为圆心，分别以3厘米和2厘米为半径即可画出符合要求的圆．解：画圆如下：点评：此题主要考查圆的基本画法．15.按要求用圆规画圆．（1）r=2厘米（2）d=3厘米．【答案】如图【解析】圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，利用已知条件分别求得圆的半径，即可画圆．解：（1）以任意一点为圆心，以2厘米长的线段为半径，画圆如下；（2）因为3÷2=1.5厘米，所以以任意一点为圆心，以1.5厘米长的线段为半径，画圆如下；点评：此题主要考查圆的基本画法，确定圆的两大要素是：圆心与半径．16.圆的周长与这个圆的直径的比是．【答案】π【解析】圆的周长与这个圆的直径的比值总是3倍多一些，这是一个固定不变的数，叫它圆周率，用字母π来表示．解：=π．故答案为：π．点评：此题考查对圆周率的认识，是圆的周长与此圆直径的比值．17.画一个半径为1.5厘米的圆，并用字母在圆上标出圆心、一条半径和一条直径．【答案】如图【解析】紧扣圆的画法，即确定好圆心的位置，和半径的长度，用圆规即可解决问题．解：根据题意，以O为圆心，以1.5厘米为半径，画圆如图所示：点评：此题考查了圆的画法．抓住圆的两大要素：圆心和半径．即可解决此类问题．18.请你用圆规画出一个半径为2cm的圆形，再画出两条直径，使形成的整个图案有四条对称轴，并画出它的对称轴．【答案】如图【解析】根据题意，圆的半径即为圆规两脚叉开的距离，使圆规两脚之间叉开的距离为2厘米，然后再作图即可，可通过圆心作两条直径，使这两条直径相互垂直，那么根据对称图形的含义可作出相应的图形．解：由分析作图如下：点评：此题主要考查的是圆的画法及其轴对称图形的作法．19.如图的方格图，每个小方格的边长为1厘米．（1）图中点A的位置用数对表示是（，）．（2）把点A先向上平移一格，再向右平移三格就是点B，点B的位置用数对表示是（，）．（3）以点B为圆心画一个半径为3厘米的圆．（4）在圆中画一条直径，使得直径通过点（5，6）．（5）这个圆的面积是．【答案】如图，1，3；4，4；28.26平方厘米【解析】（1）先找出列数为1，再找出行数为3；列数写在数对中的第一个数，行数写在数对中的第二个数，（2）向上平移一格，行数加1，向右平移三格，列数加3；（3）固定圆心B，确定半径3厘米，用圆规画圆；（4）连接圆心B和点（5，6）的直径；（5）根据圆的面积公式S=πr2计算即可．解：（1）点A的位置用数对表示是（1，3）（2）1+3=4，3+1=4，故点A先向上平移一格，再向右平移三格就是点B，点B的位置是（4，4）；（3）、（4）如下图所示：（5）3.14×32=28.26（平方厘米）．答：这个圆的面积是28.26平方厘米．故答案为：1，3；4，4；28.26平方厘米．点评：考查了数对与位置，注意“左减右加，上加下减”，同时考查了画圆及圆的面积公式的应用，综合性较强．20.（1）在图中找出圆的圆心和半径并用字母标出来．（2）计算出这个圆的周长和面积．（取整厘米数）【答案】如图，周长是12.56厘米，圆的面积是12.56平方厘米【解析】（1）依据圆的各部分的名称，即可进行标注；（2）量出圆的半径的长度，再据圆的周长和面积公式即可得解．解：（1）标注如下：（2）3.14×2×2=12.56（厘米），3.14×22=12.56（平方厘米）；答：圆的周长是12.56厘米，圆的面积是12.56平方厘米．点评：此题主要考查圆的周长和面积的计算方法，是基础题目．21.画一个半径为2厘米的圆，标出半径的长度，再计算出它的周长和面积．【答案】如图，周长是12.56厘米；面积是12.56平方厘米【解析】由题意可知：可以以任意一点为圆心，2厘米为半径即可画出符合要求的圆；半径已知，利用圆的周长和面积公式即可求出这个圆的周长和面积．解：（1）如图所示，即为所要求画的圆：；（2）圆的周长：2×3.14×2，=6.28×2，=12.56（厘米），圆的面积：3.14×22=12.56（平方厘米）；答：这个圆的周长是12.56厘米；面积是12.56平方厘米．点评：此题主要考查圆的基本画法以及圆的周长和面积的计算方法．22.想一想，画一画．边长为8cm的正方形，里面是一个圆（如图）．求圆的面积。

六年级上册奥数试题-第8讲圆与扇形全国通用(含答案)

第8讲圆与扇形知识网络圆是所有几何图形中最完美的。

当一条线段绕着它的一个端点O在平面上旋转时一周时，它的另一端点所画成的封闭曲线叫圆（也叫圆周），O点称为这个圆的圆心。

连接一个圆的圆心和圆周上任一点的线段叫做圆的半径，圆的半径通常用字母r表示。

连接圆上任意两点的线段叫做圆的弦。

过圆心的弦叫做圆的直径，圆的直径通常用字母d表示，显然d=2r。

圆的周长（用字母C表示）与直径的比，叫做圆周率。

圆周率用字母表示，它是一个无限不循环的小数，一般取近似值3.14。

圆的周长。

利用等分圆周拼成近似长方形的方法可知圆的面积。

顶点在圆心的角叫做圆心角。

圆周上任意两点间的部分叫做弧。

扇形是圆的一部分，它是由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧组成的图形。

如果扇形的半径为r，弧所对圆心角的度数为n，那么弧的长度。

从而扇形的周长，扇形的面积。

重点·难点本讲的难点在于求圆或扇形与其他平面图形组成的组合图形的面积。

一般这类组合图形是不规则的，很难直接用公式计算它们的面积。

这时候，可以利用分、合、移、补等方法将其转化为若干个基本几何图形的组合，然后再分别计算这若干个基本图形的面积，分析整体与各部分的和、差关系，问题就会迎刃而解。

学法指导在解圆或扇形的周长与面积等有关问题时，一般要先求出半径r，因为半径r是连接周长与面积的纽带。

经典例题[例1]一只饥饿的猛虎紧紧地追赶着一只小狗。

就在猛虎要抓住小狗的时候，小狗逃到了一个圆形的池塘边。

小狗连忙纵身往水里一跳，猛虎抓了个空。

猛虎舍不得这顿即将到口的美餐，于是盯住小狗，在池边跟着小狗跑动，打算在小狗爬上岸的时候再抓住它。

已知猛虎奔跑的速度是小狗游水速度的2.5倍。

请问：小狗如何才能逃出虎口？思路剖析如果小狗在圆形池塘中沿着圆周游动，那末无论它游到哪里，都会被猛虎牢牢盯死。

而如果小狗跳下池塘后就沿着直径笔直往前游，那么猛虎就要跑半个圆周。

由于半圆周长是直径的，而猛虎的速度是小狗的2.5倍，因此猛虎还是能够抓住小狗的。

小学奥数4-4-2 圆与扇形(二).专项练习及答案解析

研究圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，通过变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形来计算它们的面积．圆的面积2πr =；扇形的面积2π360nr =⨯；圆的周长2πr =；扇形的弧长2π360nr =⨯．一、跟曲线有关的图形元素：①扇形：扇形由顶点在圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形，扇形是圆的一部分．我们经常说的12圆、14圆、16圆等等其实都是扇形，而这个几分之几表示的其实是这个扇形的圆心角占这个圆周角的几分之几．那么一般的求法是什么呢？关键是360n．比如：扇形的面积=所在圆的面积360n⨯；扇形中的弧长部分=所在圆的周长360n⨯扇形的周长=所在圆的周长360n⨯+2⨯半径(易错点是把扇形的周长等同于扇形的弧长) ②弓形：弓形一般不要求周长，主要求面积．一般来说，弓形面积=扇形面积-三角形面积．(除了半圆)③”弯角”：如图：弯角的面积=正方形-扇形④”谷子”：如图： “谷子”的面积=弓形面积2⨯二、常用的思想方法：①转化思想(复杂转化为简单，不熟悉的转化为熟悉的) ②等积变形(割补、平移、旋转等) ③借来还去(加减法)④外围入手(从会求的图形或者能求的图形入手，看与要求的部分之间的”关系”)板块二曲线型面积计算例题精讲圆与扇形【例 1】如图，已知扇形BAC 的面积是半圆ADB 面积的34倍，则角CAB 的度数是________．DCBA【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】填空【解析】设半圆ADB 的半径为1，则半圆面积为21ππ122⨯=，扇形BAC 的面积为π42π233⨯=．因为扇形BAC 的面积为2π360n r ⨯，所以，22ππ23603n ⨯⨯=，得到60n =，即角CAB 的度数是60度．【答案】60度【例 2】如下图，直角三角形ABC 的两条直角边分别长6和7，分别以,B C 为圆心，2为半径画圆，已知图中阴影部分的面积是17，那么角A 是多少度(π3=)67CBA【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答【解析】 167212ABC S =⨯⨯=△,三角形ABC 内两扇形面积和为21174-=，根据扇形面积公式两扇形面积和为2π24360B C∠+∠⨯⨯=°,所以120B C ∠+∠=°,60A ∠=°. 【答案】60度【例 3】如图，大小两圆的相交部分(即阴影区域)的面积是大圆面积的415，是小圆面积的35．如果量得小圆的半径是5厘米，那么大圆半径是多少厘米？【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】小圆的面积为2π525π⨯=，则大小圆相交部分面积为325π15π5⨯=,那么大圆的面积为422515ππ154÷=，而2251515422=⨯，所以大圆半径为7.5厘米．【答案】7.5【例 4】有七根直径5厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们勒紧成一捆(如图)，此时橡皮筋的长度是多少厘米？(π取3)CBA【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】由右图知，绳长等于6个线段AB 与6个BC 弧长之和．将图中与BC 弧相似的6个弧所对的圆心角平移拼补，可得到6个角的和是360︒，所以BC 弧所对的圆心角是60︒，6个BC 弧合起来等于直径5厘米的圆的周长．而线段AB 等于塑料管的直径，由此知绳长为：565π45⨯+=(厘米)．【答案】45【例 5】如图，边长为12厘米的正五边形，分别以正五边形的5个顶点为圆心，12厘米为半径作圆弧，请问：中间阴影部分的周长是多少？(π 3.14=)【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答【解析】如图，点C 是在以B 为中心的扇形上，所以AB CB =，同理CB AC =，则ABC∆是正三角形，同理，有CDE ∆是正三角形．有60ACB ECD ∠=∠=，正五边形的一个内角是1803605108-÷=，因此60210812ECA ∠=⨯-=，也就是说圆弧AE 的长度是半径为12厘米的圆周的一部分，这样相同的圆弧有5个，所以中间阴影部分的周长是()122 3.1412512.56cm 360⨯⨯⨯⨯=．【答案】12.56【例 6】如图是一个对称图形．比较黑色部分面积与灰色部分面积的大小，得：黑色部分面积________灰色部分面积．【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】填空【解析】图中四个小圆的半径为大圆半径的一半，所以每个小圆的面积等于大圆面积的14，则4个小圆的面积之和等于大圆的面积．而4个小圆重叠的部分为灰色部分，未覆盖的部分为黑色部分，所以这两部分面积相等，即灰色部分与黑色部分面积相等．【答案】相等【例 7】如图，大圆半径为小圆的直径，已知图中阴影部分面积为1S ，空白部分面积为2S ，那么这两个部分的面积之比是多少？(圆周率取3.14)【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】如图添加辅助线，小圆内部的阴影部分可以填到外侧来，这样，空白部分就是一个圆的内接正方形．设大圆半径为r ，则222S r =，2212S r r π=-，所以()12: 3.142:257:100S S =-=．移动图形是解这种题目的最好方法，一定要找出图形之间的关系．【答案】57:100【例 8】用一块面积为36平方厘米的圆形铝板下料，从中裁出了7个同样大小的圆铝板．问：所余下的边角料的总面积是多少平方厘米？【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答【解析】大圆直径是小圆的3倍，半径也是3倍，小圆面积∶大圆面积22π:π1:9r R ==，小圆面积13649=⨯=，7个小圆总面积4728=⨯=，边角料面积36288=-=(平方厘米)．【答案】8【例 9】如图，若图中的圆和半圆都两两相切，两个小圆和三个半圆的半径都是1．求阴影部分的面积．【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答【解析】由于直接求阴影部分面积太麻烦，所以考虑采用增加面积的方法来构造新图形．由右图可见，阴影部分面积等于16大圆面积减去一个小圆面积，再加上120︒的小扇形面积(即13小圆面积)，所以相当于16大圆面积减去23小圆面积．而大圆的半径为小圆的3倍，所以其面积为小圆的239=倍，那么阴影部分面积为21259π1π 2.5636⎛⎫⨯-⨯⨯== ⎪⎝⎭．【答案】2.5【例 10】如图所示，求阴影面积，图中是一个正六边形，面积为1040平方厘米，空白部分是6个半径为10厘米的小扇形．(圆周率取3.14)CA【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】所要求的阴影面积是用正六边形的面积减去六个小扇形面积、正六边形的面积已知，现在关键是小扇形面积如何求，有扇形面积公式2π360n R S =扇．可求得，需要知道半径和扇形弧的度数，由已知正六边形每边所对圆心角为60°，那么120AOC ∠=︒，又知四边形ABCO 是平行四边形，所以120ABC ∠=︒，这样就可求出扇形的面积和为21206π10628360⨯⨯⨯=(平方厘米)，阴影部分的面积1040628412=-=(平方厘米)．【答案】412【例 11】 (09年第十四届华杯赛初赛)如下图所示，AB 是半圆的直径，O 是圆心，AC CD DB ==，M 是CD 的中点，H 是弦CD 的中点．若N 是OB 上一点，半圆的面积等于12平方厘米，则图中阴影部分的面积是平方厘米．【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】填空【解析】如下图所示，连接OC、OD、OH．本题中由于C、D是半圆的两个三等分点，M是CD的中点，H是弦CD的中点，可见这个图形是对称的，由对称性可知CD与AB平行．由此可得CHN∆的面积与CHO∆的面积相等，所以阴影部分面积等于扇形COD面积的一半，而扇形COD的面积又等于半圆面积的13，所以阴影部分面积等于半圆面积的16，为11226⨯=平方厘米．【答案】2【巩固】如图，C、D是以AB为直径的半圆的三等分点，O是圆心，且半径为6．求图中阴影部分的面积．【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】如图，连接OC、OD、CD．由于C、D是半圆的三等分点，所以AOC∆和COD∆都是正三角形，那么CD与AO是平行的．所以ACD∆的面积与OCD∆的面积相等，那么阴影部分的面积等于扇形OCD的面积，为21π618.846⨯⨯=．【答案】18.84【例 12】如图，两个半径为1的半圆垂直相交，横放的半圆直径通过竖放半圆的圆心，求图中两块阴影部分的面积之差．(π取3)O【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答【解析】本题要求两块阴影部分的面积之差，可以先分别求出两块阴影部分的面积，再计算它们的差，但是这样较为繁琐．由于是要求面积之差，可以考虑先从面积较大的阴影中割去与面积较小的阴影相同的图形，再求剩余图形的面积．如右图所示，可知弓形BC 或CD 均与弓形AB 相同，所以不妨割去弓形BC ．剩下的图形中，容易看出来AB 与CD 是平行的，所以BCD ∆与ACD ∆的面积相等，所以剩余图形的面积与扇形ACD 的面积相等，而扇形ACD 的面积为260π10.5360⨯⨯=，所以图中两块阴影部分的面积之差为0.5．【答案】0.5【例 13】如图，两个正方形摆放在一起，其中大正方形边长为12，那么阴影部分面积是多少？(圆周率取3.14)AFEAFE【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】方法一：设小正方形的边长为a ，则三角形ABF 与梯形ABCD 的面积均为()122a a +⨯÷．阴影部分为：大正方形+梯形-三角形ABF -右上角不规则部分=大正方形-右上角不规则部分=14圆．因此阴影部分面积为：3.1412124113.04⨯⨯÷=．方法二：连接AC 、DF ，设AF 与CD 的交点为M ，由于四边形ACDF 是梯形，根据梯形蝴蝶定理有ADM CMF S S =△△，所以DCF S S =阴影扇形 3.1412124113.04=⨯⨯÷=【答案】113.04【巩固】如右图，两个正方形边长分别是10和6，求阴影部分的面积．(π取3)【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】 (法1)观察可知阴影部分面积等于三角形ACD 的面积减去月牙BCD 的面积，那么求出月牙BCD 的面积就成了解题的关键．月牙BCD 的面积为正方形BCDE 的面积减去四分之一圆：166π6694⨯-⨯⨯⨯=；则阴影部分的面积为三角形ACD 的面积减去月牙BCD 的面积，为：()110669392S =⨯+⨯-=阴影．(法2)观察可知AF 和BD 是平行的，于是连接AF 、BD 、DF ．则ABD ∆与BDF ∆面积相等，那么阴影部分面积等于BDF ∆与小弓形的面积之和，也就等于DEF ∆与扇形BED 的面积之和，为：211(106)6π63924-⨯⨯+⨯⨯=．【答案】39【例 14】如图，ABC 是等腰直角三角形，D 是半圆周的中点，BC 是半圆的直径．已知10AB BC ==，那么阴影部分的面积是多少？(圆周率取3.14)DD【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】连接PD 、AP 、BD ，如图，PD 平行于AB ，则在梯形ABDP 中，对角线交于M 点，那么ABD ∆与ABP ∆面积相等，则阴影部分的面积转化为ABP ∆与圆内的小弓形的面积和．ABP ∆的面积为：()10102225⨯÷÷=；弓形面积： 3.145545527.125⨯⨯÷-⨯÷=；阴影部分面积为：257.12532.125+=．【答案】32.125【例 15】图中给出了两个对齐摆放的正方形，并以小正方形中右上顶点为圆心，边长为半径作一个扇形，按图中所给长度阴影部分面积为；(π 3.14=)A【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】填空【解析】连接小正方形AC ,有图可见 ACD ABC S S S S =+-△△阴影扇形∵211144222AC ⨯=⨯⨯ ∴232AC =同理272CE =，∴48AC CE ⨯=∴148242ACD S =⨯=△290π412.56360S =⨯=扇形，14482ABC S =⨯⨯=△∴2412.56828.56S =+-=阴影【答案】28.56【例 16】如图，图形中的曲线是用半径长度的比为2:1.5:0.5的6条半圆曲线连成的．问：涂有阴影的部分的面积与未涂有阴影的部分的面积的比是多少？【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答【解析】假设最小圆的半径为r ，则三种半圆曲线的半径分别为4r ，3r 和r ．阴影部分的面积为：()()22222111π4π3ππ5π222r r r r r -++=，空白部分的面积为：()222π45π11πr r r -=，则阴影部分面积与空白部分面积的比为5:11．【答案】5:11【例 17】 (西城实验考题)奥运会的会徽是五环图，一个五环图是由内圆直径为6厘米，外圆直径为8厘米的五个环组成，其中两两相交的小曲边四边形(阴影部分)的面积都相等，已知五个圆环盖住的面积是77.1平方厘米，求每个小曲边四边形的面积．(π 3.14=)【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答【解析】 ⑴每个圆环的面积为：22π4π37π21.98⨯-⨯==(平方厘米)； ⑵五个圆环的面积和为：21.985109.9⨯=(平方厘米)； ⑶八个阴影的面积为：109.977.132.8-=(平方厘米)； ⑷每个阴影的面积为：32.88 4.1÷=(平方厘米)．【答案】4.1【例 18】已知正方形ABCD 的边长为10厘米，过它的四个顶点作一个大圆，过它的各边中点作一个小圆，再将对边中点用直线连擎起来得右图．那么，图中阴影部分的总面积等于______方厘米．(π 3.14=)【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】填空【解析】 39.25 【答案】39.25【例 19】如图，ABCD 是边长为a 的正方形，以AB 、BC 、CD 、DA 分别为直径画半圆，求这四个半圆弧所围成的阴影部分的面积．(π取3)DCBAaDCBAa【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】这道题目是很常见的面积计算问题．阴影部分是一个花瓣状的不规则图形，不能直接通过面积公式求解，观察发现阴影部分是一个对称图形，我们只需要在阴影部分的对称轴上作两条辅助线就明了了．如图，这样阴影部分就划分成了4个半圆减去三角形，我们可以求得，()4S S S =⨯-阴影半圆三角形21142222a a a π⎡⎤⎛⎫=⨯⨯⨯-⨯⨯⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦212a =【答案】12a【巩固】如图，正方形ABCD 的边长为4厘米，分别以B 、D 为圆心以4厘米为半径在正方形内画圆．求阴影部分面积．(π取3) D BA DB【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】由题可知，图中阴影部分是两个扇形重叠的部分，我们可以利用容斥原理从图形整体上考虑来求阴影部分面积；同样，我们也可以通过作辅助线直接求阴影部分的面积．解法一：把两个扇形放在一起得到1个正方形的同时还重叠了一块阴影部分．则阴影部分的面积为=21π44482⋅⋅-⨯=；解法二：连接AC ，我们发现阴影部分面积的一半就是扇形减去三角形的面积，所以阴影部分面积=212π444284⨯⋅⋅-⨯÷=（）．【答案】8【例 20】 (四中考题)已知三角形ABC 是直角三角形，4cm AC =，2cm BC =，求阴影部分的面积．【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答【解析】从图中可以看出，阴影部分的面积等于两个半圆的面积和与直角三角形ABC 的面积之差，所以阴影部分的面积为：2214121ππ42 2.5π4 3.8522222⎛⎫⎛⎫⨯+⨯-⨯⨯=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2cm )．【答案】3.85【例 21】（奥林匹克决赛试题）在桌面上放置3个两两重叠、形状相同的圆形纸片.它们的面积都是100平方厘米，盖住桌面的总面积是144平方厘米，3张纸片共同重叠的面积是42平方厘米.那么图中3个阴影部分的面积的和是平方厘米.【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】填空【解析】根据容斥原理得1003242144S ⨯--⨯=阴影，所以100314424272S =⨯--⨯=阴影（平方厘米）【答案】72【例 22】如图所示，ABCD 是一边长为4cm 的正方形，E 是AD 的中点，而F 是BC 的中点．以C 为圆心、半径为4cm 的四分之一圆的圆弧交EF 于G ，以F 为圆心、半径为2cm 的四分之一圆的圆弧交EF 于H 点，若图中1S 和2S 两块面积之差为2π(cm )m n -(其中m 、n 为正整数)，请问m n +之值为何？S 2S 1G HFE DC B AS图1S 2S 1G HF E DC B A【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【关键词】国际小学数学竞赛【解析】 (法1)2248cm FCDE S =⨯=，21π44π4BCD S =⨯⨯=扇形2(cm )，21π2π4BFH S =⨯⨯=扇形2(cm )，而124ππ8FCDE BCD BFH S S S S S -=--=--扇形扇形3π8=-2(cm )，所以3m =，8n =，3811m n +=+=．(法2)如右上图，1S S +=BFEA BFH S S -=扇形2422π48π⨯-⨯⨯÷=-2(cm )， 24444π4164πABCD BCD S S S S +=-=⨯-⨯⨯÷=-扇形2(cm )，所以，12(8π)(164π)3π8S S -=---=-2(cm )，故3811m n +=+=．【答案】11【巩固】在图中，两个四分之一圆弧的半径分别是2和4，求两个阴影部分的面积差．(圆周率取3.14)【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】我们只要看清楚阴影部分如何构成则不难求解．左边的阴影是大扇形减去小扇形，再扣除一个长方形中的不规则白色部分，而右边的阴影是长方形扣除这块不规则白色部分，那么它们的差应为大扇形减去小扇形，再减去长方形．则为：ππ4422423 3.148 1.4244⨯⨯-⨯⨯-⨯=⨯-=．【答案】1.42【例 23】如图，矩形ABCD 中，AB =6厘米，BC =4厘米，扇形ABE 半径AE =6厘米，扇形CBF 的半径CB =4厘米，求阴影部分的面积．(π取3)CB A【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】方法一：观察发现，阴影部分属于一个大的扇形，而这个扇形除了阴影部分之外，还有一个不规则的空白部分ABFD 在左上，求出这个不规则部分的面积就成了解决这个问题的关键．我们先确定ABFD 的面积，因为不规则部分ABFD 与扇形BCF 共同构成长方形ABCD ，所以不规则部分ABFD 的面积为2164π4124⨯-⨯⨯=(平方厘米)，再从扇形ABE 中考虑，让扇形ABE 减去ABFD 的面积，则有阴影部分面积为21π612154⨯⨯-=(平方厘米)．方法二：利用容斥原理2211π6π4461544EAB BCF ABCD S S S S =+-=⨯+⨯-⨯=阴影扇形扇形长方形(平方厘米)【答案】15【巩固】求图中阴影部分的面积．【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】阴影部分面积=半圆面积+扇形面积-三角形面积22211211π()π121241.042282=⨯+⨯-⨯=．【答案】41.04【巩固】如右图，正方形的边长为5厘米，则图中阴影部分的面积是平方厘米，(π 3.14=)【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】填空【解析】观察可知阴影部分是被以AD 为半径的扇形、以AB 为直径的半圆形和对角线BD 分割出来的，分头求各小块阴影部分面积明显不是很方便，我们发现如果能求出左下边空白部分的面积，就很容易求出阴影部分的面积了，我们再观察可以发现左下边空白部分的面积就等于三角形ABD 的面积减去扇形ADE 的面积，那么我们的思路就很清楚了．因为45ADB ∠=︒，所以扇形ADE 的面积为：224545π 3.1459.8125360360AD ⨯⨯=⨯⨯=(平方厘米)，那么左下边空白的面积为：1559.8125 2.68752⨯⨯-=(平方厘米)，又因为半圆面积为：215π9.812522⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭(平方厘米)，所以阴影部分面积为：9.8125 2.68757.125-=(平方厘米)．【答案】7.125【例 24】如图所示，阴影部分的面积为多少？(圆周率取3)33B A33A1.51.51.545︒45︒B33【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答【解析】图中A 、B 两部分的面积分别等于右边两幅图中的A 、B 的面积．所以()()229271.5π 1.5343π3328498416A B S S +=-⨯÷+-⨯⨯÷=÷+÷=．【答案】2716【巩固】图中阴影部分的面积是．(π取3.14)333【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】填空【解析】如右上图，虚线将阴影部分分成两部分，分别计算这两部分的面积，再相加即可得到阴影部分的面积．所分成的弓形的面积为：22131199π3π2242168⎡⎤⎛⎫⨯-⨯⨯=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦；另一部分的面积为：221199π33π8484⨯-⨯=-；所以阴影部分面积为：99992727πππ 1.92375 1.9216884168-+-==-=≈．【答案】1.92【例 25】已知右图中正方形的边长为20厘米，中间的三段圆弧分别以1O 、2O 、3O 为圆心，求阴影部分的面积．(π3=)OO 3B【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答【解析】图中两块阴影部分的面积相等，可以先求出其中一块的面积．而这一块的面积，等于大正方形的面积减去一个90︒扇形的面积，再减去角上的小空白部分的面积，为：()()()2142020π202020100π4754S S S S ⎡⎤---÷=⨯-⨯-⨯-÷=⎡⎤⎣⎦⎣⎦圆正方形正方形扇形(平方厘米)，所以阴影部分的面积为752150⨯=(平方厘米)．【答案】150【例 26】一个长方形的长为9，宽为6，一个半径为l 的圆在这个长方形内任意运动，在长方形内这圆无法运动到的部分，面积的和是_____．(π取3)【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】填空【解析】方法一：圆在长方形内部无法运动到的地方就是长方形的四个角，而圆在角处运动时的情况如左下图，圆无法运动到的部分是图中阴影部分，那么我们可以先求出阴影部分面积，四个角的情况都相似，我们就可以求出总的面积是阴影部分面积的四倍．阴影部分面积是小正方形面积减去扇形面积，所以我们可以得到：每个角阴影部分面积为290111π13604⨯-⨯⨯=；那么圆无法运动到的部分面积为 1414⨯=方法二：如果把四个角拼起来，则阴影如右上图所示，则阴影面积为222311⨯-⨯=【答案】1【例 27】已知半圆所在的圆的面积为62.8平方厘米，求阴影部分的面积．(π 3.14=)B【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】由于阴影部分是一个不规则图形，所以要设法把它转化成规则图形来计算．从图中可以看出，阴影部分的面积是一个45°的扇形与一个等腰直角三角形的面积差．由于半圆的面积为62.8平方厘米，所以262.8 3.1420OA =÷=．因此：22210AOB S OA OB OA =⨯÷=÷=△(平方厘米)．由于AOB ∆是等腰直角三角形，所以220240AB =⨯=．因此：扇形ABC 的面积24545ππ4015.7360360AB =⨯⨯=⨯⨯=(平方厘米)．所以，阴影部分的面积等于：15.710 5.7-=(平方厘米)．【答案】5.7【例 28】如图，等腰直角三角形ABC 的腰为10；以A 为圆心，EF 为圆弧，组成扇形AEF ；两个阴影部分的面积相等．求扇形所在的圆面积．【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答【解析】题目已经明确告诉我们ABC 是等腰直角三角形，AEF 是扇形，所以看似没有关系的两个阴影部分通过空白部分联系起来．等腰直角三角形的角A 为45度，则扇形所在圆的面积为扇形面积的8倍．而扇形面积与等腰直角三角形面积相等，即11010502S =⨯⨯=扇形，则圆的面积为508400⨯= 【答案】400【例 29】如图，直角三角形ABC 中，AB 是圆的直径，且20AB =，阴影甲的面积比阴影乙的面积大7，求BC 长．(π 3.14=)乙甲CBA【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】因为两块阴影部分都是不规则图形，单独对待它们无法运用面积公式进行处理，而解题的关键就是如何把它们联系起来，我们发现把两块阴影加上中间的一块，则变成1个半圆和1个直角三角形，这个时候我们就可以利用面积公式来求解了．因为阴影甲比阴影乙面积大7，也就是半圆面积比直角三角形面积大7．半圆面积为：21π101572⨯⨯=，则直角三角形的面积为157-7=150，可得BC =2⨯150÷20=15．【答案】15【巩固】三角形ABC 是直角三角形，阴影I 的面积比阴影II 的面积小225cm ，8cm AB =，求BC 的长度．I IAB C I【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】由于阴影I 的面积比阴影II 的面积小225cm ，根据差不变原理，直角三角形ABC面积减去半圆面积为225cm ，则直角三角形ABC 面积为218π258π2522⎛⎫⨯+=+ ⎪⎝⎭(2cm )， BC 的长度为()8π25282π 6.2512.53+⨯÷=+=(cm )．【答案】12.53【巩固】如图，三角形ABC 是直角三角形，阴影部分①比阴影部分②的面积小28平方厘米，AB 长40厘米．求BC 的长度？(π取3.14)【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】图中半圆的直径为AB ，所以其面积为2120π200 3.146282⨯⨯≈⨯=．有空白部分③与①的面积和为628，又②-①28=，所以②、③部分的面积和62828656+=．有直角三角形ABC 的面积为12AB BC ⨯⨯=1406562BC ⨯⨯=．所以32.8BC =厘米．【答案】32.8【例 30】图中的长方形的长与宽的比为8:3，求阴影部分的面积．【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【关键词】十三分，入学测试题【解析】如下图，设半圆的圆心为O ，连接OC ．从图中可以看出，20OC =，20416OB =-=，根据勾股定理可得12BC =．阴影部分面积等于半圆的面积减去长方形的面积，为：21π20(162)12200π3842442⨯⨯-⨯⨯=-=．【答案】244【例 31】如图，求阴影部分的面积．(π取3)【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答【解析】如图，图中阴影部分为月牙儿状，月牙儿形状与扇形和弓形都不相同，目前我们还不能直接求出它们的面积，那么我们应该怎么来解决呢？首先，我们分析下月牙儿状是怎么产生的，观察发现月牙儿形是两条圆弧所夹部分，再分析可以知道，两条圆弧分别是不同圆的圆周的一部分，那么我们就找到了解决问题的方法了．阴影部分面积=12小圆面积+12中圆面积+三角形面积-12大圆面积=2221111π3π434π52222⋅⋅+⋅⋅+⨯⨯-⋅⋅ =6【答案】6【例 32】如图，直角三角形的三条边长度为6,8,10，它的内部放了一个半圆，图中阴影部分的面积为多少？68【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答【解析】S S S=-阴影直角三角形半圆，设半圆半径为r，直角三角形面积用r表示为：6108 22r rr ⨯⨯+=又因为三角形直角边都已知，所以它的面积为168242⨯⨯=，所以824r=，3r=所以1249π=24 4.5π2S=-⨯-阴影【答案】24 4.5π-【例 33】大圆半径为R，小圆半径为r，两个同心圆构成一个环形．以圆心O为顶点，半径R为边长作一个正方形：再以O为顶点，以r为边长作一个小正方形．图中阴影部分的面积为50平方厘米，求环形面积．(圆周率取3.14)【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【关键词】华校第一学期，期中测试，第6题【解析】环形的面积应该用大圆的面积减去小圆的面积，但分别求出两个圆的面积显然不可能．题中已知阴影部分的面积，也就是2250R r-=平方厘米，那么环形的面积为：2222πππ()π50=157R r R r-=-=⨯(平方厘米)．【答案】157【巩固】图中阴影部分的面积是225cm，求圆环的面积．【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】设大圆半径为R ，小圆半径为r ，依题有222522R r -=，即2250R r -=．则圆环面积为：22222πππ()50π157(cm )R r R r -=-==．【答案】157【例 34】已知图中正方形的面积是20平方厘米，则图中里外两个圆的面积之和是．(π取3.14)【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】填空【关键词】101中学，考题【解析】设图中大圆的半径为r ，正方形的边长为a ，则小圆的直径等于正方形的边长，所以小圆的半径为2a，大圆的直径2r 等于正方形的对角线长，即222(2)r a a =+，得222ar =．所以，大圆的面积与正方形的面积之比为：22π:π:2r a =，所以大圆面积为：202π10π÷⨯=；小圆的面积与正方形的面积之比为：22π():π:42aa =，所以小圆的面积为：204π5π÷⨯=；两个圆的面积之和为：10π5π15π15 3.1447.1+==⨯=(平方厘米)．【答案】47.1【巩固】图中小圆的面积是30平方厘米，则大圆的面积是平方厘米．(π取3.14)【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】填空【解析】设图中大圆的半径为r ，正方形的边长为a ，则小圆的直径等于正方形的边长，所以小圆的半径为2a，大圆的直径2r 等于正方形的对角线长，即222(2)r a a =+，得222a r =．所以，大圆的面积与小圆的面积之比为：222222π:π()::2:12424a a a a r r ===，即大圆的面积是小圆面积的2倍，大圆的面积为30260⨯=(平方厘米)．【答案】60【巩固】(2008年四中考题)图中大正方形边长为a ，小正方形的面积是．【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】填空【解析】设图中小正方形的边长为b ，由于圆的直径等于大正方形的边长，所以圆的直径为a ，而从图中可以看出，圆的直径等于小正方形的对角线长，所以22222a b b b =+=，故2212b a =，即小正方形的面积为212a ．【答案】212a【巩固】一些正方形内接于一些同心圆，如图所示．已知最小圆的半径为1cm ，请问阴影部分的面积为多少平方厘米？(取22π7=)【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【关键词】台湾小学数学竞赛选拔，复赛【解析】我们将阴影部分的面积分为内圈、中圈、外圈三部分来计算．内圈等于内圆面积减去内部正方形的面积，也就是2π1222π2⨯-⨯÷=-．内圆的直径为中部正方形的边长，即为2，中部正方形的对角线等于中圆的直径，于是中圈阴影部分面积是22π(22)4222π4⨯+÷-⨯=-．中圆的直径的平方即为外部正方形的面积，即为22228+=，外部正方形的对角线的平方即为外圆的直径的平方，即为8216⨯=，所以外圈阴影部分的面积是π16484π8⨯÷-=-．所以阴影部分的面积是227π1471487-=⨯-=(平方厘米)．【答案】8【例 35】图中大正方形边长为6，将其每条边进行三等分，连出四条虚线，再将虚线的中点连出一个正方形(如图)，在这个正方形中画出一个最大的圆，则圆的面积是多少？(π 3.14=)。

全国通用六年级下册数学奥数：几何之圆与扇形(解析版)

第二讲几何之圆与扇形教学目标组合图形的面积计算，除了直线型面积计算“五大模型”，跟圆有关的曲线型面积也是得别重要的组成部分。

其中，尤以结合情境的曲线形面积计算为最常见考点。

教师版答案提示：纸的厚度为：(206)27-÷=（厘米），那么有70.04175÷=圈纸，中心的卷轴到纸用完时大约会转175圈；圆环的面积为：2210391ππ⨯（-）=，因为纸的厚度为0.4毫米，即0.04厘米，所以纸展开后的长度约为：910.0422757143.5ππ÷=≈厘米.利用“加、减”思想解答问题想挑战吗？卷筒软纸中的数学右图为一圈“心相印”圈纸的截面图，纸卷直径为20厘米，中间有一直径为6厘米的卷轴，若纸的厚度为0.4毫米，问：中心的卷轴到纸用完时大约会转多少圈？这卷纸展开后大约有多长？（π取3.14）【例1】如图，一个“月牙”形屏幕在屏幕上随意平行移动（不许发生转动也不越过屏幕边界），已知线段AB 是月牙外半圆弧的直径，长为2厘米。

初始时，A 、B 两点在矩形屏幕的一条边上。

屏幕的长和宽分别为30厘米和20厘米。

问：屏幕上“月牙”擦不到的部分的面积是多少平方厘米？（π取3）分析：由于“月牙”形屏幕在屏幕上只能平行移动（不许发生转动也不越过屏幕边界），所以它擦不到的地方只是屏幕的右上角和右下角两部分，如右下图中斜线所示区域，其面积为0.5平方厘米。

［前铺］如右图所示，等腰直角三角形ABC 的高AD=4厘米，以AD 为直径作圆分别交AB 、AC 与E 、F ，求阴影部分的面积。

（π取3）分析：连接EF ，那么有BED ABD EOD S S S =-阴影三角形扇形，计算可得阴影部分面积为6平方厘米。

［巩固］一个长方形的长为9，宽为6，一个半径为l 的圆在这个长方形内任意运动，在长方形内这圆无法运动到的部分，面积的和是多少？(π取3)分析：圆无法运动到的部分是右下图中角处的阴影部分面积的4倍，114111π⨯⨯-⨯⨯=［拓展］如右图所示，用一块面积为36平方厘米铝板下料，可裁出七个同样大小的圆铝板。

小学奥数圆与扇形(一) 精选练习例题含答案解析(附知识点拨及考点)

求月牙形ADBEA （阴影部分）的面积。

例题精讲圆与扇形D【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【关键词】华杯赛，决赛，第9题，10分【解析】 ①月牙形ADBEA (阴影部分)的面积＝半圆的面积+△ABC 的面积－扇形CAEBC 的面积②月牙形ADBEA 的面积＝211π525π502524⨯⨯+-⨯⨯=（平方厘米）,所以月牙形ADBEA 的面积是25平方厘米。

数学圆扇形圆环试题答案及解析

数学圆扇形圆环试题答案及解析1.直径是圆内最长的一条（）A.线段B.直线C.射线【答案】A【解析】根据直线、线段、射线的意义：直线没有端点，可以向两方无限延长；线段有两个端点，射线只有一个端点，可以向一方无限延长．据此解答．解：直径是圆内最长的一条线段．故选：A．点评：此题考查的目的是理解掌握直线、线段、射线的意义，及它们之间的联系与区别．2.在下面关于π的叙述中，错误的是（）①π是一个无限小数②π=3.14③π＞④π是圆周长与它半径的比值⑤π＜31.42%A．②④⑤B．①②④C．①③D．②④【答案】D【解析】（1）无限不循环小数是指小数点后有无限个数位，但没有周期性的重复，圆周率π=3.1415926…，就是无限不循环小数，因为它的小数点后面没有出现循环的数字，并且它的数位是无限的．（2）据圆周率的意义可知，圆周率大于3.14，是无限不循环小数．（3）因为=3.14，所以π＞．（4）π是圆周长与它直径的比值．（5）因为π在3.1415926和3.1415926之间，所以π＜31.42%．解：据分析可知：①π是一个无限小数，是正确的；②π=3.14，是错误的；③π＞，是正确的；④π是圆周长与它半径的比值，是错误的；⑤π＜31.42%，是正确的；故选：D．点评：此题主要考查对圆周率的认识与判定．3.下面几种说法中正确的是（）A.圆周率表示圆的周长B.圆周率表示圆的周长与它直径的比的比值C.圆周率表示π保留两位小数的近似值【答案】B【解析】根据圆周率的含义：圆的周长和它的直径的比值，叫做圆周率，用π表示，π取近似值3.14；根据题意，对各题进行依次分析、进而得出结论．解：根据圆周率的含义可知：A、圆周率表示圆的周长，说法错误；B、圆周率表示圆的周长与它直径的比的比值，说法正确；C、圆周率表示π保留两位小数的近似值，说法错误；故选：B．点评：此题考查的是圆周率的意义，应注意基础知识的积累．4.下面错误的是（）A.通过一个圆的圆心的线段，一定是这个圆的直径B.圆的半径扩大3倍，它的面积扩大9倍C.2πr和πr2所表示的意思相同【答案】A C【解析】从定义上看，A不对；从表示意义上讲C不对；圆的面积等于圆周率乘半径再乘半径，B对．解：只有通过圆心，两端都在圆上的线段才为直径；2πr表示2×π×r，πr2表示π×r×r；故选：A，C．点评：此题考查对圆的直径、半径、面积的意义和关系．5.下列说法正确的是（）A.任何数都有倒数B.π的大小与圆的大小无关C.半径的长等于直径的一半【答案】B【解析】根据题意，对各题进行依次分析、进而得出结论．解：A、任何数都有倒数，说法错误，0就没有倒数；B、π的大小与圆的大小无关，说法正确，因为圆周率π是圆的周长和它直径的比值，它不随圆的周长和直径的改变而改变；C、半径的长等于直径的一半，说法错误，前提是必须是在“同圆或等圆中”；故选：B．点评：此题涉及的知识点较多，但都比较简单，属于基础题，只要认真，容易完成，注意平时基础知识的积累．6.圆的大小与圆的（）无关．A．半径B．直径C．周长D．圆心【答案】D【解析】因为圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小，圆的直径大，半径就大，圆的面积就大；同理圆的周长大，圆的半径就大，则圆的面积就大；所以圆的大小和圆的半径、直径和周长有关，和圆心无关；据此解答．解：半径决定圆的大小，圆心决定圆的位置，在A，B，C三个答案中都与半径r的大小有关，选项D，圆心的位置只能确定圆的位置，与圆的面积无关，故选：D．点评：解答此题应明确：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．7.（2010•泸县模拟）圆周率π（）3.14．A.大于B.等于C.小于【答案】A【解析】圆周率π是个固定的值，它是无限不循环小数，3.14是我们取的近似值．解：因为π=3.1415926…，所以π大于3.14；故选：A．点评：此题考查圆周率．8.画一个长4厘米、宽3厘米的长方形，并在里面画面积最大的圆．【答案】如图【解析】在长方形中最大的圆是以宽为直径的圆，依据圆的画法就能画出符合要求的圆，由此即可解决问题．解：以这个长方形的对角线的交点为圆心，以3÷2=1.5厘米为半径，画圆如下：．点评：解答此题的关键是明白：在长方形中最大的圆是以宽为直径的圆．9.填表．【答案】如图【解析】根据圆的公式C=2πr和C=πd以及在同一圆内直径为半径的2倍，据此解答后再填表即可得到答案．解：半径为1.5厘米，直径：1.5×2=3（厘米），周长：3.14×2×1.5=9.42（厘米）；直径为4分米，半径：4÷2=2（分米），周长：3.14×4=12.56（分米）；周长为15.7厘米，直径：15.7÷3.14=5（厘米）；半径：5÷2=2.5（厘米）；直径3.6厘米，半径：3.6÷2=1.8（厘米），周长：3.14×3.6=11.304（厘米）；半径为100厘（，直径：100×2=200（厘米），周长：3.14×2×100=628（厘米）；周长为78.5米，直径：78.5÷3.14=25（米），半径：25÷2=12.5（米）；填表．半径r 1.5厘米 2分米 2.5厘米 1.8厘米 100厘米 12.5米直径d 3厘米 4分米 5厘米 3.6厘米 200厘米 25米周长C 9.42厘米 12.56分米 15.7厘米 11.304厘米 628厘米 78.5米点评：此题主要考查的是圆的周长公式、在同一圆内半径和直径的关系这两个知识点．10.画一个直径是3厘米的半圆形，并画出它的对称轴．【答案】如图【解析】先画一条3厘米的线段，再以这条线段的中点为圆心，以这条线段长度的一半为半径，即可画出符合要求的半圆；依据轴对称图形的意义，即在平面内，如果一个图形沿一条直线对折，对折后的两部分都能完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线就是其对称轴，据此即可画出这个半圆的对称轴．解：依据分析，画图如下：点评：本题考查了圆及对称轴的画法．确定好圆心和半径，就能画出半圆，再据轴对称图形的意义，就能画出这个半圆的对称轴．11.画一画，想一想．（1）以点O为圆心画一个半径是1.5厘米的圆．（2）分别以A、B两点为圆心，以A、B两点间的距离为半径，画两个圆．【答案】如图【解析】（1）紧扣圆的画法，即确定好圆心的位置和半径的长度，用圆规即可解决问题．（2）依据圆的基本画法，分别以A、B两点为圆心，以A、B两点间的距离为半径，即可画出符合要求的圆．解：（1）根据题意，以O为圆心，以1.5厘米为半径，画圆如图所示：（2）分别以A、B两点为圆心，以A、B两点间的距离为半径画圆如下：点评：此题考查了圆的画法．抓住圆的两大要素：圆心和半径，即可解决此类问题．12.在边长为2cm的正方形内画一个最大的圆．怎样确定它的圆心和半径？【答案】如图【解析】正方形内最大圆的直径是这个正方形的边长，圆心就是这个正方形的中心，由此可以画图．解：以正方形的对角线的交点为圆心，以正方形的边长的一半（2÷2=1厘米）为半径，画圆如下：点评：此题考查了圆的画法的灵活应用，抓住正方形内最大圆的特点，是解决本题的关键．13.画一个半径1cm的圆，并用字母O、r、d标出它的圆心、半径和直径．【答案】如图【解析】根据“直径=半径×2”，代入数字，求出直径；圆心用字母“o”表示；半径用字母“r”表示；直径用字母“d”表示．解：直径=1×2=2（厘米）；作图如下：点评：此类题只要先根据圆中直径和半径的关系，求出直径，然后根据半径即可画出圆．14.连线．【答案】如图【解析】根据直径和半径的含义：通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫做直径；连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径；由此可知：在同一个圆内，直径的长度都是半径长度的2倍，半径的长度是直径的一半；据此连线．解：根据分析连线如下：点评：此题主要考查在同一个圆中半径与直径的关系．15.画图：（1）请你用圆规画出一个圆；用O标注它的圆心；（2）请画出这个圆的半径；并标注出半径r，（3）请画出这个圆的直径，用d标注．【答案】如图【解析】由题意知，用圆规画一个任意大小的圆，可先确定圆心，然后再依据画圆的方法画一个圆，并用字母标出它的圆心O、半径r和直径d即可．解：如图所示：点评：此题主要考查的是用圆规画圆的方法．16.以上面右边的A点为圆心，画一个直径2厘米的圆．【答案】如图【解析】利用圆规按照画圆的步骤画出即可．解：①把圆规有针尖的一只脚固定在A点上作为圆心；②把圆规的两脚分开，定好两脚之间的距离为1（2÷2=1）厘米作为半径；③让装有铅笔的一只脚旋转一周．这样直径2厘米的圆就画好了．点评：此题考查用圆规画出指定的圆．17.在下面的正方形里面画一个最大的圆，用字母标明圆心、半径、直径，并完成有关的计算．（1）求出所画圆的周长和面积．（2）剪去最大的圆，剩下部分的面积是多少？【答案】周长是12.56厘米，面积是12.56平方厘米，剩余面积是3.44平方厘米【解析】由题意可知：所画圆的直径应等于正方形的边长，从而可以画出符合要求的圆；根据圆的周长公式和面积公式计算出圆的周长和面积即可；可用正方形的面积减去圆的面积即是剩余的面积．解：作图如下：（1）圆的周长：3.14×4=12.56（厘米），圆的面积：3.14×（4÷2）2=12.56（平方厘米）；答：圆的周长是12.56厘米，面积是12.56平方厘米；（2）4×4﹣12.56=16﹣12.56，=3.44（平方厘米），答：剩余面积是3.44平方厘米．点评：解答此题的关键是明白：所画圆的直径应等于正方形的边长．18.以O为圆心，以OB为半径画一个圆．【答案】如图【解析】紧扣圆的画法步骤，先固定圆规有针的一脚在o点，两个脚之间的距离等于OB的长度，另一个脚旋转一周，画圆即可解决问题．解：由分析作图如下：．点评：此题考查了圆的画法．抓住圆的两大要素：圆心和半径．即可解决此类问题．19.（1）画一个长6厘米，宽3厘米的长方形．（2）在长方形内画一个最大的半圆，并求出半圆的周长和面积．（3）画出半圆的对称轴．【答案】如图，15.42厘米，14.13平方厘米【解析】（1）先画两条垂线，以垂足为端点，分别截取6厘米和3厘米线段作为长和宽，再过这两个端点作已知长和宽的平行线，即可画出长是6厘米，宽是3厘米的长方形．（2）在长方形内画一个最大的半圆，这个半圆的直径等于长方形的长6厘米；再分别求出半圆的周长和面积．（3）这个半圆有一条对称轴，对称轴垂直于这个半圆的直径且过圆心．解：（1）画图如下：（2）3.14×6÷2+6=18.84÷2+6=9.42+6=15.42（厘米）；3.14×32÷2=3.14×9÷2=14.13（平方厘米）；（3）画图如下：故答案为：，15.42厘米，14.13平方厘米．点评：本题考查的知识点有：根据指定长宽画长方形、根据指定直径（或半径）画半圆、画轴对称图形的对称轴等．注意半圆的周长等于半圆的弧长加直径．20.按要求做一做．①在右面的长方形中画一个最大的半圆．②画出这个组合图形的对称轴．③计算这个半圆的周长．【答案】如图，周长是10.28厘米【解析】（1）根据长方形的边长特点可得，这个最大的半圆的半径为2厘米，那么它的直径为4厘米，要使它与已知的长方形组合成的组合图形是轴对称图形，那么半圆的圆心应该在长方形的长边的中点上，由此即可画出这个以长边的中点为圆心，以2厘米长为半径的半圆；（2）过圆心O做平行宽边的直线即为这个组合图形的对称轴，（3）利用半圆的周长=圆的周长的一半+直径的长度，代入数据即可解决问题．解：（1）（2）根据题干分析可得：圆心是长边的中点，半径长度2厘米，由此即可画出这个半圆如下图所示：（3）3.14×4÷2+4，=6.28+4，=10.28（厘米），答：这个半圆的周长是10.28厘米．点评：（1）此题考查了画圆的两大要素为：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，根据长方形内最大半圆的特点及轴对称图形的性质即可得出半圆的圆心与半径；（2）此题也考查了利用圆的周长公式计算半圆的周长的方法，这里要注意不要忘记加直径的长度．21.画一个r=3cm的圆．【答案】如图【解析】由题意可知：可以以任意一点为圆心，3厘米为半径即可画出符合要求的圆．解：如图所示，即为所要求画的圆：．点评：此题主要考查圆的基本画法，确定好圆心的位置和半径的长度，即可画出符合要求的圆．22.在长方形内画一个最大的圆，并标出圆心和半径（保留作图痕迹）【答案】如图【解析】长方形内最大的圆的直径等于这个长方形的最短边长，由此以长方形的中心为圆心，以长方形的宽的一半为半径即可画圆．解：根据题干分析，画图如下：点评：此题考查了长方形内最大的圆的画法．23.画一个d=8cm的圆．【答案】如图【解析】先定出圆心，再以（8÷2）厘米为半径，即可画出符合要求的圆．解：圆的半径：8÷2=4（厘米），如图所示，即为所要求画的圆：点评：此题主要考查圆的基本画法，关键是要明白：圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小．24.画一个周长是9.42cm的圆，并求在这个圆外画出的最小正方形的周长．【答案】如图，周长是12厘米【解析】利用周长公式可得：圆的半径=周长÷π÷2，由此代入数据计算即可求出圆的半径，从而画出符合要求的圆；再以圆的直径为边长画一个正方形，根据正方形的周长公式C=4a求出它的周长．解：9.42÷3.14÷2=1.5（厘米），以任意一点O为圆心，以1.5厘米长的线段为半径，画图如下：正方形的周长：1.5×2×4=12（厘米），答：最小正方形的周长是12厘米．点评：此题考查了圆的画法，抓住圆的两大要素：圆心和半径即可画圆．25.先画一个长为3厘米，宽为2厘米的长方形，然后在长方形内画一个最大的圆．如果剪去这个圆，剩下部分的面积是多少？【答案】如图，剩下部分的面积是2.86平方厘米【解析】根据长方形的特征，长方形的四个角都是直角，长方形的对边平行且相等，用三角板即可画出这个长为3厘米，宽为2厘米的长方形；在这个长方形内画一个直径是长方形宽（即2厘米）的圆，就是一个最大的圆；算出长方形的面积，再算出圆的面积，二者相减就是剩下部分的面积．解：根据分析画图如下：3×2﹣3.14×（）2=3×2﹣3.14×1=6﹣3.14=2.86（平方厘米）答：剩下部分的面积是2.86平方厘米；故答案为：，2.86平方厘米．点评：本题是考查指定条件画长方形及计算长方形的面积及圆的面积等，只有所画的圆的直径和长方形的宽相等时，画出的圆最大．26.（1）在正方形中画一个最大的圆．（2）如果把画好的圆剪下来，剩下部分的面积是多少平方厘米？（π取3.14）【答案】如图，剩下部分的面积是3.44平方厘米．【解析】正方形内最大的圆，直径等于正方形的边长，由此即可解决问题；剩下部分的面积=正方形的面积﹣圆的面积，代入数据即可求解．解：如图所示，以正方形的对角线的交点O为圆心，以正方形的边长的一半4÷2=2厘米为半径，即可画出符合要求的圆：剩下部分的面积为：4×4﹣3.14×（4÷2）2，=16﹣12.56，=3.44（平方厘米）；答：剩下部分的面积是3.44平方厘米．点评：抓住最大圆的直径与正方形的边长相等解决问题．27.为迎接新年，六、1班打算用五色小圆片布置教室．李兰有一张长5厘米，宽3厘米的长方形蜡光纸，你能帮她用圆规在长方形内画一个面积最大的圆吗？试一试．并计算这个圆的周长和剩下的面积．【答案】如图，周长是9.42厘米，剩下得面积是7.935平方厘米【解析】（1）由题意可知：这个最大圆的直径应该等于长方形的宽，长方形的宽已知，于是可以画出这个圆．（2）因为圆的直径等于长方形的宽，利用圆的周长C=πd，即可求出这个圆的周长，又因剩下的面积=长方形的面积﹣圆的面积，分别利用圆的面积S=πr2，长方形的面积S=ab，即可求出剩下的面积．解：（1）如图所示，以长方形内一点为圆心，3÷2=1.5（厘米）为半径，即可画出符合要求的圆．（2）圆的周长：3.14×3=9.42（厘米）；剩下的面积：5×3﹣3.14×1.52，=15﹣3.14×2.25，=15﹣7.065，=7.935（平方厘米）；答：这个圆的周长是9.42厘米，剩下得面积是7.935平方厘米．点评：（1）确定好圆心的位置和半径的长度，即可画出符合要求的圆．（2）此题主要考查圆的周长和长方形以及圆的面积的计算方法．28.想一想，画一画．边长为8cm的正方形，里面是一个圆（如图）．求圆的面积。

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现在以C 点为圆点，顺时针旋转90度，那么，AB 边在旋转时所扫过的面积是平方米。

（π=3.14）【考点】曲线型旋转问题【难度】3星【题型】解答【解析】边扫过的面积为左下图阴影部分，可分为右下图所示的两部分。

因为2221r r+=，所以212r=。

所求面积为()222211111110.6775424428rππππ⎛⎫-+--+=⎪⎝⎭⨯⨯⨯=（平方米）【答案】0.6775【例6】如图30-14，将长方形ABCD绕顶点C顺时针旋转90度，若AB=4，BC=3，AC=5，求AD边扫过部分的面积．(π取3.14)DCBA【考点】曲线型旋转问题【难度】3星【题型】解答【解析】如下图所示，D\A\B\DCBA A\D\CA如下图所示，端点A扫过的轨迹为AA A'''，端点D扫过轨迹为DD D'''，而AD之间的点，扫过的轨迹在以A、D轨迹，AD，A D''所形成的封闭图形内，且这个封闭图形的每一点都有线段AD 上某点扫过，所以AD 边扫过的图形为阴影部分．显然,有阴影部分面积为A D C ACA ACD S S S S ''''∆∆+--直角扇形直角扇形CD D ,而直角三角形A D C ''、ACD 面积相等．=A D C ACA ACD ACA S S S S S S ''''''∆∆+---直角扇形直角扇形CD D 扇形扇形CD D222290909=(54)7.065()36036044AC CD ππππ-=-==平方厘米即AD 边扫过部分的面积为7．065平方厘米．【答案】7.065【例 7】 (祖冲之杯竞赛试题)如图，ABCD 是一个长为4，宽为3，对角线长为5的正方形，它绕C 点按顺时针方向旋转90︒，分别求出四边扫过图形的面积．CBD A【考点】曲线型旋转问题【难度】3星【题型】解答【解析】容易发现，DC 边和BC 边旋转后扫过的图形都是以线段长度为半径的圆的14，如图：B'A'DCBA因此DC 边扫过图形的面积为4π，BC 边扫过图形的面积为9π4． 2、研究AB 边的情况．在整个AB 边上，距离C 点最近的点是B 点，最远的点是A 点，因此整条线段所扫过部分应该介于这两个点所扫过弧线之间，见如图中阴影部分：DB'A'A下面来求这部分的面积．观察图形可以发现，所求阴影部分的面积实际上是：扇形'ACA 面积＋三角形''A B C 面积－三角形ABC 面积一扇形'BCB 面积＝扇形'ACA 面积一扇形'BCB 面积225π3π44=-4π=3、研究AD 边扫过的图形．由于在整条线段上距离C 点最远的点是A ，最近的点是D ，所以我们可以画出AD 边扫过的图形，如图阴影部分所示：AA'B'D用与前面同样的方法可以求出面积为：225π4π9π444-=旋转图形的关键，是先从整体把握一下”变化过程”，即它是通过什么样的基本图形经过怎样的加减次序得到的．先不去考虑具体数据，一定要把思路捋清楚．最后你会发现，所有数据要么直接告诉你，要么就”藏”在那儿，一定会有．可以进一步思考，比如平行四边形的旋转问题、一般三角形的旋转问题等等，此类问题的解决对提高解决几何图形问题的能力是非常有益的．【答案】（1）BC 边扫过图形的面积为9π4（2）AB 边扫过图形的面积为4π（3）AD 边扫过图形的面积为9π4（4）DC 边扫过图形的面积为4π【例 8】 (华杯赛初赛)半径为25厘米的小铁环沿着半径为50厘米的大铁环的内侧作无滑动的滚动，当小铁环沿大铁环滚动一周回到原位时，问小铁环自身转了几圈？【考点】曲线型旋转问题【难度】3星【题型】解答【解析】对于这类问题，可以在初始时在小环上取一点A ，观察半径OA ，如图⑴，当小环沿大环内壁滚动到与初始相对的位置，即滚动半个大圆周时，如图⑵，半径OA 也运动到了与初始时相对的位置．这时OA 沿大环内壁才滚动了半圈．继续进行下半圈，直到OA 与初始位置重合，这时OA 自身转了1圈，因此小铁环自身也转了1圈．⑵⑴A O A O【总结】对于转动的圆来说，当圆心转动的距离为一个圆周长时，这个圆也恰好转了一圈．所以本题也可以考虑小铁环的圆心轨迹，发现是一个半径与小铁环相等的圆，所以小铁环的圆心转过的距离等于自己的圆周长，那么小铁环转动了1圈．【答案】1圈【巩固】如果半径为25厘米的小铁环沿着半径为50厘米的大铁环的外侧作无滑动的滚动，当小铁环沿大铁环滚动一周回到原位时，问小铁环自身转了几圈？【考点】曲线型旋转问题【难度】3星【题型】解答【解析】如图，同样考虑小圆的一条半径OA ，当小圆在大圆的外侧滚动一周，即滚动了大圆的半周时，半径OA 滚动了540︒，滚动了一圈半，所以当小圆沿大圆外侧滚动一周时，小圆自身转了3圈．⑴O A⑵OA也可以考虑小圆圆心转过的距离．小圆圆心转过的是一个圆周，半径是小圆的3倍，所以这个圆的周长也是小圆的3倍，由于小圆的圆心每转动一个自身的周长时，小圆也恰好转了一圈，所以本题中小圆自身转了3圈．【答案】3圈【巩固】如图所示，大圆周长是小圆周长的n (1n >)倍，当小圆在大圆内侧(外侧)作无滑动的滚动一圈后又回到原来的位置，小圆绕自己的圆心转动了几周？【考点】曲线型旋转问题【难度】3星【题型】解答【解析】为了确定圆绕圆心转动几周，首先要明确圆心转动的距离．设小圆的半径为“单位1”，则大圆的半径为“n ”．⑴在内测滚动时，如图⑴所示，因为圆心滚动的距离为2π(1)n ⨯-．所以小圆绕自己的圆心转动了：2π(1)12πn n ⨯-=-(圈)．图（1）图（2）⑵在外侧滚动时，如图⑵所示．因为圆心滚动的距离为2π(1)n⨯+．所以小圆绕自己的圆心转动了：2π(1)12πnn⨯+=+(圈)．【答案】n-1和n+1【例9】如图，15枚相同的硬币排成一个长方形，一个同样大小的硬币沿着外圈滚动一周，回到起始位置．问：这枚硬币自身转动了多少圈？【考点】曲线型旋转问题【难度】3星【题型】解答【解析】当硬币在长方形的一条边之内滚动一次时，由于三个硬币的圆心构成一个等边三角形，所以这枚硬币的圆心相当于沿着半径为硬币2倍的圆旋转了180606060︒-︒-︒=︒．而硬币上的每一点都是半径等于硬币的圆旋转，所以硬币自身旋转了120°．当硬币从长方形的一条边滚动到另一条边时，这枚硬币的圆心相当于沿着半径为硬币2倍的圆旋转了360606090150︒-︒-︒-︒=︒．而硬币上的每一点都是半径等于硬币的圆旋转，所以硬币自身旋转了300º．长方形的外圈有12个硬币，其中有4个在角上，其余8个在边上，所以这枚硬币滚动一圈有8次是在长方形的一条边之内滚动，4次是从长方形的一条边滚动到另一条边．120830042160︒⨯+︒⨯=︒，所以这枚硬币转动了2160º，即自身转动了6圈．另解：通过计算圆心轨迹的长度，每走一个2π即滚动了一周．【答案】6圈【巩固】12个相同的硬币可以排成下面的4种正多边形(圆心的连线)．用一个同样大小的硬币，分别沿着四个正多边形的外圈无滑动地滚动一周．问：在哪个图中这枚硬币自身转动的圈数最多，最多转动了多少圈？【考点】曲线型旋转问题【难度】3星【题型】解答【解析】对于同样是12个硬币，所转动的圆心轨迹其实分为两部分，一是在”角”上的转动，一是在”边”上的滚动．抓住关键方法：圆心轨迹长度2π÷=自身转动圈数．结论：一样多；都是6圈．【答案】一样多；都是6圈【例 10】一枚半径为1cm 的圆形硬币相互紧靠着平放在桌面上，让一枚硬币沿着它们的外轮廓滚过后回到原来的位置，那么与原A 点重合的点是______．硬币自己转动______，硬币圆心的运动轨迹周长为_______．【考点】曲线型旋转问题【难度】3星【题型】解答【解析】先计算轨迹的长度：三个半径为2的半圆，1(22π)36π2⨯⨯⨯=，6π2π3÷=，即为3周，所以答案为A 点，3周，6π．【答案】A 点，3周，6π【例 11】先做一个边长为2cm 的等边三角形，再以三个顶点为圆心，2cm 为半径作弧，形成曲边三角形(如左图)．再准备两个这样的图形，把一个固定住(右图中的阴影)，另一个围绕着它滚动，如右图那样，从顶点相接的状态下开始滚动．请问此图形滚动时经过的面积是多少平方厘米？(π 3.14=)CBA 222【考点】曲线型旋转问题【难度】3星【题型】解答【解析】在处理图形的运动问题时，描绘出物体的运动轨迹是解决问题的第一步，只有大的方向确定了，才能实施具体的计算．图⑴图⑵图⑶图⑷在数学中，本题所作出的这个曲边三角形叫“莱洛三角形”，“莱洛三角形”有一个重要的性质就是它在所有方向上的宽度都相同．为了求出“莱洛三角形”滚动时经过的面积，可以分2步来思考：第1步：如图⑵所示，当“莱洛三角形”从顶点A 的上方滚动到顶点A 的左边时，这时阴影“莱洛三角形”滚动的这部分面积是以A 为圆心、2cm 为半径、圆心角为60°的扇形．在顶点A 、B 、C 处各有这样的一个扇形；第2步：如图⑶所示，当“莱洛三角形”在边AB 上滚动时，这时可以把阴影“莱洛三角形”看作是以图⑶中D 点为圆心的圆的一部分，这个圆在以C 点为圆心的弧AB 上滚动，可知此时圆心D 运动的轨迹是图⑶中的弧'DD ，所以此时阴影“莱洛三角形”滚动的这部分面积是以C 为圆心、4cm 为半径、圆心角为60°的扇形减去半径为2cm 的60°的扇形；综上所述，去掉图⑷中阴影“莱洛三角形”后所形成的组合图形就是要求的面积．滚动时经过的面积是：22226060603π23π4π28π25.12(cm )360360360⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【答案】25.12【例 12】下图为半径20厘米、圆心角为1440的扇形图.点C 、D 、E 、F 、G 、H 、J 是将扇形的B 、K 弧线分为8等份的点.求阴影部分面积之和．B【考点】曲线型旋转问题【难度】3星【题型】解答【解析】如下图,做出辅助线,B△KMA 与△ANG 形状相同(对应角相等),大小相等(对应边相等),有△KMA ≌△ANG,KMA ANG S S =,而△LMA 是两个三角形的公共部分,所以上图中的阴影部分面积相等．所以,GNMK 与扇形KGA 的面积相等,那么KGEB 的面积为2倍扇形KGA 的面积．扇形KGA 的圆心角为01448×3=540,所以扇形面积为05420360⨯60ππ⨯=平方厘米．那么KGEB 的面积为602π⨯=120π平方厘米．如下图,做出另一组辅助线．B△JQA 与△ARH 形状相同(对应角相等),大小相等(对应边相等),有△JQA ≌△ARH,JQA ARH S S ==5△A,而△PQA 是两个三角形的公共部分, 所以右图中的阴影部分面积相等.所以,JHRQ 与扇形JHA 的面积相等,那么JHDC 的面积为2倍扇形JHA 的面积．扇形JHA 的圆心角为001441808=,所以扇形面积为2182020360ππ⨯⨯=平方厘米．那么JHDC 的面积为20240ππ⨯=平方厘米．所以,原题图中阴影部分面积为KGEB JHDC S S -=1204080πππ-=≈80×3.14=251.2平方厘米．【答案】251.2【例 13】 10个一样大的圆摆成如图所示的形状．过图中所示两个圆心A ，B 作直线，那么直线右上方圆内图形面积总和与直线左下圆内图形面积总和的比是多少?【考点】曲线型旋转问题【难度】3星【题型】解答【解析】直线AB 的右上方的有2个完整的圆，2个半圆，1个1个而1个1个正好组成一个完整的圆，即共有4个完整的圆，那么直线AB 的左下方有10-4=6个完整的圆，每个圆的面积相等，所以直线右上方圆内图形面积总和与直线左下圆内图形面积总和的比是4：6=2：3．【答案】2:3【例 14】在图中，一个圆的圆心是0，半径r=9厘米，∠1=∠2=15°.那么阴影部分的面积是多少平方厘米?(π取3.14)【考点】【难度】2星【题型】填空【关键词】奥林匹克，初赛，11题【考点】曲线型旋转问题【难度】3星【题型】解答【解析】有AO=OB ，所以△AOB 为等腰三角形，AO=OC ，所以△AOC 为等腰三角形.∠ABO=∠1=15°，∠AOB=180°-∠1-∠ABO=150°. ∠ACO=∠2=15°,∠AOC=180°-∠2-∠ACO=150°，所以 ∠BOC=360°-∠AOB-∠AOC=60°，所以扇形BOC 的面积为260942.39360π⨯⨯≈(平方厘米)．【答案】42.39【例 15】图是由正方形和半圆形组成的图形．其中P 点为半圆周的中点，Q 点为正方形一边的中点．已知正方形的边长为10，那么阴影部分的面积是多少?(π取3.14)DPB【考点】曲线型旋转问题【难度】3星【题型】解答【关键词】奥林匹克，初赛，11题【解析】过P 做AD 平行线，交AB 于O 点，P 为半圆周的中点，所以0为AB 中点．O 10DPB有2ABCD DPC 101S 1010100S 12.522ππ=⨯==⨯⨯=半圆，（）.AOP OPQB 101101S 510+37.5S 105550.2222∆⎡⎤⎛⎫=⨯⨯==++⨯⨯= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦梯形（），阴影部分面积为ABCD AOP DPC OPQB S S S S 10012.537.55012.512.551.75.ππ∆+-=+--=+≈半圆梯形-【答案】51.75。

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