高中三角函数总结

三角函数做题技巧及方法总结

知识点梳理

1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像

2、三角函数的单调区间：

x y sin =的递增区间是?????

+-2222ππππk k ，)(Z k ∈，递减区间是

?????

++23222ππππk k ，)(Z k ∈； x y cos =的递增区间是[]πππk k 22，

-)(Z k ∈，递减区间是[]πππ+k k 22，)(Z k ∈，

x y tan =的递增区间是??? ?

+-22ππππk k ，)(Z k ∈，

3、三角函数的诱导公式

sin （2kπ+α）=sinα sin （π+α）=－sinα

sin（－α）=－sinα

cos（2kπ+α）=cosα cos（π+α）=－cosα

cos（－α）=cosα

tan（2kπ+α）=tanα tan（π+α）=tanα

tan（－α）=－tanα

sin（π－α）=sinα sin（π/2+α）=cosα

sin（π/2－α）=cosα

cos（π－α）=－cosα cos（π/2+α）=－sinα

cos（π/2－α）=sinα

tan（π－α）=－tanα tan（π/2+α）=－cotα

tan（π/2－α）=cotα

sin2(α)+cos2(α)=1

4、两角和差公式

5、二倍角的正弦、余弦和正切公式

sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ

sin2α=2sinαcosα

sin（α－β）=sinαcosβ－cosαsinβ

cos2α=cos2(α)－sin2(α)=2cos2(α)－1=1－2sin2(α) cos（α+β）=cosαcosβ－sinαsinβ

tan2α=2tanα/(1－tan2(α))

cos（α－β）=cosαcosβ+sinαsinβ

tan（α+β）=(tanα+tanβ )/(1－tanα ·tanβ)

tan（α－β）=(tanα－tanβ)/(1+tanα ·tanβ)

6、半角公式：

2cos 12

sin

αα

-±

=； 2

cos 12cos α

α+±=； α

αααααα

sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12

tan

-=+=+-±

7、函数B

x A y ++=)sin(?ω），（其中00>>ωA 最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ω

T ；其图象的对称

轴是直线)(2

Z k k x ∈+=+π

π?ω，凡是该图象及直线B y =的交点都是该图象的对称中心

8、由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋?)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。

利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x 而言，即

图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。

途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)

先将y ＝sin x 的图象向左(?＞0)或向右(?＜0）平移｜?｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的ω

倍(ω＞0)，便得y ＝

sin(ωx ＋?)的图象

途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的ω

倍(ω＞0)，

再沿x 轴向左(?＞0)或向右(?＜0＝平移

|个单位，便得y ＝sin(ω

x ＋?)的图象。

9、对称轴及对称中心：

sin y x =的对称轴为2

x k ππ=+，对称中心为(,0) k k Z π∈；

cos y x =的对称轴为x k π=，对称中心为2(,0)k ππ+；

对于sin()y A x ωφ=+和cos()y A x ωφ=+来说，对称中心及零点相联系，对称轴及最值点联系。 10、求三角函数的单调区间：

一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A 、ω的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调

区间；

11、求三角函数的周期的常用方法：

经过恒等变形化成“sin()y A x ωφ=+、cos()y A x ωφ=+”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法。

12、经常使用的公式 ①升（降）幂公式：

21cos 2sin 2αα-=

、 21cos 2cos 2α

α+=

、 1sin cos sin 22ααα=；

②辅助角公式：

sin cos )a b ααα?+=+（?由,a b 具体的值确定）；

二、典型例题

弦切互化

例1．已知2tan =θ，求（1）

θθ

θsin cos sin cos -+；

解：（1）2232

121tan 1tan 1cos sin 1cos sin 1sin cos sin cos --=-+=-+=-+

-+θθθ

θθθ

θθθθ；练习：θθθθ22cos 2cos .sin sin +-的值.

解：θ

+θθ+θθ-θ=θ+θθ-θ2

2222

2cos sin cos 2cos sin sin cos 2cos sin sin 3

4122221cos sin 2cos sin cos sin 2222-=++-=+θ

θ+θθ

-θθ=.

说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化。

函数的定义域问题

例2、求函数1sin 2+=x y 的定义域。

解：由题意知需01sin 2≥+x ，也即需2

sin -≥x ①在一周期??

???-23,

2ππ上符合①的角为??

???-67,6ππ,由此可得到函数的定义域为?????

+-672,62ππππk k ()Z k ∈ 说明：确定三角函数的定义域的依据：（1）正、余弦函数、正切函数的定义域。（2）若函数是分式函数，则分母不能为零。（3）若函数是偶函数，则被开方式不能为负。（4）若函数是形如

()()1,0log ≠>=a a x f y a

的函数，则其定义域由()x f 确定。（5）当函数

是有实际问题确定时，其定义域不仅要使解析式有意义同时还要使实际问题有意义。

函数值域及最大值，最小值

（1）求函数的值域

一般函数的值域求法有：观察法，配方法判别式法等，而三角函数是函数的特殊形式，其一般方法也适用，只不过要结合三角函数本身的性质罢了。

例3、求下列函数的值域

（1）x y 2sin 23-= （2）2sin 2cos 2

-+=x y x 分析：利用1cos ≤x 及1sin ≤x 进行求解。解：（1） 12sin 1≤≤-x ∴[]5,151∈∴≤≤y y （

）

()[].0,4,1sin 11sin 1sin 2sin 2sin 22

cos -∈∴≤≤---=-+-=-+=y x x x x x x y

说明：

练习：求函数21sin cos (sin cos )y x x x x =++++的值域。

解：设sin cos )[4

πt x x x =+=+∈，

则原函数可化为22131()24

y t t t =++=++，

因为

[t ∈，所以当t =时，max 3y =，当12

t =-时，

min 3

y =

，

所以，函数的值域为3[34

y ∈+，

。（2）函数的最大值及最小值。

求值域或最大值，最小值的问题，一般的依据是：（1）sinx,cosx 的有界性；

（2）tanx 的值可取一切实数；

（3）连续函数在闭区间上存在最大值和最小值。

例4、求下列函数的最大值及最小值

（1）x y sin 2

11-= （2）4sin 5cos 22-+=x x y （3）

???∈+-=32,31cos 4cos 32ππx x x y

分析：（1）可利用sinx,cosx 的值域求解求解过程要注意自变量的去值范围（2）（3）可利用二次函数c bx ax x f ++=2)(在闭区间[]n m ,上求最值得方法。解：(1)

221sin ;261sin 1sin 11sin 10

sin 21

1min max =

==-=∴≤≤-∴??

???≤≤-≥-y x y x x x x 时当时，当 (2)

[]2

592cos 5sin 42sin 5sin 22sin ,sin 1,1,48y x x x x x x ?

?=+-=-+-=--+∈- ??

∴当sin 1x =-，即2(2

x k k Z π

π=-

+∈）时，y 有最小值9-；

当sin 1x =，即2(2

x k k Z π

π=+∈），y 有最大值1。

（

3）

13,21cos 415y 32,21cos ,21,21cos ,32,3,31)32(cos 31cos 4cos 3min max 22-

=====-=??

???-∈??????∈--=+-=y x x x x x x x x x y 时，即当时，、即

从而ππππ 函数的周期性

例5、求下列函数的周期

()x x f 2cos )(1= ())62

sin(2)(2π

-=x x f

分析：该例的两个函数都是复合函数，我们可以通过变量的替换，将它们归结为基本三角函数去处理。

（1）把x 2看成是一个新的变量u ，那么u cos 的最小正周期是π2，就是说，当π2+u u 增加到且必须增加到π2+u 时，函数u cos 的值重复出现，而),(2222πππ+=+=+x x u 所以当自变量x 增加到π+x 且必须增加到

π+x 时，函数值重复出现，因此，x y 2sin =的周期是π。

（2）??? ??-=+-

62sin 2)262

sin(2πππ

x x

即())62sin(2642

sin 2πππ-=??????-+x x )6

2sin(2)(π-=∴x x f 的周期是π4。

说明：由上面的例题我们看到函数周期的变化仅及自变量x 的系数有关。一般地，函数)sin(?ω+=x A y 或)cos(?ω+=x A y （其中?ω,,A 为常数，

),0,0R x A ∈>≠ω例6、已知函数2()4sin 2sin 22f x x x x R =+-∈，。

求()f x 的最小正周期、()f x 的最大值及此时x 的集合；解：22()4sin 2sin 222sin 2(12sin )f x x x x x =+-=--

2sin 22cos 2)4

πx x x =-=- 所以()f x 的最小正周期T π=，因为x R ∈，

所以，当2242ππx k π-=+，即38

x k π=+时，()f x 最大值为；函数的奇偶性

例7、判断下列函数的奇偶性

)sin()()1(x x x f +=π x

x x f sin 1cos sin 1)()2(2+-+=

分析：可利用函数奇偶性定义予以判断。解：（1）函数的定义域R 关于原点对称

是偶函数。)()(sin )sin()()(,sin )sin()(x f x f x x x x x f x x x x x f ∴=-=--=--=+=ππ

（2）函数应满足.,2320sin 1?

?????∈+≠∈∴≠+Z k k x R x x x ππ，且函数的定义于为

∴ 函数的定义域不关于原点对称。∴ 函数既不是奇函数又不是偶函数。评注：判断函数奇偶性时，必须先检查定义域是否关于原点对称的区间，如果是，再验证)(x f -是否等于)(x f -

或)(x f ，进而判断函数的奇偶性，如果不是，则该函数必为非奇非偶函数。

练习：已知函数)(,2cos sin 8cos 23)(42x f x

x x f 求--=

的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域.

解：x

x x x x x f 2cos sin 8sin 212cos sin 8)sin 1(23)(4242-+=---=

)

9.()(),()(,)()

7}.(,4

2,|{,4

2,22,02cos )

4(.1sin 42cos )

sin 21)(sin 41(222分是偶函数且的定义域关于原点对称因为分且所以函数的定义域为解得得由分x f x f x f x f z k k x R x x z

k k x k x x x x

x x ∴=-∈+≠∈∈+≠+≠≠+=-+=π

ππ

πππ )

12(}.3,51|{)(,4

2,1sin 4)(2分且的值域为且又≠≤≤∴∈+≠

+=y y y x f z k k x x x f π

函数的单调性

例8、下列函数，在??

???ππ

,2上是增函数的是（）

x y A sin .

= x y B

cos = x y C

2sin = x y D

2cos =

分析：判断。

在各象限的单调性作出与可根据x x x x cos sin .22,2

ππππ

≤≤∴≤≤ 解：sin y x =及cos y x =在2ππ??

????

，上都是减函数，∴排除,A B ，2x π

π≤≤， 22,x ππ∴≤≤知sin 2y x =在[]2,2x ππ∈内不具有单调性，∴又可排除C ，∴应选D 。

例9、已知函数2

5cos 35cos sin 5)(2+

-=x x x x f （Ⅰ）求f(x)的最小正周期；（Ⅱ）求f(x)的递增区间. 解：（Ⅰ）2

5cos 35cos sin 5)(2+

-=x x x x f )3

sin 2cos 3cos

2(sin 52cos 352sin 2

23522cos 1352sin 25π

x x x

x x x -=-=++-=

)32sin(5π

-=x ∴最小正周期T=ππ

（Ⅱ）由题意，解不等式ππ

ππ

k x k 22

222

+≤

-≤+-

得 )(12

512

Z k k x k ∈+≤

≤+-

ππ

)(x f ∴的递增区间是)](12

12[Z k k k ∈++-

ππ

小结：求形如)0,0)(cos()sin(>≠+=+=ω?ω?ωA x A y x A y 其中或的函数的

单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：

式的方向相同（反）。

的单调区间对应的不等与时，所列不等式的方向）视为一个整体；（把“)(cos ),(sin )0(02)"0()1(R x x y R x x y A A x ∈=∈=<>>+ω?ω

三角函数思想方法归纳解析

一、数形结合思想

由数想形，以形助数的数形结合思想，具有可以使问题直观呈现的优点，有利于加深同学们对知识的识记和理解；在解答数学题时，数形结合，有利于分析题中数量之间的关系，丰富表象，引发联想，启迪思维，拓宽思路，迅速找到解决问题的方法，从而提高分析问题和解决问题的能力。

例1．求不等式x x cos sin >在[]ππ,-上的解集。

解析：设x y sin 1=，x y cos 2=，在同一坐标系中作出在[]π,0上两函数图像(如图1)，在[]π,0上解得x x cos sin =的解为4

x 或

43π=

x ，故由图像得要使得21y y >，即4

34ππ<

43π

π-<<-x ，得原不等式的解集为???

????? ??--

43,44,4

3ππππ 二、分类讨论思想

分类是根据对象的本质属性的异同将其划分为不同种类，即根据对象的共同性及差异性，把具有相同属性的归入一类，把具有不同属性的归入另一类。分类讨论是数学解题的重要手段，如果对学过的知识恰当地进行分类，就可以使大量纷繁的知识具有条理性。

例2．设?

????∈2,0πθ，且022sin 2cos 2

<--+m m θθ恒成立，求m 的取

值范围。

解析：令()12sin 2sin 22sin 2cos 22--+-=--+=m m m m f θθθθθ 令

sin =t ，由

????∈2,0πθ，得

0≤≤t ，则

()()1212222

2++---=--+-=m m m t m mt t t f ，[]1,0∈t ，()0<θf 在

???∈2,0πθ上恒成立，()t f ∴在[]1,0∈t 上恒成立。由二次函数图像分类讨论得，

1）当10<≤m 时，需(),0>m f 得10≤≤m ； 2）当1>m 时，需()01>f ，得1>m ； 3）当0f 得02

<<-

m 综上所述，得2

>m 三、整体思想

整体思想方法是一种常见的数学方法，它把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体，通过观察及分析，找出整体及局部的有机联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径。往往能起到化繁为简，化难为易的效果。

例3．求函数()x

x x

x x f cos sin 1cos sin ++=

的最大、最小值。

解析：由条件和问题联想到公式()x x x x cos sin 21cos sin 2±=±，可实施整体代换求最值。

令[]2,24sin 2cos sin -∈??

? ?

?+=+=πx x x t ，1,0cos sin 1-≠≠++t x x ，则

1cos sin 2-=t x x

∴[)(]

2,11,2,2

121

2---∈-=+-= t t t t y ，故当2=t 时，y 有最大值，且

为

212-；当2-=t 时，y 有最小值，且为2

12-- 四、方程思想

方程是研究数量关系的重要工具。我们把所要研究的问题中的已知及未知量之间的相等关系，通过建立方程或方程组，并求出未知量的值，从而使问题得到解决的思想方法称为方程思想。

例4．已知2sin 3sin =+αα，求α

αα

αcos sin cos sin +-的值

解：令

=+-α

αα

αcos sin cos sin ，则()()0cos 1sin 1=++-ααx x ，

2sin 3sin =+αα，故解得

21cos ,21sin --=-+=x x x x αα，121212

2=??

??--+??? ??-+∴x x x x 解得，62±-=x ，

62cos sin cos sin ±-=+-∴

αα

五、化归转化思想

化归转化思想是解决数学问题的一种重要思想方法。处理数学问题的实质就是实现新问题向旧问题的转化、复杂问题向简单问题转化、未知问题向已知问题转化、抽象问题向具体问题转化等。例5．若4

0π

βα<<<，n m =+=+ββααcos sin ,cos sin ，试确定n

m ,的大小。

解析：当一个问题直接难以入手或相对比较困难时，我们可以等价转化为我们熟知或容易解答的题型。要比较n m ,的大小可转化为2m 及2n 比较大小就容易多了。

α2sin 1,2sin 122+=+=n m ，又 2

220π

βα<

<<，故βα2sin 2sin <，

22n m <∴

0,>n m ，n m <∴

六、函数思想

函数思想就是在解决问题的过程中，把变量之间的关系抽象成函数关系，把具体问题转化为函数问题，通过对函数相应问题的解决，达到解决变量之间具体问题的目的。

例6．已知1sin sin sin 222=++γβα，求证：222sin 2sin 2sin ≤++γβα 解析：由1sin sin sin 222=++γβα得2cos cos cos 222=++γβα，构造函数：

()()()()()2sin sin 2sin cos sin cos sin cos sin 22

+++-=-+-+-=x x x x x x f λβαγγββαα

显然

()0

≥x f ，故

()0

8sin sin 2sin 2

≤-++=?γβα，即得

222sin 2sin 2sin ≤++γβα

七、逆向思想

逆向思想通常是指从问题的反向进行思考，运用于正面考虑繁琐或难以进行时的一种解题思维策略，正确使用这种策略，往往能问题绝处逢生，找到求解的新途径。

例7．将函数()x x f y sin =的图像向右平移4

个单位后，再作关于x 轴的对称变换，得到函数x y 2sin 21-=的图像，求()x f 的解析式。

解析：我们可以采用倒推的方法，即将整个变化过程逆过来考虑。

x x y 2cos sin 212=-= 关于x 轴的对称变换为x y 2cos -=，然后再向左平

移4

个单位得x x x x y sin cos 22sin 42cos ?==??

? ?

?+-=π，对照比较原函数

()x x f y sin =得，()x x f cos 2= 三角函数常见题型

一、运用同角三角函数关系、诱导公式、和、差、倍、半等公式进行化简求值类。

例1 已知向量3

3(cos ,sin ),(cos ,sin ),[,]2

x x x x x π

π==-∈且a b 。

（1）若

||+>a b x 的取值范围；

（2）函数()||f x =?++a b a b ，若对任意12,[,]2

x x π

π∈，恒有

12|()()|f x f x t -<,求t 的取值范围。

解：（1）||||1,cos 2,||2cos x x ==?=∴+==->a b a b a b

即5cos [,],26

x x x ππππ<∈∴<≤。

（2）21

3()||cos 22cos 2(cos )2

f x x x x =?++=-=--a b a b 。

max min 1cos 0,()3,()1x f x f x -≤≤∴==-，又

12max min |()()|()()4,4f x f x f x f x t -≤-=∴>

二、运用三角函数性质解题，通常考查正弦、余弦函数的单调性、周期性、最值、对称轴及对称中心。

例 2 若,0),(cos ,sin ),0x x x ωωωω==->m n ，在函数

()()f x t =?++m m n 的图象中，对称中心到对称轴的最小距离为

，且当[0,]3

x π

∈时，()f x 的最大值为1。

（1）求函数()f x 的解析式；（2）若1()[0,]2

f x x π+=-∈，求实数x 的值。

解：由题意得cos ,sin )x x x ωωω+=+-m n ，

()(),0)cos ,sin )f x t x x x x t ωωωω=?++=?+-+m m n

2cos )3sin cos x x x t x x x t ωωωωωω=++=+?+

333

cos 2sin 2)22232

x x t x t πωωω=

-++=-++ （1）∵对称中心到对称轴的最小距离为4

，∴()f x 的最小正周期

T π=， 23

,1,())232

f x x t πππωω∴

==∴=-++。

当

[0,]

x π

∈时，

2[,],sin(2)[]3

33322

x x π

ππ

π-

∈-

∴-∈-，

()[,3]f x t t ∴∈+。

max 1

()1,31,2,())32

f x t t f x x π=∴+==-∴=--。

（2）由()f x =，得1

sin(2)32

x π-=-，由[0,]x π∈，得52333

x ππ

≤-

≤

。

故732,366124

x x πππππ

-=-∴=或或。

例3 已知向量α(sin =, )2

1-，1(=, )cos 2α，51=?，)2

,0(πα∈

（1）求ααsin 2sin 及的值；（2）设函数x x x f 2cos 2)2

2sin(5)(+++-=απ

])2

,24[

(π

π∈x ，求

x 为何值时，

)(x f 取得最大值，最大

值是多少，并求)(x f 的单调增区间。

解：（1）5

1cos sin =-=?αα，251

2sin 1)cos (sin 2=

-=-ααα,∴25

242sin =α, 2549

2sin 1)cos (sin 2=

+=+ααα，∴5

7cos sin =+αα,∴5

3cos =α，5

4sin =α.

（2）12cos )sin 2sin cos 2(cos 52cos 1)2cos(5)(+++=++-=x x x x x x f ααα

12sin 42cos 412cos )2sin 542cos 53(5++=+++=x x x x x 1)42sin(24++=πx ,∵2

24π

π≤

≤x ， ∴4

23π

≤

≤x ,∴当24

x 时，621)24

()(max +==π

f x f ,要使)(x f y =单调递

增， ∴

ππ

k x k 22

222

+≤

≤+-

Z)(8

83∈+≤≤+-

k k x k ππ

ππ,又

]

,24[

π∈x ，

∴)(x f y =的单调增区间为]8

,24[π

. 例4 设向量]2

,0[),2

3cos ,23(sin ),2sin ,2

(cos π

∈==x x x x x 向量.

（Ⅰ）求||+?及；（Ⅱ）若函数||2)(x f ++?=，求)

(x f 的最小值、最大值. 解：（I ）,2sin )2

23sin(23cos 2sin 23sin

2cos x x

x x x x x

=+=+=? ,2sin 222)(||2

x +=?++=+=+ 2)cos (sin 2)2sin 1(22sin 22||x x x x +=+=+=+∴]).2

,0[).(cos (sin 2π

∈+=x x x （II ）由（I ）得：).cos (sin 2cos sin 2)cos (sin 22sin )(x x x x x x x x f ++=++= 令,1cos sin 2],2,

1[],2

,0[,cos sin 2-=?∴∈∴∈=+t x x t x t x x π

]2,1[,2)1(2122∈-+=+-=∴t t t t y 。2;2,1min =

==∴t y t 当时当时，

.221max +=y

三、解三角形问题，判断三角形形状，正余弦定理的应用。

例5 已知函数2

()

sin cos 3cos 33

x x x

f x .

（I ）将()f x 写成sin()

A x

B 的形式，

并求其图象对称中心的横坐标；

（II ）如果△ABC 的三边a ,b,c 满足b 2= a c ，且边b 所对的角为x ，试求x 的范围及此时函数()f x 的

值域.

解：（I ）f (x ) =12x sin 2

(1+2cos 3x )=12x sin 232cos 3x

=sin(

.由sin(

2x 3

)= 0，即

2x 3

=kπ(k∈Z)，得

x=3k-12

(k∈Z)，即对称中心的横坐标为3k-12

，(k∈Z).

（II

）由

已

知b 2=ac ，

得

cosx=

222

2a c -b a c -ac

2ac

2ac ≥2ac-ac 12ac

.∴12

≤cosx＜1，0＜x≤3

∴3

＜23

x +

≤59

.∵|

＞5||9

，∴sin

＜sin(23x +

)≤1.

x +3

即f (x ).

例 6 在△ABC 中,角A,B ,C 的对边分别为a,b ,c ．已知向量

(,)a c b a =+-m ,(,)a c b =-n ,

且⊥m n ．

（1）求角C 的大小；（2）若sin sin 2

A B +=,求角A 的值。

解: （1）由⊥m n 得()()()0a c a c b a b +-+-=；整理得

2220a b c ab +--=．

即2

a b c ab +-=，又2221

cos 222

a b c ab C ab ab +-=

==．又因为0C π<<,所以3

C π

．

（2）因为3

C π

=，所以23A B π+=

, 故23

B A π

=-．

由2sin sin sin sin()3A B A A π+=+-=得

1sin sin 2A A A +=

所

以

cos A A +=．

即

sin()6A π+=

．因为2

A π<<，所以

566

A π

π<+

故6

A π

或364

A π

π+=,∴12

A π

或712

A π

．三角函数的小题涉及三角函数的所有知识点，因此，熟练掌握公式和性质是解好小题的必要条件，在日常训练中一定要改掉学生边做题边看公式的坏习惯。再者，填空题答案书写的规范也需反复强调。

三、练习 1. 函数x

y sin 1

的定义域为（） {}

[)(]

{}0.

1,00,1.

≠-∈≠∈x x D C Z k k x R x B R

A π

2. 函数)6cos(π

+=x y ，??

???∈2,0π

x 的值域是( ) ??

??????

?????

???-??

??-

1,211,2323,2121,23.

A 3. 函数)0)(4

sin(>+=ωπ

ωx y 的周期为

2π

，则ω=------------. 4. 下列函数中是偶函数的是（）

1sin sin sin 2sin .

+==-==x y D

y C

y B

y A

5. 下列函数中，奇函数的个数为（）

（1）x x y sin 2=（2）[]π2,0,sin ∈=x x y （3）[]ππ,,sin -∈=x x y （4）x x y cos =

6. 在区间??

??2,0π上，下列函数为增函数的是（）

x y D

y C

y B

y A cos sin cos 1sin 1

-=-=-

7. 函数x y 2sin =的单调减区间是（）

[]

()

Z k k k D

k k C

k k B k k A ∈??

???

+-++?

????

++??

????++4,423,243,4223,22ππππππππππππππππ

8. 如果4

≤x ，则函数x x y sin cos 2+=的最小值是——————

9. 函数)2

434

(tan π

ππ

≠≤=x x

x y 且的值域为（） []

(][)(]

[)+∞-∞-+∞-∞--,11,,11,1,1D

10、求函数)6

cos(sin sin 2x x x y -+=π

的周期和单调增区间．

解 )sin 6

sin cos 6

(cos sin sin 2x x x x y π

π++=

x x x cos sin 23sin 232+=

x x 2sin 43

)2cos 1(43+-= )2cos 432sin 43(43x x -+=)3

2sin(2343π++=x ． ∴ 函数的周期 ππ

==2

2T ．当 22ππ-k ≤32π+x ≤2

2π

π+k ，即 125ππ-k ≤x ≤12ππ+k (k ∈Z )

时函数单调增加，即函数的增区间是 [125ππ-k ，12

π+k ] (k ∈Z )．

高中数学_三角函数公式大全全部覆盖

三角公式汇总一、任意角的三角函数在角α的终边上任取．．一点),(y x P ，记：22y x r +=，正弦：r y =αsin 余弦：r x =αcos 正切：x y = αtan 注：我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数：如图，与单位圆有关的有向．．线段MP 、OM 、AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。二、同角三角函数的基本关系式商数关系：α α αcos sin tan = ，平方关系：1cos sin 22=+αα，三、诱导公式 ⑴παk 2+)(Z k ∈、α-、απ+、απ-、απ-2的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成．．锐角时原函数值的符号。（口诀：函数名不变，符号看象限） ⑵ απ +2、απ-2 、απ+23、απ -23的三角函数值，等于α的异名函数值，前面加上一个把α看成．．锐角时原函数值的符号。（口诀：函数名改变，符号看象限）四、和角公式和差角公式 βαβαβαsin cos cos sin )sin(?+?=+ βαβαβαsin cos cos sin )sin(?-?=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(?-?=+

βαβαβαsin sin cos cos )cos(?+?=- βαβ αβαtan tan 1tan tan )tan(?-+=+ β αβ αβαtan tan 1tan tan )tan(?+-= - 五、二倍角公式 αααcos sin 22sin = ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=…)(* α α α2tan 1tan 22tan -= 二倍角的余弦公式)(*有以下常用变形：（规律：降幂扩角，升幂缩角） αα2cos 22cos 1=+ αα2sin 22cos 1=- 2)cos (sin 2sin 1ααα+=+ 2)cos (sin 2sin 1ααα-=- 六、万能公式（可以理解为二倍角公式的另一种形式） ααα2tan 1tan 22sin +=，ααα22tan 1tan 12cos +-=，α α α2 tan 1tan 22tan -=。万能公式告诉我们，单角的三角函数都可以用半角的正切．．来表示。七、辅助角公式 )sin(cos sin 22?++=+x b a x b x a （）其中：角?的终边所在的象限与点),(b a 所在的象限相同， 2 2sin b a b += ?，2 2cos b a a += ?，a b = ?tan 。八、正弦定理

高中数学三角函数知识点总结(非常好用)

高中数学三角函数知识点总结 1.特殊角的三角函数值： 2．角度制与弧度制的互化：,23600π= ,1800π= 1rad ＝π 180°≈°=57°18ˊ． 1°＝ 180 π≈（rad ） 3.弧长及扇形面积公式弧长公式：r l .α= 扇形面积公式:S=r l .2 1 α----是圆心角且为弧度制。 r-----是扇形半径 4.任意角的三角函数设α是一个任意角，它的终边上一点p （x,y ）, r=22y x + (1)正弦sin α= r y 余弦cos α=r x 正切tan α=x y (2)各象限的符号： x y + O — — + # x y O — + + — + y O ) | — + + —

sin α cos α tan α 5.同角三角函数的基本关系：（1）平方关系：s in 2α+ cos 2α=1。（2）商数关系：αα cos sin =tan α （z k k ∈+≠ ,2 ππ α） 6.诱导公式：记忆口诀：2 k παα±把的三角函数化为的三角函数，概括为：奇变偶不变，符号看象限。 ()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ' ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．口诀：函数名称不变，符号看象限． ()5sin cos 2π αα??-= ???，cos sin 2παα?? -= ??? ． ()6sin cos 2π αα??+= ???，cos sin 2παα?? +=- ??? ．口诀：正弦与余弦互换，符号看象限． 7正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质

高中常用三角函数公式大全

高中常用三角函数公式两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 半角公式 sin(2A )=2 cos 1A - cos(2A )=2 cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot( 2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin( 2 π-a) = cosa cos(2 π-a) = sina sin(2π+a) = cosa

cos( 2 π+a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA =a a cos sin 万能公式 sina=2 )2 (tan 12tan 2a a + cosa=2 2 )2 (tan 1)2(tan 1a a +- tana=2 )2 (tan 12tan 2a a - 其它公式 a?sina+b?cosa=)b (a 22+×sin(a+c) [其中tanc= a b ] a?sin(a)-b?cos(a) = )b (a 22+×cos(a-c) [其中tan(c)=b a ] 1+sin(a) =(sin 2a +cos 2 a )2 1-sin(a) = (sin 2a -cos 2 a )2 公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin （2kπ＋α）= sinα cos （2kπ＋α）= cosα tan （2kπ＋α）= tanα cot （2kπ＋α）= cotα 公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin （π＋α）= -sinα cos （π＋α）= -cosα tan （π＋α）= tanα cot （π＋α）= cotα 公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：

三角函数公式大全关系

三角函数公式大全关系：倒数 tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 商的关系： sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα 平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 1+tan^2(α)=sec^2(α) 1+cot^2(α)=csc^2(α) 平常针对不同条件的常用的两个公式 sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan α *cot α=1 一个特殊公式（sina+sinθ）*（sina-sinθ）=sin（a+θ）*sin（a-θ）证明：（sina+sinθ）*（sina-sinθ）=2 sin[(θ+a)/2] cos[(a-θ)/2] *2 cos[(θ+a)/2] sin[(a-θ)/2] =sin（a+θ）*sin（a-θ）坡度公式我们通常半坡面的铅直高度h与水平高度l的比叫做坡度（也叫坡比），用字母i表示，即 i=h / l, 坡度的一般形式写成 l : m 形式，如i=1:5.如果把坡面与水平面的夹角记作 a(叫做坡角），那么 i=h/l=tan a. 锐角三角函数公式正弦： sin α=∠α的对边/∠α的斜边余弦：cos α=∠α的邻边/∠α的斜边正切：tan α=∠α的对边/∠α的邻边余切：cot α=∠α的邻边/∠α的对边二倍角公式正弦 sin2A=2sinA·cosA 余弦 1.Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a) 2.Cos2a=1-2Sin^2(a) 3.Cos2a=2Cos^2(a)-1 即Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a)=2Cos^2(a)-1=1-2Sin^2(a)

高中部分三角函数知识点总结

★高中三角函数部分总结 1.任意角的三角函数定义：设α为任意一个角，点),(y x P 是该角终边上的任意一点（异于原点），),(y x P 到原点的距离为22y x r += ，则： )(tan ),(cos ),(sin y x x y x r x y r y ?=== 正负看正负看正负看ααα 2.特殊角三角函数值： sin30°=1/2 sin45°=√2/2 sin60°=√3/2 cos30°=√3/2 cos45°=√2/2 cos60°=1/2 tan30°=√3/3 tan45°=1 tan60°=√3 cot30°=√3 cot45°=1 cot60°=√3/3 sin15°=（√6-√2）/4 sin75°=（√6+√2）/4 cos15°=（√6+√2）/4 cos75°=（√6-√2）/4（这四个可根据sin （45°±30°）=sin45°cos30°±cos45°sin30°得出） sin18°=(√5-1)/4 (这个值 3.同角三角函数公式： αααααααααα αtan 1 cot ,sin 1csc ,cos 1sec 1cos sin ,cos sin tan 22= ===+= 4.三角函数诱导公式：（1）)(;tan )2tan(,cos )2cos( ,sin )2sin(Z k k k k ∈=+=+=+απααπααπα （2）;tan )tan(,cos )cos( ,sin )sin(απααπααπα=+-=+-=+ （3）;tan )tan(,cos )cos(,sin )sin(αααααα-=-=--=- （函数名称不变，符号看象限）

高中三角函数公式大全

高中三角函数公式大全 2009年07月12日星期日19:27 三角函数公式两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式sin3A = 3sinA-4(sinA)3cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan( 3+a)·tan(3-a) 半角公式 sin(2 A )=2cos 1A cos(2 A )=2cos 1A tan(2 A )=A A cos 1cos 1cot(2A )= A A cos 1cos 1tan(2A )=A A sin cos 1=A A cos 1sin 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a cos 2 b a

sina-sinb=2cos 2b a sin 2 b a cosa+cosb = 2cos 2b a cos 2 b a cosa-cosb = -2sin 2b a sin 2 b a tana+tanb=b a b a cos cos )sin(积化和差 sinasinb = -2 1[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 2 1[cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 2 1[sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 2 1[sin(a+b)-sin(a-b)] 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin( 2-a) = cosa cos( 2-a) = sina sin( 2+a) = cosa cos(2 +a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA =a a cos sin 万能公式 sina=2)2 (tan 12tan 2a a cosa=22)2 (tan 1)2(tan 1a a

高中数学三角函数公式大全全解

三角函数公式 1.正弦定理： A a sin = B b sin =C c sin = 2R （R 为三角形外接圆半径） 2.余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bc A cos b 2=a 2+c 2-2ac B cos c 2=a 2+b 2-2ab C cos bc a c b A 2cos 2 22-+= 3.S ⊿= 21a a h ?=21ab C sin =21bc A sin =21ac B sin =R abc 4=2R 2A sin B sin C sin =A C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=C B A c sin 2sin sin 2=pr=))()((c p b p a p p --- (其中)(2 1 c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径) 4.诱导公试注：奇变偶不变，符号看象限。注：三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号；即：函数名不变，符号看象限注：三角函数值等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号;即：

函数名改变，符号看象限 5.和差角公式 ①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ②βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ③β αβ αβαtg tg tg tg tg ?±= ± 1)( ④)1)((βαβαβαtg tg tg tg tg ?±=± 6.二倍角公式：(含万能公式) ①θ θ θθθ2 12cos sin 22sin tg tg += = ②θ θ θθθθθ2 22 2 2 2 11sin 211cos 2sin cos 2cos tg tg +-=-=-=-= ③θθθ2122tg tg tg -= ④22cos 11sin 222θθθθ-=+=tg tg ⑤22cos 1cos 2 θθ+= 7.半角公式：（符号的选择由 2 θ 所在的象限确定） ①2cos 12 sin θθ -± = ②2 cos 12sin 2θ θ-= ③2cos 12cos θθ+±= ④2cos 12 cos 2 θθ += ⑤2sin 2cos 12θθ=- ⑥2 cos 2cos 12θθ=+ ⑦2 sin 2 cos )2 sin 2 (cos sin 12θ θθθθ±=±=± ⑧θ θ θθθθθ sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12 -=+=+-± =tg 8.积化和差公式： [])sin()sin(21cos sin βαβαβα-++=[] )sin()sin(21 sin cos βαβαβα--+=[])cos()cos(21cos cos βαβαβα-++= ()[]βαβαβα--+-=cos )cos(2 1 sin sin 9.和差化积公式：

高中数学三角函数知识点归纳总结

《三角函数》【知识网络】一、任意角的概念与弧度制 1、将沿x 轴正向的射线，围绕原点旋转所形成的图形称作角. 逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角 2、同终边的角可表示为 {}()360k k Z ααβ? =+∈g x 轴上角：{}()180k k Z αα=∈o g y 轴上角：{}()90180k k Z αα=+∈o o g 3、第一象限角：{}()036090360k k k Z αα? ?+<<+∈o g g 第二象限角：{}()90 360180360k k k Z αα??+<<+∈o o g g 第三象限角：{}()180360270360k k k Z αα? ?+<<+∈o o g g 第四象限角： {}()270 360360360k k k Z αα??+<<+∈o o g g 4、区分第一象限角、锐角以及小于90o 的角第一象限角：{}()0360 90360k k k Z αα? ?+<<+∈o g g 锐角： {}090αα<

,2 4 , 0π απ ≤ ≤=k ,2 345, 1παπ≤≤=k 所以 2 α 在第一、三象限 6、弧度制：弧长等于半径时，所对的圆心角为1弧度的圆心角，记作1rad . 7、角度与弧度的转化：01745.0180 1≈=?π 815730.571801'?=?≈? = π 9、弧长与面积计算公式弧长：l R α=?；面积：211 22 S l R R α=?=?，注意：这里的α均为弧度制. 二、任意角的三角函数 1、正弦：sin y r α=；余弦cos x r α=；正切tan y x α= 其中(),x y 为角α终边上任意点坐标，r = 2、三角函数值对应表： 3、三角函数在各象限中的符号

(完整版)高中三角函数公式大全整理版

高中三角函数公式大全 sin30°=1/2 sin45°=√2/2 sin60°=√3/2 cos30°=√3/2 cos45°=√2/2 cos60°=1/2 tan30°=√3/3 tan45°=1 tan60°=√3 cot30°=√3 cot45°=1 cot60°=√3/3 sin15°=（√6-√2）/4 sin75°=（√6+√2）/4 cos15°=（√6+√2）/4 cos75°=（√6-√2）/4（这四个可根据sin （45°±30°）=sin45°cos30°±cos45°sin30°得出） sin18°=(√5-1)/4 (这个值在高中竞赛和自招中会比较有用，即黄金分割的一半) 正弦定理：在△ABC 中，a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R (其中，R 为△ABC 的外接圆的半径。) 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2Sin A?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA Tan3A=)3tan()3tan(tan )(tan 1)(tan 3tan 32 3A A A A A A +-=--ππ 半角公式

高中三角函数知识点总结《精华版》

三角函数知识点总结 1.角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。 2.象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。 3.终边相同的角的表示： α终边与θ终边相同?2()k k αθπ=+∈Z 4.α与2 α的终边关系：例题：若α是第二象限角，则 2 α 是第_____象限角 5.弧长公式：||l R α=，扇形面积公式R l S ?=2 1 6.任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是220r x y = +>，那么sin ,cos y x r r αα= =，()tan ,0y x x α=≠三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。 7.三角函数在各象限的符号 8.特殊角的三角函数值： 30° 45° 60° 90° sin α 2 1 22 2 3 1 cos α 23 2 2 2 1 0 tan α 3 3 1 3

9.同角三角函数的基本关系式：（1）平方关系： 1cos sin 2 2 =+αα （2）商数关系：α α αcos sin tan = （3）倒数关系：1cot tan =?αα 例题：已知 11tan tan -=-αα，则α αααcos sin cos 3sin +-＝____；2cos sin sin 2 ++ααα＝_____。 10.三角函数诱导公式(主要作用：简化角，方便化简计算) (1)απαsin )2sin(=+k (2)ααsin )sin(-=- απαcos )2cos(=+k ααcos )cos(=- απαtan )2tan( =+k ααtan )tan(-=- (3)（ 2 k πα+）的本质是：奇变偶不变（对k 而言，指k 取奇数或偶数）符号看象限（看原函数，同时可把α看成是锐角）. 诱导公式运用步骤：(1)负角变正角，再写成)20(2πααπ<≤+k ； (2)转化为锐角三角函数。常用重要结论：①若πβα=+，则βαsin sin =，βαcos cos -=； ②若2 πβα=+，则βαcos sin =，βαsin cos =。 11.两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式： ()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβ αβαβαβααα=±=±???→= ()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 2 1cos2sin 2 2tan tan 21tan 令＝＝ αβαβαβαβααα αααβα αβααβα αα αα=±=???→=-↓=-=-±±= ?-↓= -12.合一公式（辅助角公式）：()22sin cos sin a x b x a b x θ+= ++

高一三角函数公式及诱导公式习题(附答案)

三角函数公式 1．同角三角函数基本关系式 sin 2 α＋cos 2 α=1 sin α cos α =tan α tan αcot α=1 2．诱导公式 (奇变偶不变，符号看象限) （一） sin(π－α)＝sin α sin(π+α)＝-sin α cos(π－α)＝-cos α cos(π+α)＝-cos α tan(π－α)＝-tan α tan(π+α)＝tan α sin(2π－α)＝-sin α sin(2π+α)＝sin α cos(2π－α)＝cos α cos(2π+α)＝cos α tan(2π－α)＝-tan α tan(2π+α)＝tan α （二） sin(π2 －α)＝cos α sin(π2 +α)＝cos α cos(π2 －α)＝sin α cos(π 2 +α)＝- sin α tan(π2 －α)＝cot α tan(π 2 +α)＝-cot α sin(3π2 －α)＝-cos α sin(3π 2 +α)＝-cos α cos(3π2 －α)＝-sin α cos(3π 2 +α)＝sin α tan(3π2 －α)＝cot α tan(3π 2 +α)＝-cot α sin(－α)＝－sin α cos(－α)=cos α tan(－α)=－tan α 3．两角和与差的三角函数 cos(α+β)=cos αcos β－sin αsin β cos(α－β)=cos αcos β＋sin αsin β sin (α+β)=sin αcos β＋cos αsin β sin (α－β)=sin αcos β－cos αsin β tan(α+β)= tan α+tan β 1－tan αtan β tan(α－β)= tan α－tan β 1＋tan αtan β 4．二倍角公式 sin2α=2sin αcos α cos2α=cos 2α－sin 2α＝2 cos 2α－1＝1－2 sin 2α tan2α=2tan α 1－tan 2α

三角函数最全知识点总结

三角函数、解三角形一、任意角和弧度制及任意角的三角函数 1.任意角的概念 (1)我们把角的概念推广到任意角，任意角包括正角、负角、零角． ①正角：按__逆时针__方向旋转形成的角． ②负角：按__顺时针__方向旋转形成的角． ③零角：如果一条射线__没有作任何旋转__，我们称它形成了一个零角． (2)终边相同角：与α终边相同的角可表示为：{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}，或{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}． (3)象限角：角α的终边落在__第几象限__就称α为第几象限的角，终边落在坐标轴上的角不属于任何象限. 象限角轴线角 2．弧度制 (1)1度的角：__把圆周分成360份，每一份所对的圆心角叫1°的角__. (2)1弧度的角：__弧长等于半径的圆弧所对的圆心角叫1弧度的角__. (3)角度与弧度的换算： 360°＝__2π__rad,1°＝__π 180__rad,1rad＝(__180 π__)≈57°18′. (4)若扇形的半径为r，圆心角的弧度数为α，则此扇形的弧长l＝__|α|·r__，面积S＝__1 2|α|r 2__＝__1 2lr__.

3．任意角的三角函数定义 (1)设α是一个任意角，α的终边上任意一点(非顶点)P的坐标是(x，y)，它与原点的距离为r，则sinα＝__y r__，cosα＝__ x r__，tanα＝__ y x__. (2)三角函数在各象限的符号是： (3)三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的__正弦__线、__余弦__线和__正切__线． 4．终边相同的角的三角函数 sin(α＋k·2π)＝__sinα__， cos(α＋k·2π)＝__cosα__， tan(α＋k·2π)＝__tanα__(其中k∈Z)，即终边相同的角的同一三角函数的值相等．

高中三角函数公式大全及经典习题解答

高中三角函数公式大全及经典习题解答 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

用心辅导中心高二数学三角函数知识点梳理: ⒈L 弧长=αR=nπR 180 S 扇=21L R=2 1R 2 α=3602R n ?π ⒉正弦定理： A a sin =B b sin =C c sin = 2R （R 为三角形外接圆半径） ⒊余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bc A cos b 2=a 2+c 2-2ac B cos c 2 =a 2 +b 2 -2ab C cos bc a c b A 2cos 2 22-+= ⒋S ⊿=2 1a a h ?=2 1ab C sin =2 1bc A sin =2 1ac B sin =R abc 4=2R 2A sin B sin C sin =A C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=C B A c sin 2sin sin 2=pr =))()((c p b p a p p --- (其中)(2 1c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径) ⒌同角关系： ⑴商的关系：①θtg =x y =θ θ cos sin =θθsec sin ? ② θθθ θθcsc cos sin cos ?=== y x ctg ③θθθtg r y ?== cos sin ④θθθθcsc cos 1sec ?== =tg x r ⑤θθθctg r x ?== sin cos ⑥θθθθsec sin 1csc ?== =ctg y r ⑵倒数关系：1sec cos csc sin =?=?=?θθθθθθctg tg ⑶平方关系：1csc sec cos sin 222222=-=-=+θθθθθθctg tg ⑷)sin(cos sin 22?θθθ++= +b a b a （其中辅助角?与点（a,b ）在同一象限，且a b tg =?） ⒍函数y=++?)sin(?ωx A k 的图象及性质：（0,0>>A ω）

高中数学三角函数公式大全 (1)

三角函数 1. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）： {} Z k k ∈+?=,360 |αββο ②终边在x 轴上的角的集合： {} Z k k ∈?=,180|οββ ③终边在y 轴上的角的集合：{ } Z k k ∈+?=,90180|ο οββ ④终边在坐标轴上的角的集合：{} Z k k ∈?=,90|οββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{} Z k k ∈+?=,45180|οοββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{} Z k k ∈-?=,45180|οοββ ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k ο360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+=οο180360k ⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k ο180 ⑩角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系：οο90360±+=βαk 2. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 、弧度与角度互换公式： 1rad ＝π 180°≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝180 π≈0.01745（rad ） 3、弧长公式：r l ?=||α. 扇形面积公式：21 1||22 s lr r α==?扇形 4、三角函数：设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ）P 与原点的距离为r ，则 =αsin r x =αcos ； x y = αtan ； y x =αcot ； x r =αsec ；. αcsc 5、三角函数在各象限的符号：正切、余切余弦、正割正弦、余割 6、三角函数线正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT. SIN \COS 1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域

高一三角函数知识点梳理总结

高一三角函数知识 §1.1任意角和弧度制 ?? ? ??零角负角：顺时针防线旋转正角：逆时针方向旋转任意角..1 2.象限角：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。 3.. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合：{} Z k k ∈+?=,360|αββ ②终边在x 轴上的角的集合： {} Z k k ∈?=,180| ββ ③终边在y 轴上的角的集合：{} Z k k ∈+?=,90180| ββ ④终边在坐标轴上的角的集合：{} Z k k ∈?=,90| ββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{ } Z k k ∈+?=,45180| ββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{} Z k k ∈-?=,45180| ββ ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：Z k k ∈-=，βα 360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则α与角β的关系：Z k k ∈-+=，βα 180360 ⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则α与角β的关系：Z k k ∈+=，βα 180 ⑩角α与角β的终边互相垂直，则α与角β的关系：Z k k ∈++=， 90180βα 4. 弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。若圆心角所对的弧长为l ，则其弧度数的绝对值|r l = α,其中r 是圆的半径。 5. 弧度与角度互换公式： 1rad ＝（π 180）°≈57.30° 1°＝180 π 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 6.. 第一象限的角：? ?? ? ??∈+<

常用的函数公式大全--高中三角函数公式

高中三角函数公式大全三角函数公式两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π-a) 半角公式 sin(2 A )=2cos 1A - cos(2 A )=2cos 1A + tan(2 A )=A A cos 1cos 1+- cot( 2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2 b a -

sina-sinb=2cos 2b a +sin 2 b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2 b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tana+tanb=b a b a cos cos )sin(+ 积化和差 sinasinb = -2 1[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 2 1[cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 2 1[sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 2 1[sin(a+b)-sin(a-b)] 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin(2 π-a) = cosa cos(2 π-a) = sina sin(2 π+a) = cosa cos(2 π+a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA =a a cos sin 万能公式 sina=2 )2 (tan 12tan 2a a + cosa=2 2 )2(tan 1)2(tan 1a a +-

高中数学三角函数公式大全(1)

高中数学三角函数公式大全三角函数看似很多，很复杂，而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在，下面是三角函数公式大全：操作方法 01 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)

02 倍角公式 tan2A = 2tanA/(1-tan^2 A) Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos^2 A--Sin^2 A =2Cos^2 A—1 =1—2sin^2 A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)^3; cos3A = 4(cosA)^3 -3cosA tan3a = tan a ? tan(π/3+a)? tan(π/3-a) 半角公式 sin(A/2) = √{(1--cosA)/2} cos(A/2) = √{(1+cosA)/2} tan(A/2) = √{(1--cosA)/(1+cosA)} cot(A/2) = √{(1+cosA)/(1-cosA)} tan(A/2) = (1--cosA)/sinA=sinA/(1+cosA)

高中数学知识点总结之三角函数篇

第三章三角函数、解三角形第1讲任意角和弧度制及任意角的三角函数一、必记3个知识点 1．角的概念 (1)分类? ?? 按旋转方向不同分为正角、负角、零角. 按终边位置不同分为象限角和轴线角. (2)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }． 2．弧度的定义和公式 (1)定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式：①弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度；②弧长公式：l ＝|α|r ；③扇形面积公式：S 扇形＝12lr 和1 2 |α|r 2. 3．任意角的三角函数 (1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ， tan α＝y x (x ≠0)． (2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线．二、必明3个易误区 1．易混概念：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角． 2．利用180°＝π rad 进行互化时，易出现度量单位的混用． 3．三角函数的定义中，当P (x ，y )是单位圆上的点时有sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x ，但若不是单位圆时，如圆的半径为r ，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x . 三、必会2个方法 1．三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦；

高中三角函数总结

三角函数做题技巧与方法总结知识点梳理 1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像 2、三角函数的单调区间： x y sin =的递增区间是????? ? +-2222ππππk k ，)(Z k ∈，递减区间是 ????? ? ++23222ππππk k ，)(Z k ∈； x y cos =的递增区间是[]πππk k 22， -)(Z k ∈，递减区间是[]πππ+k k 22，)(Z k ∈， x y tan =的递增区间是??? ? ? +-22ππππk k ，)(Z k ∈， 3、三角函数的诱导公式 sin （2kπ+α）=sinα sin （π+α）=－sinα sin （－α）=－sinα cos （2kπ+α）=cosα cos （π+α）=－cosα cos （－α）=cosα

tan （2kπ+α）=tanα tan （π+α）=tanα tan （－α）=－tanα sin （π－α）=sinα sin （π/2+α）=cosα sin （π/2－α）=cosα cos （π－α）=－cosα cos （π/2+α）=－sinα cos （π/2－α）=sinα tan （π－α）=－tanα tan （π/2+α）=－cotα tan （π/2－α）=cotα sin 2(α)+cos 2(α)=1 4、两角和差公式 5、二倍角的正弦、余弦和正切公式 sin （α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ sin2α=2sinαcosα sin （α－β）=sinαcosβ－cosαsinβ cos2α=cos 2(α)－sin 2(α)=2cos 2(α)－1=1－2sin 2(α) cos （α+β）=cosαcosβ－sinαsinβ tan2α=2tanα/(1－tan 2(α)) cos （α－β）=cosαcosβ+sinαsinβ tan （α+β）=(tanα+tanβ )/(1－tanα ·tanβ) tan （α－β）=(tanα－tanβ)/(1+tanα ·tanβ) 6、半角公式： 2cos 12 sin αα -± =； 2 cos 12cos α α+±=； α αααααα sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12 tan -=+=+-± = 7、函数B x A y ++=)sin(?ω），（其中00>>ωA 最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ω π 2= T ；其图象的对称轴是直线 )(2 Z k k x ∈+ =+π π?ω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心 8、由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋?)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。