二次根式及性质2
二次根式知识点
二次根式知识点二次根式是初中数学中的一个重要概念，它在数学的学习和实际应用中都有着广泛的用途。
接下来，咱们就来详细聊聊二次根式的相关知识。
首先，咱们得搞清楚啥是二次根式。
一般地，形如√a（a≥0）的式子叫做二次根式。
这里要特别注意，根号下的数 a 必须是非负数，不然就没有意义啦。
那二次根式有哪些性质呢？这可是重点哟！性质一：（√a）²＝ a（a≥0）。
也就是说，一个非负数开平方再平方，还是它本身。
性质二：√a² ＝｜a|。
当a≥0 时，√a² ＝ a；当 a＜0 时，√a² ＝ a。
这个性质在化简二次根式的时候经常用到。
性质三：√ab ＝√a × √b（a≥0，b≥0）。
性质四：√a/b ＝√a ／√b（a≥0，b＞0）。
了解了这些性质，咱们来看看二次根式的运算。
二次根式的加减法，关键是要把二次根式化成最简二次根式，然后把被开方数相同的二次根式（也就是同类二次根式）进行合并。
比如，√8 ＋√18 ＝2√2 ＋3√2 ＝5√2。
二次根式的乘法，就可以直接运用√ab ＝√a × √b 这个性质。
例如，√2 × √6 ＝√12 ＝2√3 。
二次根式的除法，运用√a/b ＝√a ／√b 进行计算。
比如，√12÷√3＝√4 ＝ 2 。
在进行二次根式的运算时，一定要注意化简，把结果化成最简二次根式。
那啥是最简二次根式呢？满足以下两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
比如说，√8 就不是最简二次根式，因为 8 可以分解成 4×2，4 还能开方得 2，所以√8 ＝2√2，2√2 就是最简二次根式。
再来说说二次根式的化简。
化简二次根式的时候，经常要用到分母有理化。
分母有理化就是把分母中的根号去掉。
比如，1 ／√2 ，分母有理化就是给分子分母同乘以√2 ，得到√2 ／ 2 。
二次根式知识点总结
二次根式知识点总结二次根式是数学中的一种常见的根式表达式，它可以表示为$\sqrt{a}$ 的形式，其中 $a$ 是一个非负实数。
在学习二次根式时，常常会涉及到以下几个方面的知识点。
一、二次根式的性质：1. 非负性：对于任何非负实数 $a$，二次根式 $\sqrt{a}$ 都是非负实数。
2. 平方性：相对应的，对于任何非负实数 $a$，二次根式$\sqrt{a}$ 的平方等于 $a$，即 $(\sqrt{a})^2=a$。
3. 两个二次根式可以相等：如果两个二次根式 $\sqrt{a}$ 和$\sqrt{b}$ 相等，那么 $a$ 和 $b$ 必须相等，即$\sqrt{a}=\sqrt{b}$ 可推出 $a=b$。
二、二次根式的运算：1. 加减运算：两个二次根式可以进行加减运算，只要它们的被开方数相同即可。
即 $\sqrt{a} \pm \sqrt{b}=\sqrt{a \pm b}$。
2. 乘法运算：两个二次根式相乘，可以将它们的被开方数相乘并开方。
即 $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}=\sqrt{ab}$。
3. 除法运算：两个二次根式相除，可以将它们的被开方数相除并开方。
即 $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$。
4. 有理化分母：当二次根式的分母不含二次根式时，可以通过有理化分母的方法将其转化为含有二次根式的形式。
有理化分母的基本方法是将分母有理化，即乘以一个适当的形式为 $\sqrt{x}$ 的分子与分母相等的有理数，从而使得分母成为没有二次根式的有理数。
三、二次根式的化简：1.合并同类项：当二次根式相加或相减时，可以合并同类项，即将其中具有相同被开方数的二次根式相加或相减，并保持其他二次根式不变。
2.分解因式：当一个二次根式的被开方数可以分解成互质因子的乘积时，可以利用分解因式的方法进行化简。
3.化简根式：当二次根式的被开方数可以开方时，可以进行化简，即将其转化为整数、分数或者更简单的二次根式的形式。
二次根式知识点总结
二次根式知识点总结二次根式是高中数学中重要的知识点之一，它在解决一元二次方程、求解勾股定理以及图形的面积计算等问题中起到了重要的作用。
本文将对二次根式的定义、性质以及相关的数学运算进行总结，并探讨其在实际问题中的应用。
一、二次根式的定义二次根式是指形如√a的代数式，其中a为非负实数。
它可以表示为一个单独的根号表达式，也可以是两个或多个二次根式之间的运算。
二、二次根式的性质1. 二次根式与有理数的关系：二次根式可以是有理数或无理数。
当根号内的数可以化简为有理数时，二次根式即为有理数；否则，二次根式为无理数。
2. 二次根式的相等性：两个二次根式相等的条件是它们的被开方数相等。
3. 二次根式的大小比较：对于非负实数a和b，若a > b，则有√a >√b。
4. 二次根式的运算性质：对于非负实数a和b，有以下运算性质：- 加法：√a + √b = √(a + b)- 减法：√a - √b = √(a - b)，其中a ≥ b- 乘法：√a * √b = √(a * b)- 除法：√a / √b = √(a / b)，其中b ≠ 0三、二次根式的化简当二次根式存在可以化简的情况时，可以通过以下方法进行化简：1. 提取因子法：将根号内的数分解为两个数的乘积，其中一个数是完全平方数，并提取出完全平方数的根号作为整体。
2. 有理化分母法：对于含有二次根式的分数，可以通过有理化分母的方法化简，即将分母有理化为一个有理数或二次根式。
四、二次根式的应用1. 解一元二次方程：一元二次方程的形如ax^2 + bx + c = 0，其中a ≠ 0。
通过二次根式的求解方法，可以求得方程的解，并通过图像分析得到方程的根的性质。
2. 求解勾股定理：在平面几何中，勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方等于两个其他边的平方之和。
通过二次根式的运算，可以准确计算出直角三角形的边长。
3. 计算图形的面积：在几何问题中，经常需要计算图形的面积，而某些图形的面积计算涉及到二次根式。
二次根式及其性质课件
1 •下列式子一定是二次根式的是( C )
知1－练
2 •(中考·武汉)若代数式 C
•则x的取值范围是( )
在实数范围内有意义，
•A．x≥－2 B．x>－2 C．x≥2 D．x≤2
知识点 2 二次根式的性质
知2－导
做一做
（1）计算下列各式，你能得到什么猜想？
4 9 ____, 4 9 _____; 4 _____, 4 _____;
•
的根指数为2，所以
是二次根式．
• (7)是．理由：因为|x|≥0，且 根式．
的根指数为2，所以
是二次
总结
知1－讲
二次根式是在初始的外在情势上定义的，不能从化 简结果上判断，如 是二次根式. 像 （a≥0）这样的式子只能称为含有二次根式 的式子，不能称为二次根式.
知1－讲
• 例2 当x取怎样的数时，下列各式在实数范围内有意 义？
知识点 1 二次根式的定义
知1－讲
形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式． 其中a为整式或分式，a叫做被开方式． 特点：①都是形如 a 的式子，
②a都是非负数.
例1 判断下列各式是否为二次根式，并说明理由．
知1－讲
导引： 判断一个式子是不是二次根式，实质是看它是否具备二次根
式定义的条件，紧扣定义进行辨认．
知3－练
1 (中考·淮安)下列式子为最简二次根式的是( A )
2 在下列根式中，不是最简二次根式的是( D )
1. 当a≥0时， 2. 当a≥0时， •3.
完成教材P43,习题T1-T4
谢谢！
知2－讲
知识点
商的算术平方根再探索 (1)商的算术平方根的性质的实质是逆用二次根式的除法
二次根式的性质与化简
二次根式的性质与化简二次根式是指含有平方根的表达式，它在数学中有着重要的应用。
本文将探讨二次根式的性质以及化简方法。
一、二次根式的性质1. 二次根式的定义与表示：二次根式是指形如√a的表达式，其中a为非负实数。
二次根式可以用分数指数表示，即a的1/2次方。
2. 二次根式的运算性质：（1）加法与减法：当二次根式的根数相同时，可以进行加法或减法运算。
例如√a + √b = √(a + b)，√a - √b = √(a - b)。
（2）乘法与除法：当二次根式的根数相同时，可以进行乘法或除法运算。
例如√a × √b = √(a × b)，√a / √b = √(a / b)。
3. 二次根式的化简与分解：对于二次根式而言，有时可以进行化简与分解。
例如√(a^2) = a，√(a/b) = √a / √b。
二、二次根式的化简方法1. 化简含有相同根数的二次根式：当两个二次根式具有相同根数时，可以根据运算规律进行化简。
例如√(a) × √(b) = √(a × b)，√(a) / √(b) = √(a / b)。
2. 化简含有不同根数的二次根式：当两个二次根式具有不同根数时，可以通过有理化的方法进行化简。
有理化的目的是将二次根式的分母消去。
具体操作步骤如下：（1）将含有二次根式的分母有理化，即将分母中的二次根式去除。
（2）将有理化后的分母进行分配。
（3）将相同根数的二次根式合并，并进行运算。
3. 示例：化简二次根式√(15) / √(3)：（1）将含有二次根式的分母进行有理化，即√(3) × √(3) = 3。
（2）有理化后的分母为3。
（3）利用有理化后的分母，进行分配运算，即（√(15) × √(3)) / 3。
（4）合并二次根式，即√(45) / 3。
（5）化简二次根式，即3√(5) / 3。
（6）最终得到化简后的结果：√(5)。
4. 注意事项：化简二次根式时，需要注意分母不能为零，同时要注意因式分解的方法，以便于简化运算步骤。
二次根式的概念和性质是什么
二次根式的概念和性质是什么一般地，形如√a的代数式叫做二次根式，其中，a 叫做被开方数。
下面是店铺给大家整理的二次根式的概念和性质简介，希望能帮到大家!二次根式的概念和性质定义如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。
a可以是具体的数，也可以是含有字母的代数式。
即：若，则叫做a的.平方根，记作x= 。
其中a叫被开方数。
其中正的平方根被称为算术平方根。
关于二次根式概念，应注意：被开方数可以是数，也可以是代数式。
被开方数为正或0的，其平方根为实数;被开方数为负的，其平方根为虚数。
最简二次根式最简二次根式条件：1.被开方数的因数是整数或字母，因式是整式;2.被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式。
二次根式化简一般步骤：1.把带分数或小数化成假分数;2.把开方数分解成质因数或分解因式;3.把根号内能开得尽方的因式或因数移到根号外;4.化去根号内的分母，或化去分母中的根号;5.约分。
算术平方根非负数的平方根统称为算术平方根，用(a≥0)来表示。
负数没有算术平方根，0的算术平方根为0。
二次根式的性质1. 任何一个正数的平方根有两个，它们互为相反数。
如正数a的算术平方根是，则a的另一个平方根为﹣ ;最简形式中被开方数不能有分母存在。
2. 零的平方根是零，即 ;3. 负数的平方根也有两个，它们是共轭的。
如负数a的平方根是。
4. 有理化根式：如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式互为有理化根式，也称互为有理化因式。
5. 无理数可用连分数形式表示，如: 。
6. 当a≥0时， ; 与中a取值范围是整个复平面。
7. [任何一个数都可以写成一个数的平方的形式;利用此性质可以进行因式分解。
8. 逆用可将根号外的非负因式移到括号内，如(a>0) ， (a<0)，﹙a≥0﹚， (a<0)。
9.注意：，然后根据绝对值的运算去除绝对值符号。
10.具有双重非负性，即不仅a≥0而且≥0。
二次根式知识点
二次根式知识点1. 二次根式的定义二次根式指的是形如√a的数，其中a为非负实数。
a被称为被开方数，√a被称为二次根式，也可以叫做平方根。
2. 二次根式的基本性质① 非负性：二次根式必须为非负实数。
② 同根式的加减法：同一指数的二次根式可以进行加减法运算，结果等于指数不变时各自运算后相加减。
③ 同根式的乘法：同一指数的二次根式可以进行乘法运算，结果等于指数不变时各自运算后相乘。
④ 同底数的指数运算：同一被开方数的不同指数的二次根式，可以进行指数运算，结果等于底数相同时指数相加或相减后的二次根式。
⑤ 合并同类项：不同被开方数的二次根式不能进行加减运算，必须化为同一被开方数才能进行操作。
3. 二次根式的化简① 化简含有平方数的二次根式例如：√36 = √（6²）= 6② 化简含有分数的二次根式例如：√（1/4）= 1/√4= 1/2③ 化简含有根号的二次根式例如：√（128）= √（2*64）= 8√2④ 去除被开方数中的平方因子例如：√（80）= √（16*5）= 4√54. 二次根式的应用由于二次根式代表着平方根，所以在一些实际问题中，经常出现二次根式的应用。
例1：计算正方形对角线的长度设正方形边长为a，则对角线长度d = √（a²+a²）=a√2例2：炮弹落地问题假设炮弹以初速度v以角度α斜抛，落地时的水平距离为x，求炮弹所需的最小速度v。
根据物理学上的知识，可以得到：x = v²sin2α/g其中g为重力加速度，有g = 9.8m/s²，化简可得：v = √（gx/ sin2α）在实际问题中，二次根式的应用还有很多，比如在建筑设计中计算楼梯踏步和踏板的长度，计算圆周率的近似值等等。
5. 二次根式的拓展除了√a这种形式的二次根式外，还可以拓展为含有多个根号的形式。
例如：√（a±√b）化简时，可以拆分成两个二次根式相加或相减的形式：当加号为正号时，可拆分为：√（a+√b）+√（a-√b）当减号为负号时，可拆分为：√（a-√b）-√（a+√b）在拓展的形式中，二次根式的化简变得更为复杂，需要运用其他方法进行化简。
二次根式的概念和性质
【答案】
2 ，9 5
【解析】
2a 2b c 2a 2b c 4 2 5b c 5a 5b c 5a 25 5
3
，
3 12 3 3 3 12 9 36 3 6 9
12、 （2013 初二上期末大兴区）若最简二次根式
a _________
1 1 5 1 5； 16 4 16 4
4
2
4， ；
7、估计 88 的大小应( ) A．在 9.1～9.2 之间 B．在 9.2～9.3 之间 C．在 9.3～9.4 之间 D．在 9.4～9.5 之间 【答案】 C 【解析】 设 88 9 x( x是小数部分) ；则有： 9 x 88 ，即： x2 18x 7 ，得 18x 7 ， x 0.38 ，
二次根式比较大小的方法 （1） a b 0 a b （2）二次根式比较大小：能直接比较大小的直接比较；不能直接比较大小的，先平方再比 较． （3）估算法 （4）分子有理化 （5）倒数法 七、二次根式的乘除 二次根式的乘除法
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二次根式
二次根式的乘法法则： a b ab （ a 0 ， b 0 ） ． 二次根式的除法法则：
3 2 2 a 4与 6a 2 1 是同类二次根式，则 2 3
【答案】 1 【解析】 该题考查的是二次根式． 满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式： （1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 几个二次根式化成最简二次根式后， 如果被开方数相同， 这几个二次根式叫做同类二次根式． 根据题意可列： a2 4 6a2 1 解得： a 1
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怀柔区第四中学教案（2017-2018学年第一学期）
教学过程
一、预设问题：
1、二次根式的概念是什么？被开方数是谁？表示的意义是什么？
2、2a被开方数是谁？
3、2a的意义是什么？
4、2a的取值范围是什么？
5、a的取值范围是什么？
6、2a的结果是什么？
7、二次根式的性质是什么？文字语言应该怎们表示？
二、创设情境，导入新课
1、做一做：
根据算术平方根的意义填空。
（4）2= ；()=22
；
=
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛2
3
1
；
()=20
；
由此得出：一般的，()=2a。
（a0
≥）
2、探究问题：
=2
2 ； =21.0 ； =⎪⎭⎫ ⎝⎛2
32 ；=20 ；
=-2)2( ； =-2)1.0( ；
=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-2
32 ；=-2
)10( ；
由此得出：一般的，=2a （a 0≥）；=2
a （a<0）
三、自探、合探： 二次根式的性质：
a
a =2
= ()(
)00a a a a ≥⎧⎪⎨-<⎪⎩
用语言表述：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
探讨预设问题中的2—7小题。
2、2
a 被开方数是谁？
3、2a 的意义是什么？
4、2
a 的取值范围是什么？ 5、a 的取值范围是什么？
6、2
a 的结果是什么？
7、二次根式的性质是什么？文字语言应该怎们表示？
四、学生展示与评价 计算：（教科书53页例3）
（1）2)9.1(- （2） 22)1(+x （3） ()2
3π-
（4）)0,0(2522 b a b a ≥ (5) )5(25102 x x x +- 五、教师点拨精讲 注意区分
()22
a a 和
被开方数是什么，a 的取值范围是什么？所表示的含义是什么？
五、巩固练习
1、 若 ()222-=-x x ，求x 的取值范围
2、 若
()x
x -=-222
， 求x 的取值范围
六、 课堂检测
1、 二次根式化简：
()
=2
a ；
二次根式的性质：
()()()
⎪⎩
⎪
⎨⎧〈=〉==0_______0_______
0_______
2a a a a a 还可以表示为 =2a
2、化简：⑴ （5.1）2 ⑵（25）2 （3）-()2
π-
（4）216 （5）
()25-
（6）())3(32
a a - （7）
()2
3π-
（8）)3(962
p p p ++ （9）()
2
2
1-
（10） 若
()a a -=-662
，求a 的取值范围
提高题：当x>2
七、作业设计：篇子和书上54页练习
八、教学反思
二次根式的性质 1、做一做：
根据算术平方根的意义填空。
（4）2
= ； ()
=2
2 ； =
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛2
31 ；
()
=2
0 ；
由此得出：一般的，()=2
a 。
（a 0≥）
2、探究问题：
=22 ； =21.0 ； =⎪⎭⎫ ⎝⎛2
32 ；
=20 ； =-2
)2( ；
=-2
)1.0( ；
=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-2
32 ；=-2
)10( ； 由此得出：一般的，=2a （a 0≥）；=2
a （a<0）
二次根式的性质：
()()()
⎪⎩
⎪
⎨⎧〈=〉==0_______0_______
0_______
2a a a a a 还可以表示为 =2a
计算：（教科书53页例3）
（1）2)9.1(- （2） 22)1(+x （3） ()2
3π-
（4）)0,0(2522 b a b a ≥ (5) )5(25102 x x x +- 3、思考
()22
a a 和
被开方数是什么？a 的取值范围是什么？所表示的含义是什么？
4、
巩固练习
1）、若
()2
22
-=-x x ，求x 的取值范围 2）、若
()x
x -=-222
， 求x 的取值范围。
课堂检测
1、二次根式化简： ()
=2
a ；
二次根式的性质：
()()()
⎪⎩
⎪
⎨⎧〈=〉==0_______0_______
0_______2a a a a a 还可以表示为 =2a
2、化简：⑴ （5.1）2 ⑵（25）2 （3）-()2
π-
（4）216 （5）
()25-
（6）
())3(32
a a - （7）
()2
3π-
（8）)3(962 p p p ++ （9）()
2
2
1-
（11） 若
()a a -=-662
，求a 的取值范围
提高题：当x>2。