二次根式及其性质.ppt
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二次根式的性质ppt课件
特点：①都是形如 a 的式子，
②a都是非负数.
2.因为 a (a ≥ 0)表示a的算术平方根，所以 a ≥ 0(a ≥ 0)；
( a )2 a(a≥ 0); a ( a )2 (a≥ 0).
观察与思考
(1)计算 22 , 32 , 1 2 , 02的值,你发现了什么? 2
(2)当a ≥ 0时, a2的算术平方根是多少?由此你能得到 一个怎样的等式? 当a ≥ 0时, a2 a.
7.2 二次根式的性质（1）
( a)2 a
明确目标
1.理解掌握a2的算术平方根公式 （a≥0），并会利用它进行计算和化简.
( a)2 a
2.理解积的算术平方根 和化简.
= · （a≥0，b≥0）并利用它进行计算
ab a b
知识铺垫
1. 形如 a（a≥0）的式子叫可以计 算、化简一些二次根式.
例题引领
例1
（1） 36
（2） 9 4
3
0.5
4
a
x2
2
6 20
=
6 20
ab a b（a≥0，b≥0）
利用它可以对二次根式进行化简.
（2） 27
（3） 4 a 2
65 10 7
12 15x4y3
小试牛刀
化简:
(1) 12 ( 2) 2715
(3) 4a3
化简二次根式，就要把被开方数 中的平方数（或平方式）从根号里 开出来.
1. 当a ≥ 0时, a2 a.
2. 当a ≥ 0时, ( a )2 a2 .
3.
当堂达标
• 请完成导学案中当堂达标题目.
课本P36： 习题7.2 1、2题
②a都是非负数.
2.因为 a (a ≥ 0)表示a的算术平方根，所以 a ≥ 0(a ≥ 0)；
( a )2 a(a≥ 0); a ( a )2 (a≥ 0).
观察与思考
(1)计算 22 , 32 , 1 2 , 02的值,你发现了什么? 2
(2)当a ≥ 0时, a2的算术平方根是多少?由此你能得到 一个怎样的等式? 当a ≥ 0时, a2 a.
7.2 二次根式的性质（1）
( a)2 a
明确目标
1.理解掌握a2的算术平方根公式 （a≥0），并会利用它进行计算和化简.
( a)2 a
2.理解积的算术平方根 和化简.
= · （a≥0，b≥0）并利用它进行计算
ab a b
知识铺垫
1. 形如 a（a≥0）的式子叫可以计 算、化简一些二次根式.
例题引领
例1
（1） 36
（2） 9 4
3
0.5
4
a
x2
2
6 20
=
6 20
ab a b（a≥0，b≥0）
利用它可以对二次根式进行化简.
（2） 27
（3） 4 a 2
65 10 7
12 15x4y3
小试牛刀
化简:
(1) 12 ( 2) 2715
(3) 4a3
化简二次根式，就要把被开方数 中的平方数（或平方式）从根号里 开出来.
1. 当a ≥ 0时, a2 a.
2. 当a ≥ 0时, ( a )2 a2 .
3.
当堂达标
• 请完成导学案中当堂达标题目.
课本P36： 习题7.2 1、2题
2024八年级数学上册第二章实数7二次根式第1课时二次根式及其性质习题课件新版北师大版
5. [2024永州一中期末]化简｜ a －3｜＋( − )2的结果是
(
D
)
A. 0
B. 6
C. 2 a －6
D. 6－2 a
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
知识点2二次根式的性质
·
6. (1) ＝
(2)
＝
1
2
3
( a ≥0， b ≥0)；
( a ≥0， b ＞0).
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
7. 下列各式的化简正确的是(
C
)
A. (−) × (−) ＝ − × − ＝(－2)×(－7)＝14
B. ＝ + ＝ × ＝5
C.
＝
＝
＝
D. . ＝
1
2
＝
3
4
5
6
7
8
9
10
嘉嘉在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化
成另一个式子的平方，如：
5＋2 ＝(2＋3)＋2 × ＝( )2＋( )2＋2× ×
＝( ＋ )2；
8＋2 ＝(1＋7)＋2 × ＝12＋( )2＋2×1× ＝
(1＋ )2.
1
2
3
4
5
6
7
二次根式及其性质PPT课件
• 干扰素是一种抗病毒、抗肿瘤的药物。将人的干 扰素的cDNA在大肠杆菌中进行表达，产生的干 扰素的抗病毒活性为106 U/mg，只相当于天然 产品的十分之一，虽然在大肠杆菌中合成的β-干 扰素量很多，但多数是以无活性的二聚体形式存 在。为什么会这样？如何改变这种状况？研究发 现，β-干扰素蛋白质中有3个半胱氨酸（第17位、 31位和141位），推测可能是有一个或几个半胱 氨酸形成了不正确的二硫键。研究人员将第17位 的半胱氨酸，通过基因定点突变改变成丝氨酸， 结果使大肠杆菌中生产的β-干扰素的抗病性活性 提高到108 U/mg，并且比天然β-干扰素的贮存 稳定性高很多。
12.5 二次根式及其性质
➢ 要点、考点聚焦 ➢ 课前热身 ➢ 典型例题解析 ➢ 课时训练
➢ 要点、考点聚焦
1.二次根式的定义 (1)式子 (aa≥0)叫做二次根式. (2)二次根式 中a ，被开方数必须非负，即a≥0， 据此可以确定被开方数为非负数. (3)公式( )a2=a(a≥0).
2.积的算术平方根 (1)积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的 积. (2)公式 ab= a •(ab≥0，b≥0).
4.在函数 y
1 x 4
中，自变量x的取值范围是( C )
A.x ≥4 B. x ≤4 C. x >4 D. x <4
➢ 课前热身
5.化简
5
5 5
1
5
6.直接写出下列各题的计算结果：
(1) ( 1 2 ) 2 = 1 ； (2) ( 16 ) ( 9 ) 12 ；
(3) 502 142 = 48 ； (4)(3+ 10 )2002·(3 10 )2003=3 10 .
【例3】 求代数式的值.
二次根式及二次根式的乘除法ppt课件
3 1 (a b)2 (a b)
3 1 (a b) a b
3
3. (2 mx 3 ny)(3 ny+2 mx) (2 mx)2 (3 ny)2 =4mx-9ny.
8
例4：计算
1. 5 2 3
13 5 5 13
13 5 5 13
13 5
5 13
2. 13 5 0.6 2 3
13
5
13 5 13 0.6 13 5
=- 13 5 5 1 3 13
=- 25 3
9
例4：计算
3. 2m-4n 4 m-2n 1
6
a2
5
2ma 2
3
ma (m 2n)
6 5 1 43
2(m-2n) a2
2ma 2 m 2n
ma
5 4m2a 2
5 2m a 2
5m a
5
3
二、例题和练习
例1：x为何值时，下列各式在实数范围内有意义.
1. 5 x x2
解：
Q
5 x 0, x20
x 5, x 2.
∴x≤5且x≠-2时，原式在实数范围内有意义.
4
二、例题和练习
例1：x为何值时，下列各式在实数范围内有意义.
2. x x
解：Q
x 0, x 0
x 0, x 0.
即x=4，代入不等式得 此时，y-1<0,
y 1. 2
| y 1| (y 1) 1 y 1. 1 y 1 y 1 y
6
二、例题和练习
例3：计算
1. 3 30 1 2 2 0.4 43
解：原式 3 1 30 8 2
4
35
3 32 4
34 2 43 27Fra bibliotek例3：计算
3 1 (a b) a b
3
3. (2 mx 3 ny)(3 ny+2 mx) (2 mx)2 (3 ny)2 =4mx-9ny.
8
例4：计算
1. 5 2 3
13 5 5 13
13 5 5 13
13 5
5 13
2. 13 5 0.6 2 3
13
5
13 5 13 0.6 13 5
=- 13 5 5 1 3 13
=- 25 3
9
例4：计算
3. 2m-4n 4 m-2n 1
6
a2
5
2ma 2
3
ma (m 2n)
6 5 1 43
2(m-2n) a2
2ma 2 m 2n
ma
5 4m2a 2
5 2m a 2
5m a
5
3
二、例题和练习
例1：x为何值时，下列各式在实数范围内有意义.
1. 5 x x2
解：
Q
5 x 0, x20
x 5, x 2.
∴x≤5且x≠-2时，原式在实数范围内有意义.
4
二、例题和练习
例1：x为何值时，下列各式在实数范围内有意义.
2. x x
解：Q
x 0, x 0
x 0, x 0.
即x=4，代入不等式得 此时，y-1<0,
y 1. 2
| y 1| (y 1) 1 y 1. 1 y 1 y 1 y
6
二、例题和练习
例3：计算
1. 3 30 1 2 2 0.4 43
解：原式 3 1 30 8 2
4
35
3 32 4
34 2 43 27Fra bibliotek例3：计算
《二次根式和它的性质》PPT课件
二次根式和它的性质
我国自主研制的第一艘载人航 天飞船“神舟5号”于2003年10月15 日发射成功．
（1）运用运载火箭发射航天飞船，火箭必须达到一定的 速度，才能克服地心的引力，将飞船送入环绕地球运行 的轨道．这个速度称为第一宇宙速度．第一宇宙速度的 计算公式是 V1 = gR ．其中g≈9.8米/秒2，R为地球的半 径.你能求出第一宇宙速度吗？
( 双重非负性)
例3：已知（x+2）2 + y =0，求xy=？ 解： ∵ （ x+2 )2 ≥0， y ≥0，（x+2）2+ y =0
∴ （x+2 )2 =0， y =0
解得x=-2
x y=0
y
∴
练习：若
xy =(-2)0=1
a+
a + b + 1 =0，求a、b的值。
小试身手
已知 a b + 6与 a + b 8互为相反数
（2）要使一艘飞船脱离地心引力，进入围绕太阳运行的 轨道所需要的速度称为第二宇宙速度．第二宇宙速度 为 V2 = 2V1 ．第二宇宙速度是多少？
交流与发现
山青林场有甲、乙、丙、丁四块正方形苗圃．已知甲苗圃的面积为S平方米．
（1）如果乙苗圃的面积比甲苗圃大25平方米，乙苗圃的边长是多少？ S + 25 米. （2）如果丙苗圃的面积为甲苗圃的2倍，丙苗圃的边长是多少？ 2 S 米. s 1 （3）如果丁苗圃的面积是甲苗圃的面积的 ，丁苗圃的边长是多少？ p 米
p
（4）你发现上面各题的答案有什么共同特点？与学过的算术平方根等相比有什 么共同点？与同学交流．
式子 S+25 ， 2S ，
s
八年级数学上册第二章实数7二次根式第1课时二次根式及其性质习题pptx课件新版北师大版
其中首先错误的一步是( C )
A. 第一步
B. 第二步
C. 第三步
D. 第四步
【点拨】
因为－3 ＝－ × ＝－ ，所以首先错误的
一步是第三步.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
10. [母题教材P43习题T2] 若直角三角形的两条直角边长分
别为 cm和 cm，则此直角三角形的斜边长为
8
9
10
11
12
13
14
15
(1)第7行，第2列上的数是
4
；
(2)我们规定一个二次根式落在第 a 行，第 b 列，可记作
( a ， b )，如 落在第2行，第4列，记作(2，4)，则
可记作
1
2
3
4
(406，5)
.
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
14. 实数 a ， b 在数轴上的位置如图所示.
( D )
A. 3 cm
B. 3 cm
C. 12 cm
D. 2 cm
【点拨】
由勾股定理，得直角三角形的斜边长＝
( ) ＋( ) ＝2 (cm).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
11. 已知 ＝ a ， ＝ b ，则 . 等于(
−
＋
B.
A.
A. 第一步
B. 第二步
C. 第三步
D. 第四步
【点拨】
因为－3 ＝－ × ＝－ ，所以首先错误的
一步是第三步.
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10. [母题教材P43习题T2] 若直角三角形的两条直角边长分
别为 cm和 cm，则此直角三角形的斜边长为
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15
(1)第7行，第2列上的数是
4
；
(2)我们规定一个二次根式落在第 a 行，第 b 列，可记作
( a ， b )，如 落在第2行，第4列，记作(2，4)，则
可记作
1
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(406，5)
.
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14. 实数 a ， b 在数轴上的位置如图所示.
( D )
A. 3 cm
B. 3 cm
C. 12 cm
D. 2 cm
【点拨】
由勾股定理，得直角三角形的斜边长＝
( ) ＋( ) ＝2 (cm).
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11. 已知 ＝ a ， ＝ b ，则 . 等于(
−
＋
B.
A.
第五讲二次根式PPT课件
【例 3】 计算：(1)(3 2－1)(1＋3 2)－(2 2－1)2； 解 原式＝(3 2)2－1－[(2 2)2－4 2＋1] ＝18－1－8＋4 2－1＝8＋4 2.
(2)( 10－3)2012·( 10＋3)2013. 解 原式＝( 10－3)2012·( 10＋3)2012·( 10＋3) ＝[( 10－3)( 10＋3)]2012·( 10＋3) ＝[( 10)2－32]2012·( 10＋3) ＝(10－9)2012·( 10＋3)＝1×( 10＋3)＝ 10＋3.
4. 同类二次根式：把几个二次根式化为最 简二次根式以后，它们的被开方数相同.
常考类型剖析
类型一 二次根式有意义的条件
例1（’14巴中）要使式子 m 1 有意
m 1
义，则实数m的取值范围是
(D)
A. m＞-1
B. m≥-1 C. m＞-1且m≠1 D. m≥-1且m≠1
第4课时┃ 数的开方及二次根式 考点1 二次根式的相关概念与性质
当堂检测
1．[2014·拱墅二模] 16的值等于
(A)
A．4 B．－4 C．±2 D．2
2．[2014·孝感] 下列二次根式中，不能与 2合并的是
(C )
A.
1 2
B. 8
C.
12
D. 18
考点聚焦
杭考探究
当堂检测
第4课时┃ 数的开方及二次根式
3．[2014·济宁] 如果 ab>0，a＋b<0，那么下面各式：①
C. 27÷ 3＝3
D. （－3）2＝－3
解析 27÷ 3＝ 27÷3＝ 9＝3.
(2)计算： 24－ 23＋ 23－2
1 6
解 原式＝2 6－12 6＋13 6－13 6＝32 6.
(2)( 10－3)2012·( 10＋3)2013. 解 原式＝( 10－3)2012·( 10＋3)2012·( 10＋3) ＝[( 10－3)( 10＋3)]2012·( 10＋3) ＝[( 10)2－32]2012·( 10＋3) ＝(10－9)2012·( 10＋3)＝1×( 10＋3)＝ 10＋3.
4. 同类二次根式：把几个二次根式化为最 简二次根式以后，它们的被开方数相同.
常考类型剖析
类型一 二次根式有意义的条件
例1（’14巴中）要使式子 m 1 有意
m 1
义，则实数m的取值范围是
(D)
A. m＞-1
B. m≥-1 C. m＞-1且m≠1 D. m≥-1且m≠1
第4课时┃ 数的开方及二次根式 考点1 二次根式的相关概念与性质
当堂检测
1．[2014·拱墅二模] 16的值等于
(A)
A．4 B．－4 C．±2 D．2
2．[2014·孝感] 下列二次根式中，不能与 2合并的是
(C )
A.
1 2
B. 8
C.
12
D. 18
考点聚焦
杭考探究
当堂检测
第4课时┃ 数的开方及二次根式
3．[2014·济宁] 如果 ab>0，a＋b<0，那么下面各式：①
C. 27÷ 3＝3
D. （－3）2＝－3
解析 27÷ 3＝ 27÷3＝ 9＝3.
(2)计算： 24－ 23＋ 23－2
1 6
解 原式＝2 6－12 6＋13 6－13 6＝32 6.
二次根式ppt课件
02
二次根式的化简与求值
化简二次根式的方法
因式分解法
将被开方数进行因式分解，提取 完全平方数。例如，√(24) = √(4×6) = 2√6。
分母有理化
当分母含有二次根式时，通过与其 共轭式相乘使分母变为有理数。例 如，1/(√3 + 1) = (√3 - 1)/[(√3 + 1)(√3 - 1)] = (√3 - 1)/2。
计算$(sqrt{3} + sqrt{2})(sqrt{3} - sqrt{2})$。
利用平方差公式进行计算，即 $(sqrt{3} + sqrt{2})(sqrt{3} sqrt{2}) = (sqrt{3})^2 (sqrt{2})^2 = 3 - 2 = 1$。
04
二次根式在方程中的应用
二次根式与一元二次方程的关系
二次根式ppt课件
目录
• 二次根式基本概念与性质 • 二次根式的化简与求值 • 二次根式的运算与变形 • 二次根式在方程中的应用 • 二次根式在不等式中的应用 • 二次根式在函数中的应用
01
二次根式基本概念与性质
二次根式的定义
01
02
03geq 0$）的式子叫做二次根式 。
二次根式的变形技巧
分母有理化
利用平方差公式将分母化为有理 数，同时保持分子的形式不变。
提取公因式
将多项式中相同的部分提取出来 ，简化计算过程。
完全平方公式
将某些二次根式化为完全平方的 形式，便于进行开方运算。
典型例题解析
例题1
解析
例题2
解析
计算$sqrt{8} + sqrt{18}$。
先将$sqrt{8}$和$sqrt{18}$化 为最简二次根式，即$sqrt{8} = 2sqrt{2}$，$sqrt{18} = 3sqrt{2}$，然后根据同类二次 根式的加法法则进行计算，即 $2sqrt{2} + 3sqrt{2} = 5sqrt{2}$。
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(4) ( 2)2 3
(5)
( 2)2
3
练习2: (1).( ) 2 =16 (2) ( ) 2 =0.81 (3) () 2 =25
4
(4) ( ) 2 =
9
(5) ( ) 2 =0
(6) 0 2
.
归纳概念
如果一个数x的平方等于a,那么这个 数x就叫做a的平方根.
81 = ±9
平方根的符号表示
一般的，a(a≥0)的平方根记作:
a
二次根号
被开方数， a≥0
正数的平方根有两个，互 为相反数。
用符号表示下列各数的平方根：
81，16，0.25，0， 625
9 , 1 ,100 16 25 121
1 , 1 ,10 3 5 11
说出下列符号的意义
361, (5)2 , 3, 7 361, (5)2 , 3 什么叫算术平方根？ 361, (5)2 , 3
（2）1.414 213 5622=_1_._9_9_9__9__9_9__9_9_9
5 试一试: 3
你有什么 发现？
实际上：
无限不循环小数
联系对比、独立完成
（1）使用计算器计算：把有理数
6, 3 , 1 , 1 573
写成小数的形式后，观察它们的小数部分
有什么特点？
有限小数 有理数
有理数
无限循环小数
类比 ( a)2 a (a 0) ,想到研究 ( 3 a )3 ?
整理旧知识
我们都学过了哪些数？这些 数可以怎样分类？
整数和分数统称为有理数。
结合数轴认识新数
-7 -6 -5 -4-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
独立思考
把两个薄厚相同，面积是1的正方形
铁片融化，制成与原来薄厚相同的正方
数学语言表示:
若x2=a(a≥0),则x叫a (a≥0)的平方根.
求一个非负数的平方根的运算,叫做开平
方运算。
到目前为止，
我们共学习
了哪几种运
算？
尝试应用、提高表达能力
∵±4的平方等于16, ∴16的平方根是±4. 另外的说法：±4是16的平方根。
归纳平方根的性质
求x并尝试表达： ⑴ x2=81; ⑵x2=0.⑶x2=-4 . ⑷x2=0.36⑸x2=-49 ⑹x2=121. 平方根想的一性想质：: 一1个、正通数过有什两么运个算平求方一根个,它正们数互的为平相方反根数？;
先说式子的意义再计算
3 27
3 27
3 2 10 27
3 27 64
平方根----立方根（类比）
类比平方根的定义得到立方根的定义； 类比开平方的定义得到开立方的定义； 类比平方根的求法求一个数的立方根； 类比平方根的性质研究立方根的性质.
与开平方运算比较：任何数都能进行开立方运 算，运算正数a的正的平方根，叫做a的算术平 方根。
2、规定：0的算术平方根是0。
a
正数a的算术平方根
a a
正数a的平方根
正数a的负的平方根（算术平方根 的相反数）
动手实践
根据定义，你
能得出 a的取
值范围吗？
例1：（1）求49的正的平方根；
（2）求 4 的负的平方根；
平方根和立方根
情境与新知
学校要举行美术作品比赛，晓鸥很高 兴，他想裁出一块面积为25dm2的正方形 画布，画上自己的得意之作参加比赛， 这块画布的边长应取多少？
5 2 25
画布的边长是5dm
算一算、想一想
练习1:计算: (1) 42 (2) 0.92 (3) (-5) 2
(1)什么叫一个数a的平方根?如何用符号表 示数a(≥0)的平方根?
(2)正数有几个平方根?它们之间的关系是什 么?负数有没有平方根?0平方根是什么?
(3)当a≥0时，下列各式的意义各是什么?
a a a
想一想（一）
1、你能类比比平方根得到立方根定义吗？ 2、你能类比开平方的定义得到开立方的
（2）判断 2 是不是有理数？
如果不是，那它是什么样的数？
综合应用
判断下列结论是否正确 ① -4的平方是 16. ① 25的平方根是 ±5 ② 2是4的平方根. ③ 4的平方根是2. ④ 196 的算术平方根是16.
小结
获得的知识； 到目前为止，我们共学习了哪几个结果
非负的数量？
a2. a a(a 0)
类比探究、获得新知
9
（3）求169的算术平方根；
（4）求121的平方根；
平方根和
（5）求(-5)2的平方根； 算术平方根有 什么区别和联
（6）求m的平方根； 系？
下列各数有平方根吗？如果有，写出它 的平方根和算术平方根，如果没有说明 理由。
① 625 ② 81 ③ 0
④ -9
⑤ (-2) 2 ⑥ -5 2 ⑦10 -2
2、我们所学过的数都有平方根吗？有几 0有个一? 个平方根,它是0本身. 负数没有平方根.
小结
今天获得的新知； 获得的新方法； 和以前学过的五种运算不同，开平
方运算不是总可以进行；运算结果不唯 一.
温故知新
1、什么叫平方根？数学语言呢？ 2、求下列各数的平方根： ⑴ 81; ⑵ 0.⑶ -4 . ⑷ 0.36⑸ 49 ⑹ 121. 解：因为92=81，（-9）2=81,所 以81的平方根是9和-9，也可以 说成81的平方根是±9。
定义吗？ 3、你能类比平方根的表示方法得到立方
根的表示法吗？
想一想（二）：
1、 你能类比平方根的求法求一个数的 立方根吗？
2、你能类比平方根的性质说出立方根的 性质吗？
议一议：
1、一个正数有两个平方根，那么一个正 数有几个立方根？
2、负数没有平方根，那么负数有立方根 吗？
强调：立方根的个数的性质可以概括 为立方根的唯一性. 即一个数的立方根 是唯一的.
形铁片，现在这个铁片的边长是多少？
1
22
1
合作、动手完成：
把两个边长为1个单位长度的正
方形纸片，剪一剪，拼一拼，得到
一个面积为2的正方形。
合作探究 2
利用手上的刻度尺、计算器探究： （1）大概是多少？ （2）你知道它的精确取值吗？
集体交流
(1)利用计算器 2 1.414 213 562