上海市复兴高级中学2018学年度第一学期高一(分班考)数学试题
上海市上海中学2018年10月2018～2019学年度高一第一学期期中考试数学试题及参考答案教师专用
上海市2018年10月2018～2019学年度上海中学高一上期中考试数学试卷一、选择题(本大题共4小题)1.已知集合,则中元素的个数为A. 9B. 8C. 5D. 4【试题参考答案】A分析:根据枚举法,确定圆及其内部整点个数.详解: ,当时,;当时,;当时,;所以共有9个,选A.本题考查集合与元素关系,点与圆位置关系,考查学生对概念理解与识别.2.已知实数x,y,则“”是“”的( )A. 充要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件【试题参考答案】B【试题分析】找出与所表示的区域,再根据小范围推大范围可得结果.【试题解答】表示的区域是以为顶点的正方形及内部,表示的区域是以为圆心,1为半径的圆及内部,正方形是圆的内接正方形,,推不出,“”是“”的充分而不必要条件.故选:B.本题主要考查充分条件和必要条件的判断,考查了不等式组表示的区域,考查了推理能力,属于中档题.3.设,,且,则( )A. B.C. D. 以上都不能恒成立【试题参考答案】A【试题分析】利用反证法可证得,进而由可得解.【试题解答】利用反证法:只需证明,假设,则:所以:,但是,故:,,.所以:与矛盾.所以:假设错误,故:,所以:,故选:A.本题考查的知识要点:反证法的应用,关系式的恒等变换,主要考查学生的运算能力和转化能力,属于中档题型.4.对二次函数(为非零常数),四位同学分别给出下列结论,其中有且仅有一个结论是错误的,则错误的结论是( )A. 是的零点B. 1是的极值点C. 3是的极值D. 点在曲线上【试题参考答案】A若选项A错误时,选项B、C、D正确,,因为是的极值点,是的极值,所以,即,解得:,因为点在曲线上,所以,即,解得:,所以,,所以,因为,所以不是的零点,所以选项A错误,选项B、C、D正确,故选A.【考点定位】1、函数的零点;2、利用导数研究函数的极值.二、填空题(本大题共12小题)5.已知集合,用列举法表示集合______.【试题参考答案】0,1,【试题分析】先由x的范围推出y的范围,然后从中取整数即可.【试题解答】因为,,即,又,,,,,,,故答案为:0,1,本题考查了集合的表示法属基础题.6.设集合,集合,则______.【试题参考答案】【试题分析】根据交集定义求出即可.【试题解答】,,故答案为:.此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.7.能说明“若a﹥b,则”为假命题的一组a,b的值依次为_________.【试题参考答案】(答案不唯一)分析:举出一个反例即可.详解:当时,不成立,即可填.本题考查不等式的性质等知识,意在考查学生的数学思维能力.8.集合,,若,则a的取值范围是______.【试题参考答案】【试题分析】先求出集合A,根据,即可求出a的取值范围.【试题解答】,,若,则,故答案为:.本题主要考查集合子集关系的应用,利用不等式的解法以及数轴是解决此类问题的关键.9.命题“若,则且”的逆否命题是______.【试题参考答案】若或,则试题分析:原命题:若则。
2018-2019学年上海市上师大附中高一上学期期中数学试题(平行班)(解析版)
【详解】因为集合中的元素是互异的，所以，，互不相等，即不可能是等腰三角形．l m n ABC △D ．【点睛】本题主要考查了集合的表示方法，以及元素的基本特征，其中解答中熟记集合中元素的互异性是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．．已知，且，则下列不等式中一定成立的是（ ）a b R ∈0a b <<B ．C ．D ．11a b <b a a b <22a b <2ab b <【答案】B 【解析】结合,对 赋值，逐个分析选项即可得解.0a b <<,a b 【详解】【解析】通过举满足题意的反例，可得解1,1x -<⎩【详解】取函数，1,1()1,1x f x x ≥⎧=⎨-<⎩对任意都有恒成立，但是不具有奇偶性.x ∈R ()()f x f x =-故选：D【点睛】本题考查函数奇偶性的判断,通过举反例可说明函数不具有奇偶性.．在整数集中，规定被5除所得余数为的所有整数组成“一类”，记为，即Z k []k ，，给出如下四个结论：{}|5,x x n n Z k ==+∈0,1,2,3,4k =；②；③；④“整数，属于同‘一类’”的充[]20183∈[]20183-∈[][][][][]01234Z = a b []0a b -∈二、填空题．已知全集，集合，则_______U =R {}|1,A x x x R =≤∈U C A =【答案】()1,+∞【解析】根据补集的概念直接求解即可.【详解】，集合，则U =R {}|1,A x x x R =≤∈UC A =(){|1}1,x x >=+∞故答案为：()1,+∞【点睛】本题考查补集的运算，是简单题.．不等式的解集是________21x <【详解】有意义，则262x x y x +-=-解得且，2020x x -≥≠23x -≤≤2x ≠函数的定义域为.262x x y x +-=-[)(]2,22,3- 故答案为：[)(]2,22,3- 【点睛】本题考查函数的定义域，列出使函数有意义的不等式组求解即可.是基础题.．命题“若，则”的否命题是_______3x >2560x x -+>本题考查写出命题的否命题，对条件和结论同时否定是解题的关键.9．若，，则命题甲“”是命题乙“”的_______条件（填“充分非必要”、“必要x y R ∈44x y xy +>⎧⎨>⎩22x y >⎧⎨>⎩非充分”、“充要”或“既非充分又非必要”）【答案】必要不充分【解析】根据充分必要条件的定义判断即可．【详解】由甲推不出乙，比如x=1，y=7，故不是充分条件，由乙可推出甲，是必要条件，则命题甲“”是命题乙“”的必要不充分条件，44x y xy +>⎧⎨>⎩22x y >⎧⎨>⎩故答案为：必要不充分【点睛】本题考查了充分必要条件的定义，考查不等式问题，是一道基础题10．已知某班有50个学生，每个学生的家中至少订阅、两种报纸中的一种，已知订阅报的有a b a 34户，订阅报的有28户，则订阅报且不订阅报的有______户b a b 【答案】22【解析】先求得既订阅报又订阅报的户数，进而可求得订阅报且不订阅报的户数.a b a b 【详解】设A 为订报家的集合，B 为订报家的集合，由题意a b ,()34,()28,()50n A n B n A B === ,()()()()34285012n A B n A n B n A B ∴=+-=+-= 所以订阅报且不订阅报的户数是.a b ()()34-12=22n A n A B -= 故答案为：22【点睛】本题考查了容斥原理公式：A 类B 类元素个数总和=属于A 类元素个数+属于B 类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数()()222=-(2+2)=-6f -=-故答案为：6-【点睛】本题考查的知识点是分段函数的应用，利用奇偶性求函数值，难度不大，属于基础题．．关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是__________x 2320kx kx k ++-≤R k 【答案】8,05⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】讨论和两种情况，求出关于x 的不等式的解集为时，对应0k =0k ≠2320kx kx k ++-≤R 的取值范围即可．【详解】时，不等式化为恒成立，所以，0=20-≤0k =【详解】441111x x x x +=-++--）当x ＞1时， x-1＞0，444112(1)15111x x x x x x +=-++≥-⋅+=---当且仅当，当x-1=2，即x=3时，取等号，411x x -=-故函数的值域为[5，+∞）．）当 时， ，1x < 10x -<444112(1)13111x x x x x x +=-++≤--⋅+=----41x -=时，由单调性可得：，即，不等式无解；11,2t -≥≥211t t ->+220t t -+<时，不等式即：，11,2t -<<()()211f t f t ->-由单调性可得：，即，解得：，211t t -<-220t t +-<21t -<<综上可得：实数的取值范围是.t ()2,1-点睛：本题考查二次函数的问题，二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．．设是集合的非空子集，称中的元素之和为的“容量”，则的所有非A {}123456S =,,,,,A A S 空子集的“容量”之和是_______【答案】672【解析】在所有的子集中，每个元素出现的次数都是个，由此能求出结果．S 52在上恒成立,2x ≤--[]1,2min (2)4x ≤--=-故答案为：4m ≤-【点睛】本题主要考查学生的对新定义的分析和解决的能力，主要考查了转化与划归的思想.三、解答题．已知集合，.{}|14A x x =+<1|02x B x x a -⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭）求和；A B ）若，求实数的取值范围.A B B = a [ 2.5- 1.5]②当时，．满足题意；0.5a =B =∅③当时，．0.5a <{|21}B x a x =<<此时，则．2125a a <⎧⎨-⎩… 2.50.5a -<…综上所述，实数的取值范围是，．a [ 2.5- 1.5]【点睛】本题考查集合的表示方法，两个集合的交集的定义和求法，绝对值不等式，一元二次不等式的解法，求出和，是解题的关键．A B ．某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的出售，当顾客在商场内消费一定金额后，80%按如下方案获得相应金额的奖券：消费金额（元）的[)200,400[)400,500[)500,700[)700,900…消费金额（元的范围进行讨论，然后解不等式组即可获得问题的解答．)【详解】（1）由题意可知：．10000.213033%1000⨯+=故购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是．33%（2）设商品的标价为元．x 则，消费额：．500800x ……4000.8640x ……由已知得（Ⅰ）或 （Ⅱ）0.260134000.8500x x x +⎧⎪⎨⎪⎩………0.2100135000.8640x x x +⎧⎪⎨⎪⎩………不等式组（Ⅰ）无解，不等式组（Ⅱ）的解为．625750x ……因此，当顾客购买标价在，元内的商品时，[625750],，288214()(())()9999f f f ===328814145()(())()199999f f f f ===-=，观察是以4为周期，由4388558()(())()2(1)99999f f f ===-=488()()(,)99k r r f f k r N +=∈解即可．【详解】（1）①当时，由得，．01x ……2(1)x x -…23x …．∴213x ……②当时，因恒成立．12x <…1x x -…．12∴<x …2{|2}x x ……）若不等式的解集是，求的值；()0f x ≤[]0,6b a ）若，对任意，都有成立，且存在，使得成立，求实3b a =x ∈R ()0f x ≥x ∈R ()223f x a ≤-的取值范围；）若方程有一个根是1，且，，求的最小值，并求此时，()0f x =a 0b >11212a b +++a b 【答案】（1）；（2）；（3）最小值，.1b a =[]{}9,60-- 231a b ==【解析】（1）利用不等式的解集，转化为方程的根，求解即可．（2）利用二次函数的性质，列出不等式组求解即可．（3）利用基本不等式转化求解函数的最值的即可．【详解】本题考查函数的零点个数，不等式的解法，考查转化思想以及计算能力．．已知有限集，如果中元素满足{}123,,,n A a a a a = ()*2,n n N ≥∈A ()11,2,3,a i n = ，就称为“复活集”.1n n a a a a =+++ A ）判断集合是否为“复活集”，并说明理由；1515,22⎧⎫-+--⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭）若，，且是“复活集”，求的取值范围；1a 2a R ∈{}12,a a 12a a ）若，求证：“复活集”有且只有一个，且.*1a N ∈A 3n =【答案】（1）是；理由见解析；（2）；（3）见解析；()(),04,-∞+∞ 【解析】根据已知中“复活集”的定义，结合韦达定理及反证法，进而可得答案．【详解】1515⎧⎫-+--即有，12a <，于是，无解，即不存在满足条件的“复活集” ，11a ∴=221a a +=2a A 当时，，故只能，，求得，于是“复活集” 只有一个，为，3n =123a a <11a =22a =33a =A {12，．3}当时，由，即有，4n …121123(1)n a a a n -⋯⨯⨯⨯⋯⨯-…(1)!n n >-也就是说“复活集” 存在的必要条件是，事实上，A (1)!n n >-，矛盾，22(1)!(1)(2)32(2)22n n n n n n n ---=-+=--+>…当时不存在复活集，∴4n …A 所以，“复活集”有且只有一个，且.A 3n =【点睛】本题考查的知识点是元素与集合的关系，正确理解已知中的新定义“复活集”的含义是解答的关键，难度较大。
上海市虹口区复兴高中学2018-2019学年高一第一学期10月月考数学试题
上海市虹口区复兴高级中学2018-2019年第一学期10月监测练习高一数学试题一、填空题（12题，54分）1.若集合},1{a A =与},1{2a B =相等，则=a2.命题“若1=x 且1=y ，则2=+y x ”的否命题是3.已知集合}3,1,0{=M ，集合},3{M a a x x N ∈==，则=⋃N M4.下列命题：①b c a c b a -<-⇒>；②bc a c c b a <⇒>>0,；③22bc ac b a >⇒>；④b a b a >⇒>33，其中正确的命题个数是5.已知集合}01{2=-=x x A ，}0143{234=-++-=y y y y y B ，则=⋂B A6.若对任意R x ∈，不等式01)1()1(22<----x a x a 恒成立，则实数a 的取值范围是7.已知关于x 的不等式0<-b ax 的解集为),1(+∞-，则关于x 的不等式02<+bx ax 的解集是 8.与不等式组⎩⎨⎧≥->--12022x x x 同解的一个分式不等式可以是9.已知21>x ，则1298-+x x 的最小值为 10.定义集合运算”“⨯：},),{(B y A x y x B A ∈∈=⨯，称为B A ，两个集合的“卡氏积”，若},02{2N x x x x A ∈≤-=，}3,2,1{=B ，则=⨯⋂⨯)()(A B B A11.设函数b ax x x f ++=2)(),(R b a ∈，若关于x 的不等式x x f -≤≤6)(0的解集为}6{]3,2[⋃，则=+b a12.对任意两正实数b a 、，定义ba b a ⨯=λ*。
其中常数)1,22(∈λ，”“⨯是通常的实数乘法运算，若0>≥b a ，b a *与a b *都是集合},2{Z n n x x ∈=中的元素，则b a *=二、选择题（4题，20分）13.不等式2-≤+ab b a 成立的条件是（ ）R b a A ∈,. 0.≠ab B 0.>ab C 0.<ab D14.对于全集U 的子集B A ,，若A 是B 的真子集，则下列集合中必为空集的是（ ）B AC A U ⋂).( )(.B C A B U ⋂ )().(B C A C C U U ⋂ B AD ⋂.15.设集合}2{>=x x M ，}3{<=x x P ，那么”且“P x M x ∉∉是”“P M x ⋂∉的（ ）条件. .A 充分不必要 .B 必要不充分 .C 充要 .D 既不充分也不必要16.设集合}032{2>-+=x x x A ，集合}0,012{2>≤--=a ax x x B ，若B A ⋂中恰有一个整数，则实数a 的取值范围是（ ） )43,0.(A )34,43.[B )2,43.[C ),1.(+∞D三、解答题17.已知集合A={}{}2560,,mx 2m,,B x x x x R B x x R --≤∈=-=∈满足A ≠⊂（1）化简集合B; (2)求实数m 的取值范围18. 已知命题①函数y=a 2x -2ax+a+1的图像总在x 轴上方；命题②关于x 的方程（a-1）2x +(2a-4)x+a=0有两个不相等的实数根。
上海市徐汇区上海中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题含答案解析 (1)
上海市徐汇区上海中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共4小题）1.已知集合，则中元素的个数为（）A. 9B. 8C. 5D. 4【答案】A【解析】，当时，；当时，；当时，；所以共有9个，选A.2.已知实数x，y，则“”是“”的（）A. 充要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】表示的区域是以为顶点的正方形及内部，表示的区域是以为圆心，1为半径的圆及内部，正方形是圆的内接正方形，，推不出，“”是“”的充分而不必要条件．故选：B．3.设，，且，则（）A. B.C. D. 以上都不能恒成立【答案】A【解析】利用反证法：只需证明，假设，则：，所以：，但是，故：，，．所以：与矛盾．所以：假设错误，故：，所以：，故选：A．4.对二次函数（为非零常数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（）A. 是的零点B. 1是的极值点C. 3是的极值D. 点在曲线上【答案】A【解析】若选项A错误时，选项B、C、D正确，，因为是的极值点，是的极值，所以，即，解得：，因为点在曲线上，所以，即，解得：，所以，，所以，因为，所以不是的零点，所以选项A错误，选项B、C、D正确，故选A．二、填空题（本大题共12小题）5.已知集合，用列举法表示集合______．【答案】0，1，【解析】因为，，即，又，，，，，，，，故答案为：0，1，.6.设集合，集合，则______．【答案】【解析】，，故答案为：．7.能说明“若a﹥b，则”为假命题的一组a，b的值依次为_________.【答案】（答案不唯一）【解析】当时，不成立，即可填．8.集合，，若，则a的取值范围是______．【答案】【解析】，，若，则，故答案为：．9.命题“若，则且”的逆否命题是______．【答案】若或,则【解析】原命题：若则. 逆否命题为：若则. 注意“且”否之后变“或”.10.设，是方程的两个实根，则“且”是“，均大于1”的___条件．【答案】必要但不充分【解析】根据韦达定理得：，，判定条件是p：，结论是q：；还要注意条件p中，a，b需满足的大前提由，得，；为了证明，可以举出反例：取，，它满足，，但q不成立，上述讨论可知：，是，的必要但不充分条件，故答案为：必要但不充分．11.某班有50名学生报名参加A、B两项比赛，参加A项的有30人，参加B项的有33人，且A、B都不参加的同学比A、B都参加的同学的三分之一多一人，则只参加A项，没有参加B项的学生有__人【答案】9【解析】设A、B都参加的同学为x人，则只参加A，不参加B的为，只参加B，不参加A的为，则AB都不参加的人数为．因为A、B都不参加的同学比A、B都参加的同学的三分之一多一人，所以，解得．所以只参加A项，没有参加B项的学生有．故答案为：9.12.已知不等式的解集为，则不等式的解集为______．【答案】{x|x>或x<}.【解析】依题意，令，代入方程，解得，故，即，解得.13.已知正数x、y、z满足，则的最小值为______．【答案】36【解析】正数x、y、z满足，，当且仅当，，，取等号．故答案为36．14.如关于x的不等式对任意恒成立，则a的取值范围为___．【答案】【解析】因为，所以原不等式可化为：，，对任意恒成立，，，故答案为：．15.已知函数，．若方程恰有4个互异的实数根，则实数的取值范围为__________．【答案】．【解析】（方法一）在同一坐标系中画和的图象（如图），问题转化为与图象恰有四个交点．当与（或与）相切时，与图象恰有三个交点．把代入，得，即，由，得，解得或．又当时，与仅两个交点，或．（方法二）显然，∴．令，则．∵，∴．结合图象可得或．16.定义表示，，，中的最小值，表示，，，中的最大值则对任意的，，的值为______．【答案】【解析】设，、，，，，即，，可得，，，即有m的最小值为，故答案为：．三、解答题（本大题共5小题）17.已知集合，7，，，且，求集合B．解：集合，7，，，且，或舍，解得，当时，5，，不成立；当时，5，，7，1，，成立．集合1，4，．18.解下列不等式：；解：，或，解得：或，原不等式的解集为.由，得，解得，原不等式的解集为．19.设函数，，记的解集为M，的解集为N．求集合M和N；当时，求的取值范围．解：由，得或，解得：或，故；由得，故.时，，原式，，20.某轮船公司的一艘轮船每小时花费的燃料费与轮船航行速度的平方成正比，比例系数为轮船的最大速度为15海里小时当船速为10海里小时，它的燃料费是每小时96元，其余航行运作费用（不论速度如何)总计是每小时150元假定运行过程中轮船以速度v匀速航行．求k的值；求该轮船航行100海里的总费用燃料费航行运作费用的最小值．解：由题意，设燃料费为，当船速为10海里小时，它的燃料费是每小时96元，当时，，可得，解之得．其余航行运作费用不论速度如何总计是每小时150元．航行100海里的时间为小时，可得其余航行运作费用为元，因此，航行100海里的总费用为，，当且仅当时，即时，航行100海里的总费用最小，且这个最小值为2400元．答：值为，该轮船航行100海里的总费用W的最小值为元．21.已知二次项系数是1的二次函数．当，时，求方程的实根；设b和c都是整数，若有四个不同的实数根，并且在数轴上四个根等距排列，试求二次函数的解析式，使得其所有项的系数和最小．解：当，时，，设，则，，解得或，当时，，解得或；当时，，解得：或，综上所述：的实根有：，，，；，即为，即有，，可得，或，不妨设四个根分别为，，，，可得四个根的和为，即；又设，，消去d，可得，可得，由b，c为整数，可得也为正整数的平方，设，k为正整数，即有，即为，由为正整数的平方，且，由取得最小值，可得b的最小值为22，，，则，其所有项的系数和最小．。
2018-2019学年上海市复兴高级中学高一下学期期末数学试题(解析版)
2018-2019学年上海市复兴高级中学高一下学期期末数学试题一、单选题1．若{}n a 是等比数列，下列结论中不正确的是（ ）A.一定是等比数列；B.21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭一定是等比数列；C.{}1n n a a ++一定是等比数列；D.{}3n n a a +一定是等比数列【答案】C【解析】判断等比数列,可根据1n na a +为常数来判断. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ,则对A==,故一定是等比数列；对B ：22+121211=()1n n n na a a q a +=为常数,故21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭一定是等比数列； 对C ：当1q =-时,10n n n n a a a a ++=-=,此时{}1n n a a ++为每项均为0的常数列；对D ：2+143n n n n a a q a a ++=为常数,故{}3n n a a +一定是等比数列. 故选：C. 【点睛】本题主要考查等比数列的判定,若数列的后项除以前一项为常数,则该数列为等比数列.本题选项C 容易忽略1q =-时这种情况.2．正项等比数列{}n a 与等差数列{}n b 满足11a b =，77a b =，17a a ≠，则44ab ，的大小关系为（ ） A.44a b = B.44<a bC.44a b >D.不确定【答案】B【解析】利用17442b b a b +==分析44a b ，的关系即可. 【详解】因为正项等比数列{}n a 与等差数列{}n b ,故4a =又17442b b b a +=≥=,当且仅当17b b =时“=”成立,又17a a ≠即17b b ≠,故44<a b , 故选：B 【点睛】本题主要考查等差等比数列的性质与基本不等式的“一正二定三相等”. 若{}n a 是等比数列，且(,,,*)m n p q m n p q N +=+∈，则m n p q a a a a = 若{}n a 是等差数列，且(,,,*)m n p q m n p q N +=+∈，则m n p q a a a a +=+ 3．若()cos sin f x x x =-在[],a a -是减函数，则a 的最大值是 A ．4π B ．2π C ．34π D ．π【答案】A 【解析】【详解】分析：先确定三角函数单调减区间，再根据集合包含关系确定a 的最大值.详解：因为π()cos sin )4f x x x x =-=+，所以由π02ππ2π,(k Z)4k x k +≤+≤+∈得π3π2π2π,(k Z)44k x k -+≤≤+∈ 因此π3ππ3ππ[,][,],,044444a a a a a a a -⊂-∴-<-≥-≤∴<≤，从而a 的最大值为π4，选A. 点睛：函数sin()(0,0)y A x B A ωϕω=++>>的性质：(1)max min =+y A B y A B =-，. (2)周期2π.T ω= (3)由ππ()2x k k ωϕ+=+∈Z 求对称轴， (4)由ππ2π2π()22k x k k ωϕ-+≤+≤+∈Z 求增区间； 由π3π2π2π()22k x k k ωϕ+≤+≤+∈Z 求减区间. 4．己知函数()2*21,12x x n n f x n N x x x -+-⎛⎫=∈≠ ⎪++⎝⎭的最小值为n a ，最大值为n b ，若()()11n n n c a b =--，则数列{}n c 是（ ）A.公差不为0的等差数列B.公比不为1的等比数列C.常数数列D.以上都不对【答案】C【解析】先根据判别式法求出()f x 的取值范围,进而求得n a 和n b 的关系,再展开算出n c 分析即可. 【详解】设221x x ny x x -+=++,则222(1)(1)(1)0x x y x x n y x y x y n ++=-+⇒-+++-=, 因为12n x -≠,故1y ≠,故二次函数2(1)4(1)()0y y y n ∆=+---≥,整理得 23(46)410y n y n -++-≤,故n a 与n b 为方程23(46)410y n y n -++-=的两根,所以()()46414111()1333n n n n n n n n n c a b a b a b +-=--=-++=-+=-为常数. 故选：C. 【点睛】本题主要考查判别式法求分式函数范围的问题,再根据二次函数的韦达定理进行求解分析即可.二、填空题5．22321lim 2n n n n n →∞+-=-+_________________．【答案】3【解析】分式上下为n 的二次多项式,故上下同除以2n 进行分析. 【详解】由题,2222213321lim lim 1221n n n n n n n n n n →∞→∞+-+-=-+-+,又222112lim ,lim ,lim ,lim 0n n n n n n n n →∞→∞→∞→∞=, 故2222213321300lim lim =31221001n n n n n n n n n n→∞→∞+-+-+-==-+-+-+. 故答案为：3. 【点睛】本题考查了分式型多项式的极限问题，注意：当,0,,k j a b k j N+≠∈时,1111011110,() (i)=,()...0,()k k k k kj j n j j jk j a n a n a n a a k j b n b n b n b b k j ---→∞-⎧∞>⎪++++⎪=⎨++++⎪⎪<⎩6．角α的终边经过点()()340P a a a ->，，则sin α=___________________． 【答案】45-【解析】先求出P 到原点的距离r ,再利用正弦函数定义sin yrα=求解. 【详解】因为0a >,所以P到原点距离5r a ==,故44sin 55a a α-==-. 故答案为：45-. 【点睛】设α始边为x 的非负半轴,终边经过任意一点(,),P x y OP r =,则：sin ,cos ,tan y x y r r xααα=== 7．67是等差数列-5，1，7，13，……中第n 项，则n =___________________． 【答案】13【解析】根据数列写出等差数列通项公式n a ,再令67n a =算出n 即可. 【详解】由题意,首项为-5,公差为1(5)6--=,则等差数列通项公式5(1)6611n a n n =-+-⨯=-,令67n a =,则61167,13n n -==故答案为：13. 【点睛】等差数列首项为1a 公差为d ,则通项公式1(1)n a a n d =+- 8．若数列{}n a 满足113a =，1n n n a a +-=，则na n的最小值为__________________． 【答案】235【解析】由题又1n n n a a +-=,故考虑用累加法求n a 通项公式,再分析na n的最小值. 【详解】112211...(1)(2)...+1+13n n n n n a a a a a a a a n n ---=-+-++-+=-+-+2(11)(1)1313222n n n n-+-=+=-+ ,故131112222n a n n n =+-≥=,当且仅当13=,2n n n=.又n 为正整数,且56<,故考查当5,6n =时. 当5n =时554+13232==555a ⋅,当6n =时665+13142==663a ⋅,因为231453<, 故当5n =时, n a n取最小值为235.故答案为：235. 【点睛】本题主要考查累加法,求最小值时先用基本不等式,发现不满足“三相等”,故考虑与相等时n 的取值最近的两个正整数.9．设S n 为数列{a n }的前n 项和，若S n ＝(－1)n a n －12n，n ∈N ，则a 3＝________． 【答案】－116【解析】当n ＝3时，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝－a 3－18，则a 1＋a 2＋2a 3＝－18，当n ＝4时，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 4－116，两式相减得a 3＝－116. 10．设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，若1345a a a a =+++…，则q =__________________．【解析】由1345a a a a =+++…可知1q <,算出345a a a +++…用1a 表示的极限,再利用性质计算得出q 即可. 【详解】显然公比不为1,所以公比为q 的等比数列{}n a 求和公式1(1)1-=-n n a q S q , 且1345a a a a =+++…,故01q <<.此时1(1)1-=-n n a q S q 当n →∞时,求和极限为11a q -,所以3345...1a a a a q +++=-,故2311345...=11a a q a a a a q q=+++=--,所以2211101a q a q q q =⇒+-=-,故12q -±=,又01q <<,故12q =.. 【点睛】本题主要考查等比数列求和公式1(1)1-=-n n a q S q,当01q <<时1lim 1n n a S q →∞=-.11．在ABC △，若cos 25C =，1BC =，5AC =，则AB =__________________．【答案】【解析】由cos 25C =,故用二倍角公式算出cos C ,再用余弦定理算得即可. 【详解】23cos 2cos 125C C =-=-,又1BC =，5AC =,又2222cos AB BC AC BC AC C =+-⋅⋅,代入得222315215()325AB =+-⋅⋅⋅-=,所以AB =故答案为：【点睛】本题主要考查二倍角公式与余弦定理,属于基础题型.12．如果()()sin 2cos()f x x x ϕϕ=+++是奇函数，则tan ϕ= . 【答案】－2【解析】试题分析：∵()()sin 2cos()f x x x ϕϕ=+++，∴()0sin 2cos f ϕϕ=0=+，∴sin 2cos ϕϕ=-，∴tan ϕ=-2 【考点】本题考查了三角函数的性质点评：对于定义域为R 的奇函数恒有f(0)=0.利用此结论可解决此类问题13．如图，将全体正整数排成一个三角形数阵，按照这样的排列规律，第n 行()3n ≥从右至左的第3个数为___________．【答案】(1)22n n +- 【解析】由题可以先算出第n 行的最后一个数,再从右至左算出第3个数即可. 【详解】由图得, 第n 行有n 个数,故前n 行一共有(1)12...2n n n ++++=个数,即第n 行最后一个数为(1)2n n +,故第n 行()3n ≥从右至左的第3个数为(1)22n n +-. 【点睛】本题主要考查等差数列求和问题,注意从右至左的第3个数为最后一个数减2.14．对于数列{}n a ，若存在(),1i j i j ≤<，使得i j a a =，则删去j a ，依此操作，直到所得到的数列没有相同项，将最后得到的数列称为原数列的“基数列”.若2cos 19n n a π=，则数列{}n a 的“基数列”的项数为__________________． 【答案】10【解析】由题意可得,只需计算2cos 19n n a π=所有可能取值的个数即可. 【详解】 因为求2cos19n n a π=的可能取值个数,由周期性,故只需考虑20219n ππ<≤的情况即可. 此时019n <≤.一共19个取值,故只需分析12318192463638cos,cos ,cos ...cos ,cos1919191919a a a a a πππππ=====, 又由cos(2)cos πθθ-=,故181362coscos 1919a a ππ===,172344cos cos ...1919a a ππ=== 1092018cos cos 1919a a ππ===,即不同的取值个数一共为19910-=个.即“基数列”分别为129,...a a a 和19a 共10项. 故答案为：10 【点睛】本题主要考查余弦函数的周期性.注意到2cos 19n n a π=随着n 的增大n a 的值周期变化,故只需考虑一个周期内的情况.15．已知n S 为数列{a n }的前n 项和，且22111n n n a a a ++-=-，21313S a =，则{a n }的首项的所有可能值为______【答案】34，- 【解析】根据题意，化简得22111n n n a a a ++-=-，利用式相加，得到2213113112S a a a --=-，进而得到211120a a --=，即可求解结果.【详解】因为22111n n n a a a ++-=-，所以22111n n n a a a ++-=-， 所以2222222213321313121,1,,1a a a a a a a a a -=--=--=-， 将以上各式相加，得2213113112S a a a --=-，又21313S a =，所以211120a a --=，解得13a =-或14a =.【点睛】本题主要考查了数列的递推关系式应用，其中解答中利用数列的递推关系式，得到关于数列首项的方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题. 16．已知无穷等比数列{}n a 满足：对任意的*n N ∈，sin 1n a =，则数列{}n a 公比q 的取值集合为__________． 【答案】{}41,q q k k Z =+∈【解析】根据条件先得到：n a 的表示，然后再根据{}n a 是等比数列讨论公比q 的情况. 【详解】因为sin 1n a =，所以2,2n a k k Z ππ=+∈，即(41),2n k a k Z π+=∈；取{}n a 连续的有限项构成数列{}n b ，不妨令1(41),2k b k Z π+=∈，则2(41),2q k b k Z π+=∈，且2{}n b a ∈，则此时q 必为整数；当4,q k k Z =∈时，224(4)2(41){}2n k k b k k a π+=+=∉，不符合；当41,q k k Z =+∈时，222(41)4(42)1{}22n k k k b a π+++==∈，符合，此时公比41,q k k Z =+∈ ；当42,q k k Z =+∈时， 224(43)2(21)(41){}2n k k b k k a π++=++=∉，不符合；当43,q k k Z =+∈时，22(43)(41)4(44)3{}22n k k k k b a π++++==∉，不符合；故：公比41,q k k Z =+∈. 【点睛】本题考查无穷等比数列的公比，难度较难,分析这种抽象类型的数列问题时，经常需要进行分类，可先通过列举的方式找到思路，然后再准确分析.三、解答题17．已知()()2cos sin cos f x x x x =+. （1）求函数()f x 的最小正周期及值域； （2）求方程()0f x =的解.【答案】(1) 最小正周期为π,值域为1⎡⎤⎣⎦；(2) 2x k ππ=+,或34x k ππ=+,()k ∈Z 【解析】先用降幂公式,再用辅助角公式将()f x 化简成()sin()f x A ωx φB =++的形式,再求最小正周期,值域与()0f x =的解. 【详解】(1)()()22cos sin cos 2sin cos 2cos sin 2cos21f x x x x x x x x x =+=+=++)14x π=++故最小正周期为22T ππ==,又1sin(2)14x π-≤+≤,故1)114x π≤++≤,所以()f x 值域为1⎡⎤⎣⎦.故最小正周期为π,值域为1⎡⎤⎣⎦.(2)由(1)())14f x x π=++,故()0f x =)10,4x π++=化简得sin(2)42x π+=-,所以52244x k πππ+=+或72244x k πππ+=+,()k ∈Z . 即2x k ππ=+,或34x k ππ=+,()k ∈Z . 故方程()0f x =的解为：2x k ππ=+,或34x k ππ=+,()k ∈Z 【点睛】本题主要考查三角函数公式,一般方法是先将三角函数化简为()sin()f x A ωx φB =++的形式,再根据题意求解相关内容.18．在数列{}n a 中，113a =，()()*1221nn a a a n a n N n++=-∈…. （1）分别计算2a ，3a ，4a 的值；（2）由（1）猜想出数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法加以证明. 【答案】(1) 2115a =3135a =,4163a =； (2) 1=(21)(21)n a n n -+,证明见解析【解析】(1)分别令2,3,4n =即可运算得出2a ，3a ，4a 的值； (2)由(1)可猜想出1=(21)(21)n a n n -+,当1n =时成立,再假设当n k =时,1=(21)(21)k a k k -+成立,再利用()()*1221nn a a a n a n N n++=-∈…推导出 11(21)(23)k a k k +=++即可.【详解】(1)令2n =有122211132515a a a a a +=⇒==； 令3n =有1233312115()31435a a a a a a a ++=⇒=+=； 令4n =有123444123117()42763a a a a a a a a a +++=⇒=++= 所以2115a =，3135a =，4163a =(2)由(1)可得111313a ==⨯,2135a =⨯,3157a =⨯,4179a =⨯,故可猜想1=(21)(21)n a n n -+.证明：当1n =时, 111=(21)(21)3a =-+成立；假设当n k =时, 1=(21)(21)k a k k -+成立,且()1221kk a a a k a k++=-…即()1221k k a a a k k a ++=-…当1n k =+时, ()1211(1)21k k k a a a a k k a +++++=++…,即()()1121(1)21k k k k k a a k k a ++-+=++,化简得()2121(23)k k k k a k k a +-=+,()12212111(23)23(21)(21)(21)(23)k kk k k a a k k k k k k k +--==⋅=++-+++, 即11(21)(23)k a k k +=++也满足1=(21)(21)na n n -+,当1n k =+时成立, 故对于任意的n N +∈,有1=(21)(21)n a n n -+,证毕.所以1=(21)(21)n a n n -+.【点睛】本题主要考查了数学归纳法的运用，其中步骤为：(1)证明当n 取第一个值0n 时命题成立.0n 对于一般数列取值为0或1；(2)假设当n k =(0k n ≥)且k 为自然数）时命题成立,证明当1n k =+时命题也成立. 综合(1)(2),对一切自然数n ,命题()P n 都成立.19．已知数列{}n a 满足：11a =，()*133n n n a a n N +-=∈，数列{}n b 满足13nn n a b -=. （1）若数列{}n b 的前n 项和为n S ，求12111nS S S ++⋯+的值； （2）求()12222212341n nb b b b b --+-++-…的值. 【答案】(1)21n n +；(2)1(1)(1)2n n n -+-. 【解析】(1)构造数列等差数列13n n n ab -=求得n b 的通项公式,再进行求和n S ,再利用裂项相消求得12111nS S S ++⋯+； (2)由题出现 ()121n nb --,故考虑用分n 为偶数和奇数两种情况进行计算. 【详解】(1)由133nn n a a +-=得1113113333n n n nn n n n a a a a ++--=⇒-=,即+11n n b b -=,所以n b 是以11013a b ==为首项,1为公差的等差数列,故1(1)n b n n =+-=,故1()(1)22n n n b b n S n ++==. 所以12112()(1)1n S n n n n ==-++,故12111nS S S ++⋯+= 11111122(1)2()...2()2(1)223111nn n n n -+-++-=-=+++. (2)当n 为偶数时,()1222222222221234123411()()()n n n n b b b b b b b b b b b ---+-++-=-+-++-= (222222)(321)(1)2(12)(34)(1)37...(21)22nn n n n n n --++⎡⎤-+-++--=-----==-⎣⎦…，当n 为奇数时,1n -为偶数,()122222222222212341234211()()()n n n n n b b b b b b b b b b b b ----+-++-=-+-++-+=…… 2(1)(11)(1)22n n n n n --++-+=综上所述,当n 为偶数时,()1222221234(1)12n n n n b b b b b -+-+-++-=-…, 当n 为奇数时,()1222221234(1)12n n n n b b b b b -+-+-++-=… 即()12222211234(1)1(1)2n n n n n b b b b b --+-+-++-=-…. 【点睛】本题主要考查了等差数列定义的应用，考查构造法求数列的通项公式与裂项求和及奇偶并项求和的方法，考查了分析问题的能力及逻辑推理能力，属于中档题. 20．已知公差0d >的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足34117a a =，2522a a +=.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求证：()*41k S k N+∈是数列{}na 中的项；（3）若正整数m 满足如下条件：存在正整数k ，使得数列2a ，m a ，k a 为递增的等比数列，求m 的值所构成的集合.【答案】(1) 43n a n =-；(2)证明见解析；(3) 见解析【解析】(1)根据等差数列性质2534a a a a +=+,结合34117a a =求得34,a a 等再求n a 的通项公式.(2)先求出()*41k S k N+∈,再证明41k S+满足n a 的通项公式.(3)由数列2a ,m a ,k a 为递增的等比数列可得22m k a a a =⋅,从而根据n a 的通项公式求m的值所构成的集合. 【详解】(1)因为{}n a 为等差数列,故342522a a a a +=+=,故343233333441179(22)1172211702213a a a a a a a a a a ==⎧⎧⇒-=⇒-+=⇒⎨⎨+==⎩⎩或34139a a =⎧⎨=⎩,又公差0d >,所以34913a a =⎧⎨=⎩,故1112913134a d a a d d +==⎧⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩,故14(1)43n a n n =+-=-. (2)由43n a n =-可得(143)(21)2n n n n n S +-==-,故41(41)(821)(41)(81)k S k k k k +=++-=++,若41k S +是数列{}n a 中的项,则(41)(81)43n a k n k +==+- 即24(41)(81)332124n k k k k =+++=++, 即2831n k k N +=++∈,故()*41k S k N+∈是数列{}na 中的项；(3)由数列2a ，m a ，k a 为递增的等比数列,则22,(2)mk a a a m k =⋅<<即2(43)5(43)m k -=-.由题意存在正整数k 使得等式2(43)5(43)m k -=-成立, 因为2,(,)m k m k N +<<∈,故43m -能被5整除,设435,()m n n N +-=∈,则53344n n m n ++==+,又m 为整数,故34n +为整数设34n t +=,即43,()n t t N +=-∈，故4352015m n t -==-,解得53m t =-,又2m >,故532,1t t ->>,不妨设1()p t p N +=-∈,则535(1)352()m t p p p N +=-=+-=+∈. 即52()m p p N +=+∈又当52()m p p N +=+∈时,由2(43)5(43)m k -=-得[]224(52)35(43)20102p k k p p +-=-⇒=++满足条件.综上所述,52()m p p N +=+∈.【点睛】(1)本题考查等差数列性质：若{}n a 是等差数列，且(,,,*)m n p q m n p q N +=+∈，则m n p q a a a a +=+(2)证明数列中是否满足某项或者存在正整数使得某三项为等比数列时,均先根据条件列出对应的表达式,再利用正整数的性质进行判断,有一定的难度.21．本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分. 已知数列{}n a 满足1113,*,13n n n a a a n N a +≤≤∈=. （1）若2342,,9a a x a ===，求x 的取值范围；（2）若{}n a 是公比为q 等比数列，12n n S a a a =+++，113,*,3n n n S S S n N +≤≤∈求q 的取值范围； （3）若12,,,k a a a 成等差数列，且121000k a a a +++=，求正整数k 的最大值，以及k 取最大值时相应数列12,,,k a a a 的公差.【答案】（1）[3,6]；（2）1[,2]3；（3）k 的最大值为1999，此时公差为11999d =-. 【解析】（1）依题意：232133a a a ≤≤，又343133a a a ≤≤将已知代入求出x 的范围； （2）先求出通项：1n n a q -=，由121133a a a ≤≤求出133q ≤≤，对q 分类讨论求出S n分别代入不等式13S n ≤S n +1≤3S n ，得到关于q 的不等式组，解不等式组求出q 的范围．（3）依题意得到关于k 的不等式，得出k 的最大值，并得出k 取最大值时a 1，a 2，…a k 的公差． 【详解】（1）依题意：232133a a a ≤≤， ∴263x ≤≤；又343133a a a ≤≤ ∴3≤x ≤27， 综上可得：3≤x ≤6（2）由已知得，1n n a q -=，121133a a a ≤≤，∴133q ≤≤， 当q ＝1时，S n ＝n ，13S n ≤S n +1≤3S n ，即133nn n ≤+≤，成立． 当1＜q ≤3时，11n n q S q -=-，13S n ≤S n +1≤3S n ，即1111133111n n n q q q q q q +---≤≤---，∴111331n nq q +-≤≤- 不等式11320320n n n nq q q q ++⎧--≥⎨-+≤⎩ ∵q ＞1，故3q n +1﹣q n ﹣2＝q n （3q ﹣1）﹣2＞2q n ﹣2＞0恒成立， 而对于不等式qn +1﹣3q n+2≤0，令n ＝1，得q 2﹣3q +2≤0，解得1≤q ≤2，又当1≤q ≤2，q ﹣3＜0，∴q n +1﹣3q n +2＝q n （q ﹣3）+2≤q （q ﹣3）+2＝（q ﹣1）（q ﹣2）≤0成立， ∴1＜q ≤2， 当113q ≤＜时， 11n n q S q -=-，13S n ≤S n +1≤3S n ，即1111133111n n nq q q q q q+---≤≤---，∴此不等式即11320320n n n nq q q q ++⎧--≤⎨-+≥⎩， 3q ﹣1＞0，q ﹣3＜0，3q n +1﹣q n ﹣2＝q n （3q ﹣1）﹣2＜2q n ﹣2＜0，q n +1﹣3q n +2＝q n （q ﹣3）+2≥q （q ﹣3）+2＝（q ﹣1）（q ﹣2）＞0∴113q ≤＜时，不等式恒成立， ∴q 的取值范围为：123q ≤≤．（3）设a 1，a 2，…a k 的公差为d ．由1133n n n a a a +≤≤，且a 1＝1， 得()()11113111213n d nd n d n k ⎡⎤⎡⎤+-≤+≤+-=-⎣⎦⎣⎦，，，， 即()()212121232n d n k n d ⎧+≥-⎪=-⎨-≥-⎪⎩，，， 当n ＝1时，23-≤d ≤2； 当n ＝2，3，…，k ﹣1时，由222123n n --+-＞，得d 221n -≥+， 所以d 22213k -≥≥--， 所以1000＝k ()()11122221k k k k a d k k ---+≥+⋅-，即k 2﹣2000k +1000≤0，得k≤1999所以k的最大值为1999，k＝1999时，a1，a2，…a k的公差为1 1999 ．【点睛】本题考查等比数列的通项公式及前n项和的求法；考查不等式组的解法；找好分类讨论的起点是解决本题的关键，属于一道难题．。
上海市复兴高级中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题
上海市复兴高级中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________三、证明题17．等差数列{}na 不是常数列，510a =,且5710,,a a a 是某一等比数列{}nb 的第1，2，3项.(1)求数列｛a n ｝的第20项.(2)求数列{b n }的通项公式．四、解答题18．如图，某几何体的下部分是长､宽均为8，高为3的长方体，上部分是侧棱长都相等且高为3的四棱锥，求：(1)该几何体的体积；(2)若要将几何体下部分表面刷上涂料（除底面），求需要刷涂料的表面积.五、问答题19．如图，已知点P 在圆柱1O O 的底面圆O 的圆周上，AB 为圆O 的直径，圆柱的表面积为20π，2OA =，120AO P Ð=°．(1)求直线1A P 与平面ABP 所成角的正切值；(2)求点A 到平面1A BP 的距离．则()12451232b b b b b b +++=++，同理：744b b -=，855b b -=，1077b b -=，1188b b -=，1299b b +=，得：715b b =+，827b b =+，10112b b =+，11215b b =+，则()78101112392b b b b b b +++=++，3691212b b b b +++=，则()1212121254486S b b b b b =+++=++=L ，则128b b +=故答案为：8.【点睛】关键点点睛：本题考查根据递推关系求数列的项，解题的关键是理解斐波那契数列，写出对应的项，再利用数列{}nb 的递推关系求出数列{}nb 的项的关系，即可求解，考查学生的理解能力与运算求解能力，属于难题.13．B【分析】利用直线与平面的位置关系判断即可.【详解】因为平面//a 平面b ，直线a a Ì，直线b b Ì，所以a 与b 没有交点，即a 与b 可能平行，也可能异面．故选：B.14．C【分析】根据122n n n a a a ++++=使用分组求和即可.【详解】∵1=2a ，122n n n a a a ++++=，∴()()()20231234567202120222023Sa a a a a a a a a a =+++++++×××+++167421350a =+´=，故选:C.。
2021-2022学年上海市虹口区复兴高级中学高三(上)期中数学试卷
2021-2022学年上海市虹口区复兴高级中学高三（上）期中数学试卷试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）已知集合A={x|0＜x ＜2}， B ={x|x−3x−1≤0} ，则集合A∪B=___ ． 2.（填空题，4分）在 (x2+1x )6的二项展开式中，x 2项的系数等于 ___ ．3.（填空题，4分）已知向量 a ⃗ =（sinθ，1）， b ⃗⃗=(1，cosθ) ，其中0＜θ＜2π，若 a ⃗ ⊥ b ⃗⃗ ，则θ=___ ．4.（填空题，4分）若z 1=1+i ，z 2=a-2i ，其中i 为虚数单位，且 z 1•z 2∈R ，则实数a=___ ．5.（填空题，4分）已知一个圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，任取圆锥的两条母线a ，b ，则a ，b 所成角的最大值为 ___ ．6.（填空题，4分）无穷等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=2，且S 2020+2S 2021=3S 2022，则无穷等比数列{a n }的各项和为 ___ ．7.（填空题，5分）设函数 f (x )=sin (2x +π3) ，若对于任意的 x 1∈[−π4，π4] ，在区间[α，β]上总存在唯一确定的x 2，使得f （x 1）+f （x 2）=0，则|α-β|的最小值为___ ．8.（填空题，5分）某动漫公司推出漫画角色盲盒周边售卖，每个盲盒中等可能的放入该公司的3款经典动漫角色玩偶中的一个．小明购买了4个盲盒，则他能集齐3个不同动漫角色的概率是___ ．9.（填空题，5分）已知F 1、F 2是椭圆x 24+y 23=1 的左、右焦点，点P 是椭圆上任意一点，以PF 1为直径作圆N ，直线ON 与圆N 交于点Q （点Q 不在椭圆内部），则 QF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • QF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ．10.（填空题，5分）已知函数f （x ）=x 2-a|x|+ 1x 2+1 +a 有且只有一个零点，若方程f （x ）=k 无解，则实数k 的取值范围为 ___ ．11.（填空题，5分）已知数列{a n }满足a 1=1，若数列{b n }满足b n =max{a k+1-a k |1≤k≤n}（n∈N*），且a n +b n =2n （n∈N*），则数列{a n }的通项公式a n =___ ．12.（填空题，5分）设函数f （x ）的定义域是（0，1），满足： （1）对任意的x∈（0，1），f （x ）＞0；（2）对任意的x 1，x 2∈（0，1），都有 f (x 1)f (x 2)+f (1−x 1)f (1−x 2)≤2 ；)=2．（3）f(12的最小值为 ___ ．则函数g(x)=xf(x)+1x13.（单选题，5分）已知等比数列{a n}的公比为q（q≠0），S n是{a n}的前n项和．则“数列{a n}单调递减”是“a1＞a3，S2＞S4”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件14.（单选题，5分）下列四个命题中真命题是（）A.同垂直于一直线的两条直线互相平行B.底面各边相等，侧面都是矩形的四棱柱是正四棱柱C.过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条D.过球面上任意两点的大圆有且只有一个15.（单选题，5分）已知a⃗，b⃗⃗，c⃗和d⃗为空间中的4个单位向量，且a⃗+b⃗⃗+c⃗ = 0⃗⃗，则| a⃗−d⃗ |+| b⃗⃗−d⃗ |+| c⃗−d⃗ |不可能等于（）A.3B.2 √3C.4D.3 √216.（单选题，5分）函数f（x）的定义域为D，若f（x）存在反函数，且f（x）的反函数就是它本身，则称f（x）为自反函数．有下列四个命题：是自反函数；① 函数f(x)=−xx+1② 若f（x）为自反函数，则对任意的x∈D，成立f（f（x））=x；③ 若函数f(x)=√1−x2(a≤x≤b)为自反函数，则b-a的最大值为1；④ 若f（x）是定义在R上的自反函数，则方程f（x）=x有解．其中正确命题的序号为（）A. ① ② ③B. ① ② ④C. ② ③ ④D. ① ② ③ ④17.（问答题，14分）在四棱锥P-ABCD中，底面为梯形，AB || CD，∠BAP=∠CDP=90°，PA=PD=AB=2，PA⊥PD，四棱锥P-ABCD的体积为4．（1）求证：AB⊥平面PAD ； （2）求PC 与平面ABCD 所成角．18.（问答题，14分）已知函数f （x ）=x ，g （x ）=x 2-mx+4，m∈R ． （1）当m=4时，解不等式g （x ）＞|f （x ）-2|．（2）若对任意的x 1∈[1，2]，存在x 2∈[1，2]，使得g （x 1）=f （x 2），求实数m 的取值范围．19.（问答题，14分）2021年10月13日第18号台风“圆规”在海南某地登陆，最大风力达到12级．路边一棵参天大树在树干某点B 处被台风折断且形成120°角，树尖C 着地处与树根A 相距10米，树根与树尖着地处恰好在路的两侧，设∠CAB=θ（A ，B ，C 三点所在平面与地面垂直，树干粗度忽略不计）．（1）若θ=45°，求折断前树的高度（结果保留一位小数）； （2）问一辆宽2米，高2.5米的救援车能否从此处通过？并说明理由．20.（问答题，16分）已知椭圆C ： x 2a 2+y 2b 2=1 的左、右焦点分别为F 1、F 2，点 A(√6，0) 在椭圆上，且 AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3 ，点P ，Q 是椭圆上关于坐标原点O 对称的两点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若点P在第一象限，PN⊥x轴于点N，直线QN交椭圆于点M（不同于Q点），试求∠MPQ的值；是否为定值？若（3）已知点R在椭圆上，直线PR与圆x2+y2=2相切，连接QR，问：|PR||QR|为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．(n∈N∗)．21.（问答题，18分）已知数列{a n}满足a1=0，|a n+1-a n|=n，且a n≤ n−12（1）求a4的所有可能取值；（2）若数列{a2n}单调递增，求数列{a2n}的通项公式；（3）对于给定的正整数k，求S k=a1+a2+⋯+a k的最大值．2021-2022学年上海市虹口区复兴高级中学高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）已知集合A={x|0＜x＜2}，B={x|x−3x−1≤0}，则集合A∪B=___ ．【正确答案】：[1]{x|0＜x≤3}【解析】：先解分式不等式求出B，再利用并集运算求解．【解答】：解：∵ B={x|x−3x−1≤0} ={x|1＜x≤3}，A={x|0＜x＜2}，∴A∪B={x|0＜x≤3}，故答案为：{x|0＜x≤3}．【点评】：此题考查了并集及其运算，分式不等式的解法，属于基础题．2.（填空题，4分）在(x2+1x)6的二项展开式中，x2项的系数等于 ___ ．【正确答案】：[1] 1516【解析】：先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于2，求得r的值，即可求得展开式的x2项的系数．【解答】：解：二项式(x2+1x)6展开式的通项公式为T r+1= C6r(x2)6−r(1x)r= C6r(12)6−rx6-2r，令6-2r=2，解得r=2，故(x2+1x)6二项展开式中，含x2项的系数等于C62(12)4= 1516，故答案为：1516．【点评】：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．3.（填空题，4分）已知向量a⃗ =（sinθ，1），b⃗⃗=(1，cosθ)，其中0＜θ＜2π，若a⃗⊥ b⃗⃗，则θ=___ ．【正确答案】：[1] 3π4或7π4【解析】：根据题意，由数量积的计算公式可得a⃗• b⃗⃗=sinθ+cosθ=0，变形可得tanθ=-1，结合θ的取值范围，即可确定θ的值．【解答】：解：根据题意，向量a⃗ =（sinθ，1），b⃗⃗=(1，cosθ)，若a⃗⊥ b⃗⃗，则有a⃗• b⃗⃗=sinθ+cosθ=0，变形可得tanθ=-1，又0＜θ＜2π，所以θ= 3π4或7π4；故答案为：3π4或7π4．【点评】：本题考查向量垂直的判断方法，涉及向量数量积的计算公式，属于基础题．4.（填空题，4分）若z1=1+i，z2=a-2i，其中i为虚数单位，且z1•z2∈R，则实数a=___ ．【正确答案】：[1]-2【解析】：求出z1•z2 =（1+i）（a+2i）=a+ai+2i+2i2=（a-2）+（a+2）i，由z1•z2∈R，能求出实数a．【解答】：解：z1=1+i，z2=a-2i，其中i为虚数单位，且z1•z2∈R，z1•z2 =（1+i）（a+2i）=a+ai+2i+2i2=（a-2）+（a+2）i，∴a+2=0，解得实数a=-2．故答案为：-2．【点评】：本题考查实数值的求法，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.（填空题，4分）已知一个圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，任取圆锥的两条母线a，b，则a，b所成角的最大值为 ___ ．【正确答案】：[1]60°【解析】：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，求出r与l的关系，确定两条母线a，b为轴截面的两条母线时，a，b所成角的最大，即可得到答案．【解答】：解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，因为一个圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，则2πr=πl，解得l=2r，当两条母线a，b为轴截面的两条母线时，a，b所成角的最大，最大值为60°．故答案为：60°．【点评】：本题考查了圆锥的侧面展开图的理解与应用，解题的关键是掌握圆锥侧面展开图的弧长等于底面周长，半径等于圆锥的母线长，考查了逻辑推理能力，属于基础题．6.（填空题，4分）无穷等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=2，且S 2020+2S 2021=3S 2022，则无穷等比数列{a n }的各项和为 ___ ． 【正确答案】：[1] 32【解析】：先求出等比数列{a n }的公比，然后利用无穷等比数列的和可计算出结果．【解答】：解：设等比数列{a n }的公比为q ， 因为S 2020+2S 2021=3S 2022， 所以S 2022-S 2020=2（S 2021-S 2022）， 即a 2021+a 2022=-2a 2022， 所以3a 2022=-a 2021， 所以q=- 13 ，所以无穷等比数列{a n }的各项和为S n = a 1(1−q n )1−q = 2×[1−(−13)n]1+13 = 32[1−(−13)n] ，当n→+∞时，S n → 32 ，故无穷等比数列{a n }的各项和为 32 ， 故答案为： 32．【点评】：本题考查了等比数列求和公式，极限思想，属于中档题．7.（填空题，5分）设函数 f (x )=sin (2x +π3) ，若对于任意的 x 1∈[−π4，π4] ，在区间[α，β]上总存在唯一确定的x 2，使得f （x 1）+f （x 2）=0，则|α-β|的最小值为___ ． 【正确答案】：[1] π3【解析】：根据题意，设集合A 为所有-f （x 1）构成的集合，集合B 是所以f （x 2）构成的集合，则A⊆B ，求出，|α-β|的最小值．【解答】：解：若对于任意的 x 1∈[−π4，π4] ，在区间[α，β]上总存在唯一确定的x 2，f （x 1）+f （x 2）=0，得-f （x 1）=f （x 2），设集合A 为所有-f （x 1）构成的集合，集合B 是所有f （x 2）构成的集合，则A⊆B ，对于任意的x∈[ −π4，π4 ]，2x+ π3 ∈[−π6，5π6] ，-f （x ）∈[-1， 12]=A ， 因为-f （x ）单调递减，根据题意，要使|α-β|=β-α最小，只需A=B 即可， 所以-1 ≤sin (2x +π3)≤12 ，得2x+ π3 ∈ [−π2+kπ，π6+kπ]，(k ∈z ) ， 故，|α-β|的最小值为 12 （ [π6−(−π2)] = π3 ． 故答案为： π3．【点评】：考查三角函数图象和性质，三角函数恒成立和能成立问题，综合性高，难度较大． 8.（填空题，5分）某动漫公司推出漫画角色盲盒周边售卖，每个盲盒中等可能的放入该公司的3款经典动漫角色玩偶中的一个．小明购买了4个盲盒，则他能集齐3个不同动漫角色的概率是___ ． 【正确答案】：[1] 49【解析】：小明购买了4个盲盒，基本事件总数n=34=81，他能集齐3个不同动漫角色包含的基本事件个数m= C 42A 33=36，由此能求出他能集齐3个不同动漫角色的概率．【解答】：解：某动漫公司推出漫画角色盲盒周边售卖，每个盲盒中等可能的放入该公司的3款经典动漫角色玩偶中的一个． 小明购买了4个盲盒， 基本事件总数n=34=81，他能集齐3个不同动漫角色包含的基本事件个数m= C 42A 33=36，∴他能集齐3个不同动漫角色的概率P= m n = 3681 = 49． 故答案为： 49．【点评】：本题考查概率的运算，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题． 9.（填空题，5分）已知F 1、F 2是椭圆x 24+y 23=1 的左、右焦点，点P 是椭圆上任意一点，以PF 1为直径作圆N ，直线ON 与圆N 交于点Q （点Q 不在椭圆内部），则 QF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • QF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ．【正确答案】：[1]3【解析】：根据中位线定理及椭圆的定义，表示出|OQ|，利用极化恒等式即可求得 QF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • QF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值．【解答】：解：连接PF 2，由题意可知|PF 2|=2|ON|，|NQ|= 12 |PF 1|， 所以|OQ|=|ON|+|NQ|= 12（|PF 2|+|PF 1|）= 12×4=2，由极化恒等式可知 QF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • QF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|QO|²- 14|F 1F 2|²=4-1=3， 所以 QF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • QF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3， （极化恒等式： a ⃗ •b ⃗⃗ = (a⃗⃗+b ⃗⃗)2−(a ⃗⃗−b ⃗⃗)24）．故答案为：3．【点评】：本题考查椭圆的定义与性质，中位线定理及向量的数量积运算，考查向量的极化恒等式的应用，针对于极化恒等式，需要学生会推导及会使用，在做题中能起到事半功倍的效果，属于中档题．10.（填空题，5分）已知函数f （x ）=x 2-a|x|+ 1x 2+1 +a 有且只有一个零点，若方程f （x ）=k 无解，则实数k 的取值范围为 ___ ． 【正确答案】：[1]（-∞，0）【解析】：先判断出函数f （x ）为偶函数，结合题意得到f （0）=0，得到a 的值，从而求出f （x ），再判断函数f （x ）的单调性，确定f （x ）的取值范围，即可得到k 的范围．【解答】：解：函数f （x ）=x 2-a|x|+ 1x 2+1 +a 的定义域为R ， 又f （-x ）=x 2-a|x|+1x 2+1+a=f （x ）， 所以f （x ）为偶函数， 又函数f （x ）=x 2-a|x|+ 1x 2+1+a 有且只有一个零点，所以f （0）=0， 解得a=-1，故f （x ）=x 2+|x|+ 1x 2+1 -1， 所以f （x ）=x 2+1+ 1x 2+1 +|x|-2，因为y=x 2+1+ 1x 2+1 在[0，+∞）上为单调递增函数，且y=|x|-2在[0，+∞）上为单调递增函数，所以函数f （x ）在[0，+∞）上为单调递增函数， 又f （x ）为偶函数，所以f（x）≥f（0）=0，因为方程f（x）=k无解，所以k＜0，故实数k的取值范围为（-∞，0）．故答案为：（-∞，0）．【点评】：本题考查了函数与方程的综合应用，函数性质的综合应用，考查了函数单调性与奇偶性的判断与应用，函数零点定义的理解与应用，考查了逻辑推理能力，属于中档题．11.（填空题，5分）已知数列{a n}满足a1=1，若数列{b n}满足b n=max{a k+1-a k|1≤k≤n}（n∈N*），且a n+b n=2n（n∈N*），则数列{a n}的通项公式a n=___ ．【正确答案】：[1]2n-1【解析】：根据已知条件分别求a1，a2，a3，…，由归纳即可得{a n}的通项公式．【解答】：解：因为a n+b n=2n（n∈N*），由a1=1，可得b1=a2-a1=21-1=1，所以a2=a1+1=1+1=2，因为a2+b2=22=4，可得b2=2=a3-a2，所以a3=4，因为b3=23-a3=8-4=4=a4-a3，可得a4=8，…，所以a n=b n=2n-1，故答案为：2n-1．【点评】：本题考查了数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.（填空题，5分）设函数f（x）的定义域是（0，1），满足：（1）对任意的x∈（0，1），f（x）＞0；（2）对任意的x1，x2∈（0，1），都有f(x1)f(x2)+f(1−x1)f(1−x2)≤2；（3）f(12)=2．则函数g(x)=xf(x)+1x的最小值为 ___ ．【正确答案】：[1]2 √2【解析】：由条件（1）（2）进行推导可得f（x）关于直线x= 12对称，借由对称轴推出f（x）为常数函数，代入g（x）基本不等式求最值运算．【解答】：解：由题意，令x1=1-x2，则不等式f(x1)f(x2)+f(1−x1)f(1−x2)≤2等价于f(1−x2)f(x2)+f(x2)f(1−x2)≤2，由（1）对任意x∈（0，1），f（x）＞0，则f(1−x2)f(x2)+f(x2)f(1−x2)≥2√f(1−x2)f(x2)⋅f(x2)f(1−x2)=2，所以f(1−x2)f(x2)+f(x2)f(1−x2)=2，当且仅当f(1−x2)f(x2)=f(x2)f(1−x2)，即f（x2）=f（1-x2）时等号成立，所以f（x）关于直线x= 12对称，所以f（x1）=f（1-x1），f（x2）=f（1-x2），则不等式f(x1)f(x2)+f(1−x1)f(1−x2)≤2等价于f(x1)f(x2)+f(x1)f(x2)≤2，所以f(x1)f(x2)≤1，因为对任意x∈（0，1），f（x）＞0，所以f（x1）≤f（x2），所以f（x1）=f（x2）恒成立，故f（x）为常数函数，因为f（12）=2，所以f（x）=2，所以g（x）=xf（x）+ 1x =2x+ 1x，因为x∈（0，1），所以2x+ 1x ≥2√2x•1x=2 √2（当且仅当x= √22时等号成立），所以g（x）的最小值为2 √2．故答案为：2 √2．【点评】：本题考查了抽象函数的性质，基本不等式求最值，属于难题．13.（单选题，5分）已知等比数列{a n}的公比为q（q≠0），S n是{a n}的前n项和．则“数列{a n}单调递减”是“a1＞a3，S2＞S4”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：B【解析】：由等比数列的通项公式和数列的单调性的定义，结合充分必要条件的定义可得结论．【解答】：解：由a1＞a3，S2＞S4，可得a1＞a1q2，a1+a1q＞a1+a1q+a1q2+a1q3，即为a1（1-q2）＞0，a1（1+q）＜0，若a1＞0，则-1＜q＜1，且q≠0，又q＜-1，可得q∈∅；若a1＜0，则q＞1或q＜-1，又q＞-1，可得q＞1，综上可得，数列{a n}单调递减；但“数列{a n}单调递减“推不到“a1＞a3，S2＞S4”，所以“数列{a n}单调递减”是“a1＞a3，S2＞S4”的必要不充分条件，故选：B．【点评】：本题考查等比数列的通项公式的运用，以及数列的单调性的判断和充分必要条件的定义，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．14.（单选题，5分）下列四个命题中真命题是（）A.同垂直于一直线的两条直线互相平行B.底面各边相等，侧面都是矩形的四棱柱是正四棱柱C.过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条D.过球面上任意两点的大圆有且只有一个【正确答案】：C【解析】：A，同垂直于一直线的两条直线的位置关系不定；B，底面各边相等，侧面都是矩形的四棱柱底面不一定是正方形；C，两条异面直线的公垂线是唯一的，所以过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条；D，过球面上任意两点的大圆有无数个；【解答】：解：对于A，同垂直于一直线的两条直线不一定互相平行，故错；对于B，底面各边相等，侧面都是矩形的四棱柱是直四棱柱，不一定是正四棱柱，故错；对于C，两条异面直线的公垂线是唯一的，所以过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条，正确；对于D ，过球面上任意两点的大圆有无数个，故错； 故选：C ．【点评】：本题考查了命题真假的判定，属于基础题．15.（单选题，5分）已知 a ⃗ ， b ⃗⃗ ， c ⃗ 和 d ⃗ 为空间中的4个单位向量，且 a ⃗ +b ⃗⃗ +c ⃗ = 0⃗⃗ ，则| a ⃗ −d ⃗ |+| b ⃗⃗ −d ⃗ |+| c ⃗ −d ⃗ |不可能等于（ ） A.3 B.2 √3 C.4 D.3 √2【正确答案】：A【解析】：首先由三个向量和为0向量得到三向量共面且两两成120度，再分情况考虑 d ⃗ ，不难得解．【解答】：解：设向量 a ⃗，b ⃗⃗，c ⃗，d ⃗ 分别对应向量 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 由 a ⃗+b ⃗⃗+c ⃗=0⃗⃗ 可知三个向量两两夹角为120°， 如图，当D 与A 重合时，所求值为2 √3 ； 当D 与M 重合时，所求值为4； 当OD⊥平面ABC 时，所求值为3 √2 ． 故选：A ．【点评】：此题考查了向量的几何意义，分类讨论，数形结合等，难度适中．16.（单选题，5分）函数f （x ）的定义域为D ，若f （x ）存在反函数，且f （x ）的反函数就是它本身，则称f （x ）为自反函数．有下列四个命题： ① 函数 f (x )=−xx+1 是自反函数；② 若f（x）为自反函数，则对任意的x∈D，成立f（f（x））=x；③ 若函数f(x)=√1−x2(a≤x≤b)为自反函数，则b-a的最大值为1；④ 若f（x）是定义在R上的自反函数，则方程f（x）=x有解．其中正确命题的序号为（）A. ① ② ③B. ① ② ④C. ② ③ ④D. ① ② ③ ④【正确答案】：D【解析】：由反函数跟自反函数定义逐一进行判断．，【解答】：解：① ，因为f（x）=- xx+1定义域为{x|x≠-1}，，设y=- xx+1所以y（x+1）=-x，，解得x=- yy+1（x≠-1），所以f（x）的反函数为y=- xx+1即f（x）反函数为它本身，满足自反函数定义，故① 正确，排除C；对于③ ，要使f（x）= √1−x2有意义，则1-x2≥0，即-1≤x≤1，因为f（x）为[a，b]上的自反函数，所以[a，b]⊆[-1，0]或[a，b]⊆[0，1]，所以则b-a的最大值为1，③ 正确，排除B；对于④ ，因为互为反函数的两个函数图象关于直线y=x对称，而f（x）为定义在R上的自反函数，故f（x）图象关于y=x对称且与y=x有交点，所以方程f（x）=x有解，故④ 正确；故选：D．【点评】：本题考查了反函数的求法，属于基础题．17.（问答题，14分）在四棱锥P-ABCD中，底面为梯形，AB || CD，∠BAP=∠CDP=90°，PA=PD=AB=2，PA⊥PD，四棱锥P-ABCD的体积为4．（1）求证：AB⊥平面PAD；（2）求PC与平面ABCD所成角．【正确答案】：【解析】：（1）证明CD⊥DP．AB⊥DP，然后证明AB⊥平面PAD．（2）作AD的中点E，连结PE，CE，说明PE为四棱锥P-ABCD的高，∠PCE为PC与平面ABCD所成角．通过四棱锥P-ABCD的体积，求解得CD=4．在Rt△PEC中，求解PC与平面ABCD所成角．【解答】：（1）证明：∵∠BAP=∠CDP=90°，∴AB⊥AP，CD⊥DP．又AB || CD，∴AB⊥DP．∵AP∩DP=P，AP，DP⊂面PAD，∴AB⊥平面PAD．（2）解：作AD的中点E，连结PE，CE，∵PA=PD，PA⊥PD，∴PE⊥AD，AD=2√2，PE=12AD=√2．由（1）AB⊥平面PAD，故AB⊥PE，又AB∩AD=A，AB，AD⊂面ABCD，所以PE⊥平面ABCD，即PE为四棱锥P-ABCD的高，∠PCE为PC与平面ABCD所成角．四棱锥P-ABCD的体积为4=13S梯形ABCD•PE=13•AB+CD2•AD•PE=13•2+CD2•2√2•√2，得CD=4．在Rt△PDC中，PC=√PD2+DC2=√22+42=2√5．在Rt△PEC中，sin∠PCE=PEPC =√22√5=√1010，∠PCE=arcsin√1010．所以PC与平面ABCD所成角为arcsin√1010．【点评】：本题考查几何体的体积的求法，直线与平面所成角的求法，直线与平面垂直的判断定理的应用．考查空间想象能力以及计算能力．18.（问答题，14分）已知函数f（x）=x，g（x）=x2-mx+4，m∈R．（1）当m=4时，解不等式g（x）＞|f（x）-2|．（2）若对任意的x1∈[1，2]，存在x2∈[1，2]，使得g（x1）=f（x2），求实数m的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）当m=4时，不等式g（x）＞|f（x）-2|可化为|x-2|＞1，解之即可；（2）可求得当x∈[1，2]时，f（x）∈[1，2]，依题意，1≤x2-mx+4≤2恒成立⇔ (x+2x ) max≤m≤ (x+3x )min，利用对勾函数的性质分别求得(x+2x)max与(x+3x)min，即可求得实数m的取值范围．【解答】：解：（1）当m=4时，不等式g（x）＞|f（x）-2|可化为：|x-2|2＞|x-2|，即|x-2|＞1，解得x＞3或x＜1，故不等式g（x）＞|f（x）-2|的解集为{x|x＞3或x＜1}．（2）∵f（x）=x，∴当x∈[1，2]时，f（x）∈[1，2]；又g（x）=x2-mx+4，x∈[1，2]，对于任意的x1∈[1，2]，总存在x2∈[1，2]，使得g（x1）=f（x2）成立，∴g（x）的值域是f（x）的值域的子集，即当x∈[1，2]时，1≤x2-mx+4≤2恒成立⇔ (x+2x )max≤m≤ (x+3x)min，又当x∈[1，2]时，由对勾函数的性质可得y=x+ 2x ∈[2 √2，3]，y=x+ 3x∈[2 √3，4]，∴3≤m≤2 √3，即m的取值范围为[3，2 √3 ]．【点评】：本题考查函数恒成立问题与绝对值不等式的解法，考查化归与转化、函数与方程等数学思想，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题．19.（问答题，14分）2021年10月13日第18号台风“圆规”在海南某地登陆，最大风力达到12级．路边一棵参天大树在树干某点B处被台风折断且形成120°角，树尖C着地处与树根A 相距10米，树根与树尖着地处恰好在路的两侧，设∠CAB=θ（A，B，C三点所在平面与地面垂直，树干粗度忽略不计）．（1）若θ=45°，求折断前树的高度（结果保留一位小数）；（2）问一辆宽2米，高2.5米的救援车能否从此处通过？并说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）由题意结合正弦定理可得ABsin15°=CBsin45°=10sin120°，代入计算即可；（2）设△4BC的内接矩形DEFG的边DE在AC上且DE=2，设DG=EF=h，由∠CAB=θ，构建函数h= 8sinθsin(60°−θ)sin60°，再结合θ范围求得h范围，然后与救援车高比较即可得到答案．【解答】：解：（1）在△ABC中，∠CBA=120°，∠CAB=45°，所以∠BCA-15°，由正弦定理，得ABsin15°=CBsin45°=10sin120°，所以AB+BC= 10sin120°（sin15°+sin45°）= 15√2+5√63≈11.2，答：折断前树的高度11.2米；（2）如图，设△4BC 的内接矩形DEFG 的边DE 在AC 上且DE=2，设DG=EF=h ， 因为∠CAB=θ，∠CBA=120°，所以∠BCA=60°-θ， 所以AD+CE+DE= ℎtanθ + ℎtan (60°−θ) +2=10， 所以h[ cosθsinθ + cos (60°−θ)sin (60°−θ)]=8， h=8sinθsin (60°−θ)sin60° = √3√34 sin2θ- 1−cos2θ4 ）= 8√33sin (2θ+π6)−4√33， 因为θ∈（0， π3 ），所以 2θ+π6∈(π6，5π6) ， 所以sin （2θ+ π6 ）∈（ 12 ，1]，所以h∈（0， 4√33]， 由于4√33＜2.5， 所以高2.5米的救援车不能从此处通过．【点评】：本题考查了解三角形的应用，正弦定理，三角函数值域的求法，属于中档题． 20.（问答题，16分）已知椭圆C ： x 2a 2+y 2b 2=1 的左、右焦点分别为F 1、F 2，点 A(√6，0) 在椭圆上，且 AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3 ，点P ，Q 是椭圆上关于坐标原点O 对称的两点． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点P 在第一象限，PN⊥x 轴于点N ，直线QN 交椭圆于点M （不同于Q 点），试求∠MPQ 的值；（3）已知点R 在椭圆上，直线PR 与圆x 2+y 2=2相切，连接QR ，问： |PR||QR| 是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．【正确答案】：【解析】：第一问要弄清楚A 点就是椭圆的右顶点，第二问要设而不解，计算较繁琐，通过计算找出两直线PM 和PQ 是垂直关系，第三问要分直线PR 的斜率是否存在两种情况进行讨论．【解答】：解：（1）．∵点 A(√6，0) 在椭圆上． ∴a= √6 ．又∵ AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−c −√6，0) ， AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(c −√6，0) ．∴ AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =6-c 2=3．∴c 2=3，b 2=3． ∴椭圆C的标准方程：x 26+y 23=1 ．（2）．设P （x 0，y 0）（x 0＞0，y 0＞0），M （x 1，y 1）则Q （-x 0，-y 0），N （x 0，0）． 因为M 、N 、Q 三点共线，所以 y 1x1−x 0=y02x 0，所以 y 1=y 0(x 1−x 0)2x 0① ． 联立 {x 026+y 023=1x 126+y 123=1，两式相减得 y 1−y 0x 1−x 0=−x 1+x2(y 1+y 0)． ② 将 ① 代入 ② 中的右边的分母中，化简可得： y 1−y 0x 1−x 0=−x 0y 0，所以K PM = −x0y 0，又因为K PQ = y 0x 0， 所以K PM •K PQ =-1，所以PM⊥PQ ， 所以∠MPQ= π2 ．（3）． ① 当直线PR 的斜率不存在时，依题意可得直线PR 的方程为x= √2 或x=- √2 ． 若直线PR ：x= √2 ，则直线PQ ：y=x ，可得P （ √2 ， −√2 ），Q （- √2 ，- √2 ），R （ √2 ，- √2 ）．则|PR|= 2√2 ，|QR|= 2√2 ，所以 |PR||RQ|=1 ． 其他情况由对称性同理可得 |PR||RQ|=1 ．② 当直线PR 的斜率存在时，设直线PR 的方程为y=kx+m ， 因为直线与圆O 相切，所以圆心O 到直线PR √k 2+1=√2 ，即|m|= √2(1+k 2) ．设P （x 1，y 1），R （x 2，y 2），则Q （-x 1，-y 1）．联立 {y =kx +m x 26+y 23=1 ，消去y ，得（1+2k 2）x 2+4kmx+2m 2-6=0，Δ＞0．则x 1+x 2= −4km 1+2k 2 ，x 1x 2= 2m 2−61+2k 2．所以|PR|= √1+k 2•√(x 1+x 2)2−4x 1x 2 =2√2√1+k 2•√6k 2−m 2+31+2k 2 = 2√2√1+k 2•√1+4k 21+2k 2． 因为|QR|= √(x 1+x 2)2+(y 1+y 2)2 ．又因为y 1+y 2=k （x 1+x 2）+2m= k (−4km1+2k 2)+2m =2m1+2k 2 ． 所以|QR|= √(−4km 1+2k 2)2+(2m1+2k 2)2= 2|m|√1+4k 21+2k 2 = 2√2√1+k 2•√1+4k 21+2k 2=|PR | ．即 |PR||QR|=1 ． 综上所述， |PR||QR|=1 ．【点评】：本题考查了椭圆的定义标准方程、直线与椭圆相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.（问答题，18分）已知数列{a n }满足a 1=0，|a n+1-a n |=n ，且a n ≤ n−12(n ∈N ∗) ．（1）求a 4的所有可能取值；（2）若数列{a 2n }单调递增，求数列{a 2n }的通项公式； （3）对于给定的正整数k ，求S k =a 1+a 2+⋯+a k 的最大值．【正确答案】：【解析】：（1）根据数列的递推公式，即可求出a 4的所有可能取值；（2）根据数列{a 2n }单调递增，且a 2=-1，a 4=0，判断数列{a n }中相邻两项不可能同时为非负数，结合题意判断数列{a 2n }是等差数列，从而求出数列{a 2n }的通项公式；（3）根据（2）知a n ，a n+1不能都为非负数，讨论n 为奇数和n 为偶数时，a n+1+a n 的取值情况，从而求出k 为奇数时和k 为偶数时，S k 的最大值．【解答】：解：（1）数列{a n }满足a 1=0，|a n+1-a n |=n ，且a n ≤ n−12（n∈N *）， 所以|a 2-0|=1，a 2=1（不合题意，舍去），或a 2=-1； 当a 2=-1时，|a 3+1|=2，解得a 3=1，或a 3=-3；当a 3=1时，|a 4-1|=3，解得a 4=4（不合题意，舍去），或a 4=-2， 当a 3=-3时，|a 4+3|=3，解得a 4=0，或a=-6， 所以a 4的所有可能取值是-2，0，-6；（2）因为数列{a2n}单调递增，且a2=-1，a4=0，所以a2n≥0对n≥2成立；下面证明数列{a n}中相邻两项不可能同时为非负数；假设数列{a n}中存在a i，a i+1同时为非负数，因为|a i+1-a i|=i，若a i+1-a i=i，则a i+1=a i+i≥i＞(i+1)−12，与已知条件矛盾；若a i+1-a i=-i，则a i+1=a i+i≥i＞i−12，与已知条件矛盾；所以假设错误，即数列{a n}中相邻两项不可能同时为非负数，即a2n≥0对n≥2成立；所以当n≥2时，a2n-1≤0，a2n+1≤0，即a2n-1≤a2n，a2n+1≤a2n，所以a2n-a2n-1=2n-1，a2n-1-a2n-2=-（2n-2），（a2n-a2n-1）+（a2n-1-a2n-2）=（2n-1）-（2n-2）=1，即a2n-a2n-2=1，其中n≥2，即数列{a2n}是首项为-1，公差为1的等差数列，所以数列{a2n}的通项公式为a2n=-1+（n-1）×1=n-2；（3）对于给定的正整数k，S k=a1+a2+⋯+a k，由（2）的证明知，a n，a n+1不能都为非负数，当a n≥0时，a n+1＜0，根据|a n+1-a n|=n，得到a n+1=a n-n，所以a n+a n+1=2a n-n≤2× n−12-n≤-1，当a n+1≥0时，a n＜0，根据|a n+1-a n|=n，得到a n=a n+1-n，所以a n+a n+1=2a n+1-n≤2× n+1−12-n≤0，所以总有a n+a n+1≤0成立，当n为奇数时，|a n+1-a n|=n，所以a n+1，a n的奇偶性不同，则a n+a n+1≤-1，当n为偶数时，a n+1+a n≤0，所以k为奇数时，S k=a1+（a2+a3）+...+（a k-1+a k）≤0，考虑数列：0，-1，1，-2，2，...，- k−12，k−12，...，可以验证所给的数列满足条件，且S k=0，所以S k的最大值为0．得到a n+1=a n-n，所以a n+a n+1=2a n-n≤2× n−12-n≤-1，当k为偶数时，S k=（a1+a2）+...+（a k-1+a k）≤- k2，考虑数列：0，-1，1，-2，2，...，- k−12，k−12，- k2，...，可以验证所给的数列满足条件，且S k=- k2，所以S k的最大值为- k2．综上知，k为奇数时，S k的最大值为0，k为偶数时，S k的最大值为- k2．【点评】：本题考查了递推数列的应用问题，也考查了推理与运算能力，以及分类讨论思想，是难题．。
【数学】2017-2018年上海市复兴高中高一上期中数学
2017学年复兴高中高一上期中2017.11一.填空题1.如图，U 是全集，A 、B 是U 的子集，用交、并、补关系将右图中的阴影部分表示出来2.已知集合2{9,2,1}A x x =-+，集合2{1,2}B x =，若{2}A B = ，则x =3.函数()f x =M ，则R C M =4.已知2{(,)|1}A x y y x ==+，{(,)|}B x y x a ==，则A B 的元素个数是5.已知,x y ∈R ，命题“若5x y +≥，则3x ≥或2y ≥”是命题（填“真”或“假”）6.若{}222A y y x x ==-+，且a A ∈，则11+a 的取值范围是7.设:40,.:x m m αβ+<∈R 022>--x x .若α是β的充分条件，则实数m 的取值范围是8.已知不等式04)2()2(2≥--+-x a x a 解集是∅，则实数a 的取值范围是9.已知正数x 、y 满足xy y x =+，则y x +的最小值是10.定义实数运算,213,213x x y x y y x y -≥⎧*=⎨-<⎩，若|1||1|m m m -*=-，则实数m 的取值范围是11.对于x ∈R ，不等式2212x x a a -++≥-恒成立，则实数a 的取值范围是12.设非空集合{|}S x m x l =≤≤满足：当x S ∈时，有2x S ∈，给出如下四个命题：①若1m =，则{1}S =；②若12m =-，则114l ≤≤；③若12l =，则02m -≤≤；④若1l =，则10m -≤≤或1m =；其中正确命题的序号为二.选择题13.下列各组函数中表示同一函数的是（）A.1y =与0y x = B.y x =与2y =C.2y x =与2x y x= D.y x =与t =14.若011<<ba ，有下面四个不等式：①||||b a >；②b a <；③ab b a <+，④33b a >，不正确的不等式的个数是（）个A.0B.1C.2D.315.对任意实数,,a b c ，给出下列命题：①“a b =”是“ac bc =”的充要条件；②“5a +是无理数”是“a 是无理数”的充要条件；③“ab >”是“22a b >”的充分条件；④“4a <”是“3a <”的必要条件.其中真命题的个数是（）个A.1 B.2C.3D.416.已知()21f n n =+*()n ∈N ，集合{1,2,3,4,5}A =，{3,4,5,6,7}B =，记()f A ={|()}n f n A ∈，(){|()}f B m f m B =∈，则()()f A f B = （）A.{1,2} B.{1,2,3} C.{3,5} D.{3,5,7}三.解答题17.集合{||1|4}A x x =+<，1{|0}2x B x x a-=<-.（1）求A 、B ；（2）若A B B = ，求实数a 的取值范围；18.某农户计划建造一个室内面积为2800m 的矩形蔬菜温室，在温室外，沿左、右两侧与后侧各保留1m 宽的通道，沿前侧保留3m 宽的空地（如图所示），当矩形温室的长和宽分别为多少时，总占地面积最小？并求出最小值.19.已知()2f x kx =+，不等式|()|3f x <的解集为(1,5)-，不等式1()x f x ≥的解集为A .（1）求实数k 的值；（2）设集合2{|20}B x x ax =-+<，若A B ⊆，求实数a 的取值范围.20.已知函数2()32f x x ax b =--，其中,a b ∈R .（1）若不等式()0f x ≤的解集是[0,6]，求b a 的值；（2）若3b a =，对任意x ∈R ，都有()0f x ≥，且存在实数x ，使得2()23f x a ≤-，求实数a 的取值范围；（3）若方程有一个根是1，且,0a b >，求11212a b +++的最小值，求此时,a b 的值.21.已知数集{}1212,,,(0,2)n n A a a a a a a n =⋅⋅⋅≤<<⋅⋅⋅<≥具有性质P ：对任意的i 、j (1)i j n ≤≤≤，i j a a +与j i a a -两数中至少有一个属于A .（1）分别判断数集{}0,1,3,4与{}0,2,3,6是否具有性质P ，并说明理由；（2）证明：10a =，且122()n n na a a a =++⋅⋅⋅+；（3）当5n =时，若22a =，求集合A .参考答案一.填空题1.U B A ð2.1-3.1(0,)24.15.真6.1(0,27.[4,)+∞8.(14,2]-9.410.11( ]{}52-∞ ，11.[1,3]-12.①②③④二.选择题13.D 14.C 15.B 16.A三.解答题17.解（1）(5,3)A =-………2分当12a =时，B φ=；当12a >时，1,2B a =（），当12a <时，21B a =（，）…3分（2）A B B = ，即B A ⊆………2分当12a =时，B φ=符合………2分当12a >时，1,2B a =（），则1323(,]22a a ≤∈得………2分当12a <时，21B a =（，），则5125[,)22a a ≥-∈-得………2分综上53[,22a ∈-………1分18.解：设温室的长和宽分别为x 米，y 米，占地总面积为s则800xy =，(4)(2)80824808968s x y x y =++=++≥+当且仅当40,20x y ==时取等号19.解（1）|()|3f x <即23,kx +<即-5<kx<1………2分当0k =时，解集为R 不符………2分当0k >时，解为51x k k -<<，令5115k k -⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩无解………2分当0k <时，解为15x k k <<-，令551-1k k-⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得1k =-………2分（2）[1,2)A =，令2()2g x x ax =-+，则由A B ⊆得(1)0(2)0g g <⎧⎨≤⎩，得3a >…8分20.解：（1）依题意，206 0633a b +=⨯=-，，解得9 0a b ==，，∴091b a ==…………4分（2）若3b a =，则2()323f x x ax a=--依题意，22436036422123a a a a a ⎧+≤⎪--⎨≤-⎪⎩①②，由①得，90a -≤≤，由②得，1a ≥-或6a ≤-，所以96a -≤≤-或10a -≤≤为所求.…………10分（3）∵方程有一个根是1，且 0a b >、，∴320a b --=，即23a b +=，∵23(21)(2)6a b a b +=⇒+++=设212 06u a v b u v u v =+=+⇒>+=，，，，111112(2)21263v u a b u v u v +=+=++≥++，当且仅当3u v ==，即1a b ==时取等号.…………16分21.解：（1）由于01,02,03,04,13,41,43+++++--都属于数集{}0,1,3,4，∴该数集具有性质P .由于23+与32-均不属于数集{}0,2,3,6，∴该数集不具有性质P.…………6分（2）∵{}12,,n A a a a = 具有性质P ，∴n n a a +与n n a a -中至少有一个属于A ，由于12...0n a a a ≤<<<，∴n n n a a a +>，故2n a A ∉..从而0n n a a A =-∈，∴10a =.∵12...0n a a a ≤<<<，∴k n n a a a +>，故,2,3,...,k n a a A k n+∉=由A 具有性质P 可知,1,2,3,...,n k a a A k n -∈=.又∵121...n n n n n n a a a a a a a a --<-<<-<-，∴112211,0,,...n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a ---==-=-=-=，从而()()()11121......n n n n n n na a a a a a a a a a ---+-++-=++++()1212...n n n na a a a a -∴=++++…………12分(3)由（2）知，当5n =时，有542533,a a a a a a -=-=，即52432a a a a =+=∵125...0a a a =<<<，∴3424352a a a a a a +>+==∴34a a A +∉由A 具有性质P 可知43a a A -∈.2432a a a +=，得3243a a a a A -=-∈，且3220a a a <-=，∴43322a a a a a -=-={}544332212,0,2,4,6,8a a a a a a a a a A ∴-=-=-=-=∴=…………18分。
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上海市复兴高级中学新生高一数学分班考
一、填空题（每题4分，共48分）
1. 分解因式：2456x x --+=__________.
2. 若点(65,21)P a a --在第一象限，则a 的取值范围是__________.
3. 如果1)1x =，那么代数式32x x -+的值是__________.
4. 某同学的身高是1.8米，某一时刻他在阳光下的影子长约1.2米，与他相临的一棵树的影子长为3.6米，则这棵树的高度是__________米
5. 已知点M 是半径为5的O 内的一点，且3OM =，在过点M 所有弦中，弦长为整数的弦的条数是
__________条
6. 如图，AB 是半圆的直径，D 是AC 的中点，40ABC ∠=︒，则DAB ∠=
__________.
7. 二次函数2
3y x ax =++，当x 取,()m n m n ≠时，函数的值相等，则当x 取m n +时，函数值是__________.
8. 方程23100x x k -+=有两个正根，则实数k 的取值范围是__________.
9. 已知菱形的边长为6，一个内角是60°，则菱形内切圆的半径是__________.
10. 从2,1,1,2--这四个数中，任何两个不同的数作为一次函数y kx b =+的系数k 、b ，则一次函数y kx b =+的图象不经过第四象限的概率为__________.
11. 集合中元素的三大性质为__________、__________、__________.
12. 设集合{}{}2,,,1,,,,A a a ab B a b a b R ==∈且A B =，则a b +=__________.
二、选择题（每题4分，共16分）
13. 下列运算正确的是（ ）
A. 122-=-
B. 2()mn mn =
C. 3=±
D. 236
()m m = 14. 顺次连接菱形的各边中点所得到的四边形是（ ）
A. 平行四边形
B. 菱形
C. 矩形
D. 正方形
15. 小华的爷爷每天坚持体育锻炼，某天他漫步到离家较远的绿岛公园，打了一会儿太极拳后跑步回家，下面能反映当天小华爷爷离家的距离y 与时间x 的函数关系大致是（ ）
16. 给出下列关于三角形的条件：①已知三边；②已知两边及其夹角；③已知两角及其夹边；④已知两边及其中一边的对角。
利用尺规作图，能做出唯一的三角形的条件是（ ）
A. ①②③
B. ①②④
C. ②③④
D. ①③④
三、解答题（6+8+10+12=36分）
17. 已知函数
321y x -=-与函数2y kx k =-的图像没有交点，求k 的值
18. {}
2310,A x ax x x R =++=∈
（1）若A 中只有一个元素，求a 的值；
（2）若A 中至多有一个元素，求a 的范围
19. 已知函数2()21f x x ax a =-++-在[0,1]x ∈有最大值2，求a 的值
20. 如图，在Rt ABC 中，90,ACB D ∠=︒点是AB 上一点，
以BD 为直径的O 与边AC 相切于点E ，连接DE 并延长，与BC 的延长线交于点F 。
（1）求证：BD BF =；
（2）当3,2BC AD ==时，求O 的面积；
（3）在（2）的条件下，判断DBF 是否为正三角形？并说明你的理由。
参考答案
一、填空题
1. (2)(34)x x +-
2. 1625
a << 3. 2- 4. 5.4 5. 3 6. 70° 7. 3
8. 2503k <≤ 9. 2 10. 16 11. 无序性、确定性、互异性 12. 1-
二、选择题
13. D 14. C
15.B 16. A
三、解答题
17. 2或-3
18. （1）94a =或0a =；（2）94
a ≥或0a =； 19. 1a =-或2a =；
20.（1）证明略；（2）4π ；（3）DBF 是边长为4的正三角形。