2019-2020最新高中数学奥林匹克竞赛训练题(216)(无答案)
2020四套数学奥林匹克高中训练题及答案
数学奥林匹克高中训练题（一）第一试一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．(训练题22)集合111{|log 2,}23nn n N -<<-∈的真子集的个数是(A)． (A) 7 (B)8 (C)31 (D)322．(训练题22)从1到9这九个自然数中任取两个，分别作为对数的真数和底数，共得不同的对数值(B)．(A) 52个 (B) 53个 (C) 57个 (D) 72个3．(训练题22)空间有四张不同的平面，则这四张平面可能形成的交线条数取值的集合是(C)．(A){1,2,3,4,5,6} (B) {0,1,2,3,4,5,6} (C) {0,1,3,4,5,6} (D) {0,1,2,3,5,6}4．(训练题22) 函数(),()y f x y g x ==的定义域及值域都是R ，且都存在反函数，则11((()))y f g f x --=的反函数是(B)．(A)1((()))y f g f x -= (B) 1((()))y f g f x -= (C) 11((()))y f g f x --= (D) 11((()))y f g f x --=5．(训练题22) 若cos 40sin 40o o ω=+,则1239239ωωωω-++++等于(D)． (A)1cos 2018o (B) 1sin 409o (C) 1cos 409o (D) 2sin 209o 6．(训练题22) 当01x <<时，222sin sin sin ,(),x x x x x x的大小关系是(B)． (A) 222sin sin sin ()x x x x x x << (B) 222sin sin sin ()x x x x x x << (C) 222sin sin sin ()x x x x x x << (D) 222sin sin sin ()x x x x x x<< 二、填空题（本题满分54分，每小题9分）1．(训练题22) 已知211(),()5,()2f x x g x x g x -==-+表示)(x g 的反函数，设11()(())(())F x f g x g f x --=-．则()F x 的最小值是 703． 2．(训练题22) 在1000和9999之间由四个不同数字组成，且个位数字与千位数字之差的绝对值是2的整数共有 840 个．3．(训练题22) 四面体P ABC -中，,8,6,9,120o PC ABC AB BC PC ABC ⊥===∠=面，则二面角B AP C --的余弦值是 ． 4．(训练题22) 设{}P =不少于3的自然数，在P 上定义函数f 如下：若,()n P f n ∈表示不是n 的约数的最小自然数，则(360360)f = 16 ．5．(训练题22)n 为不超过1996的正整数，如果有一个θ，使(sin cos )sin cos ni n i n θθθθ+=+成立，则满足上述条件的n 值共有 498 个．6．(训练题22)在自然数列中由1开始依次按如下规则将某些数染成红色．先染1；再染两个偶数2,4；再染4后最邻近的三个连续奇数5，7，9；再染9后最邻近的四个连续偶数10，12，14，16；再染此后最邻近的五个连续奇数17，19，21，23，25，按此规则一直染下去，得一红色子列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，…，则红色子列中由1开始数起的第1996个数是 3929 ． 第二试一、(训练题22)(本题满分25分) 点M 是正三角形内一点，证明：由线段,MA MB 和MC 为边组成的三角形面积不超过原正三角形面积的13． 二、(训练题22)(本题满分25分) 若21x y +≥，试求函数2224u y y x x =-++的最小值．95- 三、(训练题22)(本题满分35分) 证明：从任意四个正整数中一定可以选出两个数x 和y ，使得如下不等式成立0212x y x y xy-≤<+++． 四、(训练题22)(本题满分35分)连结圆周上九个不同点的36条弦要么染成红色，要么染成蓝色，我们称它们为“红边”或“蓝边”，假定由这九个点中每三个点为顶点的三角形中都含有“红边”，证明：这九个点中存在四个点，两两连结的六条边都是红边．数学奥林匹克高中训练题（二）第一试一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．(训练题23)119963+除以19971996⨯所得的余数是(D)．(A) 1 (B) 1995 (C) 1996 (D) 19972．(训练题23)若在抛物线)0(2>=a ax y 的上方可作一个半径为r 的圆与抛物线相切于原点O ，且该圆与抛物线没有别的公共点，则r 的最大值是(A)． (A)a 21 (B)a1 (C)a (D)a2 3．(训练题23)考虑某长方体的三个两两相邻的面上的三条对角线及体对角线（共四条线段），则正确的命题是(B)．(A)必有某三条线段不能组成一个三角形的三边．(B)任何三条线段都可组成一个三角形，其中每个内角都是锐角．(C)任何三条线段都可组成一个三角形，其中必有一个是钝角三角形．(D)任何三条线段都可组成一个三角形，其形状是“锐角的”或者是“非锐角的”，随长方体的长，宽，高而变化，不能确定．4．(训练题23)若20π<<x ，则11tan cot sin cos x x x x++-的取值范围是(D)． (A)()+∞∞-, (B)()+∞,0 (C)),21(+∞ (D)()+∞,1 5．(训练题23)有5个男孩与3个女孩站成一排照相任何两个女孩都不相邻，则其可能的排法个数是(A)． (A)!5!7!8⋅ (B)!4!6!7⋅ (C) !7!3!10⋅ (D) !3!7!10⋅ 6．(训练题23)使得11cos 51sin +>n 成立的最小正整数n 是(B)．(A)4 (B)5 (C)6 (D)7二、填空题（本题满分54分，每小题9分）1．(训练题23)设R a ∈，若函数310),(+==xy x f y 关于直线x y =对称，且)(x f y =与)lg(2a x x y +-=有公共点，则a 的取值范围是 6a <- ．2．(训练题23)设1,,2-=∈+i R b a 且存在C z ∈，适合⎪⎩⎪⎨⎧≤+=+1z bi a z z z 则ab 的最大值等于 18 ． 3．(训练题23)设 900<<α，若ααsin 1)60tan(31=-+ ，则α等于 3050o o 或 ． 4．(训练题23)设''''D C B A ABCD -是棱长为1的正方体，则上底面ABCD 的内切圆上的点P 与过顶点'''',,,D C B A 的圆上的点Q 之间的最小距离=d2 ． 5．(训练题23)如图，在直角坐标系xOy 中，有一条周期性折线（函数）).(:1x f y l =现把该曲线绕原点O 按逆时针方向旋转45得到另一条曲线2l ，则这两条曲线与y 轴及直线()N n n x ∈=围成的图形的面积等于(12n +-- ．6．(训练题23)设b a ,都是正整数，且100)21(2+=+b a 则b a ⋅的个位数等于 4 ．第二试一、(训练题23)(本题满分25分) 求证：在复平面上，点集}01:{3=++∈=z z C z S 中，除去某一个点外的所有的点都在圆环45313<<z 中． 二、(训练题23)(本题满分25分)已知抛物线),0(22>=p px y 其焦点为F .试问：是否存在过F 点的弦AB （B A ,均在抛物线上，且A 在第一象限内），以及y ）轴正半轴上的一点P ，使得B A P ,,三点构成一个以P 为直角顶点的等腰直角三角形？证实你的回答.如果回答是肯定的，请求出直线AB 的方程．)2p y x =- 三、(训练题23)(本题满分35分)平面上给定321A A A ∆及点0P ，构造点列0P ，1P ， 2P ，使得13+k P 为点k P 3绕中心1A 顺时针旋转150时所到达的位置，而23+k P 和33+k P 为点13+k P 和23+k P 分别绕中心2A 和3A 顺时针旋转 105时所到达的位置， ,3,2,1,0=k .若对某个N n ∈，有03P P n =，试求321A A A ∆的各个内角的度数及三个顶点321,,A A A 的排列方向．四、(训练题23)(本题满分35分)设n ααα≤≤≤< 210，n b b b ≤≤≤< 210，且∑∑==≥n i i n i i b a 11又存在)1(n k k ≤≤使得当k i ≤时有i i a b ≤，当k i >时，有i i a b >.求证：∏∏==≥n i i n i ib a 11． 1。
2019-2020学年高中数学奥林匹克竞赛训练题(204)(无答案)
江西省上饶县中学2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题（204）（无答案）第一试一、填空题（每小题8分，共64分）1.函数2()f x x x =-的值域为 。
2.如图1，在4×6的方格表中，单位格A 为红格，在此方格表中包含红格A 的矩形共有 个。
3.已知a 、b 、c 为ABC ∆的三边长，t =则t 的取值范围是 。
4.已知实数a b 、满足22arcsin(1)arcsin(1).2a b π+--≥则22arccos()a b -= .5.方程组ln ,ln ,ln x e y y e z z e x =⎧⎪=⎨⎪=⎩的解为 。
6.已知集合{}1,2,T =…，2010，对于T 的每一个非空子集的所有元素，计算它们乘积的倒数，则所有这样倒数的和为 。
7.已知直线0y k x b =+与双曲线2k y x=交于点(,1),(,2)M m N n -，则220x k k bx >+ ① 的解集为 。
8.已知内心为(1,7)I -的Rt OAB ∆的三个顶点均为整点，坐标原点O 为直角顶点，则满足条件的Rt OAB ∆的个数为 。
二、解答题（共56分）9.（16分）若复数z 满足20112010143340ziz iz ------=，求34(34)i t i z z -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的取值范围。
10.（20分）两两外切且半径分别为1、2、3的三个实心木球，球1O 、球2O 、球3O 夹在“V”字型木架之间（每个球与V 字型木架两个面相切）。
求V 字型木架两个面的夹角的度数。
11.（20分）定义在R 上的函数f 满足(1)(9)(9)f x f x f x +=-=+。
若(0)0,()0f f x ==在区间[]4020,4020-上有n 个根，求n 的最小值。
加试一、（40分）如图2，'O O 与内切，O 的内接四边形ABCD 的边BC 、CD 分别与'O 切于点M 、N ，BAD ∠的平分线与MN 交于点I 。
【2019-2020】高中数学奥林匹克竞赛训练题(202)(无答案)
教学资料参考范本【2019-2020】高中数学奥林匹克竞赛训练题（202）（无答案）撰写人：__________________部门：__________________时间：__________________第一试一、填空题（每小题8分，共64分）1.设则的取值集合为 。
3331110201620162016x y z x y z y z x >+=+=++++、、，且333x y z xyz ++2.多项式的三个根成等比数列，则的值为 。
32()2242016p x x x x d =-+-d3.若曲线上的点P 到直线的距离为2016，则点P 到第一、三象限角平分线的距离为 。
229x y -=y x =- 4.设的边长分别为。
则其面积S 的最大值为 .ABC ∆62x x 、、5.在四面体ABCD 中，.则其体积为 。
1,5,7,5,7AB BC CD DA AC BD ======6.连续掷三次色子，所得点数的乘积被6整除的概率为 。
7.在方程的所有复根中，模长为1的有 个。
141010z z ++=8.设为2100位的正整数，其由100到799的三位数顺序连接而成，则A 被126除的余数为 100101102103A = (798799)二、解答题（共56分）9.（16分）数列满足，{}n a 1232,2a a == 211111120(2)n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n +-+-+---++--=≥证明：20166a >10.（20分）已知点在抛物线上，问：是否存在定点Q ，经过点Q 而与抛物线交于点A 、B 的任意直线均使得的外角平分线为抛物线的切线？(1,2)P -2y mx =APB ∠11.（20分）求函数的值域。
()f x =+加试一、（40分）设整数，证明：2n ≥111318k k n nk kk n C C -=-<∑二、（40分）求所有的自然数，使为五次方数。
2019-2020最新高中数学奥林匹克竞赛训练题(196)(无答案)
9.（16分）求集合.
10.（20分）在数列中，
（1）求数列的通项；
（2）令，证明：数列的前项和.
11.（20分）双曲线与其关于直线对称的曲线有公共点，求实数取值的集合.
加 试
一、（40分）在锐角的边上分别取点，使得，再分别以为中点作线段，记与交于点.证明：四点共圆.
二、（40分）给定，复数集在复平面上对应的区域面积为.证明：.
三、（50分）求最小的正整数，使得存在有理数满足.
四、(50分)设为一个56元集合.求最小的正整数，使得对集合的任意பைடு நூலகம்5个子集，只要它们中间任何七个的并的元素个数均不少于，则这个子集中一定存在三个集合，使得它们的交集非空.
——教学资料参考参考范本——
2019-2020最新高中数学奥林匹克竞赛训练题（196）（无答案）
______年______月______日
____________________部门
第一试
1、填空题（每小题8分，共64分）
1.定义在上的函数满足，且.则.
2.在取平面区域内一点，定点均满足.则的最大值为.
3.在上定义函数则.
4.直线与曲线交于两点.则的最小值为.
5.设抛物线的焦点为，其准线与轴的交点为，过点作直线与抛物线交于两点.若，则.
6.称为集合与集合的差集.定义集合的对称差为.若两个非空的有限集合，满足，则的最小值为.
7.对满足的任意正数，恒有.则.
8.在一个行10列方格表的每一个格上填入0或1两个数之一，使得每一列恰填入三个1，第行各数之和记作，并且任取两列，总存在某一行与这两列相交处的格上填的数均为1.记.则.
2019-2020最新高中数学奥林匹克竞赛训练题(200)
9.（16分）设常数，函数存在反函数。若关于的不等式对所有的恒成立，求实数的取值范围。
10.（20分）已知椭圆为原点，若动点A在椭圆C上，动点B在直线上，且,证明：点O到直线AB的距离为定值。
11.（20分）已知知数列记为数列的前项和。求所有的正实数数对，使得
加试
一、（40分）用表示不超过实数的最大整数，已知为互素的正大整数。证明：
——教学资料参考参考范本——
2019-2020最新高中数学奥林匹克竞赛训练题（200）
______年______月______日
____________________部门
第一试
一、填空题（每小题8分，共64分）
1.设函数的定义域为，值域为。则区间长度的最小值为 。
2.已知向量满足且。则的最小值为
3.若复数满足，则的最大值为 。
二、（40分）在锐角中，已知AD为角平分线，M为边BC的中点，点P、Q在线段AD上，且,证明：当点P、Q变化时，的外心在一条定直线上。
三、（50分）给定正整数数组，若对任意的，均有则集合称为“A—好的”。定义为最大的正整数，使得集合可以分成两个集合满足且为A—好的，为B—好的。若数组
满足且。
证明若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为 。
5.已知方程中的，且互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有 条。
6.已知高为的四棱锥的底面是边长为1的正方形，点均在半径为1的同一球面上。则侧棱SA长度的最大值为 。
7.设函数。定义如下：。记为的所有根的算术平均值，则 。
8.已知数列。记，则= 。
【2019-2020】高中数学奥林匹克竞赛训练题(207)(无答案)
教学资料参考范本【2019-2020】高中数学奥林匹克竞赛训练题（207）（无答案）撰写人：__________________部门：__________________时间：__________________第一试一、填空题（每小题8分，共64分）1.已知AB是半径为2的的一条直径，外切，且与AB切于点F。
若的半径是半径的3倍，则的半径为。
C D D E D2.满足为实数的有序整数对的个数为。
(),a b3.如图1，在矩形ABCD中，AB=2， AD=4，点E在线段AD上，且AE=3,现分别沿BE、CE将翻折，使得点D落在线段AE上。
此时，二面角D-EC-B的余弦值为。
ABE DCE∆∆、4.从中选取三个不同的数，使得其中至少有两个相邻，共有种取法。
{}1,2,,10…5.记表示不超过实数的最大整数，已知数列满足则。
[]x x{}na12111,2()2n n na a a a a n Z+-+===+∈20162111k k ka a=-+⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∑6.已知、为非零的不共线的向量，设，定义点集，当时，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最小值为。
OA OB1=1+1+rOC OA OB r r +KA KC KB KC M K KA KB ⎧⎫⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎩⎭12K K M ∈、2r ≥12K K c AB ≤c7.设分别为椭圆E ：的左、右焦点，过的直线与椭圆E 交于A 、B 两点，,且，直线与椭圆E 交于P 、Q 两点，C 、D 为椭圆E 上异于P 、Q 的两点，且直线PC 与QD 交于点M ，直线PD 与QC 交于点N ，则直线MN的斜率为 。
12F 、F 22221(0)x y a b a b+=>>1F 113AF BF =23cos 5AF B ∠=12y x =8.记（p 为素数，）为“好数”。
若在b 进制下，100与23的差为好数，则b 的所有可能取值为 。
2019-2020学年度最新高中数学奥林匹克竞赛训练题(207)(无答案)
3.如图1，在矩形ABCD中，AB=2， AD=4，点E在线段AD上，且AE=3,现分别沿BE、CE将翻折，使得点D落在线段AE上。此时，二面角D-EC-B的余弦值为 。
4.从中选取三个不同的数，使得其中至少有两个相邻，共有 种取法。
5.记表示不超过实数的最大整数，已知数列满足则 。
6.已知、为非零的不共线的向量，设，定义点集，当时，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最小值为 。
7.设分别为椭圆E：的左、右焦点，过的直线与椭圆E交于A、B两点，,且，直线与椭圆E交于P、Q两点，C、D为椭圆E上异于P、Q的两点，且直线PC与QD交于点M，直线PD与QC交于点N，则直线MN的斜率为 。
11.已知为方程的实2）。
加试
一、设个不同的大于1的完全平方数。
证明：
二、如图2，的内切圆，切点依次为D、E、F，于点G，于点H，于点I，证明：
三、试确定不定方程 ①的所有正整数解。
四、将正整数1，2，…，10填于正五角星的十个顶点处，使得第条直线上所填四个数之和相等，问：这种填数方案是否存在？若存在，请给出填数方案的个数（经过旋转或对称之后能重合的方案为同一种方案）；若不存在，请说明理由。
8.记（p为素数，）为“好数”。若在b进制下，100与23的差为好数，则b的所有可能取值为 。
二、解答题
9.求集合中所有元素的和。
10.已知P、Q分别为轴、轴上的动点，R（0，-3），.
（1）求动点M的轨迹C
（2）已知为轨迹C外一动点，，AB、AD分别与曲线C切于点B、D，直线BD、SA分别与直线交于点E、F，证明：以EF为直径的圆过定点。
——教学资料参考参考范本——
2019-2020学年度最新高中数学奥林匹克竞赛训练题（207）（无答案）
2019年高中数学竞赛试题及答案及答案
高中数学竞赛试题及答案一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确．请把正确选择支号填在答题卡的相应位置．）1．集合{0,4,}A a =，4{1,}B a =，若{0,1,2,4,16}A B ⋃=，则a 的值为A ．0B ．1C ．2D ．2．一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能．．． 是．①长方形；②正方形；③圆；④菱形. 其中正确的是 A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④ 3．设0.50.320.5,log 0.4,cos3a b c π-===，则A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．b c a <<4. 平面上三条直线210,10,0x y x x ky -+=-=-=，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k 的值为A . 1B . 2C . 0或2D . 0，1或2 5．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,||2A πϕ><）的图象如图所示，为了得到()cos 2g x x =的图像，则只要将()f x 的图像A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向左平移12π个单位长度6. 在棱长为1的正四面体1234A A A A 中，记12(,1,2,3,4,)i j i j a A A A A i j i j =⋅=≠，则i j a 不同取值的个数为A ．6B ．5C ．3D ．2二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．请把答 案填在答题卡相应题的横线上．） 7．已知)1,(-=m a ，)2,1(-=b ，若)()(b a b a -⊥+，则m = .8．如图，执行右图的程序框图，输出的T= . 9. 已知奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =， 则不等式0)()1(<⋅-x f x 的解集为 ．10.求值：=+250sin 3170cos 1 ． 11．对任意实数y x ,，函数)(x f 都满足等式)(2)()(22y f x f y x f +=+，且0)1(≠f ，则（第5题图）（第8题图）3侧视图正视图2222=)2011(f .12.在坐标平面内，对任意非零实数m ，不在抛物线()()22132y mx m x m =++-+上但在直线1y x =-+ 上的点的坐标为 .答 题 卡一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．）二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．）7． 8． 9． 10． 11． 12．三、解答题（本大题共6小题，共78分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 13.（本小题满分12分）为预防(若疫苗有效已知在全体样本中随机抽取1个，抽到B 组的概率是0.375. （1）求x 的值；（2）现用分层抽样的方法在全部测试结果中抽取360个，问应在C 组中抽取多少个？ （3）已知465≥y ,25≥z ,求该疫苗不能通过测试的概率.已知函数x x x f 2sin )12(cos 2)(2++=π．（1）求)(x f 的最小正周期及单调增区间； （2）若),0(,1)(παα∈=f ，求α的值． 15．（本题满分13分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，21===AA BC AC ，︒=∠90ACB ，G F E ,,分别是AB AA AC ,,1的中点．（1）求证：//11C B 平面EFG ； （2）求证：1AC FG ⊥；（3）求三棱锥EFG B -1的体积.ACBB 1A 1C 1FGE已知函数t t x x x f 32)(22+--=.当∈x ),[∞+t 时，记)(x f 的最小值为)(t q . (1)求)(t q 的表达式；(2)是否存在0<t ，使得)1()(tq t q =？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由.已知圆22:228810M x y x y +---=和直线:90l x y +-=，点C 在圆M 上，过直线l 上一点A 作MAC ∆.（1）当点A 的横坐标为4且45=∠MAC 时，求直线AC 的方程； （2）求存在点C 使得45=∠MAC 成立的点A 的横坐标的取值范围.18．（本题满分14分）在区间D 上，若函数)(x g y =为增函数，而函数)(1x g xy =为减函数，则称函数)(x g y =为区间D 上的“弱增”函数．已知函数()1f x =-． （1）判断函数()f x 在区间(0,1]上是否为“弱增”函数，并说明理由； （2）设[)1212,0,,x x x x ∈+∞≠，证明21211()()2f x f x x x -<-； （3）当[]0,1x ∈时，不等式xax +≥-111恒成立，求实数a 的取值范围．参考答案一、选择题：C B A D D C二、填空题：7. 2± 8．29 9. ),2()1,0()2,(+∞--∞10.3 11．2201112. 31(,),(1,0),(3,4)22-- 三、解答题：13. （本题满分12分） 解：（1）因为在全体样本中随机抽取1个，抽到B 组的概率0.375，所以375.0200090=+x ， ………………2分 即660x =. ………………3分（2）C 组样本个数为y ＋z ＝2000－（673＋77＋660＋90）＝500， ………………4分 现用分层抽样的方法在全部测试结果中抽取360个，则应在C 组中抽取个数为360500902000⨯=个. ………………7分 （3）设事件“疫苗不能通过测试”为事件M.由（2）知 500y z +=，且,y z N ∈,所以C 组的测试结果中疫苗有效与无效的可能的情况有： （465，35）、（466，34）、（467，33）、……（475，25）共11个. ……………… 9分 由于疫苗有效的概率小于90%时认为测试没有通过，所以疫苗不能通过测试时，必须有9.02000660673<++y， …………………10分即1800660673<++y ， 解得467<y ，所以事件M 包含的基本事件有：（465，35）、（466，34）共2个. …………………11分所以112)(=M P ， 故该疫苗不能通过测试的概率为211. …………………12分14. （本小题满分12分） 解：x x x f 2sin )62cos(1)(+++=π…………………1分x x x 2sin 6sin2sin 6cos 2cos 1+-+=ππx x 2sin 212cos 231++= ………………… 2分 1)32sin(++=πx . …………………4分（1）)(x f 的最小正周期为ππ==22T ； …………………5分 又由]22,22[32πππππ+-∈+k k x ， …………………6分得)](12,125[Z k k k x ∈+-∈ππππ， …………………7分 从而)(x f 的单调增区间为)](12,125[Z k k k ∈+-ππππ． …………………8分 （2）由11)32sin()(=++=πααf 得0)32sin(=+πα， …………………9分所以ππαk =+32，62ππα-=k )(Z k ∈． …………………10分又因为),0(πα∈，所以3πα=或65π． …………………12分15. （本题满分13分） 解：（1）因为E G 、分别是AC AB 、的中点，所以BC GE //；……1分 又BC C B //11，所以GE C B //11； …………2分又⊆GE 平面EFG ，⊄11C B 平面EFG ，所以//11C B 平面EFG ． …………3分 （2）直三棱柱111C B A ABC -中，因为︒=∠90ACB ，所以⊥BC 平面C C AA 11； ……………4分 又BC GE //，所以⊥GE 平面C C AA 11，即1AC GE ⊥； ……………5分 又因为21==AA AC ，所以四边形11A ACC 是正方形，即11AC C A ⊥； ……………6分 又F E ,分别是1,AA AC 的中点，所以C A EF 1//，从而有1AC EF ⊥， ……………7分 由E GE EF =⋂，所以⊥1AC 平面EFG ，即1AC FG ⊥． ……………8分 （3）因为//11C B 平面EFG ，所以111EFC G EFG C EFG B V V V ---==． ……………10分由于⊥GE 平面C C AA 11，所以GE S V EFC EFC G ⋅=∆-1131，且121==BC GE ．…………11分 又由于2321114111111=---=---=∆∆∆∆ECC FC A AEF A ACC EFC S S S S S 正方形，……………12分所以21123313111=⋅⋅=⋅=∆-GE S V EFC EFC G ，即211=-EFG B V ． ……………13分16. （本题满分13分）解：（1）t t x x x f 32)(22+--=13)1(22-+--=t t x ． ……………1分①当1≥t 时，)(x f 在∈x ),[∞+t 时为增函数，所以)(x f 在∈x ),[∞+t 时的最小值为t t f t q ==)()(；……………3分②当1<t 时，13)1()(2-+-==t t f t q ； ……………5分 综上所述，2(1)()31(1)t t q t t t t ≥⎧=⎨-+-<⎩． ……………6分ACBB 1A 1C 1FGE（2）由（1）知，当0<t 时，13)(2-+-=t t t q ，所以当0<t 时，131)1(2-+-=tt tq ． ……………7分 由)1()(t q t q =得：1311322-+-=-+-tt t t ， ……………8分即013334=-+-t t t ， ……………9分 整理得0)13)(1(22=+--t t t ， ……………11分解得：1±=t 或253±=t . ……………12分 又因为0<t ，所以1-=t .即存在1-=t ，使得)1()(tq t q =成立. ……………13分17. （本题满分14分）解：（1）圆M 的方程可化为：2217(2)(2)2x y -+-=，所以圆心M （2，2），半径r=2. ……1分由于点A 的横坐标为4，所以点A 的坐标为（4，5），即AM =……………2分 若直线AC 的斜率不存在，很显然直线AM 与AC 夹角不是45，不合题意，故直线AC 的斜率一定存在，可设AC 直线的斜率为k ，则AC 的直线方程为5(4)y k x -=-，即540kx y k -+-=. ……………3分由于45=∠MAC 所以M 到直线AC 的距离为226||22==AM d ，此时r d <，即这样的点C 存在. ……………4分2=，2=，解得15 5k k =-=或. ……………5分 所以所求直线AC 的方程为0255=-+y x 或0215=+-y x . ……………6分 (2)当r AM 2||=时，过点A 的圆M 的两条切线成直角，从而存在圆上的点C （切点）使得45=∠MAC . ……………7分设点A 的坐标为),(y x ，则有⎪⎩⎪⎨⎧=-+=⋅=-+-09172342)2()2(22y x y x ， ……………8分解得⎩⎨⎧==63y x 或⎩⎨⎧==36y x . ……………9分记点)6,3(为P ，点)3,6(为Q ，显然当点A 在 线段PQ 上时，过A 的圆的两条切线成钝角，从而必存在圆上的一点C 使得45=∠MAC ；……当点A 在线段PQ 的延长线或反向延长线上时，过A 的圆的两条切线成锐角，从而必不存在圆上的点C 使得45=∠MAC ， …………所以满足条件的点A 为线段PQ 上的点，即满足条件的点的横坐标取值范围是.……14分18．（本题满分14分） 解：（1）由()1f x =-可以看出，在区间(0,1]上，()f x 为增函数. ………………1分 又11()(1f x x x ===3分 显然)(1x f x在区间(0,1]∴ ()f x 在区间(0,1]为“弱增”函数. ………………4分（2）21()()f x f x -===.…6分[)1212,0,,x x x x ∈+∞≠,∴111≥+x ，112≥+x ，21121>+++x x ，即2>，………………8分21()()f x f x ∴-2112x x <-. ………………9分 （3）当0x =时,不等式xax +≥-111显然成立. ………………10分“当(]0,1x ∈时，不等式xax +≥-111恒成立”等价于“ 当(]0,1x ∈时，不等式)111(1xx a +-≤即)(1x f x a ≤恒成立” . ………………11分也就等价于:“ 当(]0,1x ∈时， min )](1[x f xa ≤成立” . ………………12分 由(1)知1()f x x 在区间(0,1]上为减函数, 所以有221)1()](1[min -==f x f x . ……………13分 ∴221-≤a ，即221-≤a 时，不等式xax +≥-111对[]0,1x ∈恒成立. ……………14分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2019-2020最新高中数学奥林匹克竞赛训练题（216）（无答案）
______年______月______日
____________________部门
第一试
一、填空题
1.若，则的最大值为 。
2.已知的周长为4，且。则的面积为 。
3.已知函数。若，则实数的取值范围是 。
4.设O为正三棱锥P—ABC底面的中心，各侧棱两两夹角为，PC与平面PAB所成角为.记点O到各面的距离为，过点O的动平面与PC交于点S，与PA、PB的延长线分别交于点Q、R。则 (结果用含的表达式表示)。
5.设为平面上的两点，为点关于的对称点，为点关于的对称点，.若,则 。
6.在数列中，若相邻两项为二次方程的两个根，则当时， 。
11.已知为抛物线内一定点，过E作斜率分别为的两条直线，与抛物线交于点A、B、C、D，M、N分别为线段AB、CD的中点线MN过定点。
加试
1、 如图1，与交于A、B两点，且点O1在上，P为弧上一点，PC平分与交于点C，延长CP与交于点D，过D作的切线与直线AB交于点Q，CD与AB交于点E，证明：。
8.设椭圆的离心率，其通径（过焦点且垂直于长轴的焦直径）为两焦点，P为椭圆上除长轴端点外的任何一点，的平分线PM与长轴交于点。则的取值范围是 。
二、解答题
9.设实系数三次多项式有三个非零实根，证明：
10.已知点满足且,过点的直线为
（1）证明：对于任意的，点均在直一上；
（2）求对所有，均有的最大实数的值。
二、求所有的正整数，使得为非负整数
三、给定整数，设。证明：
四、平面上有个点，任意三点不共线，任意两点之间连一条线段，并将每条线段染为红色与蓝色之一，称三边颜色相同的三角形为“同色三角形”.记同色三角形的个数为S。
（1）若，对于所有可能的染法，求S的最小值。
（2）若，对于所有可能的染法，求S的最小值。
7.一种单人纸牌游戏的规则如下：将七对不相同的纸牌放入一个书包中，游戏者每次随机地从书包中取牌并放回，不过当取到成对的牌时，就将成对的牌放到一边，当游戏者每次总取三张牌（所剩的若不够三张牌就全部取完）时，若取到三张牌中两两互不成对，游戏就结束；否则，取牌继续进行，直到书包中没有纸牌为止，则书包空的概率为 。