第5讲 巴拿赫不动点定理

An x∗ = x∗
下面证明
x∗
的唯一性．设存在
x∗ 1
∈X
且
x∗ 1
=
A(
x∗ 1
)
，得
A2
x∗ 1
=
x∗ 1
，A3
x∗ 1
=
x∗ 1
，…，An
x∗ 1
=
x∗ 1
，
那么
d
(
x∗
,
x∗ 1
)
=
d ( Ax∗ , Ax1∗ )
=…
=
d
(
An
x∗
,
An
x∗ 1
)
≤
α
d
(
x∗ 1
,
x
∗
)
于是
(1
−
α
)d
(
4
44
f ' (x) < 3 < 1 4
于是得 f (x) 是 (0.5,1) 上的压缩映射，取 x0 = 0.75 ，由迭代 xn+1 = f (xn ) 可得 x1 = 0.7521 ， x2 = 0.7533 ， x3 = 0.7540 ， x4 = 0.7544 ，
x5 = 0.7546 ， x6 = 0.7547 ， x7 = 0.7548 ， x8 = 0.7548 ，…．
d (xn
,
xn−1 )
=
d
( Axn−1,
Axn−2
)
≤
α
d (xn−1,
xn − 2
)
≤
α
c n−1 0
．
因此对于正整数 k 有
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d (xn , xn+k ) ≤ d (xn , xn+1 ) + d (xn+1, xn+2 ) + +d (xn+k −1, xn+k ) ≤ (α n + α n+1 + + α n+k −1 )c0
T : x → α f (x) + x
的不动点，其中常数 α ≠ 0 (显然当 Tx∗ = x∗ 时，即 α f (x∗ ) + x∗ = x∗ ，可得 f (x∗ ) = 0 )．关于不动
点的定理，最简单而又最广泛应用的是著名的压缩映射原理．
定义 1.5.2 压缩映射(Contraction mapping) 设 X 是一个度量空间， A : X → X 为映射，如果存在常数 α ∈ (0,1) ，对于任何 x, y ∈ X ，有
证明 显然 An 是压缩映射，所以 An 在 X 中存在唯一的不动点 x∗ ，即 x∗ = An x∗ ．于是
An ( Ax∗ ) = An+1x∗ = A( An x∗ ) = Ax∗
可得 Ax∗ 也是 An 的不动点，由不动点的唯一性知：Ax∗ = x∗ ．同时易得 A2 x∗ = x∗ ，A3 x∗ = x∗ ，…，
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第五节 巴拿赫不动点定理及应用
Banach Fixed Point Theorem 巴拿赫不动点定理，又称为压缩映射定理或压缩映射原理，它是用泛函分析方法统一处理
许多关于解的存在性和唯一性问题(如微分方程、代数方程组、积分方程等)的一个重要定理．许 多方程求解问题往往可以转化为求某映射的不动点，而压缩映射原理描述了映射不动点的存在
性和唯一性的充分条件，并提供了一个迭代程序，按此程序逐次逼近可求不动点的近似值和误
差，这是代数方程，微分方程，积分方程，泛函方程以及计算数学中的一个很重要的方法．
5.1 Banach 不动点定理及推论 定义 1.5.1 不动点(Fixed points) 设 X 是一个非空集合， A : X → X 为映射，如果存在 x∗ ∈ X 满足 A(x∗ ) = x∗ ，则称 x∗ 为映
f (x) − f ( y) = f ' (ξ )(x − y) ≤ α x − y ，
因此 f 是完备度量空间 R 上的压缩映射，于是由压缩映射原理知， f (x) = x 具有唯一解． 例 1.5.1 求方程 x5 + x −1 = 0 的根．
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推论 1.5.1 设 X 是完备的度量空间，映射 A : X → X 是闭球 B(x0 , r) 上的压缩映射，并且 d ( Ax0 , x0 ) ≤ (1− α )r ，其中 α ∈ (0,1) 是压缩系数，那么 A 在 B(x0 , r) 中具有唯一的不动点．
证 明 显 然 B(x0 , r) 是 完 备 度 量 空 间 X 的 闭 子 集 ， 所 以 B(x0 , r) 是 完 备 的 子 空
x∗
=
lim
n→∞
xn
=
lim
n→∞
A(xn−1 )
=
A(
lim
n→∞
xn
−1
)
=
Ax∗ ．
(3)证 x∗ 的唯一性．
若存在
x∗ 1
∈X
且
x∗ 1
=
A(
x∗ 1
)
，那么
d
(
x∗ 1
,
x∗
)
=
d
(
Ax1∗
,
Ax∗
)
≤
α
d
(
x∗ 1
,
x∗
)
于是
(1
−
α
)d
(
x∗ 1
,
x∗
)
≤
0
，从而
d
(
x∗ 1
,
x∗
)
d ( Ax, Ay) ≤ α d (x, y)
则称 A 为 X 上的压缩映射．称常数 α 为压缩系数． 显然压缩映射是连续映射．下面的压缩映射原理是由 Banach 于 1922 年给出的，也称为
Banach 不动点定理． 定理 1.5.1 Banach 不动点定理(压缩映射原理 Contraction mapping principle) 设 X 是完备的度量空间， A : X → X 是压缩映射，则 A 在 X 中具有唯一的不动点，即存在
2
2
= x − y − (arctan x − arctan y)
= x − y − ( x − y ) (由 Lagrange 中值定理知存在 ξ ∈ (x, y) 或 ξ ∈ ( y, x) ) 1+ ξ 2
= (x − y) ξ 2 1+ ξ 2
< x − y = d(x, y) ．
但是，当 Ax = x 时，方程 arctan x = π 无解，因此映射 A 在 R 中没有不动点． 2
d ( Ax, Ay) < d (x, y) 时，未必存在不动点．
设 A : R → R ， A(x) = x + π − arctan x ，那么 ∀x, y ∈ R ，有 2
d ( Ax, Ay) = Ax − Ay
= (x + π − arctan x) − ( y + π − arctan y)
x∗
,
x∗ 1
)
≤
0
，从而
d
(
x
∗
,
x∗ 1
)
≤
0
，即
x∗ 1
=
x∗ ．□
5.2 Banach 不动点定理的应用 ◇ 求方程的近似解 定理 1.5.2 设 f : R → R 是可微函数，且 f ' (x) ≤ α < 1，则方程
具有唯一解．
f (x) = x
证明 根据 Lagrange 中值定理知存在 ξ ∈ (x, y) ，使得
是有
d (x2 , x1) = d ( Ax1, Ax0 ) ≤ α d (x1, x0 ) ≤ α c0 ； d (x3 , x2 ) = d ( Ax2 , Ax1) ≤ α d (x2 , x1) ≤ α 2c0 ； d (x4 , x3 ) = d ( Ax3 , Ax2 ) ≤ α d (x3 , x2 ) ≤ α 3c0 ； …… ……
具有唯一的不动点．□
n
设映射 A : X → X ，记 An = AA A ，那么映射 An : X → X ． 推论 1.5.2 设 X 是完备的度量空间，映射 A : X → X ，如果存在常数 α ∈ (0,1) 和正整数 n ， 使得 ∀x, y ∈ X 有
d ( An x, An y) ≤ α d (x, y) 那么 A 在 X 中存在唯一的不动点．
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Lagrange 中值定理：如果函数 f (x) 在闭区间 [a,b] 连续，在开区间 (a,b) 内可导，那么在 (a,b) 内至少存在一点 ξ ( a < ξ < b )，使得 f (b) − f (a) = f ' (ξ )(b − a) ．
解 显 然 函 数 g(x) = x5 + x −1 的 导 函 数 为 g' (x) = 5x4 +1 > 0 ， 即 g 单 调 递 增 ， 且
g(1) = − 15 < 0 ， g(1) = 1 ，所以原方程只有一个根而且在 (0.5,1) 内．原方程可写为 2 32 1− x5 = x
由 于 1− x5 不 是 一 个 压 缩 映 射 ， 即 (1− x5 )' = 5x4 在 (0.5,1) 内 并 不 小 于 1 ． 将 上 式 改 造 为