河南省长垣县第十中学高中数学必修4课件：3.1.2两角和与差的三角函数
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最新-2021高中数学必修四课件：3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式1 精讲优练课型 精品
问题1：运用两角和的余弦公式时需要注意什么？ 问题2：两角和的余弦公式的适用条件只能是一个角吗？能不能是角 的组合？
【总结提升】 1.两角和的余弦公式的应用技巧 (1)应用两角和的余弦公式要区分三角函数的名称和符号，不能混淆， 即cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ. (2)要灵活进行正用、逆用两角和的公式计算或化简.
13
2
6
【解析】因为 cos 5 ， ( ，)，
13
2
所以 sin 1 cos2 1 ( 5 )2 12，
13 13
所以 cos( ) coscos sinsin
6
6
6
5 3 12 1 5 3 12 .
13 2 13 2
26
答案： 5 3 12
26
【知识探究】 知识点1 两角和的余弦公式 观察如图所示内容，回答下列问题：
2
2
24 2
42
因为 cos( ) 1，sin( ) 2，
29
2
3
所以 sin( ) 1 cos2 ( ) 1 1 4 5，
2
2
81 9
cos( ) 1 sin2 ( ) 1 4 5，
2
2
93
所以
cos
2
cos
(
) 2
( 2
)
cos( )cos( ) sin( )sin( )
答案：3 4 3 .
10
4.cos 71°sin 11°-sin 71°cos 11°=________.
【解析】cos 71°sin 11°-sin 71°cos 11°=sin(11°-71°) =-sin 60°= .3
2
【总结提升】 1.两角和的余弦公式的应用技巧 (1)应用两角和的余弦公式要区分三角函数的名称和符号，不能混淆， 即cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ. (2)要灵活进行正用、逆用两角和的公式计算或化简.
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【解析】因为 cos 5 ， ( ，)，
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所以 sin 1 cos2 1 ( 5 )2 12，
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所以 cos( ) coscos sinsin
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5 3 12 1 5 3 12 .
13 2 13 2
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答案： 5 3 12
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【知识探究】 知识点1 两角和的余弦公式 观察如图所示内容，回答下列问题：
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24 2
42
因为 cos( ) 1，sin( ) 2，
29
2
3
所以 sin( ) 1 cos2 ( ) 1 1 4 5，
2
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cos( ) 1 sin2 ( ) 1 4 5，
2
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所以
cos
2
cos
(
) 2
( 2
)
cos( )cos( ) sin( )sin( )
答案：3 4 3 .
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4.cos 71°sin 11°-sin 71°cos 11°=________.
【解析】cos 71°sin 11°-sin 71°cos 11°=sin(11°-71°) =-sin 60°= .3
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河南省长垣县第十中学高中数学必修4课件：1.2.2同角三角函数关系
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4
第六页，编辑于星期日：十五点 十三分。
求值时应注意：
角分 :(1) 指定象限的；
zxxkw (2) 没有指定象限 的（注意讨论）。
第七页，编辑于星期日：十五点 十三分。
练习
1、已知
，且 是第三象限角，
求
、
的值。
2、已知 cos 5 ，
13
求 sin 、tan 的值。
3已知 tan 3 求 sin ，c os 的值
3．公式的常见变形有 (1)1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α. (2)sinα＝tanαcosα.
第九页，编辑于星期日：十五点 十三分。
例2： 已知
tan =
，求
的值。
解： sin cos（分子分母同除以 c）os
sin cos
sin cos
变式：已知 sin 3，,求 cos , tan 的值。
5
解：因为 sin2 cos2 1
zxxkw
cos2
1 sin2
16
又
(1)当
si是n第三象0限角时所，以c2o5是s第三或第0四象限角。
cos 4 tan 3
（2）当 是第四5象限角时，c4os 0
cos 4 tan 3
第八页，编辑于星期日：十五点 十三分。
注意：
1.已知一个角的正弦或余弦，求角 α 的其他三角函数值时，要 利用平方关系先求余弦或正弦，再利用商的关系求正切．
2．已知一个角的正切值时，可采用方程组ssiinnα2α＝＋taconsα2cαo＝sα1 来 解 sinα 和 cosα，再由 α 所在象限决定取舍．
同角三角函数关系式
新课标高中数学人教A版必修四全册课件3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式
第十页，编辑于星期日：十三点 十九分。
讲解范例： 例三点 十九分。
讲解范例： 例1. 化简 2 cos x 6 sin x.
思考：
2 2 是怎么得到的？
第十二页，编辑于星期日：十三点 十九分。
讲解范例：
归纳：
a sin b cos a2 b2 sin( )
第十六页，编辑于星期日：十三点 十九分。
练习： 3. 3 cos sin 的值为 ( )
12 12 A. 0 B. 2 C. 2 D. 2
第十七页，编辑于星期日：十三点 十九分。
思考：
已知 3 , cos( ) 12 ,
2
4
13
sin( ) 3 , 求sin 2 .
tan b
a
第十三页，编辑于星期日：十三点 十九分。
讲解范例：
例2. 已知函数f ( x) 2sin x 2 3 cos x, x R.
(1)求f(x)的最值； (2)求f(x)的周期、单调性.
第十四页，编辑于星期日：十三点 十九分。
讲解范例：
例3. 已知A、B、C为△ABC的三内角，
向量 m (1, 3 ), n (cos A,sin A), 且 m n 1.
第五页，编辑于星期日：十三点 十九分。
复习引入 基本公式：
cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos cos sin sin
第六页，编辑于星期日：十三点 十九分。
复习引入
基本公式：
tan( ) tan tan 1 tan tan
第七页，编辑于星期日：十三点 十九分。
5
第十八页，编辑于星期日：十三点 十九分。
课堂小结
掌握两角和与差的余弦、正弦
讲解范例： 例三点 十九分。
讲解范例： 例1. 化简 2 cos x 6 sin x.
思考：
2 2 是怎么得到的？
第十二页，编辑于星期日：十三点 十九分。
讲解范例：
归纳：
a sin b cos a2 b2 sin( )
第十六页，编辑于星期日：十三点 十九分。
练习： 3. 3 cos sin 的值为 ( )
12 12 A. 0 B. 2 C. 2 D. 2
第十七页，编辑于星期日：十三点 十九分。
思考：
已知 3 , cos( ) 12 ,
2
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sin( ) 3 , 求sin 2 .
tan b
a
第十三页，编辑于星期日：十三点 十九分。
讲解范例：
例2. 已知函数f ( x) 2sin x 2 3 cos x, x R.
(1)求f(x)的最值； (2)求f(x)的周期、单调性.
第十四页，编辑于星期日：十三点 十九分。
讲解范例：
例3. 已知A、B、C为△ABC的三内角，
向量 m (1, 3 ), n (cos A,sin A), 且 m n 1.
第五页，编辑于星期日：十三点 十九分。
复习引入 基本公式：
cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos cos sin sin
第六页，编辑于星期日：十三点 十九分。
复习引入
基本公式：
tan( ) tan tan 1 tan tan
第七页，编辑于星期日：十三点 十九分。
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第十八页，编辑于星期日：十三点 十九分。
课堂小结
掌握两角和与差的余弦、正弦
高中数学人教A版必修4课件：3.1.2《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》(第2课时)
3.1.3
二倍角的正弦、余弦、 正切公式
3.1.3两角和与差的正弦、 余弦、正切公式
3.1.3
二倍角的正弦、余弦、 正切公式
本节课利用两角和与差的正、余弦公式进行简单的三角 函数的求值、化简、计算等体会三角恒等变换特点的过程，
理解推导过程，掌握其应用.并重点学习如何用辅助角公式研
究形如f(x) ＝asinx＋bcosx的性质．注意辅助角的求取要点 和准确性.在解题时首先要学会观察，看题目当中所给的式子 与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式中哪个象限.
3.1.3
二倍角的正弦、余弦、 正切公式
运用两角和与差的正、余弦公式化简、求值要注意灵活进行 三角函数名称以及角的变换，善于构造符合某一公式的特征 结构后，再运用公式化简、求值．如果题目中存在互余角， 要善于发现和利用． π π π π 例如，化简：sin4－3xcos3－3x－cos6＋3x· sin4＋3x. π π π π 解 原式＝sin4－3xcos3－3x－sin3－3x· cos4－3x π π ＝sin4－3x－3－3x π π ＝sin4－3 π π π π ＝sin 4cos 3－cos 4sin 3 2－ 6 2 1 2 3 ＝ 2 ×2－ 2 × 2 ＝ 4 .
(2)sin(54° －x)cos(36° ＋x)＋cos(54° －x)sin(36° ＋x)；
解
(1)原式＝sin 14° cos 16° ＋sin(90° －14° )· cos(90° －16° )
＝sin 14° cos 16° ＋cos 14° sin 16° 1 ＝sin(14° ＋16° )＝sin 30° ＝2.
二倍角的正弦、余弦、 正切公式
3.1.3两角和与差的正弦、 余弦、正切公式
3.1.3
二倍角的正弦、余弦、 正切公式
本节课利用两角和与差的正、余弦公式进行简单的三角 函数的求值、化简、计算等体会三角恒等变换特点的过程，
理解推导过程，掌握其应用.并重点学习如何用辅助角公式研
究形如f(x) ＝asinx＋bcosx的性质．注意辅助角的求取要点 和准确性.在解题时首先要学会观察，看题目当中所给的式子 与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式中哪个象限.
3.1.3
二倍角的正弦、余弦、 正切公式
运用两角和与差的正、余弦公式化简、求值要注意灵活进行 三角函数名称以及角的变换，善于构造符合某一公式的特征 结构后，再运用公式化简、求值．如果题目中存在互余角， 要善于发现和利用． π π π π 例如，化简：sin4－3xcos3－3x－cos6＋3x· sin4＋3x. π π π π 解 原式＝sin4－3xcos3－3x－sin3－3x· cos4－3x π π ＝sin4－3x－3－3x π π ＝sin4－3 π π π π ＝sin 4cos 3－cos 4sin 3 2－ 6 2 1 2 3 ＝ 2 ×2－ 2 × 2 ＝ 4 .
(2)sin(54° －x)cos(36° ＋x)＋cos(54° －x)sin(36° ＋x)；
解
(1)原式＝sin 14° cos 16° ＋sin(90° －14° )· cos(90° －16° )
＝sin 14° cos 16° ＋cos 14° sin 16° 1 ＝sin(14° ＋16° )＝sin 30° ＝2.
2018高中数学必修4课件：第3章3.1-3.1.2两角和与差的正弦 精品
规律方法 在面对问题时，要注意先认真分析条件，明确要求， 再思考应该联系什么公式，使用公式时要有什么准备，准 备工作怎么进行等，还要重视思维过程的表述，不能只看 最后结果而不顾过程表述的准确性、简洁性等，这些都是 培养三角恒等变换能力所不能忽视的．
[变式训练] 已知 sin α＝－35，α 是第四象限角，求 sinπ4－α，cosπ4＋α的值．
2．与特殊角有关的几个结论： sin x±cos x＝ 2sinx±π4； sin x± 3cos x＝2sinx±π3＝2cosx±π6.
[变式训练] 求函数 f(x)＝sinx＋π3＋2sinx－π3的单 调区间．
解：f(x)＝sin xcos π3＋cos xsin π3＋2sin xcos π3－2cos
xsin
π3＝3sin xcos
π3－cos xsin
π3＝32sin
x－
3 2 cos
x＝
3
3 2 sin
x－12cos
x＝
3sin xcos
π6－cos
xsin
π 6＝
3sinx－π6.
由 2kπ－π2≤x－π6≤2kπ＋π2，得
2kπ－π3≤x≤2kπ＋23π(k∈Z)．
由 2kπ＋π2≤x－π6≤2kπ＋32π，得
第3章 三角恒等变换
3.1 两角和与差的三角函数 3．1.2 两角和与差的正弦
[情景导入] 上一节我们研究了两角和与差的余弦， 一个自然的想法是两角和与差的正弦等于什么？即 sin(α±β)＝？本节我们就探索这样的问题，并加以应用．
[学习目标] 1.能用两角差的余弦公式推导出两角和 与差的正弦公式． 2.了解各公式间的内在联系，熟练地 掌握这些公式的正用、逆用．
新课标高中数学人教A版必修四全册课件3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)
2
2
第六页，编辑于星期日：十三点 十九分。
两角和与差的正弦公式：
sin( ) cos[ ( )] cos[( ) ]
2
2
cos( )cos sin( )sin
2
2
第七页，编辑于星期日：十三点 十九分。
两角和与差的正弦公式：
sin( ) cos[ ( )] cos[( ) ]
2
2
cos( )cos sin( )sin
2
2
sin cos cos sin
第八页，编辑于星期日：十三点 十九分。
两角和与差的正弦公式：
第九页，编辑于星期日：十三点 十九分。
两角和与差的正弦公式：
sin( ) sin[ ( )]
第十页，编辑于星期日：十三点 十九分。
两角和的正切公式： tan( ) sin( )
cos( )
第十五页，编辑于星期日：十三点 十九分。
两角和的正切公式： tan( ) sin( )
cos( ) sin cos cos sin
cos cos sin sin
第十六页，编辑于星期日：十三点 十九分。
3.1.2两角和与差的正弦、 余弦、正切公式
第一页，编辑于星期日：十三点弦公式：
cos( ) cos cos sin sin
第二页，编辑于星期日：十三点 十九分。
复习引入
1. 两角差的余弦公式：
cos( ) cos cos sin sin 2. sin cos?
tan( ) tan[ ( )] tan tan( ) 1 tan tan( )
tan tan 1 tan tan
第二十二页，编辑于星期日：十三点 十九分。
高中数学必修四：3.1两角和与差的三角函数课件(共38页)
利用同角三角函数关系化简 化简： π α α α α 1－2sin cos ＋ 1＋2sin cos (0<α< )． 2 2 2 2 2
利用“1＝sin ＋cos ”. 2 2
2α
2α
α α 2α [解题过程] 原式＝ sin －2sin cos ＋cos ＋ 2 2 2 2 α α 2α 2α sin ＋2sin cos ＋cos 2 2 2 2 α α2 α α2 ＝ cos －sin ＋ cos ＋sin 2 2 2 2 α α α α ＝|cos －sin |＋|cos ＋sin |， 2 2 2 2
1．化简 π A．cos 5 π C．sin 5
答案： C
1－cos 的结果是( 5
2π
) π B．－sin 5 π D．－cos 5
4 2．若 sinα＝ ，且 α 是第二象限角，则 tanα 的 5 值为( ) 4 3 A．－ B. 3 4 3 4 C．± D．± 4 3
答案： A
3．已知sin α＝－1，则cos α等于________． 答案： 0 1 π π 4．已知 sinαcosα＝ ，且 <α< ，则 cosα－sinα 8 4 2 的值是________． 3 答案： － 2
解析： 由已知得 cos(θ＋kπ)≠0， ∴tan(θ＋kπ)＝－2(k∈Z)⇒tan θ＝－2. 4sin θ－2cos θ 4tan θ－2 (1) ＝ ＝10； 5cos θ＋3sin θ 5＋3tan θ 1 2 2 2 (2) sin θ＋ cos θ 4 5 1 2 2 2 1 2 2 sin θ＋ cos θ tan θ＋ 4 5 4 5 ＝ ＝ 2 2 2 sin θ＋cos θ tan θ＋1 7 ＝ . 25
人教A版高中数学必修4课件：3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式的应用 (共15张PPT)
化asin x bcos x为一个角的三角函数形式
asin x bcos x
a2
b2
a
sin x
b
cos x
a2 b2
a2 b2
令
cos
sin
a a2 b2
b a2 b2
a2 b2 sin x cos cos xsin
2 22
(∴3)t∵ant3a0n°4+5t°a=nt1a5n°(=310-°t+a1n53°0)°=tan151t°a-,nt3a0n3o 0o
tan15o tan15o
∴原式=tan30°+tan15°+tan30°tan15°=1. (4)原式= 1 - tan15o tan45o - tan15o
,
2
0, 求cos。
3 34
10
a2 b2 sin x a2 b2 cos x
辅助角公式（多能公式）：
a sin x bcos x a2 b2 sin( x )
其中 a cos,
a2 b2
tan b
a
b sin.
a2 b2
把下列各式化为一个角的三角函数形式
sin15ocos8o cos15ocos8o
=tan15°=tan(45°-30°)=
1 - tan30o 1 tan30o
2
3
（2）原式=
2cos(30o - 20o ) - sin20o sin(90o - 20o )
=
2(cos30o cos20o sin30o sin20o ) - sin20o cos20
高中数学必修四课件3-1-2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)课件
提示 由两角和的正弦公式知结论正确.
3.存在角α，β，使sin(α－β)≠sin αcos β－cos αsin β.( × )
提示 由两角差的正弦公式知不存在角α，β，使sin(α－β)≠sin αcos β－cos αsin β.
4.存在角α，β，使sin(α＋β)＝sin αcos β－cos αsin β.( √ )
第三章 §3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.掌握两角和的余弦公式及两角和与差的正弦公式. 2.会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的化简、求值、计 算等. 3.熟悉两角和与差的正弦、余弦公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以 及角的变换的常用方法.
内容索引
NEIRONGSUOYIN
自主学习 题型探究 达标检测
1 自主学习
PART ONE
知识点一 两角和的余弦公式
公式 简记符号 使用条件
cos(α＋β)＝_c_o_s_α_c_o_s_β_－__s_i_n_α_s_in__β_ _C__(α_＋_β_)
α，β都是_任__意__角__
记忆口决：“余余正正，符号相反”.
.
解析 因为 cos α＝－153，sin α＝1123，
所以 cosα＋π6＝cos αcos
π6－s12＝－5
3＋12 26 .
题型二 给值求值
例 2 已知 sin34π＋α＝153，cosπ4－β＝35，且 0<α<π4<β<34π，求 cos(α＋β).
两角和与差的正弦公式应用
典例 ＝
定义运算ca π
3.
db＝ad－bc.若
提示 如α＝β＝0时，sin(α＋β)＝0，sin αcos β－cos αsin β＝0.
3.存在角α，β，使sin(α－β)≠sin αcos β－cos αsin β.( × )
提示 由两角差的正弦公式知不存在角α，β，使sin(α－β)≠sin αcos β－cos αsin β.
4.存在角α，β，使sin(α＋β)＝sin αcos β－cos αsin β.( √ )
第三章 §3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.掌握两角和的余弦公式及两角和与差的正弦公式. 2.会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的化简、求值、计 算等. 3.熟悉两角和与差的正弦、余弦公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以 及角的变换的常用方法.
内容索引
NEIRONGSUOYIN
自主学习 题型探究 达标检测
1 自主学习
PART ONE
知识点一 两角和的余弦公式
公式 简记符号 使用条件
cos(α＋β)＝_c_o_s_α_c_o_s_β_－__s_i_n_α_s_in__β_ _C__(α_＋_β_)
α，β都是_任__意__角__
记忆口决：“余余正正，符号相反”.
.
解析 因为 cos α＝－153，sin α＝1123，
所以 cosα＋π6＝cos αcos
π6－s12＝－5
3＋12 26 .
题型二 给值求值
例 2 已知 sin34π＋α＝153，cosπ4－β＝35，且 0<α<π4<β<34π，求 cos(α＋β).
两角和与差的正弦公式应用
典例 ＝
定义运算ca π
3.
db＝ad－bc.若
提示 如α＝β＝0时，sin(α＋β)＝0，sin αcos β－cos αsin β＝0.
2020-2021学年人教A版高中数学必修4课件：3.1.2 第2课时 两角和与差的正切公式
和的正切公式使用条件为α，β，α＋β≠kπ＋
π 2
(k∈Z)，两角差的正切
公式使用条件为α，β，α－β≠kπ＋π2(k∈Z)．
1．已知tan α＝4，tan β＝3，则tan(α＋β)＝( )
7 A.11
B．－171
7 C.13
D．－173
B [tan(α＋β)＝1t－antαan＋αttaannββ＝1－4＋4×3 3＝－171.]
4.1t＋ant7a5n°7－5°ttaann1155°°＝
.
3 [原式＝tan(75°－15°)＝tan 60°＝ 3.]
合作 探究 释疑 难
两角和与差的正切公式的应用
【例1】
(1)已知tan
α＝
1 2
，tan(α－β)＝－
2 5
，则tan(β－2α)＝
()
A．－34
B．－112
C．－98
D.98
(2)如图，在△ABC 中，AD⊥BC，D 为垂足，AD 在△A∶6，则 tan∠BAC＝
.
思路点拨：(1)构造角 2α－β＝α＋(α－β)． (2)先求∠CAD，∠BAD 的正切值，再依据 tan∠BAC＝tan(∠CAD －∠BAD)求值．
(1)B
核心素养
1.借助两角和与差的正切公式 的推导过程，培养学生逻辑推 理素养. 2.通过利用两角和与差的正切 公式进行化简、求值，提升学 生的数学运算和逻辑推理素养.
自主 预习 探新 知
两角和与差的正切公式
思考：两角和与差的正切公式对任意角α，β均成立吗？
[提示] 不是对任意角α，β均成立，必须使正切有意义，两角
提示：tan(α＋β)＝1t－antαan＋αttaannββ＝1－－baac＝－a－b c.