河南理工弹性力学- 楔形体问题

环向正应力 和切应力 均为零；
径向正应力 与极径 成反比， 越大， 越小； 无限小时， 无限增大，该解答具有奇异性。
x
若在半平面体内做一直径为 d、且在 O 点与边界相切的圆，则 圆上（实际为圆柱面上）各点满足
2F cos 1 . , 此时有 d cos 即 d d
f (4) () 2 f (2)() f () 0
其通解为 f () A cos B sin (C cos D sin ) 从而应力函数 f () A cos B sin (C cos D sin ) 其中 A、B、C、D 为待定的积分常数。

x
/2
/2
/2
d cos F cos 0
d sin F sin 0
D
C
F cos sin
8
/2
F sin sin
4.9 楔形体问题
最终我们得到，应力分量的表达式
2 1 1 2 2 2 2 1
2 (D cos C sin ), 0, 0.
应力分量
[力] [长度]2
x
y

F
O
2 2


P
F
[力] [长度]

[长度]
1
1
1
可见，应力当具有 如下形式 ——F N (, , ) Nhomakorabea4
4.9 楔形体问题
F N (, , )

F
y
O
2 2
也就是说，各应力分量表达式中，极径 只能以负一次幂的形式出现。 由极坐标中应力分量与应力函数之 间的关系式
第四章 平面问题的极坐标解答
第9讲 楔形体问题
在这一讲，我们将采用半逆解法导出楔形体在楔顶受集 中力的应力解答，作为特例，得到半平面体在边界上受法向 集中力的符拉芒（A. Flamant, 1892）解答。
1
4.9 楔形体问题
设有楔形物体，顶端开角为 ，底 端看作无限长。不计体力，楔顶受有斜 方向的集度为 F 的均布线荷载，如图 所示，F 与楔形体横截面中心线所夹角 度设为 ，试求其内的应力分量。
利用这个结果，可得岩石力学中测定岩石抗拉强度的巴西圆盘 10 劈裂实验的理论依据，感兴趣的同学可查阅相关资料。
6
4.9 楔形体问题
A cos B sin (C cos D sin ) Ax By
y

F
O
2 2
注意到表达式前两项实际上是线性项， 并不影响应力，故可删去，从而
(C cos D sin )
代入应力分量与应力函数之间的关系式
再令 = 0，有
2F cos , 0, 0.
9
4.9.1 半平面体在边界上受法向集中力
符拉芒（Flamant，1892）解答：
2F cos , 0, 0.
y F
O P d

F
y
O
2 2
x
3
4.9 楔形体问题
考虑采用半逆解法。 首先，我们使用量纲分析的方法设定应 力分量的函数形式。一般情况下，弹性 体内所产生的应力当与下列因素有关： • 弹性体的几何形状 —— • 外部荷载 —— F、 此外，应力分量还是点的位置坐标 、 的函数。 各物理量的量纲列表如下：

F
y
O
2 2
将坐标原点取在楔顶上，楔顶作为 z 轴，竖直中心线为 x 轴，水平线为 y 轴，建立如图所示的坐标系。
x
2
4.9 楔形体问题
如果楔形体在 z 方向具有有限厚度， 该问题是平面应力问题； 如果楔形体在 z 方向也无限长，则 是平面应变问题。 由于不计体力、不存在位移边界，并且 楔形体是单连体，那么，根据第二章按 应力求解平面问题的基本理论，我们可 以想见，该问题的应力解答中必定不含 弹性常数，也与平面问题的类型无关。
f ()
5
4.9 楔形体问题
f ()

F
将其代入相容方程
2 1 1 2 0 2 2 2
4 2
y
O
2 2
经运算、整理并删去共有因子
1 3
后，我
x
们得到可以确定 f () 的如下常微分方程
x
楔形体中只有径向正应力不为零。
7
4.9 楔形体问题
由于楔形体的侧面无面力作用，故在除去 楔顶的两侧面，应力边界条件为
( )/2, 0 0, ( ) /2, 0 0

F
y
O
2 2

a
c b
在楔顶，由于集中线荷载的作用，无法按常规 写出应力边界条件。现在，我们假想以 O 为 圆心、任意的 为半径做圆弧 abc，取出一个 脱离体 Oabc，则弧面上径向正应力合成的效 果当与 F 相平衡，于是有如下的平衡条件
2F cos sin cos sin , sin sin
0, 0.
y

F
O
2 2
讨论： 当 = 时，楔形体成为半平面体，有
x

2F (cos cos sin sin ), 0, 0.
1 1 2 2 1 2 , , 2 2
x
我们看到，应力函数 关于 降两个次幂得到应力，因此，极 径 当以一次幂形式出现在应力函数 的表达式中，即