最新地震处理教程——1 第一章 时间序列分析基础
地震第1章 地震数据处理基础
∞ ） 上满足下列条件:
(1) x (t ) dt 存在 (2) 满足狄利克莱(Dirichlet)条件: 以x(t)只有有限个极值点和有限个间断点且在间断点 t 0 处，函数
x( t )=[x( t +0)+( t 0 -0)]，则函数x(t) 傅里叶变换及反变换存在。这 里，函数x(t)的傅里叶变换为：
0 0
X ( w)
~
x(t )e iwt dt
（1-1）
（1-2）
其相应的反变换为
~ 1 x(t ) X ( w)e iwt dw 2 π
式中 —— 傅里叶变换变量； i —— 虚数单位； ~ X ( w) —— 函数x(t)的傅里叶变换。
如果变量t表示时间，x(t)表示地震记录道，由于实际地震记录道通常 是连续的，满足傅里叶变换存在条件，则利用上述(1一1)式可以得到其傅 ~ 里叶变换分X ( w)，其变量 表示圆频率，它与频率 f 之间的关 2 f π 为 X ( w) ，称为地震道x(t)的频谱。 由于傅里叶变换是可逆的，如果已知地震道的频谱 X ( w) ，则利用傅 里叶反变换(1-2)式可以得到原来的地震道函数x(t)。 通常由傅里叶变换(1-l)式得到的频谱为一个复函数，称为复数谱。 它可以写成指数形式
我们知道，在野外地震数据采集中，每一炮在每个检波点所记录的 地震道记录表示在该检波点所观测到的地震波场。在数字地震记录中， 每个地震道是一个按一定时间采样间隔排列的时间序列，如图1-1所示。 t，， , nt排列的振 2 , 图中地震道采样间隔为△t，按采样时刻 t= 幅采样值 x(t ) {x1 , x2 , xn为一个时间序列。 ,}
的傅里叶变换为
地震资料处理复习总结(第1-6章)
《地震勘探资料处理》第一章～第六章复习要点总结第一章 地震数据处理基础一维谱分析数字地震记录中，每个地震道是一个按一定时间采样间隔排列的时间序列，每一个地震道都可以用一系列具有不同频率、不同振幅、相位的简谐曲线叠加而成。
应用一维傅里叶变换可以得到地震道的各个简谐成分；应用一维傅里叶反变换可以将各个简谐成分合并为原来的地震道序列。
连续函数正反变换公式：dt et x X t i ωω-∞∞-⎰=)()(~ 正变换 ωωπωd e X t x t i ⎰∞∞-=)(~21)( 反变换 通常由傅里叶变换得到的频谱为一个复函数，称为复数谱。
它可以写成指数形式 )()()(|)(~|)(~ωφωφωωωi i e A e X X ==式中)(ωA 为复数的模，称为振幅谱；)(ωϕ为复数的幅角，称为相位谱。
)()()(22ωωωi r X X A +=，)()(tan )(1ωωωφr i X X -=（弧度也可换算为角度）离散情况下和这个差不多（看PPT 和书P2-3）一维傅里叶变换频谱特征：1、一维傅里叶变换的几个基本性质（推导）线性 翻转 共轭 时移 褶积 相关（功率谱），P3-72、Z 变换（推导）3、采样定理 假频 尼奎斯特频率，tf N ∆=21二维谱分析二维傅里叶变换),(k X ω称为二维函数),(t x X 的频——波谱。
其模量|),(|k X ω称为函数),(t x X 的振幅谱。
由),(k X ω这些频率f 与波数k 的简谐成分叠加即可恢复原来的波场函数),(t x X （二维傅里叶反变换）。
如果有效波和干扰波的在f-k 平面上有差异，就可以利用二维频率一波数域滤波将它们分开，达到压制干扰波，提高性噪比的目的。
二维频谱产生空间假频的原因数字滤波在地震勘探中，用数字仪器记录地震波时，为了保持更多的波的特征，通常利用宽频带进行记录，因此在宽频带范围内记录了各种反射波的同时，也记录了各种干扰波。
地震数据处理-第一章：地震数据处理基础PPT课件
这个子波(由星号标明，如图1.1-12)时 间位移为－0.2s，但它的波形不变。这 样，一个线性相位移等同于一个常数时 移。
.
38
相位概念
①最 小 相(m位inimum phas) e
与 零 相 位 偏 离 最 位小 ；的 具相 有 最 小 的 。群 延
.
17
一维付里叶变换
.
18
一维付里叶变换
离散的付氏变换：
DFT:Ff ((nk))Nn101Nf1(Fn)(en)je(2j(2/N/)Nk)nkn
N n0
振幅谱与相位谱也可以写成离散的形式。
.
19
LT:F(s) f(t)
f
1
j2
(t)estdt jF(s)estds
j
CTF:TFf( (t))21f(tF )e( j)tedj ttd
7.数据滤波和反滤波(Filtering and AntiFiltering)；
8.偏移归位处理(Migration Processing)
.
5
偏移：
是通过数值计算把地面记录延拓为地下波场的过程，在此过 程中，绕射波得到收敛，倾斜界面反射波得到归位，波场干 涉得到分解，波前回转现象得到消除，界面折射得以校正( 深度偏移)，从而使地层构造、断层分布、断点、尖灭点、 边缘、异常体和岩性变化得到清晰成像和准确归位。
将不容易 解释的原始 资料变成容 易解释的时
间剖面；
.
3
.
4
1.预处理(Preprocessing) (解编,不正常道、炮的处理,抽道集)
2.静校正(Static Correction)消除表层因素(低降速带厚度、速度变化、地
地震波形数据的处理和分析
地震波形数据的处理和分析1. 引言2. 数据采集3. 数据预处理- 数据格式转换- 数据降噪- 数据校正4. 数据分析- 时域分析- 频域分析- 时间-频率分析5. 结束语1. 引言地震是地球上的一种常见自然灾害，它可能造成巨大的生命和财产损失。
地震波形数据的处理和分析是了解地震活动和预测地震可能性的关键步骤。
本文旨在介绍地震波形数据的处理和分析方法，帮助科研工作者更好地利用这些数据来研究地震活动和预测地震可能性。
2. 数据采集地震波形数据的采集通常使用地震仪。
地震仪通常由三个基本部分组成：传感器、记录器和电源。
传感器用于测量地震波，将其转换为电信号。
记录器接收来自传感器的信号，并将其记录在磁带、磁盘或计算机存储器中。
电源用于提供记录器和传感器所需的电力。
3. 数据预处理处理地震波形数据的首要任务是对其进行预处理。
地震数据预处理可以分为数据格式转换、数据降噪和数据校正三个部分。
- 数据格式转换地震数据采集器通常会以其自己的格式存储数据。
因此，在使用数据之前，必须将其转换为统一的格式。
这通常需要使用专业软件或自己编写的代码来完成。
- 数据降噪地震波形数据通常包含许多各种各样的噪声，并可能出现一些异常值或目标外的信号。
因此，需要降低噪音，以使信号更加清晰。
常用的降噪方法有滤波、去除基线漂移等。
- 数据校正校正是指将原始地震波形数据转换为标准的地震量，例如位移、速度或加速度。
地震波形数据的校正可通过对地震仪的灵敏度和响应函数进行测量来完成。
4. 数据分析地震波形数据的分析涉及到时间域分析、频域分析和时间-频率分析。
- 时域分析时域分析是分析地震波形数据的时间特性。
时域分析方法通常包括峰值、振幅、半周期等。
- 频域分析频域分析是分析地震波形数据的频率特性。
这可以通过将波形数据转换为频谱来实现。
最常用的频域分析方法是傅里叶变换。
- 时间-频率分析在许多情况下，需要分析地震波形数据的时间和频率特性。
这可以通过使用小波分析完成。
地震资料数字处理基本处理流程
记录修饰处理子菜单 记录修饰处理子菜单
每张地震记录的参数图
二、工程地震勘察分辨率 一） 振幅和波形是解释地震剖面和进行层位对比的重要依 据： 振幅变化和波形变化相伴而生几乎所有影响振幅的因素 都要影响波的频率改变，进而引起波形的改变。 图是反射波在穿过几个典型的波阻抗界面时的反射波的波 形。 1、在单一的地质界面上，反射波的波形与入射波的波形相 似，反射波的振幅大小与反射界面的反射系数成正比，反 射波的极性由由波阻抗变化的方向而定。 当 v2 2 v11 (Z 2 Z1 ) 时反射波的相位和入射波的 相位是相同的。 若 v11 v2 2 ( z1 z2 ) 则，反射波的相位和入射波 的相位是相反。
§2.8-1 地震资料数字处理基本处理流程 （1） 一、数字处理的一般流程和预处理 1、数字处理流程 2、预处理流程 3、预处理程序的使用 二、工程地震勘察分辨率 1、 振幅和波形是解释地震剖面和进行层位对比的 1、关于滤波的基本概念： 2、滤波RCDPRCV.EXE程序的操作使用方法：
§2.8-1 地震资料数字处理基本处理流程 （1） 一、数字处理的一般流程和预处理 1、数字处理流程 2、预处理流程 3、预处理程序的使用 二、工程地震勘察分辨率 1、 振幅和波形是解释地震剖面和进行层位对比的重要依 据 2、在地震剖面上，识别地震波同相轴的四个要点： 三、关于数字滤波： 1、关于滤波的基本概念： 2、滤波RCDPRCV.EXE程序的操作使用方法：
1）数据重排（解编） 目前常用的地震仪的记录格式是SEG-B 格式、SEG-D格式 或SEG-2格式等。其在磁盘是的数据记录排列形式为按时分 道的排列，数据排列方式是从第一道的第一个采样值开始， 依次是第二道的第一个采样值，第三道的第一个采样值，以 此类推。这种排列方式，使得同一道记录的相邻参数值相距 很远，处理起来很不方便。为了便于后面的处理工作，需要 将数据格式改变成暗道分时的数据格式（普通计录的格式）， 使得同一道采集的数据放在一起，这种预处理叫做数据重排 或解编。解编后的标准格式是SEG-Y格式。该格式是数据通 用处理的通用格式。在该格式下，一道地震记录由两部分组 成，即道头部分和数据段部分。其中道头部分和占120个计 算机字，每个字长是两个字节用整型表数，其中第58号道头 字存放记录点的总样点数，第59号道头字存放采样率 （US），其它道头中存放采集参数和处理中用到的参数。
(整理)地震资料处理001.
第一章概述1.地震勘探包括：采集处理解释2.地震处理包括：反褶积叠加偏移成像3.地震处理包括：预处理，常规处理，特殊处理4.三高：高分辨率，高保真度，高信噪比第二章数字滤波1.滤波器：任何一种对输入信号的改造作用都可以看成滤波，实现这种滤波的系统成为滤波器2.模拟滤波器：通过不同结构的电网络实现滤波3.数字滤波器：用数学运算通过数字计算机技术实现滤波4.数字滤波与模拟滤波器的异同点：（1）模拟滤波是对连续信号进行滤波，输出的是连续信号，输入和输出信号都可以用一连续的图形表示出来，而数字滤波器是对离散化之后的信号进行滤波，输入和输出都是离散数据；（2）电滤波是用不同的点网络实现滤波的，数字滤波是用数学运算的方式通过数字计算机技术实现滤波的5.滤波器的物理性质：（1）滤波器是实参数的，（2）滤波器是物理可是实现，充要条件h（n）=0，n<0，（3）稳定性，（4）能量是有限输出的（5）最小相位性质，最小相位信号对相同振幅的物理可实现信号，分辨率是最高的。
6.最小相位信号：具有相同振幅的物理可实现信号中最小的信号、7.最小相位滤波器：具有相同振幅相应的一切可能的滤波器中能量延迟最小的滤波器8.纯振幅滤波器：也成为零相位滤波器，信号通过这个滤波器之后，只有振幅的变化，没有相位的变化，又称为理想滤波器19.理想滤波器：低通理想滤波器，带通理想滤波器，带陷理想滤波器，高通理想滤波器10.频率域滤波的实现步骤：首先对地震记录x（t）作傅里叶变换，得到其频谱X（ω），进行频谱分析。
根据有效波的频带范围，设计合适的滤波器H（ω），在频率域进行滤波，然后对输出Y（ω）做傅里叶反变换，得到滤波后的输出y（t）。
11.使用fft应注意的问题输入数据：输入数据点数NFFT应是2k个点；输出数据，计算出的频谱宫NFFT个点，从第一个点开始，以NFFT/2+1处为对称点，与后面的点有共轭关系；输入与输出数据采样间隔的关系，ΔtΔf=1/NFFT12.时间域滤波的两种常用方法：褶积滤波、递归滤波13.褶积滤波的两种模型:无噪声，x(t)=b(t)* ξ(t)，有噪声x(t)=b(t)* ξ(t)+n(t)14.设计递归滤波器应注意的问题递归滤波器的阶数，阶数越大越精确，但计算量大，通常，n=4,；滤波器的稳定性。
地震资料的常规处理流程70页PPT
地震资料的常规处理流程
一 预处理 二 叠前去噪和一致性处理 三 一次静校正和剩余静校正 四 速度分析和共中心点叠加 五 偏移 六 叠后处理和显示
地震资料的常规处理流程
信号处理角度：去噪 噪声的形成机理 传播过程中产生，规则的各
类非有效波和不规则的噪音，包括波形的改造
包括多次波
地震资料的常规处理流程
速度分析和共中心点叠加 常规处理中的速度分析获得速度参数十分重要的， 它是现实共中心点叠加，解决多次覆盖采集中造成 的几何校正问题的重要参数。目前以速度谱为基础。 速度谱资料还可转换成均方根和层速度，为时深转 换、地层对比、岩性研究提供资料。
地震资料的常规处理流程
共中心点叠加（又称水平叠加）曲线假设基础之上 的。通过一系列速度值的扫描拟合可估计出零炮 检距上的反射波时间和该反射的叠加速度，这种
对单一水平地层而言，共中心点道集中炮检对的旅 行时间t（x）是炮检距x的函数。当炮检距不很大时， 近似为x的双曲函数，
t2(x) t2(0)vx22
其中v称为叠加速度，它是将所采集的数据与以 v 和 t (0) 作为参变量的双曲线作最佳拟合而求得。这一过 程称为速度分析，将炮检距对旅行时的影响消除--正 常时差校正或NMO校正，又叫几何校正--后的道集 内所有道相加合成一道，叫做共中心点叠加。
衰减各类规则和不规则噪音，
反褶积
改善地震子波的
频谱，使其应当有足够宽的频带和零相位，同
时改善子波的一致性
地震资料的常规处理流程
地球物理角度：成像 观测系统定义 静校正 速度分析和叠加 偏移
地震资料的常规处理流程
地震资料处理的基本流程： 预处理 去噪（叠前和叠后） 反褶积 一次静校正（和剩余静校正） 速度分析和共中心点叠加 偏移 对二维资料而言，处理的坐标系是：共中心点、 偏移距、时间。三维资料则是在四维空间里。
地震监测数据分析规范
地震监测数据分析规范地震是一种自然灾害，会给人们的生命财产和社会稳定造成严重威胁。
为了有效地预防和减轻地震灾害的影响，地震监测数据的分析起着至关重要的作用。
地震监测数据分析规范的制定和遵守，可以帮助科学家们准确地预测地震发生时间、地震强度等关键参数，为地震灾害应对提供科学依据。
一、数据采集与储存地震监测数据的分析首先需要有可靠的数据基础。
现代地震监测使用的主要工具包括地震仪、地震台网和卫星遥感等技术手段。
数据采集过程中，需要保证设备的准确度和稳定性，并定期进行数据校验和校准。
同时，地震监测数据应当按照规范的格式进行储存，以便后续的数据分析和访问。
二、数据预处理与筛选地震监测数据中蕴含着丰富的信息，但也存在着各种噪音和干扰。
因此，在进行数据分析之前，需要对数据进行预处理和筛选，以排除无关信息。
预处理的过程包括数据去噪、数据插值和异常值排除等操作。
筛选则是根据具体的研究目的，对数据进行时间和空间的筛选，以获取特定的地震事件数据。
三、数据分析方法与技术地震监测数据分析主要依靠不同的方法和技术，其中包括时间序列分析、频率域分析和空间分析等。
时间序列分析可以帮助科学家们探索地震间隔、地震周期等重要参数，以预测未来的地震活动。
而频率域分析则可以揭示地震信号的频率特征，从而更好地理解地震波的传播和损耗。
另外，空间分析可以帮助确定地震发生的空间分布特征，为地震烈度评估提供依据。
四、数据模型与预测借助分析结果和先进的地震学理论，科学家们可以建立地震模型，用于地震活动的预测。
数据模型可以基于历史地震事件和地震监测数据，通过统计学和机器学习方法构建，以预测未来地震活动的概率和强度。
通过与实际观测数据的对比验证，科学家们可以不断改进和优化地震模型，提高预测的准确性和可靠性。
五、数据共享与开放地震监测数据分析的效果和科学价值，不仅仅取决于数据本身的准确性，也与数据的共享和开放有密切关系。
地震监测机构应当制定规范的数据共享政策，并确保地震监测数据的安全性和隐私保护。
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第一章时间序列分析基础一维傅里叶变换首先观察一个实验。
将弹簧的一端固定并悬垂，另一端挂一重物。
向下拉重物使弹簧拉伸某一距离，比如说0.8个单位，使其振动。
现假定弹簧是弹性的，那么它将无休止地上下运动。
若将运动起始的平衡位置定为时间零，那么重物的位移量将随着时间函数在极限[＋0.8—－0.8]之间变化。
如果有一装置能给出位移振幅随时间函数变化的轨迹，就会得到一条正弦波曲线。
其相邻两峰值间的时间间隔为0.08秒(80毫秒)。
我们称它为弹簧的周期，它取决于所测弹簧刚度的弹性常数。
我们说弹簧在一个周期时间内完成了一次上下振动。
在1秒的观测时间内记下其周期数，我们发现是12.5周，这个数被称为弹簧振动的频率。
你一定会注意到，1/0.08＝12.5，这就是说频率为周期的倒数。
我们取另一个刚性较大的弹簧，并重复上面的实验。
不过这次弹簧的振幅峰值位移为0.4个单位。
它的运动轨迹所显示的是另一条正弦曲线。
量其周期和频率分别为0.04秒和25周/秒，为了记下这些测量结果，我们做每个弹簧峰值振幅与频率的关系图，这便是振幅谱。
现在取两个相同的弹簧。
一个弹簧从0.8个单位的峰值振幅位移开始松开，并使其振动。
这时注意弹簧通过零时平衡位置的时间，就在它通过零时的一刹那，请你将另一弹簧从0.8个单位的同样峰值振幅位移处松开。
这样由于起始的最大振幅相同，所以两个正弦时间函数的振幅谱也应该一样。
但肯定两者之间是有差别的，特别是当第1个正弦波达到峰值振幅时，另一个的振幅为零。
两者的区别为：第2个弹簧的运动相对于第1个弹簧的运动有一个等于四分之一周期的时间延迟。
四分之一周期的时间延迟等于90°相位滞后。
所以除振幅谱之外，我们还可以作出相位延迟谱，至此，这个实验做完了。
那么我们学到了什么呢？这就是弹簧的弹性运动可以用正弦时间函数来描述，更重要的是，可以用正弦波的频率、峰值振幅及相位延迟来全面地描述正弦波运动。
这个实验告诉我们弹簧的振动是怎样随时间和频率函数变化的。
现在设想有一组弹簧，每个弹簧的正弦运动都具有特定的频率、峰值振幅和相位延迟。
所有弹簧的正弦响应如图1所示。
我们可以把该系统的运动“合成”为一个总的波动，来代替该组中的各单个分量的运动。
这一合成是直接把所有记录道相加，其结果得到一个与时间相关的信号，在图1中由第一道表示。
我们通过这种合成可以把这一运动由频率域变换到时间域。
这一变换是可逆的：即给定时间域信号，我们可以把它变换到频率域的正弦分量。
在数学上，这种双向过程是由傅里叶变换完成的。
在实际应用中，标准的运算是所谓快速傅氏变换。
通过傅氏正变换可以把与时间相关的信号分解成它的频率分量，而所有的频率分量合成为时间域信号又是通过反傅氏变换来实现的。
图2概括了信号的傅氏变换。
振幅谱和相位谱(严格地讲是相位延迟谱)是图1中所显示的正弦波最简单的表示形式。
我们很容易看到两种波形显示间的对应性。
特别是，振幅谱在大约20赫兹和40赫兹处分别有一个强峰值和一个较小的峰值，在图1中大约相同的频率位置上可以见到较暗的频带。
另一方面，在大约30赫兹处的弱振幅区和振幅谱上的高频和低频端在两种显示中也都是明显的。
要记住，振幅谱曲线表示的是各个正弦波峰值振幅与频率的关系。
现在我们来研究不太好理解的相位谱。
这回忆一下弹簧试验，相位延迟是指一个特定频率分量的时间延迟。
为了更好地说明相位延迟与频率的关系，让我们在图1上追踪以零计时线截取的正峰值。
我们观察到，在谱的低频端这些峰值落在零计时线后面(即负时间值)。
然后在大约20赫兹处，它们跳到时间轴正的一边，并且在频率轴的剩余部分它们基本上都在这一边。
在图1中我们追踪的路径可以画成图2中显示的相位谱，如果所有的峰值沿用图1中的零计时线排列，那么它可能对应于零相位谱。
在这种情况下，所有的正弦波将彼此加强，在零时产生极大峰值。
相对来讲，振幅谱比相位谱容易理解，在本节后面再深入研究这一问题。
假频地震信号是一个连续的时间函数。
由于数字记录的引入，连续的地震信号要以离散的时间间隔进行采样，其时间间隔称为采样率。
通常，对于大多数反射地震工作其采样率的范围在l至4毫秒。
高分辨率研究要求采样率小到0.25毫秒。
图3是一个连续的时间信号。
黑点表示实际记录的离散采样点。
离散的时间函数称为“时间序列”。
图3的下图是企图恢复上图的起始连续信号的曲线。
很明显，重建的信号缺少了原来信号所表现的细节。
这些细节对应着高频分量，它们由于离散化而明显地丢失了。
假如我们选择较小的采样率，就可能更精确地再现原来的信号。
在零采样间隔的这种极限情况下，我们就能精确地表示连续信号。
由于离散化，可能恢复的频带宽度是否有个量度？通常，若给定采样间隔为dt，那么可以恢复的最高频率是1/2dt。
这就是所谓的尼奎斯特频率。
若dt为2毫秒，尼奎斯特频率为250赫兹，对这一时间序列重采样，得到采样率5毫秒和8毫秒的时间序列，对应的尼奎斯特频率分别为125赫兹和62.5赫兹。
可以想象到，采样间隔越大，时间序列就越平滑，即高频损失越严重。
当我们用4毫秒重新采样时，在2毫秒采样的时间序列中存在于125—250赫兹之间的频率分量完全丢失了。
同样，8毫秒重采样的序列在62.5至125赫兹之间频率含量也丢失了。
我们能否恢复这些频率呢？绝对不能。
一旦我们离散化了连续信号，那么我们期望恢复的最高频率就是尼奎斯特频率。
人们也可能提出对4毫秒或8毫秒采样的时间序列进行内插成2毫秒采样就应拾回高频。
事实上，4毫秒和8毫秒采样的时间序列用同一作图比例尺内插回2毫秒，得出的采样点数目与原始系列相同，这种内插不能恢复由于离散而损失的频率，仅仅产生一些多余的采样点。
在野外就其连续信号采样来说，此意义是重要的。
如果大地信号具有的频率比如说是高达150赫兹，那么4毫秒采样将丢失125—150赫兹之间的频率。
仅仅是丢失高频吗？它们真的丢失了吗？我们举一个正弦波的例子。
对25赫兹正弦波信号像前面所说的以4毫秒和8毫秒采样重采样，振幅谱表明三种不同采样的信号具有相同的频率25赫兹。
这就是说在以较大的采样间隔重采样后，信号未发生变化。
现在我们再用较高的50赫兹频率的正弦波重采样，也没有损害信号，也就是振幅谱显示了与原来相同的50赫兹频率。
我们继续对75赫兹的正弦波重采样，用4毫秒重采样没有改变其振幅谱。
但用8毫秒重采样的信号实际上已改变了信号，它表现为较低频率的正弦波，重采样的信号具有50赫兹的频率。
8毫秒采样率的尼奎斯特频率是62.5赫兹。
该信号频率是75赫兹，我们丢失了这一部分信号，但这是以较低频率的信号重新出的，我们说在重采样后它折回到这个谱上。
应用单一频率的正弦波，我们了解的只是并不太复杂情况下出现的一些现象。
现在，我们讨论图4中的两个频率分别为12.5赫兹和75赫兹的正弦波的重叠的情形。
以2毫秒和4毫秒的采样率离散这一信号未改变原来的信号，因为所有的频率分量都在2毫秒和4毫秒采样有关的尼奎斯特频率以下(分别为250赫兹和125赫兹)。
但是以较大采样率比如8毫秒离散该信号时，可以见到振幅谱被改变了。
12.5赫兹的分量没有受到影响，看来对这种低频分量采样，8毫秒采样率是足够了。
但是75赫兹的分量却以较低的频率出现。
我们可以用简单的公式：f假频=2×f尼-f信来计算它应该以什么样的频率出现。
在我们这个例子中，f假频=2×62.5赫兹-75赫兹=50赫兹。
这样我们又一次看到，可以出现在高于采样率所确定的尼奎斯特频率的那部分原始连续信号被折叠到离散信号的振幅谱上。
可以把这组分析扩展到不同频率的正弦波的重叠。
特别是，对连续信号用太大的采样而得到的限带离散的时间序列，实际上包含着来自更后面高频分量的贡献。
其表现方式是这些高频折回到该离散序列的谱上，并以较低频率出现。
这种现象通常称之为“假频”。
实际上，该问题是由于对连续信号采样不足引起的。
总之，采样不足有两个影响：(1)有限带宽的连续信号频谱的最高频率是尼奎斯特频率。
(2)可能已经存在于连续信号中的超过尼奎斯特频率的高频造成的有限带宽频谱上的“污染”。
关干第1个问题我们无能为力。
第2个问题，即离散信号的高频端“污染”问题实际上是很重要的。
为了保护零到尼奎斯特频率间的可能恢复的频带不受假频的影响，在模拟信号数字化之前在野外应用高截去假频滤波，这种滤波器把由于离散化而可能产生假频的那些频率分量消除掉。
通常，高截去假频滤波器具有等于二分之一尼奎斯特频率的截止频率，并在尼奎斯特频率处频率响应下降到零振幅。
近来大多数记录的数据都具有四分之三尼奎斯特频率的高截频。
相位研究在第2节我们知道了如何由信号的频率分量合成一个时间域信号。
现在我们举一个零相位谱的简单例子。
图5是一组频率范围大约在1至32赫兹的正弦波，它们都具有零相位延迟，这样，其峰值振福便在t＝0排列起来。
对所有正弦波求和，便得到右边用星号“*”标志的时间域信号。
这就完成了一次反傅氏变换。
我们称这样的一个时间域信号为“子波”。
后面我们还将进一步讨论这种子波，而现在我们暂时把它看成是有限长度的瞬变信号。
它有起始位置和终止位置，其能量限定在这两个时间位置之间，我们刚建立起的这个子波相对于t＝0 对称，这种子波叫做零相位子波，实际上，可用峰值振幅相等的许多零相位正弦波合成这种子波。
零相位子波并非一定是相对于零时间对称。
我们在求和之前使每个正弦波有一个线性相移，线性相移定义为相位=常数×频率。
我们发现，该子波的形状未变，但是，在时间上移动了0.2秒，这个常数实际上是时移量。
我们作下面重要陈述：线性相移相当于常数时移，相位延迟谱的直线斜率由时移给出。
人们可以直接改变相位延迟谱的直线斜率如图6所示，以所期望的时移量来移动子波。
从左边的零相位子波开始，我们增加线性相位延迟的斜率，这就顺次造成较大的时移。
如果改变相位延迟谱斜率的符号，我们就可以沿相反的时间移动子波。
我们取与图5中显示的相同正弦波，并使图7所示的每个正弦波有恒定的相位延迟，换言之，该相位谱是由方程:相位=常数给定的。
该常数假定为90º，我们注意到：在t＝0时，所有的零变号点排齐，其求和的结果便产生右边用星号“*”标注的非对称子波。
零相位子波(图5)和有线性相移的子波，其振幅谱相同，因为它们具有相同的频率成分。
其差别在于它们的相位延迟谱。
前者是零相位谱，而后者是某一常数的相位谱。
所以我们可以做出这样的结论：子波形状的差异是由于相位谱的不同造成的。
现在我们研究几个不同的相移常数的例子。
图8显示出几组子波，每个都具有不同的相移常数，它们都是由左边的零相位子波导出的。
90º相移把零相位子波转化成非对称子波，180º相移改变了零相位子波的极性，270º相移把零相位子波转化成非对称子波的同时并反转其极性。