积化和差、和差化积记忆口诀及相关练习题

合集下载

积化和差与和差化积公式的应用习题精选精讲

积化和差与和差化积公式的应用习题精选精讲

三角函数式的化简要求是:项数最少\三角函数种类最少\函数次数最低\尽可能不带根号\ 能求值得要求出值. 一: 定义法例1. 化简 xx xx x x x x sin tan sin tan sin tan sin tan ∙+--∙ 解: 设点则且终边上一点为角,,),(22y x r OP x y x P +==.tan ,sin xyx r y x ==二: 弦切互化法例2. xx x x x x x 2222tan 1tan 1)cos 2tan tan (sin 2tan +-∙+∙+化简解: 原式x x x x x xx x x x x x x x x 2cos )cos 2sin 21(2cos 2sin cos sin 1cos sin 1)2cos 2sin cos sin 1(2cos 2sin 22222∙+∙=+-∙∙+∙= 三: 变用公式例3. o o o o o o 15tan 50tan 50tan 25tan 25tan 15tan ∙+∙+∙化简解: 原式 15tan 50tan )50tan 15(tan 25tan ∙++=说明: 公式βαβαβαtan tan 1tan tan )tan( ±=±在解题中运用非常灵活.常常变形为)tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα ±=±来使用. 四: 连锁反应法例5. o o 78sin 66sin 42sin 6sin 化简解: 原式12cos 24cos 48cos 6sin ∙∙∙=6cos 48cos 24cos 12cos 6sin 6cos ∙∙∙∙==1616cos 96sin 1616cos 48cos 24cos 12cos 12sin 21=====∙∙∙说明: 此题分子分母同乘以 6cos ,从而连续逆用倍角公式,达到多次化角的目地. 五: 升降次法例6. y x y x y x 2cos 2cos )(cos )(cos 22∙--++化简解: 原式y x y x y x 2cos 2cos 2)22cos(12)22cos(1∙---+++=例7. x x 4cos 812cos 2183:+-化简解: 原式 )12cos 2(81)1cos 2(218322-+--=x x )1cos 4cos 4(41cos 43)1cos 2(41cos 43242222+-+-=-+-=x x x x x x x x x 42242sin )cos 1(cos cos 21=-=+- 六: 基本技巧例8 (1) θθθθ2cos 2sin 12cos 2sin 1:++-+化简解: 原式)cos (sin cos 2)cos (sin sin 2cos sin 2cos cos sin 2sin 22sin )2cos 1(2sin )2cos 1(22θθθθθθθθθθθθθθθθ++=++=+++-=θtan = (2) .2cos 2sin ,2tan 的值求已知x x x +=解: x x x cos 2sin ,2tan =∴= 角的变换角的变换,一般包括角的分解和角的组合,角的分解即把一个角分成几个角的和或差,而角的组合即把几个角通过和或差组合成一个角。

积化和差与和差化积公式的应用习题精选精讲

积化和差与和差化积公式的应用习题精选精讲

三角函数式的化简要求是:项数最少\三角函数种类最少\函数次数最低\尽可能不带根号\ 能求值得要求出值. 一: 定义法例1. 化简 xx xx x x x x sin tan sin tan sin tan sin tan ∙+--∙ 解: 设点则且终边上一点为角,,),(22y x r OP x y x P +==.tan ,sin xyx r y x ==0)(222=-+-=+--=∙+--∙=∴x r y x r y y x r x r y ry x y r y x y r y x y r y x y 原式二: 弦切互化法例2. xx x x x x x 2222tan 1tan 1)cos 2tan tan (sin 2tan +-∙+∙+化简 解: 原式x x x x x xx x x x x x x x x 2cos )cos 2sin 21(2cos 2sin cos sin 1cos sin 1)2cos 2sin cos sin 1(2cos 2sin 22222∙+∙=+-∙∙+∙= x x xx x 2sin 22cos cos 12cos 2sin =∙∙=三: 变用公式例3. o o o o o o 15tan 50tan 50tan 25tan 25tan 15tan ∙+∙+∙化简解: 原式 15tan 50tan )50tan 15(tan 25tan ∙++= 15tan 50tan )50tan 15tan 1)(5015tan(25tan ∙+-+∙=115tan 50tan )50tan 15tan 1(=∙+∙-=说明: 公式βαβαβαtan tan 1tan tan )tan( ±=±在解题中运用非常灵活.常常变形为)tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα ±=±来使用. 四: 连锁反应法例5. o o 78sin 66sin 42sin 6sin 化简解: 原式12cos 24cos 48cos 6sin ∙∙∙=6cos 48cos 24cos 12cos 6sin 6cos ∙∙∙∙= =1616cos 96sin 1616cos 48cos 24cos 12cos 12sin 21=====∙∙∙说明: 此题分子分母同乘以 6cos ,从而连续逆用倍角公式,达到多次化角的目地. 五: 升降次法例6. y x y x y x 2cos 2cos )(cos )(cos 22∙--++化简解: 原式y x y x y x 2cos 2cos 2)22cos(12)22cos(1∙---+++=y x y x y x 2cos 2cos )]22cos()22[cos(211∙---++=12cos 2cos 2cos 2cos 1=∙-∙+y x y x例7. x x 4cos 812cos 2183:+-化简 解: 原式 )12cos 2(81)1cos 2(218322-+--=x x )1cos 4cos 4(41cos 43)1cos 2(41cos 43242222+-+-=-+-=x x x x x x x x x 42242sin )cos 1(cos cos 21=-=+- 六: 基本技巧例8 (1) θθθθ2cos 2sin 12cos 2sin 1:++-+化简解: 原式)cos (sin cos 2)cos (sin sin 2cos sin 2cos cos sin 2sin 22sin )2cos 1(2sin )2cos 1(22θθθθθθθθθθθθθθθθ++=++=+++-= θtan = (2) .2cos 2sin ,2tan 的值求已知x x x += 解: x x x cos 2sin ,2tan =∴=1cos 2cos 41cos 2cos sin 22cos 2sin 222-+=-+=+∴x x x x x x x1tan 161sec 61cos 6222-+=-=-=xx x511416=-+= 角的变换角的变换,一般包括角的分解和角的组合,角的分解即把一个角分成几个角的和或差,而角的组合即把几个角通过和或差组合成一个角。

积化和差与和差化积公式的应用习题精选精讲

积化和差与和差化积公式的应用习题精选精讲

三角函数式的化简要求是:项数最少\三角函数种类最少\函数次数最低\尽可能不带根号\ 能求值得要求出值. 一: 定义法例1. 化简 xx xx x x x x sin tan sin tan sin tan sin tan ∙+--∙ 解: 设点则且终边上一点为角,,),(22y x r OP x y x P +==.tan ,sin xyx r y x ==二: 弦切互化法例2. xx x x x x x 2222tan 1tan 1)cos 2tan tan (sin 2tan +-∙+∙+化简解: 原式x x x x x xx x x x x x x x x 2cos )cos 2sin 21(2cos 2sin cos sin 1cos sin 1)2cos 2sin cos sin 1(2cos 2sin 22222∙+∙=+-∙∙+∙= 三: 变用公式例3. o o o o o o 15tan 50tan 50tan 25tan 25tan 15tan ∙+∙+∙化简解: 原式 15tan 50tan )50tan 15(tan 25tan ∙++=说明: 公式βαβαβαtan tan 1tan tan )tan( ±=±在解题中运用非常灵活.常常变形为)tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα ±=±来使用. 四: 连锁反应法例5. o o 78sin 66sin 42sin 6sin 化简解: 原式12cos 24cos 48cos 6sin ∙∙∙=6cos 48cos 24cos 12cos 6sin 6cos ∙∙∙∙==1616cos 96sin 1616cos 48cos 24cos 12cos 12sin 21=====∙∙∙说明: 此题分子分母同乘以 6cos ,从而连续逆用倍角公式,达到多次化角的目地. 五: 升降次法例6. y x y x y x 2cos 2cos )(cos )(cos 22∙--++化简解: 原式y x y x y x 2cos 2cos 2)22cos(12)22cos(1∙---+++=例7. x x 4cos 812cos 2183:+-化简解: 原式 )12cos 2(81)1cos 2(218322-+--=x x )1cos 4cos 4(41cos 43)1cos 2(41cos 43242222+-+-=-+-=x x x x x x x x x 42242sin )cos 1(cos cos 21=-=+- 六: 基本技巧例8 (1) θθθθ2cos 2sin 12cos 2sin 1:++-+化简解: 原式)cos (sin cos 2)cos (sin sin 2cos sin 2cos cos sin 2sin 22sin )2cos 1(2sin )2cos 1(22θθθθθθθθθθθθθθθθ++=++=+++-=θtan = (2) .2cos 2sin ,2tan 的值求已知x x x +=解: x x x cos 2sin ,2tan =∴= 角的变换角的变换,一般包括角的分解和角的组合,角的分解即把一个角分成几个角的和或差,而角的组合即把几个角通过和或差组合成一个角。

积化和差口诀速记

积化和差口诀速记

积化和差口诀速记
以下是五个符合要求的口诀:
《积化和差口诀一》
积化和差要记清,一个正弦一个余弦分得明。

正余相加得二倍,余弦在前正弦跟。

正余相减也二倍,正弦在前余弦存。

就像搭积木一样稳,顺序不能乱分寸。

积化和差轻松认,数学学习乐趣深。

《积化和差口诀二》
小朋友们听我言,积化和差有妙诀。

一正一余放两边,二倍关系在中间。

和的时候余弦先,差的时候正弦前。

形象记忆并不难,如同走路一步步缓。

多练几遍记得全,数学成绩笑开颜。

《积化和差口诀三》
积化和差别害怕,朗朗上口好办法。

一正弦来二余弦,先后顺序不能差。

二倍出来作用大,和差变化都靠它。

好比搭起小高塔,稳稳当当不会垮。

记住口诀向前跨,数学天地任你耍。

《积化和差口诀四》
来听我说积化和差诀,简单易懂好理解呀。

一个正弦配余弦,一二清楚记得呀。

二倍之中有乾坤,和差变化有区分呀。

就像游戏有规则,一步一步不犯错呀。

小朋友们快快来,牢记口诀真厉害呀。

《积化和差口诀五》
积化和差要学好,这个口诀要记牢。

一正一余很重要,二倍关系不能少。

和用余弦差正弦,顺序一定不能忘。

想象它们手牵手,一起解题乐悠悠。

多做练习多巩固,知识大门轻松入。

三角函数和差积公式的记忆口诀

三角函数和差积公式的记忆口诀

三角函数和差积公式的记忆口诀三角函数和差积公式的记忆口诀一、两角和与差的正余弦公式记忆正弦异名加一起,sin(a+b)=sinacosb+cosasinb余弦同名加减异,cos(a+b)=cosacosb-sinasinb前面是a后面b二、积化和差与和差化积公式记忆积化和差公式:sinα?cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] 前正后余正弦加cosα?sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] 前余后正正弦差cosα?cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] 余余得值余弦加sinα?sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)] 全正变号余弦差和差化积公式:sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] 正弦加正弦正弦在前面sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] 正弦减正弦余弦在前面cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] 余弦加余弦全都是余弦cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] 余弦减余弦变号改正弦记忆数学知识点的诀窍1归类记忆法就是根据识记材料的性质、特征及其内在联系,进行归纳分类,以便帮助学生记忆大量的知识。

比如,学完计量单位后,可以把学过的所有内容归纳为五类:长度单位;面积单位;体积和容积单位;重量单位;时间单位。

这样归类,能够把纷纭复杂的事物系统化、条理化,易于记忆。

2歌诀记忆法就是把要记忆的数学知识编成歌谣、口诀或顺口溜,从而便于记忆。

比如,量角的方法,就可编出这样几句歌诀:“量角器放角上,中心对准顶点,零线对着一边,另一边看度数。

”再如,小数点位置移动引起数的大小变化,“小数点请你跟我走,走路先要找准‘左’和‘右’;横撇带口是个you,扩大向you走走走;横撇加个zuo,缩小向zuo走走走;十倍走一步百倍两步走,数位不够找‘0’拉拉钩。

积化和差以及和差化积最简记忆口诀

积化和差以及和差化积最简记忆口诀
忆罢了。
三、总结公式 “ sin 和差前后积, cos 和差 cos 负 sin ” 1)首先关注 sin sin 即“ sin 和差”,口诀一“ sin 和差前后积”的形象记忆其实是
sin 和 差
|| 前后积
我们认为“sin”是比较“主要的”,所谓的“前后”就是,sin 和 cos 相乘时,sin 在前 还是在后,如下
|| cos -sin 其中关于 cos+cos 其公式中,函数名全是 cos

cos cos =2 cos
cos
2
2
cos 和 — cos
而关于 cos-cos 其公式中,变换后函数名全是 sin 加多一个负号
cos cos = 2 sin sin

sin
cos
2
2
为 前积
对应 sin 和

cos
sin
2
2
为 后积
对应 sin 差
由口诀“ sin 和差前后积”迅速写出:
sin + sin = sin cos sin 和 — 前积
sin sin = cos sin
2
2
cos 差 — 负 sin
由口诀“ cos 和差 cos 负 sin ”迅速写出:
cos cos = cos cos
cos 和 — cos
cos cos = sin sin
cos 差 — 负 sin
再填入内容可得:
cos cos =2 cos cos

cos




积化和差和和差化积公式记忆窍门

积化和差和和差化积公式记忆窍门

积化和差
sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2
cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2
cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2
sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2
和差化积
sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)
sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2)
cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)
cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)
我们背公式时往往要么不是死记硬背,要么便是不停的推导增强熟练度来记忆,其实我们可以通过公式的逻辑结构来记忆,这个公式其实对于高中生用得更多一些,不久前做了一道满综合的题目是无意中想起了当时总结的记忆法,只要大家按我说的方法来记忆,保证20秒内牢记这些公式,下面我来说说记忆的方法:
对于积化合差公式来说,首要的原则是,等号左边的若异名,等号右边全是sin,等号左边同名,等号右边全是cos,其次,右边中间的和与差取决于左边第二项,若是cos,则是+,若是sin,则是-,最后记得sin*sin时要添上一个负号。

对于和差化积公式来说,第一,若等号左边全是sin,则右边异名,若等号左边全是cos,则等号右边同名,第二,等号左边中间的正负号决定了右边第二项,若是正,则是cos,若是负,则是sin,然后可以根据第一条原则写出完整的右边式子,最后记得cos-cos要添一个负号。

希望对大家有所帮助,小弟班门弄斧了。

积化和差、和差化积记忆口诀及相关练习题

积化和差、和差化积记忆口诀及相关练习题

D.
3 4
6.cos72°-cos36°的值为( )
1
A.3-2 3
B.2
1 C.-2
D.3+2 3
7.在△ABC 中,若 sinAsinB=cos2C2,则△ABC 是(
)
A.等边三角形 B.等腰三角形 C.不等边三角形 D.直角三角形
8.函数 y=sinx-π6 cosx 的最大值为(
A.12
B.14
答案: 24+1=21 22+21= 24+1.=21(sin45°+sin30°)
1 4 解析:sin37.5°cos7.5°=2[sin(37.5°+7.5°)+sin(37.5°-7.5°)]
5 解析:选 A.
1
1
sin70°cos20°-sin10°sin50°=2(sin90°+sin50°)+2(cos60°-cos40°)
2 解析:选 B.sin15°sin75°=-21[cos(15°+75°)-cos(15°-75°)] =-21(cos90°-cos60°)=-12(0-21)=41.
3 解析:选 C.sin105°+sin15°=2sin105°2+15°cos105°2-15° =2sin60°cos45°= 26.
=cos(x+π6 ).
∵x∈0,π2 ,
∴π6 ≤x+π6 ≤2π3 ,
∴y∈-12, 23.
) C.1
D.
2 2
9.若 cos(α+β)cos(α-β)=13,则 cos2α-sin2β等于(
)
2
1
1
2
A.-3
B.-3
C.3
D.3
10.函数 y=sinx+π3 -sinx(x∈[0,π2 ])的值域是(
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

1.下列等式错误的是( )
A.sin(A+B)+sin(A-B)=2sin A cos B B.sin(A+B)-sin(A-B)=2cos A sin B C.cos(A+B)+cos(A-B)=2cos A cos B D.cos(A+B)-cos(A-B)=2sin A cos B 2.sin15°sin75°=( )
A.1
8
B.
1
4
C.
1
2
D.1
3.sin105°+sin15°等于( )
A.
3
2
B.
2
2
C.
6
2
D.
6
4
4.sin37.5°cos7.5°=________.
5.sin70°cos20°-sin10°sin50°的值为( )
A.3
4
B.
3
2
C.
1
2
D.
3
4
6.cos72°-cos36°的值为( )
A.3-2 3 B.1
2
C.-
1
2
D.3+2 3
7.在△ABC中,若sin A sin B=cos2C
2
,则△ABC是( )
A.等边三角形 B.等腰三角形 C.不等边三角形 D.直角三角形
8.函数y =sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x -π6cos x 的最大值为( ) A.12 B.14 C .1 D.22
9.若cos(α+β)cos(α-β)=13
,则cos 2α-sin 2β等于( ) A .-23 B .-13 C.13 D.23
10.函数y =sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x +π3-sin x (x ∈[0,π2])的值域是( ) A .[-2,2] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤-12,32 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,1 D.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12,32 答案
1解析:选D.由两角和与差的正、余弦公式展开左边可知A 、B 、C 正确.
2解析:选B.sin15°sin75°=-12
[cos(15°+75°)-cos(15°-75°)] =-12(cos90°-cos60°)=-12(0-12)=14
. 3解析:选C.sin105°+sin15°=2sin 105°+15°2cos 105°-15°2
=2sin60°cos45°=
62. 答案:2+14=12⎝⎛⎭⎫22+12=2+14.=12
(sin45°+sin30°)
4解析:sin37.5°cos7.5°=12
[sin(37.5°+7.5°)+sin(37.5°-7.5°)] 5解析:选A.
sin70°cos20°-sin10°sin50°=12(sin90°+sin50°)+12
(cos60°-cos40°) =12+12sin50°+14-12cos40°=34
. 6解析:选C.
原式=-2sin 72°+36°2sin 72°-36°2
=-2sin54°·sin18°=-2cos36°cos72° =-2·sin36°cos36°cos72°sin36°=-sin72°cos72°sin36°=-sin144°2sin36°=-12
,故选C. 7解析:选B.由已知等式得12[cos(A -B )-cos(A +B )]=12
(1+cos C ), 又A +B =π-C .所以cos(A -B )-cos(π-C )=1+cos C .
所以cos(A -B )=1,又-π<A -B <π,所以A -B =0,所以A =B ,故△ABC 为等腰三角形.故选B.
8解析:选B.y =sin ⎝⎛⎭
⎫x -π6cos x =12⎣⎡⎦⎤sin?x -π6+x ?+sin ⎝⎛⎭⎫x -π6-x =12⎣⎡⎦⎤sin?2x -π6?-12=12sin ⎝
⎛⎭⎫2x -π6-14. ∴y max =12-14=14. 9解析:选C.cos(α+β)cos(α-β)=12
(cos2α+cos2β) =12
[(2cos 2α-1)+(1-2sin 2β)] =cos 2α-sin 2
β,
∴cos 2α-sin 2β=13.
10解析:选B.y =sin ⎝⎛⎭⎫x +π3-sin x =2cos ⎝⎛⎭⎫x +π6sin π6
=cos(x +π6
). ∵x ∈⎣⎡⎦
⎤0,π2, ∴π6≤x +π6≤2π3
, ∴y ∈⎣⎡⎦
⎤-12,32.。

相关文档
最新文档