三位建模综述

三维几何造型技术研究

周航

西安工业大学研究生部机电工程学院，陕西西安710032；

摘要：本文综述三维几何造型的理论与技术在CAD／CAM领域中的应用与发展概况：同时介绍了

三维几何造型的理论与技术发展的三个里程碑一一线框造型、曲面造型和实体造型：并且讨论了线

框建模、表面建模和实体建模等三种三维几何建模方法的优缺点及适用范围;阐述了物体生成原理。

描述了真实感投影技术。并简要论述了用布尔运算技术问题。

关键词：三维几何造型；实体几何法；参数法设计；变量化技术；布尔运算

中图分类号：TP391 文献标识码：A

3-D Geometric Modeling Techniques

zhouhang

(1. The Institute of Mechanical and Electrical Engineer, Xi'an Technological University, Xi’an 710032, China;2. School of Information, Xi'an University of Finance and Economics, Xi’an 710061, China;3. The Key Laboratory of Contemporary Design and Integrated Manufacturing Technology, Northwestern

Polytechnic University, Xi’an 710072, China)

Abstract: This article reviews the 3D geometric modeling theory and technology in CAD / CAM application and development: at the same time it introduces the 3D geometric modeling theory and technology development in the three milepost-- a wire frame modeling, solid modeling and surface modeling: and discussed the wireframe modeling, surface modeling and solid modeling of three dimensional geometry modeling methods and the scope of application;describing objects generated principle. Describing the true sense projection technology. And briefly analyzes the technical problems with Boolean operation. Keyword: Three dimensional geometric modeling; Solid geometry method; Parameter design method;

V ariable technology; Boolean operation.

1前言

由于飞机、船舶、汽车外形复杂含有大量的自由面，所以CAD/CAM技术从一开始就与三维实体

造型紧密联系一起。三维几何造型是60年代末以来研究发展起来的用计算机系统来表示、分析和输

出三维形体技术。1972年日本北海道大学的冲也野教郎等建成了TIPS-1系统；1973年在英国剑桥

大学由I.C.Braid等建成了BUILD系统。经过20多年的研究与发展，逐渐形成了对三维形体进行几

何造型理论方法和系统。

2正文

三维几何造型技术是指用计算机系统来表示控制分析和输出三维形体，计算机中所存储和处理的

模型是对原物体确切的数学描述或是对原物体某种状态真是模拟。这个模型可为计算机辅助分析与

制造(CAE CAD)提供信息，如有三维模型产生有限元计算网络，编制数控加工刀具轨迹，甚至可进

行虚拟加工与虚拟实验。

线框模型是最早被发展应用的（70年代初），然后是表面模型（70年代后期），实体模型自80年

代以来逐渐得到发展和广泛应用，现在已经成为三维模型的主要形式。进入90年代世界各地区有了

数以百计的商品实体造型系统，技术日益完善，功能越来越强。我国市场上及有引进的国外系统，也有自己研发的系统。

2.1线框模型（Wire Frame Model )

20世纪60年代末开始研究用线框和多边形构造三维实体，这样地模型被称为线框模型。三维物体是由它的全部顶点及边的集合来描述，用顶点和基本线素的有限集合来表示和建立物体计算机模型。线框模型在计算机内存储的数据结构原理由两张表构成。一为顶点表，记录坐标值。二为棱线表，记录每条棱线所连接的两顶点。

线框图形表示方法

表面表

优点：有了物体的三维数据，可以产生任意视图，视图间能保持正确的投影关系，这为生产工程图带来了方便。此外还能生成透视图和轴侧图，这在二维系统中是做不到的；构造模型的数据结构简单，所占存储空间小；学习简单，尤其在描述二维目标方面十分理想，如工程图（三视图、轴测图、透视图等）的绘制，平板零件NC数据的生成，面积、周长、直径及其他简单几何参数三位计算等用线框模型都很方便。

缺点：因为所以棱线全部显示，物体的真实感可出现二义解释；缺少曲线棱廓，若要表现圆柱、球体等曲面比较困难；由于数据结构中缺少边与面、面与面之间的关系的信息，因此不能构成实体，无法识别面与体，不能区别体内与体外，不能进行剖切，不能进行两个面求交，不能自动划分有限元网络等等。

2.2曲面模型

是在线框模型的数据结构基础上，增加可形成立体面的各相关数据后构成的。此时法国人贝赛尔提出了Bezier算法，使得人们在用计算机处理曲面及曲线问题时变得可以操作。法国达索（Dssault）飞机制造公司开发了三维曲面造型系统CA TIA带来了第一次CAD技术革命。与线框模型相比，曲

面模型多了一个面表，记录了边与面之间的拓扑关系。优点：能实现面与面相交、着色、表面积计算、消隐等功能，此外还擅长于构造复杂的曲面物体，如模具、汽车、飞机等表面。

缺点：只能表示物体的表面及边界，不能进行剖切，不能对模型进行质量、质心、惯性矩等物性计算。

常见曲面生成手段、延伸、回转、蒙皮（放样）、指定边界（cover）、扫描曲面、过渡等距。

2.3实体模型的两种表示方法

实体模型表示方法

边界表示法（Boundry Representation）简称B-Reps

边界表示按照体－面－环－边－点的层次，详细记录了构成形体的所有几何元素的几何信息及其相互连接的拓扑关系。在进行各种运算和操作中，就可以直接取得这些信息B-Reps法的优点表示形体的点、边、面等几何元素是显式表示的，使得绘制Brep表示的形体的速度较快，而且比较容易确定几何元素间的连接关系；容易支持对物体的各种局部操作，比如进行倒角，我们不必修改形体的整体数据结构，而只需提取被倒角的边和与它相邻两面的有关信息，然后，施加倒角运算就可以了；便于在数据结构上附加各种非几何信息，如精度、表面粗糙度等。由于Brep表示覆盖域大，原则上能表示所有的形体，而且易于支持形体的特征表示等，Brep表示已成为当前CAD/CAM系统的主要表示方法。B-Reps法的缺点数据结构复杂，需要大量的存储空间，维护内部数据结构的程序比较复杂；B-Reps表示不一定对应一个有效形体，通常运用欧拉操作来保证B-Reps表示形体的有效性、正则性等。

建构实体几何法（Constructive Solid Geometry）简称CSG 。

构造实体几何（CSG）表示是通过对体素定义运算而得到新的形体的一种表示方法，体素可以是立方体、圆柱、圆锥等，其运算为变换或正则集合运算并、交、差。 CSG表示可以看成是一棵有序的二叉树。机械零件和机械产品的几何形状多数是由立方体和圆柱体等简单几何形体组合而成的。所谓CSG法，就是将一些基本的立体组成图形，例如，立方体、锥体、圆柱、球体等，互相重叠放置在一起；然后，剪去或拟和重复的部分即可。CSG表示的优点数据结构比较简单，数据量比较小，内部数据的管理比较容易；CSG表示可方便地转换成边界（Brep）表示；CSG方法表示的形体的形状，比较容易修改。CSG表示的缺点：对形体的表示受体素的种类和对体素操作的种类的限制，也就是说，CSG方法表示形体的覆盖域有较大的局限性；对形体的局部操作不易实现，例如，不能对基本体素的交线倒圆角；由于形体的边界几何元素（点、边、面）是隐含地表示在CSG中，故显示与绘制CSG表示的形体需要较长的时间。

2.4参数化设计

参数化设计是CAD技术在实际应用中提出的课题，它不仅可使CAD系统具有交互式绘图功能，还具有自动绘图的功能。目前参数化技术大致可分为如下三种方法：（1）基于几何约束的数学方法；（2）基于几何原理的人工智能方法；（3）基于特征模型的造型方法（特征工具库，包括标准件库均可采用该项技术）。其中数学方法又分为初等方法（Primary Approach）和代数方法（Algebraic Approach）。

初等方法利用预先设定的算法，求解一些特定的几何约束。这种方法简单、易于实现，但仅适用于只有水平和垂直方向约束的场合；代数法则将几何约束转换成代数方程，形成一个非线性方程组。该方程组求解较困难，因此实际应用受到限制；人工智能方法是利用专家系统，对图形中的几何关系和约束进行理解，运用几何原理推导出新的约束，这种方法的速度较慢，交互性不好。参数化系统的指导思想是：你只要按照系统规定的方式去操作，系统保证你生成的设计的正确性及效率性，否则拒绝操作。参数化技术要求全尺寸约束，即设计者在设计初期及全过程中，必须将形状

和尺寸联合起来考虑，并且通过尺寸约束来控制形状，通过尺寸改变来驱动形状改变，一切以尺寸（即参数）为出发点，干扰和制约者设计者创造力的及想象力的发挥。

2.5变量化技术

我们在进行机械设计和工艺设计时，总是希望零部件能够让我们随心所欲地构建，可以随意拆卸，能够让我们在平面的显示器上，构造出三维立体的设计作品，而且希望保留每一个中间结果，以备反复设计和优化设计时使用。VGX（V ariational Geometry Extended――超变量化几何，SDRC公司推出）实现的就是这样一种思想。

变量化技术将参数化技术中所需定义的尺寸“参数”进一步区分为形状约束和尺寸约束，而不是象参数化技术那样只用尺寸来约束全部几何。采用这种技术的理由在于：在大量的新产品开发的概念设计阶段，设计者首先考虑的是设计思想及概念，并将其体现于某些几何形状之中。这些几何形状的准确尺寸和各形状之间的严格的尺寸定位关系在设计的初始阶段还很难完全确定，所以自然希望在设计的初始阶段允许欠尺寸约束的存在。

2.6真实感投影技术

真实感投影技术综合利用数学、物理学、计算机等学科知识和技术，在计算机屏幕上生成像彩色照片那样真实的图形。要生成真是感图形，首先要用数学方法建立所需三维场景的几何描述，输入计算机；接着要将三维模型转换为二维透视图并消除隐藏线、隐藏面；最后计算场景中可见面的颜色，也就是根据光照模型计算可见面投影射到观察者眼中的光亮度大小和彩色分量，并转换为图形显示设备的颜色值，从而确定每一像素的颜色。

光照模型是根据光学物理有关定律，计算画图面上景物表面各点投影射到观察者眼中的光线强度和色彩组成。据此可以使我们对物体表面的明暗程度有一个定量的估计，和一个比较真实的反映。

2.6.1 Phong模型

该模型认为物体表面的反射光和透射光决定物体呈现的颜色。通过CAD系统的真实感显示认为物体表面不透明，所以透射光分量为零，反射光由环境反射、漫反射和镜面Whitted反射组成。

2.6.2 Whitted模型

前面介绍的Phong模型仅考虑了光源直接照射在景物表面上产生的反射光能，是一种局部光照模型。Whitted在Phong模型中增加了环境镜面强度和环境规则透射光亮度，以模拟周围环境的光投射在景物表面上产生的理想镜面反射和规则投射现象。

3应用

三维几何造型技术现已开始被广泛地应用在工业生产及艺术造型的各个领域。仅以机械行业为例：在设计方面，三维几何造型可以逼真地反应物体的外观，检查零件之间的装配关系，高效、准确地

生产工程图纸；在分析计算方面，他可以精确地计算出零件的质量、质心、转动惯量、表面积等悟性参量；在进行计算机辅助制造时，可以引用三维几何造型的结果，直接规划数控加工的刀具轨迹；在运动分析方面，三维几何造型技术在计算机艺术、动画片制作、模拟仿真、计算机视觉、机器人等领域都有广泛的应用。

为使设计人员修改尺寸方便,提供了十分先进的工具,首先,尺寸与图面是相关的,也就是说,设计人员可以在图面上选取尺寸,输入新的数值,即完成图面修改的操作,这就解决了传统的尺寸与图面无关,需分别修改,甚至造成图面和尺寸不符的错误。但是,如图6所示,仅仅只有尺寸相关也是不可靠的,当AB 边尺寸变化后,AB边和BC边垂直相交的关系可能无法保持,这就需要使用几何约束(Con-straint),我们要指定AB与BC保持正交,然后,就可以随意修正尺寸而不必担心影响图面的正确性。

图1几何约束对草图的影响

在几何造型方法中，人们从早期的线框造型开始，逐渐发展了实体造型、曲面造型、特征造型几种有效的造型方法。在以前的表面模型中，人们引用了代数拓扑中流形的概念。近几年，非流形几何造型(Non一manifoldGeometrieModeling)和偏微分造型成为CAD几何造型方法的热点。非流形几何模型的描述采用了代数拓扑中复形的概念，可以将线框模型，曲面模型，实体模型统一在一个单一模型中，因此在“体”的描述中，允许弧立点、悬边和悬面的存在，此模型描述方法与过程设计相适应，是未来智能以D系统的支持几何模型。偏微分几何模型则是偏微分方程来描述边、面。这种模型描述方法与物体计算机模型的工程应用相适应，很适合于进行工程分析。

在曲面实体模型中，虽然参数曲面片对构造自由曲面能力很强，但在曲面片之间的求交计算过于复杂，造成拼合算法有很大难度。虽然布尔运算为正则集合提供了一套行之有效的算法，但是布尔

运算的可靠性间题仍在研究之中，在实践中布尔运算会遇到很多间题，在较为复杂的情况常常是偏差太大而得不到正确的结果，甚至计算失败。这在一些造型系统中是一个较为普遍的问题。布尔运算产生偏差甚至失败的主要原因在于数值计算的误差，其中包括误差的传递。如何提高布尔运算的可靠性是当前实体造型中研究的一个重要课题。许多学者对该间题进行了研究，提出了一些较为有效的方法:合理分配误差;造型是分类进行时，把集中统一的精度要求考虑各步的具体情况进行设置。另外从整体相关的角度出发利用形体整体一致性信息，采用推理判断来保证结果的正确性，在布尔运算之前用推理的方法保证形体的一致性，从而确定那些用数值计算方法确定的集合成员分类。布尔运算的另一间题就是如何提高效率，一般的时间复杂度与其所含边数成平方关系，人们研究了相交的局部性与空间连续性，把集合运算限制在较小的计算空间，但效果不太理想，同时如何扩大布尔运算的覆盖域也是目前的研究方向。它的主要工作及难点是运算结果的拓扑信息的重构。浮点数运算误差是造成三维布尔运算困难的另一个问题。

4结论

三维几何造型的理论与技术尚处在不断发展和完善的过程中，其应用的覆盖面也在不断扩大。线框遣塑、曲面造型、实体造型是三维几何造型的理论与技术发展的三个里程碑：而模糊宴体造型则开拓了一个更广阔的应用天地．在CAD／CAM系统中，为了满足多种不同的应用需求，总的趋势是将各种不同的造型有机地融为一体，以收取长补短之效．三维几何造型的下一个里程碑将是形素【特征)遣塑，它能在更高的层次上描述产品的外形和制造信息．形素不是完整意义的实体或表面，它是产品加工部位的成形信息，非加工部位一般无形素．例如对于孔的描述，有通孔和非通孔的不同；而对于通孔又有加油孔．销钉孔、透气孔、减重孔等区别，其加工要求．工序和检验标准是不一样的．在产品设计过程中利用形素的固有属性自动推理和决策，针对产品的外形和功用以及总体结构直接完成形素组装。

参考文献

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