溶质运移及其基本微分方程
【MODFLOW】第二讲 地下水流-热-质(或污染物、示踪剂)迁移数学模型
Dxx
C x
y
Dyy
C y
x
C
ux
y
C uy
I
基本方程
3.含水层中地热迁移规律控制方程
热对流扩散机理
c
T t
x
xx
T x
y
yy
T y
x
cw
wT
ux
y
cwwT uy
f
Fourier定律
基本方程 18
二、溶质运移数学模型：绪论
随着经济的快速发展，地下水被污染的程度日益严 重，并引起了人们的广泛关注，目前仍然存在很多问 题题，迫切需要解决：
在Dupuit 假定下，忽略垂向水流，可以导出潜水二维 流微分方程。考虑一底面边长为dx, dy的潜水含水层柱 体，计算侧向静流入量和垂向补给量，分别有：
X方向流入-流出
(vx (H
Z )y) |x
(vx (H
Z )y) |xx
(vx (H Z )y) x
|
x
y方向流入-流出
(vy (H
Z )x) |y
由于微观多孔介质中流 速分布的不均一而引起 的示踪剂（水质点）浓 度在地下水含水层中不 均匀分布的现象。
23
二、溶质运移数学模型
1、水动力弥散理论：机械弥散原因
1. 同一空隙中不同部位的流速分布不均匀 2. 不同空隙的流速大小不同 3. 固体骨架导致流速分布的不均匀
（1）
（2）
（3）
地下水质点运动速度的差异是产生水动力弥散的根本原因
x方向流出
( v ) | x (xx, y,z,t) yzt
9
一、地下水运动基本方程
3、三维流基本微分方程（续1）
土壤溶质运移模型
土壤溶质运移模型土壤溶质运移模型是研究土壤中溶质迁移、分布和转化的数学模型，它在农业、环境科学等领域发挥着重要作用。
本文将介绍土壤溶质运移模型的基本原理、应用领域以及相关研究进展。
一、基本原理土壤溶质运移模型的基本原理是利用数学方程描述土壤中溶质的输运过程。
这些方程通常是基于质量守恒定律和动量守恒定律建立的，考虑到土壤水分运动、扩散、吸附、降解等因素。
通过解析或数值计算方法，可以模拟出溶质在土壤中的分布、迁移和转化规律。
二、应用领域土壤溶质运移模型在农业、环境科学等领域得到了广泛应用。
在农业方面，它可以用于评估农药、化肥等农业投入品对土壤和水体的污染风险，指导农田管理措施的制定。
在环境科学领域，土壤溶质运移模型可以用于预测地下水中污染物的传输速率和范围，提供科学依据用于地下水保护和污染防治。
三、研究进展近年来，土壤溶质运移模型研究取得了许多进展。
一方面，模型的建立变得更加精确，考虑到了更多土壤特性、水力参数和垂直流动等因素。
另一方面，模型的应用范围也得到了拓展，可以模拟多种污染物在土壤中的行为。
此外，随着计算机技术的发展，模型的计算效率和准确性也得到了提高。
土壤溶质运移模型是研究土壤中溶质迁移、分布和转化的重要工具，它可以有效预测土壤污染的风险和影响范围。
在实际应用中，我们需要根据具体情况选择适用的模型，并结合实地调查和实验数据对模型进行参数校正。
随着模型不断完善和发展，相信它将在农业和环境科学的实践中发挥更大的作用。
注意：本文所涉内容仅用于描述土壤溶质运移模型的基本原理、应用领域和研究进展，禁止进行商业化宣传、联系方式公布及其他与主题无关的内容。
请根据需要自行进行补充和修改，以满足具体需求。
溶质运移及其基本微分方程
DD Dh (v) Ds ( )＝Dsh (v, )
4. 水动力弥散 溶质通量
JD
c Dsh (v, ) z
水动力弥散系数既和水的渗透速度有关，又 与土壤含水率有关。其值常需实验确定，或用 经验公式表示之。
二、溶质运移基本方程
由前面的分析可知，溶质总通量为对流通量 与水动力弥散通量之和。即 ：
水动力 弥散
( c) c (qc) [ Dsh (v, ) ] t z z z
对流
该式称为溶质运移的一维对流－弥散型方程。 若考虑介质中溶质的化学、生物变化，则加 入源汇项Se。
( c) c (qc ) [ Dsh (v, ) ] Se t z z z
式中 ： Se为单位时间、单位体积土壤中生 成或消失的溶质质量。
S e S ei S ej
i 1 j 1
n
m
对于二维和三维的溶质运移问题，可将一
维方程扩展，但应注意水动力弥散系数的各向
异性。（横向弥散系数和纵向弥散系数不同）
三、土壤中溶质运移与水分运动的关系
土壤中的溶质运移是以水分运动为基础的。 溶质的对流和机械弥散均与水分运动有关，同时， 溶质势亦是水分运动的驱动力。
一、溶质运移的对流和水动力弥散
1.溶质的对流运移 1）溶质浓度c：单位体积土壤水溶液中所含 有的溶质质量。 2）溶质通量Jc：单位时间内通过土壤单位截 面积的溶质质量。设土壤水分的通量为q， Jc q c 则： 若以 v q 表示土壤水的平均孔隙流速，
为体积含水率，则 Jc v c
Ds ( ) D0
或
Dsb
水率θ和D0，与c 无关。a,α和 b 均为经验常数。
一维非饱和溶质垂向运移控制方程计算例子
一维非饱和溶质垂向运移控制方程计算例子摘要：一、引言二、一维非饱和溶质垂向运移控制方程的概念和原理三、计算例子的具体步骤和过程四、计算结果的分析和讨论五、结论正文：一、引言在环境科学和工程领域，溶质在土壤中的运移是一个重要的研究课题。
其中，一维非饱和溶质垂向运移控制方程是描述溶质在土壤中运移过程的一个基本方程。
本文将通过一个计算例子，详细介绍一维非饱和溶质垂向运移控制方程的计算过程和方法。
二、一维非饱和溶质垂向运移控制方程的概念和原理一维非饱和溶质垂向运移控制方程，是描述非饱和土壤中溶质沿垂直方向运移的偏微分方程。
其基本原理是质量守恒和达西定律。
质量守恒定律表达了溶质运移过程中质量的守恒，即溶质的输入等于输出与累积量的和。
达西定律则表达了溶质在非饱和土壤中的运移速度与溶液的浓度成正比。
三、计算例子的具体步骤和过程为了计算一维非饱和溶质垂向运移控制方程，我们需要首先确定方程的边界条件和初始条件。
边界条件通常包括两种：一是溶质在土壤表面的输入，二是溶质在土壤底部的输出。
初始条件则是溶质在土壤表面的浓度。
确定边界条件和初始条件后，我们可以通过数值方法求解该偏微分方程。
常用的数值方法包括有限差分法、有限元法和有限体积法等。
这些方法的基本思想都是将连续的空间离散化，将偏微分方程转化为代数方程组，然后求解该代数方程组。
四、计算结果的分析和讨论计算结果可以帮助我们了解溶质在土壤中的运移规律。
通过对计算结果的分析，我们可以得出溶质在土壤中的浓度分布，以及随时间的变化情况。
此外，我们还可以通过计算结果，评估不同边界条件和初始条件对溶质运移的影响，为实际工程应用提供参考。
五、结论一维非饱和溶质垂向运移控制方程的计算，对于理解溶质在土壤中的运移过程具有重要意义。
溶质运移模型数值分析
＋
ａ『
的各种定解问题来描述（ 参见文献 ［，］ ， 中 Ａ 为河床断面， 为流量）Ｄ 为弥散系数 ， １２ 等）其 Ｑ ， Ｃ是某组分子 在 ．断面处 时刻的浓度， ２ ｇ Ｓ表示各种源 、 汇项的代数和 在复杂情况下 ， Ｓ是 Ｃ的线性或非线性函数 ， 但在
河
南
科
学
第２卷 第 ３ Ｏ 期
本文在§１ 试图利用积分变换方法， 中， 寻求理想化条件下的简化模型（．） ０２的近似精确解（ 即理论上的近似解 析解） 的表达式。在 § 中， ２ 首先建立模型（．） ０１的古典差分格式， 给出模型（． 和（．） ０１ ０２的数值算例。 ）
１ 模型 《 ． ） ０ ２ 的积 分变换方法和近似解 析解
上式化 为
ｆ “ Ｄ嚣， ＋ ＝
｛（户 。（ｔ－ ｂ ， ０ ） ｃ ，ｅ出＝／ ， Ｊ ｏ）ｐ ｔ ｐ （３ １） ・
｝。户 ｉ ｃ。） ・ 。 ） （， ｔ （， Ｊ 。ｔ ０ ｄ
常微 分方程
Ｄ
嚣一 ＝ “ 一 ｏ
的通解 为
一
）＝
其中 ｅ ｃ ＝１ ， ｝ ， ｒ（ ｆ ） 一 ｒ（ ）而为误差函数。 证 明： ０２ 两端 同乘以 ， 将（ ． ） 并在 ０ ｏ 到ｏ范围内对时间 ｔ 求积分 ， 得到
＝
等 “
（ 一“
．
ｃ（ ．
ｚ
由（ ．） １２得
户 令 ＝ Ｄ
（户＝ｏ￣ ）， ）ｆ Ｃ ， ， （ｄ ｅ
两类模型在生物化学基因控制 、 口动力学系统和多孔介质物理学等方面都有许多应用背景 。因此， 人 已有许 多文献对它们作了定性分析和数值方法上的研究（ 见文献 ［ —６ 及其相关引用文献 等） 然而， ４ ］ 作为溶质运 移模型， 当地下水水流速度 Ｉ Ｉ “ 很小（ 亦即弥散项起主要作用） ， 时 可采用通常的差分方法进行数值计算。
第五节 溶质运移问题的简单解析解
第五节 溶质运移问题的简单解析解由第二节的对流弥散方程可知，溶质运移问题比地下水运动问题更复杂，更难求得解析解。
只有当含水层为均质各向同性，而且计算区域几何形状简单时，才有可能求得解析解。
下面介绍几种简单的解析解。
一. 一维问题简单的解析解实验室中的土柱试验就是一个简单的一维问题。
一个土柱中装满砂，用水饱和并且让水以固定的速度向下流动。
水中的示踪剂浓度为0。
试验开始时土柱上部换装示踪剂浓度为C 0的溶液，一直保持到试验结束。
如果不考虑吸附、化学反应和放射性衰变，取流向为x 轴，则对流弥散方程（6-91）简化为x c u xc D t c x L ∂∂-∂∂=∂∂22 （6-184） 初始条件00)0,(≥=x x c边界条件⎩⎨⎧≥=∞≥=00),(0),0(0t t c t c t c 该问题的解为（Ogata 和Banks ，1961）：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=)2()exp(22),(0t D t u x erfc D x u t D t u x erfc c t x c L x L x L x （6-185） 式中 )(e r f c—余误差函数； )e x p (—指数。
在天然情况下，一维运动往往出现在有一段平直的被污染的河流或渠道，河水渗漏补给地下水，地下水以固定速度u 作一维流动，如图6—25图6—25渠道渗漏作为一个线源引起的地下水污染Sauty （1980）求得该情况下的解为⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎣⎢+--=)2()exp()2(2),(0t D t u x erfc D x u t D t u x erfc c t x c L x L x L x （6-186） （6—185）式和（6—186）式在第二项前面符号不同。
当Peclet 数Lx D xu Pe = 相当大时，上二式第二项比第一项小得多，故近似有)2(2),(0t D t u x erfc c t x c L x -=（6-187） 公式（6—187）适用10≥Pe 的情况。
溶质运移理论-(一)水动力弥散的基本概念与弥散方程共34页
若由于化学反应或生物化学反应而使示踪剂在单位体积溶液中的消耗速率
或产生速率与其浓度成正比，也可以用上述式子表示。
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七、源汇项：吸附与解吸
在一定条件下，溶液中某些溶质在多孔介质的固相表 面产生吸附、解吸或者离子交换等物理化学作用。如果这 些溶质属于我们的研究对象，则这些作用的结果应该综合 到源汇项中，如果固相表面吸附示踪剂，视为汇，否则， 称为解吸，视为源，而离子交换即可视为汇也可视为源。
水动力弥散现象 多孔介质中，当存在两种或两种以上可混溶的流体 时，在流体运动作用下，期间发生过渡带，并使浓 度区域平均化的现象
4
三、 水动力弥散现象
水动力弥散
分子扩散
两部分
机械弥散
由浓度高的方 向向浓度底 的方向运动， 趋于均一
由于微观多孔介质中流 速分布的不均一而引起 的示踪剂（水质点）浓 度在地下水含水层中不 均匀分布的现象。
一、流体类型
可混溶流体 两种或两种以上的流体在同一储集空间中不存
在明显的突变界面，见下图。如滨海含水层中海水 入侵地下淡水。（示踪剂） 不可混溶流体
多种（两种或两种以上）的流体在同一储集空 间中存在着明显的突变界面，见下图。如油、气、 水或其它有机物流体。（多相流体）
1
一、流体类型
可混溶流体
不可混溶流体
简化成
（1）
多孔介质中溶质的分子扩散通量
（2）
多孔介质分子扩散系数，数值上小于
溶质的对流量
机械弥散通量
联立上述两式，得
16
六、水动力弥散方程
将所有平均号“-”略去
17
六、水动力弥散方程
18
七、源汇项
源汇项指在单位时间液相体积中由于化学反 应、生物化学作用或抽注水等产生减少α组 分质量的速率。
第6章 土壤溶质与溶质运移
2. 分子（或离子）扩散 分子（或离子）扩散是指气相或液相内部由于分子的不 规则热运动即布朗运动和分子之间的相互碰撞而引起 的质量运移。 土壤溶液中的溶质浓度并不总是均匀的。只要浓度梯度 存在，分子扩散就会发生。分子扩散导致溶质从浓度 高的区域向浓度低的区域运动，从而使溶液浓度趋于 均匀。在一个静止的水体中，由于分子扩散而引起的 溶质质量运移通量可由Fick’s first law描述。在一维条 件下，它可表达为：
土壤溶质研究范围： 土壤溶质 肥料运移: N(NO3-、NH4+)、P(H2PO4-)、K+ 等 盐分运移: Cl- 、 CO3 2 - 、 SO42- 、Br- 、Ca2+ 、 Mg2+ 、 Na+等 污染物迁移: 非水相流体(Light and Dense non-aqueous phase liquids (LNAPLs and DNAPLs)： 汽油, TCA、甲苯、煤焦油等 小生物实体(Biologic entities )： 病毒(viruses), 细菌(bacteria) 辐射元素(Radioactive elements)： 镭(Ra)、铍(Be)、氦(He)等天 然放射性物质 重金属元素 ： 汞(Hg)、铅(Pb)、铜(Cu)等 柴油, 润滑油、碳氢化合物； 溶剂、工业洗涤剂、三氯乙烯TCE、四氯乙烯PCE、三氯甲烷
J dis = − Ddis ∂c ∂z (4.66)
目前很难在实验室或田间试验中明确地区分开分子（离 子）扩散和机械弥散的影响，因此一般将机械弥散和 分子扩散这两种现象合并而统称为水动力弥散现象。 机械弥散系数和分子扩散系数合并为一个参数即水动 力弥散系数或扩散弥散系数DH：
DH = Ddif + Ddis
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对于二维和三维的溶质运移问题，可将一
维方程扩展，但应注意水动力弥散系数的各向
异性。（横向弥散系数和纵向弥散系数不同）
三、土壤中溶质运移与水分运动的关系
土壤中的溶质运移是以水分运动为基础的。 溶质的对流和机械弥散均与水分运动有关，同时， 溶质势亦是水分运动的驱动力。
Ds ( ) D0
或
Ds 取决于土壤含
Ds ( ) D0 ae
b
水率θ和D0，与c 无关。a,α和 b 均为经验常数。
3. 溶质的机械弥散 c 由机械弥散引起的溶质通量： J h Dh (v)
z
Dh (v) v ，为渗透速度的线性函数。
式中：λ为与土壤质地、结构有关的经验常数。 分子扩散与机械弥散同时存在，机理不同，表 达式相似，但难于区分。因此，将二者综合 水动力弥散。
c J Dsh (v, ) qc z
根据质量守恒定律，在z方向流入和流出单 元体的溶质通量之差为：
J x y z t z
单元体内溶质的质量变化率为：
( c) x y z t t
若忽略x、y两方向的溶质质量变化，则
( c) J t z
c s RTk w g
c
（cm）
式中： 为以mol表示的溶质浓度 (mol cm3 ) µ 为溶质的摩尔质量（g/mol）数值上＝分 子量；c为单位体积溶液中含有的溶质质量 （g/cm3）；R＝8.31*106Pa· cm3/(mol· K)
当只考虑一维垂直流动时，土壤水分通量
m s q k ( )( f0 1) z z
一、溶质运移的对流和水动力弥散
1.溶质的对流运移 1）溶质浓度c：单位体积土壤水溶液中所含 有的溶质质量。 2）溶质通量Jc：单位时间内通过土壤单位截 面积的溶质质量。设土壤水分的通量为q， Jc q c 则： 若以 v q 表示土壤水的平均孔隙流速，
为体积含水率，则 Jc v c
DD Dh (v) Ds ( )＝Dsh (v, )
4. 水动力弥散 溶质通量
JD
c Dsh (v, ) z
水动力弥散系数既和水的渗透速度有关，又 与土壤含水率有关。其值常需实验确定，或用 经验公式表示之。
二、溶质运移基本方程
由前面的分析可知，溶质总通量为对流通量 与水动力弥散通量之和。即 ：
m s q k ( )( 1) z z
式中 f0 称为选择系数或渗透有效系数。 ∴严格地讲，土壤水分运动和溶质运移是耦 合的。但为了实际应用方便，在 f0 0时，常 独立求解，即先解水分运动方程，将渗流场代 入溶质运移方程，然后求解溶质分布。
§2-3 非饱和带溶质运移 及其基本微分方程
● 溶质运移现象 ● 溶质运移的对流和水动力弥散
● 溶质运移基本方程
● 土壤中溶质运移与水分运动的关系
土壤中的溶质运移现象（十分复杂） 土壤水携带着溶质一起运移→对流
溶质在自身浓度作用下由高浓度处向低浓度运 移→分子扩散 溶质在流动过程中从一个大孔隙进入小孔隙→ 次小→小，不断被分散并占有越来越大的渗流 区，且每个细孔中运动速度的大小和方向均不 同（→机械弥散）。
2. 溶质的分子扩散———Fick定律
1）自由水中：分子扩散通量 c （在自由水中） 0 J d D0
z
式中：D0为溶质在自由水体中的扩散系数
c 2） 土壤溶液中： J d Ds z
通量。
3） Ds 的经验公式：
水动力 弥散
( c) c (qc) [ Dsh (v, ) ] t z z z
对流
该式称为溶质运移的一维对流－弥散型方程。 若考虑介质中溶质的化学、生物变化，则加 入源汇项Se。
( c) c (qc ) [ Dsh (v, ) ] Se t z z z
分子扩散和水动力弥散机理不同，但同时存在， 很难区分，二者综合称为水动力弥散。 土壤中的吸附 解析； 溶质的溶解 沉淀
化合 分解 离子交换 植物的吸收、释放 微生物的分解
∴土壤中的溶液处在一个物理、化学、生物
的相互联系、连续变化的系统中。由于化学和
生物作用的复杂性，目前多数情况只考虑溶质
迁移过程的物理作用，即 对流+水动力弥散 分子扩散 机械弥散