等积变形(附答案)
小学五年级奥数精讲等积变形求面积(含答案)
小学奥数精讲：等积变形求面积“三角形的面积等于底与高的积的一半”这个结论是大家熟知的，据此我们立刻就可以知道： 等底等高的两个三角形面积相等． 这就是说两个三角形的形状可以不同，但只要底与高分别相等，它们的面积就相等，当然这个问题不能反过来说成是“面积相等的两个三角形底与高一定分别相等”．另一类是两个三角形有一条公共的底边，而这条底边上的高相等，即这条底边的所对的顶点在一条与底边平行的直线上，如右图中的三角形A 1BC 与A 2BC 、A 3BC 的面积都相等。
图形割补是求图形面积的重要方法，利用割补可以把—些形状不规则的图形转换成与之面积相等但形状规则的图形，或把不易求面积的图形转换成易求面积的图形．利用添平行线或添垂线的办法，常常是进行面积割补的有效方法，利用等底等高的三角形面积相等这个性质则是面积割补的重要依据，抓住具体的图形的特点进行分析以确定正确的割补方法则是面积割补的关键．进行图形切拼时，应该有意识地进行计算，算好了再动手寻找切拼的方案．不要盲目地乱动手．本讲中．的几个例子都是经过仔细计算才切拼成功的。
例1、已知三角形ABC 的面积为1，BE ＝ 2AB ，BC ＝CD ，求三角形BDE 的面积?例2、如下图，A 为△CDE 的DE 边上中点，BC=31 CD ，若△ABC(阴影部分)面积为5平方厘米，求△ABD 及△ACE 的面积．例3、 2002年在北京召开了国际数学家大会，大会会标如下图所示，它是由四个相同的直角基本概念例题分析三角形拼成(直角边长为2和3)，问：大正方形面积是多少?例4、下图中，三角形ABC和DEF是两个完全相同的直角边长等于9厘米的等腰直角三角形，求阴影部分的面积．练习提高1、如图，已知平行四边形ABCD的面积是60平方分米，E、F分别是AB、AD边上的中点，图中阴影部分的面积是多少平方分米?2、右图中的长方形ABCD的长是20厘米，宽是12厘米，AF=BE，图中阴影部分的面积是多少平方厘米？3、如图，四边形ABCD 是平行四边形，DC ＝CE ，如果△BCE 的面积是15平方厘米，那么梯形ABED 的面积是多少平方厘米？4、正方形ABCD 的边长是12厘米，已知DE 是EC 长度的2倍，三角形DEF 的面积是多少平方厘米？CF 长多少厘米？5、如图，在平行四边形ABCD 中，AE ＝ED ，BF ＝FC ，CG ＝GD ，平行四边形ABCD 的面积是阴影三角形EFG 的多少倍？（4）6、一个长方形被两条直线分成四个长方形，其中三个面积分别是20平方米，25平方米和30平方米，阴影部分的面积是多少平方米？7、如右图，平行四边形ABCD 的面积是240平方厘米，如果平行四边形内任取一点0，连接AO 、BO 、CO 、DO ，三角形AOD 与三角形BOC 的面积和的21，加上三角形AOB 与三角形DOC 的面积和的31，结果是多少?8、图8-17中，三角形ABC的面积是30平方厘米，D是BC的中点，AE的长是ED的2倍，求三角形CDE的面积．9、如图，正方形的边长为10厘米，用一根铁丝弯成直角，把这根铁丝放到正方形上，使直角顶点与正方形的中心O重合，问正方形在直角内部的部分有多大面积？答案：【例题分析】例1． 4例2．三角形ABD=10平方厘米三角形ACE=15平方厘米例3. 13例4. 27【练习提高】1. 22.52. 1203. 454. 三角形DEF=24平方厘米 CF=6厘米5. 4倍6. 37.57. 1008. 59. 25。
小学四年级奥数题三角形的等积变形及答案【三篇】
小学四年级奥数题三角形的等积变形及答案【三篇】【第一篇】1. 三角形把一个等边三角形分别分成8块和9块形状、大小都一样的三角形.分析分成8块的方法是：先取各边的中点并把它们连接起来，得到4个大小、形状相同的三角形，然后再把每一个三角形分成一半，得到如下左图所示的图形.分成9块的方法是：先把每边三等分，然后再把分点彼此连接起来，得到加上右图所示的符合条件的图形.2.比较比较下面两个积的大小：A＝987654321×123456789，B＝987654322×123456788.分析经审题可知A的第一个因数的个位数字比B的第一个因数的个位数字小1，但A的第二个因数的个位数字比B的第二个因数的个位数字大1.所以不经计算，凭直接观察不容易知道A和B哪个大.但是无论是对A或是对B，直接把两个因数相乘求积又太繁，所以我们开动脑筋，将A和B先进行恒等变形，再作判断.解： A＝987654321×123456789＝987654321×（123456788＋1）＝987654321×123456788＋987654321.B＝987654322×123456788＝（987654321＋1）×123456788＝987654321×123456788＋123456788.因为 987654321＞123456788，所以 A＞B.【第二篇】如图，四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，已知三角形AFH的面积为6平方厘米，求三角形CDH的面积．三角形面积答案：通常求三角形的面积，都是先求它的底和高．题目中没有一条线段的长度是已知的，所以我们只能通过创造等积的方法来求．直接找三角形HDC 与三角形AFH 的关系还很难，而且也没有利用"四边形ABCD和四边形DEFG 是正方形"这一条件．我们不妨将它们都补上梯形DEFH 这一块．寻找新得到大三角形CEF 和大直角梯形DEFA 之间的关系．经过验算，可以知道它们的面积是相等的．从而得到三角形 HDC与三角形AFH面积相等，也是6平方厘米．【第三篇】如下图，BE=2AB，BC=CD。
【小升初专项训练】04 等积变形
第5讲等积变形第一关三角形的等积变形【例1】如图，在等腰直角三角形ABC中，已知AB的长是7厘米，那么这个直角三角形的面积为 平方厘米。
【答案】12.25【例2】如图，E、F分别是梯形ABCD两腰上的中点，已知阴影部分的面积是43c㎡，那么梯形ABCD 的面积是多少？【答案】172【例3】如图：三条直线互相平行，l1与l3之间的距离是7厘米，l2上AB=4厘米．求阴影部分三角形的面积是多少平方厘米？ 【答案】14【例4】你能看出下面两个阴影部分A与B面积的大小关系吗？（两个长方形面积相等）【答案】A与B的面积相等【例5】如图，在斜边长为20cm的直角三角形ABC中去掉一个正方形EDFB，留下两个阴影部分直角三角形AED和DFC．若AD=8cm，CD=12cm，则阴影部分面积为多少？给出答案并说明你的计算依据．【答案】48【例6】如图，在直角三角形中有一个正方形，已知BD=10厘米，DC=7厘米，阴影部分的面积是多少？【答案】35平方厘米【例7】如图，梯形ABCD的面积是36，下底长是上底长的2倍，阴影三角形的面积是多少？【答案】16【例8】下图中阴影部分甲的面积与阴影部分乙的面积哪个大？【答案】图中甲乙的面积相等【例9】如图，在三角形ABC中，D是BC上靠近C的三等分点，E是AD中点，已知三角形ABC的面积为1，那么图中两个阴影三角形面积之和是多少？【答案】0.4【例10】已知△ABC面积为5，且BD=2DC，AE=ED，求阴影部分面积．要求写出关键的解题推理过程．【答案】2【例11】如图，将一个梯形分成四个三角形，其中两个三角形的面积分别为10与12．已知梯形的上底长度是下底的．请问：阴影部分的总面积是多少？【答案】23【例12】如图，已知梯形ABCD中，CD=10，梯形ABCD的高是4，那么阴影部分的面积是多少。
【答案】20【例13】（1）如图1，阴影部分的面积是多少？（2）如图2，一个长方形长4厘米，宽3厘米．A为长方形内的任意一点，阴影部分的面积是多少？【答案】（1）100；（2）6【例14】如图，在图中△ABE、ADF和四边形AECF面积相等．阴影部分的面积是多少？【答案】15【例15】如图，两个正方形（单位：厘米）中阴影部分的面积是多少平方厘米？【答案】8【例16】由面积为1，2，3，4的矩形拼成如图的长方形，图中阴影部分的面积为多少？【答案】【例17】如图所示，正方形ABCD的对角线BD长20厘米，BDFE是长方形．那么，五边形ABEFD的面积是多少平方厘米。
小学数学《三角形的等积变形》练习题(含答案)
内容概述
我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底×高÷2
从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．
如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）；
如果三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）；
这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的1/3，则三角形面积与原来的一样。这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．
于是：三角形ABD的面积=12×高÷2=6×高
三角形ABC的面积=（12+4）×高÷2=8×高
三角形ADC的面积=4×高÷2=2×高
所以，三角形ABC的面积是三角形ABD面积的4/3倍；三角形ABD的面积是三角形ADC面积的3倍。
巩固理解结论：两个三角形等高时，面积的倍数=底的倍数
【例2】如右图，E在AD上，AD垂直BC，AD=12厘米，DE=3厘米。
【例6】如右图所示，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，AF=2CF，三角形AFE(图中阴影部分)的面积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米?
【例7】图中△AOB的面积为15cm2，线段OB的长度为OD的3倍，求梯形ABCD的面积.
【例8】（北京市第一届“迎春杯”刊赛）如右图.将三角形ABC的BA边延长1倍到D，CB边延长2倍到E，AC边延长3倍到F.如果三角形ABC的面积等于l，那么三角形DEF的面积是？
例题精讲
小学数学《三角形的等积变形》练习题(含答案)
又由于三角形AED与三角形AEC的高相等，而CD=1/4AC,于是AD=3/4AC,
所以，三角形AED的面积=3/4×三角形AEC的面积
=
.
=
【附4】（北京市第四届“迎春杯”刊赛）下图中三角形ABC的面积为1，其中AE=3AB，BD=2BC，那么三角形BED的面积是________.
分析：连接辅C助线E.
(三角形BCE的面积)︰(三角形DCE的面积)=BC﹕CD=1﹕1，
所以三角形BCE的面积等.于三角形DCE的面积.
又因为(三角形BCE的面积)︰l=BE﹕AB=2﹕1，
所以三角形BCE的面积等于2.
因此三角形BDE的面积等于2+2=4.
【附5】（第四届《小数报》数学竞赛初赛）如图，梯形ABCD被它的一条对角线BD分成了两部分．三角形BDC的面积比三角形ABD的面积大l0平方分米．已知梯形的上底与下底的长度之和是15分米，它们的差是5分米．求梯形ABCD的面积．
【例6】如右图所示，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，AF=2CF，三角形AFE(图中阴影部分)的面积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米?
【例7】图中△AOB的面积为15cm2，线段OB的长度为OD的3倍，求梯形ABCD的面积.
【例8】（北京市第一届“迎春杯”刊赛）如右图.将三角形ABC的BA边延长1倍到D，CB边延长2倍到E，AC边延长3倍到F.如果三角形ABC的面积等于l，那么三角形DEF的面积是？
【附2】如图，在△ABC中，DC=3BD，DE=EA，若△ABC面积是2，则阴影部分的面积是多少？
分析：连结FD，由AE=ED可知：S△AFE=S△EFD，S△AEC＝S△DCE
小学五年级数学思维专题训练—等积变形(含答案解析)
小学五年级数学思维专题训练—等积变形例1.长方形ABCD的面积是40平方厘米，E、F、G、H分别为AD、AH、DH、BC的中点，三角形EFG的面积是平方厘米例 2.梯形ABCD中，AE与DC平行，S ABE∆=15，S BCF∆= .例3。
如下图所示，长方形ABCD内的阴影部分的面积之和为70，AB=8，AD= 15.四边EFGO 的面积为。
例4.如下图所示，在平行四边形ABCD中，已知三角形ABP.BPC的面积分别是73、100，求三角形BPD的面积．例5.如下图所示，BD是平行四边形ABCD的对角线，EF平行于BD，如果三角形ABE的面积是12平方厘米，那么三角形AFD的面积是平方厘米。
例6.如下图所示，已知AE=EC，CD=DB，S ABC =60，求四边形FDCE的面积．例7.如右图所示，正方形ABC D和正方形ECGF并排放置，BF与CD相交于点H,已知AB=6厘米，则阴影部分的面积是平方厘米．例8.如下图所示，E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点，EG与FH交于点O,S1、S2、S3及S4分别表示4个小四边形的面积．试比较S1+S3与S2+S4的大小．例9.将长15厘米、宽9厘米的长方形的长和宽都分成三等份，长方形内任意一点与分点及顶点连结，如右图所示，则阴影部分的面积是 平方厘米．例10.右图所示ABCD 是个直角梯形（∠DAB=∠ABC= 900），以 ， AD 为一边向外作长方形ADEF ，其面积为6.36平方厘米，连接BE 交AD 于P ，再连接PC ．则图中阴影部分的面积是 平方厘米。
A.6.36B.3.18C.2.12D.1.59例11.如下图所示，平行四边形内有两个大小一样的正六边形，那么阴影部分的面积占平行四边形面积的 。
A ．21B ．32C ．52D ．125例12.如下图所示，矩形ABCD 的面积是24平方厘米，三角形ADM 与三角形BCN 的面积之和是7.8平方厘米，则四边形PMON 的面积是 平方厘米．例13.一个矩形分成4个不同的三角形（如下图），绿色三角形面积占矩形面积的15%，黄色三角形的面积是21平方厘米．问：矩形的面积是多少平方厘米？例14.如下图所示，正方形每条边上的三个点（端点除外）都是这条边的四等分点，则阴影部分的面积是正方形面积的。
等积变形篇
等积变形篇丁志浩物体的形状虽然改变了，但是其面积或体积仍然保持不变．这类问题我们可以称为等积变形问题．在等积变形问题中，变化前后的体积或面积相等，往往是列方程所需的重要的相等关系．1.面积不变问题例1将图（1）三角形纸片沿虚线叠成图（2），原三角形图（1）的面积是图（2）（粗实线图形）面积的1.5倍，已知图（2）中阴影部分的面积之和为1，求重叠部分的面积.解析：首先要看清题意，其中图（2）中粗实线图形面积就是图（3）中三个角上的小三角形面积和重叠部分面积的总和，这个题目中的等量关系我们可以从图中不难看出，就是整个三角形的面积是三个角上小三角形(从图（3）中看)面积和重叠（从图（2）中看）部分面积的总和的1.5倍.如果设重叠部分面积为x，将折叠还原后，则原三角形的面积是（2x+1），图（2）中粗实线部分面积是（x+1）,等量关系为：原三角形的面积=1.5粗实线部分面积解：设重叠部分面积为x.根据题意，得1.5(x+1)=2x+1.解得x=1.所以重叠部分的面积为1.例2如图2，“回”字形的道路宽为1米，整个“回”字形的长为8米，宽为7米，一个人从入口点A沿着道路走到终点B，他共走了多少米？分析：如果我们直接解这个问题，这里有重复部分，是个十分麻烦问题，现在需要对这个问题转化，可以看作用一米宽的拖把把这块区域托一遍，我们以走直线方式拖地，那么拖把走过区域是长方形，长方形的宽是一定的，是一米.而长方形的长就是拖把走过路程.长方形的面积就等于回字形面积，直接就可以算出拖把走过的路程是56米.而这正是人要走的路程.这时候我们可以看到这和拖把是否走直线没有关系了，只要拖把的宽度一定，它走过的路程就定下来，就是56米.我们也可以这样来看：所有小路连在一起可以组成一个宽1米的长长的长方形，因为长方形场地“充满”了小路，所以小路的面积等于长方形场地的面积．解：设小路的总长度为x米.根据题意，得x×1=8×7．解得x=56．所以从入口A处走到终点B，至少要走56米．2.体积不变问题例3 用直径为90mm的圆柱形玻璃杯（已装满水，且水足够多）向一个内底面积为131× 131mm2，内高为81mm的长方体铁盒倒水，当铁盒装满水时，玻璃杯中水的高度下降了多少？（结果保留π）分析：因为铁盒里水是满的，所以水的体积就等于铁盒的容积.根据长方体的体积公式可以计算出水的体积是131×131×81 mm3 ，圆柱形玻璃杯中减少的的体积为圆柱的底面积乘以水下降的高度.显然玻璃杯里倒掉的水的体积和长方体铁盒里所装的水的体积相等，所以等量关系为：玻璃杯里倒掉的水的体积=长方体铁盒的容积.解：设玻璃杯中水的高度下降了xmm.根据题意，得π·(90÷2)2x=131×131×81.解得π44.686x. 经检验，它符合题意．所以玻璃杯中水的高度下降了π44.686mm.例4将一个长、宽、高分别为15厘米、12厘米和8厘米的长方体钢块锻造成一个底面（正方形）边长为12厘米的长方体零件钢坯，试问是锻造前的长方体钢块表面积大还是锻造后的长方体零件钢坯表面积大？请你进行比较．分析：锻造前长方体钢块的体积为15×12×8cm3，锻造后长方体零件钢坯体积为12×12×它的高cm3.虽然钢块的形状发生了变化，但是钢块的体积没有变化．因此可得长方钢块体的体积=长方体零件钢坯体积,如果设长方体零件钢坯高为x厘米,得15×12×8=12×12×x.显然可以算出它的高=10厘米,但问题到此并没有结束,最终要比较它们的表面积的. 锻造前长方体钢块的表面积为为2×(12×15+15×8+12×8)平方厘米,锻造后长方体零件钢坯的表面积是2×(12×12+12×10+12×10)平方厘米.解：设锻造后的长方体零件钢坯的高为x厘米.根据题意，得5×12×8=12×12×x．解得10x=．所以锻造后的长方体零件钢坯表面积为：2(121212101210)768⨯⨯+⨯+⨯=（平方厘米）．而锻造前的长方体钢块表面积为：2(1512158128)792⨯⨯+⨯+⨯=（平方厘米）．所以锻造前的长方体钢块表面积比锻造后的长方体零件钢坯表面积大．例5 一种圆筒状包装的，如图3所示，其规格为“20cm×60m”，经测量这筒保鲜膜的内径、外径的长分别是3.2cm、4.0cm，则这种保鲜膜的厚度约为多少厘米？（π取3.14，结果保留两位有效数字）分析：当我们把圆筒状包装的保鲜膜展开时原来的形状可以看成长方体，根据长方体的体积公式可以计算出此时的体积为20ⅹ6000ⅹ保鲜膜的厚度，需要说明的是20 cm指展开后鲜膜的宽，也是展开前圆筒状包装的高，60 m是保鲜膜展开后的长度(单位要统一).圆筒状时可以看成圆柱体，我们要注意这个圆柱是空心的，计算时不能忘了减去空心部分．展开前后形状虽然改变了，但体积不变.即圆筒状包装体积=长方体的体积.解：设这种保鲜膜的厚度为x cm.根据题意，得223.2202060002x ⎡⎤4⎛⎫⎛⎫π-=⨯⎢⎥⎪ ⎪2⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦．解得0.00075x≈．所以这种保鲜膜的厚度约为0.00075cm．例6 一张桌子有一个桌面和四条桌腿，做一张桌面需要木材0.03m3，做一条桌腿需要木材0.002m3，现做一批这样的桌子，恰好用去木材3.8m3，共做了多少张桌子？分析：解决这个问题关键是找出一个能表示实际问题全部意义的相等关系，我们要注意的是：一张桌子有一个桌面和四条腿，那么整张桌子所需的木材的体积是四条腿的和一个桌面的，如果设共做桌子X张，我们就容易用X表示出做桌腿所需木材的体积是4ⅹ0.002X m3 ，做桌面所需的木材的体积是0.03X m3 .因此这个问题中就有这样的相等关系：做桌面所需木材的体积+做桌腿所需木材的体积=3.8m3解：设共做了x张桌子.根据题意,得0.003x+4×0.002x=3.8.解得x=100.所以共做100张桌子.同步练习1.现有直径为0.8米的圆柱形钢坯30米，可足够锻造直径为0.4米，长为3米的圆柱形机轴多少根？2．德鑫轧钢厂要把一种底面直径6厘米，长1米的圆柱形钢锭，轧制成长4.5米，外径3厘米的无缝钢管，如果不计加工过程中的损耗，则这种无缝钢管的内径是（）A． 0.25厘米 B． 2厘米C．1 厘米 D． 0.5厘米3．用直径为90 mm的圆柱形玻璃杯（已装满水）向一个由底面积为125×125 mm2内高为81mm的长方体铁盒倒水时，当倒满铁盒时玻璃杯中的水的高度下降多少？（结果保留整数π≈3.14）4．圆柱（1）的底面直径为10厘米，高为18厘米；圆柱（2）的底面直径为8厘米.已知圆柱（2）的体积是圆柱（1）的体积的1.5倍，求圆柱（2）的高.5．将内径为200毫米的圆柱形水桶中的满桶水倒入一个内部长、宽、高分别为300毫米、300毫米、80毫米的长方体铁盒，正好倒满，求圆柱形水桶的水高（精确到1毫米，≈3.14）.6.一张圆桌由一个桌面和四条腿组成，如果1m三次方，木料可制作圆桌的桌面50个，或制桌腿300条，现有5m三次方，木料，请你设计一下，用多少木料.7.如图是两个圆柱体的容器，它们的半径分别是4cm和8cm，高分别为16cm和10cm，先在第一个容器中倒满水，然后将其全部倒入第二个容器中.（1）倒完后，第二个容器水面的高度是多少？(2)如右图把容器1口朝上插入容器2水位又升高多少？容器2同步练习1.现有直径为0.8米的圆柱形钢坯30米，可足够锻造直径为0.4米，长为3米的圆柱形机轴多少根？1、分析：变形前钢坯的体积等于变形后所有圆柱形机轴的总体积2．德鑫轧钢厂要把一种底面直径6厘米，长1米的圆柱形钢锭，轧制成长4.5米，外径3厘米的无缝钢管，如果不计加工过程中的损耗，则这种无缝钢管的内径是（）A． 0.25厘米 B． 2厘米C．1 厘米 D． 0.5厘米3．用直径为90 mm的圆柱形玻璃杯（已装满水）向一个由底面积为125×125 mm2内高为81mm的长方体铁盒倒水时，玻璃杯中的水的高度下降多少？（结果保留整数π≈3.14）4．圆柱（1）的底面直径为10厘米，高为18厘米；圆柱（2）的底面直径为8厘米.已知圆柱（2）的体积是圆柱（1）的体积的1.5倍，求圆柱（2）的高.5．将内径为200毫米的圆柱形水桶中的满桶水倒入一个内部长、宽、高分别为300毫米、300毫米、80毫米的长方体铁盒，正好倒满，求圆柱形水桶的水高（精确到1毫米，≈3.14）.6.一张圆桌由一个桌面和四条腿组成，如果1m三次方，木料可制作圆桌的桌面50个，或制桌腿300条，现有5m三次方，木料，请你设计一下，用多少木料.7.如图是两个圆柱体的容器，它们的半径分别是4cm和8cm，高分别为16cm和10cm，先在第一个容器中倒满水，然后将其全部倒入第二个容器中.（1）倒完后，第二个容器水面的高度是多少？(2)如右图把容器1口朝上插入容器2水位又升高多少？容器2。
等积变形附答案
三角形的等积变形我们已经掌握了三角形面积的计算公式：三角形面积=底x高十2这个公式告诉我们：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积.如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）.同样若三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）.这说明；当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化. 但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化.比如当高变为原来的3倍，底变为原耒的;.贝!I三角形面积与原来的一样.这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化.同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状.本讲即研究面积相同的三角形的各种形状以及它们之间的关系.为便于实际问题的研究，我们还会常常用到以下结论：①等底等高的两个三角形面积相等.②底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等.③若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍.例如在右圈中，若^ABD-^A AEC的底边相等（£D=DE=EC=|E.C）3它们所对的顶点同为A点，（也就是它们的高相等）那么这两个三角形的面积相等.同时也可以知道^ ABC勺面积是△ ABD或△ AEC面积的3倍.例如在图中，△ ABC与△ DBC的底相同（它们的底都是BC）,它所对的两个顶点A D在与底BC平行的直线上，（也就是它们的高相等），那么这两个三角形的面积相等.例如图中，△ ABC与△ DBC的底相同（它们的底都是BC）,AABC的高是△ DBC 高的2倍（D是AB中点，AB=2BD有AH=2DE）则^ ABC的面积是△ DBC面积的2倍.上述结论，是我们研究三角形等积变形的重要依据.例1、用三种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形.方法1=如右图，将RC边四等分（KD =DE=EF=FC=|B C）,连结△ABE、△AEF、△AF对积*方法2:如右图，先将BC二等分，分点D连结AD得到两个等积三角形，即△ ABD与△ ADC等积.然后取AC AB中点E、F,并连结DE DF.以而得到四个等积三角形，即△ ADF △ BDF △ DCE △ ADE等积.C方法务如右图，先將BC四攀分，即：BD二一BC,连结直A再将AB三等分，aPAE-EF=FD--AD,连结CE、CF,从而得到四个尊积的三角形 ,即^AKD, △CDF, △CEE △ACE等积.例2、用三种不同的方法将任意一个三角形分成三个小三角形，使它们的面积比为及1 : 3 : 4.方法1 :如下左图，将BC边八等分，取1 : 3 : 4的分点D E,连结AD AE 从而得到^ ABD △ ADE △ AEC的面积比为1 : 3 : 4.方法厶如上右圈，先取EC中点D,再取yVB的才分点民连结AD、DE从而得到三个三角形：△ ADE △ BDE △ ACD其面积比为1 : 3 : 4.方法玉如右图，先恥止中点D,连结CD,再取CD上;分点兔连结4从而得到三个三角形；△ACE △ADE、△BCD,其面积比为1 ； 3 :4.C当然本题还有许多种其他分法，同学们可以自己寻找解决.例3、如图，在梯形ABCD中，AC与BD是对角线，其交点0,求证：△ A0B与△ CODS积相等.c证明：•••△ ABC与△ DBC等底等高, /. S^AB(=S A DBC又S △ AOB=S A ABC—S A BOC S △ DOC=S^ DBC—BOC/. S AAOB=S ACOD例4、如图，把四边形ABCDfe成一个等积的三角形.分析本题有两点要求，一是把四边形改成一个三角形，二是改成的三角形与原四边形面积相等.我们可以利用三角形等积变形的方法，如右图，把顶点A移到CB的延长线上的A'处，△ A BD与△ ABD面积相等，从而△ A DC面积与原四边形ABC®积也相等.这样就把四边形ABCD等积地改成了三角形^ A DC问题是A'位置的选择是依据三角形等积变形原则.过A 作一条和DB平行的直线与CB的延长线交于A'点.解：①连结BD②过A作BD的平行线，与CB的延长线交于A'.③连结A。
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三角形的等积变形
我们已经掌握了三角形面积的计算公式：
三角形面积=底×高÷2
这个公式告诉我们：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)．同样若三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)．这说明；当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来
角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．本讲即研究面积相同的三角形的各种形状以及它们之间的关系．为便于实际问题的研究，我们还会常常用到以下结论：
①等底等高的两个三角形面积相等．
②底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等．
③若两个三角形的高(或底)相等，其中一个三角形的底(或高)是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．
它们所对的顶点同为A点，(也就是它们的高相等)那么这两个三角形的面积相等．
同时也可以知道△ABC的面积是△ABD或△AEC面积的3倍．
例如在图中，△ABC与△DBC的底相同(它们的底都是BC)，它所对的两个顶点A、D在与底BC平行的直线上，(也就是它们的高相等)，那么这两个三角形的面积相等．
例如图中，△ABC与△DBC的底相同(它们的底都是BC)，△ABC的高是△DBC 高的2倍(D是AB中点，AB=2BD，有AH=2DE)，则△ABC的面积是△DBC面积的2倍．
上述结论，是我们研究三角形等积变形的重要依据．
例1、用三种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形．方法2：如右图，先将BC二等分，分点D、连结AD，得到两个等积三角形，即△ABD与△ADC等积．然后取AC、AB中点E、F，并连结DE、DF．以而得到四个等积三角形，即△ADF、△BDF、△DCE、△ADE等积．
?
例2、用三种不同的方法将任意一个三角形分成三个小三角形，使它们的面积比为及1∶3∶4．
方法 1：如下左图，将BC边八等分，取1∶3∶4的分点D、E，连结AD、AE，从而得到△ABD、△ADE、△AEC的面积比为1∶3∶4．
DE，从而得到三个三角形：△ADE、△BDE、△ACD．其面积比为1∶3∶4．当然本题还有许多种其他分法，同学们可以自己寻找解决．
例3、如图，在梯形ABCD中，AC与BD是对角线，其交点O，求证：△AOB与△COD面积相等．
证明：∵△ABC与△DBC等底等高，
∴S△ABC=S△DBC
又∵ S△AOB=S△ABC—S△BOC
S△DOC=S△DBC—S△BOC
∴S△AOB=S△COD．
例4、如图，把四边形ABCD改成一个等积的三角形．
分析本题有两点要求，一是把四边形改成一个三角形，二是改成的三角形与原四边形面积相等．我们可以利用三角形等积变形的方法，如右图，把顶点A移到CB的延长线上的A′处，△A′BD与△ABD面积相等，从而△A′DC面积与原四边形ABCD面积也相等．这样就把四边形ABCD等积地改成了三角形△A′DC．问题是A′位置的选择是依据三角形等积变形原则．过A 作一条和DB平行的直线与CB的延长线交于A′点．
解：①连结BD；
②过A作BD的平行线，与CB的延长线交于A′．
③连结A′D，则△A′CD与四边形ABCD等积．
例5、如图，已知在△ABC中，BE=3AE，CD=2AD．若△ADE的面积为1平方厘米．求三角形ABC的面积．
解法1：连结BD，在△ABD中
∵ BE=3AE，
∴ S△ABD=4S△ADE=4(平方厘米)．
在△ABC中，∵CD=2AD，
∴ S△ABC=3S△ABD=3×4=12(平方厘米)．
解法2：连结CE，如右图所示，在△ACE中，
∵ CD=2AD，
∴ S△ACE=3S△ADE=3(平方厘米)．
在△ABC中，∵BE=3AE
∴ S△ABC=4S△ACE
=4×3=12(平方厘米)．
例6、如下图，在△ABC中，BD=2AD，AG=2CG，BE=EF=FC=
解：连结BG，在△ABG中，
∴ S△ADG+S△BDE+S△CFG
例7、如右图，ABCD为平行四边形，EF平行AC，如果△ADE的面积为4平方厘米．求三角形CDF的面积．
解：连结AF、CE，∴S△ADE=S△ACE；S△CDF=S△ACF；又∵AC与EF平行，∴S△ACE=S△ACF；
∴ S△ADE=S△CDF=4(平方厘米)．
例8、如右图，四边形ABCD面积为1，且AB=AE，BC=BF，DC=CG，AD=DH．求四边形EFGH的面积．
解：连结BD，将四边形ABCD分成两个部分S1与S2．连结FD，有S△FBD=S △DBC=S1所以S△CGF=S△DFC=2S1．
同理 S△AEH=2S2，
因此S△AEH+S△CGF=2S1+2S2=2(S1+S2)=2×1=2．
同理，连结AC之后，可求出S△HGD+S△EBF=2所以四边形EFGH的面积为
2+2+1=5(平方单位)．
例9、如右图，在平行四边形ABCD中，直线CF交AB于E，交DA延长线于F，若S△ADE=1，求△BEF的面积．
解：连结AC，∵AB//CD，∴S△ADE=S△ACE
又∵AD//BC，∴S△ACF=S△ABF
而 S△ACF=S△ACE+S△AEF∶S△ABF=S△BEF+S△AEF
∴ S△ACE=S△BEF∴S△BEF=S△ADE=1．
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