第12章 电磁感应

× × × B× O × × × × × × × R 450 × ×
a
图28(a)
× × × × × × × × ×
b
×
解： （1） E ⋅ dl = 2πrE
∫
L
πr 2 B (r ≤ R) Φ = 2 πR B (r > R)
dΦ 由 ∫ E ⋅ dl = − 得： L dt
r dB (r ≤ R) 2 dt E= 2 R dB (r > R) 2r dt
b
l1
c
I x a r o dx
l2
d x
解：
Φ = ∫ B⋅ dS = ∫
S
r +l1
r
（1） I
= I0 cosωt
µ0I µ0Il2 r + l1 l2dx = ln 2π x 2π r
dΦ dΦ dI µ0I0 r + l1 ε =− =− = l2ωsin ωt ln r dt dI dt 2π
b v
c
交流发电机：如图， 例 12-1 交流发电机：如图，一匝数为 N，面积为 S，电阻为 R ， ， 作匀速转动， 的矩形线圈在匀强磁场中以角速度ω作匀速转动，t=0 时线圈平 面与磁场方向垂直。 时刻： 面与磁场方向垂直。求 t 时刻： （1）线圈中的感应电动势和感应电流； ）线圈中的感应电动势和感应电流； （2）为维持线圈匀速转动，作用在线圈上的合外力矩为多少？ ）为维持线圈匀速转动，作用在线圈上的合外力矩为多少？ （3）合外力矩做功的功率为多少？ ）合外力矩做功的功率为多少？ 上的电功率为多少？ （4）消耗在电阻 R 上的电功率为多少？ ）
（2）
r = r(t)
dΦ dΦ dr dΦ µ0I0l1l2v =− =− = −v ε =− 2πr(r + l2 ) dt dr dt dr
一、动生电动势及产生动生电动势的非静电力
1、动生电动势：由于导体在磁场中运动而在导体内 动生电动势： 产生的电动势。 产生的电动势。 2、产生动生电动势的非静电力：洛伦兹力 产生动生电动势的非静电力：
n
n
L
εi
εi
L
dΦ （ ） > 0, a Φ > 0, εi < 0 dt
dΦ （ ） > 0, b Φ < 0, εi > 0 dt
dΨ εi = − dt Ψ =Φ1 +Φ2 + ⋯ N → NΦ 为磁通匝链数或全磁通。 Φ 为磁通匝链数或全磁通。
多匝回路： 多匝回路：
1 dΦ Ii = = − R R dt qi = ∫ Idt = ∫
二、法拉第电磁感应定律
当穿过回路所包围面积的磁通量发生变化时， 当穿过回路所包围面积的磁通量发生变化时 ， 回路中产生的感应电动势的大小与穿过回路的磁通 量对时间的变化率成正比。 量对时间的变化率成正比。
dΦ εi = − dt
负号反映了感应电动势的方向： 负号反映了感应电动势的方向：
B增 大 B减 小
二、感生电动势及产生感生电动势的非静电力
1、感生电动势：导体回路不动，由于磁场变化产生的 感生电动势：导体回路不动， 感应电动势叫感生电动势。 感应电动势叫感生电动势。 2、产生感生电动势的非静电力： 产生感生电动势的非静电力： 感生电场力： 感生电场力： 感 = qE感 F
三、感生电场的环流与感生电动势的计算
ωt ϕ
I
图20
B
pm
解：
（1） Φ = B ⋅ S = BS cosωt
ωt ϕ
I
图20
dΦ εi = −N = NBSω sinωt dt Ii =
B
εi
R
=
NBSω sinωt R
pm
N 2 B2 S 2ω sinωt （2） M = pm Bsinωt = NISBsinωt = R N 2 B2 S 2ω 2 sinωt （3） P = Mω = M R N 2 B2 S 2ω 2 sinωt =P （4） P = I R = J M R
f × × × × × m× × × a I
b
εi = ∫ Ek ⋅ dl = ∫ (v × B) ⋅ dl
a a
b
方向： 方向： × B 指向为电源正极。 v 指向为电源正极。
三、动生电动势的计算
dl →dε ： dεi = (v × B) ⋅ dl = vBdl sin θ cosϕ
θ = (v, B) ∧ ϕ = (E , dl )(E = v × B) k k
× × × × B × × × O × × × × × r × × × × × ×R × × × × ×
图28(b)
R2 dB cosθdl （2） dε = E ⋅ dl = Edl cosθ = 2r dt r = R / cosθ ， dl = d(R tanθ ) = Rsec2 θdθ
R2 dB dε = dθ 2 dt
a R2 dB 1 2 dB εab = ∫ dθ = πR −π / 4 2 dt 4 dt dΦ 1 2 dB 另解： εi = εOa + εab + εbO = = πR
π /4
O Rθ l dlEb来自图28(b)dt
4
dt
εOa = ∫ E ⋅ dl = 0 ， εbO = ∫ E ⋅ dl = 0
t1 t2 t2 t1
εi
1 dΦ (− )dt = I (Φ1 −Φ2 ) R dt
三、楞次定律
闭合回路中的感应电流的方向， 闭合回路中的感应电流的方向，总是使得感应 电流所产生的通过回路所包围面积的磁通量去补偿 引起感应电流的磁通量的变化。 引起感应电流的磁通量的变化。
图12—8
图12-9
楞次定律的本质是能量守恒定律。 楞次定律的本质是能量守恒定律。 B f I a d
一、麦克斯韦关于感生电场的假设
1、麦克斯韦的假设 变化的磁场在周围空间要激发电场， 变化的磁场在周围空间要激发电场 ， 这种电 感生电场。 场称为感生电场 场称为感生电场。 2、感生电场的基本性质 1）感生电场对处在其中的电荷有力的作用。 感生电场对处在其中的电荷有力的作用。 2）在感生电场中引进导体，导体内产生感应电动势。 在感生电场中引进导体，导体内产生感应电动势。
整段导线 ab →εab ：
∧
b
dl
εi = ∫ dεi = ∫ (v × B) ⋅ dl
a a
b
b
B
a
图23A
v
闭合回路： 闭合回路：
dΦ ε = ∫ Ek ⋅ dl = ∫ (v × B) ⋅ dl = − L L dt
例12-3、一根长为 L 的铜棒，在均匀磁场 B 中以角 12的铜棒， 在与磁场方向垂直的平面内作匀速转动。 速度 ω 在与磁场方向垂直的平面内作匀速转动 。 求 棒两端之间的感应电动势。 棒两端之间的感应电动势。
× × × × × ω × × × × × × × × × × × × × × × × ×dl × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × ×
O l a
解：
× × × × × ω × × ×
L 0
ε = ∫ (v × B) ⋅ dl
= −∫ vBdl
： 其电力线永不闭合。 2）静电场是保守场（无旋场） E ⋅ dl = 0 ，其电力线永不闭合。 静电场是保守场（无旋场）
L
∫
∂B ⋅ dS ≠ 0 ，其 感生电场是非保守场（有旋场） 感生电场是非保守场（有旋场） ∫ E ⋅ dl = −∫ ： L S ∂t
电力线永远闭合。 电力线永远闭合。
3）在静电场中引进导体，导体产生静电感应（静电平衡时，导体 在静电场中引进导体，导体产生静电感应（静电平衡时， 是个等势体） 在感生电场中引进导体， 。在感生电场中引进导体 是个等势体） 在感生电场中引进导体，导体内要产生感应电动 。 势。
1、感生电场的环流
dΦ εi = − dt → εi = E ⋅ dl ∫L
dB dt
E
dΦ ∂B ∫LE ⋅ dl = − dt = −∫S ∂t ⋅ dS
图117
静电场与感生电场
1）静电场由静止电荷产生，而感应电场由变化的磁场激发。 静电场由静止电荷产生，而感应电场由变化的磁场激发。
2
小型三相发电机
风力发电机
39万千瓦燃气轮发电机主轴 39万千瓦燃气轮发电机主轴
如图， 一长直载流导线旁有一长、 例 12-2 如图， 一长直载流导线旁有一长、 宽分别为 l1 和 l2 的矩形线 圈与之平行共面。 （1） 圈与之平行共面。 ）若导线中通有交变电流 I = I0 cosωt ，线圈 （ 保持不动， 其离导线较近的一边到导线的垂直距离为 r， t 时刻线 保持不动， ， 求 圈中感应电动势； （2） 圈中感应电动势； ）若导线中通有稳恒电流 I 0 ，线圈以匀速率 v （ 远离导线， 远离导线，求当线圈离导线较近的一边到导线的垂直距离为 r 时， 线圈中感应电动势。 线圈中感应电动势。
x dx
B
a
l
解：B = µ0I 2π x
dε = (v × B) ⋅ dl = −Bvdx I
ε = −∫
a+l
a
µ0Iv dx 2π x
a
v A
x dx
B
µ0Iv a + l =− ln 2π a
l
VA >VB
由法拉第定律:
dΦ d =− = − ∫S B⋅ dS ℰi dt dt
考虑由磁感强度B 变化引起的感应电动势( 感生电动势)
0 L
× × × × × × × × × × × × × ×dl × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × ×