山东省各省城市集中供热情况-建成区绿地率(%)

二年级上册数学试题周周练习题(第七周)(含答案)沪教版

0, 句每排有（）个有（）排，表示（）个（），
也可以说是（）的（）倍。
0, ＠每列有（）个有（）列，表示（）个（），
也可以说是（）的（）倍。
2.
��
每份有（）个�'有这样的（算式：
）份，共有（
）个 A 。
3· CC
********
＊的个数是« 的（）倍。算式：
(2) 老师为每位学生准备了 2 支铅笔，另有3 支备用，共需要多少支铅笔？
3( )每组需要买2本参考书，每本参考书12元，共需多少元？
3
3. 学校合唱队有 35人，是舞蹈队人数的7倍，舞蹈队有多少人？
4. 笼子里有8只公鸡，母鸡的数量是公鸡的7倍，笼子里公鸡和母鸡一共有多少只？
1年，爷爷的年龄是小明的几倍？ 63---;-7=9(倍） 63+1=64(岁） 7+1=8(岁）
分析：爷爷的年龄除以小明的年龄就是爷爷年龄是小明年龄的几倍，再过 1年，即：爷爷的年龄加1, 小明的年龄也加1, 即： 6478=8倍。
64---;- 8=8(倍）
答：今年爷爷的年龄是小明的 9倍，再过1年，爷爷的年龄是小明的 8倍。
六．拓展与提高。 1. 书法小组有8人，美术小组的人数是书法小组的 5倍少4人，美术小组有几人？
2. 爷爷今年63岁，小明今年7岁，今年爷爷的年龄是小明的几倍？再过 1年，爷爷的年龄是小明的几倍？
3.4筐苹果，每筐9个，要分给6个小组，问每个小组分得几个苹果？
4
沪教版二年级数学上册周周练（第七周）参考答案
沪教版二年级数学上册周周练（第七周）

n阶常系数线性微分方程和n阶欧拉方程的积分因子解法

２０１７年１０月
第３３卷第５期
C O L L E G E MATHEMAT I C S
大㊀学㊀数㊀学
V o l ．３３, ɴ．５ O c t ．２０１７
n 阶常系数线性微分方程和n 阶欧拉方程的积分因子解法
( ) 合肥工业大学数学学院 , 合肥２３０００９摘㊀要 ] 通过引入 n 个积分因子 , 给出了 n 阶常系数线性微分方程㊀㊀ [
目前在高等数学教材中 , 介绍了二阶常系数线性微分方程y ᵡ ＋p ᶄ ＋q x)当 f( x)＝ y y ＝ f( λ x ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) ( ) , 和时的通解对于的其它类型以及阶常系数 e Pm x o s ω x ＋Pn x s i n ω x ． n l xc f x ＝e P fx
用价值．
[ 关键词 ] n 阶常系数线性微分方程 ; n 阶欧拉方程 ;积分因子 ;通解
[ ( ) 中图分类号 ]O 文献标识码 ]C㊀㊀ [ 文章编号 ]１１３; O １７２．２㊀㊀ [ ６７２Ｇ１４５４２０１７０５Ｇ００４４Ｇ０５
１㊀问题的提出
２㊀主要结论
( ) １ ( ) , ( ) , ( ) , ( ) ( ( ) ( ( ) ) ) 如果能存在非零二阶可微函数 f 同乘１式两边后将１转化为 f １ x ２ x ２ x １ x yᶄᶄ f f ( ) ( ) ( ) , ( ) , ( ) ( ) , ( ) 就分别称为的第一积分因子和第二积分因子此时＝f １１的通解为１ xf ２ x Q x １ x f ２ x f １１ ( () () () x ＋C d x ＋C ．１ xf ２ x Q x d １) ２ f x) f x) １( ２( f , , ] 其中关于 f 以及存在时 f x) x)的存在性 , x) x)的求法参见文 [ １．１( ２( １( ２( f f ] 在文 [ 中, 讨论了对于二阶线性微分方程２ ᵡ ＋P１( x) ᶄ ＋P２( x) x), y y y ＝ Q(

集合的基本关系

一
二
三
四
知识点二、子集、真子集、集合相等的概念 1.思考下列写法哪些是正确的? ①0={0};②{0}⊆{0};③0∈{0};④0⫋{0}. 提示:只有②③写法是正确的,一般地,元素与集合之间是属于关系,而反映两个集合间的关系一般用子集、真子集或相等.
一
二
三
四
2.填写下表:
一
二
三
四
3.做一做用适当的符号填空(⫋,=,⊈).
A.1 B.2 C.3 D.4
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析当堂检测
解析:(1)由于四边形包括正方形、菱形、平行四边形,故集合 M,N,Q均为P的子集,再结合正方形、菱形、平行四边形的概念易知Q⊆M⊆N⊆P.
(2)①中根据元素与集合的关系可知0∈{0}正确; ②中由空集是任意非空集合的真子集可知⌀⫋{0}正确; ③中集合{0,1}的元素是数,而集合{(0,1)}的元素是点,因此没有包含关系,故③错误; ④中集合中的元素是点,而点的坐标有顺序性,因此 {(a,b)}≠{(b,a)},故④错误.综上,应选B. 答案:(1)B (2)B
��
= =
0, 1
或
��
=
1 4
,
��
=
1 2
.
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析当堂检测
反思感悟1.判断两个集合相等可以看两个集合中的元素是否相同,有两种方法:(1)将两个集合的元素一一列举出来,进行比较;(2)看集合中的代表元素是否一致且代表元素满足的条件是否一致,若均一致,则两个集合相等.
解:因为{0,a2,a+b}=

高二上学期期中数学试卷(新题型：19题)(提高篇)(原卷版)

2024-2025学年高二上学期期中数学试卷（提高篇）【人教A版（2019）】（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效；3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效；4.测试范围：选择性必修第一册全册；5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

��⃗= 1．（5分）（23-24高二上·广东清远·期中）在四面体OOOOOOOO中，点MM,NN分别为线段OOOO,OOOO的中点，若MMNNxxOOOO��⃗+yyOOOO��⃗+zzOOOO��⃗，则xx+yy+zz的值为（）A．32B．1 C．12D．142．（5分）（23-24高二上·广东广州·期中）已知点OO(2,−3),OO(−5,−2)，若直线ll:mmxx−yy+mm+1=0与线段AB（含端点）有公共点，则实数m的取值范围为（）A．�−43,34�B．�−∞,−43�∪�34,+∞�C．�−34,43�D．�−∞,−34�∪�43,+∞�3．（5分）（23-24高二上·重庆·期中）已知EEEE是棱长为8的正方体的一条体对角线，点MM在正方体表面上��⃗⋅MMEE��⃗的最小值为（）运动，则MMEEA．−48B．−32C．−16D．04．（5分）（23-24高二上·广东珠海·期中）已知抛物线yy2=2ppxx，过其焦点F的直线与该抛物线交于A、B两点，A在第一象限，且OOEE=2EEOO，则直线AB的斜率为（）A．1 B．√2C．2√2D．无法确定5．（5分）（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知F为椭圆C：xx29+yy2=1的右焦点，P为C上一点，Q为圆M：xx2+(yy−4)2=1上一点，则|PPPP|−|PPEE|的最小值为（）A．−2√6B．2√6C．−5+2√6D．−7+2√6 6．（5分）（23-24高二上·山东济宁·期中）已知圆OO的方程为xx2+yy2=9，直线ll:xx+2yy−10=0，点PP是直线ll上的一动点，过PP作圆OO的两条切线，切点分别为OO,OO，当四边形PPOOOOOO的面积最小时，直线OOOO的方程为（）A．2xx+4yy+9=0B．4xx+2yy+9=0C．4xx+2yy−9=0D．2xx+4yy−9=07．（5分）（23-24高二上·湖北·期中）已知双曲线OO：xx2aa2−yy2bb2=1(aa>0,bb>0)的左、右焦点分别为EE1(−cc,0)，EE2(cc,0)，过点EE1的直线ll与双曲线OO的左支交于点OO，与双曲线OO的一条渐近线在第一象限交于点OO，且|EE1EE2|= 2|OOOO|（OO为坐标原点）.下列三个结论正确的是（）①OO的坐标为(aa,bb)；②|OOEE1|−|OOEE2|>2aa；③若OOOO��⃗=3EE1OO��⃗，则双曲线OO的离心率1+√173；A．①②B．②③C．①③D．①②③8．（5分）（23-24高二上·期中）如图，在棱长为2的正方体OOOOOOAA−OO1OO1OO1AA1中，P为线段OO1OO上的动点，则下列结论错误的是（）A．直线OO1PP与OOAA所成的角不可能是ππ6B．当OO1PP=2PPOO时，点AA1到平面OO1OOPP的距离为23C．当OO1PP=2PPOO时，OOPP=2√143D．若OO1PP��⃗=13OO1OO��⃗,则二面角OO−OO1PP−OO1的平面角的正弦值为√36二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

也谈不等式p或不等式q恒成立问题

也谈不等式ｐ或不等式ｑ恒成立问题∗Ә俞杏明㊀㊀(楚水实验学校高中部ꎬ江苏兴化㊀２２５７００)㊀㊀摘㊀要:数形结合是理解并解决不等式ｐ与不等式ｑ恒成立问题的一个很好的途径.文章通过数形结合给出该类问题一般易操作的解法及集合化语言严谨的结论ꎬ并就各种题型检验了操作的可行性㊁结论的正确性.关键词:不等式ｐ与不等式ｑ恒成立ꎻ正错辨析ꎻ数形结合ꎻ一般解法及结论中图分类号:Ｏ１２２.３㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀文章编号:１００３－６４０７(２０１８)０９￣００２９￣０３㊀㊀不等式ｐ或不等式ｑ恒成立问题一直是高中数学学习的难点. 不等式ｐ或不等式ｑ恒成立为什么不等价于不等式ｐ恒成立或不等式ｑ恒成立 ꎻ如何求解不等式ｐ或不等式ｑ恒成立问题中的参数范围?文献[１￣４]中几位教师进行了研究ꎬ笔者收获颇多ꎬ同时有意犹未尽之感.能否把这个问题论述得更清晰些ꎬ同时给出解决这类问题的一般方法?笔者从数形结合角度进行了尝试.１㊀引例呈现例１[１]㊀已知ａ<ｘ＋１或ａ>３ｘ－１对ｘɪ[０ꎬ２]恒成立ꎬ求实数ａ的取值范围.２㊀典型错解错解㊀已知ａ<ｘ＋１或ａ>３ｘ－１对ｘɪ[０ꎬ２]恒成立ꎬ等价于ａ<ｘ＋１对ｘɪ[０ꎬ２]恒成立ꎬ或ａ>３ｘ－１对ｘɪ[０ꎬ２]恒成立ꎬ即ａ<(ｘ＋１)ｍｉｎ或ａ>(３ｘ－１)ｍａｘꎬ从而㊀ａ<１或ａ>５.３㊀图形释疑显然由ａ<ｘ＋１对ｘɪ[０ꎬ２]恒成立或ａ>３ｘ－１对ｘɪ[０ꎬ２]恒成立ꎬ得ａ<ｘ＋１或ａ>３ｘ－１对ｘɪ[０ꎬ２]恒成立ꎬ即由ａ<１或ａ>５ꎬ得ａ<ｘ＋１或ａ>３ｘ－１对ｘɪ[０ꎬ２]恒成立.故以下只需研究ａɪ[１ꎬ５]的情形.作直线ｙ＝ａ与线段ｙ＝ｘ＋１(其中ｘɪ[０ꎬ２])ꎬｙ＝３ｘ－１(其中ｘɪ[０ꎬ２]).知ＢＯ１Ｈæèç＝３６０ʎ－２ˑ１８０ʎ－１２ｎʎæèçöø÷＝ｎʎꎬ又әＢＯ１ＨɸәＣＯ１Ｈꎬ故经过点Ｏ１ꎬＨꎬＣꎬＦ的圆与经过点Ｏ１ꎬＢꎬＨꎬＥ的圆是等圆.关于这个黄圆图 ꎬ肯定还有许多有趣的性质ꎬ有待数学爱好者继续研究(见文献[１￣３]).下图１２面我们再给出黄圆图的一个性质ꎬ限于篇幅ꎬ其证明不再赘述ꎬ留给读者完成.性质６㊀在黄圆图中ꎬＭꎬＮ分别是ＡＭＢ(ꎬＡＮＣ(的中点ꎬ设ＡＭＢ(＝ＡＮＣ(＝ＢＡＣ(＝ｎʎꎬ以Ｏ１为圆心㊁Ｏ１Ｍ为半径作大圆Ｏ１(如图１２)ꎬ证明:１)☉Ｏ２ꎬ☉Ｏ３与大圆Ｏ１分别内切于点ＭꎬＮꎻ２)ＭＨＮæèç的度数为定值.参㊀考㊀文㊀献[１]㊀黄新民. 等弧度三圆共点图的几个有趣性质[Ｊ].中学教研(数学)ꎬ２０１６(８):２７￣２９.[２]㊀黄新民. 等弧度三圆共点图中一个神奇的四点共圆[Ｊ].中学教研(数学)ꎬ２０１７(３):２１￣２３.[３]㊀黄新民ꎬ刘臻.一道数学中考题的变式与探究[Ｊ].中学教研(数学)ꎬ２０１５(１０):４６￣４７.９２２０１８年第９期中学教研(数学)∗收文日期:２０１８￣０４￣２１ꎻ修订日期:２０１８￣０５￣１７作者简介:俞杏明(１９７５－)ꎬ男ꎬ江苏兴化人ꎬ中学高级教师.研究方向:数学教育.㊀㊀１)当１<ａ<２时(如图１)ꎬ若ｘɪ(ｘＡꎬ２]ꎬ则ａ<ｘ＋１ꎻ若ｘɪ[０ꎬｘＢ)ꎬ则ａ>３ｘ－１ꎬ因此当ｘɪ[０ꎬｘＢ)ɣ(ｘＡꎬ２]时ꎬａ<ｘ＋１或ａ>３ｘ－１.又[０ꎬ２]⊆[０ꎬｘＢ)ɣ(ｘＡꎬ２]ꎬ于是ａ<ｘ＋１或ａ>３ｘ－１对ｘɪ[０ꎬ２]恒成立.图１图２图３２)当２<ａ<３时(如图２)ꎬ若ｘɪ(ｘＡꎬ２]ꎬ则ａ<ｘ＋１ꎻ若ｘɪ[０ꎬｘＢ)ꎬ则ａ>３ｘ－１ꎬ因此当ｘɪ[０ꎬｘＢ)ɣ(ｘＡꎬ２]时ꎬａ<ｘ＋１或ａ>３ｘ－１.但当ｘɪ[ｘＢꎬｘＡ]时ꎬａȡｘ＋１且ａɤ３ｘ－１ꎬ又[０ꎬ２]＝[０ꎬｘＢ)ɣ(ｘＡꎬ２]ɣ[ｘＢꎬｘＡ]ꎬ于是ａ<ｘ＋１或ａ>３ｘ－１对ｘɪ[０ꎬ２]不恒成立.３)当３<ａ<５时(如图３)ꎬ若ｘɪ[０ꎬｘＢ)ꎬ则ａ>３ｘ－１ꎬ但当ｘɪ[ｘＢꎬ２]时ꎬａȡｘ＋１且ａɤ３ｘ－１.又[０ꎬ２]＝[０ꎬｘＢ)ɣ[ｘＢꎬ２]ꎬ于是ａ<ｘ＋１或ａ>３ｘ－１对ｘɪ[０ꎬ２]不恒成立.４)当ａ＝１时ꎬ显然可得ａ<ｘ＋１或ａ>３ｘ－１对ｘɪ[０ꎬ２]恒成立(如图１).５)当ａ＝２ꎬ３ꎬ５时ꎬ显然可得ａ<ｘ＋１或ａ>３ｘ－１对ｘɪ[０ꎬ２]不恒成立(如图２㊁图３).因此ꎬ引例的解应为ａ<２或ａ>５.４㊀小结提炼至此ꎬ我们发现:１) 不等式ｐ或不等式ｑ恒成立一般不等价于不等式ｐ恒成立或不等式ｑ恒成立 .２)由于图像的直观易懂ꎬ数形结合应该是首选办法.３)把刚才的解答过程一般化ꎬ可以提炼出解决这类问题的通法:在形如ａ为参数ꎬ不等式ｐ或不等式ｑ对ｘɪＤ恒成立ꎬ求实数ａ的取值范围的一般题型中ꎬ取定某个参数ａꎬ从图像上观察得出不等式ｐ的解集Ｅ㊁不等式ｑ的解集Ｆ.若Ｄ⊆ＥɣＦꎬ则ａ符合题意ꎻ若Ｄ⊈ＥɣＦꎬ则ａ不符合题意.５㊀实战检验由于引例的问题背景为直线ꎬ因此直线型不再举例赘述.为了体现方法的有效性ꎬ以下就曲线型㊁离散型作检验.例２㊀已知函数ｆ(ｘ)＝ｌｎ(２＋３ｘ)－３２ｘ２ꎬ若对任意ｘɪ１６ꎬ１３[]ꎬ不等式｜ａ－ｌｎｘ｜＋ｌｎ[ｆᶄ(ｘ)＋３ｘ]>０恒成立ꎬ求ａ的取值范围.解㊀原式整理得ａ>ｌｎｘ－ｌｎ３２＋３ｘ或ａ<ｌｎｘ＋ｌｎ３２＋３ｘꎬ令ｈ(ｘ)＝ｌｎｘ－ｌｎ３２＋３ｘꎬ其中ｘɪ１６ꎬ１３[]ꎬｇ(ｘ)＝ｌｎｘ＋ｌｎ３２＋３ｘꎬ其中ｘɪ１６ꎬ１３[]ꎬ则ｈᶄ(ｘ)＝２＋６ｘ２ｘ＋３ｘ２>０ꎬ㊀ｇᶄ(ｘ)＝２２ｘ＋３ｘ２>０ꎬ从而ｈ(ｘ)与ｇ(ｘ)在ｘɪ１６ꎬ１３[]上单调递增ꎬ得ｈ(ｘ)ｍｉｎ＝ｈ１６æèçöø÷＝ｌｎ５３６ꎬ㊀ｈ(ｘ)ｍａｘ＝ｈ１３æèçöø÷＝ｌｎ１３ꎬｇ(ｘ)ｍｉｎ＝ｇ１６æèçöø÷＝ｌｎ１５ꎬ㊀ｇ(ｘ)ｍａｘ＝ｇ１３æèçöø÷＝ｌｎ１３.图４如图４ꎬ作直线ｙ＝ａ与曲线段ｈ(ｘ)＝ｌｎｘ－ｌｎ３２＋３ｘꎬ其中ｘɪ１６ꎬ１３[]ꎬｇ(ｘ)＝ｌｎｘ＋ｌｎ３２＋３ｘꎬ其中ｘɪ１６ꎬ１３[].设ａ>ｈ(ｘ)的解集为Ｅꎬａ<ｇ(ｘ)的解集为Ｆꎬ则１)当ａ>ｌｎ１３时ꎬＥ＝１６ꎬ１３[].因为１６ꎬ１３[]⊆ＥɣＦꎬ所以ａ>ｌｎ１３适合.２)当ａ<ｌｎ１５时ꎬＦ＝１６ꎬ１３[].因为１６ꎬ１３[]⊆ＥɣＦꎬ所以ａ<ｌｎ１５适合.３)当ｌｎ１５<ａ<ｌｎ１３时ꎬａ>ｈ(ｘ)的解集为Ｅ＝１６ꎬｘＡ[öø÷ꎬａ<ｇ(ｘ)的解集为Ｆ＝ｘＢꎬ１３æèç]ꎬ因为０３中学教研(数学)２０１８年第９期１６ꎬ１３[]⊆ＥɣＦꎬ所以ｌｎ１５<ａ<ｌｎ１３适合.４)当ａ＝ｌｎ１５时ꎬａ>ｈ(ｘ)的解集为Ｅ＝１６ꎬｘＡ[öø÷ꎬａ<ｇ(ｘ)的解集为Ｆ＝１６ꎬ１３æèç]ꎬ因为１６ꎬ１３[]⊆ＥɣＦꎬ所以ａ＝ｌｎ１５适合.５)当ａ＝ｌｎ１３时ꎬａ>ｈ(ｘ)的解集为Ｅ＝１６ꎬ１３[öø÷ꎬａ<ｇ(ｘ)的解集为Ｆ＝ϕꎬ因为１６ꎬ１３[]⊈ＥɣＦꎬ所以ａ＝ｌｎ１３不适合.综上所述:ａʂｌｎ１３.例３㊀已知０<ｃɤ３ꎬ若对任意正整数ｋ都有ｃ－４－６２ｋæèçöø÷ｃ－４－４２ｋæèçöø÷>０成立ꎬ求ｃ的取值范围.图５图６解㊀因为４－６２ｋ<４－４２ｋꎬ所以ｃ<４－６４ｋ或ｃ>４－４２ｋ对一切正整数ｋ都成立.如图５ꎬ作直线ｙ＝ｃ与ｙ＝４－６２ｋꎬ其中ｋɪＮ∗(图示为方点)ꎬｙ＝４－４２ｋꎬ其中ｋɪＮ∗(图示为圆点)的图像.设ｃ<４－６２ｋ的解集为Ｅꎬｃ>４－４２ｋ的解集为Ｆꎬ则１)当０<ｃ<１时ꎬｃ<４－６２ｋ的解集为Ｅ＝Ｎ∗ꎬｃ>４－４２ｋ的解集为Ｆ＝ϕꎬ因为Ｎ∗⊆ＥɣＦꎬ所以０<ｃ<１适合.２)当１ɤｃɤ２时ꎬｃ<４－６２ｋ的解集为Ｅ＝{ｘ｜ｘȡ２ꎬ且ｘɪＮ∗}ꎬｃ>４－４２ｋ的解集为Ｆ＝ϕꎬ因为Ｎ∗⊈ＥɣＦꎬ所以１ɤｃɤ２不适合.３)当２<ｃ<５２时(如图６)ꎬｃ<４－６２ｋ的解集为Ｅ＝{ｘ｜ｘȡ２ꎬ且ｘɪＮ∗}ꎬｃ>４－４２ｋ的解集为Ｆ＝{１}ꎬ因为Ｎ∗⊆ＥɣＦꎬ所以２<ｃ<５２适合.４)当５２ɤｃɤ３时ꎬｃ<４－６２ｋ的解集为Ｅ＝{ｘ｜ｘȡ３ꎬ且ｘɪＮ∗}ꎬｃ>４－４２ｋ的解集为Ｆ＝{１}ꎬ因为Ｎ∗⊈ＥɣＦꎬ所以５２ɤｃɤ３不适合.综上所述:０<ｃ<１或２<ｃ<５２.６㊀一点说明文中几个例题均通过分离变量转化为简单的函数图像与直线的位置关系进行处理.笔者查阅了相关资料ꎬ刊载的不等式ｐ或不等式ｑ恒成立问题都可以这样处理.对于不能分离变量的该类问题ꎬ公开刊物上目前还没有出现.笔者自编了几个这样的例题ꎬ发现要么很简单ꎬ要么太难ꎬ但处理策略均可归结为通法ꎬ即从图像上得出ＥꎬＦꎬ然后判断Ｄ与ＥɣＦ的关系.限于篇幅ꎬ不作一一演练.参㊀考㊀文㊀献[１]㊀蔡德华.含参数的不等式｜ａ－ｆ(ｘ)｜>ｇ(ｘ)恒成立问题的一个常见错误解法[Ｊ].中学数学教学参考:上旬ꎬ２００８(８):２１.[２]㊀游爱玲.再谈含参数的不等式｜ａ－ｆ(ｘ)｜>ｇ(ｘ)恒成立的问题[Ｊ].数学教学通讯ꎬ２０１４(９):５９￣６１.[３]㊀曹军.探究ｐ或ｑ恒成立题中极易出错的两类情形[Ｊ].中学数学研究ꎬ２００９(５):２１￣２２.[４]㊀黄桂君.不要被恒成立问题中的或迷惑[Ｊ].中学数学教学参考:上旬ꎬ２００９(６):３５￣３６.１３２０１８年第９期中学教研(数学)。

加权平均指数

加权平均指数如何反映复杂现象总体的数量变动?如何编制总指数?综合指数通过综合的方法平均指数通过平均的方法总指数的计算方法2：加权平均指数加权平均指数（weighted average index)从个体指数出发，对个体指数进行加权平均得到的总指数。

A加权算术平均指数B加权调和平均指数C固定加权算术平均指数1.计算每一个项目的个体指数1100或p q p q i i p q==选定权数，计算个体指数的加权算术平均数或加权调和平均数。

xf x f∑=∑m H m x∑=∑11011000q p q p q p q p 不常用用于加权算术平均数中用于加权调和平均数中权数1.计算个体指数1100,。

p q p q i i p q ==2.搜集权数p 0q 0 的资料3.按加权算术平均数的形式求得总指数()xf x f∑=∑0000p p i p q I p q ∑=∑100000p p q p p q ∑=∑1000p q p q ∑=∑p L=0000q q i p q I p q ∑=∑100000q p q q p q ∑=∑1000q p q p ∑=∑q L =当算术平均数指数采用特定权数p 0q 0时，与拉氏综合指数相等。

例开心超市的销售资料计算销售量总指数100140110170254.11359360121902001973.12261114.59%1973.1qq q p q I q p=⨯+⨯+⨯===∑∑销售量总体增长了14.59%。

因销售量的变动而使销售额增长2261-1973.1 = 287.9元。

1.计算个体指数1100,p q p q i i p q==2.搜集权数p 1q 1 的资料3.按加权调和平均数的形式求得总指数()m H m x∑=∑1111p p p q I p q i ∑=∑110111p q p p q p ∑=⋅∑1101p q p q ∑=∑p P =1111q qp q I p q i ∑=∑110111p q q p q q ∑=⋅∑1101q p q p ∑=∑q P =当调和平均数指数采用特定权数p 1q 1时，与帕氏综合指数相等。

分子动力学方法

第一节引言
• 分子动力学方法（Molecular Dynamics，简称MD） � Alder和Wainght在1957年至1959年间应用于理想“硬球” 液体模型，很多简单液体中分子之间的相互作用的重要性质在两人的研究中被发现；
� Rahman于1964年应用一种更接近的液体模型模拟了液氦；
1 2
i
miq̇i2 −
i
Ui
• 得到第i个粒子的牛顿运动方程（α指每个粒子的自由度）
mi q̇̇iα
= − ∂Ui ∂qiα
= −∇Ui
哈密顿(Hamilton)方程
• 哈密顿(Hamilton)原理: � 保守的、完整的力学系统在相同时间内，由某一初位形转移到另一已知位形的一切可能运动中，真实运动的作用函数具有极值，即作用函数的变分等于零。
欧拉(Euler)预测—矫正公式
• 具体操作看下面的欧拉(Euler)预测——矫正公式：预测值
矫正值
Gear预测—矫正方法
• Gear发展出预测－矫正方法(Predict-corrector)。经证明，这是一种精度很高的完全适用于分子动力学的算法，被广泛应用。
• 为方便，使用矢量记法。将下一步预测值的每一项进行 Taylor展开
� 然后用计算机计算粒子集合的相轨迹，从而确定系统的静态和动态性质。
计算机模拟分类
• 对于一个多粒子体系的实验观测物理量的数值可以由总的平均得到。
• 但是由于实验体系又非常大，不可能计算求得所有涉及到的态的物理量数值的总平均。
• 按照产生位形变化的方法，有两类方法对有限的一系列态的物理量做统计平均。
• 这种方法可以处理与时间有关的过程，因而可以处理非平衡态问题。