7.4 切割平面法
割平面法——精选推荐
3 割平面法割平面法是通过生成一系列的平面割掉非整数部分来得到最优整数解的方法。
目前，割平面法有分数割平面法，原始割平面法，对偶整数割平面法，混合割平面法等。
我们介绍Gomory割平面法（纯整数规划割平面法）用例子说明割平面法基本思想。
例5-8求下列问题：Max Z=2x 1+ 3x 2s.t.2x 1+4x 2 ≤25x 1≤82x 2 ≤10x 1,x 2 ≥0,且取整数值化成标准问题Max Z=2x 1+ 3x 2s.t.2x 1+4x 2 + x 3 =25x 1+ x 4=82x 2 + x 5 =10x j 0,且取整数值松驰问题(P)Max Z=2x 1+ 3x 2s.t.2x 1+4x 2 + x 3 =25x 1+ x 4=82x 2 + x 5 =10x j 0松驰问题(P)用单纯形法求解得到最优解：B（8，9/4）Z=22（3/4）但不是原问题（IP）的解，（IP）可行域是OABDE内的全部方格点组成。
BD E O 1 2 3 4 5 6 7 A 8 9 10 11 1210987654321X 1X 2引进割平面法l 1: x 1+ x 2=10割去非整数部分FBG l 2: x 1+2x 2=12 割去非整数部分HDGFGB F D E l 1O 1 2 3 4 5 6 7 A 8 9 10 11 1210987654321X 12l 2G B F H D E O 1 2 3 4 5 6 7 A 8 9 10 11 1210987654321X 12GH E O 1 2 3 4 5 6 7 A 8 9 10 11 1210987654321X 12形成新的凸可行域OAGHE （整点凸包），它的极点G （方格点）是原规划（IP ）的最优解（8，2）Z=22。
约束条件：l 1: x 1+ x 2≤10l 2: x 1+2x 2≤12称为割平面。
问题是如何寻找割平面？松驰问题(P)Max Z=2x 1+ 3x 2s.t.2x 1+4x 2 + x 3 =25x 1+ x 4=82x 2 + x 5 =10x j 0初始单纯形表C 2 3 0 0 0bΘC B X B X1X2X3X4X50 X3 2 4 1 0 0 250 X4 1 00 1 0 80 X50 20 0 1 10σC2 3 0C B X B X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 bΘ2 X 1 1 0 0 1 0 8 0 X 5 0 0 -1/2 1 1 11/2 3X 2 0 1 1/4 -1/20 9/4 σ0 -3/4 -1/20 91/4最终单纯形表:最优解（8,9/4,0,0,11/2）Z =91/4C2 3 0C B X B X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 bΘ2 X 1 1 0 0 1 0 8 0 X 5 0 0 -1/2 1 1 11/2 3X 2 0 1 1/4 -1/20 9/4 σ0 -3/4 -1/20 91/4X 2相应的方程：x 2+(1/4)x 3 –(1/2) x 4 =9/4x 2+(1/4)x 3 –(1/2) x 4 =9/4把所有系数分解成整数和非负真分数之和。
割平面法的原理
割平面法的原理嘿，朋友们！今天咱来唠唠割平面法的原理。
你说这割平面法啊，就像是一个神奇的魔法棒！它能把那些看似复杂得让人头疼的问题一点点给捋顺咯。
咱可以把要解决的问题想象成一团乱麻，而割平面法呢，就是那把能把乱麻割断、整理清楚的剪刀。
它通过巧妙地构造一些额外的约束条件，就好像是给乱麻划上一道道清晰的界限，让我们能更清楚地看到问题的本质。
比如说吧，我们在面对一个整数规划问题的时候，那些整数的要求就像是一道道坎儿，让我们不容易跨过去。
但割平面法可不怕，它勇敢地冲上去，把这些坎儿都给标记出来，然后一点点地把问题给拆解开来。
你想想看，这多厉害呀！就好像我们在走迷宫，突然有了一盏明灯照亮了正确的道路。
割平面法就是这盏明灯，指引着我们找到最优解。
它不是那种生硬的方法，而是充满了智慧和灵活性。
它能根据不同的问题，巧妙地构造出合适的割平面，就像是一个经验丰富的老工匠，总能找到最合适的工具来解决问题。
而且哦，割平面法还特别有耐心。
它不会一下子就把问题解决了，而是一步一步地，慢慢地，就像绣花一样，精细地处理每一个细节。
有时候我们可能会觉得进展好慢呀，但别着急，等它最后把答案呈现在我们面前的时候，你就会惊叹，哇，原来这么神奇！咱再打个比方，割平面法就像是一个厨艺高超的大厨。
面对一堆杂乱无章的食材，它能巧妙地搭配、切割、烹饪，最后做出一道美味可口的佳肴。
这过程可能有点复杂，有点漫长，但最后出来的成果绝对让你惊艳。
总之呢，割平面法就是这么一个神奇又实用的东西。
它能帮我们解决那些看似不可能解决的问题，让我们在数学的海洋里畅游无阻。
所以啊，大家可别小瞧了它哟！以后遇到难题的时候，不妨想想割平面法，说不定它就能帮你打开思路，找到那把解开难题的钥匙呢！原创不易，请尊重原创，谢谢!。
分支定界法和割平面法
分支定界法和割平面法分支定界法和割平面法在上学期课程中学习的线性规划问题中，有些最优解可能是分数或消失，但现实中某些具体的问题，常要求最优解必须是整数，这样就有了对于整数规划的研究。
整数规划有以下几种分类：（1）如果整数规划中所有的变量都限制为（非负）整数，就称为纯整数规划或全整数规划；（2）如果仅一部分变量限制为整数，则称为混合整数规划；（3）整数规划还有一种特殊情形是0-1规划，他的变量取值仅限于0或1。
本文就适用于纯整数线性规划和混合整数线性规划求解的分支定界法和割平面法，做相应的介绍。
一、分支定界法在求解整数规划是，如果可行域是有界的，首先容易想到的方法就是穷举变量的所有可行的整数组合，然后比较它们的目标函数值以定出最优解。
对于小型问题，变量数量很少，可行的整数组合数也是很小时，这个方法是可行的，也是有效的。
而对于大型的问题，可行的整数组合数很大时，这种方法就不可取了。
所以我们的方法一般是仅检查可行的整数组合的一部分，就能定出最有的整数解。
分支定界法就是其中一个。
分枝定界法可用于解纯整数或混合的整数规划问题。
在二十世纪六十年代初由Land Doig和Dakin等人提出。
由于这方法灵活且便于用计算机求解，所以现在它已是解整数规划的重要方法。
目前已成功地应用于求解生产进度问题、旅行推销员问题、工厂选址问题、背包问题及分配问题等。
设有最大化的整数规划问题A，与它相应的线性规划为问题B，从解问题B开始，若其最优解不符合A的整数条件，那么B的最优目标函数必是A的最优目标函数z*的上界，记作z；而A的任意可行解的目标函数值将是z*的一个下界z。
分枝定界法就是将B的可行域分成子区域再求其最大值的方法。
逐步减小z和增大z，最终求到z*。
现用下例来说明：例1 求解下述整数规划 Maxz?40x1?90x2?9x1?7x2?56? ?7x1?20x2?70?x,x?0且为整数?12解（1）先不考虑整数限制，即解相应的线性规划B，得最优解为：x1?4.81,x2?1.82,z?356可见它不符合整数条件。
割平面法
§3割平面法割平面法也是求解整数规划问题常用方法之一。
3.1基本思路用割平面法求解整数规划的基本思路是：先不考虑整数约束条件，求松弛问题的最优解，如果获得整数最优解，即为所求，运算停止。
如果所得到最优解不满足整数约束条件，则在此非整数解的基础上增加新的约束条件重新求解。
这个新增加的约束条件的作用就是去切割相应松弛问题的可行域，即割去松弛问题的部分非整数解(包括原已得到的非整数最优解)。
而把所有的整数解都保留下来，故称新增加的约束条件为割平面。
当经过多次切割后，就会使被切割后保留下来的可行域上有一个坐标均为整数的顶点，它恰好就是所求问题的整数最优解。
即切割后所对应的松弛问题，与原整数规划问题具有相同的最优解。
下面以全整数规划问题的割平面法为例，介绍割平面的求解过程。
3.2求解步骤与举例割平面法的具体求解步骤如下：1.对于所求的整数规划问题(4.2)，先不考虑整数约束条件，求解相应的松弛问题（4.6）2.如果该问题无可行解或已取得整数最优解，则运算停止；前者表示原问题也无可行解，后者表示已求得整数最优解。
如果有一个或更多个变量取值不满足整数条件，则选择某个变量建立割平面。
3.增加为割平面的新约束条件，用前面介绍的灵敏分析的方法继续求解，返回1。
下面介绍割平面的建立方法及其求解过程。
例1 求解下列整数规划问题（4.7）解引入松弛变量，写成标准形式：(4.8)对上述模型不考虑整数条件，用单纯形法求解相应松弛问题的最终单纯形表为（表4-2）表4-215/38/3-13/3显然，为非整数解。
为求得整数解，我们想办法在原约束条件的基础下引入一个新的约束条件，以保证一个或几个变量取值为整数。
为此，在表4-2中任选一个取值非整数的变量，如，写出用基变量表示基变量的表达式：(4.9)将上式的所有变量的系数及右端常数均改写成一个整数与一个非负真分数之和的形式。
据此，(4.9)式可以改写成若将带有整数系数的变量整数项留在方程的左边，其余移到方程的右边，则有， (4.10) 由于要求变量取值为正整数，方程(4.10)的左边必为整数。
割平面法
31/7=4+3/7 于是，（1）式变为
4 1 3 x4 ( 1 ) x3 (3 ) x5 4 7 7 7
⑵
将所有整数项放在等式的左边，非整数值项放 在右边，得
3 4 1 x4 x3 3x5 4 x3 x5 7 7 7
⑶
⑶式左边是一个整数值，右边是一个小于１的 数。由于是等式，所以，右边应该是一个小于 或等于０的整数值，即
二、构造割平面约束的方法
在松弛问题的最优表中，设 b的分量bko不是 整数，将其分成整数与非负分数之和，即
bko Nko fko, 其中N ko为不超过bko的最大整数， fko为非负真分数; bko 所在行中的每一个非基 变量xj的系数分成整数与非负分数两部分：
ako , j Nko , j fko , j
１、求出松弛问题的最优解，若全部变量为整数解， 停止计算；否则转２。
２、构造割平面方程 •构造方法 割平面约束具备两个性质： ⑴ 已获得的非整数最优解不满足该线性约束， 从而保证在以后的解中不可能再出现。
⑵ 所有的整数解皆满足该线性约束，从而保 证整数规划问题的最优解始终都保留在每次所 形成的、新的线性规划问题的可行域中。 我们通过下面的例子来说明构造这种线性约束 的思路。
第二节 解纯整数规划的割平面法
一、 割平面方法的基本思想和步骤
二、构造割平面约束的方法
三、示例
一、 割平面方法的基本思想和步骤
•基本思想： 在IP问题的松弛问题中依次引进线性约束（称 Gomory约束或割平面），使问题的可行域逐步缩 小，所割去的区域仅包含问题的部分非整数解；当 规划问题的最优解恰好位于缩小的可行域的一个顶 点时，算法结束。 •求解步骤
割平面法-经典
割平面法的基础仍然是用解LP的方法去解整数规划问题. 其基本的步骤是: (1) 把约束条件中所有的系数整数化; (2) 不考虑决策变量的整数约束条件, 增加线性约束条件 (cutting plane), 使得原可行域中切割掉一部分,这部分只 包含非整数部分,但没有切割掉任何整数可行解;
1 3 x3 x4 0 4 4 4 3 即 3x 3 x 4 3
上式就是所要求的一个切割方程(割平面).
引入松驰变量x5, 从而可得到一等式约束条件,将所得等
式约束加入到原标准化的松驰问题之中, 得到如下新的 松驰问题.
max s .t . z x1 x 2 x1 x 2 x 3 3x 1 x 2 x4 1 4
k k
(3) 由变量(包括松驰变量)的非负整数条件, 从而可得
f i - f ik x k 0
k
上式即为所要求的切割方程 割平面法是Gomory在1958年提出的, 当时引起了人们广 泛注意, 但至今完全用它解决实际问题仍是少数, 因为其 收敛性很慢. 但若下其它方法(如分枝定界法)配合使用,
3x 3 x 4 x 5 3 x1 , x 2 , x 3 , x4 , x5 0
将所得等式约束加入到原标准化的松驰问题的最优单纯
形表之中,得 cj 1 1 0 0 0
CB
1
XB
b
x1
1
x2
0
x3
-1/4
x4 x5
1/4 0
x1 3/4
1
0
x2 7/4
x5 -3
0
0 0
1
0 0
(3) 求解上面的LP问题,若所得的最优解为整数, 则该解也
割平面法-运筹学整数规划
第二节 分枝定界法(Branch and Bound method)
引言：穷举法对小规模的问题可以。大规模问题则不行。
一、基本思想和算法依据
基本思想是：先求出相应的线性规划最优解，若此解不 符合整数条件，则其目标函数的值就是整数规划问题最优值 的上界，而任意满足整数条件的可行解的目标函数值将是其 下界（定界），然后将相应的线性规划问题进行分枝，分别 求解后续的分枝问题。如果后续分枝问题的最优值小于上述 下界, 则剪掉此枝; 如果后续某一分枝问题的最优解满足整数 条件，且其最优值大于上述下界，则用其取代上述下界，继
s .t
2 x1 x1 , x 2
x2 0
6
x1 , x 2取整数
19
解: 1 求解相应的线性规划得
cj
4
CB
XB
b
x1
0
x3
20
4
0
x4
6
2
检验数
0
4
0
x3
8
0
4
x4
3
1
检验数
-12
0
3
x2
8 /3
0
4
x1
5 /3
1
检验数
-4 4 /3
0
3
0
0
x2
x3
x4
5
1
0
1
0
1
3
0
0
3
1
-2
1 /2
-3x3 - x4 -3 引 得入松弛变量x5，将其加入到原规划的约束条件中，利用上述最终1表5
cj
1
CB
XB
b
x1
0
x3
1
运筹学__割平面法
x1
1 0 0 0 x1 1 0 0 0
x2
0 1 0 0 x2 0 1 0 0
x3
1/6 1/4 -1/4 -1/4 x3 0 0 1 0
x4
-1/6 1/4 -1/4 -1/4 x4 -1/3 0 1 0
s1
0 0 1 0 s1 2/3 1 -4 -1
CB
0 1 0
XB
x1 x2 x3
b
2/3 1 2
1 1 1 ( x 3 x4 ) 0 2 4 4
1 1 1 x3 x4 s1 4 4 2
Cj CB 0 1 0 σj XB x1 x2 s1 b 1 3/2 -1/2 -3/2 0 x1 1 0 0 0 1 x2 0 1 0 0 0 x3 1/6 1/4 -1/4 -1/4 0 x4 -1/6 1/4 -1/4 -1/4 0 s1 0 0 1 0
CB
0 1 0
XB
x1 x2 x3
b
2/3 1 2
x1
1 0 0
x2
0 1 0
x3
0 0 1
x4
-1/3 0 1
s1
2/3 1 -4
σj
-1
0
0
0
0
-1
CB 0
XB x1
b 2/3
x1 1
x2 0
x3 0
x4 -1/3
s1 2/3
1
0
x2
x3
1
2
0
0
1
0
0
1
0
1
1
-4
σj -1 0 0 0 0 -1 此时，X1 ＝(2/3, 1), Z=1,仍不是整数解。继续以x1为源行生成割 2 2 2 平面，其条件为：
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x2
x2
O （a）
x1
O
x1
（b）
7
OR:SM
五、割平面法求解举例
例：某厂拟购进甲、乙两类机床生产新产品。已知甲、乙机床进价分别为 2万元和3万元；安装占地面积分别为4m2和2m2；投产后的收益分别为3百元 /日和2百元/日。厂方仅有资金14万元，安装面积18m2。为使收益最大，厂 方应购进甲、乙机床各多少台？
将（5）式标准化:
1 2
x5
x6
1 2
加到前面单纯形表最终表中，有：
XB
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x2
0
1
0
-1
1
0
x1
1
0
0
1
-1/2
0
x3
0
0
1
1
-2
0
x6
0
0
0
0
-1/2
1
Z
0
0
0
-1
-1/2
0
用对偶
x2
0
1
0
-1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
2
单纯形
x1
1
0
0
1
0
-1
法求解， 得：
x3 x5
0 0
0 0
1 0
1 0
0 1
（5）式用决策变量表达的割平面方程为 6x1 5x2 29 6
x2
图示切 割过程
15
6x1+5x2=31
6
4x1+2x2=18
5
4
(3.25,2.5)
3
(3.5,2)
2 1
(4,1) 2x1+3x2=14
0
6x1+5x2=2x91
1 2 34 5 6 7 8 9
OR:SM
五、割平面法求解举例
20
OR:SM
一、选择题（续）
2、当你应用切割平面法，（ ）。
A）在处理每一块切割平面时，也要应用标准 线性规划方法
B）因为可以切去部分无用可行集，利用整数 规划方法可以得到比利用标准线性规划方法更 好的答案
C）因为削去了一些约束条件，实际上减少了 问题的约束条件。
D）因为加了约束，原最优解还起作用。
运筹学--管理科学方法
李军
桂林电子科技大学商学院
第四节 切割平面法
算法和流程
1、切割平面法原理 2、切割平面法算法
3、切割平面法计算 步骤
切割方程
1、切割方程构造 2、计算实例1 3、计算实例2
注意事项
1、切割平面法的优点 和不足 2、切割平面法使用注 意事项
2
OR:SM
一、割平面法的创立
割平面法是1958年由美国学者 R.E.Gomory提出来的，它是为克服分枝
xi N ik xk N bi fbi fik xk 0
k
k
（3）得割平面方程 fbi fik xk 0
k
6
OR:SM
四、割平面法的切割原理
由以上三式可知：
（1）切割方程真正进行了切割，至少把非整数最优解这一点割掉了。 （2）没有割掉整数解，这是因为相应的线性规划的任意整数可行解都满 足切割方程的缘故。
五、割平面法求解举例
对线性松弛问题，借用单纯形法，经迭代得最终表
XB
x1
x2
x3
x4
b
x2
0
1
1/2 -1/4 5/2
x1
1
0 -1/4 3/8 13/4
Z
0
0 - 1/4 -5/8 59/4
x1,x2均为 非整数
最优解： x1=13/4，x2=5/2， Z=59/4
任选一个构造 割平面方程
9
OR:SM
x3 x4
14 18
2 x1 4 x1
3x2 2x2
x2
6x1+5x2=31
6x1 5x2 31 （4） 6
4x1+2x2=18
5
（4）式是用决策 4
变量表达的割平 3
面方程。
2
(3.25,2.5) (3.5,2)
1
图示切 割过程
2x1+3x2=14
0
x1
1 2 34 5 6 7 8 9
12
OR:SM
五、割平面法求解举例
（3）对原数模引入割平面约束，将（3）式标准化：
1 2
x3
1 2
x4
x5
1 2
加到前面单纯形表中
XB
x1
x2
x3
x4
x5
b
对
x2
0
1
1/2 -1/2 0
5/2
偶
x1
1
0
-1/4 3/4
0
13/4
单 纯
x5
0
0
-1/2 -1/2
1
-1/2
形
Z
0
0
- 1/4 -5/4
（1）从单纯形最终表中抄下决策变量非整数解方程，
设为： xi aik xk bi
k
（1）
其 中bi是 基变量 的非整数解。
（2）将aik和bi分解为整数N和正的真分数f 两部分之和
aik Nik fik , bi Nni fbi
2
将（2）代入(1)中,然后将整数置于方程左边，分 数置于方程右变，即
五、割平面法求解举例
（2）寻找割平面方程（上表中非整数解）
x2
1 2
x3
1 2
x4
5 2
1
将（1）式所有系数和常数分解为整数和正的真分数之和
1
0x2
0
1 2
x3
1
1 2
x 4
2
1 2
1
（1 ）′式中整数系数项归于方程左边，真分数项归于
右边，有：
x2
x4
2
1 2
1 2
x3
1 2
返回目录
17
OR:SM
E-mail：lijun@
18
OR:SM
课堂练习
你明白了一点吗？
19
一、选择题
1、切割平面法（ ）。
A）也称为Gomory方法 B）有时称为戈尔斯基方法 C）只在0-1整数规划问题中应用 D）即使线性规划算法提供了初始整数解，我们也
要采用这一方法
OR:SM
一、选择题（续）
3、下列说法正确的是（ ）。
A）用分枝定界得到松弛问题的多个可行解，可任 取一个为整数规划问题目标函数值的上界。
B）整数规划问题的目标函数值优于其相应的松弛 问题解的目标函数值
C）割平面有可能割去非最优解的整数解 D）割平面方程是决策变量取整数的一个必要条件
22
OR:SM
0
59/4
法
13
OR:SM
五、割平面法求解举例
x2
0
1
0
-1
1
2非
x1
1
0
0
1
-1/2 7/2 整
x3
0
0
1
1
-2
1数
Z
0
0
0
-1 -1/2 58/4
转入第二步，求割平面方程。
x1
x4
1 2
x5
7 2
整理
x1
x4
x5
3
1 2
1 2
x5
0
即
1 2
1 2
x5
0
即-
1 2
x5
-
1 2
5
14
OR:SM
五、割平面法求解举例
-4 -2
返回目录
Z
0
0
0
-1
0
-1
16
b 2 7/2 1 -1/2 58/4
1 4 3 1 14
OR:SM
六、割平面法的优点和不足
优点： ①适于中小型整
数规划问题，也可 解混合整数规划问 题。
②学术性较强
切割平面法
不足： ①收敛较慢，舍入
误差大； ②割平面法取法不
唯一； ③不便于计算机求
解
割平面法在学术界影响较大
x4
2
10
OR:SM
五、割平面法求解举例
x2
1 2
x3
1 2
x4
5 2
1
正真分数
x2
x4
2
1 2
1 2
x3
1 2
x4
2
整数
因此有
1 2
（1 2
x3
1 2
x4）
0
正数
小于0的 整数
即有
1 2
x3
1 2
x4
1 2
3
（3）式即为为割平面方程。
11
OR:SM
五、割平面法求解举例
从标准规范形中得 代入(3)式中得：
界法的不足提出来的，基本思想是通过添加切割方程使整数解由内点变 为顶点。
3
OR:SM
算 法 步 骤
4
二、割平面法的算法
求松弛问题的 最优基可行解
判断是否
是
为整数解
否
在单纯性表中加入一列 利用对偶单纯性算法
求最优解
得到最优解
停止
如何构 造割平 面程？
OR:SM
二、割平面法计算步骤
step1
对整数规划问题 ，去掉整数约束 ，用单纯形法求 解。若最优解是 整数，停止计算 ，否则转第（2 ）步。