相似三角形基础练习(一)
相似三角形的性质及应用练习题1
相似三角形的性质及应用练习卷一、填空题1.已知两个相似三角形的相似比为3, 则它们的周长比为；2.若△ABC∽△A′B′C′, 且, △ABC的周长为12cm, 则△A′B′C′的周长为；3、如图1, 在△ABC中, 中线BE、CD相交于点G, 则= ；S△GED: S△GBC= ；4.如图2, 在△ABC中, ∠B=∠AED, AB=5, AD=3, CE=6, 则AE= ；5.如图3, △ABC中, M是AB的中点, N在BC上, BC=2AB, ∠BMN=∠C, 则△∽△ ,相似比为 , = ；6、如图4, 在梯形ABCD中, AD∥BC, S△ADE: S△BCE=4: 9, 则S△ABD: S△ABC= ；7、如图5, 在△ABC中, BC=12cm, 点D、F是AB的三等分点, 点E、G是AC的三等分点, 则DE+FG+BC= ；8、两个相似三角形的周长分别为5cm和16cm, 则它们的对应角的平分线的比为；9、两个三角形的面积之比为2: 3, 则它们对应角平分线的比为 , 对应边的高的比为；对应边的中线的比周长的比10、已知有两个三角形相似, 一个边长分别为2、3、4, 另一个三角形最长边长为12, 则x、y的值为；二、选择题11.下列多边形一定相似的为（）A.两个矩形B.两个菱形C.两个正方形D.两个平行四边形12、在△ABC中, BC=15cm, CA=45cm, AB=63cm, 另一个和它相似的三角形的最短边是5cm, 则最长边是（）A.18cmB.21cmC.24cmD.19.5cm13、如图, 在△ABC中, 高BD.CE交于点O, 下列结论错误的是（）A.CO·CE=CD·CA B、OE·OC=OD·OBC.AD·AC=AE·AB D、CO·DO=BO·EO14.已知, 在△ABC 中, ∠ACB=900, CD ⊥AB 于D, 若BC=5, CD=3, 则AD 的长为（ ）A.2.25B.2.5C.2.75D.315.如图, 正方形ABCD 的边BC 在等腰直角三角形PQR 的底边QR 上,其余两个顶点A.D 在PQ 、PR 上, 则PA ：PQ 等于（ ）A.1:B.1: 2C.1: 3D.2: 316.如图, D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的点, = =3,且∠AED=∠B, 则△AED 与△ABC 的面积比是（ ）A 、1: 2B 、1: 3C 、1: 4D 、4: 9三、解答题17、如图, 已知在△ABC 中, CD=CE, ∠A=∠ECB, 试说明CD2=AD ·BE 。
初三数学相似三角形典例及练习(含答案)
初三数学相似三角形（一）相似三角形是初中几何的一个重点，同时也是一个难点，本节复习的目标是：1。
理解线段的比、成比例线段的概念，会根据比例线段的有关概念和性质求线段的长或两线段的比，了解黄金分割.2. 会用平行线分线段成比例定理进行有关的计算、证明，会分线段成已知比。
3. 能熟练应用相似三角形的判定和性质解答有关的计算与证明题。
4. 能熟练运用相似三角形的有关概念解决实际问题本节的重点内容是相似三角形的判定定理和性质定理以及平行线分线段成比例定理。
本节的难点内容是利用判定定理证明两个三角形相似以及相似三角形性质的应用。
相似三角形是平面几何的主要内容之一,在中考试题中时常与四边形、圆的知识相结合构成高分值的综合题,题型常以填空、选择、简答或综合出现，分值一般在10%左右，有时也单独成题,形成创新与探索型试题；有利于培养学生的综合素质。
（二）重要知识点介绍： 1。
比例线段的有关概念： 在比例式：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a b cda b c d a d b c a c ==() b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，那么b 叫做a 、d 的比例中项。
把线段AB 分成两条线段AC 和BC,使AC 2=AB ·BC ，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。
2. 比例性质: ①基本性质：a b cdad bc =⇔= ②合比性质：±±a b c d a b b c d d=⇒= ③等比性质：……≠……a b c d m n b d n a c m b d n a b===+++⇒++++++=()03。
平行线分线段成比例定理：①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3。
则，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EFDF===②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线）所得的对应线段成比例。
相似三角形性质的练习题
相似三角形性质的练习题相似三角形的性质是指两个三角形的对应角度相等，对应边长成比例。
本题考查的是对相似三角形的判断，需要根据勾股定理求出各个三角形的边长，然后比较是否成比例，最终得出相似的三角形是①和③。
2．如图，D、E分别是AB、AC上两点，CD与BE相交于点O，下列条件中不能使△ABE和△ACD相似的是（）A．∠B=∠C B．∠ADC=∠AEB C．BE=CD，AB=AC D．AD：AC=AE：AB解答】解：根据相似三角形的性质，如果两个三角形相似，则对应角度相等，对应边长成比例。
因此，我们只需要判断哪个条件不满足这个性质即可。
A选项∠B=∠C，这个条件是成立的，因为它是由题目中给出的△ABC是等腰三角形推出的。
B选项∠ADC=∠AEB，这个条件也是成立的，因为它是由题目中给出的CD与BE相交于点O推出的。
C选项BE=CD，AB=AC，这个条件也是成立的，因为它是由题目中给出的D、E分别是AB、AC上两点，CD与BE相交于点O推出的。
D选项AD：AC=AE：AB，这个条件不成立，因为题目中没有给出这个条件，也无法由其他条件推出。
因此，选D。
3．下列说法中，错误的是（）A．两个全等三角形一定是相似形 B．两个等腰三角形一定相似 C．两个等边三角形一定相似 D．两个等腰直角三角形一定相似解答】解：A选项两个全等三角形一定是相似形是正确的，因为全等三角形的对应角度和对应边长都相等，符合相似三角形的定义。
B选项两个等腰三角形一定相似也是正确的，因为等腰三角形的底角相等，而顶角也相等，符合相似三角形的定义。
C选项两个等边三角形一定相似也是正确的，因为等边三角形的三个角都相等，而三个边长也相等，符合相似三角形的定义。
D选项两个等腰直角三角形一定相似是错误的，因为等腰直角三角形的底角相等，但是顶角不相等，不符合相似三角形的定义。
因此，选D。
4．如图，△ACD和△ABC相似需具备的条件是（）A． B． C．AC2=AD•AB D．CD2=AD•BD解答】解：根据相似三角形的定义，△ACD和△ABC相似需要满足两个条件：对应角度相等，对应边长成比例。
相似三角形的判定及习题精讲(含答案)
-x, ∴ =
, ∴ x= . （2）如图（2），∵ DE//AC， ∴ ΔBDE∽ΔBAC， ∴ = ， 设CF=x, 则BE=6-x, DE=x, ∴ = , ∴ x= . 答：ΔABC内接正。 （四）矩形DGFE内接于ΔABC， DG∶DE=3∶5， S矩形DGFE=60cm2, 高AH=10cm，求：SΔABC。 （五）如图，在ΔABC中，AD是BC边上中线，E是AD中点，求证：AF= FC，EF=
BE。
（六）已知：如图，在ΔABC中，D为AB边上一点，Q为BC延长线上一 点，DQ交AC于P，且∠BDQ=∠PCQ，求证：AB·QD=AC·QB。 （七）已知：ΔABC中，∠C=90°，AC=8cm, BC=6cm 求：在ΔABC内作正方形，使正方形的四个顶点都在三角形的边或顶点 上，求这个正方形的边长。 练习参考答案： （一）填空： 1．3∶7； （合比性质） 2． （注意顺序为b, a,c的第四比例项）
BC=9，则DE=________。 8．已知：RtΔABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AD=4，BD=2，则 CD=________，AC=_________。 9．ΔABC中，∠ACB=90°，CD是高，AC=3，BC=4，则CD=_______， AD=_________，BD=_________。 10．ΔABC中，AB=AC=10，∠A=36°，BD是角平分线交AC于D，则 CD=_________。 11．等边三角形的边长为a，则它的内接正方形的边长为_________。 12．ΔABC中，DE//BC，DE交AB，AC于D，E，AD∶DB=5∶4，则S梯形 BCED∶SΔADE=________。 13．两个相似多边形面积比是1∶3，则周长比是_______。 14．两个相似多边形的面积比为25∶9，其中一个多边形的周长为45， 则另一个多边形的周长为_________。 15．如果两个相似多边形的最长边分别为35cm和14cm，它们的周长差 为60cm，那么这两个多边形的周长分别为__________。 （二）选择题： 1．在ΔABC中，DE//BC交AB于D，AC于E，若四边形DECB的面积为 ΔADE面积的3倍，则DE∶BC=（ ） A、1∶3 B、1∶9 C、3∶1 D、1∶2 2．如图，在ΔABC中 = ， = ，设AD与CE的交点为P，则CP∶PE=（ ）。 A、5∶1 B、4∶1 C、3∶1 D、5∶2 3．一个直角三角形两条直角边之比是1∶2，则它们在斜边上射影的比
相似三角形的判定与性质练习题（附答案）
相似三⾓形的判定与性质练习题（附答案）相似三⾓形的判定与性质练习题⼀、单选题1.如果两个相似三⾓形的相似⽐是1:2, 那么这两个相似三⾓形的⾯积⽐是( ) A.2:1B. 1:2C.1:2D.1:42.如图,点D 是△ABC 的边AB 上的⼀点,过点D 作BC 的平⾏线交AC 于点E,连接BE,过点D 作BE 的平⾏线交AC 于点F,则下列结论错误的是( )A.AD AEBD EC =B. AF DF AE BE =C. AE AF EC FE =D. DE AF BC FE= 3.下列四条线段中，不能组成⽐例线段的是（） A.3,6,2,4a b c d ==== B.1,2,3,6a b c d ====C.4,6,5,10a b c d ====D.2,5,23,15a b c d ====4.如图,在ABC ?中,点D 、E 分别在边AB 、AC 上,下列条件中不能判断ABC AED ~△△ ( )A. AED B ∠=∠B. ADE C ∠=∠C.AD ACAE AB=D.AD AEAB AC=5.如图27-4-4,在四边形ABCD 中,BD 平分,90,ABC BAD BDC E ∠∠=∠=°为BC 的中点，AE 与BD 相交于点F.若4,30BC CBD =∠=°，则DF 的长为( )A.235B.233C.334D.4356.如图,在中,E是边AD的中点,EC交对⾓线BD于点F,则:EF FC等于( )A.3:2B.3:1C.1:1D.1:27.如图，点A，B，C，D的坐标分别是(1,7)，(11)，，(41)，，(61)，，以C，D，E为顶点的三⾓形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（）A.(60)，B.(63)，C.(65)，D.(42)，8.如图,在正⽅形⽹格上,若使△ABC∽△PBD,则点P应在处( )A.P1B.P2C.P3D.P49.如图所⽰,在平⾏四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,E为OD的中点,连接AE并延长交DC于点F,则DF:FC=( )A.1:3B.1:4C.2:3D.1:210.如图,在等边三⾓形ABC 中,D 、E 分别在AC 、AB 上,且AD ︰AC=1︰3,AE=BE,则有( )A.△AED∽△BEDB.△AED∽△CBDC.△AED∽△ABDD.△BAD∽△BCD11.如图所⽰,四边形ABCD 是正⽅形,E 是CD 的中点,P 是BC 边上的⼀点,下列条件:①∠APB=∠EPC;②∠APE=∠APB;③P 是BC 的中点;④BP:BC=2:3.其中能推出△ABP∽△ECP 的有( )A.4个B.3个C.2个D.1个 12.如图，在ABC △中，CB CA =，90ACB ∠?＝，点D 在边BC 上（与,B C 不重合），四边形ADEF 为正⽅形，过点F 作FG CA ⊥，交CA 的延长线于点G ，连接FB ，交DE 于点Q ，给出以下结论:AC FG =；四边形1:2FAB 四边形CBFG S :S ＝△③ABC ABF ∠=∠；④2AD FQ AC =，其中正确结论有（）A.1个B.2个C.3个D.4个13.如图，点A 在线段BD 上.在BD 的同侧作等腰Rt ABC △和等腰Rt ADE △,CD 与BE ,AE 分别交于点,P M .对于下列结论:① BAE CAD △△;②MP MD MA ME ?=?;③22CB CP CM =?.其中正确的是( )A.①②③B.①C.①②D.②③14.如图,在平⾏四边形ABCD 中, E 为CD 上⼀点,连接AE 、BE 、BD ,且AE 、BD 交于点F ,:4:25DEF ABF S S ??=,则:?DE EC = ( )A. 2:3B. 2:5C. 3:5D. 3?:?2 ⼆、证明题15.如图，已知,,B C E 三点在同⼀条直线上，ABC △与DCE △都是等边三⾓形.其中线段BD 交AC 于点G ，线段AE 交CD 于点F ，连接GF .求证：（1）ACE BCD ?△△；（2）AG AFGC FE=. 16.如图，在等边三⾓形ABC 中，点P 是BC 边上任意⼀点，AP 的垂直平分线分别交,AB AC 于点,M N .求证：BP CP BM CN ?=?.17.如图，D BC 已知是边上的中点，且AD AC =，DE BC ⊥，DE BA E 与相交于点，EC AD F 与相交于点.（1）求证:ABCFCD △△；（2）若5FCD S =△，10BC ＝，求DE 的长18.如图，已知AD 平分BAC ∠， AD 的垂直平分线EP 交BC 的延长线于点P . 求证：2.PD PB PC =?19.如图，//AB FC ，D 是AB 上⼀点，DF 交AC 于点E ，DE FE =，分别延长FD 和CB 交于点G（1）求证:ADE CFE ?△△；（2）若2GB =，4BC =，1BD =，求AB 的长.20.如图，在ABCD 中，,AM BC AN CD ⊥⊥，垂⾜分别为,M N .求证：（1）AMB AND △△；（2）AM MNAB AC=. 三、解答题21.如图，在4x3的正⽅形⽅格中,ABC △和DEC △的顶点都在边长为1的⼩正⽅形的顶点上.(1) 填空:ABC ∠= ,BC = ; (2) 判断ABC △和DEC △是否相似，并证明你的结论.22.如图,在平⾯直⾓坐标系中,已知OA=12厘⽶,OB=6厘⽶,点P 从点O 开始沿OA 边向点A 以1厘⽶/秒的速度移动;点Q 从点B 开始沿BO 边向点O 以1厘⽶/秒的速度移动.如果P,Q 同时出发,⽤t(秒)表⽰移动的时间(0≤t≤6),那么1.设△POQ 的⾯积为y,求y 关于t 的函数关系式;2.当t 为何值时,△POQ 与△AOB 相似.23.如图，已知矩形ABCD 的⼀条边8AD =，将矩形ABCD 折叠，使得顶点B 落在CD 边上的P 点处.已知折痕与边BC 交于点O ，连接,,.AP OP OA(1)求证:OCP PDA △△;(2)若OCP △与PDA △的⾯积⽐为1:4，求边AB 的长.24.如图，在平⾯直⾓坐标系xOy 中，直线3y x =-+与x 轴交于点C ，与直线AD 交于点45(,)33A ,点D 的坐标为(0)1，.(1)求直线AD 的解析式;(2)直线AD 与x 轴交于点B ，若点E 是直线AD 上⼀动点(不与点B 重合)，当BOD △与BCE △相似时，求点E 的坐标.25.如图，在矩形ABCD 中，12AB = cm ，6BC = cm ，点P 沿AB 边从点A 开始向点B 以2cm/s 的速度移动，点Q 沿DA 边从点D 开始向点A 以1cm/s 的速度移动.如果P ，Q 同时出发，⽤()t s 表⽰移动的时间（06t ≤≤），那么:（1）当t 为何值时，QAP △为等腰直⾓三⾓形？（2）对四边形QAPC 的⾯积，提出⼀个与计算结果有关的结论（3）当t 为何值时，以点Q ，A ，P 为顶点的三⾓形与ABC △相似？四、填空题26.如图,在直⾓梯形ABCD 中, 90ABC ∠=,//AD BC ,4AD =,5AB =,6BC =,点P 是AB 上⼀个动点,当PC PD +的和最⼩时, PB 的长为__________.27.如图,若AB∥CD,则△__________∽△__________,__________=__________=AOCO.28.如图,在等边三⾓形ABC 中,点D 、E 、F 分别在边AB 、BC 、CA 上,且90ADF BED CFE ∠=∠=∠=?,则DEF ?与ABC ?的⾯积之⽐为__________29.已知578a b c==，且329a b c -+=，则243a b c +-的值为 . 30.如图，已知在Rt ABC △中，5,3AB BC ==，在线段AB 上取⼀点D ，作DE AB ⊥交AC 于E ，将ADE △沿DE 析叠，设点A 落在线段BD 上的对应点为11,A DA 的中点为,F 若1FEA FBE △△，则AD= .31.已知:如图,在△ABC 中,点A 1,B 1,C 1分别是BC 、AC 、AB 的中点,A 2,B 2,C 2分别是B 1C 1,A 1C 1,A 1B 1的中点,依此类推….若△ABC 的周长为1,则△A n B n C n 的周长为__________.32.如图，正三⾓形ABC 的边长为2，以BC 边上的⾼1AB 为边作正三⾓形11AB C ，ABC △与1ABC △公共部分的⾯积记为1S ，再以正三⾓形11AB C 的边1C 上的⾼2AB 为边作正三⾓形22AB C ，11AB C △与22AB C △公共部分的⾯积记为2S ，……，以此类推，则n S ＝ .（⽤含n 的式⼦表⽰，n 为正整数）33.如图，在正⽅形ABCD 中，点E 是BC 边上⼀点，且 : 2:1,BE EC AE =与BD 交于点F ，则AFD △与四边形DFEC 的⾯积之⽐是 .34.如图,在△ABC 中,∠C=90°,BC=16cm,AC=12cm,点P 从点B 出发,沿BC 以2 cm /s 的速度向点C 移动,点Q 从点C 出发,以1cm/s 的速度向点A 移动,若点P 、Q 分别从点B 、C 同时出发,设运动时间为ts,当t=__________时,△CPQ 与△CBA 相似.35.如图，在正⽅形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上⼀点，且1,4CF CD =下列结论: ①30BAE ∠=°; ②;ABE ECF △△③AE EF ⊥; ④ADF ECF △△.其中正确结论是 .(填序号)36.如图27-4-9,在ABC △中,90,8m 10m,C BC AB ∠===,°点 P 从B 点出发,沿BC ⽅向以2m/s 的速度移动,点Q 从C 出发,沿CA ⽅向以1m/s 的速度移动.若P Q 、同时分别从B C 、出发,经过____________s,CPQ CBA △△~.37.如图24-4-10,ABC △的两条中线AD 和BE 相交于点G ,过点E 作//EF BC 交AD 于点F ,则FGAG=________.参考答案1.答案：C 解析：2.答案：D 解析：3.答案：C解析：A 选项，因为3:62:4=，所以,,,a b c d 四条线段成⽐例B 选项，因为232,2226==，所以,,,a b c d 四条线段成⽐例C 选项，因为4:56:10≠，所以,,,a b c d 四条线段不成⽐例D 选项，因为252325,55515==，所以,,,a b c d 四条线段成⽐例故选C 4.答案：D解析：∵DAE CAB ∠=∠,∴当AED B ∠=∠或ADE C ∠=∠时,由两⾓分别相等的两个三⾓形相似,可以得出ABC AED ~△△; 当AD ACAE AB=时,由两边成⽐例且夹⾓相等的两个三⾓形相似,可得ABC AED ~△△. 只有选项D 中条件不能判断ABC AED ~△△,故选D. 5.答案：D解析：如图，在Rt BDC △中，4,30,BC CBD =∠=°2,2 3.CD BD ∴=∴=连接,90,DE BDC ∠=°，点E 是BC 中点,12.2DE BE CE C ∴====30,30,CBD BDE DBC ∠=∴∠=∠=°°,30,BD CBC ABD DBC ∠∴∠=∠=°,//,,ABD BDE DE AB DEF BAF ∴∠=∠∴∴△△~.DF DE BF AB∴=在Rt ABD △中，230,23,3,,3DF ABD BD AD BF ∠==∴=∴=°22243,23,555DF DF BD BD ∴=∴==?=故选D.6.答案：D解析：在中, //AD BC ,∴DEF BCF ?~?,∴DE EFBC CF=. ∴点E 是边AD 的中点,∴12AE DE AD ==,∴12EF CF =. 7.答案：B解析：ABC ?中, 90,6,3,:2ABC AB BC AB BC ∠====.A 、当点E 的坐标为()6,0时, 90,2,1CDE CD DE ∠===,则::,AB BC CD DE CDE ABC =?~?,故本选项不符合题意;B 、当点E 的坐标为()6,3时, 90,2,2CDE CD DE ∠===,则::,AB BC CD DE CDE ≠?与ABC ?不相似,故本选项符合题意;C 、当点E 的坐标为()6,5时, 90,2,4CDE CD DE ∠===,则::,AB BC DE CD EDC ABC =?~?,故本选项不符合题意;D 、当点E 的坐标为()4,2时, 90,2,1ECD CD CE ∠===,则::,?AB BC CD CE DCE ABC =?~?,故本选项不符合题意; 故选:B. 8.答案：C 解析：从图中可知，要使△ABC 与△PBD相似，根据勾股定理，得BC =BD =12BC AB BD BP ===,因为AB=2，那么BP=4，故选择P 3处 . 考点：相似三⾓形点评：该题主要考查学⽣对相似三⾓形概念的理解，以及对其性质的应⽤。
相似三角形的判定(一)-配套练习(含答案
相似三角形的判定（一）-练习一、选择题1如图，BC∥FG∥ED，若每两个三角形相似，构成一组相似三角形，那么图中相似的三角形的组数是（）A. 1B. 2C. 3D. 42. 如图，AB∥CD，AE∥FD，则图中的相似三角形共有（）A. 2对B. 4对C. 6对D. 8对3. 已知，在△ABC中，三条边的长分别为2，3，4，△A′B′C′的两边长分别为1，1.5，要使△ABC∽△A′B′C′，那么△A′B′C′中的第三边长应该是（）A. 2B.C. 4D. 2二、填空题4. 如图，添上条件_____________ (填一个即可)，则△ABC∽△ADE．三、解答题5.如图，在▱ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG=4，求△CEF的周长.相似三角形的判定（一）-练习参考答案一、选择题1.C. 解：∵BC∥FG∥ED∴△ABC∽△AFG△AFG∽△ADE△ABC∽△ADE∴图中相似的三角形的组数是3组故选C2. C解：AB∥CD，AE∥FD∴图中4个三角形均相似，从4个中任选2个均相似，故有C42对相似三角形，故有6对，故选C．3.A 解：已知在△ABC中，三条边的长分别为2，3，4，△A′B′C′的两边长分别为1，1.5，可以看出，△A′B′C′的两边分别为△ABC的两边长的一半，因此要使△ABC∽△A′B′C′需各边对应比例相等，则第三边长就为4的一半即2．故选A．二、填空题4.BC∥DE或∠ABC=∠ADE或=解：∵∠A=∠A∴当BC∥DE或∠ABC=∠ADE或=时，△ABC∽△ADE．三、解答题5. 解：∵在▱ABCD中，AB=CD=6，AD=BC=9，∠BAD的平分线交BC于点E，∴AB∥DC，∠BAF=∠DAF，∴∠BAF=∠F，∴∠DAF=∠F，∴AD=FD，∴△ADF是等腰三角形，同理△ABE是等腰三角形，AD=DF=9；∵AB=BE=6，∴CF=3；∴在△ABG中，BG⊥AE，AB=6，BG=4，可得：AG=2，又BG⊥AE，∴AE=2AG=4，∴△ABE的周长等于16，又∵▱ABCD∴△CEF∽△BEA，相似比为1：2，∴△CEF的周长为8．。
第24章 相似三角形(基础、典型、易错、压轴)分类专项训练(原卷版)
第24章 相似三角形（基础、典型、易错、压轴）分类专项训练【基础】一、单选题1．（2022·上海市进才中学一模）下列选项中的两个图形一定相似的是（ ）A ．两个等边三角形B ．两个矩形C ．两个菱形D ．两个等腰梯形2．（2022·上海市青浦区教育局二模）已知非零向量a r 和单位向量e r ，那么下列结论中，正确的是（ ）A ．a e a =r r rB ．1a e a =r r rC ．a e a =r r rD ．a a e=r r r 3．（2022·上海市杨浦民办凯慧初级中学一模）在比例尺为1：50的图纸上，长度为10cm 的线段实际长为（ ）A ．50cmB ．500cmC ．1cm 50D ．1cm 5004．（2022·上海宝山·九年级期末）如果23a b =，且b 是a 和c 的比例中项，那么b c 等于（ ）A ．34B ．43C ．32D ．235．（2022·上海崇明·九年级期末）如果两个相似三角形的周长比为1：4，那么这两个三角形的对应中线的比为（ ）A ．1：2B ．1：4C ．1：8D ．1：166．（2022·上海青浦·九年级期末）如果2a b =-r r （a r 、b r 均为非零向量），那么下列结论错误的是（ ）A ．||2||a b =r rB ．a r ∥b rC ．20a b +=r r rD ．a r 与b r 方向相同7．（2022·上海黄浦·九年级期末）如图，点D E 、分别在ABC D 的边AB 、AC 上，下列各比例式不一定能推得//DE BC 的是（ ）A ．AD AE BD CE =B ．AD DE AB BC =C ．AB AC BD CE =D ．AD AE AB AC=8．（2022·上海·华东师范大学第四附属中学九年级期中）如图，已知直线123l l l ∥∥，它们依次交直线4l 、5l 于点A 、C 、E 和点B 、D 、F ，下列比例式中正确的是（ ）A ．AC CD AE EF =B ．AB CD CD EF =C ．AC BD AE BF =D ．AC DF EC BD=二、填空题9．（2022·上海金山·二模）已知在ABC V 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE //BC ，如果ADE V 和四边形BCED 的面积分别为4和5，4DE =，那么BC =______．10．（2021·上海·位育中学九年级阶段练习）计算1(4)2a ab --=r r r ______．11．（2021·上海市新泾中学九年级期中）如图，DAB CAE Ð=Ð，请你再添加一个条件______，使得ADE ABC △△∽．12．（2021·上海市南汇第一中学九年级阶段练习）点P 是线段AB 的黄金分割点，AP ＞BP ，AB ＝8，那么AP ＝_____．13．（2021·上海市南汇第一中学九年级阶段练习）实数9和6的比例中项是_____．14．（2021·上海市蒙山中学九年级期中）已知△ABC ∽△A 1B 1C 1，顶点A 、B 、C 分别与A 1、B 1、C 1对应，AB ：A 1B 1＝3：2，BE 、B 1E 1分别是它们的对应角平分线，则BE ：B 1E 1＝______．15．（2022·上海闵行·九年级期末）e r 为单位向量， a r 与 e r 的方向相同， 且长度为 2 ， 那么 a =r_________er 16．（2022·上海黄浦·九年级期末）计算：如果23x y =，那么x y y-=_________17．（2022·上海杨浦·九年级期末）在某一时刻， 直立地面的一根竹竿的影长为 3 米，一根旗杆的影长为 25 米， 已知这根竹竿的长度为 1.8 米， 那么这根旗杆的高度为____________米．18．（2022·上海虹口·九年级期末）已知Rt ABC V 的两直角边之比为3：4，若DEF V 与ABC V 相似，且DEF V 最长的边长为20，则DEF V 的周长为______．19．（2022·上海青浦·九年级期末）如果两个相似三角形的周长比为2：3，那么它们的对应高的比为______．20．（2022·上海崇明·九年级期末）计算：()2325a b a +-=r r r ____________．21．（2022·上海奉贤·九年级期末）如果 0235x y z ==¹, 那么 y x z-=________．22．（2022·上海静安·二模）在Rt ABC V 和Rt DEF △中，90C F Ð=Ð=°，3AC =，4BC =，6DF =，8DE =，判定这两个三角形是否相似_______．（填“相似”或“不相似”）三、解答题23．（2021·上海·九年级专题练习）已知：如图，EF 是ABC V 的中位线，设AF a =uuu r r ，BC b =u u u r r ．（1）求向量EF uur 、EA uuu r （用向量a r 、b r 表示）；（2）在图中求作向量EF uur 在AB uuu r 、AC uuu r 方向上的分向量．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）24．（2021·上海闵行·九年级期中）如图，已知两个不平行的向量a r 、b r ．先化简，再求作：()51422b a a --r r v ．（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）25．（2022·上海黄浦·九年级期末）已知：如图，在ABC V 中，,AF AD DE BC DF DB=∥(1)求证EF CD∥(2)如果4,155EF AD CD ==，求DF 的长．26．（2021·上海市奉贤区古华中学九年级期中）已知实数x 、y 、z 满足352x y z ==，且x ﹣2y +3z ＝﹣2．求：23x y y z+-的值．27．（2021·上海市奉贤区实验中学九年级期中）已知：线段a 、b 、c ，且345a b c ==．（1）求23a b c +的值；（2）如线段a 、b 、c 满足3a ﹣4b +5c ＝54，求a ﹣2b +c 的值．28．（2022·上海金山·九年级期末）已知：如图，AD ^直线MN ，垂足为D ，8AD =，点B 是射线DM 上的一个动点，90BAC Ð=°，边AC 交射线DN 于点C ，ABC Ð的平分线分别与AD 、AC 相交于点E 、F ．（1）求证：ABE CBF ∽△△；（2）如果AE x =，FC y =，求y 关于x 的函数关系式；（3）联结DF ，如果以点D 、E 、F 为顶点的三角形与BCF △相似，求AE 的长．29．（2022·上海松江·九年级期末）已知：如图，梯形ABCD 中，DC ∥AB ，AC ＝AB ，过点D 作BC 的平行线交AC 于点E ．(1)如果∠DEC＝∠BEC，求证：CE2＝ED•CB；(2)如果AD2＝AE•AC，求证：AD＝BC．【典型】一、填空题1．（2021·上海·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，将矩形ABCD绕点C旋转，点A、B、D的对应点分别为A’、B’、D’，当A’ 落在边CD的延长线上时，边A’ D’ 与边AD的延长线交于点F，联结CF，那么线段CF的长度为____．2．（2020·上海·上外附中九年级阶段练习）如图所示，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16 cm.点P从点A出发沿AB向点B以2 c m/s的速度运动，点Q从点B出发沿BC向点C以4 c m/s的速度运动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，则_____________秒钟后△PBQ与△ABC相似？3．（2020·上海市民办文绮中学九年级期中）两个相似三角形的面积之差为23cm，周长比是2：3，那么较小cm．的三角形面积是______24．（2020·上海·上外附中九年级阶段练习）如图，四边形,,ABCD CDFE EFHG 是三个正方形、123Ð+Ð+Ð=__________5．（2020·上海·上外附中九年级阶段练习）如图，P 是ABC D 内一点，过点P 分别作直线平行于ABC D 各边，形成三个小三角形面积分别为1233,12,27S S S ===，则ABC S D =__________二、解答题6．（2021·上海·九年级专题练习）如图，在直角梯形ABCD 中，//AB DC ，∠DAB =90°，AB =8，CD =5，BC =3（1）求梯形ABCD 的面积；（2）连接BD ，求∠DBC 的正切值．7．（2020·上海·上外附中九年级阶段练习）已知直角三角形斜边上的高为12，且斜边上的高把斜边分成3:4两段，则斜边上的中线长是__________【易错】一．选择题（共4小题）1．（2022春•闵行区校级期末）已知：，那么下列等式中，不一定成立的是（ ）A．5x＝3y B．C．x+y＝8D．2．（2021秋•金山区期末）已知＝，那么下列等式中成立的是（ ）A．2a＝3b B．＝C．＝D．＝3．（2021秋•青浦区期末）如图，点D、E分别在△ABC的边AB、BC上，下列条件中一定能判定DE∥AC 的是（ ）A．B．C．D．4．（2021秋•青浦区期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BA的延长线上，联结EC，交边AD 于点F，则下列结论一定正确的是（ ）A．B．C．D．二．填空题（共6小题）5．（2021秋•普陀区期末）如果x：y＝2：3，y：z＝9：4，那么x：y：z＝ ．6．（2022春•浦东新区校级期中）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，如果△BCD 的面积是△ABD面积的2倍，那么△BOC与△BDC的面积之比是 ．7．（2022•长宁区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，如果＝，AD＝8，那么CD的长是 ．8．（2022•静安区二模）在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，AC＝3，BC＝4，DF＝6，DE＝8，判定这两个三角形是否相似． ．（填“相似”或“不相似”）9．（2022春•普陀区校级期中）从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的最美分割线．在△ABC中，∠A＝50°，CD是△ABC的最美分割线．若△ACD为等腰三角形，则∠ACB的度数为 ．10．（2021秋•浦东新区期末）如图，a∥b∥c，直线a与直线b之间的距离为，直线c与直线b之间的距离为2，等边△ABC的三个顶点分别在直线a、直线b、直线c上，则等边三角形的边长是 ．三．解答题（共5小题）11．（2021秋•奉贤区期末）已知：x：0.5＝：4，求x的值．12．（2021秋•奉贤区期末）已知：a：b＝3：4，b：c＝，求：a：b：c．（写成最简整数比）13．（2022•松江区二模）已知：如图，两个△DAB和△EBC中，DA＝DB，EB＝EC，∠ADB＝∠BEC，且点A、B、C在一条直线上，联结AE、ED，AE与BD交于点F．（1）求证：；（2）如果BE2＝BF•BD，求证：DF＝BE．14．（2022春•杨浦区校级期中）如图1，在△ABC中，点E在AC的延长线上，且∠E＝∠ABC．（1）求证：AB2＝AC•AE；（2）如图2，D在BC上且BD＝3CD，延长AD交BE于F，若＝，求的值．15．（2022•青浦区模拟）已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别在边AB、AD上，DE 与CF相交于点G．CD2＝CG•CF，∠AED＝∠CFD．（1）求证：AB＝CD；（2）延长AD 至点M ，联结CM ，当CF ＝CM 时，求证：EA •AB ＝AD •MD ．【压轴】一、填空题1．（2021·上海市延安初级中学九年级期中）如图1是一种利用镜面反射，放大微小变化的装置．木条BC 上的点P 处安装一平面镜，BC 与刻度尺边MN 的交点为D ，从A 点发出的光束经平面镜P 反射后，在MN 上形成一个光点E ．已知,, 6.5AB BC MN BC AB ^^=，4,8BP PD ==．（1）ED 的长为____________．（2）将木条BC 绕点B 按顺时针方向旋转一定角度得到BC ¢（如图2），点P 的对应点为P ¢，BC ¢与MN 的交点为D′，从A 点发出的光束经平面镜P ¢反射后，在MN 上的光点为E ¢．若5DD ¢=，则EE ¢的长为____________．2．（2022·上海市西南模范中学九年级期中）如图，在ABC V 中，点D 是AB 边上的一点，且3AD BD =，连接CD 并取CD 的中点E ，连接BE ，若45ACD BED Ð=Ð=°，且CD =AB 的长为__________．3．（2022·上海民办永昌学校九年级期中）如图，Rt ABC △，90BAC Ð=°，将ABC V 绕点C 逆时针旋转，旋转后的图形是A B C ¢¢V ，点A 的对应点A ¢落在中线AD 上，且点A ¢是ABC V 的重心，A B ¢¢与BC 相交于点E ，那么:BE CE =_______．二、解答题4．（2021·上海市徐汇中学九年级阶段练习）已知：如图，四边形ABCD 中，090BAD °<а…，AD DC =，AB BC =，AC 平分BAD Ð．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）如果点E 在对角线AC 上，联结BE 并延长，交边DC 于点G ，交线段AD 的延长线于点F （点F 可与点D 重合），AFB ACB Ð=Ð，设AB 长度是(a a 是常数，且0)a >，AC x =，AF y =，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；（3）在第（2）小题的条件下，当CGE V 是等腰三角形时，求AC 的长（计算结果用含a 的代数式表示）5．（2022·上海黄浦·九年级期末）如图，在Rt △ABC 与Rt △ABD 中，∠ACB ＝∠DAB ＝90°，AB 2＝BC ·BD ，AB ＝3，过点A 作AE ⊥BD ，垂足为点E ，延长AE 、CB 交于点F ，连接DF(1)求证：AE ＝AC ；(2)设BC x =，AE y EF=，求y 关于x 的函数关系式及其定义域；(3)当△ABC 与△DEF 相似时，求边BC 的长．。
初中数学 27.2.1 相似三角形的判定同步练习
ABDCHG EFADEEABDC27.2.1 相似三角形的判定（一）A组1.如图27-2-1，E是平行四边形ABCD的边BC的延长线上的一点，连结AE交CD于F，则图中共有相似三角形（）A.1对B.2对C.3对D.4对图27-2-1 图27-2-22.如图27-2-2，在△ABC中，DE//BC，且AD：DB=2：1，那么DE：BC等于（）A.2：1B.1：2C.2：3D.3：23.如图27-2-3，在□ABCD中，F、H分别是BC、AD上任一点，EF平行AB，HG平行CD，则图中共有相似三角形的对数是（）A.2B.3C.4D.5图27-2-3 图27-2-44.如图27-2-4，在△ABC中，DE//BC，AD:CD=1:3，BE=6cm，则AE= cm．5.如图，在□ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，连接AC、EF.求证：△BEF∽△ACD.6.已知：如图，试用两种不同的方法在△ABC内部作一个三角形，使其与△ABC相似，且相似比为14.7.如图，物AB与其所成像A’B’平行，孔心O到蜡烛头A的距离是36cm，到蜡烛头的像A’的距离是12cm，你知道像长是物长的几分之几吗？你是怎样知道的？8.如图，AD与BC交于点O，且AB ∥ CD。
①已知BO：OC=1：3，CD=6cm，求AB的长。
②已知BO：BC=1：3，CD=6cm，求AB的长。
③已知BO：OC=1：3，AD=8cm，求OA的长。
C DA BOOABB’A’PC AGFB 组1.如图27-2-5，已知DE ∥BC ，EF ∥AB ，则下列比例式，错误．．的是 （ ） A.AD AE =ABACB.CE EA =CFFBC.DE AD =BC BD D.EF CF=AB CB图27-2-5 图27-2-62.如图27-2-6，在△ABC 中，DG ∥A C ，EF ∥BC ，则图中与△PDE 相似三角形的个数是（ ） A.1B.2C.3D.43.如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 是圆上两点，且弧AC=弧BD ，射线AC 与射线BD 交于点E ，求证：△ECD∽△ABE.4.已知：如图，AB=AD ，AC=AE ，FG ∥DE.试说出与所有△ABC 相似的三角形，并说明理由.E OD C BADB CG FE5.如图，△ABC 中，AD ⊥BC ，D 是垂足，E 是BC 中点，FE ⊥BC 交AB 于F ，BD ＝6，DC ＝4，AB ＝8，求BF 长。
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1 相似三角形基础练习（一）
一、填空题
1、放大镜中的四边形与原四边形 关系。
2、观察下列图形中，形状相同的是 。
3、幻灯片上的一个六边形和投放到银幕上的六边形是 关系。
4、ABC ∆∽///C B A ∆，其中 60=∠B ， 70/=∠C ，则=∠A 。
5、两个正五边形的边长分别为b a 、，它们相似吗？ ，
理由 。
6、将一个等腰三角形缩小，使原三角形的边长是缩小后的三角形对应边的3倍，则缩小前后对应边的比为 。
7、两个三角形相似，其中一个三角形两个内角分别为006040
、，那么另一个三角形最
大内角的度数为 。
8、如图，ADE ∆∽ABC ∆，
若2.153===DE EC AE ，，，则=BC 。
9、若上题图，ABC ∆∽53==∆AB AD ADE ，，，则=BC DE ： 。
二、选择题
10、下列各组图形中相似的是（ ）
A 、①②③
B 、②③④
C 、①③④
D 、①②④
11、下列说法中正确的是：所有的（ ）都相似。
A 、菱形
B 、矩形
C 、正方形
D 、梯形
12、下列各组图形中，一定相似的是（ ）
A 、对应边成比例的两个三角形
B 、由三角形的中位线所得的两个三角形
C 、等腰梯形中位线所分成的两个等腰梯形
D 、有一个角对应相等的平行四边形
13、在ABC ∆和///C B A ∆中， 72684068
//=∠=∠=∠=∠C A B A ，，，这两个三角形（ ） A 、既全等又相似 B 、相似 C 、全等 D 、无法确定 14、下列说法中正确的是（ ）
（1）相似三角形一定全等 （2）不相似的三角形一定不全等
（3）全等的三角形不一定是相似三角形 （4）全等的三角形一定是相似三角形
A 、（1）（2）
B 、（2）（3）
C 、（2）（4）
D 、（3）（4）
15、等腰ABC ∆∽DEF ∆，其相似比为3 ：4，则它们底边上对应高线的比为（ ）
A 、3 ：4
B 、4 ：3
C 、1 ：2
D 、2 ：1。