机械振动大作业——简支梁的各情况分析2
机械振动大作业——简支梁的各情况分析
机械振动大作业姓名：徐强学号：SX1302106专业：航空宇航推进理论与工程能源与动力学院2013年12月简支梁的振动特性分析题目:针对简支梁、分别用单、双、三、十个自由度以及连续体模型，计算其固有频率、固有振型。
单、双、三自由度模型要求理论解；十自由度模型要求使用李兹法、霍尔茨法、矩阵迭代法、雅可比法、子空间迭代法求解基频；连续体要求推导理论解，并通过有限元软件进行数值计算。
解答：一、 单自由度简支梁的振动特性如图1，正方形截面（取5mm ×5mm ）的简支梁，跨长为l =1m ，质量m 沿杆长均匀分布，将其简化为单自由度模型，忽略阻尼，则运动微分方程为0=+••kx x m ,固有频率ωn =eqeq m k ，其中k 为等效刚度，eq m 为等效质量。
因此，求出上述两项即可知单自由度简支梁的固有频率。
根据材料力学的结果，由于横向载荷F 作用在简支梁中间位置而引起的变形为）（224348EI F -)(x l x x y -=（20l x ≤≤）, 48EI F -3max l y =为最大挠度，则： eq k =δF=348EIl梁本身的最大动能为：）（224348EI F -)(x l xx y -==）（223max43x l l x y -T max =2×dx x y l m l 220)(21⎭⎬⎫⎩⎨⎧•⎰=2max 351721•y m ）（如果用eq m 表示简支梁的质量等效到中间位置时的大小，它的最大动能可表示为：T max =2max21•y m eq所以质量为m 的简支梁，等效到中间位置的全部质量为： m m eq 3517=故单自由度简支梁横向振动的固有频率为：ωn =eqeq m k =3171680mlEImk图1 简支梁的单自由度模型二、 双自由度简支梁的振动特性如图2，将简支梁简化为双自由度模型，仍假设在简支梁中间位置作用载荷，根据对称性，等效质量相等,因此只要求出在3/l 处的等效质量即可。
振动力学(梁的横向振动)分析
EI 2 2 求出后得到固有频率 i i a i , (i 1, 2 ) A
Φ( x) C1 sin x C2 cos x C3 sh x C4 ch x 振型为
sin l sh l C sin x sh x (cos x ch x) ch l cos l
u ( x, t ) Φ( x)q(t )
代入方程得到
a x2
2 2
d Φ( x) d q(t ) q(t ) dx2 Φ( x) dt 2
2 2
写为
2 d 2Φ( x) d 2 q(t ) 2 2 2 x dx 2 dt a 2 Φ ( x) q(t )
l
l d d 2 i d d i j EI EI dx j 2 2 0 dx dx dx dx 0
2
l
d d i d i d j j EI EI 2 2 dx 0 dx dx 0 dx
2 2
d d i EI 2 0 i dx 2 dx
l 2 2
l d i 2 dx EI dx Mi i 2 0 dx
弹性体的振动
梁在激励力作用下的响应
和一维波动方程一样，用振型叠加法求响应
u ( x, t ) qi (t )Φ ( x)
u ( x, t ) u ( x, t ) EI k0 2 x x x l
2
x l
3u ( x, t ) EI x3
ku (l , t )
x l
弹性体的振动
(完整版)机械振动课后习题和答案第二章习题和答案
2.1 弹簧下悬挂一物体，弹簧静伸长为δ。
设将物体向下拉，使弹簧有静伸长3δ，然后无初速度地释放，求此后的运动方程。
解：设物体质量为m ，弹簧刚度为k ，则：mg k δ=，即：n ω==取系统静平衡位置为原点0x =，系统运动方程为： δ⎧+=⎪=⎨⎪=⎩&&&00020mx kx x x （参考教材P14）解得：δω=()2cos n x t t2.2 弹簧不受力时长度为65cm ，下端挂上1kg 物体后弹簧长85cm 。
设用手托住物体使弹簧回到原长后无初速度地释放，试求物体的运动方程、振幅、周期及弹簧力的最大值。
解：由题可知：弹簧的静伸长0.850.650.2()m =-=V所以：7(/)n rad s ω=== 取系统的平衡位置为原点，得到：系统的运动微分方程为：20n x x ω+=&& 其中，初始条件：(0)0.2(0)0x x=-⎧⎨=⎩& （参考教材P14） 所以系统的响应为：()0.2cos ()n x t t m ω=- 弹簧力为：()()cos ()k n mg F kx t x t t N ω===-V因此：振幅为0.2m 、周期为2()7s π、弹簧力最大值为1N 。
2.3 重物1m 悬挂在刚度为k 的弹簧上并处于静平衡位置，另一重物2m 从高度为h 处自由落到1m 上而无弹跳，如图所示，求其后的运动。
解：取系统的上下运动x 为坐标，向上为正，静平衡位置为原点0x =，则当m 有x 位移时，系统有： 2121()2T E m m x =+& 212U kx =由()0T d E U +=可知：12()0m m x kx ++=&& 即：12/()n k m m ω=+系统的初始条件为：⎧=⎪⎨=-⎪+⎩&2020122m gx k m x gh m m （能量守恒得：221201()2m gh m m x =+&） 因此系统的响应为：01()cos sin n n x t A t A t ωω=+其中:ω⎧==⎪⎨==-⎪+⎩&200021122n m g A x k x m g ghk A k m m即：ωω=-2()(cos )n n m g x t t t k2.4 一质量为m 、转动惯量为I 的圆柱体作自由纯滚动，圆心受到一弹簧k 约束，如图所示，求系统的固有频率。
单自由度系统自由振动——简支梁
单自由度系统自由振动（简支梁）一、 实验目的 １、测定简支梁的等效弹簧常数k ； ２、记录简支梁的自由振动曲线，用分析仪测定系统的有阻尼时的固有频率d ω及相对阻尼系数ζ； ３、用附加质量法测定简支梁的等效质量m ； ４、初步了解振动测试的一些仪器设备及测试方法。
二、 实验装置及原理 １、 实验装置 一根均匀的、截面为矩形的简支梁，其简图如图１所示。
这个系统可看作如图２所示的，有阻尼的单自由度弹簧质量系统，有阻尼时的振动微分方程为： 0=++kx x c xm &&& （１） 令m c n =2，mk n =2ω （２） 则（１）式为：022=++x x n x n ω&&& （３） 再令nn ωζ= （４） 则式（３）为：022=++x x x n n ωςω&&& （５） 其中： m ：为简支梁系统的等效质量； k ：为简支梁系统对于跨度中点的等效弹簧常数； c ：为简支梁下的阻尼常数，n 称为衰减系数，ζ称为相对阻尼系数； n ω：为简支梁系统固有频率，n n f πω2=，d ω为系统的有阻尼固有频率，d d f πω2=。
２、 实验原理 （１） 等效弹簧常数的测定 由于梁在弹性范围内的挠度与梁所受载荷成正比，因此只要在简支梁的跨中点加载，同时图2用百分表读出该点的挠度值，即可测出等效弹簧常数。
（２）记录简支梁系统的自由振动曲线 在简支梁跨度中点贴应变片作用是使梁在振动时的应变量变化转化成电阻量的变化，再将应变片按半桥接法接到动态应变仪上，把电阻量的变化信号放大，并转化成电压量的变化信号，输出到示波器或分析仪，这样即可观察和记录波形。
测试系统框图如图３所示。
（３）附加质量法测等效质量 根据式（２），因为()222n n f m k πω==，21ζωω−=n d ，d d f πω2=要测出简支梁的等效质量m ，只要在原来的简支梁上附加一个已知质量∆，再次求得带有附加质量∆时的固有频率2∆n ω，然后通过下式计算得到m ： ()()()()22222222∆∆∆==∆+=n n n n n n f f f f m m ππωω （６） ()()1111222222−∆=−−−∆=∆∆∆d d d d f f f f m &ζζ （７） 三、 实验步骤 １、 测定简支梁系统的等效弹簧常数 在简支梁跨中点处用砝码加载（ｉ＝１，２， …．， ５），同时用百分表读出该点相对应的挠度值，并记录表１中，按公式算出。
简支梁的变形与振动分析
简支梁的变形与振动分析简支梁是一种常见的结构形式，广泛应用于桥梁、楼板等工程中。
在实际工程项目中，我们需要对简支梁的变形和振动进行分析，以确保结构的安全性和稳定性。
本文将从数学模型到应用实例，全面深入地探讨简支梁的变形与振动分析。
一、简支梁的基本理论简支梁是在两端支座的约束下，承受集中力或均布力作用下的一种结构形式。
为了研究其变形和振动特性，我们需要建立数学模型。
1. 简支梁的受力分析在进行简支梁的变形和振动分析前，首先需要了解其受力情况。
在两端支座的约束下，简支梁主要受到弯矩和剪力的作用。
通过弯矩和剪力的分析，可以得出简支梁的受力公式，进而计算结构在承受力作用下的变形。
2. 简支梁的变形分析简支梁在受力作用下会发生一定的变形。
根据梁的假设和力学原理，可以建立简支梁的弹性变形方程。
通过求解弹性变形方程，可以得到简支梁在各个位置的变形情况。
3. 简支梁的振动分析在实际工程中，简支梁还可能受到外力的激励，导致振动现象的发生。
为了分析简支梁的振动特性，我们可以建立简支梁的振动微分方程，并求解得到简支梁的振动模态。
二、简支梁的应用实例1. 桥梁工程简支梁在桥梁工程中得到广泛应用。
为了确保桥梁在运行过程中的安全性和稳定性，需要进行简支梁的变形与振动分析。
通过分析得到的变形和振动数据，可以对桥梁的结构参数进行优化，提高桥梁的工作性能。
2. 建筑结构在楼板、屋顶等建筑结构中，简支梁也扮演着重要的角色。
在设计建筑结构时，需要对简支梁进行变形与振动分析，以确保结构的稳定性和安全性。
通过合理调整支座位置或增加梁的截面尺寸，可以改善简支梁的变形和振动特性。
三、总结简支梁的变形与振动分析对于工程项目的设计和施工至关重要。
通过建立数学模型，进行受力分析和变形分析，可以预测结构在实际工况下的变形情况。
同时，通过振动分析，可以了解简支梁的振动特性，为结构的稳定性提供参考。
在实际工程中，我们还可以利用现代软件进行简支梁的有限元分析，获得更加准确的变形和振动数据。
机械振动大作业——简支梁的各情况分析2
图2 简支梁的双自由度模型
三、三自由度简支梁的振动特性
如图3，将简支梁简化为三自由度模型，按照双自由度类似的等效思想，可得等效质量：
因此，质量矩阵为：
由机械振动中文教材例6.6可知，系统的柔度矩阵为：
其中， 。
动力矩阵：
令特征行列式为零，得到频率方程为：
其中， ，将上式整理得：
其中， 。
利用Matlab软件,求解上述方程的根为：
2.2447
0.0629
0.1282
-0.0388
1.8642
0.0834
0.0932
-0.0347
1.3333
0.0768
0.0568
-0.0237
0.6941
0.046
0.0258
-0.011
将各列分别归一化得：
求得 和 分别为：
再由李兹法得特征值问题为：
解出：
, , ,
其中， ，相应的主振型为：
机械振动大作业
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学号：SX*******
专业：航空宇航推进理论与工程
能源与动力学院
2013年12月
简支梁的振动特性分析
题目:针对简支梁、分别用单、双、三、十个自由度以及连续体模型，计算其固有频率、固有振型。单、双、三自由度模型要求理论解；十自由度模型要求使用李兹法、霍尔茨法、矩阵迭代法、雅可比法、子空间迭代法求解基频；连续体要求推导理论解，并通过有限元软件进行数值计算。
0.0306
0.0158
0.0309
0.0443
0.0552
0.0628
0.0664
0.0650
0.0579
0.0443
0.0240
振动实验报告讲解
振动实验报告讲解振动与控制系列实验姓名：李⽅⽴学号：201520000111电⼦科技⼤学机械电⼦⼯程学院实验1 简⽀梁强迫振动幅频特性和阻尼的测量⼀、实验⽬的1、学会测量单⾃由度系统强迫振动的幅频特性曲线。
2、学会根据幅频特性曲线确定系统的固有频率f 0和阻尼⽐。
⼆、实验装置框图图3.1表⽰实验装置的框图图3-1 实验装置框图KCX图3-2 单⾃由度系统⼒学模型三、实验原理单⾃由度系统的⼒学模型如图3-2所⽰。
在正弦激振⼒的作⽤下系统作简谐强迫振动，设激振⼒F 的幅值B 、圆频率ωo(频率f=ω／2π)，系统的运动微分⽅程式为：扫频信号源动态分析仪计算机系统及分析软件打印机或绘图仪简⽀梁振动传感器激振器⼒传感器质量块M或 M F x dt dxdt x d M F x dt dx n dtx d FKx dt dx C dtx d M /2/222222222=++=++=++ωξωω（3-1）式中：ω—系统固有圆频率ω =K/Mn ---衰减系数 2n=C/M ξ---相对阻尼系数ξ=n/ωF ——激振⼒ )2sin(sin 0ft B t B F πω== ⽅程①的特解，即强迫振动为：)2sin()sin(0?π?ω-=-=f A A x （3-2）式中：A ——强迫振动振幅--初相位20222024)(/ωωωn M B A +-=（3-3）式(3-3)叫做系统的幅频特性。
将式(3-3)所表⽰的振动幅值与激振频率的关系⽤图形表⽰，称为幅频特性曲线(如图3-3所⽰)：3-2 单⾃由度系统⼒学模型 3-3 单⾃由度系统振动的幅频特性曲线图3-3中，Amax 为系统共振时的振幅；f 0为系统固有频率，1f 、2f 为半功率点频率。
振幅为Amax 时的频率叫共振频率f 0。
在有阻尼的情况下，共振频率为：221ξ-=f f a (3-4) 当阻尼较⼩时，0f f a =故以固有频率0f 作为共振频率a f 。
简支梁受力组合变形
简支梁受力组合变形-概述说明以及解释1.引言概述部分的内容可以如下所示：1.1 概述简支梁是一种常见的结构形式，由于其结构简单、使用方便，广泛应用于建筑、桥梁、机械等领域。
简支梁在受到外力作用时，会发生变形，这种变形对于梁的安全性和使用寿命至关重要。
因此，研究简支梁受力组合变形是提高梁的设计和使用性能的重要方面。
本文将深入探讨简支梁受力组合变形的原因、特点以及对梁结构的影响。
首先，我们将介绍简支梁的定义和特点，包括它的基本结构和建筑原理。
接着，我们将通过对简支梁的受力分析，揭示不同受力组合对梁的变形产生的原因。
随后，我们将对梁的变形进行详细的分析，包括弯曲变形、剪切变形和挠度等。
最后，我们将研究受力组合在简支梁上的影响，探讨其对梁的变形程度和安全性的影响。
通过本文的研究，我们将对简支梁受力组合变形的机理有更深入的了解，同时也能为简支梁的设计和使用提供有用的指导。
这对于提高梁的结构性能、延长梁的使用寿命具有重要意义。
此外，对于简支梁受力组合变形的应用前景，本文也将进行展望，探讨其在未来工程领域中的可能应用和发展方向。
总之，通过本文的研究和分析，我们将为读者提供一个全面的简支梁受力组合变形的概述，从而增进对该领域的理解和应用。
相信本文的内容将对相关领域的研究人员和工程师具有一定的参考价值。
1.2 文章结构文章结构部分的内容可以参考以下示例：2.文章结构本文将按照以下结构进行叙述和分析简支梁受力组合变形的相关内容：2.1 简支梁的定义和特点首先，我们将介绍简支梁的定义和特点。
简支梁是一种常见的结构形式，其特点是两端支座可以自由转动，同时梁自身在受力作用下会发生弯曲变形。
我们将详细探讨简支梁的定义、结构特征以及其在工程实践中的应用。
2.2 受力分析在本节中，我们将进行简支梁的受力分析。
通过分析简支梁在不同荷载作用下的受力情况，我们可以了解到梁的内力分布以及受力大小。
我们将介绍常见的荷载类型，并利用力学原理进行受力计算和分析。
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机械振动大作业——简支梁的各情况分析2-标准化文件发布号：（9456-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII机械振动大作业姓名：徐强学号：SX1302106专业：航空宇航推进理论与工程能源与动力学院2013年12月简支梁的振动特性分析题目:针对简支梁、分别用单、双、三、十个自由度以及连续体模型，计算其固有频率、固有振型。
单、双、三自由度模型要求理论解；十自由度模型要求使用李兹法、霍尔茨法、矩阵迭代法、雅可比法、子空间迭代法求解基频；连续体要求推导理论解，并通过有限元软件进行数值计算。
解答：一、 单自由度简支梁的振动特性如图1，正方形截面（取5mm ×5mm ）的简支梁，跨长为l =1m ，质量m 沿杆长均匀分布，将其简化为单自由度模型，忽略阻尼，则运动微分方程为0=+••kx x m ,固有频率ωn =eqeq m k ，其中k 为等效刚度，eq m 为等效质量。
因此，求出上述两项即可知单自由度简支梁的固有频率。
根据材料力学的结果，由于横向载荷F 作用在简支梁中间位置而引起的变形为）（224348EI F -)(x l x x y -=（20l x ≤≤）, 48EI F -3max l y =为最大挠度，则： eq k =δF=348EIl 梁本身的最大动能为：）（224348EI F -)(x l xx y -==）（223max43x l l x y -T max =2×dx x y l m l 220)(21⎭⎬⎫⎩⎨⎧•⎰=2max 351721•y m ）（ 如果用eq m 表示简支梁的质量等效到中间位置时的大小，它的最大动能可表示为：T max =2max21•y m eq所以质量为m 的简支梁，等效到中间位置的全部质量为： m m eq 3517=故单自由度简支梁横向振动的固有频率为：ωn =eqeq m k =3171680ml EImk图1 简支梁的单自由度模型二、 双自由度简支梁的振动特性如图2，将简支梁简化为双自由度模型，仍假设在简支梁中间位置作用载荷，根据对称性，等效质量相等,因此只要求出在3/l 处的等效质量即可。
在6/l 至2/l 之间积分，利用最大动能进行质量等效，略去小量得：m m eq 258≈所以，质量矩阵为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=→1001258m m双自由度简支梁的柔度矩阵：在b=3/2l 处作用单位力，挠曲线方程为：）（2226EI b -)(b x l lx x y --=则3/l 处的变形为：δ712=a ，同理可求：δ721=a ，δ82211==a a ，其中EIl 4863=δ。
所以，柔度矩阵为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=→8778δa动力矩阵：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=→8778258δm D令特征行列式为零，得到频率方程为：=-=∆→→D I λ其中，21ωλ=，将上式整理得：116158177812=+-=---=∆a a aa a a-其中，2582582δωλδm m a ==。
解上述方程的根为：1511=a ,δωm 2451= 12=a ,δωm 8252=由式→→→→=-0)(）（i i X D I λ，2,1=i其中⎭⎬⎫⎩⎨⎧=→)(2)(1i i i X X X）（，分别将1ω、2ω代入上式，得 第一、二阶主振型分别为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧=→11)1(11X X）（， ⎭⎬⎫⎩⎨⎧=→1-1)1(12X X ）（图2 简支梁的双自由度模型三、 三自由度简支梁的振动特性如图3，将简支梁简化为三自由度模型，按照双自由度类似的等效思想，可得等效质量：m m m 41m 231≈≈=因此，质量矩阵为：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=→1000100014m m 由机械振动中文教材例6.6可知，系统的柔度矩阵为：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=→91171116117119δa其中，EIl 7683=δ。
动力矩阵：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=→911711161171194δm D 令特征行列式为零，得到频率方程为： 0=-=∆→→D I λ其中，21ωλ=，将上式整理得：091117111611171191=---------=∆aa a a a a aaa其中，442δωλδm m a ==。
利用Matlab 软件,求解上述方程的根为：0317.01=a ,δωm a 114=5.02=a ,δωm a 224=254.23=a ,δωm a 334=由式→→→→=-0)(）（i i X D I λ，3,2,1=i其中⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=→)(3)(2)(1i i i i X X X X）（，分别将1ω、2ω、3ω代入上式，得 第一、二、三阶主振型分别为：⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=→121)1(11X X）（， ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=→1-01)2(12X X ）（, ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=→12-1)1(13X X ）（图3 简支梁的三自由度模型四、 十自由度简支梁的数值方法将简支梁简化为十自由度模型（如图4）。
图4 简支梁的十自由度模型通过在一点施加单位力，计算其余点的挠度，可得柔度矩阵：。
为挠度变形矩阵，如表，其中1,63→→→==y EIl y a δδ0.0137 0.0240 0.0306 0.0339 0.0344 0.0324 0.0284 0.0227 0.0158 0.0081 0.0240 0.0443 0.0579 0.0650 0.0664 0.0628 0.0552 0.0443 0.0309 0.0158 0.0306 0.0579 0.0787 0.0904 0.0934 0.0891 0.0787 0.0633 0.0443 0.0227 0.0339 0.0650 0.0904 0.1071 0.1131 0.1093 0.0973 0.0787 0.0552 0.0284 0.0344 0.0664 0.0934 0.1131 0.1229 0.1212 0.1093 0.0891 0.0628 0.0324 0.0324 0.0628 0.0891 0.1093 0.1212 0.1229 0.1131 0.0934 0.0664 0.0344 0.0284 0.0552 0.0787 0.0973 0.1093 0.1131 0.1071 0.0904 0.0650 0.0339 0.0227 0.0443 0.0633 0.0787 0.0891 0.0934 0.0904 0.0787 0.0579 0.0306 0.0158 0.0309 0.0443 0.0552 0.0628 0.0664 0.0650 0.0579 0.0443 0.0240 0.0081 0.0158 0.0227 0.0284 0.0324 0.0344 0.03390.0306 0.0240 0.0137表1 十自由度挠度变形矩阵→y十自由度简支梁为十个集中质量的振动模型，每个质量都近似等于m 111，因此，质量矩阵为： ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=→1010000000010000111m m 动力矩阵为：→→=ym D 11δ 下面，用如下几种方法计算十自由度简支梁的固有频率与振型。
1、邓克莱法利用邓克莱法求基频（比准确值小）：nnn m a m a m a +++≈ 222111211ω因此，将柔度矩阵主对角线上各元素相加并乘以m 111，可求得：319015ml EIm δ≈≈ω2、瑞利法（1）瑞利第一商柔度矩阵求逆得刚度矩阵：→-→→==z y k δδ3131010，其中，→z 矩阵见表2。
2.0433 -1.9003 0.7778 -0.2649 0.1647 0.0356 -0.2817 0.2834 -0.0446 -0.0926-1.9003 2.9228 -2.4675 1.4375 -0.6862 0.0299 0.5193 -0.6226 0.3193 -0.04460.7778 -2.4675 3.8387 -3.3468 1.6331 -0.1417 -0.6684 0.8588 -0.6226 0.2834 -0.2649 1.4375 -3.3468 4.2339 -2.9123 0.778 0.4309 -0.6684 0.5193 -0.2817 0.1647 -0.6862 1.6331 -2.9123 3.4193 -2.2932 0.778 -0.1417 0.0299 0.0356 0.0356 0.0299 -0.1417 0.778 -2.2932 3.4193 -2.9123 1.6331 -0.6862 0.1647 -0.2817 0.5193 -0.6684 0.4309 0.778 -2.9123 4.2339 -3.3468 1.4375 -0.2649 0.2834 -0.6226 0.8588 -0.6684 -0.1417 1.6331 -3.3468 3.8387 -2.4675 0.7778 -0.0446 0.3193 -0.6226 0.5193 0.0299 -0.6862 1.4375 -2.4675 2.9228 -1.9003 -0.0926 -0.0446 0.2834 -0.2817 0.0356 0.1647-0.2649 0.7778 -1.9003 2.0433表2 矩阵→z 各元素假设力作用在简支梁中间位置而得到各点的静变形，可以表示为：[]TA 11.933 2.7333.3313.6633.663 3.3312.7331.9331κ=→其中，EIl 483=κ。
因此，可以假设振型：[]TA 11.933 2.7333.3313.6633.663 3.3312.7331.9331=→则由瑞利第一商公式：→→→→→→=AM A A K A A R TTI )(，可得：δmδm m A R I 46.1646.164965.111)(1≈=⨯=ωδ， （2）瑞利第二商同样假设力作用在简支梁中间位置，由瑞利第二商公式：→→→→→→→→∆=AM M A AM A A R TTⅡ)( 可得: δm.δm m A R Ⅱ241624.164762.111)(2≈=⨯=ωδ， 瑞利法中，→M 代表质量矩阵，→K 代表刚度矩阵，→∆代表柔度矩阵，→A 为模态向量。
3、李兹法将十自由度简支梁缩减为三自由度，假设振型为：[]T11.9 2.73.33.73.7 3.32.71.911=→ψ []T 11.8 2.510.20.2- 1-2.5-1.8-1-2=→ψ []T 1-2- 1-121 01-2-1-3=→ψ则可求出：由式→→*→*→*=0-2A M K ）（ω，得：0017.01=a ,1415.02=a ,2959.03=a其中，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⨯=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=***→23222133211011ωωωδm a a a a ，因此可得： δδωδδωδωm m a m m a m m δa 9.32541011,7.15561011,7.181011333232131=⨯⨯==⨯⨯==⨯⨯=***以及：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=→*→*→*8372.05468.0-0122.0,6271.07788.00135.0,0349.00099.09993.0-)3()2()1(A A A所以系统的前三阶主振型的近似为：4、矩阵迭代法单位力作用在简支梁中间位置得到各点的挠度变形，将首项化一，得：⨯==→→→→*11m M M Tψψ 72.96 0 -0.60 23.06 1.2 -0.6 1.2 18⨯==→→→→*δψψ310K K T0 0 4.3927 -1.2322 0.1354 -1.2322 4.2842[]T11.933 2.7333.3313.6633.663 3.3312.7331.9331κμ=其中，δκ81483==EI l 。