1.1菱形的判定和性质小结
菱形的判定
例3. 画一个菱形，使它的两条对角 画一个菱形， 线的长分别为40㎝ 线的长分别为 ㎝和30㎝. ㎝
画法： 画法： B● 画一条线段AC=40㎝； ①画一条线段 ㎝ 作线段AC的中垂线 的中垂线， ②作线段AC的中垂线， ● A 并以垂足为中点截取 ● BD=30㎝； ㎝ D 顺次连结AB、 、 、 ； ③顺次连结 、BC、CD、DA； 则四边形ABCD即为所作的菱形 即为所作的菱形. 则四边形 即为所作的菱形
如图： 例1.如图：在四边形 如图 在四边形ABCD中， 中 AD∥BC，对角线 的垂直平分线 ∥ ，对角线AC的垂直平分线 与边AD、 分别相交于 分别相交于E、 ， 与边 、BC分别相交于 、F， 四边形AFCE是菱形吗？为什么？ 是菱形吗？ 四边形 是菱形吗 为什么？
证明： 证明：∵AD∥BC ∥ ∴∠EAO=∠FCO ∴∠ ∠ 又∠AOE=∠COF OA=OC ∠ ∴△AOE≌△COF ∴OE=OF ≌ 四边形AFCE是平行四边形 ∴四边形 是平行四边形 又∵EF⊥AC ⊥ ∴ AFCE是菱形 是菱形
已知： ABCD中 对角线AC⊥BD. 已知： ABCD中，对角线AC⊥BD. 试说明： ABCD是菱形 是菱形. 试说明： ABCD是菱形. A D
说明∵ABCD是平行四边形 说明∵ 是平行四边形 ∴OB=OD O B C 又AC⊥BD于O ⊥ 于 ∴AB=AD 即：∵AC⊥BD ⊥ ∴ ABCD是菱形 ∴ ABCD是菱形 是菱形. 是菱形 是菱形
∴四边形AFDE是平行四边形 四边形 ∵∠1=∠ ， ∵∠ ∠2，∠1=∠3 ∠ ∴∠2=∠ ， ∴∠ ∠3，∴AF=FD， ， 21 四边形AFDE是菱形 是菱形. ∴四边形 是菱形 (定义判定 定义判定) 定义判定
3
1.1菱形的性质与判定
1.1菱形的性质及判定1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 2．菱形的性质菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，•还具有自己独特的性质： ① 边的性质：对边平行且四边相等． ② 角的性质：邻角互补，对角相等．③ 对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角． ④ 对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形．菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半．点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半． 3．菱形的判定判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形． 判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 判定③：四边相等的四边形是菱形． 板块一、菱形的性质【例1】 ☆ ⑴菱形的两条对角线将菱形分成全等三角形的对数为⑵在平面上，一个菱形绕它的中心旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是【例2】 ⑴如图2，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm 若墙上钉子间的距离16cm AB BC ==，则1∠=度．⑵如图，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，若2EF =，则菱形ABCD的边长是______．【例3】 如图，E 是菱形ABCD 的边AD 的中点，EF AC ⊥于H ，交CB 的延长线于F ，交AB 于P ，证明：AB 与EF 互相平分．【例4】 如图1所示，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，H 为AD 边中点，菱形ABCD 的周长为24，则OH 的长等于．图21CBAP HFE DCBAE F D B C A【巩固】 如图，已知菱形ABCD 的对角线8cm 4cm AC BD DE BC ==⊥，，于点E ，则DE 的长为【例5】 菱形的周长为20cm ，两邻角度数之比为2:1，则菱形较短的对角线的长度为【巩固】 如图2，在菱形ABCD 中，6AC =，8BD =，则菱形的边长为（ ）A ．5B ．10C ．6D ．8【巩固】 如图3，在菱形ABCD 中，110A ∠=︒，E 、F 分别是边AB 和BC 的中点，EP CD ⊥于点P ，则FPC ∠=（ ）A ．35︒B ．45︒C ．50︒D ．55︒【例6】 ☆如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为60︒的菱形，剪口与折痕所成的角α的度数应为（ ）A ．15︒或30︒B ．30︒或45︒C ．45︒或60︒D ．30︒或60︒【巩固】 菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，且AE BC ⊥，AF CD ⊥，那么EAF ∠等于．【巩固】 如图，将一个长为10cm ，宽为8cm 的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（ ）A ．210cmB ．220cmC ．240cmD ．280cm图1HO DC BA图2DCBA图3E DP CF BA 图1DCBA【例7】 已知菱形ABCD 的两条对角线AC BD ，的乘积等于菱形的一条边长的平方，则菱形的一个钝角的大小是【例8】 如图，菱形花坛ABCD 的周长为20m ，60ABC ∠=︒，•沿着菱形的对角线修建了两条小路AC 和BD ，求两条小路的长和花坛的面积．【例9】 已知，菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，若AE AF EF AB ===，求C ∠的度数．板块二、菱形的判定 【例10】 如图，如果要使平行四边形ABCD 成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是．【例11】 ☆如图，在ABC ∆中，BD 平分ABC ∠，BD 的中垂线交AB 于点E ，交BC 于点F ，求证：四边形BEDF 是菱形【巩固】 已知：如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别相交于E 、F .求证：四边形AFCE 是菱形.【例12】 如图，在梯形纸片ABCD 中，//AD BC ，AD CD >，将纸片沿过点D 的直线折叠，使点C 落在AD 上的点C 处，折痕DE 交BC 于点E ，连结C E '.求证：四边形CDC E '是菱形．图2DFEDCBADCAB FEDCBAODEFCAB【例13】 ☆如图，E 是菱形ABCD 的边AD 的中点，EF AC ⊥于H ，交CB 的延长线于F ，交AB 于P ，证明：AB 与EF 互相平分【巩固】 ☆已知：如图，在平行四边形ABCD 中，AE 是BC 边上的高，将ABE ∆沿BC 方向平移，使点E与点C 重合，得GFC ∆．若60B ∠=︒，当AB 与BC 满足什么数量关系时，四边形ABFG 是菱形？证明你的结论．【例14】 如图，在ABC ∆中，AB AC =，M 是BC 的中点．分别作MD AB ⊥于D ，ME AC ⊥于E ，DF AC⊥于F ，EG AB ⊥于G ．DF EG 、相交于点P ．求证：四边形DM EP 是菱形．【例15】 如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，交BC 于D ，CH 是AB 边上的高，交AD于F ，DE AB ⊥于E ，求证：四边形CDEF 是菱形．【巩固】 ☆如图，M 是矩形ABCD 内的任意一点，将M AB ∆沿AD 方向平移，使AB 与DC 重合，点M 移动到点'M 的位置⑴画出平移后的三角形；⑵连结'MD MC MM ，，，试说明四边形'MDM C 的对角线互相垂直，且长度分别等于AB AD ，的长；⑶当M 在矩形内的什么位置时，在上述变换下，四边形'MDM C 是菱形？为什么？C'DC BA EAB CDEF P PF EDC B A GF E DCBAPMF E DG CBA HF DECBA三、与菱形相关的几何综合题 【例16】 已知等腰ABC △中，AB AC =，AD 平分BAC ∠交BC 于D 点，在线段AD 上任取一点P （A 点除外），过P 点作EF AB ∥，分别交AC 、BC 于E 、F 点，作PM AC ∥，交AB 于M 点，连结ME .⑴求证四边形AEPM 为菱形⑵当P 点在何处时，菱形AEPM 的面积为四边形EFBM 面积的一半？1. 菱形周长为52cm ，一条对角线长为10cm ，则其面积为．2.如图，在菱形ABCD 中，4AB a E =，在BC 上，2120BE a BAD P =∠=︒，，点在BD 上，则PE PC +的最小值为3. 已知菱形的一个内角为60︒，一条对角线的长为，则另一条对角线的长为________． 4.已知，菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且60B EAF ∠=∠=︒，18BAE ∠=︒．求：CEF ∠的度数．5.如图，在ABC ∆中，AB AC =，D 是BC 的中点，连结AD ，在AD 的延长线上取一点E ，连结BE ，CE ．当AE 与AD 满足什么数量关系时，四边形ABEC 是菱形？并说明理由．6.如图，ACD ∆、ABE ∆、BCF ∆均为直线BC 同侧的等边三角形．已知AB AC =．⑴ 顺次连结A 、D 、F 、E 四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应M'M DCBAMPFABCDE DBFEDCBAEDCB A的条件．⑵ 当BAC ∠为度时，四边形ADFE 为正方形．7.如图，已知BE 、CF 分别为ABC ∆中B ∠、C ∠的平分线，AM BE ⊥于M ，AN CF ⊥于N ，求证：MN BC ∥．FEDCBANMEFCBA。
1.1菱形的性质与判定
1.1.1 菱形的性质与判定（第一课时）学习目标：掌握菱形的概念和性质在观察、操作、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，进一步培养学生数学说理的能力与习惯学习重点：菱形性质的探索过程学习难点：学生数学说理能力的培养学习过程：一、课前自主学习1、平行四边形的性质：。
2、平行四边形ABCD中，若∠A＝50 °，那么∠B＝∠C＝3、平行四边形ABCD中，AB+BC＝14 cm,则它的周长等于4、平行四边形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,如果AC＝12，BD＝8,则AB的取值范围是.二、课内探索新知。
探索菱形的性质1、菱形的定义：2、菱形的性质：3、菱形的对称性：二、小组合作：1、已知菱形两条对角线长分别为12cm、8cm，则菱形的面积是,周长是2、已知菱形两邻角之比是5：1，若菱形的高是2cm，则菱形的周长是3、已知菱形ABCD中，若∠ABC＝120°，则BD：AC＝4、菱形两邻角之比为1：2，菱形周长为40cm,则较短对角线长为5、如图，四边形ABCD是菱形。
点O是两条对角线的交点，AB=5cm，AO=3cm，（1）求AC与BD的长。
（2）在（1）的情况下，则菱形的面积是多少三、展示反馈1、如图, 已知菱形ABCD的周长为20cm，∠A：∠ABC＝1：2，求∠ABD的度数与BD长。
2、已知菱形的两条对角线长分别为6和8，则它的边长为多少？3、菱形ABCD的周长为16厘米，∠ABC＝120°，求对角线BD与AC的长。
4、合作探究：如图，四边形ABCD是边长为13 cm的菱形，其中对角线BD长10 cm，求：(1)对角线AC的长度；(2)菱形ABCD的面积四、拓展延伸：1、已知菱形周长为80，一对角线长20，则相邻两角的度数为，。
2、如图，四边形ABCD是菱形。
对角线AC=6cm，DB=8cm，AH⊥BC于点H,求AH的长.3、将一个长为10cm，宽为8cm的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（）A．210cm B．220cm C．240cm D．280cm4．求证：菱形的对角线的交点到各边的距离相等。
菱形的性质与判定
B
C
D
O
证明(1)∵四边形ABCD是菱形
∴DA=DC(菱形的定义)
∵DA=BC,AB=DC
∴AB=BC=DC=DA
(2)在△DAC中,又∵AO=CO
∴DB⊥AC， DB平分∠ADC（三线合一）
同理： DB平分∠ABC； AC平分∠DAB和∠DCB
(1)AB=BC=CD=DA
(2)AC⊥BD
A
B
C
D
E
F
你敢挑战吗？
交流反思
1.菱形概念
2.菱形特征
3.菱形与平行四边形的关系
①具有平行四边形的一切性质； ②菱形的四条边都相等； ③菱形的对角线互相垂直平分； ④菱形的对角线分别平分两组对角； ⑤菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形。
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
4.菱形的面积
方法总结:
01
02
03
单击此处添加正文。
平行四边形
菱形
四边形
单击此处添加正文。
对角线互相垂直
一组邻边相等 菱形 有四条边相等
判断下列说法是否正确？为什么？ (1)对角线互相垂直的四边形是菱形； （ ） (2)对角线互相垂直平分的四边形是菱形；（ ） (3)对角线互相垂直,且有一组邻边相等 的四边形是菱形； （ ） (4)两条邻边相等，且一条对角线平分一 组对角的四边形是菱形． （ ）
E
O
D
C
B
A
如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC,AE∥DB，AE交DE于E。 求证：四边形AODE是菱形。
D
C
B
A
M
N
2、将两张宽度相等的矩形纸片叠放在一起得到如图所示的四边形ABCD. 求证：四边形ABCD是菱形。
北师版九年级数学 1.1菱形的性质与判定(学习、上课课件)
1 菱形的性质与判定
学习目标
1 课时讲解 菱形的定义
菱形的性质 菱形的判定
2 课时流程 菱形的面积
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
感悟新知
知识点 1 菱形的定义
知1－讲两个条件缺一Fra bibliotek可.有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
如图1-1-1，在ABCD 中，若
AB=BC( 或BC=CD 或CD=DA 或DA=AB)，
则ABCD 是菱形.
感悟新知
知1－讲
感悟新知
知1－讲
特别提醒 1.菱形的定义既是菱形的判定方法，又是菱形
的性质. 2.菱形是特殊的平行四边形，但平行四边形不
一定是菱形.
感悟新知
例 1 如图1-1-3，在△ ABC 中，CD 平分 ∠ ACB，CD 交AB 于点D，DE ∥AC，且DE 交BC 于点E，DF∥ BC，DF 交AC于点F. 四边形DECF 是菱形吗？为什么？
知1－练
感悟新知
知1－练
1-1. 如图， 在平行四边形ABCD 中， 点O 是AD 的中点， 连接CO 并延长交BA 的延长线于点E， 连接AC，DE.
感悟新知
(1)求证： 四边形ACDE 是平行四边形； 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD.∴∠BEC＝∠DCE. ∵点O是AD的中点，∴AO＝DO. 又∵∠AOE＝∠DOC， ∴△AEO≌△DCO(AAS)．∴AE＝DC. 又∵AE∥DC，∴四边形ACDE是平行四边形．
感悟新知
知2－讲
图形
性质
数学表达式
对
是轴对称图形，对称轴是对角线所在 的直线
称
性 是中心对称图形，对称中心是对角线
菱形的判定和性质
BCADO菱形的判定和性质一、基础知识（一）菱形的概念一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
（二）菱形的性质：1、 具有平行四边形的一切性质；2、 菱形四条边都相等；3、 菱形的对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；4、 菱形是轴对称图形；边 角 对角线 对称性 菱形对边平行； 四边相等对角相等； 邻角互补互相垂直平分且平分对角轴对称（三）菱形的判定：1、 一组邻边相等的平行四边形是菱形；2、 对角线互相垂直的平行四边形是菱形；3、 四条边都相等的四边形是菱形； （四）菱形的面积1、可以用平行四边形的面积算（S=21底×高） 2、用对角线计算（面积的两对角线的积的一半 S=21ab)ABCDE二、例题讲解考点一 ：菱形的判定例1：下列命题正确的是（ ）（A ） 一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定是平行四边形 （B ） 对角线相等的四边形一定是矩形 （C ） 两条对角线互相垂直的四边形一定是菱形（D ） 两条对角线相等且互相垂直平分的四边形一定是正方形 练习1：菱形的对角线具有( ) A ．互相平分且不垂直 B ．互相平分且相等 C ．互相平分且垂直 D ．互相平分、垂直且相等练习2：如图，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，M 、N 分别是边AB 、AD 的中点，连接OM 、ON 、MN ，则下列叙述正确的是（ ） A ．△AOM 和△AON 都是等边三角形B ．四边形AMON 与四边形ABCD 是位似图形C ．四边形MBON 和四边形MODN 都是菱形D ．四边形MBCO 和四边形NDCO 都是等腰梯形练习3：如图，在三角形ABC 中，AB ＞AC ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，△ADE 沿线段DE 翻折，使点A 落在边BC 上，记为A '．若四边形ADA E '是菱形，则下列说法正确的是( )A ．DE 是△ABC 的中位线B ．AA '是BC 边上的中线 C ．AA '是BC 边上的高D ．AA '是△ABC 的角平分线ABCDEA 'DBCA NM O练习4：如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD 是菱形的为（ ） ①AC BD ⊥ ②90BAD ∠= ③AB BC = ④AC BD = A ．①③B ．②③C ．③④D ．①②③例2 ：已知AD 是△ABC 的平分线，DE ∥AC 交AB 于E ，DF ∥AB 交AC 于F ，则四边形AEDF 是什么四边形？请说明理由．变化：若D 是等腰三角形底边BC 的中点，DE ∥AC 交AB 于E ，DF ∥AB 交AC 于F ，则四边形AEDF 是什么四边形？请说明理由．练习1：如图，AD 是Rt △ABC 斜边上的高，BE 平分∠B 交AD 于G ，交AC 于E ，过E 作EF ⊥BC 于F ，试说明四边形AEFG 是菱形．练习2：如图，E 是菱形ABCD 边AD 的中点，EF ⊥AC 于点H ，交CB 延长线于点F ，交AB 于点G ，求证：AB 与EF 互相平分。
1.1菱形的判定
个性化修改
作业设计
预习作业
书面作业
1、教材P7习题1.2第2题
2、思考题：如图，△ABC中，∠A=90°,∠B的平分线交AC于D，AH、DF都垂直于BC，H、F为垂足，求证：四边形AEFD为菱形。
板书设计
（六）板书设计
菱形的判定
一、菱形的判定定理二、例题
判定1：一组邻边相等的平行四边形是菱形。
教学
准备
课件
教学过程
教学预设
个性化修改
(一)、复习引入
1、提问：菱形的定义和性质。
2、导入新课
今天我们就要学习菱形的判定。（板书课题）
(二)、学习新课
（一）菱形的判定定理
1.菱形的定义既是菱形的性质也是菱形的判定
判定1：一组邻边相等的平行四边形是菱形。
2.把菱形的性质反过来：对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？
学生思考交流，自学证明过程
如图：已知，□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC⊥BD.
求证：四边形ABCD是菱形.
判定2：对角线互相垂直的平行四边形是菱议，与你的同桌交流。
如图：已知，四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD.
求证：四边形ABCD是菱形.
判定2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
判定3：四条边都相等的四边形是菱形。
教学反思
安良一中
课堂教学设计
执教时间月日
课题
1.1菱形的判定
课型
新授课
课时数
1
主备教师
许晓蕾
执教教师
教学
目标
1．经历菱形的判定定理的发现过程，
2．掌握菱形的三个判定定理，并能根据题目条件选择恰当的定理证明菱形。
1.1菱形的性质与判定(2)
定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
已知线段AC，你能用尺规作图的方法 作一个菱形，使AC为菱形的一条对角线吗？
定理：四条边都相等的四边形是菱形。
你能口述一下理由吗？
做一做
将一张长方形的纸对折、再对折，然后 沿图中的虚线剪下，打开即得一个菱形.
你能说说这样做的道理吗？
牛刀小试
如图，在▱ABCD中，添加下列条件不能判定 ▱ABCD是菱形的是（ ）
D O
C
B
你知道如何判别菱形吗？
（1）根据菱形的定义知： 一组邻边相等的平行四边形是菱形. 思考： 对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？ 你能证明这个结论正确吗？
已知：如图，在平行四 边形ABCD中，对角线AC与BD 相交于点O, AC BD. 求证：平行四边形 ABCD是菱形 证明： 四边形ABCD是平行四边形 OA OC(平行四边形对角线互相 平分) 又 AC BD BD是线段AC的垂直平分线 BA BC 四边形ABCD是菱形（菱形的定义）
A．AB=BC C．BD平分∠ABC
D
B．AC⊥BD D．AC=BD
ห้องสมุดไป่ตู้
O+
分析：由∠BAD=∠CAD， AO=AO，∠AOE=∠AOF =90°证△AEO≌△AFO， 推出EO=FO，得出平行四 边形AEDF，根据EF⊥AD 得出菱形AEDF．
交流小结，收获感悟
1. 对自己说，你有什么收获？
2. 对同学说，你有什么温馨提示？ 3. 对老师说，你还有什么困惑？
布置作业，强化目标
作业：习题1.2
教学目标
1.理解菱形的判断方法，熟练掌握菱形的 判定方法. 2.会选用合适的菱形判定方法判定四边形 是菱形. 3.培养综合运用知识分析解决问题的能力 .
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2、会利用灵性的性质及判定进行相关计算、证明。
重点
菱形的判定和性质
难点
菱形的判定和性质的应用
教
学
环
节
设
计
。
一一、学习目标：
1、熟练掌握菱形边、角、___
2、会应用菱形的性质及判定进行相关计算、证明、预习检测：1、菱形的性质：（1）菱形的周长=。
（2）菱形（填是或不是）轴对称图形。
A、对角线互相垂直B、两对角线相等C、两对线互相平分D、两对角线互相垂直平分
2、下列说法正确的是 （ ）
A、菱形的对角线相等B、两组邻边分别相等的四边形是菱形
C、对角线互相垂直的四边形是菱形D、菱形的对角线互相垂直平分.
3、已知，菱形ABCD的面积为 ，对角线AC:BD=1:3,求菱形周长。
学习目标
(4)若OA=OC，OB=OD,，则□ABCD是菱形。
二、范例讲解：例1、如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，E为AD延长线上一点，CF//BE交AD于F，连接BF、CE，求证：四边形BECF是菱形。
课
堂
练
习
设
计
与
检
测பைடு நூலகம்
4、在平面直角坐标系中，画一个边长为5的菱形ABCD，并写出各点坐标。（两种不同方法）
四、课堂小结
本节课你学到了什么？
五、作业、习题1.3p9 1-------5题
个性设计
课
堂
练
习
设
计
与
检
测
课
后
反
思
银星学校学案教学设计页
九年级数学学科主备人：李国华：审核人：初三数学教研组第3课时总第_____节_____月____日
学习内容
菱形的判定和性质小结
个性设计
教
学
环
节
设
计
例2、已知：在△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC，DF∥AB，求证：四边形AEDF是菱形。
三、达标检测：
1．下列条件中，能判定四边形是菱形的是（ ）
（3）菱形的面积公式是或。
（4）菱形边的性质：。
菱形角的性质：。
菱形对角线的性质：
2、如图，四边形ABCD，添加合适的条件使四边形ABCD是菱形。并口述理由。
（1）若□ABCD，，则□ABCD是菱形。
（2）若四边形ABCD，，则四边形ABCD是菱形。
（3）若AB=AD，AB‖CD,，则四边形ABCD是菱形。